Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности
В настоящей работе решена задача Колмогорова–Никольского для обобщенного интеграла Пуассона на классах 2π-периодических функций, которые определяются с помощью первого модуля непрерывности. Досліджено питання знаходження точної верхньої межі відхилення класів функцій, які визначаються за допомогою м...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180780 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 26-36. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264334481948672 |
|---|---|
| author | Харкевич, Ю.И. |
| author_facet | Харкевич, Ю.И. |
| citation_txt | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 26-36. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | В настоящей работе решена задача Колмогорова–Никольского для обобщенного интеграла Пуассона на классах 2π-периодических функций, которые определяются с помощью первого модуля непрерывности.
Досліджено питання знаходження точної верхньої межі відхилення класів функцій, які визначаються за допомогою модуля неперервності першого порядку, від узагальнених інтегралів Пуассона. Зокрема отримано асимптотичні рівності для наближення функцій класів Гельдера їх узагальненими інтегралами Пуассона. Тим самим показано, що перехід від класів Hω до більш «тонких» класів функцій Гельдера H¹ забезпечує більш якісний розв’язок задачі Колмогорова–Нікольського для узагальнених інтегралів Пуассона в рівномірній метриці, що безпосередньо застосувується в математичному моделюванні та в математичних формалізаціях в певних типах задач в теорії ігор.
In this paper, we study the problem of finding the exact upper border of deviation of functions classes that are determined by a first order modulus of continuity, from their generalized Poisson integrals. In a partial case, the asymptotic equalities were obtained for an approximation of functions from the Hölder classes by their generalized Poisson integrals. Thereby it is shown, that a transition from classes Hω to the more susceptible Hölder classes H¹ provides more qualitative solution of the Kolmogorov–Nikol’skii problem for generalized Poisson integrals in the uniform metric, that has a direct application in mathematical modeling and in mathematical formalizations in certain types of problems in game theory.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:58:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.И. ХАРКЕВИЧ, 2019
26 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.5
Ю.И. Харкевич
АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА
ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПУАССОНА
НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ
С ПОМОЩЬЮ МОДУЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Ключевые слова: модуль непрерывности, асимптотическое равенство, класс
Гельдера, задача Колмогорова–Никольского.
Введение
Исследование современных прикладных проблем естествознания зачастую
связано с выбором таких решений, которые позволили бы получить некие опти-
мальные результаты — затратить минимум средств, достичь максимальной при-
были, наилучших показателей и т.д. Но чтобы что-то рассчитать, надо формали-
зовать задачу, т.е. составить математическую модель изучаемого явления, по-
скольку математические методы можно применять не к непосредственно
изучаемой деятельности, а лишь к моделям того или иного типа объектов.
При представлении конфликтной ситуации в теории игр возникает ряд труд-
ностей в связи с описанием правил, условий, игроков, стратегий, ходов и выиг-
рышей, т.е. в описании математической модели предстоящего конфликта по сце-
нарию «если–то». Задача заключается в том, чтобы данную конфликтную ситуа-
цию по возможности привести к формализованной игре [1] без значительных
потерь реальных целей, найти метод решения, провести расчеты и анализ. Резуль-
таты исследований математических моделей представляют практический интерес
только тогда, когда модели адекватно отображают реальные ситуации. Даже в тех
случаях, когда принятие решения, казалось бы, полностью автоматизировано
(например, в процессе автоматического управления предприятием или летатель-
ным объектом), роль человека не упраздняется, ибо, в конечном счете, от него за-
висит выбор алгоритма, по которому осуществляется управление.
В теории игр рассматриваются вопросы выбора оптимальных стратегий в
различных конфликтных ситуациях. Данная тема актуальна и недостаточно изу-
чена применительно к практическим задачам естествознания, экономики, управ-
ления, юриспруденции, политики и т.д. С помощью теории игр для нескольких
бескоалиционных противников (или противоборствующих сторон) определяются
стратегии, которые приведут если не к положительному выигрышу, то, по край-
ней мере, к наименьшим потерям. В условиях конфликта принимающему решение
необходимо учитывать не только свои собственные интересы, но цели и интересы
противника, которые в общем случае неизвестны. Таким образом, возникает до-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 27
статочно непростая ситуация выбора оптимального действия для каждого участ-
ника конфликтной ситуации. Такой анализ более неопределенный в смысле зако-
нов, предсказаний и логики и имеет вероятностный характер. Поэтому моделиро-
вание с тщательно подобранными реалистическими деталями может дать общий
достоверный результат только при многократном проведении эксперимента. Осо-
бенно важно, чтобы такие заключения были выведены из упрощенной модели.
Заинтересованные стороны называют игроками. Любое возможное для игрока
действие в рамках заданных правил игры называется его стратегией. В условиях
конфликта каждый игрок выбирает свою стратегию, в результате складывается
набор стратегий, называемый ситуацией. Каждому игроку в каждой ситуации
приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой
ситуации и называемое его выигрышем. Протекание конфликта состоит в выборе
каждым игроком своей стратегии и получении им в сложившейся ситуации выиг-
рыша. Собственно успех такого моделирования в большой степени зависит от
удачного выбора функции, реализующей выбор (стратегию) того или иного игро-
ка. Одной из таких функций может выступать модуль непрерывности, который
представляет собой функцию, характеризующую максимальное абсолютное при-
ращение исследуемой функции между точками области определения, отстающи-
ми одна от другой на расстояние, не больше какой-то величины. Таким образом,
модуль непрерывности функции зависит не только от самой функции, но и от
области определения, на которой рассматриваем функцию. Расширяя или из-
меняя область определения функции, получаем новый модуль непрерывности.
Понятие модуля непрерывности непосредственно связано с понятием равно-
мерной непрерывности функции: всякая равномерно непрерывная функция
имеет модуль непрерывности, но при этом можно построить пример разрыв-
ной функции, имеющей модуль непрерывности.
Наряду с модулем непрерывности рассматривают его различные обобщения.
В частности, исследуются модули непрерывности высших порядков (модуль не-
прерывности при этом часто называют модулем непрерывности первого порядка).
Модули непрерывности и его обобщения находят применение в различных областях
современной математики.
С помощью классического модуля непрерывности первого порядка опре-
деляется так называемый класс ,H который активно используется при решении
различного рода задач теории приближения функций. Начало таких исследо-
ваний было положено известным отечественным математиком А. Н. Колмого-
ровым. Позже эти исследования продолжили другие выдающиеся исследователи:
С. М. Никольский, Б. Надь, С. Б. Стечкин, В. К. Дзядык, Н. П. Корнейчук,
А. И. Степанец и др.
Особую роль среди всех типов экстремальных задач занимает задача Колмо-
горова–Никольского — нахождение асимптотических равенств для верхних гра-
ней уклонения некоторых специальных операторов от функций определенного
класса, получения наиболее эффективной модели реальных процессов.
Следует отметить, что среди всех типов задач Колмогорова–Никольского
к наиболее актуальным, с точки зрения прикладного естествознания, в данное
время относятся именно задачи, которые решаются на классах функций, порожда-
емых первыми модулями непрерывности. Именно эта концепция легла в основу
исследования данной работы для обобщенных интегралов Пуассона. В частности,
здесь получены асимптотические равенства для величин приближения функций
классов Гельдера их обобщенными интегралами Пуассона.
28 ISSN 0572-2691
1. Постановка задачи
Пусть С — пространство 2 -периодических непрерывных функций, в кото-
ром норма задается равенством .)(max tff
tÑ
Приведем определения, которые понадобятся в дальнейшем.
Определение 1 [2, c. 147]. Для непрерывной на [a, b] функции )(хf назовем
модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности —
функцию ),,()( ufu определенную на ],0[ ab следующим равенством:
,)()(sup);ω(
0
xfhxfuf
uh
hbxa
или, что то же самое,
.)()(sup);( 21
,, 21
12
xfxfuf
baxx
uõõ
Согласно этому определению модуль непрерывности ),( uf функции )(õf
при каждом фиксированном ],0[ abu указывает величину максимального ко-
лебания функции на произвольном сегменте длины ,u содержащемся в ].[ , bà
Отсюда, в частности, следует, что
),()()( hxfhxf ];[ ,, bahxx
),()()( 1212
xxxfxf ].[ ,, 21 baxx (1)
Определение 2 [2, c. 154]. При каждом фиксированном ]1,0( классом
Гельдера порядка называется множество всех непрерывных функций ,f мо-
дуль непрерывности каждой удовлетворяет условию
,),( uu Ìf
где М — любая положительная постоянная, которая не зависит от u и различная
для разных функций. Этот класс принято обозначать .Н
Естественным обобщением классов Гельдера являются так называемые
классы .Н
Определение 3 [2, c. 157]. Пусть )(u — любая функция, являющаяся модулем
непрерывности, и М — постоянная. Тогда МН — класс всех непрерывных
функций ,f для каждой из которых ),(),( uÌuf а Н — множество всех
функций, каждая из которых при любом М принадлежит классу .МН
Далее через );;(, xfP qs будем обозначать обобщенный интеграл Пуассона [3]
функции :f
,10,);()(
1
);;( ,, dttKxtfxfP qsqs (2)
где );(, tK qs — ядро обобщенного интеграла Пуассона вида
.1,
2
1
0,cos))1)(1(1(
2
1
);(
1
,
qsktsktK k
k
q
qs (3)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 29
Сразу же отметим, что в случае 0s из (2) и (3) получим интеграл Пуассона [4]
или, что то же самое, интеграл Абеля–Пуассона (см., например, [5, 6]):
.10,cos
2
1
)(
1
);;(
1
dtktxtfxfA
k
k
Если в (2) положить ,
2
1
s ,1q то будем иметь (см., например, [7, 8]) так назы-
ваемый бигармонический интеграл Пуассона
.10,cos)1(
2
1
2
1
) (
1
);;( 2
1
dtkt
k
txfxfB k
k
Согласно [9, c. 198] обозначим
.);;(,)(sup))(;( ,
Õf
Xqs fqsPfP
N
NE
Тогда, следуя А. И. Степанцу, будем говорить, что решена задача Колмого-
рова–Никольского для данного класса N и обобщенного интеграла Пуассона
);;(, xfP qs в метрике пространства X, если в явном виде найдена функция
);()( Ngg такая, что при .01
)).(()())(;( , gogP XqsNE
2. Приближения функций класса Н обобщенными
интегралами Пуассона
Следует отметить, что аппроксимативные свойства как интегралов Абеля–
Пуассона, так и бигармонических интегралов Пуассона достаточно хорошо изу-
чены в работах [10–21]. Что же касается решения задачи Колмогорова–
Никольского для вышеупомянутых интегралов на классах ,Н то здесь успехи
были более умеренными, именно поэтому цель настоящей работы — нахождение
точных верхних граней уклонений функций класса Н от их обобщенных инте-
гралов Пуассона );;(, xfP qs в равномерной метрике, т.е.
.);;()(sup))(;( ,,
C
C fPfPÍ qs
Íf
qs
E (4)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Для произвольного фиксированного модуля непрерывности )(t в
принятых выше обозначениях справедливо равенство
.
1
ln)2(
1
ln)2(
)1)(1(
)2(
1
ln
1
ln
)(
2
;
2
22
22
22
0
,
dt
kt
kt
s
kt
t
PH
k
q
Cqs
))(E(
(5)
30 ISSN 0572-2691
Доказательство. Преобразуем сначала ядро ),(, tK qs (см. (3)) обобщенного
интеграла Пуассона. Для этого, следуя работе [22], положим
.cos))1)(1(1(:),(, ktskk kq
qs (6)
Тогда согласно (6) ядро ),(, tK qs обобщенного интеграла Пуассона примет вид
.),()0(
2
1
),(
1
,,,
k
qsqsqs ktK (7)
Применив теперь к (7) формулу суммирования Пуассона (см., например, [23]), бу-
дем иметь
,)2,()0,(
2
1
2),(
1
,,,
k
qsqsqs kÔÔtK (8)
где dzzuzuФ qsqs cos),(
2
),(
0
,,
— косинус-преобразование Фурье функ-
ции ),(, zqs (см., например, [24]). Таким образом, из последнего соотношения
и формулы (6) получим, что
dzzuztszuФ zq
qs coscos))1)(1(1(
2
),(
0
,
dztuzsz zq )(cos))1)(1(1(
2
1
0
.)(cos))1)(1(1(
2
1
21 IIdztuzsz zq
(9)
Интегрируя дважды частями, имеем
.
)(
1
ln
1
ln
)(cos
22
0 ut
dztuzz
(10)
Аналогично (10), дважды интегрируя частями, можно убедиться в справедли-
вости равенства
,)(cos
1
ln
1
ln
1
ln2
1
)(
1
)(cos
0
2
22
2
2
0
dztuzz
p
p
tu
p
tu
dztuzz zz
поэтому
.
1
ln)(
1
ln)(
)(cos
2
22
22
0
ut
ut
dztuzz z (11)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 31
Из (10) и (11) следует, что
.
1
ln
1
ln)(
)1)(1(
)(
1
ln
1
ln
2
1
2
22
22
22
1
ut
ut
s
ut
I q
(12)
Точно так же, как и при вычислении интеграла 1I , можно показать, что
.
1
ln
1
ln
)1)(1(
)(
1
ln
1
ln
2
1
2
22
22
22
2
ut
ut
s
ut
I q (13)
Далее, подставляя (12) и (13) в правую часть (9), получаем
1
ln)(
1
ln
1
ln)(
1
ln
2
1
),(
2222
,
utut
uФ qs
.
1
ln)(
1
ln)(
1
ln)(
1
ln)(
)1)(1(
2
22
22
2
22
22
ut
ut
ut
ut
s q (14)
Из (8) и (14) следует, что
2
22
22
22
,
1
ln
1
ln
)1)(1(
1
ln
1
ln
),(
t
t
s
t
tK q
qs
1
ln)2(
1
ln
1
ln)2(
1
ln
221 22 ktktk
.
1
ln)2(
1
ln)2(
1
ln)2(
1
ln)2(
)1)(1(
2
22
22
2
22
22
kt
kt
kt
kt
s q
Таким образом, ядро обобщенного интеграла Пуассона примет вид
.
1
ln)2(
1
ln)2(
)1)(1(
)2(
1
ln
1
ln
),(
2
22
22
22
,
kt
kt
s
kt
tK q
k
qs (15)
32 ISSN 0572-2691
Прежде чем перейти к доказательству равенства (5), отметим, что согласно [25]
0),(, tK qs при всех ,10 и более того,
.1),(
1
,
dttK qs (16)
Поэтому в силу (2) и (16) будем иметь
.);())()((
1
);;()( ,, dttKtxfxfxfPxf qsqs
Далее, используя свойства определенного интеграла, положительности ядра
),(, tK qs обобщенного интеграла Пуассона, из соотношений (4) и (1) запишем
.),()(
1
)(; ,, dttKtPH qsCqs
)E( (17)
Кроме того, согласно (4) можно записать
.)0;;()0(sup; ,,
C
qs
Hf
Cqs fPfPH
))(E( (18)
Итак, поскольку в классе H существует 2 -периодическая функция, равная
)( t на промежутке ],;[ для которой неравенство (17) обращается в равен-
ство, и поскольку имеет место (18), то
.),()(
2
),()(
1
))(;(
0
,,, dttKtdttKtPH qsqsCqs
E
Наконец, подставив (15) в правую часть последнего равенства, получим
утверждение теоремы.
Доказанная выше теорема записана в виде точного равенства верхней грани
уклонения функций класса H от их обобщенных интегралов Пуассона. Но если
от классов H перейти к более «тонким» классам функций Гельдера ,1H то
можно получить более качественное решение задачи Колмогорова-Никольского
(4) для обобщенных интегралов Пуассона в равномерной метрике, которое имеет
более конкретное применение в прикладной математике.
Следствие 1. В принятых выше обозначениях при 01 имеет место
1
ln
1
ln)1)(1(
1
ln
2
))(;( ,
1 q
Cqs sPHE
1
ln4ln)1)(1(
1
ln
2 22qs
.
1
ln)1)(1(
2 2
Оs q
Доказательство. Положив в равенстве (5) ,)( tt будем иметь
dt
kt
kt
s
kt
t
PH
q
k
Cqs
2
22
22
0
22
,
1
1
ln2
1
ln)2(
)1)(1(
)2(
1
ln
1
ln
2
))(;(E
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 33
,
1
ln
1
ln
)1)(1(
1
ln
1
ln
)(
2
2
22
22
22
0
2 dt
t
t
s
t
t q
где 2)(t — четное 2 -периодическое продолжение функции ttf )( из ];0[ на
всю числовую ось.
Последнее соотношение запишем в виде
,))(;( 43,
1 IIPH Cqs E (19)
где
,
1
ln
1
ln
)1)(1(
1
ln
1
ln
2
2
0
2
22
22
22
3 dt
t
t
s
t
tI q
(20)
.
1
ln
1
ln
)1)((1(
1
ln
1
ln
)(
2
2
2
22
22
22
24 dt
t
t
s
t
tI q
(21)
Так как
,
1
ln4ln
2
1
1
ln
1
ln
1
ln
22
2
0
22
dt
t
t
1
1
ln4
1
1
1
ln
1
ln2
22
2
0
2
22
2
dt
t
t
то очевидно, что из (20)
1
ln4ln
1
ln
1
1
ln
1
ln
1
ln
2 22
3I
.
1
ln4ln
2
1
1
ln
1
ln)1)(1(
1
1
ln4
1
1)1)(1(
2 22
22
qq s
s (22)
Далее из (21) легко показать, что
.
1
24
ÎI (23)
Подставив (22) и (23) в правую часть равенства (19), убедимся в справедли-
вости следствия 1.
34 ISSN 0572-2691
Замечание. Так как )1(~
1
ln
при ,01 то можно сделать вывод, что
результат следствия 1 при 0s эквивалентен результатам работ [26, 27], а при
2
1
s 1q — результатам работ [28, 29] соответственно.
Заключение
В настоящей работе решена задача Колмогорова–Никольского для обобщен-
ного интеграла Пуассона на классах 2 -периодических функций, которые опре-
деляются с помощью первого модуля непрерывности.
Изучен сложный случай, когда для класса 2 -периодических функций H
получено точное равенство верхней грани уклонения функций класса H от их
обобщенных интегралов Пуассона. Более того, показано, что если от классов H
перейти к более «тонким» классам функций Гельдера ,1H то можно получить бо-
лее качественное решение задачи Колмогорова–Никольского (5) для обобщенных
интегралов Пуассона в равномерной метрике, которое имеет более конкретное
применение в прикладной математике, например для математической формализа-
ции в определенных типах в теории игр.
Результаты статьи представляют интерес как с точки зрения теории при-
ближения функций, так и с точки зрения игровых задач [30, 31] о сближении
траектории систем специальными множествами функций. Полученные резуль-
таты позволяют предложить новые математические модели теории управляе-
мых систем.
Ю.І. Харкевич
АПРОКСИМАТИВНІ ВЛАСТИВОСТІ
УЗАГАЛЬНЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ ПУАССОНА
НА КЛАСАХ ФУНКЦІЇ, ЯКІ ВИЗНАЧАЮТЬСЯ
ЗА ДОПОМОГОЮ МОДУЛЯ НЕПЕРЕРВНОСТІ
Одне з найважливіших завдань прикладної математики — вивчення різних
проблем природознавства, що в кінцевому підсумку призводить до складання
математичних моделей досліджуваних явищ. Більш того, ці математичні моделі
будуть представляти практичний інтерес тоді і тільки тоді, коли вони адекватно
відображають реальні ситуації. Часто досліджувані об’єкти надзвичайно склад-
ні. У таких випадках справжньою знахідкою може виявитися будь-який інший
метод отримання додаткової інформації про цю величину, що дозволяє знайти
її розв’язання хоча б наближено. У таких випадках доцільно використовувати
методи і підходи теорії наближення функцій, а саме асимптотичні оцінки. Тео-
рія наближення функцій має важливе значення, оскільки дає загальні підстави
для практичного обчислення функцій, для наближеної заміни складних функцій
функціями більш простими. В даному випадку важливу роль відіграє модуль
неперервності, який характеризує максимальний абсолютний приріст функції,
що досліджується, між точками області визначення. Також важливе значення
мають класи функцій, які визначаються модулем неперервності, зокрема класи
Гельдера. Досліджено питання знаходження точної верхньої межі відхилення
класів функцій, які визначаються за допомогою модуля неперервності першого
порядку, від узагальнених інтегралів Пуассона. Зокрема отримано асимпто-
тичні рівності для наближення функцій класів Гельдера їх узагальненими
інтегралами Пуассона. Тим самим показано, що перехід від класів ωH до
більш «тонких» класів функцій Гельдера 1H забезпечує більш якісний
розв’язок задачі Колмогорова–Нікольського для узагальнених інтегралів
Пуассона в рівномірній метриці, що безпосередньо застосувується в мате-
матичному моделюванні та в математичних формалізаціях в певних типах
задач в теорії ігор.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 35
Ключові слова: модуль неперервності, асимптотична рівність, клас Гельдера,
задача Колмогорова–Нікольського.
Yu.I. Kharkevych
APPROXIMATIVE PROPERTIES
OF THE GENERALIZED POISSON INTEGRALS
ON THE CLASSES OF FUNCTIONS, DETERMINED
BY A MODULUS OF CONTINUITY
One of the most important problems of applied mathematics is the study of various
problems of natural science, which ultimately leads to the compilation of mathemati-
cal models of the phenomena under study. Moreover, these mathematical models will
be of practical interest if and only if these models adequately reflect real situations.
Often the objects studied are extremely complex. In such cases, some other method
of obtaining additional information about this value may be a real find, allowing it to
be found at least approximately. In this position, it is advisable to use the methods
and approaches of the theory of approximation of functions, namely, the asymptotic
estimates. The theory of approximation of functions is important because it provides
general grounds for the practical calculation of functions, for the approximate re-
placement of complex functions by simpler ones. In this case, an important role is
played by the modulus of continuity, which characterizes the maximum absolute in-
crement of the function under study between the points of the domain of definition.
Also important are the classes of functions that are defined by the modulus of conti-
nuity, in particular, the Holder classes. In this paper, we study the problem of finding
the exact upper border of deviation of functions classes that are determined by a first
order modulus of continuity, from their generalized Poisson integrals. In a partial
case, the asymptotic equalities were obtained for an approximation of functions
from the Hölder classes by their generalized Poisson integrals. Thereby it is
shown, that a transition from classes ωH to the more susceptible Hölder classes
1H provides more qualitative solution of the Kolmogorov–Nikol’skii problem
for generalized Poisson integrals in the uniform metric, that has a direct applica-
tion in mathematical modeling and in mathematical formalizations in certain
types of problems in game theory.
Keywords: modulus of continuity, asymptotic equality, Hölder class, Kolmogorov–
Nikol’skii problem.
1. Chikrii A. A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of Steklov Institute of
Mathematics. 2010. 271, N 1. P. 69-85. DOI: 10.1134/s0081543810040073.
2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами М. :
Наука, 1977. 512 с.
3. Kharkevych Yu. I. Asymptotic expansions of upper bounds of deviations of functions of class rW
from their generalized Poisson integrals Journal of Automation and Information Sciences, 2018.
50, N 8. P. 38–49. DOI: 10.1615/jautomatinfscien.v50.i8.40.
4. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu. I. Complete asymptotics of the approximation of function from
the Sobolev classes by the Poisson integrals Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1.
P. 2336. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03.
5. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),( -differentiable functions defined
on the real axis by Abel-Poisson operators. Ukrainian Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315.
DOI: 10.1007/s11253-005-0262-z.
6. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by
their Abel-Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/
s11253-009-0196-y.
7. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes
. HW r Ukrainian Math. J. 2017. 68, N 11. — P. 1727–1740. DOI: 10.1007/s11253-017-1323-9.
8. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepanyuk T.A. On the approximation of the classes
HW r by
biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2018. 70, N 5. P. 625–634. DOI: 10.1007/
s11253-018-1528-6.
9. Степанец А.И. Методы теории приближения. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002.
Ч. І. 427 с.
36 ISSN 0572-2691
10. Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by
Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 2. P. 235–243. DOI:
10.12697/ACUTM.2018.22.19.
11. Zhyhallo T. V., Kharkevych Yu. I. Approximation of functions from the class .,
C by Poisson inte-
grals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI: 10.1007/s11253-010-0321-y.
12. Kharkevych Yu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the
classes .αHC
Mathematical Notes. 2014. 96, N 5–6. P. 1008–1019. DOI: 10.1134/
s0001434614110406.
13. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by opera-
tors generated by -methods of summation of their Fourier integrals. Ukrainian Math. J. 2004.
56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x.
14. Zhyhallo T.V. Approximation of functions holding the Lipschitz conditions on a finite segment of the
real axis by the Poisson-Chebyshev integral. Journal of Automation and Information Sciences . 2018.
50, N 5. P. 34–48. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i5.40.
15. Hembars’ka S. B., Zhyhallo K. M. Approximative properties of biharmonic Poisson inte-
grals on Hölder classes. Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 7. P. 1075–1084. DOI:
10.1007/s11253-017-1416-5.
16. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the
classes
1,L̂ . Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 5. P. 757–765. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8.
17. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo Т.V. Approximation of function from class
,Ĉ by Poisson
biharmonic operators in the unifom metric. Ukrainian Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798.
DOI: 10.1007/s11253-008-0093-9.
18. Kharkevych Yu. I., Kal’chuk I. V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for
classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J.
2007. 59, N 8. P. 1224–1237. DOI: 10.1007/s11253-007-0082-4.
19. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of conjugate differentiable functions by
biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 3. P. 399–413. DOI:
10.1007/s11253-009-0217-x.
20. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes
,C by bi-
harmonic Poisson integrals Ukrainian Math. J. 2011. 63, N 7. P. 1083–1107. DOI:
10.1007/s11253-011-0565-1.
21. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),( -differentiable functions of low
smoothness by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2012. 63, N 12. P. 1820–1844.
DOI: 10.1007/s11253-012-0616-2.
22. Baskakov V.A. Some properties of operators of Abel-Poisson type. Mathematical Notes. 1975.
17, N 2. P. 101–107.
23. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л. : Гостехиздат, 1948. 460 с.
24. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы . М. : Наука, 1973.
228 c.
25. Kharkevych Yu.I. On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson type in-
tegrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. P. 74–81. DOI:
10.1615/JAutomatScien.v49.i10.80.
26. Натансон И. П. О порядке приближения непрерывной 2 - периодической функции при
помощи ее интеграла Пуассона. Докл. АН СССР. 1950. 72. С.11–14.
27. Тиман А. Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых
функций интегралами Пуассона. Докл. АН СССР. 1950. 74. С. 17–20.
28. Каниев С. Об отклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений.
Доклады АН СССР. 1963. 153, № 5. С. 995–998.
29. Pych P. On biharmonic function in unit disk. Ann. pol. math. 1968. 20, N 3. P. 203–213.
30. Chikrii A.A., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in game problems of dynamics. Pro-
ceedings of Steklov Institute of Mathematics. 2015. 291. P. 56–65. DOI: 10.1134/
s0081543815090047.
31. Vlasenko L.A., Chikrii A.A. On a differential game in a system with dictributed parameters .
Proceedings of Steklov Institute of Mathematics. 2016. 292. P. 276–285. DOI: 10.1134/
s0081543816020243.
Получено 26.12.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180780 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:58:51Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Харкевич, Ю.И. 2021-10-18T18:50:06Z 2021-10-18T18:50:06Z 2019 Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 26-36. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180780 517.5 В настоящей работе решена задача Колмогорова–Никольского для обобщенного интеграла Пуассона на классах 2π-периодических функций, которые определяются с помощью первого модуля непрерывности. Досліджено питання знаходження точної верхньої межі відхилення класів функцій, які визначаються за допомогою модуля неперервності першого порядку, від узагальнених інтегралів Пуассона. Зокрема отримано асимптотичні рівності для наближення функцій класів Гельдера їх узагальненими інтегралами Пуассона. Тим самим показано, що перехід від класів Hω до більш «тонких» класів функцій Гельдера H¹ забезпечує більш якісний розв’язок задачі Колмогорова–Нікольського для узагальнених інтегралів Пуассона в рівномірній метриці, що безпосередньо застосувується в математичному моделюванні та в математичних формалізаціях в певних типах задач в теорії ігор. In this paper, we study the problem of finding the exact upper border of deviation of functions classes that are determined by a first order modulus of continuity, from their generalized Poisson integrals. In a partial case, the asymptotic equalities were obtained for an approximation of functions from the Hölder classes by their generalized Poisson integrals. Thereby it is shown, that a transition from classes Hω to the more susceptible Hölder classes H¹ provides more qualitative solution of the Kolmogorov–Nikol’skii problem for generalized Poisson integrals in the uniform metric, that has a direct application in mathematical modeling and in mathematical formalizations in certain types of problems in game theory. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности Апроксимативні властивості узагальнених інтегралів Пуассона на класах функції, які визначаються за допомогою модуля неперервності Approximative properties of the generalized Poisson integrals on the classes of functions, determined by a modulus of continuity Article published earlier |
| spellingShingle | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности Харкевич, Ю.И. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| title_alt | Апроксимативні властивості узагальнених інтегралів Пуассона на класах функції, які визначаються за допомогою модуля неперервності Approximative properties of the generalized Poisson integrals on the classes of functions, determined by a modulus of continuity |
| title_full | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| title_fullStr | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| title_full_unstemmed | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| title_short | Аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| title_sort | аппроксимативные свойства обобщенных интегралов пуассона на классах функций, определяемых с помощью модуля непрерывности |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180780 |
| work_keys_str_mv | AT harkevičûi approksimativnyesvoistvaobobŝennyhintegralovpuassonanaklassahfunkciiopredelâemyhspomoŝʹûmodulânepreryvnosti AT harkevičûi aproksimativnívlastivostíuzagalʹnenihíntegralívpuassonanaklasahfunkcííâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûmodulâneperervností AT harkevičûi approximativepropertiesofthegeneralizedpoissonintegralsontheclassesoffunctionsdeterminedbyamodulusofcontinuity |