Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации
Для нестационарных квазилинейных игровых задач, описываемых системами с импульсным воздействием, установлены условия вывода траекторий на цилиндрическое терминальное множество в конфликтной ситуации. Базовым аппаратом для исследования является метод разрешающих функций, в основе которого лежит испол...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180833 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации / А.Г. Наконечный, Е.А. Капустян, А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 54-63. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860055998284169216 |
|---|---|
| author | Наконечный, А.Г. Капустян, Е.А. Чикрий, А.А. |
| author_facet | Наконечный, А.Г. Капустян, Е.А. Чикрий, А.А. |
| citation_txt | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации / А.Г. Наконечный, Е.А. Капустян, А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 54-63. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Для нестационарных квазилинейных игровых задач, описываемых системами с импульсным воздействием, установлены условия вывода траекторий на цилиндрическое терминальное множество в конфликтной ситуации. Базовым аппаратом для исследования является метод разрешающих функций, в основе которого лежит использование многозначных отображений и их селекторов, а также принцип измеримого выбора Филиппова–Кастена для построения управлений. Особенностью данной работы является использование верхних и нижних разрешающих функций двух типов, когда классическое условие Понтрягина не имеет места. Последнее обстоятельство позволяет существенно расширить класс задач, поддающихся решению.
Отримано достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого процесу, який задається імпульсною системою диференціальних рівнянь, із заданою циліндричною термінальною множиною. Умови реалізовано при різній інформованості в класі квазі- та стробоскопічних стратегій на основі ідеології розв’язуючих функцій, що використовують обернені функціонали Мінковського. Математичним апаратом у дослідженні є многозначні відображення та їх селектори. Побудова керувань, що гарантують результат першого гравця, здійснюється на основі теорем вимірного вибору типу леми Філіппова–Кастена. Характерною особливістю є та обставина, що класична умова Понтрягіна, взагалі кажучи, не має місця і роль селекторів Понтрягіна відіграють спеціальні функції зсуву, а замість розв’язуючих функцій розглядаються верхні та нижні розв’язуючі функції двох типів, які дозволяють реалізувати процес зближення за скінченний час. Останнє нововведення дозволяє істотно розширити клас ігрових задач, які піддаються дослідженню на основі ідеології розв’язуючих функцій зі збереженням основних конструкцій методу. Зокрема, вдається охопити процеси з розривними траєкторіями, що функціонують в умовах конфлікту та невизначеності.
The sufficient conditions are obtained for hitting of conflict-controlled process, given by impulse differential system with prescribed cylindrical terminal set. The conditions are realized at different information content in the class of quasi and stroboscopic strategies based on ideas of the method of resolving functions using the inverse Minkowski functionals. Many-valued mappings and their selections represent mathematical apparatus of investigation. Specific feature of the problem which the paper deals with is that generally speaking the classic Pontryagin condition does not hold. Here special shifting functions play the role of Pontryagin selection and instead of resolving functions the upper and the lower resolving functions of two kinds are applied that allow the convergence process to be realized in a finite time. Above mentioned innovation allows essential extention of the class of game problems which are susceptible to analysis on the basis of the resolving functions ideology under the main method constructions. In particular it becomes possible to encompass the processes with discontinuous trajectories functioning in condition of conflict and uncertainty.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:01:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Е.А. КАПУСТЯН, А.А. ЧИКРИЙ, 2019
54 ISSN 0572-2691
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 517.977
А.Г. Наконечный, Е.А. Капустян, А.А. Чикрий
ОБ УПРАВЛЕНИИ ИМПУЛЬСНЫМИ
СИСТЕМАМИ В КОНФЛИКТНОЙ СИТУАЦИИ
Ключевые слова: импульсные системы, конфликтно-управляемые процессы,
многозначные отображения, метод разрешающих функций, условие Понтряги-
на, измеримый выбор.
Введение
Наряду с классическими прямыми методами Л.С. Понтрягина [1], правилом
экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [2], идеологией динамического
программирования в изложении Р. Айзекса [3] в теории динамических игр доста-
точно эффективным средством для исследования конфликтно-управляемых про-
цессов является метод разрешающих функций [4, 5].
Исторически этому методу предшествовала и сыграла ключевую роль неко-
торая скалярная минимаксиминная функция
1 1,...,1
( , ) min max min ( , )
i
i
p i kv
n k p v
, , ,n
ip v , 2,n k 0 ( , ) 1,n k
n -— вещественное евклидово n-мерное пространство. Эта функция определя-
ет преимущество убегающего над каждым из группы преследователей в гло-
бальной задаче убегания одного управляемого объекта от группы. Она была вве-
дена на Одесской конференции по теории игр в 1974 г., а опубликована в работе [6].
Значения функции ( , )n k в явном виде легко найти лишь при 2,n а для более
высоких размерностей они до сих пор не найдены, известны лишь некоторые
оценки.
Зная об этом и пытаясь вычислить функцию ( , ),n k Б.Н. Пшеничный обна-
ружил совершенно иной, но очень важный результат [7]. Он касался задачи в не-
котором смысле двойственной к задаче убегания от группы, а именно, задачи
группового преследования. Сформулируем упомянутый результат на содержа-
тельном уровне.
Для этого рассмотрим простые движения (управление скоростью) группы
преследователей
,i ix u 1,iu 1,..., ,i k
0(0) ,i ix x n
ix
и одного убегающего
,y v 1,v
0(0) ,y y ,ny 2.n
Цель игры — точная поимка одним из преследователей убегающего ( ).ix y
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 55
Оказалось, что если в выражении для функции ( , )n k убрать внешний ми-
нимум и модуль и положить
0 0
0 0
,i
i
i
x y
p
x y
то справедливо следующее утверждение.
Неравенство
1,...,1
max min ( , ) 0i
i kv
p v
имеет место тогда и только тогда, когда
0 0int co{ }iy x , где int co — внутренность выпуклой оболочки, натянутой на век-
торы. Геометрически последнее означает «окружение» группой преследователей
убегающего в начальный момент. Более того, этот факт является необходимым и
достаточным условием поимки группой одного за конечное время, а процесс пре-
следования реализуется с помощью параллельного преследования в классе
контруправлений. При этом в построении управлений ключевую роль играют не-
которые скалярные функции — прототип разрешающих.
Результат был настолько прост и нагляден, что получил впоследствии широ-
кое развитие. Так, для линейных систем задача группового и поочередного пре-
следования была рассмотрена в работах [4, 8, 9], нестационарные конфликтно-
управляемые процессы изучены в [10, 11], дифференциально-разностным игро-
вым задачам посвящены исследования [12, 13], игры с неполной или задержкой
информации — [14, 15], конфликтные ситуации в системах с распределенными
параметрами рассматривались в [16, 17], с дробными производными различных
типов — в [18], в стохастических системах с уравнением Ито — в [19]. Близкие по
содержанию минимаксные проблемы изучались в работах [20, 21].
Данная публикация посвящена применению аппарата верхних и нижних раз-
решающих функций, разработанного в [22], и изучавшегося в [23, 24], к исследо-
ванию управляемых импульсных систем, описанных в [25]. Главная черта таких
процессов — разрывность траекторий. Импульсные процессы изучались, в част-
ности, в [26, 27].
В настоящей статье на основе техники многозначных отображений и их се-
лекторов получены достаточные условия разрешимости игровой задачи сближения
для квазилинейных импульсных систем и цилиндрического терминального множе-
ства в ситуации, когда классическое условие Понтрягина, вообще говоря, не имеет
места и в роли селекторов Понтрягина выступают некоторые функции сдвига.
Импульсные процессы. Постановка игровой задачи
В конечномерном евклидовом пространстве n рассматривается конфликт-
но-управляемый нестационарный квазилинейный процесс
( ) ( , , ),z A t z t u v 0 0,t t 0 0( ) .z t z (1)
Здесь ( )A t — матричная функция с локально суммируемыми элементами. Функ-
ция ( , , )t u v задает блок управления, она измерима по t и непрерывна по сово-
купности ( , ).u v Управления игроков u и v в каждый момент времени выбира-
ются из областей управления ( )U t и ( ),V t являющихся измеримыми компактно-
значными отображениями с образами в пространстве n для всех 0[ , ).t t
На рост в правой части в (1) наложено ограничение
),,( vut )(tc uU(t), vV(t), t[t0, + ), (2)
где ( )c t — некоторая локально суммируемая функция.
56 ISSN 0572-2691
Наряду с системой (1) задано переменное терминальное множество
),()( 0 tMMtM t [t0, + ), (3)
где 0M –– линейное подпространство в ,n
а ( )M t — измеримое компактно-
значное отображение, образы которого принадлежат ортогональному дополнению
к 0M в .n Обозначим его 0 .L M Предполагается, что процесс (1) является
импульсным [25], т.е траектория системы (1) претерпевает разрывы первого ряда
в заданных точках ,i 0 1 2 1... ...i it , последовательность
которых не имеет конечных точек сгущения.
Величина скачка в момент i имеет вид
( 0) ( ) , 1, 2,...
it i i i i iz z z B z a i , (4)
где iB — постоянные матрицы, ( ),i iz z а ia — заданные векторы из .n Таким
образом, траектория ( )z t в момент скачка непрерывна слева. Кроме того, предпо-
лагается, что матрицы ,iE B 1, 2,...i , невырождены, E — единичная матрица.
В этих предположениях цель первого игрока ( ),u воздействуя на процесс (1)–(4)
с помощью измеримого селектора ( )u t отображения ( ),U t — вывести его траек-
торию на множество (3) за кратчайшее время при любом противодействии второ-
го игрока ( )v в виде измеримого селектора ( )v t отображения ( ).V t Также управ-
ления предписывают допустимые стратегии игроков.
Определим взаимную информированность сторон в процессе игры. Игровая
задача будет исследоваться с точки зрения первого игрока. Как уже было сказано,
второй игрок в качестве допустимых управлений использует произвольные измеримые
селекторы многозначного отображения ( ).V t Таковые существуют в силу теоремы
измеримого выбора [27]. Их совокупность обозначим .E Если первый игрок в мо-
мент ,t 0,t t имеет информацию о начальном состоянии процесса 0 0( , )t z и
предыстории управления второго игрока 0( ) { ( ) : ( ) ( ), [ , ]},tv v s v s V s s t t т.е.
( )u t 0 0( , , , ( )),tu t z t v то говорят, что его управление предписано квазистрате-
гией [2].
В случае, когда первый игрок принимает решение в момент t лишь на основе
информации о начальном состоянии 0 0( , )t z и мгновенном значении управления
второго игрока, т.е. 0 0( ) ( , , , ( )),u t u t z t v t то будем говорить о контруправлении
по Н.Н. Красовскому [2], которое предписано стробоскопической стратегией
О. Хайека [29].
Если противоборствующими сторонами выбраны допустимые управления
( )u и ( ),v то из теории линейных импульсных систем [25] следует представле-
ние решения процесса (1) в виде аналога формулы Коши:
00
0 0( ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( )) ( , ) ,
i
t
i i
t tt
z t t t z t u v d t a
(5)
где
1
0 1 1 0( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( , ),j k j k j j j j
k
t t t E B E B t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 57
1 0 1,j j j k j kt t
1
1( , ) ( , ) ( ) ( , )( ) ( , ),
s
j k j j j j s j s
k
t t E B E B
1 0 1 1.j j j s j s j k j kt t
Здесь ( , )t — матрицант [30] однородной системы (1).
Схема метода. Верхние и нижние разрешающие функции
Для исследования конфликтно-управляемого процесса (1)–(4) используем
метод разрешающих функций [5] в ситуации, когда, вообще говоря, не имеет ме-
ста условие Понтрягина [1].
Пусть — оператор ортогонального проектирования из n в ,L положим
( , ( ), ) { ( , , ) : ( )},t U t v t u v u U t 0 ,t t ( ),v V t
и введем многозначные отображения
( , , ) ( , ) ( , ( ), ),W t v t U v
( )
( , ) ( , , ).
v V
W t W t v
В дальнейшем будем предполагать, что отображение ( , , )W t v замкнуто-
значно, а ( , )W t измеримо по в предположении, что оно имеет непустые обра-
зы на множестве
0 0( ) {( , ) : }.t t t t
Последнее условие называют условием Понтрягина [1, 5]. В дальнейшем будем
предполагать, что это условие, вообще говоря, не имеет места, а, следовательно,
не существует измеримого по селектора отображения ( , ).W t Его роль выпол-
нит несколько иная функция, которая в случае справедливости условия Понтря-
гина совпадает с селектором Понтрягина [5, 22].
Итак, пусть 0( , ), : ( ) ,t t L — некоторая, почти везде ограниченная из-
меримая по t и суммируемая по , 0[ , ]t t для каждого
0
,tt
0 0{ : },t t t t
функция, которую назовем функцией сдвига.
Обозначим
00
0 0 0 0( , , , ( , )) ( , ) ( , ) ( , )
i
t
i i
t tt
t z t t t t z t d t a
и введем многозначное отображение
0 0( , , ) { 0:[ ( , , ) ( , )] [ ( ) ( , , , ( , ))] },t v W t v t M t t z t t A (6)
0( ), ( , ) ( ).v V t t
Взамен условия Понтрягина потребуем более слабое предположение, которое ав-
томатически выполнено при упомянутом условии.
Условие 1. Многозначное отображение ( , , )t vA имеет непустые образы при
0( ), ( , ) ( ).v V t t
Отображение ( , , )t vA порождает верхнюю и нижнюю скалярные разреша-
ющие функции первого типа [22–24]:
*
*( , , ) sup{ : ( , , )}, ( , , ) inf{ : ( , , )}t v t v t v t v = A = A
58 ISSN 0572-2691
как соответствующие опорные функции [31] в направлении .1 Поскольку обра-
зы отображения ( , , )t vA являются числовыми множествами, то, учитывая усло-
вие 1 теоремы о характеризации и обратном образе [28], можно показать [5], что замк-
нутозначное отображение ( , , )t vA при фиксированном
0t
t измеримо по при
произвольном допустимом селекторе 0( ), [ , ],v t t а верхняя и нижняя разре-
шающие функции суперпозиционно измеримы по в силу теоремы об опорной
функции [28], следовательно, функция *( , , ( ))t v измерима по 0, [ , ],t t и
интегрируема по Лебегу при любой измеримой функции ( ) .Ev
Рассмотрим множество
0
*
0 0 0
( )
( , , ( , )) : inf ( , , ( )) 1
E
t
v
t
T t z t t t v d
. (7)
Если для некоторого 0, ,t t t верхняя разрешающая функция первого типа
*( , , )t v для ),(Vv 0[ , ],t t то значение интеграла в соотношении (7)
положим равным и соответствующее неравенство выполнено автоматически,
причем 0 0( , , ( , )).t T t z В случае, когда неравенство в (7) не имеет места при
всех 0 ,t t положим 0 0( , , ( , )) .T t z
Наряду с ключевым многозначным отображением ( , , )t vA введем следующее:
0
( )
( , ) ( , , ), ( , ) ( ).
v V
t t v t t
A A
Будем предполагать, что отображение ( , )t A измеримо по 0, [ , ],t t для лю-
бых 0, .t t t
Обозначив, следуя [31],
0dom {( , ) ( ) : ( , ) },t t t A A
предположим следующее.
Условие 2. 0dom ( ).t A
Отображение ( , )t A порождает верхнюю и нижнюю разрешающие функции
второго типа:
*
*( , ) sup{ : ( , )}, ( , ) inf{ : ( , )}.t t t t = A = A
Эти функции не зависят от управляющих воздействий второго игрока, по теореме
об опорной функции [28] они измеримы по .
Замечание 1. Верхние и нижние разрешающие функции первого и второго
типа впервые введены в [22], для нестационарных процессов их свойства и взаи-
мосвязь изучены в [23], а в работе [24] продемонстрирована эффективность пред-
ложенной техники на примере линейных конфликтно-управляемых процессов с
простой матрицей.
Для формулировки основного результата введем дополнительно на основе
верхних и нижних разрешающих функций второго типа следующие накопитель-
ные скалярные функции:
0 0
* *
* *( ) ( , ) , ( ) ( , ) .
t t
t t
t t d t t d
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 59
Основной результат. Условия окончания игры
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть для импульсного конфликтно-управляемого процесса (1)–(4)
существует такая функция сдвига 0( , ), ( , ) ( ),t t t что выполнено условие 2, к
тому же отображение ( )M t выпуклозначно. Кроме того, множество 0 0( , , ( , ))T t z
непусто и T — некоторый его элемент.
Тогда если *( ) 1,T то траектория процесса (1) может быть приведена на
терминальное множество (3) в момент T с помощью подходящей квазистратегии.
Если, к тому же, выполнено условие *( ) 1,T то упомянутая цель может быть
реализована в классе контруправлений.
Доказательство. Пусть ( ),v 0[ , ],t T — произвольное допустимое управле-
ние второго игрока. Предположим, что верхняя разрешающая функция первого типа
конечна для ( ),v V 0[ , ]t T и *( ) 1.T Учитывая содержательный смысл
функции *( , , )T v , как выигрыш первого игрока в момент при противодействии
( ),v V а также накопительный критерий в (7), введем контрольную функцию
0
*
*( ) 1 ( , , ( )) ( , ) ,
t T
t t
h t T v d T d 0[ , ].t t T
Здесь функция
*( , , )T v суперпозиционно измерима, поэтому
*( , , ( )),T v как,
впрочем, и функция *( , ),T измеримы по 0, [ , ].t T Следовательно, функ-
ция ( )h t абсолютно непрерывна на интервале 0[ , ].t T Далее, так как
0
0 * *( ) 1 ( , ) 1 ( ) 0,
T
t
h t T d T
а по определению
0
*( ) 1 ( , , ( )) 0,
T
t
h T T v d то существует такой момент *,t
* 0[ , ],t t T что *( ) 0.h t
Промежутки времени 0 *[ , )t t и *[ , ]t T игрового интервала назовем «актив-
ным» и «пассивным», имея ввиду то обстоятельство, что на первом из них сум-
марный выигрыш первого игрока накапливается в зависимости от поведения вто-
рого игрока, а на втором в этом уже нет необходимости — выигрыш фиксирован.
В подтверждение сказанного для последующего выбора управлений введем мно-
гозначные отображения
1( , )U v
*
0 0{ ( ) : ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )[ ( ) ( , , , ( , ))]},u U T u v T T v M T t z T T
0 *
2
( ), [ , ),
( , )
v V t t
U v
(8)
* 0 0{ ( ) : ( , ) ( , , ) ( , ) ( , )[ ( ) ( , , , ( , ))]},u U T u v T T M T t z T T
*( ), [ , ).v V t T
Из предположений о свойствах параметров импульсного конфликтно-управляемого
процесса, условия 2 и выражений для многозначных отображений ( , , )T vA и
( , )T A вытекает, что отображения 1( , )U v и 2( , )U v имеют непустые компакт-
ные образы.
60 ISSN 0572-2691
По теореме об обратном образе [28] отображения 1( , )U v и 2( , )U v при до-
пустимых управлениях ( )v измеримы, а по теореме измеримого выбора [28] в
каждом из них существует хотя бы по одному селектору: 1( , )u v и 2( , ),u v ко-
торые являются суперпозиционно измеримыми функциями.
Положим 1 1( ) ( , ( )),u u v 2 2( ) ( , ( )),u u v где ( )v — произвольный
измеримый селектор отображения ( ),V 0[ , ].t T
Управление первого игрока на «активном» промежутке положим 1( ),u а на
«пассивном» — 2( ).u Из формулы (5) имеем
*
0
0 0 1( ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( ))
t
t
z T T t z T u v d
0*
2( , ) ( , ( ), ( )) ( , ) .
i
T
i i
t tt
T u v d T a
(9)
Учитывая законы выбора управления первым игроком на «активном» и «пассив-
ном» промежутках, прибавив и вычтя из правой части (9) выражение
0
( , ) ,
T
t
T d
получим
*
0
*
0 0 0 0( ) ( , ) ( , , ( ))[ ( ) ( , , , ( , ))]
t
t
z T T t z T v M T t z T T d
* 0
* 0 0( , )[ ( ) ( , , , ( , ))] ( , )
T T
t t
T M T t z T T d T d
* *
0 * 0
* *
0 0 *( , , , ( , )) 1 , , ( ) ( , ) ( , , ( )) ( )
t tT
t t t
t z T T T v d T d T v M T d
*
* 0 *
*
* *( , ) ( ) , , ( ) ( , ) ( ) ( ).
tT T
t t t
T M T d T v d T d M T M T
Здесь учтено равенство *( ) 0,h t а соотношения при интегрировании многознач-
ных отображений могут быть подтверджены применением аппарата опорных
функций [31].
Случай *( , , )T v для некоторых ( ),v V 0[ , ],t T как следует из
выражения (6), возможен лишь при условиях
0 00 ( ) ( , , , ( , )),M T t z T T 0 ( , ) ( , ( ), ) ( , ).T U v T
Если ( , , ) [0, ),T v A имеем возможность выбора в качестве разрешающей
функции в тех точках 0[ , ],t T где
*( , , ( )) ,T v произвольную положи-
тельную конечную суперпозиционно измеримую функцию с тем лишь условием,
чтобы итоговая разрешающая функция обеспечивала равенство *( ) 0h t для не-
которого момента переключения *,t * 0[ , ].t t T Тем самым построение управле-
ния первого игрока сведено к предыдущей ситуации.
Случай
*( , , )T v для всех ( ),v V 0[ , ],t T соответствует первому
прямому методу Понтрягина [1, 5]. В самом деле, включение
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 61
00 ( , ) ( , ( ), ) ( , ) ( ), [ , ],T U v T v V t T
гарантирует выполнение условия Понтрягина на интервале 0[ , ],t T а функция
сдвига ( , )T является селектором Понтрягина [22]. Из включения 0 ( )M T
0 0( , , , ( , ))t z T T вытекает соотношение
0
0 0( , ) ( ) ( , ) ,
T
t
T t z M T W T d
из которого в силу конструкции первого прямого метода [1] вытекает возможность
закончить игру (1)–(4) в момент T в классе стробоскопических стратегий [5].
Для рассмотрения случая *( ) 1,T а *( ) 1T введем контрольную функцию
0
*
1 *( ) 1 ( , ) ( , ) .
t T
t t
h t T d T d
Будем считать, что *( , ) ,T 0[ , ].t T Тогда
1 0 *( ) 1 ( ) 0,h t T
*
1( ) 1 ( ) 0.h T T
В силу непрерывности функции 1( )h t существует такой момент 1
* ,t
1
* 0[ , ],t t T
что 1
1 *( ) 0,h t причем 1
*t уже не зависит от ( ).v На обоих участках 1
0 *[ , ],t t
1
*[ , ],t T соответствующих данной ситуации, рассмотрим многозначные отображе-
ния (8), где вместо *t фигурирует момент переключения 1
* ,t а в выражении для
1( , )U v вместо *( , , )T v входит функция *( , ).T Это многозначное отобра-
жение обозначим 1( , ).U v Учитывая свойства отображений 1( , )U v и 2( , ),U v
выберем их суперпозиционно измеримые селекторы, которые и определяют допу-
стимые управления первого игрока на обоих участках. Заключительные рассуж-
дения аналогичны предыдущим ситуациям.
Замечание 2. В случае, когда условие Понтрягина выполнено, нижние разре-
шающие функции обоих типов равны нулю [5, 22], что упрощает построение
управлений первого игрока на «активном» и «пассивном» участках.
Замечание 3. Для иллюстрации полученных результатов можно воспользо-
ваться примерами импульсных конфликтно-управляемых процессов, приведен-
ных в [25].
Заключение
Для нестационарных квазилинейных игровых задач, описываемых системами
с импульсным воздействием, установлены условия вывода траекторий на цилинд-
рическое терминальное множество в конфликтной ситуации. Базовым аппаратом
для исследования является метод разрешающих функций, в основе которого ле-
жит использование многозначных отображений и их селекторов, а также принцип
измеримого выбора Филиппова–Кастена для построения управлений. Особенно-
стью данной работы является использование верхних и нижних разрешающих
функций двух типов, когда классическое условие Понтрягина не имеет места. По-
следнее обстоятельство позволяет существенно расширить класс задач, поддаю-
щихся решению.
62 ISSN 0572-2691
О.Г. Наконечний, О.А. Капустян, А.О. Чикрій
ПРО КЕРУВАННЯ ІМПУЛЬСНИМИ
СИСТЕМАМИ В КОНФЛІКТНІЙ СИТУАЦІЇ
Отримано достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого
процесу, який задається імпульсною системою диференціальних рівнянь, із
заданою циліндричною термінальною множиною. Умови реалізовано при
різній інформованості в класі квазі- та стробоскопічних стратегій на основі
ідеології розв’язуючих функцій, що використовують обернені функціонали
Мінковського. Математичним апаратом у дослідженні є многозначні відобра-
ження та їх селектори. Побудова керувань, що гарантують результат першого
гравця, здійснюється на основі теорем вимірного вибору типу леми Філіппова–
Кастена. Характерною особливістю є та обставина, що класична умова Понт-
рягіна, взагалі кажучи, не має місця і роль селекторів Понтрягіна відіграють
спеціальні функції зсуву, а замість розв’язуючих функцій розглядаються верхні
та нижні розв’язуючі функції двох типів, які дозволяють реалізувати процес
зближення за скінченний час. Останнє нововведення дозволяє істотно розши-
рити клас ігрових задач, які піддаються дослідженню на основі ідеології
розв’язуючих функцій зі збереженням основних конструкцій методу. Зокрема,
вдається охопити процеси з розривними траєкторіями, що функціонують в
умовах конфлікту та невизначеності.
Ключові слова: імпульсні системи, конфліктно-керовані процеси, многозначні
відображення, метод розв’язуючих функцій, умова Понтрягіна, вимірний вибір.
A.G. Nakonechnyi, E.A. Kapustian, A.A. Chikrii
CONTROL OF IMPULSE SYSTEMS
IN CONFLICT SITUATION
The sufficient conditions are obtained for hitting of conflict-controlled process, given
by impulse differential system with prescribed cylindrical terminal set. The condi-
tions are realized at different information content in the class of quasi and strobo-
scopic strategies based on ideas of the method of resolving functions using the in-
verse Minkowski functionals. Many-valued mappings and their selections represent
mathematical apparatus of investigation. Specific feature of the problem which the
paper deals with is that generally speaking the classic Pontryagin condition does not
hold. Here special shifting functions play the role of Pontryagin selection and instead
of resolving functions the upper and the lower resolving functions of two kinds are
applied that allow the convergence process to be realized in a finite time. Above
mentioned innovation allows essential extention of the class of game problems which
are susceptible to analysis on the basis of the resolving functions ideology under the
main method constructions. In particular it becomes possible to encompass the pro-
cesses with discontinuous trajectories functioning in condition of conflict and uncer-
tainty.
Keywords: impulse system, conflict-controlled processes, set-valued mapping,
method of resolving functions, Pontryagin’s condition, measurable selection.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М. : Наука, 1988. 2. 576 с.
2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М. : Наука, 1970. 420 с.
3. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М. : Мир, 1967. 480 с.
4. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. –– Springer Science and Business Media. Dordrecht;
Boston; London. 2013. 424 p.
5. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения. Труды
Математического института имени В.А. Стеклова. 2010. 271. С. 76–92.
6. Чикрий А.А. Линейная задача убегания от нескольких преследователей. Известия АН
СССР, Техническая кибернетика. 1976. № 4. С. 46–50.
7. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами. Кибернетика. 1976.
№ 3. С. 145–146.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 63
8. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифферен-
циальных играх. Труды политехнического института. Лейпциг. 1982. С. 13–27.
9. Bigun Ya. I., Krivonos I.Yu., Chikrii Al.A., Chikrii K. A. Group approach under phase con-
straints. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. 46, N 4. P. 1–8.
10. Krivonos I.Yu., Chikrii Al.A., Chikrii K. A. On a approach scheme in nonstationary game prob-
lems. Journal of Automation and Information Sciences. 2013. 45, N 8. P. 32–40.
11. Pepelyaev V.A., Chikrii Al.A. On the game dynamics problems for nonstationary controlled pro-
cesses. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 3. P. 13–23.
12. Baranovskaya L. A method of resolving functions for one class of pursuit problems. Eastern–
European Journal of Enterprise Technologies. 2015. 2, N 4. P. 4–8.
13. Baranovska L.V. Method of resolving functions for the differential–difference pursuit game for
different–inertia objects, Studies in Systems. Decision and Control. 2016. 69. P. 159–176.
14. Chikrii G.Ts. On one problem of approach for damped oscillations. Journal of Automation and
Information Sciences. 2009. 41, N 10. P. 1–9.
15. Chikrii G.Ts. Using the effect of information delay in differential pursuit games. Cybernetics and
Systems Analysis. 2007. 43, N 2. P. 233–245.
16. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in an abstract parabolic system.
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2016. 293, N 1. P. 254–269.
17. Vlasenko L.A., Chikrii A.A. On a differential game in a system with distributed parameters. Pro-
ceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2016. 292, N 1. P. 276–285.
18. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. Int. J. Op-
timization methods and software. Taylor and Francis Group Ltd, Oxfordshire, ИК. 2008. 3, N 1.
P. 39–73.
19. Власенко Л.А., Руткас А.Г., Чикрий А.А. О дифференциальной игре в стохастической си-
стеме. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. 25, № 3. С. 45–61.
20. Кapustyan E.A., Nakonechnyj A.G. Optimal bounded control synthesis for a parabplic boundary–
value problem with fast oscillatory coefficients. Journal of Automation and Information Sciences.
1999. 31, N 12. P. 33–44.
21. Кapustyan E.A., Nakonechnyj A.G. The minimax problems of pointwise observation for a para-
bolic boundary value problem. Journal of Automation and Information Sciences. 2002. 34, N 5–8.
P. 52–63.
22. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image Structure of Multivalued Mappings in Game Problems of Mo-
tion Control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. 48, N 3. P. 20–35.
23. Чикрий А.А. Верхняя и нижняя разрешающие функции в игровых задачах динамики. Тру-
ды Института математики и механики УрО РАН. 2017. № 1. С. 293–305.
24. Наконечный А. Г., Мащенко С.О., Чикрий В.К. Управление движением в условиях проти-
водействия. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и ин-
форматики». 2018. № 1. С. 53–71.
25. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей-
ствием. Киев : Вища шк., 1987. 288 с.
26. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори-
ями. Київ : Наук. думка, 2005. 220 с.
27. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука,
1985. 224 с.
28. Aubin J.-P., Frankowska He. Set–valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p.
29. Hajek O. Pursuit Games. Academic Press. 1975. 12. 266 p.
30. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 575 с.
31. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М. : Мир, 1973. 470 с.
Получено 22.04.2019
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180833 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:01:01Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Наконечный, А.Г. Капустян, Е.А. Чикрий, А.А. 2021-10-20T17:34:36Z 2021-10-20T17:34:36Z 2019 Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации / А.Г. Наконечный, Е.А. Капустян, А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 54-63. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180833 517.977 Для нестационарных квазилинейных игровых задач, описываемых системами с импульсным воздействием, установлены условия вывода траекторий на цилиндрическое терминальное множество в конфликтной ситуации. Базовым аппаратом для исследования является метод разрешающих функций, в основе которого лежит использование многозначных отображений и их селекторов, а также принцип измеримого выбора Филиппова–Кастена для построения управлений. Особенностью данной работы является использование верхних и нижних разрешающих функций двух типов, когда классическое условие Понтрягина не имеет места. Последнее обстоятельство позволяет существенно расширить класс задач, поддающихся решению. Отримано достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого процесу, який задається імпульсною системою диференціальних рівнянь, із заданою циліндричною термінальною множиною. Умови реалізовано при різній інформованості в класі квазі- та стробоскопічних стратегій на основі ідеології розв’язуючих функцій, що використовують обернені функціонали Мінковського. Математичним апаратом у дослідженні є многозначні відображення та їх селектори. Побудова керувань, що гарантують результат першого гравця, здійснюється на основі теорем вимірного вибору типу леми Філіппова–Кастена. Характерною особливістю є та обставина, що класична умова Понтрягіна, взагалі кажучи, не має місця і роль селекторів Понтрягіна відіграють спеціальні функції зсуву, а замість розв’язуючих функцій розглядаються верхні та нижні розв’язуючі функції двох типів, які дозволяють реалізувати процес зближення за скінченний час. Останнє нововведення дозволяє істотно розширити клас ігрових задач, які піддаються дослідженню на основі ідеології розв’язуючих функцій зі збереженням основних конструкцій методу. Зокрема, вдається охопити процеси з розривними траєкторіями, що функціонують в умовах конфлікту та невизначеності. The sufficient conditions are obtained for hitting of conflict-controlled process, given by impulse differential system with prescribed cylindrical terminal set. The conditions are realized at different information content in the class of quasi and stroboscopic strategies based on ideas of the method of resolving functions using the inverse Minkowski functionals. Many-valued mappings and their selections represent mathematical apparatus of investigation. Specific feature of the problem which the paper deals with is that generally speaking the classic Pontryagin condition does not hold. Here special shifting functions play the role of Pontryagin selection and instead of resolving functions the upper and the lower resolving functions of two kinds are applied that allow the convergence process to be realized in a finite time. Above mentioned innovation allows essential extention of the class of game problems which are susceptible to analysis on the basis of the resolving functions ideology under the main method constructions. In particular it becomes possible to encompass the processes with discontinuous trajectories functioning in condition of conflict and uncertainty. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Управление системами с распределенными параметрами Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации Про керування імпульсними системами в конфліктній ситуації Control of impulse systems in conflict situation Article published earlier |
| spellingShingle | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации Наконечный, А.Г. Капустян, Е.А. Чикрий, А.А. Управление системами с распределенными параметрами |
| title | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| title_alt | Про керування імпульсними системами в конфліктній ситуації Control of impulse systems in conflict situation |
| title_full | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| title_fullStr | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| title_full_unstemmed | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| title_short | Об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| title_sort | об управлении импульсными системами в конфликтной ситуации |
| topic | Управление системами с распределенными параметрами |
| topic_facet | Управление системами с распределенными параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180833 |
| work_keys_str_mv | AT nakonečnyiag obupravleniiimpulʹsnymisistemamivkonfliktnoisituacii AT kapustânea obupravleniiimpulʹsnymisistemamivkonfliktnoisituacii AT čikriiaa obupravleniiimpulʹsnymisistemamivkonfliktnoisituacii AT nakonečnyiag prokeruvannâímpulʹsnimisistemamivkonflíktníisituacíí AT kapustânea prokeruvannâímpulʹsnimisistemamivkonflíktníisituacíí AT čikriiaa prokeruvannâímpulʹsnimisistemamivkonflíktníisituacíí AT nakonečnyiag controlofimpulsesystemsinconflictsituation AT kapustânea controlofimpulsesystemsinconflictsituation AT čikriiaa controlofimpulsesystemsinconflictsituation |