Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем
На основе метода оптимизации, использующего принцип максимума в сочетании с математическим аппаратом функций Уолша для линейно-квадратичных задач оптимизации синтезированы матрицы усиления (оптимальных законов управления в виде аппроксимаций рядами Уолша, постоянные коэффициенты которых находятся ре...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180819 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем / А.А. Стенин, Ю.А. Тимошин, И.Г. Дроздович // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 48-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180819 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Стенин, А.А. Тимошин, Ю.А. Дроздович, И.Г. 2021-10-20T11:56:23Z 2021-10-20T11:56:23Z 2019 Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем / А.А. Стенин, Ю.А. Тимошин, И.Г. Дроздович // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 48-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180819 681.51 На основе метода оптимизации, использующего принцип максимума в сочетании с математическим аппаратом функций Уолша для линейно-квадратичных задач оптимизации синтезированы матрицы усиления (оптимальных законов управления в виде аппроксимаций рядами Уолша, постоянные коэффициенты которых находятся решением системы линейных алгебраических уравнений. Полученные в аналитической форме оптимальные законы ввиду их кусочно-постоянного характера весьма удобны для их практической реализации. Точность полученного приближенного оптимального решения достигается выбором соответствующего числа членов разложения в ряд Уолша. Вирішення задач аналітичного конструювання оптимального регулятора (АКОР) для стаціонарних динамічних об'єктів досить добре вивчено, і їм присвячена низка робіт. Водночас синтез оптимальних законів керування нестаціонарними динамічними об'єктами у загальному випадку — досить складне завдання, яке часто не піддається вирішенню в аналітичній формі. Це пов'язано, в першу чергу, з труднощами вирішення нестаціонарного нелінійного векторно-матричного рівняння Ріккаті. У даній статті розглядаються лінійно-квадратичні завдання синтезу замкнутого оптимального закону керування одним класом лінійних нестаціонарних систем. Визначення оптимального закону керування в рамках завдання АКОР здійснюється на основі принципу максимуму Понтрягіна. Для встановлення зв'язку між допоміжним вектором і вектором стану використовується фундаментальна матриця системи спрощених канонічних рівнянь. Слід зазначити, що, в загальному випадку, для лінійних нестаціонарних систем отримати аналітичне вираження фундаментальної матриці неможливо. У даній статті запропоновано знаходити фундаментальну матрицю системи спрощених канонічних рівнянь шляхом наближеного інтегрування лінійного матричного диференціального рівняння стану, якому вона задовольняє, з використанням математичного апарата функцій Уолша. При цьому елементи матриці оптимального закону керування також визначаються у вигляді рядів Уолша, постійні коефіцієнти яких знаходяться із системи алгебраїчних рівнянь. Оскільки елементи матриці оптимального закону керування є кусково-сталими функціями, це значно спрощує їх практичну реалізацію порівняно з нестаціонарними матрицями оптимального керування, отриманими на основі рішення рівняння Ріккаті. Точність отриманого наближеного оптимального рішення досягається вибором відповідного числа членів розкладу в ряд Уолша. Currently, the solution of the problems of analytical design of the optimal controller (ADOC) for stationary dynamic objects is well studied and a number of works are devoted to them. At the same time, the synthesis of optimal control laws of non-stationary dynamic objects in general case is quite a complex task, which often can’t be solved in analytical form. This is primarily due to the difficulty of solving the nonstationary nonlinear vector-matrix Riccati equation. This article deals with linear-quadratic problems of synthesis of a closed optimal control law for one class of linear nonstationary systems. Determination of the optimal control law within the framework of the ADOC problem is based on the Pontryagin maximum principle. The fundamental matrix of the system of simplified canonical equations is used to establish the connection between the auxiliary vector and the state vector. In general case, it is not possible to obtain an analytical expression of the fundamental matrix for linear nonstationary systems. In this article it is proposed to find the fundamental matrix of the system of simplified canonical equations by means of approximate integration of the linear matrix differential equation of state, to which it satisfies, using the mathematical apparatus of Walsh functions. In this case, the elements of the matrix of the optimal control law are also determined in the form of Walsh series, the constant coefficients of which are found from the system of algebraic equations. Since the elements of the matrix of the optimal control law are piecewise constant functions, this greatly simplifies their practical implementation in comparison with the nonstationary matrices of optimal control obtained on the basis of the solution of the Riccati equation. The accuracy of the obtained approximate optimal solution is achieved by choosing the appropriate number of terms of the Walsh series expansion. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Методы оптимизации и оптимальное управление Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем Функції Уолша в лінійно-квадратичних задачах оптимізації лінійних нестаціонарних систем Walsh functions in linear-quadratic optimization problems of linear nonstationary systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| spellingShingle |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем Стенин, А.А. Тимошин, Ю.А. Дроздович, И.Г. Методы оптимизации и оптимальное управление |
| title_short |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| title_full |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| title_fullStr |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| title_full_unstemmed |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| title_sort |
функции уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем |
| author |
Стенин, А.А. Тимошин, Ю.А. Дроздович, И.Г. |
| author_facet |
Стенин, А.А. Тимошин, Ю.А. Дроздович, И.Г. |
| topic |
Методы оптимизации и оптимальное управление |
| topic_facet |
Методы оптимизации и оптимальное управление |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы управления и информатики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Функції Уолша в лінійно-квадратичних задачах оптимізації лінійних нестаціонарних систем Walsh functions in linear-quadratic optimization problems of linear nonstationary systems |
| description |
На основе метода оптимизации, использующего принцип максимума в сочетании с математическим аппаратом функций Уолша для линейно-квадратичных задач оптимизации синтезированы матрицы усиления (оптимальных законов управления в виде аппроксимаций рядами Уолша, постоянные коэффициенты которых находятся решением системы линейных алгебраических уравнений. Полученные в аналитической форме оптимальные законы ввиду их кусочно-постоянного характера весьма удобны для их практической реализации. Точность полученного приближенного оптимального решения достигается выбором соответствующего числа членов разложения в ряд Уолша.
Вирішення задач аналітичного конструювання оптимального регулятора (АКОР) для стаціонарних динамічних об'єктів досить добре вивчено, і їм присвячена низка робіт. Водночас синтез оптимальних законів керування нестаціонарними динамічними об'єктами у загальному випадку — досить складне завдання, яке часто не піддається вирішенню в аналітичній формі. Це пов'язано, в першу чергу, з труднощами вирішення нестаціонарного нелінійного векторно-матричного рівняння Ріккаті. У даній статті розглядаються лінійно-квадратичні завдання синтезу замкнутого оптимального закону керування одним класом лінійних нестаціонарних систем. Визначення оптимального закону керування в рамках завдання АКОР здійснюється на основі принципу максимуму Понтрягіна. Для встановлення зв'язку між допоміжним вектором і вектором стану використовується фундаментальна матриця системи спрощених канонічних рівнянь. Слід зазначити, що, в загальному випадку, для лінійних нестаціонарних систем отримати аналітичне вираження фундаментальної матриці неможливо. У даній статті запропоновано знаходити фундаментальну матрицю системи спрощених канонічних рівнянь шляхом наближеного інтегрування лінійного матричного диференціального рівняння стану, якому вона задовольняє, з використанням математичного апарата функцій Уолша. При цьому елементи матриці оптимального закону керування також визначаються у вигляді рядів Уолша, постійні коефіцієнти яких знаходяться із системи алгебраїчних рівнянь. Оскільки елементи матриці оптимального закону керування є кусково-сталими функціями, це значно спрощує їх практичну реалізацію порівняно з нестаціонарними матрицями оптимального керування, отриманими на основі рішення рівняння Ріккаті. Точність отриманого наближеного оптимального рішення досягається вибором відповідного числа членів розкладу в ряд Уолша.
Currently, the solution of the problems of analytical design of the optimal controller (ADOC) for stationary dynamic objects is well studied and a number of works are devoted to them. At the same time, the synthesis of optimal control laws of non-stationary dynamic objects in general case is quite a complex task, which often can’t be solved in analytical form. This is primarily due to the difficulty of solving the nonstationary nonlinear vector-matrix Riccati equation. This article deals with linear-quadratic problems of synthesis of a closed optimal control law for one class of linear nonstationary systems. Determination of the optimal control law within the framework of the ADOC problem is based on the Pontryagin maximum principle. The fundamental matrix of the system of simplified canonical equations is used to establish the connection between the auxiliary vector and the state vector. In general case, it is not possible to obtain an analytical expression of the fundamental matrix for linear nonstationary systems. In this article it is proposed to find the fundamental matrix of the system of simplified canonical equations by means of approximate integration of the linear matrix differential equation of state, to which it satisfies, using the mathematical apparatus of Walsh functions. In this case, the elements of the matrix of the optimal control law are also determined in the form of Walsh series, the constant coefficients of which are found from the system of algebraic equations. Since the elements of the matrix of the optimal control law are piecewise constant functions, this greatly simplifies their practical implementation in comparison with the nonstationary matrices of optimal control obtained on the basis of the solution of the Riccati equation. The accuracy of the obtained approximate optimal solution is achieved by choosing the appropriate number of terms of the Walsh series expansion.
|
| issn |
0572-2691 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180819 |
| citation_txt |
Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем / А.А. Стенин, Ю.А. Тимошин, И.Г. Дроздович // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 48-61. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT steninaa funkciiuolšavlineinokvadratičnyhzadačahoptimizaciilineinyhnestacionarnyhsistem AT timošinûa funkciiuolšavlineinokvadratičnyhzadačahoptimizaciilineinyhnestacionarnyhsistem AT drozdovičig funkciiuolšavlineinokvadratičnyhzadačahoptimizaciilineinyhnestacionarnyhsistem AT steninaa funkcííuolšavlíníinokvadratičnihzadačahoptimízacíílíníinihnestacíonarnihsistem AT timošinûa funkcííuolšavlíníinokvadratičnihzadačahoptimízacíílíníinihnestacíonarnihsistem AT drozdovičig funkcííuolšavlíníinokvadratičnihzadačahoptimízacíílíníinihnestacíonarnihsistem AT steninaa walshfunctionsinlinearquadraticoptimizationproblemsoflinearnonstationarysystems AT timošinûa walshfunctionsinlinearquadraticoptimizationproblemsoflinearnonstationarysystems AT drozdovičig walshfunctionsinlinearquadraticoptimizationproblemsoflinearnonstationarysystems |
| first_indexed |
2025-11-26T14:47:28Z |
| last_indexed |
2025-11-26T14:47:28Z |
| _version_ |
1850624912134242304 |
| fulltext |
© А.А. СТЕНИН, Ю.А ТИМОШИН, И.Г. ДРОЗДОВИЧ, 2019
48 ISSN 0572-2691
УДК 681.51
А.А. Стенин, Ю.А Тимошин, И.Г. Дроздович
ФУНКЦИИ УОЛША В ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ
ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Ключевые слова: линейные нестационарные системы, линейно-квадратичные
задачи оптимизации, функции Уолша, фундаментальная матрица, замкнутое
оптимальное управление.
Введение
Известно, что все реальные объекты управления в той или иной мере нели-
нейны и нестационарны [1]. Анализ и синтез систем управления для таких объек-
тов представляет собой сложную математическую проблему, решение которой до
настоящего времени получено для некоторых частных случаев. Однако большин-
ство объектов управления позволяет принять в качестве математической модели
линеаризованную нестационарную систему (ЛНС) и применить развитой матема-
тический аппарат решения линейных нестационарных дифференциальных урав-
нений к решению задач управления ими [2–4]. Несмотря на это, синтез оптималь-
ных систем управления для таких объектов по-прежнему остается сложной про-
блемой ввиду нестационарности параметров, решение которой во многом зависит
от ограничений, наложенных на векторы состояния и управления, на время
управления и целей оптимизации. Один из возможных вариантов решения ука-
занной проблемы — совместное использование известных методов оптимизации
и математического аппарата функций Уолша.
Постановка задачи
Пусть динамика ЛНС описывается системой дифференциальных уравнений вида
)0(
00 )(],,[),()()()()( xtxTtttutBtxtAtx f
, (1)
где )}({)()},({)( tbtBtatA ikij — матрицы размерности mnnn è соответ-
ственно, элементы которых — знакопостоянные
const)]([signconst,)]([sign tbta ikij , (2)
монотонные
const]/)([signconst,]/)([sign dttdbdttda ikij (3)
функции, имеют непрерывные первые производные и ограниченные области
определения на интервале времени ],,[ 0 fTt конечное состояние фиксировано и
равно нулю, вектор управляющих воздействий неограничен.
В общем случае критерий качества для детерминированных процессов с не-
прерывным временем представляет функционал вида
T
t
dttuxTTxVI
0
),,()),(( , (4)
где V, Λ — скалярные функции векторов состояния и управления.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 49
Для линейно-квадратичных задач оптимизации критерием качества является
функционал вида
f
t
ff dttuttutxtQtxTxFTxI
0
)]()()()()()([)()(
2
1 TTT
, (5)
где F, Q(t) — постоянная и нестационарная положительно-полуопределенная
матрицы размера )(; tRnn — нестационарная положительно-определенная
матрица размера mm . В общем случае линейно-квадратичная задача опти-
мизации формулируется следующим образом [5]: необходимо найти оптимальное
управление ],[),( 0
*
fTtttu , обеспечивающее перевод системы (1) из заданного
начального состояния )0(
0)( xtx в конечное состояние )( fTx и минимизирующее
функционал (5).
Класс линейно-квадратичных задач оптимизации впервые был рассмотрен
профессором А.М. Летовым [6] и американским математиком Р. Калманом [7].
Принцип максимума в линейно-квадратичных задачах оптимизации
В соответствие с принципом максимума [8] вводится в рассмотрение линей-
ная однородная вспомогательная система дифференциальных уравнений, которая
для (1) и функционала (4) имеет вид
)()(
),,(
)( tptA
x
tux
tp T
, (6)
где вектор )(tp называется вспомогательным и определен только вдоль опти-
мальной траектории )(* tx . Для системы (1) и функционала (4) с учетом (6) обра-
зуется функция Гамильтона
))()()()()((),,(),,,( T tutBtxtAtptuxtupxH
. (7)
Необходимое условие оптимальности для указанного типа задач формируется
следующим образом: если )(* tu оптимально в смысле выбранного функционала,
то существует непрерывная ненулевая вектор-функция ),(tp такая, что решения
** è px канонических дифференциальных уравнений
)(
),,,(
)(
,
)(
),,,(
)(
***
*
***
*
tx
tupxH
tp
tp
tupxH
tx
(8)
удовлетворяют граничным условиям:
const)(),()(),()( **
00
* fff TpTxTxtxtx
— произвольный постоянный положительный вектор.
В работе [9] показано, что гамильтониан (7) для системы (1) и функционала (5)
принимает минимальное значение, если
)()()()( *1* tptBttu T . (9)
Соотношение (9) показывает, что вектор оптимального управления )(* tu —
линейная функция вспомогательного вектора )(* tp и однозначно определяется
50 ISSN 0572-2691
этим вектором. Отсюда следует, что рассматриваемая оптимизационная задача
является нормальной.
Известно [9], что )(* tp и )(* tx связаны соотношением вида )()()( ** txtZtp ,
где матрица )(tZ удовлетворяет дифференциальному уравнению
)()()()()()()()()()()( 1 tQtZtBttBtZtAtZtZtAtZ (10)
с граничным условием .)( FTZ f
Уравнение (10) представляет собой нелинейное дифференциальное матрич-
ное уравнение Риккати, численное решение которого даже для небольшой раз-
мерности вектора )(tx при нестационарных матрицах A(t), B(t), Θ(t), Q(t) связано
с трудностями вычислительного характера. Это обстоятельство усложняет или
делает невозможной непосредственную реализацию аналитических методов
определения оптимального управления для нестационарных объектов и много-
образных условий их функционирования.
Однако подстановка выражения для оптимального управления (10) в канони-
ческие уравнения (8) позволяет получить систему упрощенных канонических
уравнений для переменных состояния )(* tx и вспомогательной переменной
)(* tp . Связь между )(* tp и )(* tx может быть определена с помощью фундамен-
тальной матрицы системы упрощенных канонических уравнений в виде
)()()( ** txtKtp , (11)
где K(t) — матрица, определяемая фундаментальной матрицей. Подставив соот-
ношение (11) в (9), получим выражение для оптимального управления:
)()()()()( *1* txtKtBttu . (12)
Для линейных нестационарных систем вида (1) и матриц Q(t), Λ(t) квадра-
тичного функционала (5), зависящих от времени, аналитическое выражение
для фундаментальной матрицы в общем случае получить невозможно. Однако
ее можно найти приближенно, воспользовавшись разложениями в ряды по
различным системам линейно-независимых функций, в частности функций
Уолша [10, 11].
Актуальность применения функций Уолша
Принятие ограничений (2), (3) относительно коэффициентов уравнений (1)
и ограничений на время управления позволяют использовать математический
аппарат функций Уолша для преодоления указанных выше трудностей. В частности,
предлагается находить фундаментальную матрицу системы упрощенных канони-
ческих уравнений путем приближенного интегрирования линейного матричного
дифференциального уравнения состояния, которому она удовлетворяет. При этом
элементы искомой матрицы определяются в виде рядов Уолша, постоянные
коэффициенты которых находятся из системы алгебраических уравнений. По-
скольку в (9) известные матрицы Θ(t) могут быть представлены в терминах
функций Уолша, в выражении (12) матрица также определяется в терминах
функций Уолша.
В настоящее время систематизированного изложения материала по примене-
нию функций Уолша в теории управления не существует. Актуальность примене-
ния функций Уолша для решения задач анализа и cинтеза линейных нестационар-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 51
ных систем объясняется тем, что функции Уолша принимают значения только 1
и предоставляют собой аппарат, тесно связанный с двоичным разложением. В связи
с этим применение системы функций Уолша позволяет легко на цифровой техни-
ке генерировать и моделировать кодовые последовательности системы Уолша
(свойство коммутативности), что позволяет существенно упростить вычисли-
тельные процедуры цифровой реализации алгоритмов, построенных на их основе.
Кроме того, в работе [12] показано, что интеграл от функций Уолша
x
kk kxdxxI
0
...),2,1,0()()( может быть представлен в виде ряда по функ-
циям Уолша при nn kkk 20,2 :
0
2
00
),(2
4
1
)(
2
1
)(
p
p x
xxI
p
.1,)(2)(2)(
2
1
)2(
kxxxI
k
p
p
k
n
k pn
Эти соотношения могут быть представлены в компактной форме
),()( )(
,,
0
xPdxx NNN
x
N (13)
где φ
– T
(x) = {φ0(x), φ1(x), ….} — вектор, компонентами которого являются
функции Уолша; P — операционная матрица интегрирования [12].
Поскольку )(x и P в (13) имеют бесконечную размерность, аппроксимация
конечной размерности может быть получена ограничением вектора )(x , содер-
жащего только 2
n
функций Уолша для некоторого целого n 1 .
Общее выражение для операционной матрицы произвольной конечной
размерности N имеет вид [12]
)2/(2/
)4/()4/(
)8/()8/(
2/
4/
)8/(
)(
2/1
/1
/2
2/1
/10
/2
2/1
NN
NN
NN
N
N
N
NN
ONI
ONI
ONI
NI
NI
NI
P . (14)
Для использования функций Уолша необходимо также ввести безразмерное
время равное
tT
tt
f
0 , чтобы привести интервал управления ],[ 0 fTt к
нормированному интервалу ]1,0[ .
52 ISSN 0572-2691
Линейно-квадратичная задача минимизации энергии
В данном случае задача формулируется следующим образом: найти управле-
ние mEtu )( , переводящее линейную нестационарную систему вида (1) из задан-
ного начального состояния )( 0tx в нулевое конечное 0)( fTx за фиксированный
промежуток времени ],[ 0 fTtt и минимизирующее функционал (6) при Q = 0, F = 0.
Оптимальный закон управления для этой задачи может быть получен с помощью
принципа максимума и определяется в виде (9). В силу положительной опре-
деленности матрицы Θ(t) управление (9) обеспечивает единственный минимум
функции Гамильтона вида (7) для ЛНС (1) и функционала (5) при Q = 0, F = 0.
Запишем уравнение (8) с учетом (9) в упрошенной канонической форме:
*
*
*
*
)(
)(
)(
p
x
tN
tp
tx
(15)
с граничными условиями
0(,)( )
*)0(
0
* fTxxtx . (16)
Здесь N(t) — матрица размера nn 22 , имеющая блочную структуру
)(0
)()()()(
)(
T
T1
tA
tBtRtBtA
tN .
Пуcть ),( 0ttW — матрица переходов системы (15) размера nn 22 , которая
также может быть предcтавлена в виде блочной матрицы:
),(),(
),(),(
),(
022021
012011
0
ttWttW
ttWttW
ttW .
Из основного соотношения
,
)(
)(
),(
)(
)(
0
*
0
*
0
*
*
tp
tx
ttW
tp
tx
(17)
учитывая (16) и предполагая, что ),( 012 tTW f невырождена, следует, что
)(),(),()( 0
*
0110
1
120
* txtTWtTWtp ff
.
Отсюда уравнения (17) можно записать в виде
)()()()],(),(),(),([)( 0
*
10
*
0110
1
12012011
* txtKtxtTWtTWttWttWtx ff ,
)()()()],(),(),(),([)( 0
*
20
*
0110
1
12022021
* txtKtxtTWtTWttWttWtp ff . (18)
Подстановка соотношения (18) в (9) позволяет записать закон оптимального
управления следующим образом:
)()()( 0
** txtGtu , (19)
где матрица коэффициентов усиления G(t) размера nm имеет вид
)()()()( 2
1 tKtBttG . (20)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 53
Так как Θ(t), B(t) в (20) заданы, то для определения G(t) в (19) с учетом (18)
необходимо найти фундаментальную матрицу ),( 0ttW .
Матрица ),( 0ttW является решением уравнения состояния
),()(),( 00 ttWtNttW
(21)
с начальным условием IttW ),( 0 .
Для решения уравнения (21) воспользуемся математическим аппаратом
функций Уолша. Полагаем, что найдено приближение элементов матриц
),1(),,1,()}({)()},({)( mknjitbtBtatA ikij
уравнения (1) в виде рядов по системе функций Уолша. В силу того, что матрица
),1,()}(θ{)( mkitt ik задана, ее элементы также могут быть аппроксимиро-
ваны рядами по системе функций Уолша, т.е. имеем представления элементов мат-
риц A(t), B(t), Θ(t) рядами Уолша:
),1,0(}{
,)()(,),1,()()(
)(
1
0
1
0
)(
RraA
tAtAnjitata
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ik
rij
(22)
),0,0}({
,)()(),,1(,),1()()(
)(
1
0
1
0
)(
RbB
tBtBmknitbtb
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ik
rik
(23)
).1,0(}θ{
),()(),,1,()()(
)(
1
0
1
0
)(
Rr
ttmkitrt
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ik
rik
(24)
С помощью разложений в ряд Уолша матрицы )}({)( tntN ij и ),( 0ttW
)2,1,()},({ 0 njittwij на рассматриваемом интервале ],[ 0 fTt представим в виде
.
)(0
0)(
),(
,
)(0
0)(
)(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
0
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
ww
ww
ttW
t
t
nn
nn
tN
R
R
nnn
n
R
R
nnn
n
(25)
Здесь })(...,),(...,),({)( 10
T tttt RrR — R-мерный вектор функций Уолша,
заданных на интервале ],[ 0 fTt ; }...,,...,,{
)(
1
)()(
0
T)( ij
R
ij
r
ijij
nnnn — R-мерный век-
тор постоянных коэффициентов разложения в ряд Уолша известной функции
54 ISSN 0572-2691
);(tnij }...,,...,,{
)(
1
)()(
0
T)( ij
R
ij
r
ijij
wwww — R-мерный вектор постоянных неизвест-
ных коэффициентов разложения в ряд Уолша искомой функции ),( 0ttW . Интегри-
руя уравнение (21), получаем
.),()(),( 00
0
tdttWtNIttW
t
t
(26)
Обозначим подынтегральное выражение в (26) как ),,()()( 0ttWtNtC где
)}({)( tctC ik — матрица размера nn 22 , элементы которой определяем следу-
ющим образом:
n
j
R
jk
R
ij
ik twtntc
2
1
)(T)(
)()()( .
Используя свойство мультипликативности системы функций Уолша [10] на за-
данном интервале ],[ 0 fTt , преобразуем выражение для элементов )(tcik к виду
n
j
R
jk
R
ij
jik tctctc
2
1
T)(T)(
)()()( .
Здесь
)(
1,
)(
,
)(
0,
T)(
...,,...,,
ik
Rj
ik
rj
ik
j
ik
j cccñ — R-мерный вектор постоянных коэф-
фициентов, элементы которого составлены из суммы произведений коэффициентов
разложения )()( , ik
r
ij
r wn в ряд Уолша функпий ),(),( 0ttwtn ikij и могут быть опреде-
лены следующим образом:
1
0
1
)()()(
,
)1,0(
11
R
r
jk
rr
ij
r
ik
rj
Rrwnc ;
)(
1
)()(
0
T)(
...,,...,,
ik
R
ik
r
ikik
cccñ — R-мерный вектор постоянных коэффициентов,
элементы которого могут быть определены как
n
j
ik
rj
ik
r Rrcc
2
1
1
)(
,
)( )1,0( .
Тогда матрица C(t) может быть определена аналогично ),(),( 0ttWtN как
.
)(0
0)(
)(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
cc
cc
tC
R
R
nnn
n
(27)
Для удобства дальнейших преобразований представим единичную матрицу I раз-
мера nn 22 из уравнения (26) в виде
,
)(0
0)(
0
0
T)2,2(
T),(
T)11(
t
t
e
e
e
I
R
R
nn
ii
(28)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 55
где }0...,,0,1{
T)(
ii
e — R-мерный вектор. Учитывая, что It )(0 на вcем ин-
тервале ],[ 0 fTt , такое представление возможно.
Подставим (25), (27), (28) в уравнение (26). Используя соотношение (13) для
приближенного интегрирования в выражении (14) для операционной матрицы инте-
грирования, которая с учетом рассматриваемого интервала ],[ 0 fTt может быть
определена как )(0)( )( RRfRR PtTP , получим
,
)(0
0)(
)(0
0)(
0
0
)(0
0)(
'
)(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
T)2,2(
T)11(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
P
cc
cc
t
t
e
e
t
t
ww
ww
R
R
RR
nnn
n
R
R
nn
R
R
nnn
n
где — прямое произведение. Приравнивая коэффициенты при )(tR в обеих
частях уравнения, получаем
).2,1,(,
,,
'
)(
T)(T)(
'
)(
T)()(T)(
nkikiPcw
kiPcew
RR
ikik
RR
iiTiiii
(29)
Уравнения (29) представляют собой систему Rnn 22 линейных алгебраиче-
ских уравнений, которые используются для определения неизвестных коэф-
фициентов разложения
)2,1,(),1,0()( nkiRrW ik
r
элементов переходной матрицы ),( 0ttW в ряд Уолша.
Матрицы )(),( 21 tKtK размера nn на основе полученных коэффициентов
разложения в ряд Уолша элементов матрицы ),( 0ttW из уравнений (29) запишем
аналогично соотношениям (22)–(24) в виде:
).1,0}({
),()(),,1,()()(
),1,0}({
),()(),,1,()()(
)(
22
1
0
2
1
0
2
)(
22
11
1
0
11
1
0
)(
11
RrkK
tKtKnjitktk
RrkK
tKtKnjitktk
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ij
rij
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ij
rij
(30)
Подстановка соотношений (30), (23), (24) в (20) позволяет определить матрицу
усиления оптимального управления (19) в виде
1
0
2
1 )()(
R
r
rrrr tKBtG . (31)
56 ISSN 0572-2691
Линейно-квадратичная задача
минимизации обобщенного функционала
Задача в этом случае формируется следующим образом. Найти управле-
ние ,)( mEtu позволяющее перевести систему (1) из заданного начального
состояния )( 0tx к нулю в течение заданного времени ],[ 0 fTt и минимизиру-
ющее функционал (5).
Оптимальный закон управления для данной задачи также можно получить
на основе принципа максимума и определить в виде (9). В силу Θ(t) > 0 управ-
ление (9) доставляет единственный минимум гамильтониану вида (7) для ЛНС (1)
и обобщенного функционала (5).
При оптимальном управлении (9) упрощенное каноническое управление (8)
для )(è)( ** tptx в данном случае имеет вид
,)(
)(
)(
*
*
*
*
p
x
tM
tp
tx
(32)
где M(t) — матрица размера nn 22 , имеющая блочную структуру.
)()(
)()()()(
)(
T
T1
tAtQ
tBtRtBtA
tM .
Общие граничные условия могут быть получены с помощью заданного
начального состояния
)0(
0
* )( xtx , оставшиеся граничные условия — с помощью
условий трансверсальности, которые в данной задаче имеют вид
)()( **
ff TxFTp . (33)
Пусть ),( tT f — матрица переходов состояний уравнения размера nn 22 ,
которая может быть представлена в виде блочной матрицы
.
),(),(
),(),(
),(
2221
1211
tTtT
tTtT
tT
ff
ff
f
Из основного соотношения
.
)(
)(
),(
)(
)(
*
*
*
*
tp
tx
tT
Tp
Tx
f
f
f
С учетом (33) получим
).()()(]}[]{[)(
**
2111
1
2222
* txtLtxFFtp (34)
Подстановка соотношения (34) в (9) позволяет записать закон оптималь-
ного управления следующим образом:
)()()(
**
txtCtu , (35)
где матрица усиления C(t) размера nm имеет вид
)()()()( 1 tLtBttC . (36)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 57
Так как Θ(t), B(t) заданы, то для определения C(t) необходимо найти фунда-
ментальную матрицу ),( tT f . Матрица ),( tT f удовлетворяет решению урав-
нения состояния
.),(ïðè),(),(),( ITTtMtTtT ffff (37)
Как и ранее, в случае уравнения (21) для решения уравнения (37) воспользу-
емся математическим аппаратом функций Уолша. Пусть имеются все необходимые
приближения в ряд Уолша, подобно тому, как это было сделано в предыдущей за-
даче. Интегрируя назад уравнение (37) от fT до t, получаем
.)(),(),(
t
T
ff
f
tdtMtTItT (38)
Обозначим подынтегральное выражение в (38) как ).(),()( tMtTtD f Здесь
)}({)( tdtD ik — матрица размера nn 22 , элементы которой с учетом аппрокси-
маций рядами Уолша матриц ),(),( tTtM f вида
,
)(0
0)(
),(
,
)(0
0)(
)(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
tT
t
t
mm
mm
tM
R
R
nnn
n
f
R
R
nnn
n
(39)
где })(...,),(...,),({)( 10 tttt RrR — R-мерный вектор постоянных коэффици-
ентов ряда Уолша известных функций );(tmij }...,,...,,{
)(
1
)()(
0
T)( ij
R
ij
r
ijij
wwww
—
R-мерный вектор постоянных неизвестных коэффициентов ряда Уолша иско-
мых функций ),( tT fij , и свойств системы функций Уолша, можно опреде-
лить следующим образом:
.)()()()()(
2
1
T)(T)(2
1
T)(T)(
n
i
R
ik
R
ik
j
n
i
R
jk
R
ij
ik tdtdtmttd
Здесь }...,,...,,{
)(
1,
)(
,
)(
0,
T)( ik
Rj
ik
rj
ik
j
ik
j dddd — R-мерный вектор постоянных коэф-
фициентов, определяемый как
1
0
1
)()()(
,
;)1,0(,
1
R
r
ik
rr
ij
r
ik
ri
Rrmd
i
T)(ik
d
}...,,...,,{
)(
1
)()(
0
ik
R
ik
r
ik
ddd — R-мерный вектор постоянных коэффициентов, эле-
менты которого могут быть определены как
n
j
ik
rj
ik
ri
Rrdd
i
2
1
1
)(
,
)(
,
.)1,0(
58 ISSN 0572-2691
Тогда матрица D(t) может быть определена в виде
.
)(0
0)(
)(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
dd
dd
tD
R
R
nnn
n
(40)
Матрицу I, как и в предыдущем случае, представим в виде (28).
Подставим (28), (39), (40) в уравнение (38). Используя соотношение (13) для
приближенного интегрирования в обратном времени и выражение (14) для опера-
ционной матрицы обратного интегрирования, которая с учетом рассматриваемого
интервала времени ],[ 0 fTt может быть определена как .)( )(0
,
)( RRfRR DtTD
В результате получим
.
)(0
0)(
)(0
0)(
0
0
)(0
0)(
)(
,
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
T)2,2(
T)11(
T)2,2(T)1,2(
T)2,1(T)11(
t
t
D
dd
dd
t
t
e
e
t
t
R
R
RR
nnn
n
R
R
nn
R
R
nnn
n
Приравнивая коэффициенты при )(tR в обеих частях уравнения, получаем
,,,
)(
T)(T)(T)( kiDde RR
iiiiii
)2,1,(,,
)(
T)(T)( nkikiDd RR
ikik
. (41)
Уравнения (41) аналогичны уравнениям (29) и представляют собой систему
Rnn 22 линейных алгебраических уравнений, которые используются для
определения неизвестных коэффициентов разложения )1,0()( Rrik ,
)2,1,( nki элементов переходной матрицы ),( tT f в ряд Уолша. Затем полу-
чим закон оптимального управления. Для этого запишем L(t) размера nn , вхо-
дящую в матрицу усиления C(t), на основе полученных коэффициентов разложе-
ния в ряд Уолша элементов матрицы ),( tT f из уравнений (41) аналогично со-
отношениям (22)–(24) в виде
).1,0(}{
),()(),,1,()()(
)(
1
0
1
0
)(
RrlL
tLtLnjitltl
ij
rr
R
r
rr
R
r
r
ij
rij
(42)
Подстановка соотношений (42), (23), (24) в (36) позволяет определить
матрицу усиления оптимального управления (36) в терминах функций Уолша
в следуюшем виде:
1
0
T1 )()(
R
r
rrrr tLBtC . (43)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 59
Пример синтеза
Синтез матрицы усиления оптимального закона управления продемонстрируем
на примере решения задачи стабилизации ЛНС первого порядка:
],1,0[,1)0(),()()(
txtuttxtx
с квадратичным функционалом tdtutxI )]()([2/1 22
1
0
. Оптимальный закон
управления в этом случае имеет вид )()()(
** txtctu .
Для получения необходимых аппроксимаций в ряды Уолша выбрано четыре
функции — R = 4. Полученные значения куcочно-постоянного коэффициента усиле-
ния c(t) представлены на рисунке (кривая 1). Коэффициент усиления c(t) для рассмат-
риваемой системы и функционала получен также из уравнения Риккати (кривая 2):
.0)1(,1)(2)()( 2
cttctctñ
Из результата сравнения следует, что использование функций Уолша для по-
лучения коэффициента усиления оптимального закона управления дает удовле-
творительный результат даже при R = 4.
с(t)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
t
1
2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
1/4 1/2 3/4 1
–
–
–
–
Заключение
На основе метода оптимизации, использующего принцип максимума в соче-
тании с математическим аппаратом функций Уолша для линейно-квадратичных
задач оптимизации синтезированы матрицы усиления (31) и (43) оптимальных за-
конов управления соответственно (19) и (35) в виде аппроксимаций рядами Уол-
ша, постоянные коэффициенты которых находятся решением системы линейных
алгебраических уравнений. Полученные в аналитической форме оптимальные за-
коны ввиду их кусочно-постоянного характера весьма удобны для их практиче-
ской реализации.
Точность полученного приближенного оптимального решения достигается
выбором соответствующего числа членов разложения в ряд Уолша.
60 ISSN 0572-2691
О.А. Стенін, Ю.А. Тімошин, І.Г. Дроздович
ФУНКЦІЇ УОЛША В ЛІНІЙНО-КВАДРАТИЧНИХ
ЗАДАЧАХ ОПТИМІЗАЦІЇ ЛІНІЙНИХ
НЕСТАЦІОНАРНИХ СИСТЕМ
Вирішення задач аналітичного конструювання оптимального регулятора
(АКОР) для стаціонарних динамічних об'єктів досить добре вивчено, і їм прис-
вячена низка робіт. Водночас синтез оптимальних законів керування нестаціо-
нарними динамічними об'єктами у загальному випадку — досить складне за-
вдання, яке часто не піддається вирішенню в аналітичній формі. Це пов'язано, в
першу чергу, з труднощами вирішення нестаціонарного нелінійного векторно-
матричного рівняння Ріккаті. У даній статті розглядаються лінійно-квадратичні
завдання синтезу замкнутого оптимального закону керування одним класом лі-
нійних нестаціонарних систем. Визначення оптимального закону керування в
рамках завдання АКОР здійснюється на основі принципу максимуму Понт-
рягіна. Для встановлення зв'язку між допоміжним вектором і вектором стану
використовується фундаментальна матриця системи спрощених канонічних рі-
внянь. Слід зазначити, що, в загальному випадку, для лінійних нестаціонарних
систем отримати аналітичне вираження фундаментальної матриці неможливо.
У даній статті запропоновано знаходити фундаментальну матрицю системи
спрощених канонічних рівнянь шляхом наближеного інтегрування лінійного
матричного диференціального рівняння стану, якому вона задовольняє, з вико-
ристанням математичного апарата функцій Уолша. При цьому елементи мат-
риці оптимального закону керування також визначаються у вигляді рядів
Уолша, постійні коефіцієнти яких знаходяться із системи алгебраїчних рівнянь.
Оскільки елементи матриці оптимального закону керування є кусково-сталими
функціями, це значно спрощує їх практичну реалізацію порівняно з нестаціона-
рними матрицями оптимального керування, отриманими на основі рішення рі-
вняння Ріккаті. Точність отриманого наближеного оптимального рішення дося-
гається вибором відповідного числа членів розкладу в ряд Уолша.
Ключові слова: лінійні нестаціонарні системи, лінійно-квадратичні оптиміза-
ційні завдання, функції Уолша, фундаментальна матриця, замкнуте оптимальне
керування.
A.A. Stenin, Yu.A. Timoshin, I.G. Drozdovych
WALSH FUNCTIONS IN LINEAR-QUADRATIC
OPTIMIZATION PROBLEMS OF LINEAR
NONSTATIONARY SYSTEMS
Currently, the solution of the problems of analytical design of the optimal controller
(ADOC) for stationary dynamic objects is well studied and a number of works are
devoted to them. At the same time, the synthesis of optimal control laws of non-
stationary dynamic objects in general case is quite a complex task, which often can’t
be solved in analytical form. This is primarily due to the difficulty of solving the
nonstationary nonlinear vector-matrix Riccati equation. This article deals with linear-
quadratic problems of synthesis of a closed optimal control law for one class of linear
nonstationary systems. Determination of the optimal control law within the frame-
work of the ADOC problem is based on the Pontryagin maximum principle. The fun-
damental matrix of the system of simplified canonical equations is used to establish
the connection between the auxiliary vector and the state vector. In general case, it is
not possible to obtain an analytical expression of the fundamental matrix for linear
nonstationary systems. In this article it is proposed to find the fundamental matrix of
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 61
the system of simplified canonical equations by means of approximate integration of
the linear matrix differential equation of state, to which it satisfies, using the mathe-
matical apparatus of Walsh functions. In this case, the elements of the matrix of the
optimal control law are also determined in the form of Walsh series, the constant co-
efficients of which are found from the system of algebraic equations. Since the ele-
ments of the matrix of the optimal control law are piecewise constant functions, this
greatly simplifies their practical implementation in comparison with the nonstation-
ary matrices of optimal control obtained on the basis of the solution of the Riccati
equation. The accuracy of the obtained approximate optimal solution is achieved by
choosing the appropriate number of terms of the Walsh series expansion.
Keywords: linear nonstationary systems, linear-quadratic optimization problems,
Walsh functions, fundamental matrix, closed optimal control.
1. Морозова Т.Ю., Иванова И.А., Никонов В.В, Гришин А.А. Совершенствование системы
управления нестационарными сложными техническими объектами. Технические науки.
2012. № 3. С. 22–30. DOI: 10.12731/WSD-2015-6-10.
2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М. : Наука,
1971. 507 с.
3. Егупов Н.Д. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оп-
тимизация. М. : МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007. 632 с.
4. Масталиев Р. О. О задаче оптимального управления линейной системой с переменной
структурой. Владикавказский математический журнал. 2016. 18, вып. 1. С. 63–70.
DOI: 10.23671/VNC.2016.1.5953.
5. Быстров С.В., Григорьев В.В., Першин И.М., Мансурова О.К. Синтез линейно-
квадратичных законов управления для непрерывных динамических объектов Международный
научно-исследовательский журнал. 2017. № 2(56), ч. 3. С. 97–100. DOI: https://doi.org/10.23670/
IRJ.2017.56.052
6. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. Автоматика и телемеханика.
1960. № 4. C. 436–441; № 5. C. 561–568; № 6. C. 661–665; 1961. № 4. С. 425–435.
7. Kalman R. Contribution to the theory of optimal control. Bul.Soc.Mech.Mat. 1960. 12, N 2.
P.102–119.
8. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория
оптимальных процессов. М. : Физматгиз, 1961. 392 с.
9. Michael Athans, Peter L. Falb Optimal control: An introduction to the theory and its applications.
Courier Corporation, 2006. 879 p.
10. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, свя-
зи и других областях. М. : Наука. 1989. 496 с.
11. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и при-
менения. М. : Наука, 1987. 346 с.
12. Chen C.F., Hsiao C.H. Walsh series analysys in optimal control. Int. J. Control. 1975. 21, N 6.
P. 881–897.
Получено 02.04.2019
После доработки 24.06.2019
|