Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований

Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований

Отличительной особенностью разработанного численно-аналитического метода интегрирования дифференциального уравнения движения космического аппарата на основе многомерных дифференциально-тейлоровских (ДТ)-преобразований является то, что расчет ускорений в дифференциальном уравнении движения КА проводи...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы управления и информатики
Дата:2019
Автор: Ракушев, М.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Теми:
Космические информационные технологии и системы
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180787
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180787
record_format dspace
spelling Ракушев, М.Ю.
2021-10-18T19:16:11Z
2021-10-18T19:16:11Z
2019
Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
0572-2691
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180787
629.783
Отличительной особенностью разработанного численно-аналитического метода интегрирования дифференциального уравнения движения космического аппарата на основе многомерных дифференциально-тейлоровских (ДТ)-преобразований является то, что расчет ускорений в дифференциальном уравнении движения КА проводится на основе ДТ-преобразований различной мерности, и при этом на основе многомерных ДТ-преобразований проводится расчет элементов, используемых далее в расчетах на основе одномерных ДТ-преобразований.
Запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування диференціального рівняння руху космічного апарата, який розроблено на основі багатовимірних диференціально-тейлорівських перетворень. Відмінною особливістю запропонованого методу є розрахунок прискорень в диференціальному рівнянні руху космічного апарата на основі диференціально-тейлорівських перетворень різної мірності, а саме: прискорень від консервативних сил (геопотенціалу) — на основі двовимірних диференціально-тейлорівських перетворень, а прискорень від неконсервативних сил (опір атмосфери, притягання Місяця, Сонця, переносна відцентрова сила, сила інерції Коріоліса) — на основі одновимірних диференціально-тейлорівських перетворень. Такий підхід зменшує необхідні аналітичні викладки при заданні диференціального рівняння руху космічного апарата, що забезпечує методичну уніфікацію процесу розробки процедур прогнозування руху космічних апаратів. Наводяться результати порівняння обчислювальної складності запропонованого методу інтегрування з відомим на основі одновимірних диференціально-тейлорівських перетворень.
A numerical-analytical method for integrating the differential equation of spacecraft motion, developed on the basis of multidimensional differential-Taylor transformations, is presented. A distinctive feature of the proposed method is the calculation of accelerations in the differential equation of spacecraft motion based on differential-Taylor transformations of different dimensions, namely: accelerations produced by conservative forces (geopotential) based on two-dimensional differential-Taylor transformations, and accelerations produced by non-conservative forces (atmospheric drag, gravity of the Moon and the Sun, centrifugal force, Coriolis force) — based on one-dimensional differential-Taylor transformations. Such an approach reduces the necessary number of analytical calculations when specifying the differential equation of spacecraft motion, which ensures a methodical unification of the process of developing procedures for predicting spacecraft motion. The results of comparing the computational complexity of the proposed method of integration with a well-known method based on one-dimensional differential-Taylor transformations are presented.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Проблемы управления и информатики
Космические информационные технологии и системы
Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
Метод прогнозування руху космічних апаратів на основі багатовимірних диференціально-тейлорівських перетворень
Method for prediction of space vehicle motion based on the multidimensional differential-Taylor transformations
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
spellingShingle Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
Ракушев, М.Ю.
Космические информационные технологии и системы
title_short Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
title_full Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
title_fullStr Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
title_full_unstemmed Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
title_sort метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований
author Ракушев, М.Ю.
author_facet Ракушев, М.Ю.
topic Космические информационные технологии и системы
topic_facet Космические информационные технологии и системы
publishDate 2019
language Russian
container_title Проблемы управления и информатики
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Метод прогнозування руху космічних апаратів на основі багатовимірних диференціально-тейлорівських перетворень
Method for prediction of space vehicle motion based on the multidimensional differential-Taylor transformations
description Отличительной особенностью разработанного численно-аналитического метода интегрирования дифференциального уравнения движения космического аппарата на основе многомерных дифференциально-тейлоровских (ДТ)-преобразований является то, что расчет ускорений в дифференциальном уравнении движения КА проводится на основе ДТ-преобразований различной мерности, и при этом на основе многомерных ДТ-преобразований проводится расчет элементов, используемых далее в расчетах на основе одномерных ДТ-преобразований. Запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування диференціального рівняння руху космічного апарата, який розроблено на основі багатовимірних диференціально-тейлорівських перетворень. Відмінною особливістю запропонованого методу є розрахунок прискорень в диференціальному рівнянні руху космічного апарата на основі диференціально-тейлорівських перетворень різної мірності, а саме: прискорень від консервативних сил (геопотенціалу) — на основі двовимірних диференціально-тейлорівських перетворень, а прискорень від неконсервативних сил (опір атмосфери, притягання Місяця, Сонця, переносна відцентрова сила, сила інерції Коріоліса) — на основі одновимірних диференціально-тейлорівських перетворень. Такий підхід зменшує необхідні аналітичні викладки при заданні диференціального рівняння руху космічного апарата, що забезпечує методичну уніфікацію процесу розробки процедур прогнозування руху космічних апаратів. Наводяться результати порівняння обчислювальної складності запропонованого методу інтегрування з відомим на основі одновимірних диференціально-тейлорівських перетворень. A numerical-analytical method for integrating the differential equation of spacecraft motion, developed on the basis of multidimensional differential-Taylor transformations, is presented. A distinctive feature of the proposed method is the calculation of accelerations in the differential equation of spacecraft motion based on differential-Taylor transformations of different dimensions, namely: accelerations produced by conservative forces (geopotential) based on two-dimensional differential-Taylor transformations, and accelerations produced by non-conservative forces (atmospheric drag, gravity of the Moon and the Sun, centrifugal force, Coriolis force) — based on one-dimensional differential-Taylor transformations. Such an approach reduces the necessary number of analytical calculations when specifying the differential equation of spacecraft motion, which ensures a methodical unification of the process of developing procedures for predicting spacecraft motion. The results of comparing the computational complexity of the proposed method of integration with a well-known method based on one-dimensional differential-Taylor transformations are presented.
issn 0572-2691
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180787
citation_txt Метод прогнозирования движения космических аппаратов на основе многомерных дифференциально-тейлоровских преобразований / М.Ю. Ракушев // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT rakuševmû metodprognozirovaniâdviženiâkosmičeskihapparatovnaosnovemnogomernyhdifferencialʹnoteilorovskihpreobrazovanii
AT rakuševmû metodprognozuvannâruhukosmíčnihaparatívnaosnovíbagatovimírnihdiferencíalʹnoteilorívsʹkihperetvorenʹ
AT rakuševmû methodforpredictionofspacevehiclemotionbasedonthemultidimensionaldifferentialtaylortransformations
first_indexed 2025-11-25T22:15:20Z
last_indexed 2025-11-25T22:15:20Z
_version_ 1850561203981516800
fulltext © М.Ю. РАКУШЕВ, 2019 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 111 УДК 629.783 М.Ю. Ракушев МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО- ТЕЙЛОРОВСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Ключевые слова: прогнозирование движения, космический аппарат, чис- ленно-аналитический метод интегрирования, многомерные дифференциаль- но-тейлоровские преобразования. Введение Эксплуатация космической системы невозможна без сложного программного обеспечения, одно из центральных мест в котором занимает процедура прогнози- рования движения космического аппарата (КА) [1, 2]. К основным требованиям, выдвигаемым к процедуре прогнозирования движения КА, относится [1]: высокая точность, абсолютная достоверность, оперативность, максимальная отработка ис- пользуемых методов; соответствие методов, алгоритмов и программ техническим характеристикам ЭВМ. Необходимо добавить требования по стоимости разработ- ки таких процедур, их унификации, а также гибкости при их усовершенствовании или изменении [2]. Задача прогнозирования движения КА — это задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и численные методы интегрирова- ния таких уравнений являются основными для ее высокоточного решения [3]. В отечественной практике для решения задачи прогноза движения КА ближнего космоса наибольшее распространение получили конечно-разностные методы: не- явные Адамса и явные Рунге–Кутта [1, 3]. Если рассмотреть последние исследования по внедрению нетрадиционных для задач баллистики КА методов интегрирования обыкновенных дифференци- альных уравнений для решения вышеописанной задачи прогноза, то можно отме- тить, что одним из перспективных является метод дифференциально-тейлоровс- ких (ДТ) преобразований [4–8]. Характерная особенность всех существующих подходов к прогнозированию движения КА заключается в том, что численный метод (как конечно-разностный, так и ДТ-преобразования) используется только для интегрирования предвари- тельно аналитически полученного дифференциального уравнения движения КА. При этом некоторые члены такого уравнения имеют довольно громоздкую форму, прежде всего это относится к учету влияния геопотенциала. Определение таких «громоздких» членов — отдельная задача, для решения которой используются аналитические методы, что усложняет процесс разработки процедур прогнозиро- вания. В [7, 8] на основе многомерных ДТ-преобразований разработаны методы, в которых производится расчет частных производных от правой части дифферен- циального уравнения. Однако в этих методах многомерные ДТ-преобразования используются только как расширение решенной задачи интегрирования одно- мерными ДТ-преобразованиями, что не позволяет использовать их для выше- описанного учета геопотенциала. Все другие известные подходы по применению ДТ-преобразований для инте- грирования дифференциальных уравнений (как обыкновенных , так и частных 112 ISSN 0572-2691 производных) используют ДТ-преобразования с мерностью, не превышающей числа независимых переменных исходного дифференциального уравнения [4, 6]. Это полностью соответствует подходам, предложенным Г.Е. Пуховым. Описан- ное также сводиться к тому, что ДТ-преобразования применяются только для ин- тегрирования аналитически записанного дифференциального уравнения. Таким образом, цель статьи — разработка метода интегрирования дифферен- циального уравнения движения КА на основе многомерных ДТ-преобразований, в котором ускорения от геопотенциала рассчитываются в численно-аналитической форме в области ДТ-спектров. Унифицированный метод прогнозирования движения космических аппаратов Без потери общности рассмотрим задачу прогноза движения КА в гринвич- ской прямоугольной системе координат (ГСК). Движение КА в этой системе можно представить как движение материальной точки в поле притяжения Земли под действием сил, определяемых потенциалом ,U и совокупности неконсерва- тивных (не имеющих потенциала) сил G [1, 3]: G w U dt wd     2 2 при ),( 00 tww  ),( 00 tvw  (1) где ,)( Tzyxw  T)( zyx vvvv  — векторы положения и скорости КА в ГСК; t — время; ,0x ,0v 0t — начальные значения положения, скорости и вре- мени; ),(wUU  wU  / — потенциал Земли (геопотенциал) и его градиент; ),,( wwtGG  — неконсервативные силы. Последнее слагаемое в (1) учитывает сопротивление атмосферы, притяжение Луны и Солнца, световое давление, а также включает ускорения от переносной центробежной силы и силы инерции Кориолиса. При прогнозировании движения КА наиболее распространенной формой записи геопотенциала является его разложение в ряд по сферическим функциям [1, 3, 5, 9, 10]:                         N n n n n P r r C r U 2 3 0 3 )(sin1 ,))sin()cos()((sin 2 1 3                        N n n m nmnm m n n mdmCP r R (2) где ,3 3r — гравитационный параметр и средний экваториальный радиус Земли; ,r ,  — геоцентрический радиус, широта и долгота рассматриваемой точки; ),(sinnP )(sinm nP — сферические и присоединенные сферические функции; ,0nC ,nmC nmd — безразмерные постоянные, характеризующие гравитационное поле и форму Земли. Разработаны модели геопотенциала с коэффициентами до 320-й ступени [3]. Аналитическое определение ускорений от геопотенциала (2) для модели движения КА (1) — расчет градиента ,/ wU  проводиться в последовательности [1, 3, 9]. Определяются проекции полученных ускорений на оси ГСК:                            N n n n n n r P r r Cn rr U b 2 3 02 3 )(sin)1(1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 113 ,))sin()cos()((sin)1( 2 1 3                        N n n m nmnm m n n mdmCP r r n (3)                           N n n n n n P r r C r U r b 2 3 02 3 cos)(sin 1 ,))sin()(cos(cos)(sin 2 1 /3                        N n n m nmnm m n n mdmCP r r (4) ,))(cos)(sin( cos )(sin cos 1 2 1 3 2 3                            N n n m nmnm m n n n mdmC P r r m r U r b (5) где ,rb ,b b — радиальное, меридианное и нормальное ускорения КА; ),(sinnP )(sin / m nP — производные от сферических и присоединенных сфери- ческих функций. Определяются проекции полученных ускорений на оси ГСК:                         Ω cos sin g λg λg z y x r g w U λ λ r при ,tg bbg rr , cos    b g , bg (6) где ,rg ,g g — дополнительные обозначения. Для эффективного расчета сферических и присоединенных сферических функций, а также их производных используются рекуррентные зависимости: ),)(sinsin)12()(sin)1(( 1 )(sin 12   nnn PnPn n P (7)                    cos )(sin sin)12( cos )(sin )1( 1 cos )(sin 12 m n m n m n P n P mn mn P , (8) , cos )(sin cos)12( cos )(sin 1 1        m m m m P m P (9) ),(sin)(sinsin)(sin 11   nnn nPPP (10)        cos )(sin )1( cos )(sin sin)1(cos)(sin 1/ m n m nm n P mn P nP (11) с начальными значениями ,1)(sin)(sin 10  PP ,sin)(sin1 P ,1 cos )(sin1    m mP .1 cos )(sin1 1   P Для расчета тригонометрических функций используются зависимости ,cos 22 r yx   ,sin r z  ,tg 22 yx z   114 ISSN 0572-2691 ,cos 22 yx x   .sin 22 yx y   Конечные формулы для расчета ускорений в (1) от геопотенциала (2) описы- ваются выражениями, которые по сравнению с выражением для исходного геопо- тенциала (2) более громоздки и соответственно менее удобны для использования. Так, к формулам расчета сферических и присоединенных сферических функций (7)–(9) добавляются формулы для их производных (10), (11), а также вводятся до- полнительные ускорения (3)–(6). Таким образом, уменьшение количества допол- нительных аналитических выкладок целесообразно для прогнозирования движе- ния КА, и его реализация обеспечит методическую унификацию разработки про- цедур прогнозирования. Двумерными ДТ-преобразованиями называют функциональные преобразова- ния [4, 5] , ),( !! ),( w ww kk kk w k w k w wt wtq kk hh kkQ                       0 0 ),( )()( ),( w w w k k wk w k k k kkQ h ww h tt wtq , (12) где ),( wtq — скалярная функция, имеющая производные необходимого порядка по t и ;w ,t w — скалярные аргументы; ,t w — значения аргументов, при ко- торых проводится преобразование; ,h wh — отрезки аргументов, на которых ),( wtq представляется рядом Тейлора по t и w соответственно; ,k wk — целочис- ленные аргументы 0, 1,…; ),( wkkQ — дискретная функция по аргументам ,k .wk В (12) первое выражение задает прямое, а второе — обратное ДТ-преобразо- вание. ДТ-изображение ),( wkkQ называют Т-спектром, а значения — Т-дис- кретами [4]. Основное свойство ДТ-преобразований — реализация рекуррентного, мето- дически простого (численно-аналитического) определения членов ряда Тейлора любого порядка при отсутствии методических ошибок, которое можно сформули- ровать так: для определения (расчета) Т-спектра сложной функции необходимо соответственно ее внутренней структуре задать Т-спектры всех ее аргументов, при этом мерность Т-спектров аргументов должна совпадать с мерностью опреде- ляемого Т-спектра [4, 5]. Ниже приведено пояснение описанного свойства на примере одномерных ДТ-преобразований. Так, если функция )),(),(( ttztyq имеет Т-спектр (функция q разлагается в ряд Тейлора по степеням переменного ),t известны Т-спектры ее аргументов ),(kY )(kZ и внутренняя структура функции ),,,( tzyq то примене- ние ДТ-преобразований к )),(),(( ttztyq дает Т-спектр )).(),(),(()( kTkZkYQkQ  Обозначенное свойство опирается на порядок получения производных слож- ной функции. Так, пусть функция )),(),(( ttztyq дифференцируема по своим ар- гументам. Ее аргументы — функции ),(ty )(tz — дифференцируемы по .t Тогда имеет место соотношение , ),,()(),,()(),,()),(),(( t tzyq dt tzd z tzyq dt tyd y tzyq dt ttztydq          (13) где ytzyq  /),,( — частная производная, при получении которой для функции ),,( tzyq полагается, что y — переменный аргумент, а z и t — постоянные; Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 115 ztzyq  /),,( полагается z переменным, y и t — постоянные; ttzyq  /),,( — t переменные, y и z — постоянные. С учетом описанного свойства применим ДТ-преобразования к )(wU в виде ))(()( ww kWUkU  при  wkW w )0( и 33)1(  EhkW ww (14) или с учетом раскрытия векторно-матричных обозначений : })1(,0)1(,0)1({:))(),(),(( }0)1(,)1(,0)1({:))(),(),(( }0)1(,0)1(,)1({:))(),(),((                wwww wwww wwww hZYXkZkYkXU ZhYXkZkYkXU ZYhXkZkYkXU },)0(,)0(,)0({:   zZyYxX (15) где ),( wkU ),( wkW ),( wkX ),( wkY )( wkZ — Т-спектры геопотенциала, вектора w и его элементов; ,w ,x ,y z — значения вектора w и его элементов, для ко- торых рассчитывается Т-спектр; 33E — единичная матрица; wh — отрезок по элементам .w С учетом прямого ДТ-преобразования в (12) рассмотрим Т-дискрету в (15) при :1wk . )( )1( w wU hkU ww     (16) Выражение (16) является с точностью до множителя wh искомым градиентом. Таким образом, для получения искомого градиента необходимо, в соответствии со свойствами ДТ-преобразований [4, 5], провести дифференцирование (16) по :wk ).1( 1 )}1({ )( U h kUD w wU w wkw     (17) Поскольку введенный в (15) отрезок аргумента wh в (17) сокращается, при определении градиента его целесообразно задать .1wh (18) Таким образом, (14), (17) при (18) является Т-спектром искомого градиента геопотенциала — составляющего уравнения (1). С учетом свойств ДТ-преобразований получим метод интегрирования диф- ференциального уравнения движения КА на основе многомерных ДТ-преобразо- ваний, на базе которого запишем явную вычислительную ДТ-схему интегрирова- ния (1), в которой Т-спектр градиента определяется двумерными ДТ-преобра- зованиями (14), (17) при (18):                          }.)2(0{:))()1,(( )1)(2( )0,2( )),(),0,(),(()( ),0,1( 1 )( },10{:)),((),( ),()1,(),()0,1(),()0,0( ),1()()( max 2 33 kkkGkU kk h kW kWkWkTGkG kW h k kW kkkWUkkU kEkWtwhWtwW khktkT i i www Tiii TiTi      (19) 116 ISSN 0572-2691 ,1 iii htt  ),0,()( max 0 1 kWtw k k i     ).()( 1 0 1 max kWtw k k i       (20) Здесь ),( 1itw )( 1itw — спрогнозированное положение и скорость КА; ,ih i — шаг интегрирования и узел вычислительной сетки; ),,( wkkW ),( wkkU — двумер- ные Т-спектры вектора w и геопотенциала ;U ),(kW ),(kG )(kT — одномерные Т-спектры скорости КА, неконсервативных сил и независимого переменного диф- ференциального уравнения ;t maxk — порядок точности интегрирования (опреде- ляется количеством учитываемых при восстановлении Т-дискрет); )(kT —тейло- ровская единица, «теда»       .при0 ,при1 )( ak ak akT Основным свойством разработанного метода (19), (20) является то, что в нем определение ускорений от геопотенциала (2) — градиента ,/ wU  проводится в численно-аналитическом виде в области Т-спектров, что обеспечивает методиче- скую унификацию его реализации в сравнении с традиционным (аналитическим) подходом [1, 3, 9]. Для иллюстрации реализации разработанного метода (19), (20) рассмотрим пример, в котором в дифференциальном уравнении движения КА (1) учитывается геопотенциал (2) для сферической Земли, переносная центробежная сила и сила инерции Кориолиса. Описанная задача прогноза в обозначениях (1) имеет вид                                     0 Ω 0 ν ν Ω2)( 2 33 3 2 2 y x rw z y x dt d x y при            z y x w , ,222 zyxr  (21) а с проведенными аналитическими операциями по определению градиента —                                             0 Ω 0 ν ν Ω2 2 333 3 2 2 y x z y x r z y x dt d x y , (22) где 3 — угловая скорость вращения Земли. Традиционная ДТ-схема интегрирования (22) одномерными ДТ-преобразо- ваниями имеет вид:                                                                          },)2(0{: )( )( )1)(2( )2( ,)()(2 )( )( )1)(2( )2( ,)()(2 )( )( )1)(2( )2( ),1( 1 )(),1( 1 )(),1( 1 )( ),()()(),()( ),()()()()()()( ),0()1(),0()1(),0()1(),()0( ),()0(),()0(),()0(),()0(),()0( max3 3 2 2 333 3 2 2 333 3 2 232/12 2 kk kR kZ kk h kZ kYkV kR kY kk h kY kXkV kR kX kk h kX kZ h k kVkY h k kVkX h k kV kRkRkRkRkR kZkZkYkYkXkXkR VhZVhYVhXtvV tvVtvVtzZtyYtxX i x i y i i z i y i x ziyixiizz iyyixxiii  (23) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 117 ,1 iii htt  ,)()( max 0 1     k k i kXtx     max 0 1 ),()( k k i kYty ,)()( max 0 1     k k i kZtz ),()( 1 0 1 max kVtv x k k ix      ),()( 1 0 1 max kVtv y k k iy      ),()( 1 0 1 max kVtv z k k iz      (24) где , , 2/1 для области одномерных ДТ-спектров обозначают операции умно- жения, деления и взятия квадратного корня, например для следующих функций: )()()( tutstq  выполняется ;)()()()( 0    k l lUlkSkUkS  )( )( )( tu ts tq ; )0( )()()( )( )( )( 1 U lUlkQkS kU kS kQ k l      )()( tstq               .0при )0( )()()( 2 1 ,0при)0( )( 1 1 k Q lSlkQkS kS kQ k l ДТ-схема интегрирования (21) многомерными ДТ-преобразованиями на ос- нове (19), (20) имеет вид:                                                                            },)2(0{:ïðè)1,( )1)(2( )0,2( ,ïðè))()(2)1,(( )1)(2( )0,2( ,ïðè))()(2)1,(( )1)(2( )0,2( ),0,1( 1 )(),0,1( 1 )(),0,1( 1 )( },10{: ),( ),(),,(),( ),,(),(),(),(),(),(),( ,äëÿòðåòèé ,äëÿâòîðîé,äëÿïåðâûé :èçñòîëáöàìïî),(ðàñ÷åò , 0ïðè0 0ïðè )1,( )1,( )1,( ),0()1(),0()1(),0()1( ),()0(),()0(),()0( ),()0(),()0(),()0( max 2 2 33 2 2 33 2 3 212 2 33 33 kkzkU kk h kZ ykYkVkU kk h kY xkXkVkU kk h kX kZ h k kVkY h k kVkX h k kV k kkR kkUkkRkkR kkZkkZkkYkkYkkXkkXkkR z yx EkkU k kE kZ kY kX VhZVhYVhX tvVtvVtvV tzZtyYtxX i x i y i i z i y i x w w www wwwwwww w ziyixi izziyyixx iii   (25) ,1 iii htt      max 0 1 ),0,()( k k i kXtx ,)0,()( max 0 1     k k i kYty ,)0,()( max 0 1     k k i kZtz 118 ISSN 0572-2691 ),()( 1 0 1 max kVtv x k k ix      ),()( 1 0 1 max kVtv y k k iy      ),()( 1 0 1 max kVtv z k k iz      (26) где ,  , 2/1 для области двумерных ДТ-спектров обозначают операции умножения, деления и взятия квадратного корня, например для функций ),(),(),( wtuwtswtq  выполняется ;),(),(),(),( 0 0      w w k l k l wwwww llUlklkSkkUkkS  ),( ),( ),( wtu wts wtq ; )0,0( )0,(),(),(),(),( ),( 1 1 1 0 Q lUklkQllUlklkQkkS kkQ k l w k l k l wwww w w w           ),(),(),( wkkQwtswtq                            .0и0при )0,0(2 )0,(),(2),(),(),( ,0и0при )0,0(2 )0,()0,()0,( ,0и0при)0,0( 10 1 1 1 1 w w k l www k l k l w w k l w kk Q lQklkQllQlklkQkkS kk Q lQlkQkS kkS w w На примере уравнений (21) и (22) и соответственно их ДТ-схем видно, что разработанный метод определяет ускорения от геопотенциала численно-аналити- чески в области ДТ-спектров. Такой подход уменьшает необходимые аналитиче- ские выкладки при реализации прогноза и соответственно иллюстрирует методи- ческую унификацию процесса разработки процедур прогнозирования движения КА на его базе. Точность (ошибка аппроксимации) разработанной ДТ-схемы (25), (26) экви- валентна точности традиционной ДТ-схемы (23), (24) и определяется количеством учтенных Т-дискрет при восстановлении maxk [11]. Это обусловлено свойствами ДТ-преобразований, которые позволяют без методических ошибок определять в области Т-спектров градиент ,/ wU  что обеспечивает равенство (одинаковость) Т-спектров правой части исходного дифференциального уравнения, определенного традиционным (22) и разработанным методом (21). Приведенный вывод в отно- шении ошибки аппроксимации полностью переносится на общую ДТ-схему (19), (20), порядок точности которой — .maxk Оценку вычислительной сложности разработанной ДТ-схемы для прогнози- рования движения КА (19), (20) в сравнении с традиционным (аналитическим) подходом приведено в таблице, где SS / ~ — отношение вычислительных затрат (умножений и делений) в разработанной ДТ-схеме к вычислительным затратам в традиционной ДТ-схеме [5]; N  N — принятая модель гравитационного поля Земли (2) (первый столбец соответствует ДТ-схемам (23), (24) и (25), (26)). Результа- ты приведены для порядков точности интегрирования ДТ-схем ,205max k шаг Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 2 119 интегрирования ih 20–500 с. В модели движения КА (1) для неконсервативных сил G учтены переносная центробежная сила и сила Кориолиса. Таблица N N — 2  2 4  4 8  8 16  16 360  360 S / S 3,5…3,7 3,4…3,7 3,0…3,4 2,7…3,0 2,5…2,7 2,1…2,3 Из приведенных результатов видно, что разработанный подход требует в 2–4 ра- за больших вычислительных затрат на прогноз движения КА, что является объек- тивной «платой» за методическую унификацию реализации прогноза. При этом описанная «унификация» положительно проявляется при разработке процедуры прогнозирования движения КА. Так, количество операторов в программе по рас- чету ускорений от геопотенциала для разработанной ДТ-схемы (19), (20) на 40 % меньшее по сравнению с традиционным (аналитическим) подходом. Следует отметить, что для более полных моделей движения КА, при допол- нительном учете неконсервативных сил от сопротивления атмосферы, притяже- ния Луны и Солнца, светового давления, возрастание вычислительных затрат на прогноз разработанным методом (характеристика SS / ~ таблица) будет умень- шаться и в пределе описанное «ухудшение вычислительных характеристик» прак- тически не будет проявляться. Несмотря на то, что все выкладки приведены для модели движения КА в ГСК, разработанный метод применим и для моделей движения КА в других си- стемах координат, например в системе оскулирующих элементов. Это обусловле- но тем, что расчет (учет) возмущений от геопотенциала для любой модели движе- ния КА проводится именно в ГСК. Заключение Отличительной особенностью разработанного численно-аналитического метода интегрирования дифференциального уравнения движения КА на основе многомерных ДТ-преобразований является то, что расчет ускорений в диффе- ренциальном уравнении движения КА проводится на основе ДТ-преобразований различной мерности, и при этом на основе многомерных ДТ-преобразований проводится расчет элементов, используемых далее в расчетах на основе одномер- ных ДТ-преобразований. Разработанный метод может использоваться и для решения других задач динамики (отличных от задачи прогноза движения КА), если в состав рассматри- ваемой модели (дифференциального уравнения) входят потенциальные (консер- вативные) силы. В целом за счет уменьшения выкладок при задании дифференциального уравнения движения КА, и как следствие, сокращения количества операторов в процедуре интегрирования такого уравнения, представленный метод обеспечива- ет методическую унификацию процесса разработки процедур прогнозирования движения КА. М.Ю. Ракушев МЕТОД ПРОГНОЗУВАННЯ РУХУ КОСМІЧНИХ АПАРАТІВ НА ОСНОВІ БАГАТОВИМІРНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО- ТЕЙЛОРІВСЬКИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ Запропоновано чисельно-аналітичний метод інтегрування диференціального рівняння руху космічного апарата, який розроблено на основі багатовимірних диференціально-тейлорівських перетворень. Відмінною особливістю запропо- нованого методу є розрахунок прискорень в диференціальному рівнянні руху космічного апарата на основі диференціально-тейлорівських перетворень різної мірності, а саме: прискорень від консервативних сил (геопотенціалу) — на ос- нові двовимірних диференціально-тейлорівських перетворень, а прискорень від неконсервативних сил (опір атмосфери, притягання Місяця, Сонця, переносна 120 ISSN 0572-2691 відцентрова сила, сила інерції Коріоліса) — на основі одновимірних диферен- ціально-тейлорівських перетворень. Такий підхід зменшує необхідні аналітичні викладки при заданні диференціального рівняння руху космічного апарата, що забезпечує методичну уніфікацію процесу розробки процедур прогнозування руху космічних апаратів. Наводяться результати порівняння обчислювальної складності запропонованого методу інтегрування з відомим на основі однови- мірних диференціально-тейлорівських перетворень. Ключові слова: прогнозування руху, космічний апарат, чисельно-аналітичний метод інтегрування, багатовимірні диференціально-тейлорівські перетворення. M.Yu. Rakushev METHOD FOR PREDICTION OF SPACE VEHICLE MOTION BASED ON THE MULTIDIMENSIONAL DIFFERENTIAL-TAYLOR TRANSFORMATIONS A numerical-analytical method for integrating the differential equation of spacecraft motion, developed on the basis of multidimensional differential-Taylor transfor- mations, is presented. A distinctive feature of the proposed method is the calculation of accelerations in the differential equation of spacecraft motion based on differen- tial-Taylor transformations of different dimensions, namely: accelerations produced by conservative forces (geopotential) based on two-dimensional differential-Taylor transformations, and accelerations produced by non-conservative forces (atmospheric drag, gravity of the Moon and the Sun, centrifugal force, Coriolis force) — based on one-dimensional differential-Taylor transformations. Such an approach reduces the necessary number of analytical calculations when specifying the differential equation of spacecraft motion, which ensures a methodical unification of the process of devel- oping procedures for predicting spacecraft motion. The results of comparing the computational complexity of the proposed method of integration with a well-known method based on one-dimensional differential-Taylor transformations are presented. Keywords: motion prediction, space vehicle, numerical-analytical method for inte- grating, multidimensional differential-Taylor transformations. 1. Мамон П.А., Половников В.И., Слезкинский С.К. Баллистическое обеспечение космиче- ских полетов. Л. : ВИКИ, 1990. 622 с. 2. Wertz J.R. Space mission analysis and design. Microcosm Press. 3-rd Ed. 1999. 969 p. 3. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Ана- литические и численные методы. Томск : Томский гос. ун-т, 2007. 178 с. 4. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физиче- ских процессов. Киев : Наук. думка, 1986. 159 с. 5. Ракушев М.Ю. Прогнозування руху космічних апаратів на основі диференціально-тейло- рівських перетворень. Житомир : Видавець О.О. Євенок, 2015. 224 с. ISBN 978-617-7265-43-5. 6. Raslan K R., Biswas A., Zain F. Abu Sheer. Differential transform method for solving partial dif- ferential equations with variable coefficients. International Journal of Physical Sciences. 2012 7(9). P. 1412–1419. http://www.academicjournals.org/IJPS. 7. Rakushev M.Yu. Numerical method of integrating the variational equations for Cauchy problem based on differential transformations. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. 47, N 9. P. 63–75. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i9.6. 8. Rakushev M.Yu. Prediction of spacecraft motion according to a stochastic model based on differ- ential transformations. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. P. 20–35. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.30 9. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М. : Сов. радио, 1978. 384 с. 10. Система геодезических параметров Земли «Параметры Земли 1990 года» (ПЗ-90). В.Ф. Галазин, Б.Л. Каплан, М.Г. Лебедев, В.Г. Максимов и др. М. : Координационный научно-информационный центр, 1998. 40 с. 11. Кравченко Ю.В., Ракушев М.Ю., Судніков Є.О., Ушаков І.В. Ефективність обчислюваль- них схем інтегрування звичайних диференціальних рівнянь на основі диференціально- тейлорівських перетворень. Сучасні інформаційні технології у сфері безпеки та оборони. 2014. № 2 (20). С. 65–74. Получено 19.03.2018 После доработки 03.03.2019

Схожі ресурси