Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев
The lower bound of the growth for one infinite group of automorphisms of a regular tree is given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1807 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 16–19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860258707095420928 |
|---|---|
| author | Леонов, Ю.Г. |
| author_facet | Леонов, Ю.Г. |
| citation_txt | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 16–19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The lower bound of the growth for one infinite group of automorphisms of a regular tree is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:52:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
f(z) чи L(λ) має при порядках p та q нескiнченний тип, то за умови виконання нерiвностi
1/p + 1/q > 1 знайдуться ε1 > 0 та ε2 > 0 такi, що виконуватиметься нерiвнiсть 1/(p +
+ ε1) + 1/(q + ε2) > 1. Тодi iснують R > 0, k1 > 0 та k2 > 0 такi, що M1(r) < ek1rp+ε1
,
M2(r) < ek2rq+ε2
, r > R, де M1(r) = max
z∈Dr
|f(z)|, M2(r) = max
z∈Dr
|L(z)|. Тому коефiцiєнти ar
та br+s степеневих рядiв для функцiй f(z) та L(λ) мають аналогiчнi до (а) та (б) оцiнки.
Далi доведення проводиться подiбно до доведення теореми 1. Теорему доведено.
1. Гольдберг А.А. О формулах для определения порядка и типа целых функций многих переменных //
Докл. и сообщ. Ужгород. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. – 1961. – № 4. – С. 101–103.
2. Еремин С.А. О целых функциях двух переменных // Укр. мат. журн. – 1957. – 9, № 1. – С. 30–43.
3. Маергойз Л.С. К вопросу о связях между различными определениями порядка и типа целых функций
многих комплексных переменных // Сиб. мат. журн. – 1966. – 7, № 6. – С. 1268–1292.
4. Темляков А.А. Целые функции комплексных переменных // Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та. – 1954. –
20. – С. 7–16.
5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. – Москва:
Наука, 1985. – 464 с.
6. Каленюк П. I., Нитребич З.М. Узагальнена схема вiдокремлення змiнних. Диференцiально-символь-
ний метод. – Львiв: Вид-во нац. ун-ту “Львiв. полiтехнiка”, 2002. – 292 с.
7. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. – Москва: Наука, 1981. – 320 с.
Надiйшло до редакцiї 16.11.2006Нацiональний унiверситет
“Львiвська полiтехнiка”
УДК 512
© 2007
Ю.Г. Леонов
Об оценке снизу роста одной смешанной группы
автоморфизмов деревьев
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Н.А. Перестюком)
The lower bound of the growth for one infinite group of automorphisms of a regular tree is given.
Рост конечно порожденных бесконечных групп является одной из важнейших характери-
стик, изучаемой в аналитической теории групп.
Напомним, что функция роста конечно порожденной группы G с системой порождаю-
щих S определяется соотношением
γ(n) = #{g ∈ G; lS(g) 6 n},
где lS(g) — длина элемента g относительно S.
Будем говорить, что функция f1(n) растет не быстрее, чем f2(n): f1(n) � f2(n), если най-
дется c > 0 такое, что f1(n) 6 f2(cn), для любых n ∈ N. Если f1(n) � f2(n) и f2(n) � f1(n),
то функции эквивалентны: f1(n) ∼ f2(n). Функции роста одной и той же конечно порож-
денной группы при различных конечных системах порождающих эквивалентны.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Исследуя функции роста группы, мы можем узнать другие важнейшие ее характерис-
тики. Так, если группа G растет медленнее, чем экспоненциальная функция, т. е.
γG(n) ≺ en,
то G является аменабельной, а если медленнее какой-либо степенной функции, то G почти
нильпотентна [1].
Группа G, действующая на бесконечном регулярном корневом d-дереве (от каждой вер-
шины вниз исходит ровно d ребер) Td, называется самоподобной, если множество ограни-
чений действий ее элементов на каждом поддереве совпадает с G. Первые примеры групп,
функции роста которых имеют промежуточный рост, т. е. растут быстрее любой степен-
ной функции, но медленнее экспоненциальной, были найдены именно среди самоподобных
групп [2]. Впоследствии было показано, что не почти нильпотентные финитно-аппроксими-
руемые группы удовлетворяют неравенству γG(n) � e
√
n [3]. Однако указать более лучшую
оценку роста снизу для самоподобных групп очень непросто. Впервые это было сделано
для известной 2-группы Григорчука (построенной в [4]) в работе [5]. Впоследствии метод
оценки роста групп снизу был применен к известному классу p-групп Гупты–Сидки ([6])
в работе [7].
В данной работе мы развиваем методы, найденные в [5, 7], и указываем оценку снизу
роста одной смешанной самоподобной группы, действующей на бинарном дереве.
Группа G, указанная Н. Гуптой, строится следующим образом. Элементы группы G
являются автоморфизмами регулярного корневого 4-дерева T . Будем говорить, что верши-
на v дерева T находится на уровне n > 0, если эта вершина удалена от корневой вершины
на расстоянии n. Регулярное корневое дерево Tv с корневой вершиной v является подде-
ревом дерева T и совпадает с ним после отождествления корневых вершин этих деревьев.
Ясно, что число деревьев с корневой вершиной уровня n равно 4n. Обозначим такие дере-
вья как Tn,i, i = 1, . . . , 4n, и назовем их деревьями уровня n. Множество вершин уровня n
обозначим V (n), а корневую вершину дерева Tn,i — vn,i.
Пусть α ∈ AutT является циклической перестановкой четырех деревьев с корневыми
вершинами первого уровня (T1,1 переходит в T1,2 и так далее, T1,4 в T1,1). Определим дейст-
вие элемента β. Его удобнее рассматривать на поддеревьях уровня 1. На деревьях T1,1
и T1,3 элемент β действует тривиально. На дереве T1,2 элемент β действует как α на T
(после отождествления T и T1,2), а на дереве T1,4 — как β.
Таким образом, действие элемента β задано рекуррентно. Схематично такое действие
удобно обозначать следующим образом: β = (1;α; 1;β), где 1 — нейтральный элемент груп-
пы G. Группа G = 〈α, β〉 и является предметом нашего исследования. Она является беско-
нечной непериодической (хотя порождающие элементы имеют порядок 4), самоподобной
группой. Ясно, что G 6 AutT . Основной результат показывает оценку снизу роста груп-
пы G.
Теорема 1. Функция роста группы Гупты удовлетворяет неравенству
γG(n) � en
logQ4
,
где Q =
√
255,2.
Так как Q < 16, то logQ4 > 1/2 и указанная оценка нетривиальная.
Доказательство теоремы основывается на нескольких леммах. Пусть g ∈ G. Сужение
действия элемента g на поддерево Tn,i с корневой вершиной v назовем проекцией элемента g
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 17
и обозначим gv. Из определения элементов группы G видно, что сужение элемента есть
также элемент группы G (после отождествления дерева T с соответствующим поддеревом).
Зафиксируем систему порождающих S = {α, β}.
Лемма 1. Длина любого элемента g ∈ G оценивается следующим образом:
lS(g) 6 4
∑
v∈V (1)
lS(gv) + const.
Глубиной элемента g ∈ G назовем наименьшее n > 0 с условием gv ∈ S
⋃
{1} для любого
v ∈ V (n). Такое число обозначим как f(g). Каждый элемент группы G имеет конечную
глубину. Будем считать, что глубина порождающих и нейтрального элементов равна 0.
Обозначим F (n) = {g ∈ G | f(g) 6 n}. Ясно, что если f(g) > k, то f(gv) 6 f(g) − k для
v ∈ V (k).
Метод оценки роста группы снизу основывается на изучении роста функции, характе-
ризующей наибольшую длину элемента глубины n:
r(n) = max
g∈F (n)
lS(g).
По индукции из предыдущей леммы следует, что r(n) 6 C · 4n, где C — некоторая констан-
та. Однако этой оценки недостаточно для нетривиальной оценки снизу роста группы G.
Рассмотрим “половину” множества вершин глубины 2:
V
(2)
1 = {v2,i | i = 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12}.
Для ε ∈ [0; 1] рассмотрим ε-равномерное множество
Fε(n) =
{
g ∈ G | f(g) 6 n, min
v∈V
(2)
1
lS(gv) > ε max
v∈V
(2)
1
lS(gv)
}
.
Максимальную длину элемента множества Fε(n) обозначим через rε(n). Для ε-равномер-
ного множества, благодаря сложным комбинаторным рассуждениям, можно существенно
усилить лемму 1.
Лемма 2. Для любого ε ∈ [0; 1] и натурального n > 2 выполняется
rε(n) 6 Qr(n − 2) + const,
где Q = 240 + 15,2ε.
Каждый элемент группы G лежит в некотором ε-равномерном множестве. Отсюда и из
леммы 2 в худшем случае (при ε = 1) имеем оценку r(n) 6 255,2r(n − 2) + const или
r(n) 6 C · (255,2)n/2. (1)
Покажем теперь, как, используя последнее неравенство, получить утверждение теоре-
мы. Пусть v ∈ V (n). Рассмотрим множество
Rist
G
(v) = {g ∈ G; gv′ = 1, при v′ ∈ V (n), v′ 6= v},
которое называется жестким стабилизатором вершины v. Группа, порожденная жесткими
стабилизаторами вершин множества V (n), называется жестким стабилизатором уровня n
и обозначается Rist
G
(n). Ясно, что Rist
G
(n) ⊳ G.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Лемма 3. Жесткий стабилизатор группы G любого уровня является подгруппой ко-
нечного индекса
|G/Rist
G
(n)| < ∞.
Из последнего утверждения следует, что мощность множества F (n) можно оценить сни-
зу: |F (n)| > R4n
, где R > 2 — некоторая константа. По определению, количество элементов
длины 6 r(n) не меньше, чем |F (n)|. Отсюда имеем неравенство γG(r(n)) > R4n
. Принимая
во внимание неравенство (1), легко получить утверждение теоремы.
Заметим, что данный метод оценки снизу роста самоподобных групп может быть при-
менен ко многим известным самоподобным группам. Для большинства таких групп верны
аналоги лемм 1 и 3. Однако наибольшая сложность состоит в комбинаторном утверждении
леммы 2.
1. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publ. Math. IHES. – 1981. – 53. –
P. 53–73.
2. Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних // Изв.
АН СССР. Сер. матем. – 1984. – № 5. – С. 939–985.
3. Григорчук Р.И. О ряде Гильберта–Пуанкаре градуированных алгебр, ассоциированных с группами //
Мат. сб. – 1989. – 180, № 2. – С. 207–225.
4. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложе-
ния. – 1980. – 14, вып. 1. – С. 53–54.
5. Леонов Ю.Г. Об оценке снизу роста 3-порожденной 2-группы // Мат. сб. – 2001. – 192, вып. 11. –
С. 77–92.
6. Гупта Н., Сидки С. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. – 1983. – 22, № 5. – С. 584–589.
7. Леонов Ю.Г. Нижняя оценка функции роста p-групп Гупты–Сидки // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 1. – С. 71–78.
Поступило в редакцию 25.10.2006Одесская национальная академия связи
им. А.С. Попова
УДК 519.6
© 2007
О.М. Литвин
Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other
ordinary differential operators are given. Approximated and approximating operators are equal
on a given system of functions (functional knots).
1. Постановка проблеми. Теорiя наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних вклю-
чає в себе, як важливий частинний випадок, теорiю iнтерполювання. Оператори Lnu(x)
iнтерполювання функцiй u(x) вiдновлюють (взагалi кажучи, наближено) u(x) мiж задани-
ми точками x0, x1, . . . , xn, використовуючи значення функцiї u(x) або (у бiльш загальному
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 19
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1807 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:52:45Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Леонов, Ю.Г. 2008-09-02T17:38:42Z 2008-09-02T17:38:42Z 2007 Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев / Ю.Г. Леонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 16–19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1807 512 The lower bound of the growth for one infinite group of automorphisms of a regular tree is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев Article published earlier |
| spellingShingle | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев Леонов, Ю.Г. Математика |
| title | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| title_full | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| title_fullStr | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| title_full_unstemmed | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| title_short | Об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| title_sort | об оценке снизу роста одной смешанной группы автоморфизмов деревьев |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1807 |
| work_keys_str_mv | AT leonovûg obocenkesnizurostaodnoismešannoigruppyavtomorfizmovderevʹev |