Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций

В процессе проведенных исследований доказана теорема об оценке скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й производной суммами Валле–Пуссена порядка (n, 2n), в интегральной метрике Lp(D). Так как в полученной...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2019
Main Author:	Поддубный, А.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Subjects:	Методы обработки информации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180801
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций / А.М. Поддубный // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 96-104. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859609447969587200
author	Поддубный, А.М.
author_facet	Поддубный, А.М.
citation_txt	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций / А.М. Поддубный // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 96-104. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	В процессе проведенных исследований доказана теорема об оценке скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й производной суммами Валле–Пуссена порядка (n, 2n), в интегральной метрике Lp(D). Так как в полученной оценке параметр l — любое натуральное число, доказанная теорема — не только обобщение ранее известных в этом направлении исследований, как для операторов Пуассона (l = 1), так и операторов Вейерштрасса (l = 2), но и существенное их усиление, что значительно расширяет применение в прикладной математике решенной в работе задачи, например, для метода разрешающих функций игровых задач динамики. Досліджено властивості операторів типу Абеля–Пуассона, які мають широкий спектр застосувань в різних галузях наукових досліджень. Особлива увага приділяється апроксимаційним та диференціальним властивостям операторів типу Абеля–Пуассона. Зокрема, знайдено оцінку швидкості наближення образами операторів типу Абеля–Пуассона функцій, що мають задану мажоранту типу другого модуля неперервності r-ї похідної сумами Валле–Пуссена порядку (n, 2n), в інтегральній метриці Lp(D). Для розгляду в подальшому диференціальних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона наведено визначення класів функцій, які є узагальненням класів диференційовних функцій С.М. Нікольського. Оператори типу Абеля–Пуассона є одними з основних, які використовуються в дійсному і комплексному аналізі та математичній фізиці і на їх образи, що є функціями диференційовними, та часто сприймаються як розв’язки відомих крайових задач. Тому отриманий в роботі результат може бути використано для вивчення граничних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона і примикає до аналогічних результатів Я.С. Бугрова. Крім цього, є можливість використання описаних властивостей цих операторів в теорії ігрових задач динаміки, що особливо актуально в наш час, наприклад, при знаходженні стаціонарних цілей, які зазнали аварії і знаходяться в практично недосяжних місцях, при розробці комп’ютерних систем пошуку і спостереження за рухомими об’єктами, при аналізі і моделюванні групової взаємодії між рухомими об’єктами. Такі задачі часто виникають при обслуговуванні морського і повітряного транспорту. The properties of Abel–Poisson type operators, which have a wide range of applications in various fields of scientific research are studied. Special attention is paid to the approximation and differential properties of operators of Abel–Poisson type. In particular, an estimate was obtained for the approximation rate by the images of operators of Abel–Poisson type for functions having a given majorant of the type of the second modulus of continuity of the r-derivative Vall–Poussin sum of order (n, 2n) in the integral metric Lp(D). For further consideration of the differential properties of operators of Abel–Poisson type, the paper presents definitions of classes of functions that are a generalization of classes of differentiable functions of S.M. Nikolʼskii. Operators of the Abel–Poisson type are among the main ones used in real and complex analysis and mathematical physics, and their images, which are differentiable functions, are often viewed as solutions of known boundary value problems. Therefore, the result obtained in the paper can be used to study the boundary properties of operators of Abel–Poisson type and is adjacent to the similar results of Ya.S. Bugrov. In addition, it is possible to use the described properties of these operators in the theory of game dynamics problems, which is especially important nowadays, for example, in finding stationary targets that have crashed and are in practically inaccessible places when developing computer search systems and monitoring moving objects, in the analysis and modeling of group interaction between moving objects. Such tasks often arise in the maintenance of sea and air transport.
first_indexed	2025-11-28T09:55:51Z
format	Article
fulltext	© А.М. ПОДДУБНЫЙ, 2019 96 ISSN 0572-2691 УДК 517.5 А.М. Поддубный ОЦЕНКА СКОРОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ОБРАЗАМИ ОПЕРАТОРОВ ТИПА АБЕЛЯ–ПУАССОНА НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Ключевые слова: игровые задачи динамики, краевая задача, моделирование, классы функций Никольского, операторы. Введение В современных прикладных разработках актуальна проблема избежания столкновений между движущимися объектами. Актуальность данной проблемы не вызывает никаких сомнений, так как это напрямую связано с безопасностью движения в морских и аэропортах. Именно знание динамических возможностей движущихся объектов и моделирование этих процессов позволяют диспетчерским службам планировать безаварийное функционирование. Вполне понятно, что на прак- тике все это невозможно без теории игровых задач динамики [1–3]. К тому же, в при- кладной математике широкое применение, в том числе и к игровым задачам динами- ки, имеют так называемые краевые задачи и их решения. Именно одно из таких решений краевой задачи [4] исследуется в данной статье в целях изучения диффе- ренциальных свойств при различных значениях параметров. 1. Постановка задачи и описание операторов типа Абеля–Пуассона Пусть },1:C{:  zz ,:   ),(pL ,1  p — пространство функций ,f суммируемых на  в p -й степени с нормой p p i L deff p 1 2 0 )( )(             и .)0,10(cos 2 1 :)( 1     k kit l lkteK l Следуя из [5, 6], оператор lP , определенный на )(pL формулой ,)()()( 1 ))(( 2 0       zdtzeKefzfP it l it l называется оператором типа Абеля–Пуассона [7]. Отметим, что )1(1 lK совпадает с ядром Пуассона [8, 9], а оператор 1P является обычным оператором Пуассона, или Абеля–Пуассона [10, 11]. В слу- чае 2l видим, что 2K является ядром Вейерштрасса и, соответственно, 2P — оператором Вейерштрасса [12]. Аппроксимативным свойствам как операторов Пуассона, так и операторов Вейерштрасса в свое время было посвящено много работ [13–21]. Но что касается исследований для более общих операторов, чем операторы Пуассона и Вейерштрасса, то здесь успехи более умеренные. Поэтому Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 97 цель этой статьи — исследование дифференциальных свойств операторов типа Абеля–Пуассона lP . При натуральных значениях ,l как показано в [4], опера- тор lP воспроизводит все формальные решения краевой задачи для уравнения (в полярных координатах) 0 )1(1 2 2 2 1 2 2              l ll uuu (1) с условием ,)(),( 1    iefu (2) т.е. формальное решение задачи (1) и (2) имеет вид .))((),(  i l efPu Здесь равенство (2) понимается так, что .0)(),(lim 2 0 1     defu p i 2. Исследование скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й производной суммами Валле–Пуссена порядка )2,( nn , в интегральной метрике )(pL При алгоритмизации задач прикладной математики важно, каким свойствам должна удовлетворять функция двух переменных ),)((:),( it l efPtg  опреде- ленная на ),1,0[]2,0[  если Nf — некоторый класс функций, определенных и суммируемых на круге  , которые имеют определенные характеристические свойства. Ряд свойств оператора lP в контексте этой задачи установлен Я.С. Буг- ровым в [4, 22], где в качестве N брались классы Никольского )()( r pH и Бесова ).()( r pB В данной работе продолжено исследование Я.С. Бугрова и указано на одно из свойств образов операторов lP в случае, когда в качестве класса N , откуда дей- ствует оператор, берутся классы специальных функций )(2)(  p r HW , которые определяются следующим образом. Пусть ),()(2)(:)( )()(2 , hiihii h eueueueu       ))2((:)(2 , ii h ehueu )())((2   ii euehu , )(:)(),(:)( )()(            i k k iki k k ik eueueueu и 2 — функция типа модуля непрерывности второго порядка. Тогда обозначим ),(pL ,1  p пространство функций, определенных в круге  , для которых .)( 1 1 0 2 0 )(               p p i L ddeff p  98 ISSN 0572-2691 Определение 1. Пусть f — функция, заданная на  , },0{N:Z  r .1  p Говорят, что функция ),(2)(   p r HWf если она является суммируе- мой в p -й степени вместе со своими обобщенными производными ( в смысле Со- болева ) rkf k ,1, )(  , и ),10(),()1( 2 )( )( θ 2 θ,  hhOf pL r h  где )1(О — величина, равномерно ограниченная относительно .h Аналогично результатам из работы [4] оказалось, что оператор lP переводит класс )(2)(  HW r в его так называемые «телесные» аналоги — классы 2)(   p r HW и 21)(   HW r , которые определяются следующим образом. Определение 2. Пусть u — функция, заданная в круге  , ,Zr .1  p Говорят, что ),(2)(   p r HWu если существуют обобщенные производные , )(k u rk ,1 , такие, что rku p L k ,0, )( )(   , и кроме этого, ),10(),()1( 2 )( )( θ 2 θ,  hhOu pL r h  где )1(О — величина, равномерно ограниченная относительно .h Определение 3. Пусть u — функция, заданная в круге  , ,Zr .1  p Говорят, что ),(2)(   p r HWu если существуют обобщенные производные ,)(ku rk ,1 , такие, что ,,0, )( )( rku p L k   и кроме этого, ),210(),()1( )(: 2 1 21 0 2 0 )(2 , 2),( )(2 ,                  hhO ddeuu p h p ir h hL r h p  где )1(О — величина, равномерно ограниченная относительно .h Определение 4. Если ,1r ,Z2 r ,1  p тогда ).()()( 2221221 )()(),(        p r p r p rr HWHWHW  Пусть     ,1,)(ˆ:))((),())(( 1 1 0 nekfefSefefS ikt n nk it n itit , — частная сумма порядка n ряда Фурье функции )(pLf  и      n k it nk it n efS n efV 0 ))(( 1 1 :))(( — соответствующая ей сумма Валле–Пуссена. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 99 Теорема. Пусть ,Nl ,Zr .1  p Если ),(2)(   p r HWf то ),N(, 1 )1())(( 2 )(           n n n OfVfP p l r Lnl p  (3) где )1(О — величина, равномерно ограниченная относительно .n Доказательство. Так как ),(2)(   p r HWf производные ,,1, )( θ rkf k  явля- ются непрерывными на  , а это дает возможность написать равенство .,1,)()( 1 ))(( 2 0 )()( rkdteKefefP it l tiki lk k           Из последнего соотношения следует, что .)()( 1 ))(( )()( θ 2 0 2 θ, 2 θ, dteKefefP it l tik h i lk k h                    Отсюда, используя неравенство Минковского, получаем                                         p p i lr r h L lr r h ddefPfP p 1 1 0 2 0 2 θ, )( 2 , ))(()(                                     p p pp it l tir h dddteKef 1 1 1 0 2 0 2 0 )()( θ 2 θ, )()( 1                                          p p p p tir h it l ddtdefeK 1 1 0 2 0 1 2 0 )()( θ 2 θ,)( ),(2 1 1 0 2 0 )()(21 hC p d p dtitelKhC                         (4) Следуя [23], здесь и далее обозначим С абсолютные постоянные (зависи- мые, возможно, от параметров lrp ,, ), разные для каждого отдельного случая. Поскольку, согласно условию, ),(2)(   p r HWf по теореме Джексона [24, c. 204] существует последовательность тригонометрических полиномов N}{ nnT степеней, соответственно, не более n , такая, что ),N( 1 )1( 2 )(          n n n OTf rLn p  (5) где )1(О — величина, равномерно ограниченная относительно n . 100 ISSN 0572-2691 Здесь под тригонометрическим полиномом степени n понимаем функцию вида ).N(0,:)( 1 1      ncceceT nn ikt k n nk it n Хорошо известно [24, c. 121], что   nnn TTV  и ),()( )()(  pLLn LffCfV pp  поэтому согласно (5) ).N( 1 )1()( 1 )( 2 )( 2 )(                  n n n OTfV n n CfVf rLnnrLn pp  (6) Далее       2 0 )()))(()(( 1 )))((( dtzeKefVefzfVfP it l it n it nl                 2 0 ∞ ).(cos)))(()(( 1 it nk kit n it ezdtktefVef l Применяя дважды к подынтегральной сумме преобразование Абеля, получим       ∞ ∞ 2 11 ),()1()()(cos nk nk k n n n n nk tFktFntDkt llll где        k v k v kkk vkk lll tD k tFvttD 1 0 )1( ,:),( 1 1 :)(,cos 2 1 :)( .2: )2()1()1(2 llllll kkkkkk   Поскольку ,0)()))(()(( 1 )()))(()(( 1 1 2 0 2 0 1         dttFefVefdttDefVef n it n it n it n it то       2 0 )()))(()(( 1 )))((( dtzeKefVefzfVfP it l it n it nl                  2 0 2 ).()()1()))(()(( 1 it nk k kit n it ezdttFkefVef l Отсюда, используя обобщенное неравенство Минковского и неравенство (6) и учитывая детали из соотношения (4), имеем .)()1()())(( 1 1 0 2 0 ∞ 2 )()( p p nk k k LnLnl ddttFkfVffVfP l pp                           (7) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 101 Оценим теперь второй множитель в (7)                                          1 0 ∞ 2 0 2 11 0 2 0 ∞ 2 )()1()()1( p nk k k pp nk k k dttFkddttFk ll                                       ∞ 11 0 2 11 0 ∞ 2 1 .)1()1( nk p p k pp nk k p dkdkd ll (8) В последнем неравенстве использовано неравенство Минковского. Для оценки интеграла в (8) сделаем замену ,, dxede xx   тогда .: 1 0 2 1 1 0 2 , p x p xk p p k lk dxeedI ll                      Заметим, что ,)()()()( 0 0 2    h h yyyyh duuyfuduhuyfuhyf поэтому для lykxeyf )()(  при 0,1  yh получим    1 0 22222 ))1()1)(1(()1( lxk uklxuklxlue l    1 0 )(22222)1( .))())(1(( dueuklxuklxludue ll ukxllukx Отсюда, согласно неравенству Минковского, имеем                                1 0 1 0 )1(22 1 0 1 0 )1( , )1( p ukpxpl p ukxpp lk dxexduukdxexCI ll                duukdxexduuk l p ukxppl l 2 1 0 1 0 )(22 )()1( .)( 22 1 1 0 0 )(2                     duukdxex l p ukxpp l Поскольку ),0,1(, )1( 0 1       ap a pÃ dxex p axp окончательно для lkI , получим оценку . 1 )1( 2 1 0 2, plpllk k C uk du CI      Таким образом, подставляя найденную оценку lkI , в (8) и учитывая (4) и (6), получим ).N( 1 1 1 ))(( 2 1 2 )(                      n n n C kn n CfVfP plrpl nk rLnl p  Теорема доказана. 102 ISSN 0572-2691 Заключение В процессе проведенных выше исследований доказана теорема об оценке скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й произ- водной суммами Валле–Пуссена порядка (n, 2n), в интегральной метрике )(pL . Так как в полученной оценке (3) параметр l — любое натуральное число, дока- занная теорема — не только обобщение ранее известных в этом направлении исследований, как для операторов Пуассона (l = 1), так и операторов Вейер- штрасса (l = 2), но и существенное их усиление, что значительно расширяет при- менение в прикладной математике решенной в работе задачи, например, для ме- тода разрешающих функций игровых задач динамики [25–28]. О.М. Піддубний ОЦІНКА ШВИДКОСТІ НАБЛИЖЕННЯ ОБРАЗАМИ ОПЕРАТОРІВ ТИПУ АБЕЛЯ–ПУАССОНА ДЕЯКИХ СПЕЦІАЛЬНИХ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ Досліджено властивості операторів типу Абеля–Пуассона, які мають широкий спектр застосувань в різних галузях наукових досліджень. Особлива увага приділя- ється апроксимаційним та диференціальним властивостям операторів типу Абеля–Пуас- сона. Зокрема, знайдено оцінку швидкості наближення образами операторів ти- пу Абеля–Пуассона функцій, що мають задану мажоранту типу другого модуля неперервності r-ї похідної сумами Валле–Пуссена порядку (n, 2n), в інтег- ральній метриці Lp(D). Для розгляду в подальшому диференціальних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона наведено визначення класів функцій, які є уза- гальненням класів диференційовних функцій С.М. Нікольського. Оператори типу Абеля–Пуассона є одними з основних, які використовуються в дійсному і ком- плексному аналізі та математичній фізиці і на їх образи, що є функціями диферен- ційовними, та часто сприймаються як розв’язки відомих крайових задач. Тому отриманий в роботі результат може бути використано для вивчення граничних влас- тивостей операторів типу Абеля–Пуассона і примикає до аналогічних результатів Я.С. Бугрова. Крім цього, є можливість використання описаних властивостей цих операторів в теорії ігрових задач динаміки, що особливо актуально в наш час, на- приклад, при знаходженні стаціонарних цілей, які зазнали аварії і знаходяться в практично недосяжних місцях, при розробці комп’ютерних систем пошуку і спосте- реження за рухомими об’єктами, при аналізі і моделюванні групової взаємодії між рухомими об’єктами. Такі задачі часто виникають при обслуговуванні морського і повітряного транспорту. Ключові слова: ігрові завдання динаміки, крайова задача, моделювання, класи фун- кцій Нікольського, оператори. A.M. Piddubnyi ESTIMATE OF THE RATE OF APPROXIMATION BY THE IMAGES OF OPERATORS OF ABEL–POISSON TYPE OF SOME SPECIAL CLASSES OF FUNCTIONS The properties of Abel–Poisson type operators, which have a wide range of applications in various fields of scientific research are studied. Special attention is paid to the approxima- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 3 103 tion and differential properties of operators of Abel–Poisson type. In particular, an esti- mate was obtained for the approximation rate by the images of operators of Abel–Poisson type for functions having a given majorant of the type of the second modulus of continuity of the r-derivative Vall–Poussin sum of order (n, 2n) in the integral metric Lp(D). For fur- ther consideration of the differential properties of operators of Abel–Poisson type, the pa- per presents definitions of classes of functions that are a generalization of classes of diffe- rentiable functions of S.M. Nikolʼskii. Operators of the Abel–Poisson type are among the main ones used in real and complex analysis and mathematical physics, and their images, which are differentiable functions, are often viewed as solutions of known boundary value problems. Therefore, the result obtained in the paper can be used to study the boundary properties of operators of Abel–Poisson type and is adjacent to the similar results of Ya.S. Bugrov. In addition, it is possible to use the described properties of these operators in the theory of game dynamics problems, which is especially important nowadays, for ex- ample, in finding stationary targets that have crashed and are in practically inaccessible places when developing computer search systems and monitoring moving objects, in the analysis and modeling of group interaction between moving objects. Such tasks often arise in the maintenance of sea and air transport. Keywords: game problems of dynamics, boundary value problem, modeling, classes of Nikolʼskii functions, operators. 1. Chikrii A.A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. 271, N 1. P. 69–85. DOI: 10.1134/s0081543810040073. 2. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Generalized Mittag-Leffler matrix functions in game problems for evolutionary equations of fractional order. Cybernetics and Systems Analysis. 2000. 36, N 3. P. 315–338. DOI: 10.1007/BF02732983. 3. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Control game problems for quasilinear systems with Riemann- Liouville fractional derivatives. Cybernetics and Systems Analysis. 2001. 37, N 6. P. 836–864. DOI: 10.1023/A:1014529914874. 4. Бугров Я.С. Неравенства типа Бернштейна и их применение к исследованию дифферен- циальных свойств решений дифференциальных уравнений высшего порядка. Mathematica (Cluj). 1963. 5, № 28. С. 5–25. 5. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes   1,L̂ . Ukr. Math. J. 2017. 69, N 5. P. 757–765. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8. 6. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of function from class  ,Ĉ by Poisson bi- harmonic operators in the unifom metric. Ukr. Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798. DOI: 10.1007/s11253-008-0093-9. 7. Baskakov V.A. Some properties of operators of Abel–Poisson type. Mathematical Notes. 1975. 17, N 2. P.101–107. 8. Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 2. P. 235–243. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.19. 9. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentia- ble functions from the set of their harmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2002. 54, N 1. P. 51–63. DOI: 10.1023/A:1019789402502. 10. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),(  -differentiable functions defined on the real axis by Abel-Poisson operators. Ukr. Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315. DOI: 10.1007/s11253-005-0262-z. 11. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/s11253-009-0196-y. 12. Kal’chuk I.V. Approximation of ),(  -differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators. Ukr. Math. J. 2007. 59, N 9. P. 1342–1363. DOI: 10.1007/s11253-007-0091-3. 13. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1. P. 23–36. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03. 104 ISSN 0572-2691 14. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by opera- tors generated by -methods of summation of their Fourier integrals. Ukr. Math. J. 2004. 56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x. 15. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class  ,C by Poisson in- tegrals in the uniform metric. Ukr. Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI: 10.1007/s11253- 010-0321-y. 16. KharkevychYu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes   HC . Mathematical Notes. 2014. 96, N 5–6. P. 1008–1019. DOI: 10.1134/ s0001434614110406. 17. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),(  -differentiable functions by Poisson in- tegrals in the uniform metric. Ukr. Math. J. 2009. 61, N 11. P. 1757–1779. DOI: 10.1007/s11253- 010-0311-0. 18. Zhyhallo T.V. Approximation of functions holding the Lipschitz conditions on a finite segment of the real axis by the Poisson–Chebyshev integrals. Journal of Automation and Information Scienc- es. 2018. 50, N 5. P. 34–48. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i5.40. 19. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximative properties of the Weierstrass inte- grals on the classes   HW r . Journal of Mathematical Sciences (United States). 2018. 231, N 1. P. 41–47. DOI: 10.1007/s10958-018-3804-2. 20. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximation of functions from the classes   HW r by Weierstrass integrals. Ukr. Math. J. 2017. 69, N 4. P. 598–608. DOI: 10.1007/s11253-017-1383-x. 21. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of ),(  -differentiable functions by Weierstrass integrals. Ukr. Math. J. 2007. 59, N 7. P. 1059–1087. DOI: 10.1007/s11253-007-0069-1. 22. Бугров С.Я. Свойства решений дифференциальных уравнений высшего порядка в тер- минах весовых классов. Труды Мат. ин-та АН СССР. 1972. 117. С. 47–61. 23. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),(  -differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals. Ukr. Math. J. 2012. 63, N 12. P. 1820–1844. DOI: 10.1007/s11253-012-0616-2. 24. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 602 с. 25. Chikrii A.A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of Automation and Information Sciences. 1995. 27, N 1. P. 27–38. 26. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Pareto optimality, game theory and equilibria. Springer Optimization and Its Applications. New York: Springer, 2008. 17. P. 349–387. DOI: 10.1007/978-0-387-77247-9_13. 27. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in a parabolic system. Proceed- ings of the Steklov Institute of Mathematics. 2016. 293. P. 254–269. DOI: 10.1134/ s0081543816050229. 28. Dziubenko K.G., Chikrii A.A. An approach problem for a discrete system with random per- turbations. Cybernetics and Systems Analysis. 2010. 46, N 2. P. 271–281. DOI: 10.1007/s10559-010-9204-3. Получено 05.02.2019
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180801
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2025-11-28T09:55:51Z
publishDate	2019
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Поддубный, А.М. 2021-10-19T16:02:04Z 2021-10-19T16:02:04Z 2019 Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций / А.М. Поддубный // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 3. — С. 96-104. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180801 517.5 В процессе проведенных исследований доказана теорема об оценке скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й производной суммами Валле–Пуссена порядка (n, 2n), в интегральной метрике Lp(D). Так как в полученной оценке параметр l — любое натуральное число, доказанная теорема — не только обобщение ранее известных в этом направлении исследований, как для операторов Пуассона (l = 1), так и операторов Вейерштрасса (l = 2), но и существенное их усиление, что значительно расширяет применение в прикладной математике решенной в работе задачи, например, для метода разрешающих функций игровых задач динамики. Досліджено властивості операторів типу Абеля–Пуассона, які мають широкий спектр застосувань в різних галузях наукових досліджень. Особлива увага приділяється апроксимаційним та диференціальним властивостям операторів типу Абеля–Пуассона. Зокрема, знайдено оцінку швидкості наближення образами операторів типу Абеля–Пуассона функцій, що мають задану мажоранту типу другого модуля неперервності r-ї похідної сумами Валле–Пуссена порядку (n, 2n), в інтегральній метриці Lp(D). Для розгляду в подальшому диференціальних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона наведено визначення класів функцій, які є узагальненням класів диференційовних функцій С.М. Нікольського. Оператори типу Абеля–Пуассона є одними з основних, які використовуються в дійсному і комплексному аналізі та математичній фізиці і на їх образи, що є функціями диференційовними, та часто сприймаються як розв’язки відомих крайових задач. Тому отриманий в роботі результат може бути використано для вивчення граничних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона і примикає до аналогічних результатів Я.С. Бугрова. Крім цього, є можливість використання описаних властивостей цих операторів в теорії ігрових задач динаміки, що особливо актуально в наш час, наприклад, при знаходженні стаціонарних цілей, які зазнали аварії і знаходяться в практично недосяжних місцях, при розробці комп’ютерних систем пошуку і спостереження за рухомими об’єктами, при аналізі і моделюванні групової взаємодії між рухомими об’єктами. Такі задачі часто виникають при обслуговуванні морського і повітряного транспорту. The properties of Abel–Poisson type operators, which have a wide range of applications in various fields of scientific research are studied. Special attention is paid to the approximation and differential properties of operators of Abel–Poisson type. In particular, an estimate was obtained for the approximation rate by the images of operators of Abel–Poisson type for functions having a given majorant of the type of the second modulus of continuity of the r-derivative Vall–Poussin sum of order (n, 2n) in the integral metric Lp(D). For further consideration of the differential properties of operators of Abel–Poisson type, the paper presents definitions of classes of functions that are a generalization of classes of differentiable functions of S.M. Nikolʼskii. Operators of the Abel–Poisson type are among the main ones used in real and complex analysis and mathematical physics, and their images, which are differentiable functions, are often viewed as solutions of known boundary value problems. Therefore, the result obtained in the paper can be used to study the boundary properties of operators of Abel–Poisson type and is adjacent to the similar results of Ya.S. Bugrov. In addition, it is possible to use the described properties of these operators in the theory of game dynamics problems, which is especially important nowadays, for example, in finding stationary targets that have crashed and are in practically inaccessible places when developing computer search systems and monitoring moving objects, in the analysis and modeling of group interaction between moving objects. Such tasks often arise in the maintenance of sea and air transport. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы обработки информации Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций Оцінка швидкості наближення образами операторів типу Абеля–Пуассона деяких спеціальних класів функцій Estimate of the rate of approximation by the images of operators of Abel–Poisson type of some special classes of functions Article published earlier
spellingShingle	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций Поддубный, А.М. Методы обработки информации
title	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций
title_alt	Оцінка швидкості наближення образами операторів типу Абеля–Пуассона деяких спеціальних класів функцій Estimate of the rate of approximation by the images of operators of Abel–Poisson type of some special classes of functions
title_full	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций
title_fullStr	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций
title_full_unstemmed	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций
title_short	Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций
title_sort	оценка скорости приближения образами операторов типа абеля–пуассона некоторых специальных классов функций
topic	Методы обработки информации
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180801
work_keys_str_mv	AT poddubnyiam ocenkaskorostipribliženiâobrazamioperatorovtipaabelâpuassonanekotoryhspecialʹnyhklassovfunkcii AT poddubnyiam ocínkašvidkostínabližennâobrazamioperatorívtipuabelâpuassonadeâkihspecíalʹnihklasívfunkcíi AT poddubnyiam estimateoftherateofapproximationbytheimagesofoperatorsofabelpoissontypeofsomespecialclassesoffunctions

Оценка скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона некоторых специальных классов функций

Institution

Similar Items