Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени
Для математических моделей, заданных системами дифференциальных уравнений Гомперца при дискретных наблюдениях, предложены эффективные алгоритмы нахождения гарантированных и приближенных гарантированных прогнозных ошибок векторов состояний и их ошибок. Приведены результаты численных экспериментов (в...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180799 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени / А.Г. Наконечный, П.Н. Зинько, Т.П. Зинько, Ю.М. Шевчук // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 72-84. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859819029469855744 |
|---|---|
| author | Наконечный, А.Г. Зинько, П.Н. Зинько, Т.П. Шевчук, Ю.М. |
| author_facet | Наконечный, А.Г. Зинько, П.Н. Зинько, Т.П. Шевчук, Ю.М. |
| citation_txt | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени / А.Г. Наконечный, П.Н. Зинько, Т.П. Зинько, Ю.М. Шевчук // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 72-84. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Для математических моделей, заданных системами дифференциальных уравнений Гомперца при дискретных наблюдениях, предложены эффективные алгоритмы нахождения гарантированных и приближенных гарантированных прогнозных ошибок векторов состояний и их ошибок. Приведены результаты численных экспериментов (в которых решалась задача оценки прогноза динамики распространения одного вида информации в социуме), которые позволяют сделать выводы о практической ценности данного подхода. На основании этого можно утверждать о целесообразности использования предложенных алгоритмов для особых случаев общей модели распространения информации, которые, например, учитывают забывание и двухэтапное усвоение информации.
Проаналізовано модель поширення інформації в соціумі. Припускається, що в соціокомунікативному просторі поширюється n типів інформаційних повідомлень, що відрізняються за змістом. Кількість осіб, які розповсюджують один із типів інформаційних повідомлень, є ключовими показниками динаміки моделі. Розповсюдження інформаційних повідомлень відбувається через внутрішні (міжособистісне спілкування) та зовнішні (вплив засобів масової інформації) потоки. Модель представлена у вигляді системи n нелінійних диференціальних рівнянь Гомперца. Такі моделі доцільно застосовувати для практичних задач аналізу поширення інформації в соціумі, динаміка яких швидко зростає за часом, а також в силу своєї нелінійної правої частини подібні моделі претендують на адекватне представлення процесів з предметної області. Однією із практичних важливих задач, які виникають при аналізі процесів поширення інформації в соціумі, є задача знаходження прогнозних оцінок динаміки таких процесів. Для систем диференціальних рівнянь Гомперца ця задача стає нетривіальною в силу наявності натуральних логарифмів в правих частинах цих похідних. Сформульовано задачу знаходження гарантованих прогнозних оцінок векторів. І для окремого випадку цієї задачі з дискретними спостереженнями запропоновано ефективні алгоритми знаходження гарантованих та наближених гарантованих прогнозних оцінок векторів стану та похибок прогнозних гарантованих оцінок. Як приклади представлено результати знаходження гарантованих прогнозних оцінок динаміки математичної моделі розповсюдження одного виду інформації в соціумі. Результати чисельного комп’ютерного експерименту демонструють практичні можливості даного підходу. Методику можна використовувати при розробці систем підтримки прийняття рішень для аналізу процесів у соціокомунікативному просторі.
In this paper, we introduce a mathematical model of spreading information messages. Suppose, a community is influenced by one of n sources of information. The number of information made by each of the sides is taken as key parameter promoting accomplishment of aim. Information can be spread in the community along internal (interpersonal communication of the member of social community) and external information flow. The model has the form of a system of non-linear differential equations with Gompertzian dynamics and non-stationary parameters. These mathematical models can be useful for describe processes that grow rapidly over time. Systems of differential equations with Gompertzian dynamics claim to be an adequate representation of processes from the subject area because they have a non-linear right part. The problem of finding predictive an estimate of the dynamics of such processes is practically an important problem of analyzing the information spreading process in society. This problem becomes nontrivial for the systems of differential equations with Gompertz because there are natural logarithms in the right sides of these equations. We formulated the problem of finding the predictive estimation and error for the systems of differential equations with Gompertzian dynamics. We the algorithms for building guaranteed predictive estimations and error and approximate guaranteed predictive estimations offered for the special case of this problem with discrete observations. We consider the results of problem numerical experiments to build guaranteed estimates for mathematical model of spreading one type of information. The analysis of these results has demonstrated the practical meaning of the obtained approach. The obtained results can be useful for the development of decision support systems for analyzing processes in the socio-communicative space.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:24:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Г. НАКОНЕЧНЫЙ, П.Н. ЗИНЬКО, Т.П. ЗИНЬКО, Ю.М. ШЕВЧУК, 2019
72 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 517.9 : 519.87
А.Г. Наконечный, П.Н. Зинько, Т.П. Зинько, Ю.М. Шевчук
ГАРАНТИРОВАННЫЕ ПРОГНОЗНЫЕ ОЦЕНКИ
РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДИНАМИКОЙ ГОМПЕРЦА
ПРИ НАБЛЮДЕНИЯХ В ДИСКРЕТНЫЕ
МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Ключевые слова: системы нелинейных дифференциальных уравнений, ди-
намика Гомперца, прогнозные гарантированные оценки, дискретные наблю-
дения, неопределенность.
Введение
Обзор литературы, в которой освещена проблема построения оценок в усло-
виях неопределенности, приведены в [1–5]. Анализ алгоритмов построения про-
гнозных оценок проводился в работе [6].
Б. Гомперц предложил одномерную математическую модель, которая ис-
пользуется для формализации процессов роста населения в закрытом обществе,
распространения болезней, роста злокачественных опухолей. Для последней задачи
предложены многомерные модификации модели Гомперца [7, 8]. Анализ задачи
гарантированного управления динамикой системы в условиях конфликта, которая
описывается дифференциальными уравнениями Гомперца, приводится в [9].
На практике возникают задачи прогнозирования динамики моделей, которые
описываются в виде систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца
в условиях неопределенности.
В данной работе решается задача построения алгоритмов нахождения гаран-
тированных и приближенных гарантированных прогнозных оценок векторов
состояний и ошибок прогнозных гарантированных оценок моделей, которые
описываются системами дифференциальных уравнений Гомперца при дис-
кретных наблюдениях.
1. Предположения, определения, вспомогательные результаты
Исследуется нелинейная непрерывная система с известными начальными
условиями:
,,1,0))(;0(),,0(
)),(;(]))(;(ln),)(()),()([(
))(;(
0
2
1
nixfxTt
ftxftxeetAetftB
dt
ftdx
ii
i
n
j i
jiii
(1)
где матричные функции ,)( nnRtA ,)( mnRtB ),,0( 2Tt имеют непрерывные ком-
поненты; ,)( mRf ),0()( 22 TLf — неизвестная функция; вектор ie , ni ,1 , i —
орт, для решений которой выполняются неравенства ,0))(;( ftxi ),,0( 2Tt ni ,1 .
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 73
Пусть в точках Nktk ,1, (для которых справедливы неравенства ...0 1t
21 TTtN ) наблюдаются значения функций ))(;( ftxi , ni ,1 , которые яв-
ляются решениями системы (1) при некоторых неизвестных функциях ),(tf
),0( 2Tt , и с ошибками ik : ,))(;( ikkiik ftxy ,,1 kni ,nnk .,1 Nk
Предполагается, что для функций ),0(),( 2Tttf и величин ,,1, kik ni
Nk ,1 известны множества, которым они принадлежат. Пусть Gf )( ,
21 GGG , ),0(21 NtLG , ),( 222 TtLG N и справедливы неравенства
ikikik
, kni ,1 , Nk ,1 (
ik
, ik — известные числа).
Лемма 1. Для решений системы (1) при выполнении условий ,00 kx ,,1 nk
следует представление
),,0(,,1))),(;(exp())(;( 2Ttniftftx ii (2)
где вектор-функция T
1 )))(,(...,)),(,(())(,( ftftft n , ),0( 2Tt , является ре-
шением задачи Коши:
).,0(,)ln,...,(ln))(;0(),()())(;()(
))(;(
2
00
1 TtxxftftBfttA
dt
ftd T
n
(3)
Доказательство. Справедливы равенства
.,1),,0()),(;(
))(;())(;(ln
2
1 niTtftx
dt
ftdx
dt
ftxd
i
ii
Положив ,,1),,0()),(;())(;(ln 2 niTtftftx ii получим уравнение (2),
что подтверждает справедливость леммы. Учитывая, что компоненты вектора 0x
известны, для нахождения приближенных гарантированных оценок (не ограничи-
вая общность), будем считать, что 0ln 0 x . Поскольку предполагается, что вы-
полняются неравенства ,,1,,1,0 Nkniy kikik апостериорное множество
возможных значений функции ),0(),( 2Tttf имеет вид
})(:)({ GffFf
},,1,,1),ln())(;()ln(:)({ Nkniyftyf kikikkiikik
где ),,0()),(;( 1Ttft удовлетворяет системе (3).
Обозначим
T
1 ))(;(...,)),(;(())(;( ftxftxftx n , ),0( 2Tt .
Лемма 2. Пусть 1G и 2G — замкнутые, выпуклые и ограниченные множе-
ства. Тогда существуют функции f
i
Ff )( и f
i
Ff )( , для которых справедливо
)),(;())(;(max 22
))(;( 2
i
ii
XfTx
fTfT
y
,,1,,1)),(;())(;(min 22
))(;( 2
NknifTfT
i
ii
XfTx y
где
};,1,))(;(:))(;({ 22 niQfTxfTxX iiy
.,1},)()),(;())(;())(;(:))(;({ 2222 niFffTxfTxfTxfTxQ y
i
ii
i
iii
74 ISSN 0572-2691
Доказательство. Доказательство этой леммы вытекает из ограниченности, за-
мкнутости и выпуклости множества fF , а также из того, что ,,1)),(;( 2 nifTi
,,1 Nk — линейные непрерывные функционалы в пространстве ),0( 22 TL .
Определение 1. Гарантированной прогнозной оценкой вектора состояний
))(;( 2 fTx назовем вектор T
2212 ))(ˆ...,),(ˆ()(ˆ TxTxTx n , который удовлетворяет
условию ))(ˆ()))(;((min 22
))(;( 2
TxfTx
yXfTx
, где функционал )))(;(( 2 fTx
определяется по формуле
n
i iii
QfTx
fTxfTxfTx
ii
1 22
))(;(
2 ,|))(;())(;(|max)))(;((
2
(4)
а nii ,1,0 , — известные числа, для которых выполняется условие .1
1
n
i i
Определение 2. Величину ))(ˆ( 2Tx назовем гарантированной ошибкой
прогнозной оценки )(ˆ 2Tx .
2. Метод нахождения гарантированных прогнозных оценок и их ошибок
Теорема 1. Компоненты вектора гарантированной прогнозной оценки )(ˆ 2Tx
находятся по формулам:
,,1),())(ˆexp()(ˆ 222 niTchTTx
iii (5)
(при этом гарантированная ошибка прогнозной оценки имеет вид
n
i ii TshT
i1 22 )())(ˆexp( ), где )(ˆ 2Ti , )( 2T
i
, ni ,1 , — соответственно
гарантированные прогнозные оценки и гарантированные ошибки прогнозных
оценок величин nifTi ,1)),(,( 2 , и вычисляются по таким формулам:
,,1)),()((
2
1
)()),()((
2
1
)(ˆ 222222 niTTTTTT iiiii i
,,1),(ln)(),(ln)( 2222 niTxTTxT iiii
.,1)),(;(min)()),(;(max)( 2
)(
22
)(
2 nifTxTxfTxTx i
Ff
ii
Ff
i
yy
Доказательство. Поскольку выполняются условия леммы 2, получаем равенства:
,,1),())(;())(;(max 222
))(;( 2
niTxfTxfTx i
i
ii
QfTx ii
.,1),())(;())(;(min 222
))(;( 2
niTxfTxfTx i
i
ii
QfTx ii
Справедливы представления:
|))(;())(;(|max 22
))(;( 2
fTxfTx ii
QfTx ii
.,1)),()((
2
1
))(;(),())(;(
)),()((
2
1
))(;(),())(;(
22222
22222
niTxTxfTxTxfTx
TxTxfTxTxfTx
iiiii
iiiii
Последние соотношения можно записать:
|))(;())(;(|max 22
))(;( 2
fTxfTx ii
QfTx ii
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 75
.,1,))()((
2
1
))(;())()((
2
1
22222 niTxTxfTxTxTx iiiii (6)
Из формул (2) и (6) получим выражение для )))(;(( 2 fTx :
n
i iiiiii TxTxfTxTxTxfTx
1 222222 .))()((
2
1
))(;())()((
2
1
)))(;((
Отсюда следуют формулы для нахождения компонент вектора гарантирован-
ной прогнозной оценки )(ˆ 2Tx и гарантированной ошибки:
,,1)),()((
2
1
)(ˆ 222 niTxTxTx iii
n
i iii TxTx
1 22 .))()((
2
1
(7)
Из (7), учитывая справедливость представления ))(;( ftxi )))(;(exp( fti ,
),0( 2Tt , ni ,1 , получаем
;,1),(
2
1
)(ˆ
)()(
2
22 nieeTx
TT
i
ii
n
i i
TT ii ee
1
)()(
.)(
2
1
22
Поскольку
,,1),()(ˆ)(),()(ˆ)( 222222 niTTTTTT
ii iiii
имеем
n
i i
TTTT
iiii ee
1
)()(ˆ)()(ˆ
)(
2
1 2222
n
i ii
n
i i
TTT
TshTeee
i
iii
1 221
)()()(ˆ
,)())(ˆexp()(
2
1 222
)(
2
1
)(ˆ
)()(ˆ)()(ˆ
2
2222 TTTT
i
iiii eeTx
,,1),())(ˆexp()(
2
1
22
)()()(ˆ 222 niTchTeee
i
iii
i
TTT
что и нужно было доказать.
3. Метод нахождения приближенных гарантированных прогнозных оценок
Предполагается, что множество G центрально-симметричное относительно не-
которой известной вектор-функции ),0()(
~
22 TLf . Для нахождения приближенных
прогнозных гарантированных оценок рассмотрим внутреннее fF и внешнее fF
множества, которые аппроксимируют априорное множество fF :
,}1))((:)({ 21 GfIGfF yf ,}))((:)({ 21 GnfIGfF yf
где
;||)(
~
)(||)()))(;(())(( 1
0
22
1 1
2
TN
k
n
i kiikiky dttftftqftyqfI k
Nkni
y
y
qyyy k
ikik
ikik
ikikikikikik ,1,,1,ln
2
1
),)(ln(
2
1 1
,
и )(2 tq , ),0( 1Tt , — некоторая известная скалярная положительная функция
в ),0( 12 TL .
Отметим, что функцию ))(;( ft , ),0( 2Tt , которая определяется по (3),
также можно представить в виде
76 ISSN 0572-2691
),,[)),(;(
],,0()),(;(~
))(;(
21
1
1
TTtft
Ttft
ft
где функции ))(;(~ ft , ),0( 1Tt и ),()),(;( 21
1 TTtft , определяются как ре-
шения систем:
),,0(,0))(;0(~),()())(;(~)(
))(;(~
1TtftftBfttA
dt
ftd
).,()),(;(~))(;(),()())(;()(
))(;(
2111
11
1
TTtfTfTtftBfttA
dt
ftd
Теорема 2. Множества fF и fF можно представить также в виде
};)({))}(ˆ(1))((:)({ 221 GffIfIGfF yf
},)({))}(ˆ())((:)({ 221 GffInfIGfF yf
где )),(ˆ)()),(ˆ)())((ˆ((
2
1
))(( ''
2 fffffIfI y а ))((min)(ˆ
)(
fIArgf y
Gf
; кроме
того, выполняется равенство
))(ˆ)()),(ˆ)())((ˆ((
2
1 '' fffffI y
1
0
22
1 1
2 ||)(ˆ)(||)()))(ˆ)(;((
TN
k
n
i kiik dttftftqfftqk
(здесь ))(ˆ('' fI y — вторая производная Фреше ))(( fI y в точке )(ˆ f ; а )(;( ft
,)))(ˆ)(;(...,)),(ˆ)(;(())(ˆ T
1 fftfftf n ),0( 1Tt , — вектор-функция,
которая определяется как решение следующей задачи Коши:
)),(ˆ)(()())(ˆ)(;()(
))(ˆ)(;(
tftftBffttA
dt
fftd
)).,0(,0))(ˆ)(;0( 1Ttff
Доказательство. Поскольку ),0(),(ˆ 1Tttf , — функция, на которой достига-
ет минимум функционал ))(( fI y , используя формулу Тейлора, получаем
.))(ˆ)(),(ˆ)(())(ˆ((
2
1
))(ˆ()))(ˆ)(()(ˆ( 2'' fffffIfIfffI yyy
При 1 будет выполняться равенство
)).(ˆ)(),(ˆ)(())(ˆ((
2
1
))(ˆ())(( '' fffffIfIfI yyy
Таким образом, для аппроксимирующих апостериорную область fF мно-
жеств fF и fF справедливо представление:
};)({))}(ˆ(1))((:)({ 221 GffIfIGfF yf
},)({))}(ˆ())((:)({ 221 GffInfIGfF yf
что и нужно было доказать.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 77
Обозначим )(tzi , ),( 21 TTt и )(tzi , ),0( 1Tt , ni ,1 , соответствующие
решения задач Коши:
,,1),,(,)(),()(
)(
212
T niTTteTztztA
dt
tdz i
ii
i
.,1),,0(),()(),()(
)(
111 niTtTzTztztA
dt
tzd
iii
Ti
Теорема 3. Приближенные гарантированные оценки ,,1),(ˆ 2 niTi нахо-
дятся по формулам
,,1)),(ˆ),(()(ˆ 112 niTTzT iii (8)
где ,,1),(ˆ 1 niTi находятся из системы алгебраических уравнений:
,,1;,1;)(ˆ)(ˆ
1 11 1
Nknibyqtbqt
N
r
n
s srikiksr
N
r rs
n
s sriksrki
rr
,,1,;,1,;))(~),(~)((1
0
2 Nrknsidttgtgtqb
T
sriksrik
,,1,,1),,0(,),()()()(~
11
TT
),0( NkniTtetTtBttg i
tik k
),,0(,0
),,0(,1
)(),0(
t
t
t
матрица ),0(),,[),,( 21 TsTstst — решение следующей задачи Коши:
),0(),,[,),(),,()(
),(
21 TsTstEsssttA
dt
std
,
и E — единичная матрица размерности nn .
Доказательство. По формуле Коши для нахождения общего решения систе-
мы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (3) получим выраже-
ния для ))(;( 2 fT :
2
1
)()(),())(;(),())(;())(;( 21
1
122
1
2
T
T
dfBTfTTTfTfT
.)()(),())(;(~),( 2
1
2112
T
T
dfBTfTTT (9)
Умножив скалярно левую и правую части (9) на векторы niei ,1, , получим
равенства
.,1,,)()(),())),(;(~),(())),(;(( 2
1
21122 niedfBTefTTTefT iT
T
ii
Последние формулы можно представить в виде
.,1,))()(),(()))(;(~),(())),(;(( 2
1
112 nidfBzfTTzefT
T
T ii
i
Вначале рассмотрим случай, когда fFf )( . Тогда получим:
,,1)),((max)))(;(),((max))),(;((max
21 )(
11
)(
2
)(
nifLfTTzefT i
Gf
i
Ff
i
Ff ff
nifLfTTzefT i
Gf
i
Ff
i
Ff ff
,1)),((min)))(;(),((min))),(;((min
21 )(
11
)(
2
)(
(здесь ,))()(),(())((},))(ˆ())((:)({ 2
1
211
T
T iiyf dfBzfLfInfIGfF
),1 ni .
78 ISSN 0572-2691
Следовательно, справедливы соотношения:
)))(;(~),((max))(ˆ),(())),(;((max 11
)(
112
)( 2
vTTzTTzefT i
Fv
i
i
Ff ff
;,1)),((max
2)(
nifLi
Gf
(10)
))((min)))(;(~),((min))(ˆ),(())),(;((min
22 )(
11
)(
112
)(
fLvTTzTTzefT i
Gf
i
Fv
i
i
Ff ff
,,1)),((max)))(;(~),((max))(ˆ),((
22 )(
11
)(
11 nifLvTTzTTz i
Gf
i
Fv
i
f
(11)
где
))}.(ˆ())((:),0()({ 2122 fInvITLvF yf
Из (10) и (11) получим представления
,,1)),(ˆ),(()(ˆ 112 niTTzT iii
.,1)),((max)))(;(~),((max)(
22 )(
11
)(
2 nifLvTTzT i
Gf
i
Fv f
i
В случае fFf )( с помощью аналогичных рассуждений будем иметь вы-
ражения для nifLvTTzT i
Gf
i
Fv f
i
,1)),((max)))(;(~),((max)(
22 )(
11
)(
2
, где
))}.(ˆ(1))((:),0()({ 2122 fIvITLvF yf
Поскольку ),0()),((minArg)(ˆ 1TtfItf y , имеют место равенства
N
k
n
i kikiikiky
k vtftyqvfI
1 1
' ))(;()))(ˆ;(~())()),(ˆ((
2
1
),,0()(,0))(),(ˆ)(( 120
21 TLvdvfq
T
(12)
где ))(ˆ(' fI y — первая производная Фреше ))(( fI y в точке )(ˆ f .
Заметим, что выполняются соотношения
1
0 1),0( )),())(),()(())),(;(())(;(
T i
t
i
kki defBTeftft
k
.,1,,1;))(),(~(1
0
Nknidfg
T
ik (13)
В силу (13) выражение (12) примет вид
N
k
n
i
T i
tkiikik
k
k
devBTftyq
1 1 0 1),0(
1 )),())(),()(()))(ˆ;(~(
).,0()(,0))(),(ˆ)(( 120
21 TLvdvfq
T
(14)
В (14) поменяем местами операции суммирования и интегрирования:
1
0 1
TT
),0(1 1
))(,),()()(()))(ˆ;(~(
T i
t
N
k
n
i kiikik dveTBftyq
k
k
),,0()(,0))(),(ˆ)(( 120
21 TLvdttvtftq
T
в результате получим равенства:
)(ˆ)(),,0(,0)(ˆ)()(~)))(ˆ;(~( 2
1
2
1 1
tftqTttftqtgftyq ik
N
k
n
i kiikik
k
).,0(,)(~)(~))(ˆ;(~
11 11 1
Tttgyqtgftq
N
k
n
i ikikik
N
k
n
i ikkiik
kk
(15)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 79
Выражение (15) можно представить в виде системы:
))(~,)(~())(ˆ;(~)())(ˆ),(~(
1 1
2 tgtgfttqqtftg sr
N
r
n
s ikrssrik
r
.,1;,1);,0(;))(~),(~()( 11 1
2 NkniTttgtgytqq
N
r
n
s sriksrsr
r
(16)
Проинтегрируем обе части равенств (16):
11
0 1 1
2
0
))(~,)(~())(ˆ;(~)())(ˆ),(~(
T
sr
N
r
n
s ikrssr
T
ik dttgtgfttqqdttftg r
.,1;,1;))(~),(~()(1
0 1 1
2 Nknidttgtgytqq
T N
r
n
s sriksrsr
r
(17)
С учетом Nknidfgeftft
T
ik
i
kki ,1,,1,))(),(~())),(;(())(;( 1
0
,
из (17) получим систему линейных алгебраических уравнений:
N
r rs
n
s sriksrki ftbqft r
1 1
))(ˆ,())(ˆ,(
,,1;,1;
1 1
Nknibyq
N
r
n
s srikiksr
r
из которой можно получить величины Nkniftt kiki ,1;,1));(ˆ,()(ˆ (в том
числе )(ˆ)(ˆ 1 Nii tT , ni ,1 ), что завершает доказательство теоремы 3.
Теорема 4. Для гарантированных ошибок ,,1),( 2 niT
i
гарантированных
оценок niTi ,1),(ˆ 2 , выполняются условия ),()()( 222 TTT
iii ni ,1 ;
величины )( 2T
i
и niT
i
,1),( 2 , задаются выражениями:
,,1)),((max)))(ˆ(1())()(),(()(
)(
2/1
),0(
T
2 12
nifLfItztBtT i
f
yTLiii
,,1)),((max)))(ˆ(())()(),(()(
)(
2/1
),0(
2
12
nifLfIntztBtT i
f
y
TL
i
T
ii
где
),0(
T
12
))()(),((
TL
ii tztBt — скалярное произведение в ),0( 12 TL , а )(ti
),0( 12 TL , ni ,1 , — решения системы функциональных уравнений:
;,1),,0();()()(~))(;()()( 1
T
1 1
2 njTttztBtgtttq j
N
k
n
i ikjkij
величины Nknjit jki ,1;,1,));(;( , находятся из системы алгебраических
линейных уравнений:
;))(~),()(())(;())(;( 1
01 1
T
ikj
T
srikjrs
N
r
n
s srjki dttgtztBbtqt r
.,1;,1, Nknji
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда fFv 2)( . Для величин
)))(;(),(( 11 vTTzi , ni ,1 , получим:
.,1,))(),()(())()(),(()))(;(),(( 11
0011 nidttvtztBdttvtBtzvTTz
T
i
TT
ii
80 ISSN 0572-2691
Поскольку оператор ))(ˆ('' fI y — положительно-определенный и ограниченный,
для него существует обратный. Тогда в силу обобщенного уравнения Коши–
Буняковского справедливы неравенства
1
0
))(),()((
T
i
T dttvtztB
.,1,)))(ˆ(()()(),()())(ˆ(
2
1 2/1
),0(
TT
1
''
12
nifIntztBtztBfI y
TL
iiy
Отсюда следуют представления для niT
i
,1),( 2 :
2/1
),0(
T
2 )))(ˆ(())()(),(()(
12
fIntztBtT y
TL
iii
,,1)),((max
2)(
nifLi
Gf
где
.,1),,0(),()())(ˆ(
2
1
)( 1
1
'' niTttztBfIt i
T
yi
(18)
С помощью аналогичных рассуждений получим выражения для
niT
i
,1),( 2 , при fFv 2)( :
.,1)),((max)))(ˆ(1())()(),(()(
212 )(
2/1
),0(
T
2 nifLfItztBtT i
Gf
y
TL
iii
Из (18) следует, что вектор-функции niTtti ,1),,0(),( 1 , удовлетворяют
также системе функциональных уравнений ),()()())(ˆ(
2
1 T'' tztBtfI iiy ),,0( 1Tt
ni ,1 , или
1
0
2
1 1
))(),()(())(;())(;(
T
j
N
k
n
i kijkiik dvqvttqk
.,1),,0(),,0()(,))(),()(( 1120
T1 njTtTLtvdvzB
T
j (19)
В силу (13) выражения (19) примут вид
N
k
n
i
T
ikjkiik
T
j
k dvgtqdvq
1 1 00
2 11 ))(),(~())(;())(),()((
.,1),,0(),,0()(,))(),()(( 1120
1 njTtTLtvdvzB
T
j
T
Тогда для вектор-функций njTttj ,1),,0(),( 1 , справедливо:
njTttztBtgtqttq j
N
k
n
i ikjkiikj ,1),,0();()()(~))(;()()( 1
T
1 1
2
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 81
;)(~))(;()()()()()(
1 1
2T2
N
k
n
i ikjkiikjj tgtqtqtztBtqt
.,1),,0( 1 njTt (20)
Поскольку ,,1;,1,;))(),(~())(;( 1
0
Nknjidgt
T
jikjki для
нахождения величин ))(;( jki t ; ,,1;,1, Nknji умножим скалярно левую и
правую части (20) на )(~ tgik , ),0( 1Tt , ,,1;,1, Nknji и проинтегрируем по-
лученное выражение. Следовательно, ,,1;,1,));(;( Nknjit jki находятся
из системы алгебраических линейных уравнений:
;))(~),()(())(;())(;( 1
01 1
T
ikj
T
srikjrs
N
r
n
s srjki dttgtztBbtqt r
,,1;,1, Nknji
что завершает доказательство теоремы 4.
Следствие 1. Для компонент вектора гарантированной прогнозной оценки
)(ˆ 2Tx в силу (5), (8) и монотонного возрастания функции гиперболического коси-
нуса справедливы оценки
.,1),())(ˆexp()(ˆ)())(ˆexp( 22222 niTchTTxTchT
ii iii (21)
Следствие 2. Для гарантированной ошибки прогнозной оценки )(ˆ 2Tx
в силу монотонного возрастания функции гиперболического синуса справед-
ливы неравенства
.)())(ˆexp()())(ˆexp(
1 221 22
n
i ii
n
i ii TshTTshT
ii
(22)
4. Результаты численного эксперимента
В качестве примера приведен результат построения прогнозной оценки ди-
намики распространения одного вида информации в социуме. Этот процесс целе-
сообразно математически моделировать в виде систем дифференциальных урав-
нений. Такой подход продемонстрирован в работах [6, 10–12].
Пусть в социальной группе, которая состоит из индивидов, однинаковых
по своим характеристикам усвоения информации, распространяется один вид
информационных сообщений в результате межличностного общения и внеш-
него влияния (СМИ). Этот процесс будем моделировать в виде одного обыкно-
венного дифференциального нелинейного уравнения. Обозначим ),0(),( 2Ttta
известный параметр интенсивности межличностного общения в момент времени
),0( 2Tt ; ),0()(),,0(),( 222 TLfTttf — неизвестный параметр внешнего
влияния в момент времени ),0( 2Tt ; ),0()),(;( 2Ttftx — та часть социальной
группы, которая усвоила информационное сообщение в момент времени
),0( 2Tt , причем 0)0( 0 xx . Тогда динамика количества индивидов, усвоив-
ших информационное сообщение, описывается задачей Коши:
.)0(),,0()),(;())())(;(ln)((
))(;( 0
2 xxTtftxtfftxta
dt
ftdx
(23)
82 ISSN 0572-2691
Пусть в точках 211 ...0 TTtt N наблюдается функция ))(;( ftx , кото-
рая является решением (23):
,,1,))(;( Nkftxy kkk (24)
при некоторых неизвестных значениях функции ),0(),( 2Tttf и ошибках k ,
Nk ,1 .
Поскольку рассматривается математическая модель распространения одного
вида информационных сообщений, оценки (21) и (22) примут вид
.,1),())(ˆexp(),())(ˆexp()(ˆ 22222 niTshTTchTTx
Результаты построения гарантированных прогнозных оценок динамики для
математической модели (23) с параметрами 41 T , 52 T , ii ttt 1 , 80,1i ,
150)0( x , ,05,0)( ta 1)(1 tq , ),5,0(,0)(
~
ttf и наблюдениями вида (24),
для которых известно, что величины k , 81,1k , имеют нормальное распределе-
ние )4;0(N , показаны на рисунке (а). Результаты построения гарантированных
прогнозных оценок динамики для математической модели (23) с теми же парамет-
рами и наблюдениями вида (24), для которых известно, что величины k , 81,1k ,
имеют нормальное распределение )9;0(N , показаны на рисунке (б) пунктирной
линией — ))(,( ftx , )5;0(t , сплошной — наблюдения ),(ty )4;0(t и прогноз
)5;4(),(ˆ ttx , отметками + — коридор погрешности гарантированной прогноз-
ной оценки )5;4(),(ˆ ttx .
)(
)),(;(ˆ
)),(;(
ty
ftx
ftx
148
144
140
136
4 3 2 5 0 1 t
)(
)),(;(ˆ
)),(;(
ty
ftx
ftx
150
145
140
135
4 3 2
t
0 1
155
5 t
a б
Анализируя полученные графики, можно сделать вывод, что предложенный
алгоритм дает адекватный гарантированный прогноз и в случае существенных
ошибок наблюдения.
Заключение
Для математических моделей, заданных системами дифференциальных уравне-
ний Гомперца при дискретных наблюдениях, предложены эффективные алгоритмы
нахождения гарантированных и приближенных гарантированных прогнозных оши-
бок векторов состояний и их ошибок. Приведены результаты численных эксперимен-
тов (в которых решалась задача оценки прогноза динамики распространения одного
вида информации в социуме), которые позволяют сделать выводы о практической
ценности данного подхода. На основании этого можно утверждать о целесообразно-
сти использования предложенных алгоритмов для особых случаев общей модели рас-
пространения информации, которые, например, учитывают забывание и двухэтапное
усвоение информации.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 83
О.Г. Наконечний, П.М. Зінько, Т.П. Зінько, Ю.М. Шевчук
ГАРАНТОВАНІ ПРОГНОЗНІ ОЦІНКИ РОЗВʼЯЗКІВ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
З ДИНАМІКОЮ ГОМПЕРЦА ПРИ СПОСТЕРЕЖЕННЯХ
У ДИСКРЕТНІ МОМЕНТИ ЧАСУ
Проаналізовано модель поширення інформації в соціумі. Припускається, що в
соціокомунікативному просторі поширюється n типів інформаційних повідом-
лень, що відрізняються за змістом. Кількість осіб, які розповсюджують один із
типів інформаційних повідомлень, є ключовими показниками динаміки моделі.
Розповсюдження інформаційних повідомлень відбувається через внутрішні
(міжособистісне спілкування) та зовнішні (вплив засобів масової інформації)
потоки. Модель представлена у вигляді системи n нелінійних диференціальних
рівнянь Гомперца. Такі моделі доцільно застосовувати для практичних задач
аналізу поширення інформації в соціумі, динаміка яких швидко зростає за ча-
сом, а також в силу своєї нелінійної правої частини подібні моделі претендують
на адекватне представлення процесів з предметної області. Однією із практич-
них важливих задач, які виникають при аналізі процесів поширення інформації
в соціумі, є задача знаходження прогнозних оцінок динаміки таких процесів.
Для систем диференціальних рівнянь Гомперца ця задача стає нетривіальною в
силу наявності натуральних логарифмів в правих частинах цих похідних. Сфор-
мульовано задачу знаходження гарантованих прогнозних оцінок векторів. І для
окремого випадку цієї задачі з дискретними спостереженнями запропоновано
ефективні алгоритми знаходження гарантованих та наближених гарантованих
прогнозних оцінок векторів стану та похибок прогнозних гарантованих оцінок.
Як приклади представлено результати знаходження гарантованих прогнозних
оцінок динаміки математичної моделі розповсюдження одного виду інформації
в соціумі. Результати чисельного комп’ютерного експерименту демонструють
практичні можливості даного підходу. Методику можна використовувати при
розробці систем підтримки прийняття рішень для аналізу процесів у соціоко-
мунікативному просторі.
Ключові слова: системи нелінійних диференціальних рівнянь, динаміка Гом-
перца, прогнозні гарантовані оцінки, дискретні спостереження, невизначеність.
A.G. Nakonechnyi, P.N. Zinko, T.P. Zinko, Yu.M. Shevchuk
GUARANTEED PREDICTIVE ESTIMATION
OF SOLUTIONS OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL
EQUATIONS WITH THE GOMPERTZIAN DYNAMICS
WITH OBSERVATIONS IN DISCRETE TIME MOMENTS
In this paper, we introduce a mathematical model of spreading information messages.
Suppose, a community is influenced by one of n sources of information. The number
of information made by each of the sides is taken as key parameter promoting ac-
complishment of aim. Information can be spread in the community along internal (in-
terpersonal communication of the member of social community) and external infor-
mation flow. The model has the form of a system of non-linear differential equations
with Gompertzian dynamics and non-stationary parameters. These mathematical
models can be useful for describe processes that grow rapidly over time. Systems of
differential equations with Gompertzian dynamics claim to be an adequate represen-
tation of processes from the subject area because they have a non-linear right part.
The problem of finding predictive an estimate of the dynamics of such processes is
practically an important problem of analyzing the information spreading process in
84 ISSN 0572-2691
society. This problem becomes nontrivial for the systems of differential equations
with Gompertz because there are natural logarithms in the right sides of these equa-
tions. We formulated the problem of finding the predictive estimation and error for
the systems of differential equations with Gompertzian dynamics. We the algorithms
for building guaranteed predictive estimations and error and approximate guaranteed
predictive estimations offered for the special case of this problem with discrete ob-
servations. We consider the results of problem numerical experiments to build guar-
anteed estimates for mathematical model of spreading one type of information. The
analysis of these results has demonstrated the practical meaning of the obtained ap-
proach. The obtained results can be useful for the development of decision support
systems for analyzing processes in the socio-communicative space.
Keywords: systems of differential nonlinear equations, Gompertzian dynamics,
guaranteed predictive estimation, discrete observations, uncertainty.
1. Губарев В.Ф., Дарьин А.Н., Лысюченко И.А. Нелинейный оцениватель состояния по дан-
ным на скользящем интервале и возможность его применения в задаче ориентации косми-
ческого аппарата. «Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и
информатики». 2011. № 1. С. 118−132.
2. Gubarev V.F., Shevchenko V.N., Gummel A.V. State estimation for systems subjected to bounded
uncertainty using moving horizon approach. Prep. Of the 15-th IFAC Symposium on system iden-
tification, July 6−8, 2009. Saint-Malo, France, 2009. P. 910−915.
3. Бакан Г.М. Эллипсоидальные алгоритмы гарантированного оценивания и рекуррентный
метод наименьших квадратов в задачах фильтрации состояний динамических систем. Про-
блемы управления и информатики. 1997. № 3 С. 34−48.
4. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. Киев: Наук. думка, 2006. 264 с.
5. Наконечний О.Г. Оцінювання параметрів в умовах невизначеності. Наукові записки Київсь-
кого національного університету. 2004. 7. С. 102−111.
6. Наконечний О.Г., Зінько П.М., Шевчук Ю.М. Прогнозні оцінки в математичних моделях
поширення інформації за невизначеностей. Системні дослідження та інформаційні тех-
нології. 2017. № 4. С. 54−65. DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.05.
7. Наконечный А.Г., Марценюк В.П. Задачи управляемости для дифференциальных уравнений
динамики Гомперца. Кибернетика и системный анализ. 2004. № 2. С. 123−133. DOI:
10.1023/B:CASA.0000034451.73657.88.
8. Kalas J., Novotny J., Michalek J., Nakonechniy O. Mathematical model for cancer prevalence and can-
cer mortality. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 2013. № 2. С. 44−54.
9. Наконечний О.Г., Зінько П.М. Задачі протиборства в системах з динамікою Гомперца. Жур-
нал обчислювальної та прикладної математики. 2015. № 3 (120). С. 50−60.
10. Mikhailov A.P., Petrov A.P., Proncheva O.G., Marevtseva N.A. Mathematical modeling of information
warfare in a society. Mediterranean Journal of Social Sciences. 2015. 6, № 5. P. 27−35.
DOI:10.5901/mjss.2015.v6n5s2p27.
11. Наконечний О.Г., Шевчук Ю.М. Математична модель розповсюдження інформації з неста-
ціонарними параметрами. Вісник Київського національного університету імені Тараса
Шевченка. Серія Фізико-математичні науки. 2016. № 3. С. 98−105.
12. Ивохин Е.В., Науменко Ю.А. О формализации процессов распространения информа-
ции на основе гибридных моделей диффузии. Международный научно-технический
журнал «Проблемы управления и информатики». 2018. № 4. С. 51−58. DOI: 10.1615/
JAutomat InfScien.v50.i7.70
Получено 29.03.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180799 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:24:38Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Наконечный, А.Г. Зинько, П.Н. Зинько, Т.П. Шевчук, Ю.М. 2021-10-19T15:43:37Z 2021-10-19T15:43:37Z 2019 Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени / А.Г. Наконечный, П.Н. Зинько, Т.П. Зинько, Ю.М. Шевчук // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 72-84. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180799 517.9 : 519.87 Для математических моделей, заданных системами дифференциальных уравнений Гомперца при дискретных наблюдениях, предложены эффективные алгоритмы нахождения гарантированных и приближенных гарантированных прогнозных ошибок векторов состояний и их ошибок. Приведены результаты численных экспериментов (в которых решалась задача оценки прогноза динамики распространения одного вида информации в социуме), которые позволяют сделать выводы о практической ценности данного подхода. На основании этого можно утверждать о целесообразности использования предложенных алгоритмов для особых случаев общей модели распространения информации, которые, например, учитывают забывание и двухэтапное усвоение информации. Проаналізовано модель поширення інформації в соціумі. Припускається, що в соціокомунікативному просторі поширюється n типів інформаційних повідомлень, що відрізняються за змістом. Кількість осіб, які розповсюджують один із типів інформаційних повідомлень, є ключовими показниками динаміки моделі. Розповсюдження інформаційних повідомлень відбувається через внутрішні (міжособистісне спілкування) та зовнішні (вплив засобів масової інформації) потоки. Модель представлена у вигляді системи n нелінійних диференціальних рівнянь Гомперца. Такі моделі доцільно застосовувати для практичних задач аналізу поширення інформації в соціумі, динаміка яких швидко зростає за часом, а також в силу своєї нелінійної правої частини подібні моделі претендують на адекватне представлення процесів з предметної області. Однією із практичних важливих задач, які виникають при аналізі процесів поширення інформації в соціумі, є задача знаходження прогнозних оцінок динаміки таких процесів. Для систем диференціальних рівнянь Гомперца ця задача стає нетривіальною в силу наявності натуральних логарифмів в правих частинах цих похідних. Сформульовано задачу знаходження гарантованих прогнозних оцінок векторів. І для окремого випадку цієї задачі з дискретними спостереженнями запропоновано ефективні алгоритми знаходження гарантованих та наближених гарантованих прогнозних оцінок векторів стану та похибок прогнозних гарантованих оцінок. Як приклади представлено результати знаходження гарантованих прогнозних оцінок динаміки математичної моделі розповсюдження одного виду інформації в соціумі. Результати чисельного комп’ютерного експерименту демонструють практичні можливості даного підходу. Методику можна використовувати при розробці систем підтримки прийняття рішень для аналізу процесів у соціокомунікативному просторі. In this paper, we introduce a mathematical model of spreading information messages. Suppose, a community is influenced by one of n sources of information. The number of information made by each of the sides is taken as key parameter promoting accomplishment of aim. Information can be spread in the community along internal (interpersonal communication of the member of social community) and external information flow. The model has the form of a system of non-linear differential equations with Gompertzian dynamics and non-stationary parameters. These mathematical models can be useful for describe processes that grow rapidly over time. Systems of differential equations with Gompertzian dynamics claim to be an adequate representation of processes from the subject area because they have a non-linear right part. The problem of finding predictive an estimate of the dynamics of such processes is practically an important problem of analyzing the information spreading process in society. This problem becomes nontrivial for the systems of differential equations with Gompertz because there are natural logarithms in the right sides of these equations. We formulated the problem of finding the predictive estimation and error for the systems of differential equations with Gompertzian dynamics. We the algorithms for building guaranteed predictive estimations and error and approximate guaranteed predictive estimations offered for the special case of this problem with discrete observations. We consider the results of problem numerical experiments to build guaranteed estimates for mathematical model of spreading one type of information. The analysis of these results has demonstrated the practical meaning of the obtained approach. The obtained results can be useful for the development of decision support systems for analyzing processes in the socio-communicative space. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени Гарантовані прогнозні оцінки розвʼязків систем диференціальних рівнянь з динамікою Гомперца при спостереженнях у дискретні моменти часу Guaranteed predictive estimation of solutions of systems of differential equations with the Gompertzian dynamics with observations in discrete time moments Article published earlier |
| spellingShingle | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени Наконечный, А.Г. Зинько, П.Н. Зинько, Т.П. Шевчук, Ю.М. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| title | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| title_alt | Гарантовані прогнозні оцінки розвʼязків систем диференціальних рівнянь з динамікою Гомперца при спостереженнях у дискретні моменти часу Guaranteed predictive estimation of solutions of systems of differential equations with the Gompertzian dynamics with observations in discrete time moments |
| title_full | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| title_fullStr | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| title_full_unstemmed | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| title_short | Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| title_sort | гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени |
| topic | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| topic_facet | Методы управления и оценивания в условиях неопределенности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180799 |
| work_keys_str_mv | AT nakonečnyiag garantirovannyeprognoznyeocenkirešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisdinamikoigompercaprinablûdeniâhvdiskretnyemomentyvremeni AT zinʹkopn garantirovannyeprognoznyeocenkirešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisdinamikoigompercaprinablûdeniâhvdiskretnyemomentyvremeni AT zinʹkotp garantirovannyeprognoznyeocenkirešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisdinamikoigompercaprinablûdeniâhvdiskretnyemomentyvremeni AT ševčukûm garantirovannyeprognoznyeocenkirešeniisistemdifferencialʹnyhuravneniisdinamikoigompercaprinablûdeniâhvdiskretnyemomentyvremeni AT nakonečnyiag garantovaníprognozníocínkirozvʼâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzdinamíkoûgompercaprisposterežennâhudiskretnímomentičasu AT zinʹkopn garantovaníprognozníocínkirozvʼâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzdinamíkoûgompercaprisposterežennâhudiskretnímomentičasu AT zinʹkotp garantovaníprognozníocínkirozvʼâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzdinamíkoûgompercaprisposterežennâhudiskretnímomentičasu AT ševčukûm garantovaníprognozníocínkirozvʼâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹzdinamíkoûgompercaprisposterežennâhudiskretnímomentičasu AT nakonečnyiag guaranteedpredictiveestimationofsolutionsofsystemsofdifferentialequationswiththegompertziandynamicswithobservationsindiscretetimemoments AT zinʹkopn guaranteedpredictiveestimationofsolutionsofsystemsofdifferentialequationswiththegompertziandynamicswithobservationsindiscretetimemoments AT zinʹkotp guaranteedpredictiveestimationofsolutionsofsystemsofdifferentialequationswiththegompertziandynamicswithobservationsindiscretetimemoments AT ševčukûm guaranteedpredictiveestimationofsolutionsofsystemsofdifferentialequationswiththegompertziandynamicswithobservationsindiscretetimemoments |