Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка

Для держави зовнішня розвідка в усі часи була сферою особливої уваги. Роль зовнішньої розвідки значно зросла в наш час, коли з’явилися нові форми міждержавних конфліктів (мережеві і гібридні війни, масштабні терористичні акти, системне втручання у внутрішні справи іншої держави і т.д.) і ускладнився...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
1. Verfasser:	Идрисов, Ф.Ф.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Экономические и управленческие системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180840
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка / Ф.Ф. Идрисов // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 137-149. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180840
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1808402025-02-09T15:40:38Z Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка Рекурентні моделі рандомізованих процесів в задачах зовнішньої розвідки. Частина 1. Спрощені моделі нижчого порядку Recursive models of randomized processes in foreign intelligence tasks. Part I. Simplified models of lower order Идрисов, Ф.Ф. Экономические и управленческие системы Для держави зовнішня розвідка в усі часи була сферою особливої уваги. Роль зовнішньої розвідки значно зросла в наш час, коли з’явилися нові форми міждержавних конфліктів (мережеві і гібридні війни, масштабні терористичні акти, системне втручання у внутрішні справи іншої держави і т.д.) і ускладнився простір їх проведення (до традиційних просторів, морського, сухопутного та повітряного, додалася нова сфера — кіберпростір). У зв’язку з цим ускладнилися умови отримання розвідданих і вимоги до їх обробки. Найбільший інтерес становить контекст проведення розвідувальних операцій, тобто дослідження потенційних можливостей моделей обробки даних про фінансові транзакції, про пересування людських, матеріальних, інформаційних та інших ресурсів з позицій теорії випадкових процесів. Однак класична теорія випадкових процесів розроблялася для задач, коли спостереження за об’єктом проводилися через рівні інтервали часу (наприклад, врожайність, народжуваність і т.д.). Еквідистантність малася на увазі за замовчуванням. Але для задач розвідки таке уявлення об’єкта, що спостерігається, неприйнятно, оскільки інформація про нього, будучи випадковою, надходить у випадкові моменти часу. Назвемо такі процеси рандомізованими, підкреслюючи цим самим рандомізованість моментів надходження розвідданих. Але є ще одна важлива обставина — це висока динаміка старіння даних і обмеженість їх обсягу. Природно, в цьому випадку необхідні рекурентні моделі, що враховують як недостатність інформації, так і її «старіння» в умовах рандомізованих спостережень. Всі ці моменти враховано у запропонованих моделях, заснованих на модифікованих сплайнах. Розглянуто моделі, досліджені для випадків, коли моменти появи даних відомі точно або з тих чи інших причин невідомі. Побудовано відповідні алгоритми виділення трендів спостережуваних даних, а також проаналізовано статистичні властивості їх параметрів. Наведено результати імітаційного моделювання. У цій частині роботи досліджено досить прості моделі порівняно невисокого порядку, тоді як у ч. 2 завдання вирішується шляхом побудови моделі більш високого порядку. For the state, foreign intelligence has always been a sphere of special attention. The role of foreign intelligence has grown significantly in our time, when new forms of interstate conflicts appeared (network and hybrid wars, large-scale terrorist acts, systemic interference in the internal affairs of another state, etc.) and the space for their conduct became more complicated (for traditional maritime, land and airspace added a new sphere — cyberspace). In this regard, the conditions for obtaining intelligence and requirements for their processing have become more complicated. Of most interest is the context of intelligence operations, i.e. study of the potential possibilities of data processing models for financial transactions, the movement of human material, information and other resources from the standpoint of the theory of random processes. However, the classical theory of random processes was developed for tasks when observations of an object were made at regular time intervals (for example, yield, fertility, etc.). Equidistance was implied by default. But for reconnaissance tasks, such representation of the observed object is unacceptable, since information about it, being random, arrives at random times. We call such processes randomized, emphasizing the very randomization of the moments of receipt of intelligence. But there is another important circumstance — this is the high dynamics of data obsolescence and the limitedness of their volume. Naturally, in this case, recurrence models are necessary that take into account both the lack of information and its «obsolescence» in the context of randomized observations. All these points are taken into account in the proposed models based on modified splines. The models presented in this work are investigated for cases when the moments of the appearance of the data are known exactly, or we cannot know these moments for one reason or another. Corresponding algorithms for distinguishing trends of the observed data are constructed, as well as the analyzed statistical properties of their parameters. The results of simulation are presented. In the first part of this work, fairly simple models of a relatively low order are investigated, while in the second part of the floor the problem is solved by constructing a model of a higher order. Исследование выполнено за счет проекта 8.9562 2017/8.9. 2019 Article Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка / Ф.Ф. Идрисов // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 137-149. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180840 519.2:53.05 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Идрисов, Ф.Ф. Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка Проблемы управления и информатики
description	Для держави зовнішня розвідка в усі часи була сферою особливої уваги. Роль зовнішньої розвідки значно зросла в наш час, коли з’явилися нові форми міждержавних конфліктів (мережеві і гібридні війни, масштабні терористичні акти, системне втручання у внутрішні справи іншої держави і т.д.) і ускладнився простір їх проведення (до традиційних просторів, морського, сухопутного та повітряного, додалася нова сфера — кіберпростір). У зв’язку з цим ускладнилися умови отримання розвідданих і вимоги до їх обробки. Найбільший інтерес становить контекст проведення розвідувальних операцій, тобто дослідження потенційних можливостей моделей обробки даних про фінансові транзакції, про пересування людських, матеріальних, інформаційних та інших ресурсів з позицій теорії випадкових процесів. Однак класична теорія випадкових процесів розроблялася для задач, коли спостереження за об’єктом проводилися через рівні інтервали часу (наприклад, врожайність, народжуваність і т.д.). Еквідистантність малася на увазі за замовчуванням. Але для задач розвідки таке уявлення об’єкта, що спостерігається, неприйнятно, оскільки інформація про нього, будучи випадковою, надходить у випадкові моменти часу. Назвемо такі процеси рандомізованими, підкреслюючи цим самим рандомізованість моментів надходження розвідданих. Але є ще одна важлива обставина — це висока динаміка старіння даних і обмеженість їх обсягу. Природно, в цьому випадку необхідні рекурентні моделі, що враховують як недостатність інформації, так і її «старіння» в умовах рандомізованих спостережень. Всі ці моменти враховано у запропонованих моделях, заснованих на модифікованих сплайнах. Розглянуто моделі, досліджені для випадків, коли моменти появи даних відомі точно або з тих чи інших причин невідомі. Побудовано відповідні алгоритми виділення трендів спостережуваних даних, а також проаналізовано статистичні властивості їх параметрів. Наведено результати імітаційного моделювання. У цій частині роботи досліджено досить прості моделі порівняно невисокого порядку, тоді як у ч. 2 завдання вирішується шляхом побудови моделі більш високого порядку.
format	Article
author	Идрисов, Ф.Ф.
author_facet	Идрисов, Ф.Ф.
author_sort	Идрисов, Ф.Ф.
title	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка
title_short	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка
title_full	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка
title_fullStr	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка
title_full_unstemmed	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка
title_sort	рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. часть 1. упрощенные модели низшего порядка
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180840
citation_txt	Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка / Ф.Ф. Идрисов // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 137-149. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT idrisovff rekurrentnyemodelirandomizirovannyhprocessovvzadačahvnešnejrazvedkičastʹ1uproŝennyemodelinizšegoporâdka AT idrisovff rekurentnímodelírandomízovanihprocesívvzadačahzovníšnʹoírozvídkičastina1sproŝenímodelínižčogoporâdku AT idrisovff recursivemodelsofrandomizedprocessesinforeignintelligencetaskspartisimplifiedmodelsoflowerorder
first_indexed	2025-11-27T13:19:39Z
last_indexed	2025-11-27T13:19:39Z
_version_	1849949773681917952
fulltext	© Ф.Ф. ИДРИСОВ, 2019 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 137 УДК 519.2:53.05 Ф.Ф. Идрисов РЕКУРРЕНТНЫЕ МОДЕЛИ РАНДОМИЗИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ ВНЕШНЕЙ РАЗВЕДКИ. Часть 1. УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ НИЗШЕГО ПОРЯДКА Ключевые слова: разведданные, рандомизированный процесс, тренд, сплайн, дисперсия, ковариация оценок, рекуррентные оценки, имитационное модели- рование. Введение Во все времена внешняя разведка являлась особо ответственной зоной вни- мания для всех государств. Ее значение существенно возрасло в наше время, ко- гда появились новые формы межгосударственных конфликтов (например, сетевые и гибридные войны, масштабные террористические акты и т.д.) и усложнилось пространство их проведения (к традиционным морскому, сухопутному и воздуш- ному пространствам добавилась новая сфера — киберпространство). В связи с этим проблемы внешней разведки привлекают внимание и спецслужб, и предста- вителей научной среды [1–3] (сюда же можно отнести и работы [4–6], где иссле- дованы модели финансовых потоков, обеспечивающих различные криминальные и террористические группы). Но в целом представляет интерес рассматривать внешнюю разведку в более системном контексте. В частности, естественнее исследовать возможности моделей проведения разведывательных операций не только для финансовых транзакций, но и таких направлений, как передвиже- ние людских, материальных, информационных и других ресурсов с позиций теории случайных процессов. В данной работе не делается акцент на возможные детали этой огромной про- блемы, а лишь предлагается ее концептуальное решение и исследуются его свойства. Все дело в том, что реально на практике наблюдается очень быстрое устаре- вание добытых данных. И гораздо более практичным может быть подход, учиты- вающий быструю динамику информационной ценности этих данных. Другими словами, нередко может представлять интерес рекуррентный подход к оценива- нию параметров синтезируемой модели. Но в реальности задача усложняется еще и тем, что разведываемые процессы являются не только сами по себе случайными, но и наблюдаемыми в случайные моменты времени (в работе [4] такие процессы названы рандомизированными, чтобы подчеркнуть их отличие от эквидистантных случайных процессов). Постановка проблемы Для внешней разведки, как правило, ставится задача выявления некоторой закономерности в наблюдаемой цепочке событий (например, в начавшейся пере- броске сил и средств воинских соединений). По мере появления рандомизирован- ных данных (т.е. поступающих в случайные моменты времени) необходимо оце- нить возникающие тренды.  Исследование выполнено за счет проекта 8.9562 2017/8.9. 138 ISSN 0572-2691 Однако выделение тренда в виде полинома выше четвертого порядка [4–6] нецелесообразно в силу того, что получается большая погрешность в оценке его параметров. С другой стороны, когда длительность интервала наблюдений Т достаточно велика, полином невысокого порядка может неудовлетворительно описывать искомый тренд. Выход из создавшейся ситуации может состоять в том, что весь интервал наблюдения за объектом [0, Т] разбивается на интервалы ...],2,[],,0[ 000 TTT ],)1[(..., 00 nTTn , и на каждом таком небольшом интервале будем оценивать тренд в виде полинома невысокого порядка. На границах интервалов эти полино- мы «сшиваются» так, чтобы получалась непрерывная кривая. Такая кусочно-по- линомиальная кривая, как известно, носит название сплайна [7, 8]. В работе рас- сматривается проблема выделения тренда временного ряда в виде сплайна, при этом строятся рекуррентные процедуры оценки параметров сплайна, когда коэффи- циенты полиномов оцениваются не все сразу, а последовательно, один за другим. Уточним эту постановку для сплайна первого порядка. Рассмотрим отрезок ])1(,[ 00 TrrT  . Если момент ti i-го изменения наблюдаемого объекта лежит на этом отрезке, то результат наблюдения можем представить в виде ,)()( iirii ntxtxx  (1) где ,1,0),(  nrtxr — тренд временного ряда .)1( ,)( 00 0 0 TrtrT T rTt batx rrr    (2) Таким образом, на r-м отрезке тренд имеет вид полинома первого порядка. Потребуем, чтобы значения тренда на границах отрезков были «сшиты», т.е. ),)1(())1(( 010 TrxTrx rr   что приводит к условию .1 rrr aba (3) Таким образом, тренд имеет вид кусочно-ломаной линии, которая и называ- ется сплайном первого порядка. Выделение такого тренда сводится к нахождению оценок rr ba ˆ,ˆ параметров rr ba , , причем значения этих оценок также должны быть сшиты, т.е. .ˆˆˆ 1 rrr aba (4) Другими словами, оценка тренда также должна быть сплайном первого порядка. Выделение тренда в виде сплайна первого порядка Заметим, что в рассматриваемом случае достаточно оценить коэффициенты ,ra так как коэффициенты rb определяются через ra очень просто: .1 rrr aab   Поэтому естественно с самого начала записать тренд так, чтобы он содержал только коэффициенты ra : на участке ])1(,[ 00 TrrT  тренд )(txr может быть за- писан в виде ,)1(,1)( 00 0 1 0 TrtrTr T t a T t ratx rrr                   (5) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 139 так что если момент it попадает на интервал ])1(,[ 00 TrrT  , то )( ii txx  имеет вид ,1)( 0 1 0 i i r i rii nr T t a T t ratxx                   (6) где in — независимые случайные величины с 0}{ inM и .}{ 2inD А. Моменты изменений наблюдаемого объекта известны точно. Пусть мо- менты it известны точно. Образуем множества rM индексов i следующим образом: .1,0},)1(:{ 00  nrTrtrTiM ir (7) Другими словами, rM — это множество индексов у тех it , которые попали на r-й интервал. Для оценки râ параметров ra рассмотрим статистики вида . 1 0 0 0 i Mi i r x T rTt T S r               (8) Вычислим математическое ожидание этой статистики. Учитывая пред- ставление для ix (6) и усредняя сначала по in с учетом того, что 0}{ inM , а затем по }{ it , получим                                        dtr T t a T t ra T rTt T SM r Tr rT rr 0 1 )1( 00 0 0 0 0 1 1 }{ . 3262 ))1()(( 1 0 11                      rrrr aadxxaxax (9) Отсюда следует, что если взять  = 4,  =  6, то rr aSM }{ , а если взять  =  2,  = 6, то 1}{  rr aSM . Это позволяет предложить следующий рекуррентный алгоритм оценок пара- метров ra начиная с 0a . Оценку 0â параметра 0a следует брать в виде              0 .64 1 ˆ 00 0 Mi i i x T t T a (10) Оценку 1̂a параметра 1a можно получить как из отрезка ],0[ 0T , так и ]2,[ 00 TT . В общем случае можно рассматривать некоторое взвешенное среднее этих оценок, т.е. оценку вида                               10 0 0 00 1 64)1(26 1 ˆ Mi i i Mi i i x T Tt x T t T a c некоторым   [0, 1]. Аналогично можно построить оценки для 132 ...,,, naaa в виде ,64)1(2 )1( 6 1 ˆ 0 0 0 0 0 1                                  rr Mi i i Mi i i r x T rTt x T Trt T a (11) 140 ISSN 0572-2691 и лишь оценка nâ последнего параметра 11   nnn baa имеет особый вид .2 )1( 6 1 ˆ 1 0 0 0               nMi i i n x T Tnt T a (12) По-видимому, достаточно разумным выбором для  является значение  = 0, когда .64 1 ˆ 0 0 0               rMi i i r x T rTt T a (13) В этом случае оценки 1210 ...,,,, naaaa будут некоррелированы, так как в них фигурируют in и it из непересекающихся множеств, и лишь 1ˆ na и nâ будут зависимы. Найдем теперь дисперсию построенных оценок, считая поток моментов из- мерений }{ it пуассоновским. Учитывая выражение (6) для ix , получаем                        rMji ji r T rTt T rTt T a , 0 0 0 0 2 0 2 6464 )( 1 ˆ .)1()1( 0 1 00 1 0                                                      j j r j ri i r i r nr T t a T t ranr T t a T t ra Усредняя по in с учетом их независимости, запишем следующее выражение:                             rr Mji i Mi i ir T rTt TT rTt T taM , 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 64 )( 1 64}}{ˆ{   .1164 0 1 00 1 00 0                                                               r T t a T t rar T t a T t ra T rTt j r j r i r i r j Усредняя далее по моментам измерений }{ it с учетом того, что поток этих моментов пуассоновский, после замены переменных получим .))1(()64( 1 ))1()(64()64(}ˆ{ 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 0 2 2                      dxxaxax T dxxaxaxdxx T aM rr rrr Вычисляя интегралы, получаем , 15 8 15 14 15 381 4}ˆ{ 2 11 2 00 2 22              rrrrrr aaaa TT aaM отсюда окончательно )81438( 15 1 4}ˆ{ 2 11 2 00 2        rrrrr aaaa TT aD . (14) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 141 Построим теперь несмещенную оценку величины }ˆ{ raD . Для этого рассмот- рим статистики вида .64 1 2 2 0 0 0 i Mi i x T rTt T S r               (15) Вычисляя математическое ожидание этой статистики аналогично тому, как это сделано выше при вычислении }ˆ{ 2 raM , получим ),81438( 15 1 4}{ 2 11 22   rrrr aaaaSM так что для пуассоновского потока моментов измерений несмещенная оценка }ˆ{ˆ raD дисперсии }{ raD имеет вид .64 )( 1 }ˆ{ˆ 2 2 0 0 2 0 i Mi i r x T rTt T aD r               (16) Заметим, что относительно асимптотических свойств рассмотренных выше статистик верны все теоремы, доказанные в [4–6]. В случае, если поток измерений является рекуррентным, изменяются лишь выражения для }ˆ{ raD и ее оценки. Выражение для }ˆ{ raD примет вид )81438( 15 4}ˆ{ 2 11 2 0 2 0 2        rrrrr aaaa T c T aD , (17) и в качестве ее оценки можно взять статистику   ).ˆ8ˆˆ14ˆ38( 15 1 64 1 }ˆ{ˆ 2 11 2 0 2 2 2 0 0 2 0                   rrrri Mi i r aaaa T c x T rTt T aD r (18) Б. Моменты изменений в наблюдаемом объекте неизвестны. Рассмотрим теперь ситуацию, когда моменты изменений наблюдаемого объекта на интер- вале [0, T] неизвестны, но предположим, что их было N и ....0 21 Tttt N  При исследовании данной ситуации воспользуемся результатами [5] относительно свойств моментов it , а именно тем, что . )( )2()1( )1( }{ , 1 }{ 3 22 2 22 N iNi cT NN iNi cTNtD N i T N i TNtM i i         (19) Разобъем все измеренные N значений на n равных групп по 0N измерений в каждой, так что 0nNN  . Тогда в k-й группе ( 1,0  nk ) индекс измерения i меняется в пределах 00 )1( NkikN  . Обозначая jkNi  0 , представим изме- ренные значения в k-й группе в виде ,1 0 00 0 00 1 jkN jkN k jkN kjkN n T t kak T t ax                       (20) где пренебрегли возможностью «перескока» измерения из одной группы в другую на стыках групп. При достаточно большом 0N этот эффект играет незначительную роль. 142 ISSN 0572-2691 Отсюда .1}{ 0 0 0 0 10                      NT jkN Tkak NT jkN TaNxM kkjkN (21) Однако ,)( 0 0 00 0 0 0 N j kjkN TnN nT NT jkN T   так что .1}{ 00 10           N j a N j aNxM kkjkN (22) Рассмотрим теперь статистики вида            0 0 1 00 . 1 N j jkNk x N j N S (23) Тогда, принимая во внимание (22), получаем              00 1 2 3 01 2 0 1 11 }{ N j N j kk j N j N aNSM                            01 2 01 00 1 1 1 1 00 N j j NN j N a N j N j k . Входящие сюда суммы легко вычисляются [9] ; 2 1 1 1 ; 2 11 0 0 1 000 0 10 00 N N N j NN N j N N j N j               2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 00 1 2 3 0 6 1 1 1 ; 6 )12)(1(1 00 N N N j j NN NN j N N j N j               При больших 0N приближенно , 6 1 1 1 ; 3 11 ; 2 1 1 1 ; 2 11 01 2 01 2 3 01 0010 0000                    N j j N j NN j N j N N j N j N j N j так что при 10 N . 6232 }{ 1                     kkk aaNSM Если взять  =  6,  = + 4, то .}{ kk aNSM  Поэтому в качестве оценки kâ параметра ka можно брать статистику            0 0 1 00 ,46 1 ˆ N j jkNk x N j N a (24) которая дает асимптотически несмещенную оценку параметра ka . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 143 Вычислим теперь асимптотическую (при 0N ) дисперсию оценки kâ . Так как NjkNTNtM jkN /)(}{ 00  , то представим jkNt 0 в виде . 00 0 jkNjkN t N jkN Tt     (25) Полагая , , 00 nNNnTT  приведем это выражение к виду jkNjkN t N j kTt           00 0 0 , так что . 000 00 T t N j k T t jkNjkN    (26) Поэтому jkNx 0 можно представить в виде                        0000 1 00 0 1 T t N j a T t N j ax jkN k jkN kjkN   .1 0 0 0 1 000 1 jkNkk jkN kkjkN naa T t N j a N j an               (27) Подставляя это разложение в выражение (24) для оценки kâ параметра ka , получим                         0 0 0 1 1 000 ,)(64 1 ˆ N j kk jkN jkNkk aa T t n N j N aa (28) отсюда следует, что             2 1 1 2 0 2 0 2 )(64 1 }ˆ{ 0 kk N j k aa N j N aD                      0 0 00 1 1 00 2 0 2 0 .),cov(6464 1 N j N l lkNjkN tt N l N j TN (29) При 10 N суммы приближенно можно заменить интегралами, тогда             N j dxx N j N 1 1 0 2 2 00 .4)64(64 1 (30) Для ),cov( 00 lkNjkN tt   нетрудно показать, что )],()(),(min[),cov( 00003 2 00 lkNjkNlkNjkNN N T tt lkNjkN   для второй суммы в (29) получим выражение                      0 0 1 1 00 3 2 2 0 2 0 6464 1 N j N l N l N j N T TN .)]()(),(min[ 0000 lkNjkNlkNjkNN  144 ISSN 0572-2691 Снова полагая 00, nNNnTT  , приведем это выражение к виду                      0 0 1 1 00 2 00 6464 11 N j N l N l N j NN . 1 ,min 0000                                  N l k N j k nN l k N j k Cчитая 10 N и заменяя суммы интегралами, получим, что                                                                1 0 1 0 1 1 000000 2 0 .),( 1 ),min()64)(64( 1 ,min6464 1 0 0 dxdyykxk n ykxkyx N l k N j k nN l k N j k N l N j N N j N l Наконец, вычисляя полученный интеграл, получим, что он равен ,1 15 2 15 2 2        n k k n k k так что окончательное выражение для дисперсии }ˆ{ kaD оценки kâ принимает вид     .1 15 2 4ˆ 0 2 1 0 2                   n k k N aa N aD kk k (31) В этом выражении неизвестны 2 и 2 1 )( kk aa  . Поэтому построим оценку }ˆ{ˆ kaD этой дисперсии. Удобнее строить оценку величины },ˆ{0 kaDN так как при 0N эта величина стремится к константе. Для этого рассмотрим статистику вида 2 2 1 00 0 0 64 1 jkN N j x N j N S             . (32) Подставляя сюда выражение (27), получим   .164 1 2 1 000 1 2 1 00 0 0 0                                   jkNkk jkN kk N j naa T t N j a N j a N j N S С учетом того, что 0}{,0}{ 00   jkNjkN tMnM и jkNjkN tn   00 , не- зависимы, получаем                                      2 00 1 2 1 00 2 1 00 2 164 1 64 1 }{ 00 N j a N j a N j NN j N SM kk N j N j }.{64 )( 2 2 1 0 2 00 2 1 0 0 jkN N j kk tM N j TN aa                (33) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 145 Если заменить суммы соответствующими интегралами, то в (33) первое сла- гаемое равно 24 , второе слагаемое — .)81438( 15 1 2 11 2   kkkk aaaa Что касается последнего слагаемого, то учтем, что , ))(( }{}{ 3 0022 00 N jkNNjkN TtDtM jkNjkN    так что коэффициент при 2 1 )( kk aa  равен                            0 1 00 2 0 2 0 64 1 N j N j kn N j k N j nN . (34) Однако выражение                            0 1 00 2 00 64 1 N j N j kn N j k N j nN при 0N стремится к конечному пределу, равному nn k k n k dxxknxkx n 15 8 4421))(()64( 1 21 0 2  , и поэтому все выражение (34) при 0N стремится к нулю. Таким образом, при 0N имеем асимптотическое равенство )81438( 15 1 4}{ 2 11 22   kkkk aaaaSM , (35) и поэтому с учетом сходимости kâ к ka , по крайней мере в среднеквадратичном смысле, оценкой величины }ˆ{0 kaDN является величина             2 1 2 11 2 1 2 00 )ˆˆ()ˆ8ˆˆ14ˆ38( 15 1 64 1 0 kkkkkk N j i aaaaaax N j N                               n k kaax N j Nn k k N j kkj 1)ˆˆ(64 1 1 15 2 2 1 1 2 00 0 ),ˆ10ˆˆ18ˆ36( 15 1 2 11 2   kkkk aaaa (36) что и дает асимптотически несмещенную оценку }ˆ{ˆ kaD дисперсии }ˆ{ kaD :            0 1 2 2 0 2 0 64 1 }ˆ{ˆ N j ik x N j N aD .)ˆ10ˆˆ18ˆ36( 15 1 1)ˆˆ( 1 2 11 22 1 0               kkkkkk aaaa n k kaa N (37) Знание }ˆ{ˆ kaD позволяет строить доверительные интервалы для kâ и са- мого тренда. 146 ISSN 0572-2691 Оценка сплайном первого порядка тренда произвольного вида Выше изучен случай, когда истинный тренд — сплайн первого порядка и его оценка — также сплайн. Теперь пусть тренд является произвольной функцией от времени, т.е. .)()( iiii ntftxx  (38) В этом случае основная идея заключается в том, чтобы для произвольной функции тренда f(t) все-таки сохранить те оценки kâ , которые были получены для случая, когда f(t) — сплайн первого порядка, и выделить тренд в форме сплайна. Однако в данном случае возникает неустранимая ошибка (которая не стре- мится к нулю при 0N ), связанная с тем, что f(t) не является сплайном. Ниже вычисляется эта неустранимая ошибка. Данная ошибка проявляется при , т.е. когда все измерения выполняются через бесконечно малые интервалы времени, и поэтому в выражениях для оценок параметров все суммы превращаются в интегралы. Пусть .)()}({ tftxM  Тогда параметры сплайна ka определяются следую- щим образом:              0 0 )1( 1 0 00 0 0 0 )64)((64)( 1 Tk kT k dxxkTxTfdt T kTt tf T a (39) для k = 0, 1, 2,... . На участке )(])1(,[ 00 tfTkkT  аппроксимируется сплайном                  00 1 1 T t kak T t a kk , (40) и поэтому интеграл от квадрата разности f(t) и аппроксимирующего его сплайна равен                              0 0 )1( 2 00 1 1)( Tk kT kk dt T t kak T t atf ,)]1()([ 1 0 2 1000    dyyayakTyTfT kk (41) тогда среднеквадратичная погрешность  аппроксимации тренда f(t) таким сплай- ном равна                                0 0 )1( 2 00 1 1 00 2 1)( 1 Tk kT kk n k dt T t kak T t atf nT ,)]1()([ 1 1 0 2 100 1 0      dyyayakTyTf n kk n k (42) где коэффициенты ka определяются формулой (39). На одном примере покажем, чему равна среднеквадратичная погрешность . Пусть tetf )( . Тогда (все вычисления проведены с помощью программы Mathcad Plus 6.0 Pro) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 147    1 0 0 )( ,)64( akkxa k eadxexa где 0Ta  и    1 0 0 ])3(32[ 2 )64( aax eaa a dxexa . (43) Поэтому k-е слагаемое в (42) имеет вид       1 0 2 00 1 0 22 00 ,)]1([)( ),()]1([ dyyayeaea aedyyeayeeae aay akakaakakay и тогда          1 0 2 2 22 )1( 1 )()( 1 n k a an ak en e aea n . (44) Основным здесь является сомножитель ,)(a так как второй сомножитель всегда меньше единицы. Что касается ,)(a то его явный вид следующий:   aeaaeaaa a a aa 72216()40192144()31624[( 6 1 )( 2232 4 )].84872()64192()3120 242332 aaeaaeaa aa   (45) Разложение )(a в ряд Тейлора по а имеет вид        ... 8340 1931 35 82 105 169 1 720 )( 432 4 aaaa a a , (46) так что при малых a приближенно 2 2 037,0 512 )( a a a  , (47) т.е. при малых a среднеквадратичная погрешность аппроксимации te  сплайном первого порядка мала. Для проверки работоспособности исследованных алгоритмов проведено ими- тационное моделирование. Результаты моделирования, как и общее заключение, приведены в ч. 2 данной работы. Ф.Ф. Ідрісов РЕКУРЕНТНІ МОДЕЛІ РАНДОМІЗОВАНИХ ПРОЦЕСІВ В ЗАДАЧАХ ЗОВНІШНЬОЇ РОЗВІДКИ. Частина 1. СПРОЩЕНІ МОДЕЛІ НИЖЧОГО ПОРЯДКУ Для держави зовнішня розвідка в усі часи була сферою особливої уваги. Роль зовнішньої розвідки значно зросла в наш час, коли з’явилися нові форми між- 148 ISSN 0572-2691 державних конфліктів (мережеві і гібридні війни, масштабні терористичні акти, системне втручання у внутрішні справи іншої держави і т.д.) і ускладнився простір їх проведення (до традиційних просторів, морського, сухопутного та повітряного, додалася нова сфера — кіберпростір). У зв’язку з цим ускладни- лися умови отримання розвідданих і вимоги до їх обробки. Найбільший інтерес становить контекст проведення розвідувальних операцій, тобто дослідження потенційних можливостей моделей обробки даних про фінансові транзакції, про пересування людських, матеріальних, інформаційних та інших ресурсів з позицій теорії випадкових процесів. Однак класична теорія випадкових проце- сів розроблялася для задач, коли спостереження за об’єктом проводилися через рівні інтервали часу (наприклад, врожайність, народжуваність і т.д.). Еквідис- тантність малася на увазі за замовчуванням. Але для задач розвідки таке уяв- лення об’єкта, що спостерігається, неприйнятно, оскільки інформація про ньо- го, будучи випадковою, надходить у випадкові моменти часу. Назвемо такі процеси рандомізованими, підкреслюючи цим самим рандомізованість момен- тів надходження розвідданих. Але є ще одна важлива обставина — це висока динаміка старіння даних і обмеженість їх обсягу. Природно, в цьому випадку необхідні рекурентні моделі, що враховують як недостатність інформації, так і її «старіння» в умовах рандомізованих спостережень. Всі ці моменти враховано у запропонованих моделях, заснованих на модифікованих сплайнах. Розглянуто моделі, досліджені для випадків, коли моменти появи даних відомі точно або з тих чи інших причин невідомі. Побудовано відповідні алгоритми виділення трендів спостережуваних даних, а також проаналізовано статистичні властиво- сті їх параметрів. Наведено результати імітаційного моделювання. У цій части- ні роботи досліджено досить прості моделі порівняно невисокого порядку, тоді як у ч. 2 завдання вирішується шляхом побудови моделі більш високо- го порядку. Ключові слова: розвіддані, рандомізований процес, тренд, сплайн, дисперсія, коваріація оцінок, рекурентні оцінки, імітаційне моделювання. F.F. Idrisov RECURSIVE MODELS OF RANDOMIZED PROCESSES IN FOREIGN INTELLIGENCE TASKS. Part I. SIMPLIFIED MODELS OF LOWER ORDER For the state, foreign intelligence has always been a sphere of special attention. The role of foreign intelligence has grown significantly in our time, when new forms of interstate conflicts appeared (network and hybrid wars, large-scale terrorist acts, sys- temic interference in the internal affairs of another state, etc.) and the space for their conduct became more complicated (for traditional maritime, land and airspace added a new sphere — cyberspace). In this regard, the conditions for obtaining intelligence and requirements for their processing have become more complicated. Of most inter- est is the context of intelligence operations, i.e. study of the potential possibilities of data processing models for financial transactions, the movement of human material, information and other resources from the standpoint of the theory of random proces- ses. However, the classical theory of random processes was developed for tasks when observations of an object were made at regular time intervals (for example, yield, fer- tility, etc.). Equidistance was implied by default. But for reconnaissance tasks, such representation of the observed object is unacceptable, since information about it, be- ing random, arrives at random times. We call such processes randomized, emphasiz- ing the very randomization of the moments of receipt of intelligence. But there is an- other important circumstance — this is the high dynamics of data obsolescence and the limitedness of their volume. Naturally, in this case, recurrence models are neces- sary that take into account both the lack of information and its «obsolescence» in the Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 149 context of randomized observations. All these points are taken into account in the proposed models based on modified splines. The models presented in this work are investigated for cases when the moments of the appearance of the data are known ex- actly, or we cannot know these moments for one reason or another. Corresponding algorithms for distinguishing trends of the observed data are constructed, as well as the analyzed statistical properties of their parameters. The results of simulation are presented. In the first part of this work, fairly simple models of a relatively low order are investigated, while in the second part of the floor the problem is solved by con- structing a model of a higher order. Keywords: Intelligence, randomized process, trend, spline, variance, covariance of estimates, recurrence estimates, simulation. 1. Шаваев А.Г., Лекарев С.В. Разведка и контрразведка. Фрагменты мирового опыта и теории. М. : Издательская группа «БДЦ–Пресс», 2003. 544 с. 2. Соколов Г.Е. Шпионаж и политика. Тайная христоматия. М. : Изд-во «Алгоритм», 2017. 430 с. 3. Бобылов Ю.А. Специальные операции и технологическая модернизация России. Berlin : Lambert Academic Publishing, 2016. 684 с. 4. Идрисов Ф.Ф. Приближенные алгоритмы выделения трендов в задачах финансовой развед- ки. Часть 1. Моменты появления элементов финансового потока известны точно. Между- народный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2017. № 6. С. 7–18. 5. Идрисов Ф.Ф. Приближенные алгоритмы выделения трендов в задачах финансовой развед- ки. Часть 2. Моменты появления элементов финансового потока неизвестны. Междуна- родный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2018. № 1. С. 146–155. 6. Идрисов Ф.Ф. Приближенные модели финансовой разведки при неточно заданных моментах времени осуществления финансовых транзакций Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики» . 2018. № 6. С. 119–131. 7. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скоропостелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М. : Машиностроение, 1985. 224 с. 8. Лифшиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1991. 180 с. Получено 29.03.2019

Рекуррентные модели рандомизированных процессов в задачах внешней разведки. Часть 1. Упрощенные модели низшего порядка

Institution

Ähnliche Einträge