О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона
В данной работе решена одна из классических задач теории приближения функций и прикладной математики. А именно, исследован вопрос о приближении в интегральной метрике классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона, которые в свою очередь являются решением краевой задачи эллипт...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180821 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона / Т.В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 73-83. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859853982633033728 |
|---|---|
| author | Жигалло, Т.В. |
| author_facet | Жигалло, Т.В. |
| citation_txt | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона / Т.В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 73-83. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | В данной работе решена одна из классических задач теории приближения функций и прикладной математики. А именно, исследован вопрос о приближении в интегральной метрике классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона, которые в свою очередь являются решением краевой задачи эллиптического типа с заданными граничными условиями на границе области.
Постійний розвиток прикладної математики зумовлений її тісним зв’язком із фундаментальними напрямками досліджень у суміжних областях природничих наук. Одним з актуальних напрямків сучасної науки є вивчення лінійних та нелінійних математичних ігрових моделей різних явищ та процесів природи. Поява таких моделей обумовлена використанням в сучасній фізиці і техніці впливів на речовину електричних полів великої інтенсивності, пучків частинок високої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання ударних хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. В основі таких моделей лежать диференціальні рівняння в частинних похідних, одним з типів яких є рівняння еліптичного типу, що описують стаціонарні процеси різної фізичної природи. Найбільш простим і поширеним рівнянням еліптичного типу є рівняння Лапласа, розв’язком якого при заданих умовах на межі області, що розглядається, є відомий інтеграл Абеля–Пуассона. Досліджено апроксимативні властивості розв’язку крайової задачі еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області на класах функцій з дробовими похідними. Розв’язок даної проблеми може використовуватися при вивченні та подальшому застосуванні методів розв’язуючих функцій для ігрових задач динаміки. Отримано асимптотичні рівності точних верхніх меж відхилень класів функцій з дробовими похідними від інтегралів Абеля–Пуассона в інтегральній метриці. Показано еквівалентність апроксимативних характеристик розв’язків крайових задач еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області як в рівномірній, так і в інтегральній метриках для класів функцій з дробовими похідними.
The constant development of the of applied mathematics is due to its close connection with the fundamental directions of research in the related fields of natural sciences. One of the most important areas of modern science is the study of linear and nonlinear mathematical game models of various phenomena and processes of nature. The emergence of such models is due to the use in modern physics and techniques of influence on matter of electric fields of high intensity, beams of high-energy particles, powerful laser coherent radiation of shock waves of high intensity and powerful heat fluxes. The basis of such models is the differential equations in partial derivatives, one of which is the equation of the elliptic type, describing the stationary processes of different physical nature. The simplest and most widespread equation of the elliptic type is the Laplace equation whose solution, under given conditions, on the boundary of the considered region, is the well-known Abel–Poisson integral. Approximate properties of the solution of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of the domain on classes of functions with fractional derivatives are investigated. The solution to this problem finds its application in the study and further application of methods of resolving functions for game dynamics problems. Here we found the asymptotic equalities for the exact upper bounds of the deviations of classes of functions with fractional derivatives from their Abel–Poisson integrals in the integral metric. We establish the equivalence of the approximation characteristics of solutions of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of domain both in the uniform and in the integral metrics for classes of functions with fractional derivatives.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:43:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Т.В. ЖИГАЛЛО, 2019
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 73
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.5
Т.В. Жигалло
О ПРИБЛИЖЕНИИ В СРЕДНЕМ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ИХ ИНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ–ПУАССОНА
Ключевые слова: дробные производные, краевая задача, разрешающие функ-
ции, асимптотическое равенство, приближение в среднем.
Введение
Математическое моделирование различных естественных процессов в боль-
шинстве случаев не обходится без применения математического аппарата дробно-
го дифференцирования, что, в свою очередь, нашло широкое применение практи-
чески во всех отраслях науки — в теории информации, социологии, экономике,
биологии, физике, биофизике и прочее. Несомненно, что перед выбором количе-
ства необходимой для исследований информации и ее точности в первую очередь
стоит задача применения таких современных подходов к математическому модели-
рованию, которые обеспечивали бы решение в первую очередь прикладных задач.
Одним из таких современных подходов как раз и есть использование задач тео-
рии приближения в прикладных аспектах. Наверное, все-таки основная задача теории
приближений заключается в том, чтобы на основании постулируемых свойств данной
функции установить свойства ее аппроксимативных характеристик. Традиционно в
качестве таких характеристик выступают скорости сходимости различных линейных
методов суммирования рядов Фурье [1, с. 36]. В данной статье в роли такой аппрок-
симационной характеристики выступает хорошо известный метод Абеля–Пуассона
(см., например [2, 3]). С другой стороны, исследуемые с практической точки зрения
функции, имеющие одинаковые априорные свойства, объединяются в соответствую-
щие классы функций. И тогда факты, установленные для данного класса функций,
относятся, конечно, и к каждому его представителю. При этом появляется возмож-
ность формулировать новые задачи, теперь уже для целых классов функций [1, с. 10].
Как, например, в данной работе это сделано для классов функций с дробными произ-
водными, что особенно актуально с возможностью их применения к дальнейшему ис-
следованию методов разрешающих функций игровых задач динамики [4–7].
Постановка задачи
Пусть )(xf — π2 -периодическая непрерывная или просто суммируемая (т.е.
)Lf функция,
)sincos(
2 1
0 kxbkxa
a
kk
k
74 ISSN 0572-2691
— ее ряд Фурье,
,cos)(
1
)( dtkttffaa kk
...,,1,0,sin)(
1
)(
kdtkttffbb kk
— коэффициенты Фурье.
Обозначим )}({ k множество функций натурального аргумента, зави-
сящих от параметра , изменяющегося на некотором множестве ,RE содер-
жащем, по крайней мере, одну предельную точку. Пусть ,1)0( . E
C помощью множества каждой функции Lf поставим в соответствие ряд
.),sincos)((
2 1
0
Ekxbkxak
a
kk
k (1)
Пусть множество таково, что ряд (1) при каждом E является рядом
Фурье некоторой непрерывной функции, которую обозначим ).;;( xfU В этом
случае говорят, что множество определяет конкретный метод ( -метод) сум-
мирования рядов Фурье [1, с. 38].
При условии, что последовательность
,0
)}({
k
k такова, что ряд
ktktK
k
cos)(
2
1
);(
1
(2)
является рядом Фурье некоторой суммируемой функции, аналогично [1, с. 46]
можно показать выполнение равенства
.);()(
1
);;( dttKtxfxfU
(3)
Если в соотношении (2) положить ,0,)(
k
ek то интегралы типа (3) будем
называть интегралами Пуассона [8, 9] или же интегралами Абеля–Пуассона [2, 3],
и соответственно обозначать ),,( xfP т.е.
.cos
2
1
)(
1
),(
1
dtktetxfxfP
k
k
(4)
Теперь перейдем к определению классов функций, используемых в данной
работе. Итак, пусть Ñ — пространство 2 -периодических непрерывных функций,
в котором норма определена равенством )(max= tff
t
C
; L — пространство
2 -периодических измеримых существенно ограниченных функций с нормой
;)(supess= tff
t
L — пространство 2 -периодических суммируемых на пери-
оде функций, в котором норма определена равенством .)(==
1
dttfff
L
Далее, пусть 0>r и — фиксированное действительное число. Если ряд
2
sin
2
cos
1=
kxbkxak kk
r
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 75
является рядом Фурье некоторой суммируемой функции ,L то такую функ-
цию называют ),( r -производной функции f в смысле Вейля–Надя (см., напри-
мер [10, с. 24]) и обозначают .)(
rf Множество функций ,Lf которые удовлетво-
ряют такому условию, обозначают .rW Если rWf и 1,)(
rf то говорят, что
функция )(xf принадлежит классу .,
rW Если же rWf и 1,)(
1
rf то счита-
ется, что )(xf принадлежит классу .,1
rW
Задачу об отыскании асимптотических равенств для величины
,,);()(sup);(
111,
1,
xfPxfPW
rWf
r (5)
будем называть, следуя А.И. Степанцу [1, с. 198], задачей Колмогорова–Никольс-
кого. И если в явном виде найдена функция )),(;()( 1, xfPW r
такая, что
при )),(()()),(;( 11, oxfPW r то считается, что решена задача
Колмогорова–Никольского для класса rW ,1 и метода ),( xfP Абеля–Пуассона.
Следует отметить, что задача Колмогорова–Никольского для интегралов
Абеля–Пуассона на различных классах функций в равномерной метрике в свое
время исследовалась в работах И.П. Натансона [11], A.Ф. Тимана [12], E.Л. Штар-
ка [13], В.A. Баскакова [14] и других авторов [15–22]. Что же касается решения
этой задачи Колмогорова–Никольского на классах rW ,1 в интегральной метрике,
то она до сих пор не была решена. Поэтому и возникла задача об отыскании асимп-
тотических равенств для величин 11, );( PW r при , в этом и заключается
основная цель данной работы.
Приближение функций классов Вейля–Надя
их интегралами Абеля–Пуассона в интегральной метрике
Согласно соотношению (2) из [23] для интеграла Абеля–Пуассона (4) введем
суммирующую, непрерывную на )[0, функцию ,)(u следующим образом:
.
1
,)1(
,
1
0,)1(
=)(=)(
uue
ue
uu
ru
ru
(6)
Тогда
,,
2
cos)(
1
=)(ˆ=)(ˆ
0
Rduututt
(7)
аналогично (4) из [24] обозначим преобразование Фурье-функции ),(u заданной
с помощью соотношения (6).
Согласно (6) из [25] положим, что
.)(ˆ
2
cos)(
1
)(
0
dttdtduutuA
(8)
Теорема. Для любых действительных значений и ]1,0(r при
имеет место асимптотическое равенство
76 ISSN 0572-2691
,,
1
)(
1
);( 11,
OAPW
r
r (9)
где
.1),1(
,1),1(ln
2
sin
2
)(
rO
rO
A (10)
Доказательство. Используя схему доказательства теоремы 1 из [26], в первую
очередь покажем суммируемость преобразования Фурье-функции ),(t заданной со-
отношением (6). Иными словами, надо доказать сходимость интеграла (8). А для это-
го, согласно теореме 1 работы [27], достаточно показать сходимость следующих
интегралов:
,)(1,)(
2/1
2/1
0
uduudu
(11)
.
)(1)(1
,
)(
2
sin
1
00
du
u
uu
du
u
u
(12)
Так как и при оценке первого интеграла (11) из [28] для оценки интеграла
2/1
0
)(udu разобьем промежуток 1/2][0; на две части: ]1/[0; и .1/2];[1/ Ис-
ходя из (6), ,=)( rueu ,]1/[0; u поэтому используя неравенство
0,,<1 uue u
(13)
получаем
.,)(=)( 2
/1
0
rOudu (14)
Положим ,)()(=)( 21 uuu где
,)1(=:)(1
ru uueu (15)
.=:)( 1
2
ruu (16)
Тогда
.)()()( 2
2/1
/1
1
2/1
/1
2/1
/1
uduuduudu
(17)
Найдем оценку первого интеграла в правой части неравенства (17). Сначала
исследуем функцию
.1=)( ueu u
(18)
Имеем 1,=)( ueu ,=)( ueu 0=(0)0,=(0) и для 0u
0.<)(0,)(0,)( uuu (19)
Учитывая (19) и неравенство 0,,
2
1
2
u
u
ue u
находим, что
1.=)(,1=)(,
2
1=)(
2
uuu euueu
u
euuv (20)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 77
Далее, для ,1/u с учетом (15), (18) получаем
.))()(21)()(()( 12
1 duuuruuurruud rrr
Отсюда, используя (20), находим
Kduurduur
r
udu rr
1
2/1
/1
1
2/1
/1
1
2/1
/1
1)(21)(
2
)( (21)
(здесь и далее константа K обозначает постоянные, вообще говоря, разные в раз-
ных соотношениях).
Оценим второй интеграл в соотношении (17). Учитывая, что при 0,>u
1<0 r 0,<))(1(=)( 1
2 duurrud r находим
.,)1(=)(=)( 2
2/1
/1
2
2/1
/1
Oduuduudu (22)
Используя (17), (21), (22) и учитывая (14), получаем оценку
.,)1(=)(
2/1
0
Oudu (23)
Перейдем к оценке второго интеграла из (11). При );[1/ u из (6) следует, что
.}21)()1{(=)( 12 dueueruurreud ururru (24)
Тогда в силу (24) видим, что
.2)1(1)()(1 1
2/12/1
1
2/12/1
duueduuerduuerrudu rururu
Применяя неравенства 01,1 ue u
и ,Kue u ),1/2,[,2 uu rr
получаем
.)1(=)(1
2/1
Oudu
(25)
Аналогично оценке интеграла (2.29) из [29] найдем оценку первого интеграла
из соотношений (12) на каждом промежутке — ,]1/[0; 1];[1/ и .)[1; Как сле-
дует из (6) и (13),
.)1(=)1(=
)(
/1
0
/1
0
O
u
du
edu
u
u ur
(26)
Далее, из соотношений (6), (18) и (20) имеем
.
)()(
1
/1
1
/1
1
/1
Kduu
u
u
duudu
u
u rr
Отсюда
1.<,)1(
1,=,)1(ln
=
)(
1
/1
rO
rO
du
u
u
(27)
Для функции )( в случае, когда ,1u можем записать, что
.
)( 1
1
Kduudu
u
u rr
(28)
78 ISSN 0572-2691
Объединяя (26)–(28), получаем оценку
1.<,)1(
1,=,)1(ln
=
)(
0
rO
rO
du
u
u
(29)
В силу формулы (21) работы [18] для функции )( заданной соотношени-
ем (6), запишем равенство
)),((=
)(1)(1 )(1)(11
0
1
0
HOdu
u
ee
du
u
uu uu
где
.)(1)((1)(0)=)(
2/1
2/1
0
uduuduH
Поскольку ,(1)=
)(1)(11
0
Odu
u
ee uu
то, как следует из (6), (23) и (25),
.,)1(=
)(1)(11
0
Odu
u
uu
(30)
Таким образом, согласно теореме 1 из [27], интеграл )(A вида (8) сходится на
всей числовой оси.
Пусть далее .,1
rWf Тогда для функция ,)(u заданной соотношением (6),
обозначим
.)(ˆ=)(, dtt
t
xfxF rr
Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 2 работы
[30, с. 976], несложно убедиться, что для 2 -периодической непрерывной функ-
ции )(, xF r
справедливо равенство
.)sincos(=)]([
0=
, kxbkxa
k
kxFS kk
r
k
r
Тогда, принимая во внимание (4) и (6), получаем
.]);()([=)(ˆ xfPxfSdtt
t
xfS rr
Отсюда следует, что для каждой функции
rWf ,1 и функции )(u вида (6)
0.>,)(ˆ
1
=);()(
dtt
t
xfxfPxf r
r
(31)
Далее, базируясь на результатах С.М. Никольского [31] и используя инте-
гральное представление (31), можно показать, что для интеграла Абеля–Пуассона
имеет место соотношение
.)(ˆ)(=);(
2/||
1,1
dttOAPW
t
rrr (32)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 79
Кроме того, согласно неравенствам (2.14) и (2.15) работы Л.И. Баусова [27], при-
нимая во внимание формулы (23), (25), (29) и (30) настоящей работы, для величи-
ны )(A получаем оценку (10).
Оценим интеграл из правой части равенства (32). Для этого представим пре-
образование Фурье )(ˆ=)(ˆ tt в виде
.
2
cos)(
1
=)(ˆ
/1
/1
0
duutut
(33)
Дважды интегрируя по частям интегралы из (33) и используя тот факт, что ,0=(0)
0,=)(lim=)(lim uu
uu
получаем
2
cos
11
2
sin
11
=
2
cos)(
2
/1
0
t
t
t
t
duutu
,
2
cos)(
1
2
cos(0)
1
/1
0
22
duutu
tt
(34)
2
cos
11
2
sin
11
=
2
cos)(
2
/1
t
t
t
t
duutu
.
2
cos)(
1
/1
2
duutu
t
(35)
Объединяя (34) и (35), запишем
duutu
tt
duutu
2
cos)(
1
2
cos(0)
1
=
2
cos)(
/1
0
22
0
.
2
cos)(
1
/1
2
duutu
t
Тогда
.)(
1
2
cos)(
1
1
/1
/1
0
22
0
duu
tt
K
duutu r
(36)
Оценим теперь интегралы в правой части соотношения (36). Учитывая, что
0,<)(u ,]/1[0; u находим следующую оценку:
.)(=)( 1
/1
0
rOduu (37)
Используя представления (13) и (14) для функции ,)(u оценим второй интеграл
в правой части соотношения (36). Имеем
.|)(||)(||)(| 2
1
/1
1
1
/1
1
/1
duuduuduu
(38)
Обращая внимание на (19), (20), получаем
80 ISSN 0572-2691
1;<,)1(
1,=),ln(
=121)(
2
)(
2/1
/1
1
2/1
/1 rO
rO
duurr
r
duu r
(39)
).(=)(2
2/1
/1
rOduu
(40)
Из (38)–(40) следует, что
.),(=)(
2/1
/1
rOduu (41)
Используя (24), найдем оценку третьего интеграла в правой части соотноше-
ния (36). Имеем
.2)1(1)()(
1
1
1
2
11
duueduuerduuerrduu rururu
Отсюда, используя то, что 1,ru для ),,1[ u а также (11), легко показать, что
при
(1).=)(
1
Oduu
(42)
Объединив формулы (37), (41) и (42) получаем ).(=)(
0
rOduu
Отсюда
.,)(=)(ˆ 1
2/)(||
r
t
Odtt
Таким образом, справедливость равенства (9) следует из последней оценки и
соотношения (32).
Теорема доказана.
Заключение
В данной работе решена одна из классических задач теории приближения
функций и прикладной математики. А именно, исследован вопрос о приближе-
нии в интегральной метрике классов функций с дробными производными их ин-
тегралами Абеля–Пуассона, которые в свою очередь являются решением крае-
вой задачи эллиптического типа с заданными граничными условиями на грани-
це области.
О тесной взаимосвязи между задачами о приближении линейными метода-
ми суммирования рядов Фурье в равномерной и интегральной метриках до сих
пор было известно только для классов функций с целыми производными.
В ходе проведенных исследований на примере конкретного метода сумми-
рования рядов Фурье, а именно метода Абеля–Пуассона, показана эквивалент-
ность аппроксимативных характеристик как в равномерной, так и в интеграль-
ной метриках даже для классов функций с дробными производными. Таким
образом, доказанная в работе теорема значительно расширяет границы приме-
нения задач теории приближения в равномерной метрике не только для классов
функций с целыми производными, но и для классов функций с дробными про-
изводными.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 81
Т.В. Жигалло
ПРО НАБЛИЖЕННЯ В СЕРЕДНЬОМУ КЛАСІВ
ФУНКЦІЙ З ДРОБОВИМИ ПОХІДНИМИ
ЇХ ІНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ–ПУССОНА
Постійний розвиток прикладної математики зумовлений її тісним зв’язком із
фундаментальними напрямками досліджень у суміжних областях природничих
наук. Одним з актуальних напрямків сучасної науки є вивчення лінійних та не-
лінійних математичних ігрових моделей різних явищ та процесів природи. По-
ява таких моделей обумовлена використанням в сучасній фізиці і техніці впли-
вів на речовину електричних полів великої інтенсивності, пучків частинок ви-
сокої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання ударних
хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. В основі таких моде-
лей лежать диференціальні рівняння в частинних похідних, одним з типів яких
є рівняння еліптичного типу, що описують стаціонарні процеси різної фізичної
природи. Найбільш простим і поширеним рівнянням еліптичного типу є рів-
няння Лапласа, розв’язком якого при заданих умовах на межі області, що роз-
глядається, є відомий інтеграл Абеля–Пуассона. Досліджено апроксиматив-
ні властивості розв’язку крайової задачі еліптичного типу із заданими гранич-
ними умовами на межі області на класах функцій з дробовими похідними.
Розв’язок даної проблеми може використовуватися при вивченні та подальшо-
му застосуванні методів розв’язуючих функцій для ігрових задач динаміки.
Отримано асимптотичні рівності точних верхніх меж відхилень класів функцій
з дробовими похідними від інтегралів Абеля–Пуассона в інтегральній метриці.
Показано еквівалентність апроксимативних характеристик розв’язків крайо-
вих задач еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі об-
ласті як в рівномірній, так і в інтегральній метриках для класів функцій
з дробовими похідними.
Ключові слова: дробові похідні, крайова задача, розв'язувальні функції, асимп-
тотична рівність, наближення в середньому.
T.V. Zhyhallo
APPROXIMATION IN THE MEAN OF CLASSES
OF FUNCTIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES
BY THEIR ABEL–POISSON INTEGRALS
The constant development of the of applied mathematics is due to its close connec-
tion with the fundamental directions of research in the related fields of natural sci-
ences. One of the most important areas of modern science is the study of linear and
nonlinear mathematical game models of various phenomena and processes of nature.
The emergence of such models is due to the use in modern physics and techniques of
influence on matter of electric fields of high intensity, beams of high-energy parti-
cles, powerful laser coherent radiation of shock waves of high intensity and powerful
heat fluxes. The basis of such models is the differential equations in partial deriva-
tives, one of which is the equation of the elliptic type, describing the stationary pro-
cesses of different physical nature. The simplest and most widespread equation of the
elliptic type is the Laplace equation whose solution, under given conditions, on the
boundary of the considered region, is the well-known Abel–Poisson integral. Ap-
proximate properties of the solution of an elliptic boundary value problem with given
boundary conditions at the boundary of the domain on classes of functions with frac-
tional derivatives are investigated. The solution to this problem finds its application
in the study and further application of methods of resolving functions for game dy-
82 ISSN 0572-2691
namics problems. Here we found the asymptotic equalities for the exact upper
bounds of the deviations of classes of functions with fractional derivatives from their
Abel–Poisson integrals in the integral metric. We establish the equivalence of the ap-
proximation characteristics of solutions of an elliptic boundary value problem with
given boundary conditions at the boundary of domain both in the uniform and in the
integral metrics for classes of functions with fractional derivatives.
Keywords: fractional derivatives; boundary problem; enable functions; asymptotic
equality; approximation in the mean.
1. Степанец А.И. Методы теории приближения: В 2-х ч. Киев: Ин-т математики НАН
Украны. 2002. Ч. 1. 427 с.
2. KharkevychYu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),( -differentiable functions defined on the
real axis by Abel–Poisson operators. Ukrainian Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315. DOI:
10.1007/s11253-005-0262-z.
3. Zhyhallo K.M., KharkevychYu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their
Abel–Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/s11253-009-
0196-y.
4. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Pareto Optimality,
Game Theory And Equilibria. Springer Optimization and Its Applications. New York: Springer,
2008. 17. P. 349–387. DOI: 10.1007/978-0-387-77247-9_13.
5. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in a parabolic system. Proc.
Steklov Inst. Math. 2016. 293. Р. 254–269. DOI: 10.1134/s0081543816050229.
6. Chikrii A.A. An analytic method in dynamic pursuit games. Proc. Steklov Inst. Math. 2010. 271.
Р. 69–85. DOI: 10.1134/s0081543810040073.
7. Dziubenko K.G., Chikrii A.A. An approach problem for a discrete system with random perturba-
tions. Cybernet. Systems Anal. 2010. 46, № 2. P. 271–281. DOI: 10.1007/s10559-010-9204-3.
8. Kal’chuk I.V., KharkevychYu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the
Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1. P. 23–36.
DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03.
9. KharkevychYu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes
.
HC Math. Notes. 2014. 96, N 5-6. P. 1008–1019. DOI: 10.1134/s0001434614110406.
10. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев : Наук.
думка, 1987. 268 с.
11. Натансон И.П. О порядке приближения непрерывной 2 -периодической функции при
помощи ее интеграла Пуассона. Докл. АН СССР. 1950. 72, N 1. С. 11–14.
12. Тиман А.Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых
функций интегралами Пуассона. Докл. АН СССР. 1950. 74, N 1. С. 17–20.
13. Stark E.L. The complete asymptotic expansion for the measure of approximation of Abel–
Poisson’s singular integral for .1Lip Math. Notes. 1973. 13, N 1. P. 14–18. DOI: 10.1007/
BF01093622.
14. Baskakov V.A. Some properties of operators of Abel–Poisson type. Math. Notes. 1975. 17, N 2.
P. 101–107. DOI: 10.1007/BF01161864.
15. KharkevychYu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by Pois-
son integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 2. P. 235–243. DOI:
10.12697/ACUTM.2018.22.19.
16. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),( -differentiable functions by Poisson
integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 11. P. 1757–1779. DOI:
10.1007/s11253-010-0311-0.
17. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class
,C by Poisson in-
tegrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI:
10.1007/s11253-010-0321-y.
18. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by opera-
tors generated by -methods of summation of their Fourier integrals. Ukrainian Math. J. 2004.
56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 4 83
19. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentia-
ble functions from the set of their harmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 1.
P. 51–63. DOI: 10.1023/A:1019789402502.
20. Falaleev L.P. On approximation of functions by generalized Abel–Poisson operators. Siberian
Math. J. 2001. 42, N 4. P. 779–788. DOI: 10.1023/A:1010409901592.
21. Falaleev L.P. Approximation of conjugate functions by generalized Abel–Poisson operators.
Math. Notes. 2000. 67, N 4. P. 505–511. DOI: 10.1007/BF02676407.
22. Zhyhallo T.V. Approximation of functions holding the Lipschitz conditions on a finite segment of
the real axis by the Poisson–Chebyshev integrals. Journal of Automation and Information Scienc-
es. 2018. 50, N 5. P. 34–48. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i5.40.
23. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepanyuk T.A. On the approximation of the classes
HW r by bi-
harmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2018. 70, N 5. C. 719–729. DOI: 10.1007/
s11253-018-1528-6.
24. Kal’chuk I.V. Approximation of ),( -differentiable functions defined on the real axis by
Weierstrass operators. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 9. P. 1342–1363. DOI: 10.1007/s11253-
007-0091-3.
25. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in
the classes .ˆ
1,
L Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 5. P. 757–765. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8.
26. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of function from class
,Ĉ by Poisson bi-
harmonic operators in the unifom metric. Ukrainian Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798. DOI:
10.1007/s11253-008-0093-9.
27. Баусов Л.И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными
матрицами. I. Изв. вузов. Математика. 1965. 46, № 3. С. 15–31.
28. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximation of functions from the classes
HW r by Weierstrass integrals. Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 4. P. 598–608. DOI: 10.1007/
s11253-017-1383-x.
29. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximative properties of the Weierstrass inte-
grals on the classes . HWr J. Math. Sci. (N.Y.). 2018. 231, N 1. P. 41–47. DOI: 10.1007/s10958-
018-3804-2.
30. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of ),( -differentiable functions by Weier-
strass integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 7. P. 1059–1087. DOI: 10.1007/s11253-007-
0069-1.
31. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем.
Изв. АН СССР. Сер. мат. 1946. 10, N 6. С. 207–256.
Получено 29.03.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180821 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:43:06Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жигалло, Т.В. 2021-10-20T12:02:32Z 2021-10-20T12:02:32Z 2019 О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона / Т.В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 4. — С. 73-83. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180821 517.5 В данной работе решена одна из классических задач теории приближения функций и прикладной математики. А именно, исследован вопрос о приближении в интегральной метрике классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона, которые в свою очередь являются решением краевой задачи эллиптического типа с заданными граничными условиями на границе области. Постійний розвиток прикладної математики зумовлений її тісним зв’язком із фундаментальними напрямками досліджень у суміжних областях природничих наук. Одним з актуальних напрямків сучасної науки є вивчення лінійних та нелінійних математичних ігрових моделей різних явищ та процесів природи. Поява таких моделей обумовлена використанням в сучасній фізиці і техніці впливів на речовину електричних полів великої інтенсивності, пучків частинок високої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання ударних хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. В основі таких моделей лежать диференціальні рівняння в частинних похідних, одним з типів яких є рівняння еліптичного типу, що описують стаціонарні процеси різної фізичної природи. Найбільш простим і поширеним рівнянням еліптичного типу є рівняння Лапласа, розв’язком якого при заданих умовах на межі області, що розглядається, є відомий інтеграл Абеля–Пуассона. Досліджено апроксимативні властивості розв’язку крайової задачі еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області на класах функцій з дробовими похідними. Розв’язок даної проблеми може використовуватися при вивченні та подальшому застосуванні методів розв’язуючих функцій для ігрових задач динаміки. Отримано асимптотичні рівності точних верхніх меж відхилень класів функцій з дробовими похідними від інтегралів Абеля–Пуассона в інтегральній метриці. Показано еквівалентність апроксимативних характеристик розв’язків крайових задач еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області як в рівномірній, так і в інтегральній метриках для класів функцій з дробовими похідними. The constant development of the of applied mathematics is due to its close connection with the fundamental directions of research in the related fields of natural sciences. One of the most important areas of modern science is the study of linear and nonlinear mathematical game models of various phenomena and processes of nature. The emergence of such models is due to the use in modern physics and techniques of influence on matter of electric fields of high intensity, beams of high-energy particles, powerful laser coherent radiation of shock waves of high intensity and powerful heat fluxes. The basis of such models is the differential equations in partial derivatives, one of which is the equation of the elliptic type, describing the stationary processes of different physical nature. The simplest and most widespread equation of the elliptic type is the Laplace equation whose solution, under given conditions, on the boundary of the considered region, is the well-known Abel–Poisson integral. Approximate properties of the solution of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of the domain on classes of functions with fractional derivatives are investigated. The solution to this problem finds its application in the study and further application of methods of resolving functions for game dynamics problems. Here we found the asymptotic equalities for the exact upper bounds of the deviations of classes of functions with fractional derivatives from their Abel–Poisson integrals in the integral metric. We establish the equivalence of the approximation characteristics of solutions of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of domain both in the uniform and in the integral metrics for classes of functions with fractional derivatives. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона Про наближення в середньому класів функцій з дробовими похідними їх інтегралами Абеля–Пуссона Approximation in the mean of classes of functions with fractional derivatives by their Abel–Poisson integrals Article published earlier |
| spellingShingle | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона Жигалло, Т.В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона |
| title_alt | Про наближення в середньому класів функцій з дробовими похідними їх інтегралами Абеля–Пуссона Approximation in the mean of classes of functions with fractional derivatives by their Abel–Poisson integrals |
| title_full | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона |
| title_fullStr | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона |
| title_full_unstemmed | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона |
| title_short | О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона |
| title_sort | о приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами абеля–пуассона |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180821 |
| work_keys_str_mv | AT žigallotv opribliženiivsrednemklassovfunkciisdrobnymiproizvodnymiihintegralamiabelâpuassona AT žigallotv pronabližennâvserednʹomuklasívfunkcíizdrobovimipohídnimiíhíntegralamiabelâpussona AT žigallotv approximationinthemeanofclassesoffunctionswithfractionalderivativesbytheirabelpoissonintegrals |