Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена
Разработанная конвективно-диффузионная математическая модель дробно-дифференциальной динамики растворимых загрязняющих веществ в подземном фильтрационном потоке позволяет в процессе моделирования изучаемого явления учитывать влияние как эффектов памяти среды, так и влияние процессов межфазного массо...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180796 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий// Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 41-53. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859812652565397504 |
|---|---|
| author | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. |
| author_facet | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. |
| citation_txt | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий// Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 41-53. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Разработанная конвективно-диффузионная математическая модель дробно-дифференциальной динамики растворимых загрязняющих веществ в подземном фильтрационном потоке позволяет в процессе моделирования изучаемого явления учитывать влияние как эффектов памяти среды, так и влияние процессов межфазного массообмена на динамику аномальных процессов переноса в насыщенных грунтовых массивах. Игнорирование как аномальных свойств процессов миграции, так и влияние межфазного массообмена в рамках моделирования конвективно-диффузионной динамики растворимых веществ при решении задач разработки инженерных решений может привести к ошибкам в прогнозах степени безопасности указанных объектов и к отрицательным последствиям для экологического состояния окружающей среды.
Розглянуто задачу моделювання динаміки локально-нерівноважного в часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній сталій фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею з урахуванням наявності міжфазного масообміну. Актуальність розв’язання таких задач обумовлена, зокрема, питаннями розробки заходів з промивки ґрунтів, а також з опріснення та очищення ґрунтових вод від забруднюючих речовин. Для математичного моделювання відповідних процесів переносу в середовищах, що мають властивості часової нелокальності, в роботі застосовується апарат інтегродиференціювання дробового порядку. Розроблено відповідну нелінійну дробово-диференціальну математичну модель міграційного процесу із залученням узагальненої похідної дробового порядку Капуто–Катугампола від функції по іншій функції, що дозволяє в деякому сенсі управляти процесом моделювання. В рамках цієї моделі, нерівноважний процес конвекції–дифузії в пористому середовищі розглядається за умов наявності масообміну. Для запропонованої математичної моделі виконано постановку відповідної крайової задачі та розроблено методику її чисельного розв’язання.
The paper deals with the problem of modeling the dynamics of locally nonequilibrium in time process of soluble substances convective diffusion under the conditions of flat-vertical steady-state groundwater filtration with free surface taking into account the presence of interfacial mass transfer. The urgency of solving such problems is due, in particular, to the need for the development of measures for soil flashing, as well as desalination and purification of groundwater from pollutants. For mathematical modeling of the corresponding transfer processes in media with a property of temporal non-locality, the apparatus of fractional-order integro-differentiation is used in the paper. A corresponding nonlinear fractional differential mathematical model of the migration process has been developed with the involvement of Caputo–Katugampola generalized fractional order derivative of a function with respect to another function, which allows in a certain sense to control the modeling process. In this model, the nonequilibrium convection-diffusion processes in porous media are considered under the conditions when mass exchange with host rocks is present. For the proposed mathematical model, the formulation of the corresponding boundary value problem was carried out and a technique for its numerical solution was developed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:20:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.А. БОГАЕНКО, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, 2019
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 41
УДК 517.9, 519.6
В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НА ОСНОВЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
ДИНАМИКИ КОНВЕКТИВНОЙ
ДИФФУЗИИ РАСТВОРИМЫХ ВЕЩЕСТВ
В ПОДЗЕМНОМ ФИЛЬТРАЦИОННОМ ПОТОКЕ
В УСЛОВИЯХ МАССООБМЕНА
Ключевые слова: динамика конвективно-диффузионных процессов, уста-
новившаяся плоско-вертикальная фильтрация грунтовых вод, математиче-
ское и компьютерное моделирование, дробно-дифференциальные математи-
ческие модели, производная дробного порядка Капуто–Катугампола, нелиней-
ные краевые задачи, конечно-разностные решения.
Введение
Настоящая работа посвящена задаче математического и компьютерного
моделирования динамики локально-неравновесного во времени процесса кон-
вективной диффузии растворимых веществ при плосковертикальной устано-
вившейся фильтрации со свободной поверхностью из рек, каналов или нако-
пителей промстоков с учетом влияния процессов массообмена. Подобные за-
дачи часто возникают, например, в вопросах рассоления и промывки почв,
опреснения грунтовых вод и их очистки от загрязняющих веществ [1–5]. При
этом весьма актуальной является проблема повышения степени адекватности
классических моделей процессов переноса в системах со сложной простран-
ственно-временной структурой для которых характерны эффекты памяти, про -
странственной нелокальности и самоорганизации [6, 7].
Эффективный подход к описанию процессов переноса в сложных системах,
для которых важен учет нелокальных пространственно-временных свойств, свя-
зан с использованием аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка, в
рамках которого удается получить ряд новых важных результатов [8–14]. При
этом в работе [15] впервые выполнено математическое моделирование дроб-
но-дифференциальной динамики локально-неравновесного во времени про-
цесса конвективной диффузии растворимых веществ при двумерной устано-
вившейся плоско-вертикальной фильтрации со свободной поверхностью, где
в качестве соответствующей фильтрационной схемы рассматривается схема
распространения загрязнений рек, каналов или хранилищ промстоков [2].
В отличие от [15] в настоящей работе соответствующая математическая мо-
дель процесса переноса базируется не на традиционном понятии дробной
производной в смысле Капуто [11, 12], а на понятии обобщенной производ-
ной Капуто (производной Капуто–Катугампола), как производной от функции
по другой функции, что позволяет в некотором смысле управлять процессом мо-
делирования [16]. Отличительной особенностью данной публикации от [15] являет-
ся также то, что в настоящей работе неравновесный процесс конвекции–диффузии
в пористой среде рассматривается в условиях наличия массообмена с вмеща-
ющими породами.
42 ISSN 0572-2691
Математическая модель миграционного
процесса и постановка краевой задачи
Рассмотрим фильтрационную схему, соответствующую задаче конвективной
диффузии загрязнений из рек, каналов или поверхностных накопителей промыш-
ленных стоков ([15], рис. 1, а). Будем изучать процесс фильтрации в потенциаль-
ном поле скоростей
( , ) , div 0x y ,
где kh — потенциал скорости фильтрации , k — усредненный коэф-
фициент фильтрации, h — пьезометрический напор. Для фильтрационной
схемы соответствующей задаче конвективной диффузии загрязнений из рек,
каналов или поверхностных накопителей промышленных стоков известна об-
ласть комплексного потенциала течения i ( — функция тока), а
также решение соответствующей задачи фильтрации, т.е. известна [2] харак-
теристическая функция течения ( )z f . При этом область комплексного по-
тенциала течения G имеет вид горизонтальной полуполосы ( [15] , рис. 1, б)
и решение соответствующей задачи фильтрации записывается в виде [2]
2 sin
2
Qx He
Q k
, 2 cos
2
Qy He
Q k
, (1)
где
2
L
Q k H
— фильтрационный расход, ,L H — геометрические парамет-
ры водоема.
Как известно, классическая математическая модель конвективной диффузии
растворимых веществ с учетом массообмена в двумерном фильтационном поле
скоростей базируется на уравнении вида [1, 2, 17, 18]
xy x y
C N C C
D
t t x y
, (2)
где C — функция концентрации растворенных веществ в жидкой фазе, N —
концентрация этих веществ в твердой фазе, — пористость среды, x
( , ),x x y ( , )y y x y — составляющие вектора скорости фильтрации,
constD — коэффициент конвективной диффузии [1, 2], xy — оператор
Лапласа по переменным ,x y .
Для корректности математической модели к (2) необходимо добавить урав-
нение кинетики массообмена, которое запишем в виде уравнения неравновесной
обратимой сорбции растворенных веществ при изотерме Генри [1, 2]:
( )
N
C N
t
,
где 1 , — коэффициент Генри [17], — константа скорости обмена,
C и N — концентрации в жидкой и твердой фазах соответственно.
При моделировании дробно-дифференциальной динамики миграционного
процесса с учетом аномальных эффектов и массообмена с вмещающими поро-
дами соответствующая математическая модель должна включать нелокальный
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 43
оператор временной производной, в частности оператор дробной производной
Капуто–Катугампола от функции p по функции ( )g t t ( 0 ), определяе-
мой следующим соотношением [19, 20]:
( )
,
0
( )1
( )
(1 ) ( )
t
t t
p d
D p t
t
,
где (0 1) — порядок производной, ( )z — гамма-функция Эйлера.
Окончательно получаем следующую систему уравнений для концентраций
C и N :
( )
, xy x yt t
N C C
D C D C
t x y
, (3)
( )
N
C N
t
, (4)
где сохранены введенные выше обозначения.
Задавая на входе фильтрационного потока концентрацию растворимых ве-
ществ 0C и начальную концентрацию 0N этих веществ в твердой фазе, краевые
условия для системы (3), (4) запишем в виде
0 00 0
,
, 0, 0, ,
AC t t
AB CB
C
C C C N N
n
(5)
где n — внешняя нормаль к соответствующей кривой, AB — ось симметрии по-
тока, CB — линия тока ( [15], рис. 1, а).
Поскольку область фильтрации zG является областью с частично неиз-
вестной границей, перейдем к новым переменным ( , ) — точкам геометри-
чески более простой области комплексного потенциала течения {( , ) :G
0 ,0 }Q ([15], рис. 1, б). Тогда краевая задача (3)–(5) для иссле-
дования динамики рассматриваемого миграционного процесса математически
может быть сформулирована для области комплексного потенциала течения
в виде
( ) 2
,
( , , )
( , , ) ( , ) ( , , )
t t
N t C
D C t D C t
t
, (6)
( , , )
( ), (( , , ) (0, ))
N t
C N t G
t
, (7)
0 00 0 0
0,
, 0, 0,
t t
Q
C
C C C N N
, (8)
где
2 ( , ) определяется явным соотношением, приведенным в [15].
При значительной минерализации порового раствора коэффициент филь-
трации может существенно меняться в зависимости от изменения концентра-
ции растворенных в воде солей. Количественные оценки влияния степени ми-
нерализации на проницаемость грунтов приведены, например, в [21]. В [22]
изложены результаты экспериментальных исследований фильтрации солевых
44 ISSN 0572-2691
растворов в песчаных грунтах и суглинках. Их математическая обработка при-
водит к следующей зависимости коэффициента фильтрации среды k от кон-
центрации C солевого раствора (для суглинков) [22]:
2 3 4 5
0 1 2 3 4 5( ) ,k C a a C a C a C a C a C (9)
где 3
0 1,0054 10a , 2
1 1,0563 10a , 2
2 7,4311 10a , 1
3 1,7051 10a ,
1
4 1,6703 10a ,
2
5,9404 105a
, [0, 1]C — обезразмеренная величина
концентрации.
Тогда зависимость коэффициента конвективной диффузии от концентрации
C растворимых веществ будет иметь вид [22]
( )
( , ) ( , )m
k C
D D C D x y
k
, (10)
где mD — коэффициент молекулярной диффузии, — параметр гидродинами-
ческой дисперсии, ( )k C — коэффициент фильтрации пористой среды, как функ-
ция концентрации C, определяемый соотношением (9), k — усредненный коэф-
фициент фильтрации.
Учет аномальных эффектов при математическом описании дробно-диф-
ференциальной динамики процесса конвективной диффузии растворимых ве-
ществ в поле фильтрационных скоростей, а также учет зависимости парамет-
ров диффузии от концентрации растворителя и наличия массообмена между
жидкой и твердой фазами грунтовой среды приводит, в отличие от (6), (7), к
следующей нелинейной системе уравнений:
( )
,
( , ) ( , ) x yt t
N C C C C
D C D C D C
t x x y y x y
, (11)
( )
N
C N
t
, (12)
где
( )
,t t
D C
— производная Капуто–Катугампола по переменной t порядка
(0 1) от функции C по функции t ( 0 ). Что касается постановки соот-
ветствующей краевой задачи для уравнения (11), необходимо отметить, что нуж-
ные для постановки задачи начальные и граничные условия в ряде случаев могут
быть взяты в виде (8).
Поскольку область фильтрации zG является областью с частично неиз-
вестной границей, то эффективный способ решения задачи основывается на
переходе к новым переменным ( , ) — точкам геометрически более простой
области комплексного потенциала течения {( , ) : 0 , 0 }G Q
([15], рис. 1, б). Тогда краевая задача (11), (12), (8) для исследования аномальной
динамики рассматриваемого миграционного процесса математически может быть
сформулирована для области комплексного потенциала течения в виде
( ) 2
,
( , , )
( , , ) ( , )
t t
N t
D C t
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 45
( , , ) ( , , ) ,
C C C
D C D C
(13)
( , , )
( )
N t
C N
t
, (14)
(( , , ) (0, ))t G ,
0 00 0 0
0,
, 0, 0,
t t
Q
C
C C C N N
, (15)
где 2 ( , ) определяется явным соотношением, приведенным в [15], а коэффи-
циент диффузии D определяется согласно (10).
Конечно-разностный метод получения решения краевой задачи
Ниже кратко изложены основные положения конечно-разностного метода
получения решения рассматриваемой краевой задачи (13)–(15).
Введем в рассмотрение сеточную область
1{( , , ) : ( 0, 1),h i k j it ih i m
2( 0,5) ( 0, 1),k h k k n ( 0, )},jt j j J
где 1 2, ,h h — соответственно шаги сетки по геометрическим переменным и
времени и ограничим область комплексного потенциала течения справа некото-
рой прямой 0 (0≫1, приводя ее к прямоугольному виду. Поставим в со-
ответствие рассматриваемой краевой задаче следующий линеаризованный вари-
ант локально-одномерной [23] разностной схемы А.А. Самарского:
0
( ) 21
( )
2
t tC N DC C
, (16)
( ) 21 ˆ ˆ( ) ( )
2
t tC N DC
, (17)
( )tN C N , (18)
ˆ( )tN C N , (19)
где сеточные функции ,D D вычисляются по формулам [23]
1, , 10,5( ), 0,5( )ik i k ik ik i k ikD D D D D D .
При этом разностные аналоги обобщенного оператора дробного дифферен-
цирования в первом приближении определим такими соотношениями:
11
( ) ( ) 12
1
2 ( ) ( )
j
j j j s s
t j s
s o
C b C C b C C
, (20)
1
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )2
0
2ˆ ( )
j
sj s j j j s
t s s s s
s
C b C q b C q C
. (21)
46 ISSN 0572-2691
Здесь обозначено
1
12
( )
1 1
2
1 1
,
(1 ) (1 )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
j
s
j s
t
t
j
j s
jt t j
d d
b b
g t g g t g
,
1
12
( ) ( )
11 1
2
1 1
, , ( ) .
(1 ) (1 )( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
s
s
s s
t
t
j j
s s
j jt t
d d
q b g t t
g t g g t g
Расписывая в (16), (18) разностные операторы с учетом (20), (21) и приводя
подобные члены, получаем на полуцелом слое 1/2jt следующую систему линей-
ных алгебраических уравнений:
1 1 1
2 2 2
1, 1,
j j j
j j j j
ik i k ik ik ik i k ik
A C B C S C
( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j J , (22)
где
2
1,
1 1
0,5
j
i kj ik
ik
D
A
h h
,
2
1 1
0,5
j
j ik ik
ik
D
S
h h
,
j j j
jik ik ik
B b A S
,
1,
( )
0,5 ,
j
j j j j ik
m ikik i k ik ik
k C
D D D D D
k
,
11
( ) 1 2
0
1 1
( )
2
j j
j j jj s s
s ik ik jik ik ik ik
s
b C C b C N N
,
1
2 1
(2 )
2
j
j j
ik ik ik
N N C
.
Аналогично на целом временном слое из (17), (19) получаем систему
1 1 1
, 1 , 1
j j j j j j j
ik i k ik ik ik i k ik
P C Q C R C
( 1, ; 1, ; 0, ),i m k n j J (23)
где введены обозначения
2 2
, 1 ( )
2 2
2 2
, , ,
j j
ik i k ikj j j j j jik
jik ik ik ik ik
D D
P R Q b P R
h h
1 1 11
( )( ) ( ) 12 2 2
0 0
j js j s
j jj s j s
s ik s ikjik ik ik ik
s s
q C C b C b C C
1
1 21 j
j
ik ik
N N
,
1 1
1 2 21
2
2
j j
j
ik ik ik
N N C
.
Запишем решения систем уравнений (22), (23) с трехдиагональными матри-
цами согласно методу прогонки [23]:
1 1
2 2
1, 1, 1,
j j
j
i kik i k i k
C C
( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j J , (24)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 47
1 1
, 1 , 1 , 1
j j j
i kik i k i k
C C
( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j J , (25)
где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам:
1,
j
j ik
i k j j j
ik ik ik
A
B S
,
1,
1,
( )
j
i kj j j j
i k ik ik ikj
ik
S
A
, (26)
, 1
j
j ik
i k j j j
ik ik ik
P
Q R
,
, 1
, 1
( )
j
i kj j j j
i k ik ik ikj
ik
R
P
( 1, ; 1, ; 0, )i m k n j J , (27)
01 1
0,
j j
k k
C ( 1, ; 0, )k n j N , 1 11, 0
j j
i i
( 1, ; 0, )i m j J , (28)
1
1,2
1,
1,
( 1, ; 0, )
1
j
j m k
m k j
m k
C k n j N
,
, 11
, 1
, 1
( 1, ; 0, )
1
j
i nj
i n
i n
C i m j J
. (29)
Соотношения (24)–(29) позволяют вычислить решение на целом времен-
ном слое. При этом устойчивость метода прогонки для (22), (23) вытекает из
факта диагонального преобладания в матрицах коэффициентов этих систем
линейных алгебраических уравнений. Окончательное решение задачи получа-
ем после перехода в физическую область Gz, осуществляемого согласно соот-
ношениям (1).
Результаты численных экспериментов и выводы
Численное моделирование особенностей дробно-дифференциальной динамики
изучаемого процесса миграции растворимых веществ в рамках описанной выше не-
классической конвективно-диффузионной математической модели выполнено для
входных данных из работы [21]. Некоторые из полученных при этом результатов в
безразмерных переменных 0 0, , ,t t t Q Q C C C 0(t — харак-
терный временной параметр, численное значение которого в расчетах прини-
малось равным 0 5 сутt ) графически изображены на рис. 1–4 (без учета мас-
сообмена) и рис. 5–8 (с учетом массообмена). Знак «штрих» над безразмерны-
ми величинами опущен.
0,8
0,6
0,4
0,2
0,004 0,003 0,002
0 0,001 0,005
С
1
2
Рис. 1
48 ISSN 0572-2691
0,8
0,6
0,4
0,2
0,004 0,003 0,002
0 0,001 0,005
С
1
2
3
Рис. 2
0,8
0,6
0,4
0,2
0,004 0,003 0,002
0 0,001 0,005
С
1
2
3
Рис. 3
0,8
0,6
0,4
0,2
10 8 14 t 0 4 12
С
1 2 3
18 16 6 2
Рис. 4
0,8
0,6
0,4
0,2
0,004 0,003 0 0,001 0,005
С
1
2
3
0,008 0,007 0,006 0,009
4
0,002
Рис. 5
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 49
0,8
0,6
0,4
0,2
0,004 0,003 0 0,001 0,005
С
1
2
3
0,008 0,007 0,006 0,009
4
0,002
Рис. 6
На рис.1 показано распределение полей концентраций вдоль линии тока
0,5 при 0,8 в фиксированный момент времени 10t при учете нели-
нейной зависимости ( )k k C согласно (9) (кривая 1) в сравнении со случаем
усредненного ( constk ) значения коэффициента фильтрации (кривая 2 соот-
ветствует величине 0,00084k ) для модели с классической производной Ка-
путо–Герасимова, соответствующей 1 .
0,6
0,4
0,2
10 30
t
0
0,3
20
С
1 2 3
50 40
0,5
0,1
4
5 6
Рис. 7
0,35
0,25
0,05
10 30 t 0
0,2
20
С
1
2
3
50 40
0,3
0,1
4 5
60 80 70 90
0,15
Рис. 8
Распределение полей концентраций для этой же модели с классической
дробной производной в зависимости от величины порядка производной при
учете зависимости ( )k k C представлено на рис. 2 (1 1,0; 2 0,8; 3
50 ISSN 0572-2691
0,6; 10t ). На рис. 3 приведены (соответствующие моменту времени 10t )
графики полей концентраций при ( )k k C и фиксированном значении порядка
дробной производной 0,8 в зависимости от показателя (1 1, 2
1 , 3 2
2
).
На рис. 4 изображены соответствующие графики концентраций в фиксирован-
ной точке (1,25; 0,5) области комплексного потенциала течения при ( )k k C в зави-
симости от безразмерной временной переменной t при 11 1, 2 , 3 2
2
.
На рис. 5 показано изменение концентрации вдоль линии тока 0,5 при
50t для классической дробной производной Капуто при 1,3 1,0; 2,4
0,9 без учета массообмена (кривые 1, 2) и с учетом массообмена (кривые 3, 4)
при * *0,1; 0,1 .
На рис. 6 представлены кривые изменения концентрации вдоль линии тока
0,5 в момент времени 50t для модели с обобщенной дробной производной
при 1,3 0,9; 2,4 0,8 и 2 без учета массообмена (кривые 1, 2) и с его
учетом (кривые 3, 4) при * *0,1; 0,1 .
На рис. 7 изображены кривые динамики концентраций во времени в точке
(0,0025; 0,5) при 0,8 и 11,4 1; 2,5 ; 3,6 2
2
без учета массооб-
мена (кривые 1, 2, 3) и с его учетом (кривые 4, 5, 6) при * *0,1; 0,1 .
На рис. 8 показана динамика концентраций во времени в фиксированной точ-
ке (0,0025; 0,5) области комплексного потенциала при 0,9; 2 для различных
значений параметров массообмена ( * * *1 0, 0; 2 0,1, * 0,1 ; *3
*0,1, 0,2; * *4 0,4, 0,1; * *5 0,4, 0,2 ).
Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать следующие
выводы об особенностях динамики полей концентраций растворимых веществ
при описании миграционного процесса на основе рассматриваемой математиче-
ской модели с обобщенной производной Капуто.
1. В случае моделирования дробно-дифференциальной динамики миграцион-
ного процесса в рамках модели с классической производной Капуто–Герасимова
( 1 ) фронт концентрации растворимых веществ при учете функциональной за-
висимости ( )k k C существенно опережает фронт концентрации, рассчитанный
при constk (рис. 1).
2. В предположении наличия нелинейной зависимости ( )k k C с уменьше-
нием значений порядка дробной производной происходит запаздывание разви-
тия фронта концентрации в жидкой фазе (рис. 2).
3. Величина показателя степени существенным образом влияет на результа-
ты моделирования процесса конвективной диффузии в рамках изучаемой нелиней-
ной модели, давая как субдиффузионную (кривые 2 на рис. 3, 4), так и супердиффу-
зионную (кривые 3 на рис. 3, 4) картины распределения полей концентраций.
4. Учет явления массообмена при моделировании распространения загрязне-
ний из водоемов в грунтовой среде приводит к запаздыванию в развитии фронта
концентраций в жидкой фазе (рис. 5–8).
5. Степень влияния массообмена на динамику миграционного процесса зави-
сит от величины порядка дробной производной следующим образом. Умень-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 51
шение величины запаздывания формирования концентрационных полей наблю-
дается в случае уменьшения порядка производной и наоборот (рис. 5). Характер
данной закономерности не нарушается в зависимости от изменения величины
показателя степени (рис. 6).
6. В случае фиксированного показателя влияние массообмена на динамику
полей концентраций во времени возрастает при увеличении показателя (рис. 7).
7. Запаздывание в развитии фронта концентраций при наличии массообмена
существенно зависит от параметров массообмена , . Влияние массообмена воз-
растает с увеличением значения (рис. 8). Увеличение значения при фикси-
рованном дополнительно замедляет процесс формирования концентрацион-
ных полей, особенно на начальных его этапах (рис. 8).
Заключение
Разработанная конвективно-диффузионная математическая модель дробно-диф-
ференциальной динамики растворимых загрязняющих веществ в подземном
фильтрационном потоке позволяет в процессе моделирования изучаемого явления
учитывать влияние как эффектов памяти среды, так и влияние процессов межфаз-
ного массообмена на динамику аномальных процессов переноса в насыщенных
грунтовых массивах. Игнорирование как аномальных свойств процессов мигра-
ции, так и влияние межфазного массообмена в рамках моделирования конвектив-
но-диффузионной динамики растворимых веществ при решении задач разработки
инженерных решений может привести к ошибкам в прогнозах степени безопасно-
сти указанных объектов и к отрицательным последствиям для экологического со-
стояния окружающей среды.
В.А. Богаєнко, В.М. Булавацький
КОМПʼЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НА ОСНОВІ
НЕЛОКАЛЬНОЇ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ
КОНВЕКТИВНОЇ ДИФУЗІЇ РОЗЧИННИХ РЕЧОВИН
У ПІДЗЕМНОМУ ФІЛЬТРАЦІЙНОМУ ПОТОЦІ
В УМОВАХ МАСООБМІНУ
Розглянуто задачу моделювання динаміки локально-нерівноважного в часі
процесу конвективної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній
сталій фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею з урахуванням наяв-
ності міжфазного масообміну. Актуальність розв’язання таких задач обу-
мовлена, зокрема, питаннями розробки заходів з промивки ґрунтів, а також
з опріснення та очищення ґрунтових вод від забруднюючих речовин. Для
математичного моделювання відповідних процесів переносу в середови-
щах, що мають властивості часової нелокальності, в роботі застосовується
апарат інтегро-диференціювання дробового порядку. Розроблено відповідну
нелінійну дробово-диференціальну математичну модель міграційного процесу
із залученням узагальненої похідної дробового порядку Капуто–Катугампола
від функції по іншій функції, що дозволяє в деякому сенсі управляти процесом
моделювання. В рамках цієї моделі, нерівноважний процес конвекції–дифузії в
пористому середовищі розглядається за умов наявності масообміну. Для за-
пропонованої математичної моделі виконано постановку відповідної кра-
йової задачі та розроблено методику її чисельного розв’язання. Дана мето-
дика базується на попередньому переході за допомогою методу конформ-
52 ISSN 0572-2691
них відображень з фізичної області течії до області комплексного потенціа-
лу, яка є канонічною. Алгоритм наближеного розв’язання даної крайової
задачі в області комплексного потенціалу базується на лінеаризованому ва-
ріанті локально-одновимірної різницевої схеми А.А. Самарського. Наведе-
но результати компʼютерного моделювання, які демонструють, що величи-
на показника ступеня у похідній Капуто–Катугампола істотно впливає на
результати моделювання, даючи як субдифузійну, так і супердифузійну кар-
тини розподілу полів концентрацій. Обчислювальні експерименти також
показують, що врахування явища масообміну при моделюванні поширення
забруднень з водойм в ґрунтовому середовищі призводить до затримки у роз-
витку фронту концентрацій в рідкій фазі. Сформульовано висновки щодо ха-
рактеру впливу параметрів математичної моделі на результуючу картину
формування концентраційних полів.
Ключові слова: динаміка конвективно-дифузійних процесів, усталена пло-
ско-вертикальна фільтрація ґрунтових вод, математичне і компʼютерне мо-
делювання, дробово-диференціальні математичні моделі, похідна дробового
порядку Капуто–Катугампола, нелінійні крайові задачі, скічненно-різницеві
розв’язки.
V.A. Bohaienko, V.M. Bulavatsky
COMPUTER SIMULATION BASED
ON THE NON-LOCAL MODEL OF THE DYNAMICS
OF CONVECTIVE DIFFUSION OF SOLUBLE
SUBSTANCES IN THE UNDERGROUND FILTRATION
FLOW IN THE CONDITIONS OF MASS EXCHANGE
The paper deals with the problem of modeling the dynamics of locally none-
quilibrium in time process of soluble substances convective diffusion under the
conditions of flat-vertical steady-state groundwater filtration with free surface
taking into account the presence of interfacial mass transfer. The urgency of solving
such problems is due, in particular, to the need for the development of measures for
soil flashing, as well as desalination and purification of groundwater from pollutants.
For mathematical modeling of the corresponding transfer processes in media with a
property of temporal non-locality, the apparatus of fractional-order integro-dif-
ferentiation is used in the paper. A corresponding nonlinear fractional differential
mathematical model of the migration process has been developed with the
involvement of Caputo–Katugampola generalized fractional order derivative of a
function with respect to another function, which allows in a certain sense to control
the modeling process. In this model, the nonequilibrium convection-diffusion
processes in porous media are considered under the conditions when mass
exchange with host rocks is present. For the proposed mathematical model, the
formulation of the corresponding boundary value problem was carried out and a
technique for its numerical solution was developed. This technique is based on a
preliminary transition using the conformal mapping method from the physical flow
domain to the domain of complex potential, which is canonical. The algorithm for
approximate solution of the considered boundary value problem in the domain of
complex potential is based on a linearized version of the locally one-dimensional
difference scheme of A.А. Samarsky. The given results of computer simulations
demonstrate that the value of the exponent in the Caputo–Katugampola derivative
significantly affects the simulation results, giving both sub-diffusion and super-
diffusion patterns of the distribution of concentration fields. Computational
experiments also show that when mass exchange phenomenon is taken into
account while modeling pollution propagation from water bodies to soil media, it
leads to a delay in the development of concentration front in liquid phase. In the
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 53
paper we draw conclusions regarding the influence of mathematical model’s pa-
rameters on the resulting picture of concentration fields formation.
Keywords: dynamics of convective diffusion processes, steady-state plane-vertical
groundwater filtration, mathematical and computer modeling, fractional differential
mathematical models, Caputo–Katugampola fractional derivative, nonlinear boun-
dary value problems, finite-difference solutions.
1. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. Киев : Наук. думка, 1991. 264с.
2. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М. : Наука, 1977. — 664с.
3. Булавацкий В.М. Специальные краевые задачи подземной гидродинамики. Киев : Наук.
думка, 1993. –133 с.
4. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів
геогідродинаміки. Київ : Наук. думка, 2007. 292 с.
5. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі про-
цесів тепло- та масопереносу. Київ : Наук. думка, 2005. 283 с.
6. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически
сложных средах. Москва–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. –288с.
7. Соболев С.Л. Локально–неравновесные модели процессов переноса. Успехи физических
наук, 1997, 167. № 10. С. 1095–1106.
8. Мейланов М.М., Шибанова М.Р. Особенности решения уравнения теплопереноса в произ-
водных дробного порядка. Журнал технической физики. 2011. 81. № 7. С. 1–6.
9. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional or-
der. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Wien : Springer Verlag, 1997.
P. 223–276.
10. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. London: Imperial College
Press, 2010. 368 p.
11. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Academ. Press, 1999. 341 p.
12. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. Amsterdam : Elsevier, 2006. 523 p.
13. Povstenko Yu. Linear fractional diffusion-wave equation for scientists and engineers. Springer
Int. Publ. Switzerland, 2015. 460 p.
14. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок, 2008. 512с.
15. Bulavatsky V.M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convective dif-
fusion under the condition of time nonlocality. Journal of Automation and Information Science.
2012. N 4. 44. P. 13–22.
16. Булавацкий В.М., Кривонос Ю.Г. Математические модели с функцией контроля для иссле-
дования дробно-дифференциальной динамики геомиграционных процессов. Международ-
ный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2014. № 3.
С. 138–147.
17. Веригин Н.Н., Васильев С.В., Куранов Н.Р. Методы прогноза солевого режима грунтов и
грунтовых вод. М. : Колос, 1979. 336 с.
18. Мистецкий Г.Е. Гидростроительство. Автоматизация расчета массопереноса в почвогрун-
тах. Киев : Будівельник, 1985. 136с.
19. Katugampola U.N. New approach to generalized fractional derivatives. Bul. Math. Anal. Appl.
2014. N 6. P. 1–15.
20. Almeida R.A. Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. Com-
munications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. N 44. P. 460–481.
21. Власюк А.П., Остапчук О.П. Математичне моделювання переносу сольових розчинів при
фільтрації підземних вод у грунтових масивах. Рівне : НУВГП, 2015. 214 с.
22. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів при філь-
трації сольових розчинів в неізотермічних умовах. Рівне: Вид-во НУВГП, 2008. 416 с.
23. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1977. 656 с.
Получено 15.04.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180796 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:20:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. 2021-10-19T15:33:15Z 2021-10-19T15:33:15Z 2019 Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена / В.А. Богаенко, В.М. Булавацкий// Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 41-53. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180796 517.9, 519.6 Разработанная конвективно-диффузионная математическая модель дробно-дифференциальной динамики растворимых загрязняющих веществ в подземном фильтрационном потоке позволяет в процессе моделирования изучаемого явления учитывать влияние как эффектов памяти среды, так и влияние процессов межфазного массообмена на динамику аномальных процессов переноса в насыщенных грунтовых массивах. Игнорирование как аномальных свойств процессов миграции, так и влияние межфазного массообмена в рамках моделирования конвективно-диффузионной динамики растворимых веществ при решении задач разработки инженерных решений может привести к ошибкам в прогнозах степени безопасности указанных объектов и к отрицательным последствиям для экологического состояния окружающей среды. Розглянуто задачу моделювання динаміки локально-нерівноважного в часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній сталій фільтрації ґрунтових вод з вільною поверхнею з урахуванням наявності міжфазного масообміну. Актуальність розв’язання таких задач обумовлена, зокрема, питаннями розробки заходів з промивки ґрунтів, а також з опріснення та очищення ґрунтових вод від забруднюючих речовин. Для математичного моделювання відповідних процесів переносу в середовищах, що мають властивості часової нелокальності, в роботі застосовується апарат інтегродиференціювання дробового порядку. Розроблено відповідну нелінійну дробово-диференціальну математичну модель міграційного процесу із залученням узагальненої похідної дробового порядку Капуто–Катугампола від функції по іншій функції, що дозволяє в деякому сенсі управляти процесом моделювання. В рамках цієї моделі, нерівноважний процес конвекції–дифузії в пористому середовищі розглядається за умов наявності масообміну. Для запропонованої математичної моделі виконано постановку відповідної крайової задачі та розроблено методику її чисельного розв’язання. The paper deals with the problem of modeling the dynamics of locally nonequilibrium in time process of soluble substances convective diffusion under the conditions of flat-vertical steady-state groundwater filtration with free surface taking into account the presence of interfacial mass transfer. The urgency of solving such problems is due, in particular, to the need for the development of measures for soil flashing, as well as desalination and purification of groundwater from pollutants. For mathematical modeling of the corresponding transfer processes in media with a property of temporal non-locality, the apparatus of fractional-order integro-differentiation is used in the paper. A corresponding nonlinear fractional differential mathematical model of the migration process has been developed with the involvement of Caputo–Katugampola generalized fractional order derivative of a function with respect to another function, which allows in a certain sense to control the modeling process. In this model, the nonequilibrium convection-diffusion processes in porous media are considered under the conditions when mass exchange with host rocks is present. For the proposed mathematical model, the formulation of the corresponding boundary value problem was carried out and a technique for its numerical solution was developed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена Комп'ютерне моделювання на основі нелокальної моделі динаміки конвективної дифузії розчинних речовин у підземному фільтраційному потоці в умовах масообміну Computer simulation based on the nonlocal model of the dynamics of convective diffusion of soluble substances in the underground filtration flow in the conditions of mass exchange Article published earlier |
| spellingShingle | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена Богаенко, В.А. Булавацкий, В.М. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| title_alt | Комп'ютерне моделювання на основі нелокальної моделі динаміки конвективної дифузії розчинних речовин у підземному фільтраційному потоці в умовах масообміну Computer simulation based on the nonlocal model of the dynamics of convective diffusion of soluble substances in the underground filtration flow in the conditions of mass exchange |
| title_full | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| title_fullStr | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| title_full_unstemmed | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| title_short | Компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| title_sort | компьютерное моделирование на основе нелокальной модели динамики конвективной диффузии растворимых веществ в подземном фильтрационном потоке в условиях массообмена |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180796 |
| work_keys_str_mv | AT bogaenkova kompʹûternoemodelirovanienaosnovenelokalʹnoimodelidinamikikonvektivnoidiffuziirastvorimyhveŝestvvpodzemnomfilʹtracionnompotokevusloviâhmassoobmena AT bulavackiivm kompʹûternoemodelirovanienaosnovenelokalʹnoimodelidinamikikonvektivnoidiffuziirastvorimyhveŝestvvpodzemnomfilʹtracionnompotokevusloviâhmassoobmena AT bogaenkova kompûternemodelûvannânaosnovínelokalʹnoímodelídinamíkikonvektivnoídifuzíírozčinnihrečovinupídzemnomufílʹtracíinomupotocívumovahmasoobmínu AT bulavackiivm kompûternemodelûvannânaosnovínelokalʹnoímodelídinamíkikonvektivnoídifuzíírozčinnihrečovinupídzemnomufílʹtracíinomupotocívumovahmasoobmínu AT bogaenkova computersimulationbasedonthenonlocalmodelofthedynamicsofconvectivediffusionofsolublesubstancesintheundergroundfiltrationflowintheconditionsofmassexchange AT bulavackiivm computersimulationbasedonthenonlocalmodelofthedynamicsofconvectivediffusionofsolublesubstancesintheundergroundfiltrationflowintheconditionsofmassexchange |