Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде

Разработан вариационный алгоритм идентификации оптимальной мощности точечных источников, позволяющий решать квазилинейные задачи влагопереноса в ненасыщенной пористой среде с помощью их линеаризации на основе преобразования Кирхгофа при реалистичных предположениях. Вычислительные эксперименты продем...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Проблемы управления и информатики
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Ляшко, С.И., Клюшин, Д.А., Тимошенко, А.А., Ляшко, Н.И., Бондар, Е.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Schlagworte:	Методы оптимизации и оптимальное управление
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180817
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, А.А. Тимошенко, Н.И. Ляшко, Е.С. Бондар // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 26-35. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180817
record_format	dspace
spelling	Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Тимошенко, А.А. Ляшко, Н.И. Бондар, Е.С. 2021-10-20T11:35:58Z 2021-10-20T11:35:58Z 2019 Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, А.А. Тимошенко, Н.И. Ляшко, Е.С. Бондар // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 26-35. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180817 519.633.6 Разработан вариационный алгоритм идентификации оптимальной мощности точечных источников, позволяющий решать квазилинейные задачи влагопереноса в ненасыщенной пористой среде с помощью их линеаризации на основе преобразования Кирхгофа при реалистичных предположениях. Вычислительные эксперименты продемонстрировали высокую точность метода. Предложенный метод позволяет решить актуальную задачу оптимального выбора параметров систем капельного орошения и повышения их эффективности. Вологоперенесення у ненасиченому пористому середовищі з точковими джерелами, що описується рівнянням Річардса–Клюта, являє собою дуже складний та нестійкий обчислювальний процес. Це пояснюється тим, що фізичний процес, що описується цим рівнянням, характеризується великою кількістю різноманітних параметрів. Для зниження цієї складності пропонується підхід, заснований на перетворенні Кірхгофа, що дозволяє звести квазілінійну параболічну початково-крайову задачу до лінійної та безрозмірної. Розглядається двовимірна квазілінійна задача точкового оптимального керування зволоженням прямокутної ненасиченої області пористого середовища з відомими початковими умовами, фіксованою вологістю на нижній границі та заданою цільовою вологістю. У такій постановці ця задача досліджується та розв’язується вперше. Для розв’язання лінеаризованої безрозмірної задачі оптимального керування нестаціонарним переносом вологи у ненасиченому пористому середовищі, отриманої за допомогою перетворення Кірхгофа, використовується варіаційний алгоритм ідентифікації оптимальної потужності точкових джерел, який дозволяє моделювати процес за реалістичних припущень. Доведено коректність лінеаризованої безрозмірної задачі нестаціонарного вологоперенесення, зокрема доведено теореми щодо існування та єдиності узагальненого розв’язку, а також існування та єдиність оптимального керування потужністю занурених точкових джерел. Проведено моделювання переносу вологи із зануреного точкового джерела у сухому ґрунті. Наведено результати обчислювальних експериментів, які продемонстрували високу точність методу. Запропонований метод дозволяє розв’язати актуальну задачу оптимального вибору параметрів системи крапельного зрошення та збільшити її ефективність. Moisture transport through unsaturated porous medium with inserted point sources, described by Richards-Klute equation is a very complicated for calculations and unstable process. It can be explained by the fact that the physical process, described by this equation, is characterized by a large amount of diverse parameters. To reduce the difficulty an approach, based on Kirchhoff transformation, is offered, allowing to reduce the quasilinear parabolic initial-boundary problem to a linear and dimensionless problem. In this paper a two-dimensional quasilinear problem of optimal control using point sources for a rectangular unsaturated porous medium with known initial conditions, fixed humidity at the bottom bound and the given target humidity, is being considered. In this setting this problem is studied and solved for the first time. To solve the linear dimensionless optimal control problem on non-stationary moisture transport in an unsaturated porous medium, received using Kirchhoff transformation, a variation algorithm identifying the optimal source power is used, which allows modelling the process with realistic assumptions. In the paper, correctness of linearized dimensionless problem on moisture transport is proved. In particular, theorems on existence and uniqueness of the generalized solution are proven as well as existence and uniqueness of optimal control of the source power. In the paper, modelling of moisture transport from an inserted source in a dry ground area is made. Results for numerical experiments demonstrating high accuracy of the method are given. The proposed method allows to solve actual problem of optimal parameter choice for a drip irrigation system, and to improve its effectiveness. Работа выполнена в рамках проекта «Розробка алгоритмів моделювання та оптимізації динамічних систем для оборони, медицини та екології» (ГР № 0219U003403), поддержанного Министерством образования и науки Украины. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы оптимизации и оптимальное управление Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде Оптимальне керування інтенсивністю точкових джерел води в ненасиченому пористому середовищі Optimal control of intensity of water point sources in nonsaturated porous medium Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
spellingShingle	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Тимошенко, А.А. Ляшко, Н.И. Бондар, Е.С. Методы оптимизации и оптимальное управление
title_short	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
title_full	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
title_fullStr	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
title_full_unstemmed	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
title_sort	оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде
author	Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Тимошенко, А.А. Ляшко, Н.И. Бондар, Е.С.
author_facet	Ляшко, С.И. Клюшин, Д.А. Тимошенко, А.А. Ляшко, Н.И. Бондар, Е.С.
topic	Методы оптимизации и оптимальное управление
topic_facet	Методы оптимизации и оптимальное управление
publishDate	2019
language	Russian
container_title	Проблемы управления и информатики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Оптимальне керування інтенсивністю точкових джерел води в ненасиченому пористому середовищі Optimal control of intensity of water point sources in nonsaturated porous medium
description	Разработан вариационный алгоритм идентификации оптимальной мощности точечных источников, позволяющий решать квазилинейные задачи влагопереноса в ненасыщенной пористой среде с помощью их линеаризации на основе преобразования Кирхгофа при реалистичных предположениях. Вычислительные эксперименты продемонстрировали высокую точность метода. Предложенный метод позволяет решить актуальную задачу оптимального выбора параметров систем капельного орошения и повышения их эффективности. Вологоперенесення у ненасиченому пористому середовищі з точковими джерелами, що описується рівнянням Річардса–Клюта, являє собою дуже складний та нестійкий обчислювальний процес. Це пояснюється тим, що фізичний процес, що описується цим рівнянням, характеризується великою кількістю різноманітних параметрів. Для зниження цієї складності пропонується підхід, заснований на перетворенні Кірхгофа, що дозволяє звести квазілінійну параболічну початково-крайову задачу до лінійної та безрозмірної. Розглядається двовимірна квазілінійна задача точкового оптимального керування зволоженням прямокутної ненасиченої області пористого середовища з відомими початковими умовами, фіксованою вологістю на нижній границі та заданою цільовою вологістю. У такій постановці ця задача досліджується та розв’язується вперше. Для розв’язання лінеаризованої безрозмірної задачі оптимального керування нестаціонарним переносом вологи у ненасиченому пористому середовищі, отриманої за допомогою перетворення Кірхгофа, використовується варіаційний алгоритм ідентифікації оптимальної потужності точкових джерел, який дозволяє моделювати процес за реалістичних припущень. Доведено коректність лінеаризованої безрозмірної задачі нестаціонарного вологоперенесення, зокрема доведено теореми щодо існування та єдиності узагальненого розв’язку, а також існування та єдиність оптимального керування потужністю занурених точкових джерел. Проведено моделювання переносу вологи із зануреного точкового джерела у сухому ґрунті. Наведено результати обчислювальних експериментів, які продемонстрували високу точність методу. Запропонований метод дозволяє розв’язати актуальну задачу оптимального вибору параметрів системи крапельного зрошення та збільшити її ефективність. Moisture transport through unsaturated porous medium with inserted point sources, described by Richards-Klute equation is a very complicated for calculations and unstable process. It can be explained by the fact that the physical process, described by this equation, is characterized by a large amount of diverse parameters. To reduce the difficulty an approach, based on Kirchhoff transformation, is offered, allowing to reduce the quasilinear parabolic initial-boundary problem to a linear and dimensionless problem. In this paper a two-dimensional quasilinear problem of optimal control using point sources for a rectangular unsaturated porous medium with known initial conditions, fixed humidity at the bottom bound and the given target humidity, is being considered. In this setting this problem is studied and solved for the first time. To solve the linear dimensionless optimal control problem on non-stationary moisture transport in an unsaturated porous medium, received using Kirchhoff transformation, a variation algorithm identifying the optimal source power is used, which allows modelling the process with realistic assumptions. In the paper, correctness of linearized dimensionless problem on moisture transport is proved. In particular, theorems on existence and uniqueness of the generalized solution are proven as well as existence and uniqueness of optimal control of the source power. In the paper, modelling of moisture transport from an inserted source in a dry ground area is made. Results for numerical experiments demonstrating high accuracy of the method are given. The proposed method allows to solve actual problem of optimal parameter choice for a drip irrigation system, and to improve its effectiveness.
issn	0572-2691
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180817
citation_txt	Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде / С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, А.А. Тимошенко, Н.И. Ляшко, Е.С. Бондар // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 26-35. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lâškosi optimalʹnoeupravlenieintensivnostʹûtočečnyhistočnikovvodyvnenasyŝennoiporistoisrede AT klûšinda optimalʹnoeupravlenieintensivnostʹûtočečnyhistočnikovvodyvnenasyŝennoiporistoisrede AT timošenkoaa optimalʹnoeupravlenieintensivnostʹûtočečnyhistočnikovvodyvnenasyŝennoiporistoisrede AT lâškoni optimalʹnoeupravlenieintensivnostʹûtočečnyhistočnikovvodyvnenasyŝennoiporistoisrede AT bondares optimalʹnoeupravlenieintensivnostʹûtočečnyhistočnikovvodyvnenasyŝennoiporistoisrede AT lâškosi optimalʹnekeruvannâíntensivnístûtočkovihdžerelvodivnenasičenomuporistomuseredoviŝí AT klûšinda optimalʹnekeruvannâíntensivnístûtočkovihdžerelvodivnenasičenomuporistomuseredoviŝí AT timošenkoaa optimalʹnekeruvannâíntensivnístûtočkovihdžerelvodivnenasičenomuporistomuseredoviŝí AT lâškoni optimalʹnekeruvannâíntensivnístûtočkovihdžerelvodivnenasičenomuporistomuseredoviŝí AT bondares optimalʹnekeruvannâíntensivnístûtočkovihdžerelvodivnenasičenomuporistomuseredoviŝí AT lâškosi optimalcontrolofintensityofwaterpointsourcesinnonsaturatedporousmedium AT klûšinda optimalcontrolofintensityofwaterpointsourcesinnonsaturatedporousmedium AT timošenkoaa optimalcontrolofintensityofwaterpointsourcesinnonsaturatedporousmedium AT lâškoni optimalcontrolofintensityofwaterpointsourcesinnonsaturatedporousmedium AT bondares optimalcontrolofintensityofwaterpointsourcesinnonsaturatedporousmedium
first_indexed	2025-11-25T20:56:33Z
last_indexed	2025-11-25T20:56:33Z
_version_	1850543788548685824
fulltext	© С.И. ЛЯШКО, Д.А. КЛЮШИН, А.А. ТИМОШЕНКО, Н.И. ЛЯШКО, Е.С. БОНДАР, 2019 26 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УДК 519.633.6 С.И. Ляшко, Д.А. Клюшин, А.А. Тимошенко, Н.И. Ляшко, Е.С. Бондар ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ВОДЫ В НЕНАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Ключевые слова: оптимизация, уравнение Ричардса–Клюта, управление, ме- тод конечных разностей, пористая среда. Введение Влагоперенос в ненасыщенной пористой среде с точечными и линейными ис- точниками остается предметом многочисленных современных исследований, ко- торые можно разделить на две большие группы в зависимости от используемого математического аппарата. К первой группе относятся работы, в которых получе- ны аналитические решения, а во вторую входят работы, посвященные компью- терному моделированию. Аналитические методы решения таких задач предше- ствовали появлению компьютерных методов и опирались на идеализированные предположения о геометрической форме источника (сферическая, полусфериче- ская, цилиндрическая) и свойствах пористой среды (неограниченная область ре- шения, однородность). И все же эти методы не вышли из употребления благодаря простоте вычисления полученных решений и легкости их интерпретации [15]. С другой стороны, компьютерное моделирование переноса влаги позволяет учи- тывать реальные свойства пористых сред на основе уравнения Ричардса–Клюта в ограниченных областях сложной формы и структуры. Эти работы стали предме- том анализа в обширных обзорах [68]. Изучив большое количество работ, опуб- ликованных за последние десятилетия, авторы этих обзоров пришли к выводу, что численное решение уравнения РичардсаКлюта все еще остается очень сложным с вычислительной точки зрения, а в некоторых случаях представляет собой не- устойчивый процесс. Это объясняется тем, что процесс влагопереноса, описывае- мый этим уравнением, характеризуется большим разнообразием параметров и по- этому, например, методы решения задач влагопереноса в частично увлажненной пористой среде могут не подходить для решения задачи орошения совершенно сухого грунта [9]. Исследования по компьютерному моделированию влагопереноса в пористой среде можно классифицировать по применяемым методам, в частности, одни ис- следователи предпочитают метод конечных разностей [1015], а другие приме-  Работа выполнена в рамках проекта «Розробка алгоритмів моделювання та оптимізації динамі- чних систем для оборони, медицини та екології» (ГР № 0219U003403), поддержанного Мини- стерством образования и науки Украины. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 27 няют метод конечных элементов [1620]. Диапазон условий, учитываемых в этих моделях, значительно шире, по сравнению с аналитическими методами, но при этом происходит резкое повышение вычислительной сложности решения. Для снижения этой сложности ряд авторов [2123] предложили применить подход, который широко использовался в работах, посвященных аналитическим решени- ям задачи влагопереноса, основанный на преобразовании Кирхгофа, позволяю- щем свести квазилинейную задачу к линейной. Это значительно повысило быст- родействие предложенных алгоритмов. Тем не менее, несмотря на большое коли- чество работ по моделированию влагопереноса в ненасыщенной пористой среде, задача оптимального управления квазилинейным уравнением Ричардса–Клюта исследована очень мало [24–26], причем главным объектом внимания в этих зада- чах являются свойства грунта, а не параметры источников увлажнения. При решении линейных задач оптимального управления подземным массо- переносом из точечных источников часто используется трехэтапный вариацион- ный алгоритм с использованием сопряженного оператора [2729]. В связи с этим целесообразно исследовать численный подход к решению уравнения Ричардса– Клюта, основанный на линеаризации. Для построения системы уравнений в нашем случае используется метод конечных разностей. В случае использования распараллеливания вычислительных процессов для ускорения работы алгоритма, можно воспользоваться подходом, описанным в [30]. Для исследования коррект- ности построенной модели используется метод, изложенный в работах [3135]. Таким образом, цель нашей публикации  разработка вариационного алго- ритма идентификации оптимальной мощности точечных источников, позволяю- щий решать квазилинейные задачи влагопереноса в ненасыщенной пористой сре- де с помощью их линеаризации на основе преобразования Кирхгофа при реали- стичных предположениях и доказать его эффективность. Постановка задачи Рассмотрим двумерную задачу увлажнения ограниченной области пористой среды с известными начальными условиями, фиксированной влажностью на ниж- ней границе и заданной целевой влажностью в конечный момент времени. Урав- нение, описывающее процесс, имеет вид: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), N x y j j j j H H K K Q t x x y y t x x y y                              (1) 0( , , ) (0, ],x y t T  0 = 0; x  1 = 0; x L  (2) 0 = 0; y  2 = 0; y L  0( , , 0) = 0, ( , ) .x y x y  Здесь I означает интенсивность поглощения влаги корнями растений , H  ( ) y   — напор, ( ) = ( )y y d D K d     — коэффициент диффузивности вдоль оси y, 0 1 2=[( , ) : 0 < , 0 < ],x y x L y L   0=y y — уровень поверхности грунта (ось Oy направлена сверху вниз). Будем предполагать, что 1( ) = ( ),xK k k  2( ) = ( ),yK k k  где 1 2,k k — коэффициенты фильтрации вдоль осей , ,Ox Oy 28 ISSN 0572-2691 )(k — влагопроводность грунта. Для простоты изложения положим 1 2= ,k k 1 2 1.L L  Для того чтобы выполнить переход к безразмерному линейному уравнению, следуя Д.Ф. Шульгину и С.Н. Новосельскому [36], введем следующие переменные: 2 = 0,5 , 2 1 2 1 = , k k   2 2 = , yD T     1 2 1 2 = , = , = ,x y t L L       где yD  — среднее значение .yD Применим преобразование Кирхгофа [36]: 0 1 * 2 2 4 = ( ) ,y k D d Q k         где Q  масштабный множитель, и предположим, что выполняются следующие условия:  зависимость между )( и ( )yK  является линейной, т.е. 1 ( ) ( ) y y dK D d      = = const;  2 2 1 1 = 4 ( )y k Q t k D t        3 * 2 2 1 . 4 k Q k     Введем следующие обозначения: ,= Q Q q j j , — безразмерные аналоги областей 0 0, ,  где 0 — граница области .0 В таком случае начально-краевую задачу (1), (2) можно свести к виду: 2 2 2 2 2              =1 4 ( ) ( ) ( ), N j j j j q        ( , , ) (0,1],    (3) 0 1 = 0; = 0;     0 1 = 0; = 0;     ( , , ) [0,1].    (4) ( , , 0) = 0, ( , ) .      Обозначим , 1, ,jr j N положения источников мощности ( ).jq  Целевые значения влажности ( )m  интерпретируются как усреднение ( , , )    в окрест- ности m заданных точек ( , ) , 1, .m m m M    Следует найти функции ( ),jq  1, ,j N минимизирующие квадратичное отклонение ( , , )m m    от ( )m  в норме 2(0,1).L Пусть оптимальное управление принадлежит гильбертовому пространству 2( (0,1))NL со скалярным произведением 1 1 0 , ( ) ( ) , N j j j X Y x y d       Сглаживающий функционал запишем Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 29 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( , ) ( , , ) , M m m m J Q g d d Q                         (5) где T 1( ) ( ( ),..., ( ))NQ q q   — вектор управления, ( ) diam m m m g x    — ядро усреднения в области ,m m  — индикаторная функция, 0  — параметр ре- гуляризации. Оптимальное управление минимизирует функционал 2 ( (0,1)) ( ) min ( ). Nq L J Q J Q    (6) Корректность модели Пусть H — пополнение пространства гладких функций, удовлетворяющих условиям (2) по норме 1/2 2 2 2 2( ) . H Q u u u u dQu               Обозначим H аналогичное пространство, удовлетворяющее начальным и граничным условиям сопряженной задачи (4). Расширяя оператор L на H по не- прерывности с учетом граничных условий, получаем следующее операторное уравнение: 2 .L f t         (7) Применив подходы, описанные в [28], получаем следующие теоремы. Теорема 1. Для любой функции ( )f H существует единственное слабое решение задачи (7), т.е. 2 2( ) , , , ( ). L Q L f H L Q        Эта теорема непосредственно следует из теоремы, доказанной в [28], как частный случай. Теорема 2. Если состояние системы определяется как слабое решение зада- чи (7), то существует единственное оптимальное управление, минимизирующее функционал (6). Доказательство. Покажем, что для нашего случая выполняются условия теоремы о существовании единственного оптимального управления операторным уравнением [28], т.е. функционал (5) 1 2( ) :J L R  является слабо полунепре- рывным снизу по состоянию системы ( , , )    , ограниченным снизу и строго выпуклым, а множество допустимых управлений 2( (0,1))NU L  ограниченно, замкнуто и выпукло в пространстве .H Для простоты ограничимся случаем с одним точечным источником, имею- щим мощность 1( )q  и сосредоточенным в точке 1 1( , ).  Оператор управления в этом случае принимает вид 1 1 14 ( ) ( ) ( ).q      Слабая полунепрерыв- ность, ограниченность и строгая выпуклость следуют из структуры квадратичного функционала ( ).J q Ограниченность, замкнутость и выпуклость области 2( (0,1))NU L  следует из свойств точечного источника, мощность которого ограничена сверху и снизу. Таким образом, условия теоремы [28] выполняются и оптимальное решение существует, что и требовалось доказать. 30 ISSN 0572-2691 Итерационный алгоритм Решим начально-краевую задачу (3), (4) с помощью итерационного алгорит- ма [28], состоящего из трех этапов. 1. Решение прямой задачи:   2 2 2 2 =1 2 4 ( ) ( ) ( ); 0 1; (0) 0. k k k k N k j j j j k L q                                (8) 2. Решение сопряженной задачи:   2 2 * ( ) 2 2 2 2( ( )); 0 1, (1) = 0. k k k k k k kL                        3. Вычисление нового значения интенсивности источников: 1,0,=0,=)()( 1 )(1)( kQ QQ kk k kk      Для решения прямой задачи построим неявную разностную схему для урав- нения (8), выполнив разбиение 0 , 1    с шагом 1 30 h  и временными шагами 1 100   для 0 1.   Запишем систему уравнений для прямой задачи с помощью интегро-интерпо- ляционного метода: 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) h h                           . С учетом граничных условий получаем 1 0, 0, ( ) = ( ) , 0 1, 0, 1,               ˆ2 0, 0, ( ) = ( ) 2 , 0 1, 0, 1.                  Пусть ŷ — центральная разностная производная. Согласно граничным усло- виям 1 2( ) ( ) 0.     Для решения системы линейных алгебраических уравне- ний использовался метод Якоби. Также для сравнения использовалась явная схе- ма для прямой и сопряженной задач. В третьем этапе точность вычислений зависит от параметра регуляризации. При его выборе учитывалась погрешность вычислений по пространству 2( )O h и времени ( ),O  а также порядок полученных в прямой и сопряженной задаче ве- личин. При выборе слишком большого параметра регуляризации конечный ре- зультат не достигал нужной точности, так как значения сопряженной задачи, кор- ректирующие его в правильном направлении, перекрывались параметром регуля- ризации, мешая сходимости. Для обеспечения конечности вычислений и достижения точности в качестве условия остановки алгоритма было выбрано три альтернативы. 1. Среднее значение модуля разности между текущими и предыдущими зна- чениями  не превысило 710 (остановка по точности). 2. Количество итераций не превысило определенную константу (брались зна- чения 1000, 2000) — обеспечение конечности количества итераций. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 31 3. Ограничение по полученной мощности источника — использовалось для определения количества итераций, достаточных для получения количества итера- ций, достаточного для получения определенной мощности, не используется при глобальной оптимизации. Результаты моделирования Целевую функцию влажности зададим как результат моделирования безразмер- ной задачи при мощности, равной 10. Итерационный поиск начинаем с нулевой мощ- ности. Рассмотрим различные расположения источника относительно области — по- близости угла, посередине недалеко от верхней границы, посередине недалеко от ле- вой боковой границы, в центре области. Соответствующие функции имеют вид: 7 7 4 , , ; ( , ) = 30 30 0 в противном случае, q             7 4 , 0,5, ; ( , ) = 30 0 в противном случае, q             7 4 , , 0,5; ( , ) = 30 0 в противном случае, q             4 , 0,5, 0,5; ( , ) = 0 в противном случае. q          Максимальное отклонение полученной мощности от желаемой составило ме- нее 2 % при параметре регуляризации, равном 710 . Значения, полученные при решении сопряженной задачи при мощности 9,8 имели порядок 610 . Учитывая погрешность вычислений при данных шагах по времени и пространству, выбран- ный параметр регуляризации на этапе уточнения мощности позволяет достичь высокой точности, при этом обеспечивает сходимость. Распределение  при найденной мощности, а также сравнение с целевой функцией показано на графиках. На графиках с вертикальной пространственной координатой выполняется одномерный срез через источник. В случае первого расположения зависимость  от глубины демонстрирует рис. 1, также приведены соответствующие изолинии (рис. 2). Если точечный ис- точник расположен в (0,5, 7 ), 30 зависимость показана на рис. 3 и изолинии приве- дены ниже (рис. 4). Для источника посреди левой боковой границы 7 ( , 30 0,5) срез также выполнен через источник (рис. 5) и изолинии приведены соответственно (рис. 6). Для центральной точки области (0,5, 0,5), срез выполнен через центр (рис. 7) и изолинии указаны на последнем графике (рис. 8). 0,02 0,02   Рис. 2 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 Рис. 1   0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,01 0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Получено Целевое 32 ISSN 0572-2691   0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,01 0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Получено Целевое   0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,01 0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Получено Целевое   0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,01 0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Получено Целевое Отметим, что для проверки в качестве начального значения было взято также значение мощности, превышающее необходимое. В этом случае итерационный про- цесс также сошелся к решению. Утверждение о большом необходимом количестве итераций для поставленной задачи с нулевыми граничными условиями подтверди- лось. Для сравнения был проведен тест для критерия качества, основанном только на конечном моменте времени вместо всего временного промежутка. Оптимальная мощ- ность была найдена за меньшее количество итераций, отклонение от решения сос- тавило также менее 2 %.   Рис. 6 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1   Рис. 8 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 Рис. 3   Рис. 4 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 0,02 Рис. 7 Рис. 5 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 33 Таким образом, предложенный метод показал высокую точность определе- ния оптимальной мощности источника для нескольких вариантов его расположе- ния. При этом важно правильно подобрать параметр регуляризации и согласовать правую часть сопряженного уравнения с критерием качества. Заключение Разработан вариационный алгоритм идентификации оптимальной мощности точечных источников, позволяющий решать квазилинейные задачи влагопереноса в ненасыщенной пористой среде с помощью их линеаризации на основе преобра- зования Кирхгофа при реалистичных предположениях. Вычислительные экспе- рименты продемонстрировали высокую точность метода. Предложенный метод позволяет решить актуальную задачу оптимального выбора параметров систем капельного орошения и повышения их эффективности. С.І. Ляшко, Д.А. Клюшин, А.А. Тимошенко, Н.І. Ляшко, О.С. Бондар ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ІНТЕНСИВНІСТЮ ТОЧКОВИХ ДЖЕРЕЛ ВОДИ В НЕНАСИЧЕНОМУ ПОРИСТОМУ СЕРЕДОВИЩІ Вологоперенесення у ненасиченому пористому середовищі з точковими джере- лами, що описується рівнянням Річардса–Клюта, являє собою дуже складний та нестійкий обчислювальний процес. Це пояснюється тим, що фізичний процес, що описується цим рівнянням, характеризується великою кількістю різномані- тних параметрів. Для зниження цієї складності пропонується підхід, заснований на перетворенні Кірхгофа, що дозволяє звести квазілінійну параболічну почат- ково-крайову задачу до лінійної та безрозмірної. Розглядається двовимірна ква- зілінійна задача точкового оптимального керування зволоженням прямокутної ненасиченої області пористого середовища з відомими початковими умовами, фіксованою вологістю на нижній границі та заданою цільовою вологістю. У та- кій постановці ця задача досліджується та розв’язується вперше. Для розв’язання лінеаризованої безрозмірної задачі оптимального керування неста- ціонарним переносом вологи у ненасиченому пористому середовищі, отриманої за допомогою перетворення Кірхгофа, використовується варіаційний алгоритм ідентифікації оптимальної потужності точкових джерел, який дозволяє моде- лювати процес за реалістичних припущень. Доведено коректність лінеаризо- ваної безрозмірної задачі нестаціонарного вологоперенесення, зокрема доведе- но теореми щодо існування та єдиності узагальненого розв’язку, а також існу- вання та єдиність оптимального керування потужністю занурених точкових джерел. Проведено моделювання переносу вологи із зануреного точкового джерела у сухому ґрунті. Наведено результати обчислювальних експериментів, які продемонстрували високу точність методу. Запропонований метод дозволяє розв’язати актуальну задачу оптимального вибору параметрів системи крапе- льного зрошення та збільшити її ефективність. Ключові слова: оптимізація, рівняння Річардса–Клюта, керування, метод скін- ченних різниць, пористе середовище. S.I. Lyashko, D.A. Klyushin, A.A. Timoshenko, N.S. Lyashko, O.S. Bondar OPTIMAL CONTROL OF INTENSITY OF WATER POINT SOURCES IN NONSATURATED POROUS MEDIUM Moisture transport through unsaturated porous medium with inserted point sources, described by Richards-Klute equation is a very complicated for calculations and un- 34 ISSN 0572-2691 stable process. It can be explained by the fact that the physical process, described by this equation, is characterized by a large amount of diverse parameters. To reduce the difficulty an approach, based on Kirchhoff transformation, is offered, allowing to re- duce the quasilinear parabolic initial-boundary problem to a linear and dimensionless problem. In this paper a two-dimensional quasilinear problem of optimal control us- ing point sources for a rectangular unsaturated porous medium with known initial conditions, fixed humidity at the bottom bound and the given target humidity, is be- ing considered. In this setting this problem is studied and solved for the first time. To solve the linear dimensionless optimal control problem on non-stationary moisture transport in an unsaturated porous medium, received using Kirchhoff transformation, a variation algorithm identifying the optimal source power is used, which allows modelling the process with realistic assumptions. In the paper, correctness of linear- ized dimensionless problem on moisture transport is proved. In particular, theorems on existence and uniqueness of the generalized solution are proven as well as exist- ence and uniqueness of optimal control of the source power. In the paper, modelling of moisture transport from an inserted source in a dry ground area is made. Results for numerical experiments demonstrating high accuracy of the method are given. The proposed method allows to solve actual problem of optimal parameter choice for a drip irrigation system, and to improve its effectiveness. Keywords: щptimization, Richards–Klute equation, control, finite difference meth- od, porous medium. 1. Communar G., Friedman S. Unsteady infiltration from point and line sources in laterally confined domains. Soil Science Society of America Journal. 2013. 77, N 5. P. 1529–1541. 2. Communar G., Friedman S. Generalized coupled Source–Sink model for evaluating transient wa- ter uptake in trickle irrigation: I. Model Formulation for Soils with Vertical Heterogeneity. Soil Science Society of America Journal. 2012. 76(3). P. 779–790. 3. Friedman S.P., Gamliel A. Wetting patterns and relative water-uptake rates from a Ring-Shaped water source. Soil Science Society of America Journal. 2019. 83(1). P. 48–57. 4. Hayek M. An analytical model for steady vertical flux through unsaturated soils with special hy- draulic properties. Journal of Hydrology. 2015. 527. P. 1153–1160. 5. Hayek M. An exact explicit solution for one-dimensional, transient, nonlinear Richards' equation for modeling infiltration with special hydraulic functions. Journal of Hydrology. 2016. 535. P. 662–670. 6. Farthing M.W., Ogden F. L. Numerical solution of richards’ equation: A review of advances and challenges. Soil Science Society of America Journal. 2017. 81(6). P. 1257–1269. 7. Vereecken, H. et al. Modeling soil processes: review, key challenges, and new perspectives. Va- dose Zone Journal. 2016. 15(5). P. 157. 8. Paniconi C., Putti M. Physically based modeling in catchment hydrology at 50: Survey and out- look. Water Resources Research. 2015. 51(9). P. 7090–7129. 9. Zha Y. et al. A modified Picard iteration scheme for overcoming numerical difficulties of simulat- ing infiltration into dry soil. Journal of Hydrology. 2017. 551. P. 56–69. 10. Casulli V. A coupled surface-subsurface model for hydrostatic flows under saturated and variably satu- rated conditions. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2017. 85(8). P. 449–464. 11. Lipnikov K., Moulton D, and Svyatskiy D. New preconditioning strategy for Jacobian-free solv- ers for variably saturated flows with Richards’ equation. Advances in Water Resources. 2016. 94. P. 1122. 12. List F., Radu F. A study on iterative methods for solving Richards’ equation. Computational Geo- science. 2015. 20(2). P. 341–353. 13. Zha Y. et al. Comparison of noniterative algorithms based on different forms of Richards’ equa- tion. Environmental Modelling & Assessment. 2016. 21(3). P. 357–370. 14. Zeng J., Zha Y., Yang J. Switching the Richards’ equation for modeling soil water movement un- der unfavorable conditions. Journal of Hydrology. 2018. 563. P. 942–949 15. Клюшин Д.А., Оноцький В.В. Чисельне моделювання тривимірного вологоперенесення при мікрозрошенні. Журнал обчислювальної та прикладної математики. 2016. № 1. С. 54–64. 16. Scudeler C., Putti M., Paniconi C. Mass-conservative reconstruction of Galerkin velocity fields for transport simulations. Advances in Water Resources. 2016. 94. P. 470–485. 17. Mostaghimi P. et al. Anisotropic mesh adaptivity and control volume finite element methods for numerical simulation of multiphase flow in porous media. Math Geosci. 2015. 47(4). P. 417–440. 18. Lai W., Ogden F.L. A mass-conservative finite volume predictor – corrector solution of the 1D Richards’ equation. Journal of Hydrology. 2015. 523. P. 119–127. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 35 19. Zhang Z.-Y. et al. Finite analytic method for solving the unsaturated flow equation. Vadose Zone Journal. 2015. 14. P. 1–10. 20. Zhang Z.-Y. et al. Finite analytic method based on mixed-form Richards' equation for simulating water flow in vadose zone. Journal of Hydrology. 2016. 537. P. 146–156. 21. Berninger H., Loisel S., Sander O. The 2-Lagrange multiplier method applied to nonlinear trans- mission problems for the Richards equation in heterogeneous soil with cross points. SIAM Jour- nal of. Scientific Computing. 2014. 36(5). A2166A2198. 22. Berninger H., Kornhuber R., and Sander O. Multidomain discretization of the Richards equation in layered soil. Computational Geosciences. 2015. 19(1). P. 213–232. 23. Pop I.S., Schweizer B. Regularization schemes for degenerate Richards equations and outflow conditions. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2011. 21(8). P. 1685–1712. 24. Cockett R., Heagy L. J., Haber E. Efficient 3D inversions using the Richards equation. Computers & Geosciences. 2018. 116. P. 91–102. 25. Murea C.M., Crolet J.M. Optimal control approach for a flow in unsaturated porous media. Com- putational Methods for Flow and Transport in Porous Media. 2000. 17. P. 107–114. 26. Farag M. H. Computing optimal control with a quasilinear parabolic partial differential equation. Surveys in Mathematics and its Applications. 2009. 4. P. 139–153. 27. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения. Известия высших учебных заведений. Математика. 2003. № 1. С. 29–37. 28. Ляшко С.И., Клюшин Д.А., Семенов В.В., Шевченко К.В. Лагранжово-ейлеровий підхід до розв’язання оберненої задачі конвективної дифузії. Доповіді НАН України. 2007. № 10. С. 38–43. 29. Tymoshenko A., Klyushin D., Lyashko S. Optimal control of point sources in Richards–Klute equation. Advances in Intelligent Systems and Computing. 2019. 754. P. 194–203. 30. Nikolaevskaya E.A., Khimich A.N., Chistyakova T.V. Solution of linear algebraic equations by gauss method. Studies in Computational Intelligence. 399. 2012. P. 31–44. 31. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Onotskyi V.V., Lyashko N.I. Optimal control of drug delivery from microneedle systems. Cybernetics and System Analysis. 2018. 54(3). P. 1–9. 32. Lyashko S.I., Klyushin D.A, Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age — structured contamination sources in ground water. Optimal control of age — structured populations in econ- omy, demography, and the invironment. London; New York : Routledge. 2013. P. 277–292. 33. Lyashko S.I. Klyushin D.A., Palienko L.I. Simulation and generalized optimization in pseudohy- perbolical systems. Journal of Automation and Information Sciences. 2000. 32(5). P. 108–117. 34. Lyashko S.I. Numerical solution of pseudoparabolic equations. Cybernetics and System Analysis. 1995. 31(5). P.718–722. 35. Lyashko S.I. Approximate solution of equations of pseudoparabolic type. Computational Mathe- matics and Mathematical Physics. 1991. 31(12). P. 107111. 36. Шульгин Д. Ф., Новосельский С. Н. Математические модели и методы расчета влагопере- носа при внутри почвенном орошении. В сб. науч. тр.: Математика и проблемы водного хозяйства. Киев : Наук. думка, 1986. С. 73–89. Получено 20.05.2019

Оптимальное управление интенсивностью точечных источников воды в ненасыщенной пористой среде

Institution

Ähnliche Einträge