Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора
Показано, что в линейной модели с тремя индикаторными переменными, где каждая пара индикаторов имеет отдельный «парный» фактор, сумма трех корреляций ограничена сверху. Нарушение установленного неравенства свидетельствует о том, что каузальная структура генеративной модели отличается от предполагаем...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180844 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 10-21. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180844 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Балабанов, А.С. 2021-10-22T14:40:54Z 2021-10-22T14:40:54Z 2019 Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 10-21. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180844 004.855:519.216 Показано, что в линейной модели с тремя индикаторными переменными, где каждая пара индикаторов имеет отдельный «парный» фактор, сумма трех корреляций ограничена сверху. Нарушение установленного неравенства свидетельствует о том, что каузальная структура генеративной модели отличается от предполагаемой. В случае нарушения неравенства можно утверждать, что существует общая причина трех индикаторов или что одна из них каузально влияет на другую. Ограничение может результативно применяться даже в ситуации неполной наблюдаемости (в частности, когда наблюдаются только две индикаторные переменные). Показано, що в лінійній моделі з трьома індикаторними змінними, де кожна пара індикаторів має окремий прихований «парний» фактор, сума трьох кореляцій обмежена зверху. Порушення встановленого обмеження свідчить про те, що каузальна структура генеративної моделі відрізняється від припущеної. У випадку порушення нерівності можна стверджувати, що існує загальна причина трьох індикаторів, або що одна з індикаторних змінних каузально впливає на іншу. Обмеження можна ефективно застосовувати навіть за неповної спостережуваності (зокрема, коли спостерігаються тільки дві індикаторні змінні). We demonstrate that in linear model with three indicator variables, where each pair of indicators is associated by separate hidden pairwise factor, the sum of correlations is upper bounded. The inequality constraint violation manifests that the underlying causal structure differs from the supposed one. In the case of the inequality violation, one may suggest that there is a common cause of the three indicators, or one indicator variable causally influences the other one. The inequality constraint remains efficient under partial observability (for instance, when two indicators only are observed). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора Верхня межа для суми кореляцій трьох індикаторів за відсутності спільного фактора Upper bound on correlation sum for three indicators under absence of common factor Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| spellingShingle |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора Балабанов, А.С. Кібернетика |
| title_short |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| title_full |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| title_fullStr |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| title_full_unstemmed |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| title_sort |
верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора |
| author |
Балабанов, А.С. |
| author_facet |
Балабанов, А.С. |
| topic |
Кібернетика |
| topic_facet |
Кібернетика |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Верхня межа для суми кореляцій трьох індикаторів за відсутності спільного фактора Upper bound on correlation sum for three indicators under absence of common factor |
| description |
Показано, что в линейной модели с тремя индикаторными переменными, где каждая пара индикаторов имеет отдельный «парный» фактор, сумма трех корреляций ограничена сверху. Нарушение установленного неравенства свидетельствует о том, что каузальная структура генеративной модели отличается от предполагаемой. В случае нарушения неравенства можно утверждать, что существует общая причина трех индикаторов или что одна из них каузально влияет на другую. Ограничение может результативно применяться даже в ситуации неполной наблюдаемости (в частности, когда наблюдаются только две индикаторные переменные).
Показано, що в лінійній моделі з трьома індикаторними змінними, де кожна пара індикаторів має окремий прихований «парний» фактор, сума трьох кореляцій обмежена зверху. Порушення встановленого обмеження свідчить про те, що каузальна структура генеративної моделі відрізняється від припущеної. У випадку порушення нерівності можна стверджувати, що існує загальна причина трьох індикаторів, або що одна з індикаторних змінних каузально впливає на іншу. Обмеження можна ефективно застосовувати навіть за неповної спостережуваності (зокрема, коли спостерігаються тільки дві індикаторні змінні).
We demonstrate that in linear model with three indicator variables, where each pair of indicators is associated by separate hidden pairwise factor, the sum of correlations is upper bounded. The inequality constraint violation manifests that the underlying causal structure differs from the supposed one. In the case of the inequality violation, one may suggest that there is a common cause of the three indicators, or one indicator variable causally influences the other one. The inequality constraint remains efficient under partial observability (for instance, when two indicators only are observed).
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180844 |
| citation_txt |
Верхняя граница для суммы корреляций трех индикаторов в отсутствие общего фактора / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 10-21. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT balabanovas verhnââgranicadlâsummykorrelâciitrehindikatorovvotsutstvieobŝegofaktora AT balabanovas verhnâmežadlâsumikorelâcíitrʹohíndikatorívzavídsutnostíspílʹnogofaktora AT balabanovas upperboundoncorrelationsumforthreeindicatorsunderabsenceofcommonfactor |
| first_indexed |
2025-11-26T10:32:50Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:32:50Z |
| _version_ |
1850620674377252864 |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.855:519.216
À.Ñ. ÁÀËÀÁÀÍÎÂ
ÂÅÐÕÍßß ÃÐÀÍÈÖÀ ÄËß ÑÓÌÌÛ ÊÎÐÐÅËßÖÈÉ
ÒÐÅÕ ÈÍÄÈÊÀÒÎÐÎÂ Â ÎÒÑÓÒÑÒÂÈÅ ÎÁÙÅÃÎ ÔÀÊÒÎÐÀ
Àííîòàöèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî â ëèíåéíîé ìîäåëè ñ òðåìÿ èíäèêàòîðíûìè ïå-
ðåìåííûìè, ãäå êàæäàÿ ïàðà èíäèêàòîðîâ èìååò îòäåëüíûé «ïàðíûé» ôàê-
òîð, ñóììà òðåõ êîððåëÿöèé îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Íàðóøåíèå óñòàíîâëåííîãî
íåðàâåíñòâà ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî êàóçàëüíàÿ ñòðóêòóðà ãåíåðàòèâíîé
ìîäåëè îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäïîëàãàåìîé.  ñëó÷àå íàðóøåíèÿ íåðàâåíñòâà
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îáùàÿ ïðè÷èíà òðåõ èíäèêàòîðîâ èëè
÷òî îäíà èç íèõ êàóçàëüíî âëèÿåò íà äðóãóþ. Îãðàíè÷åíèå ìîæåò ðåçóëüòà-
òèâíî ïðèìåíÿòüñÿ äàæå â ñèòóàöèè íåïîëíîé íàáëþäàåìîñòè (â ÷àñòíîñòè,
êîãäà íàáëþäàþòñÿ òîëüêî äâå èíäèêàòîðíûå ïåðåìåííûå).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîððåëÿöèÿ, îãðàíè÷åíèå òèïà íåðàâåíñòâî, öèêë ñ òðåìÿ êîëëàé-
äåðàìè, ñêðûòàÿ îáùàÿ ïðè÷èíà, ñèñòåìà ëèíåéíûõ ñòðóêòóðàëüíûõ óðàâíåíèé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíîé ìîäåëè îáúåêòà íà îñíîâå ýìïèðè÷åñêèõ äàí-
íûõ ñòàâèòñÿ â ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèÿõ (ñîöèîëîãè÷åñêèõ,
ýêîíîìåòðè÷åñêèõ, áèîõèìè÷åñêèõ, ôèçè÷åñêèõ è ò.ä.).  áîëüøèíñòâå òàêèõ
èññëåäîâàíèé âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ íåíàáëþäàåìûõ (ñêðûòûõ)
ôàêòîðîâ. Òðåáóåòñÿ âûÿâèòü ñóùåñòâîâàíèå ñêðûòûõ ôàêòîðîâ, èäåíòèôèöè-
ðîâàòü èõ ìåñòî â ìîäåëè è îöåíèòü ýôôåêòû èõ âëèÿíèÿ. Òàêóþ çàäà÷ó óäîá-
íî ðàññìàòðèâàòü â àïïàðàòå êàóçàëüíûõ ñåòåé è äðóãèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäå-
ëåé, ñòðóêòóðèðîâàííûõ ãðàôàìè.  ïîñëåäíèå äâà äåñÿòèëåòèÿ ïîëó÷åíû ðå-
çóëüòàòû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ñòðóêòóðà ìîäåëè (â òîì ÷èñëå ñî ñêðûòûìè
ïåðåìåííûìè) íàëàãàåò îãðàíè÷åíèÿ íà íàáîð çàâèñèìîñòåé ìåæäó ïåðåìåí-
íûìè [1–5]. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ïîìîãàþò âûïîëíÿòü âàëèäàöèþ (òåñòèðîâà-
íèå) ìîäåëè. Íàðóøåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ îãðàíè÷åíèé ñâèäåòåëüñòâóåò
î òîì, ÷òî ïðåäïîëàãàåìàÿ ìîäåëü íå ñîãëàñóåòñÿ ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííû-
ìè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå àíàëèçèðóåòñÿ ìîäåëü (ñòðóêòóðà êîòîðîé ÷àñòî ïðè-
âîäèòñÿ â ïóáëèêàöèÿõ), ãäå òðè íàáëþäàåìûå ïåðåìåííûå (èíäèêàòîðû) êîð-
ðåëèðîâàííû âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ òðåõ ñêðûòûõ ôàêòîðîâ, ïðè÷åì êàæäûé èç
íèõ âëèÿåò òîëüêî íà äâà èíäèêàòîðà. (Íå ñóùåñòâóåò ôàêòîðà, âëèÿþùåãî îä-
íîâðåìåííî íà òðè èíäèêàòîðà.) Ðàññìîòðåí ñëó÷àé ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé
(è íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé). Èçâåñòíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ êîððåëÿöèé â òà-
êîé ìîäåëè çíà÷èòåëüíî óëó÷øåíû.
ÌÎÄÅËÜ È ÇÀÄÀ×À
Ðàññìîòðèì ìîäåëü, êîòîðàÿ ñîäåðæèò íàáëþäàåìûå ïåðåìåííûå (èíäèêàòîðû)
X , Y , Z , ñêðûòûå ïåðåìåííûå H , L, U è «èíäèâèäóàëüíûå» ôàêòîðû Q , T ,
W, êîòîðûå ìîãóò áûòü ëèáî íàáëþäàåìûìè, ëèáî ñêðûòûìè. Ìîäåëü îïèñû-
âàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
x a h f u q� � � � � � �� �1,
y b h c l t� � � � � � �� �2 , (1)
z d l e u w� � � � � � �� �3 ,
ãäå ïåðåìåííûå H L U Q T, , , , , W âçàèìíî íåçàâèñèìû (íå êîððåëèðîâàíû)
è íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíû; ÷ëåíû «îøèáîê» � i (i �1 2 3, , ) âçàèìíî íåçàâèñèìû
è íåçàâèñèìû îò ïåðåìåííûõ H L U Q T, , , , , W; � �i i iN m~ ( , )2 .
10 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
© À.Ñ. Áàëàáàíîâ, 2019
Ïîäîáíûå ìîäåëè ãðàôè÷åñêè èçîáðàæàþòñÿ ïî-ðàçíîìó â ïóáëèêàöèÿõ ðàç-
ëè÷íîãî íàïðàâëåíèÿ. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû âàðèàíòû èçîáðàæåíèÿ îïèñàííîé
ìîäåëè, ïðèíÿòûå ñîîòâåòñòâåííî â ôàêòîðíîì àíàëèçå, òåîðèè êàóçàëüíûõ ñå-
òåé (îáùåãî âèäà) è ëèíåéíûõ êàóçàëüíûõ äèàãðàììàõ ñ êîððåëèðîâàííûìè
îøèáêàìè. Â òåðìèíàõ êàóçàëüíûõ ñåòåé äàííóþ ìîäåëü ìîæíî íàçâàòü öèêëè-
÷åñêîé ñòðóêòóðîé ñ òðåìÿ êîëëàéäåðàìè â öèêëå. (Êîëëàéäåðîì íàçûâàþò ôðàã-
ìåíò ñòðóêòóðû âèäà A C B� � .) Êàóçàëüíàÿ ìîäåëü (1) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé
(âñå çàâèñèìîñòè ëèíåéíû, à ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíû) è õàðàêòåðèçóåòñÿ
ìàòðèöåé êîâàðèàöèé (êîððåëÿöèé).
Ïðåäïîëîæèì, ïåðåìåííûå Q T, , W ñêðûòû èëè íå ñóùåñòâóþò. Òîãäà (ïî-
ñêîëüêó H L, ,U ñêðûòûå) íàáëþäàåìàÿ ÷àñòü ìîäåëè áóäåò âûãëÿäåòü êàê «òðåó-
ãîëüíèê» ñ âåðøèíàìè X Y, , Z , ò.å. êàê «íàñûùåííàÿ» ìîäåëü. Îäíàêî ýòî âïå-
÷àòëåíèå îáìàí÷èâî. Îøèáî÷íî äóìàòü, ÷òî ìîäåëü, ïîëó÷åííàÿ èç (1) â ðåçóëü-
òàòå ìàðãèíàëèçàöèè ïåðåìåííûõ H L, , U , ýêâèâàëåíòíà íàñûùåííîé ìîäåëè ñ
ïåðåìåííûìè X Y, , Z . Ìîäåëü ñ íàñûùåííîé ñòðóêòóðîé íå âëå÷åò íèêàêèõ
óñëîâíûõ íåçàâèñèìîñòåé è íèêàêèõ íåòðèâèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà âåëè÷èíû
êîððåëÿöèé. Íàïðîòèâ, èç òîãî ôàêòà, ÷òî êàæäàÿ êîððåëÿöèÿ ìåæäó íàáëþäàå-
ìûìè ïåðåìåííûìè X Y, , Z ñîçäàåòñÿ âëèÿíèåì îòäåëüíîãî íåçàâèñèìîãî «ïàð-
íîãî» ôàêòîðà, ñëåäóåò êîëè÷åñòâåííîå îãðàíè÷åíèå äëÿ íàáîðà êîððåëÿöèé íà-
áëþäàåìûõ ïåðåìåííûõ � �XY YZ, , � ZX . Òàêàÿ ìîäåëü íå ìîæåò âîñïðîèçâåñòè
ïðîèçâîëüíîå (íîðìàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ïåðåìåííûõ X Y, , Z .
 áîëüøèíñòâå ïóáëèêàöèé, â êîòîðûõ àíàëèçèðóåòñÿ îïèñàííàÿ ñòðóêòóðà,
ðàññìîòðåíû ìîäåëè ñ áèíàðíûìè ïåðåìåííûìè è äàíû îãðàíè÷åíèÿ â òåðìèíàõ
âçàèìíîé èíôîðìàöèè è ýíòðîïèè (ñì., íàïðèìåð, [2, 3]). Â ðàáîòàõ [4, 5] èññëå-
äîâàíû ëèíåéíûå ìîäåëè ðàçëè÷íîé ñòðóêòóðû è äëÿ íèõ íàéäåíû îãðàíè÷åíèÿ
òèïà ðàâåíñòâà. Ðàçðàáîòàíû ãðàôîâûå êðèòåðèè äëÿ âûâîäà òàêèõ îãðàíè÷åíèé,
ïðè÷åì ïîìèìî ðàâåíñòâ, êîòîðûå âûðàæàþò óñëîâíûå íåçàâèñèìîñòè, ïîëó÷å-
íû òàêæå ðàâåíñòâà, îñíîâàííûå íà ïðîöåäóðàõ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ è ïó-
òåâûõ ýôôåêòîâ. Äàëåå ïðåäëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ òèïà íåðàâåíñòâà, êîòîðûå
ìîæíî îáúÿñíèòü ýôôåêòîì àääèòèâíîãî äåéñòâèÿ íåçàâèñèìûõ ôàêòîðîâ.
Àâòîðó íàñòîÿùåé ñòàòüè óäàëîñü íàéòè â ïóáëèêàöèÿõ òîëüêî îäíî îãðàíè-
÷åíèå äëÿ ïðåäñòàâëåííîé ëèíåéíîé ìîäåëè (1), à èìåííî â [6] äëÿ ïîäîáíîé ìî-
äåëè (íî áåç «èíäèâèäóàëüíûõ» ôàêòîðîâ Q T W, , ) ïðåäñòàâëåíî îãðàíè÷åíèå
(áåç âûâîäà) â ñëåäóþùåé ôîðìå:
min , , /{ }� � �XY YZ ZX � 1 2 . (2)
Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíûõ êîððåëÿöèé íåðàâåíñòâî (2) íåèíôîðìàòèâ-
íî, öåëåñîîáðàçíî ïåðåïèñàòü åãî ñ èñïîëüçîâàíèåì àáñîëþòíûõ âåëè÷èí (ìî-
äóëåé) â âèäå
min | | , | | , | | /{ }� � �XY YZ ZX � 1 2 (3)
èëè ýêâèâàëåíòíî êàê
min , , /{ }� � �
XY YZ ZX
2 2 2 1 2� . (4)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 11
X Y
Z
TQ
W
YX
H
Z
LU
Q T
X Y Z
H L
�X �Y �Z
U
W
Ðèñ. 1. Âàðèàíòû îòîáðàæåíèÿ ìîäåëè: â ôàêòîðíîì àíàëèçå (à); â êàóçàëüíûõ ñåòÿõ (á); â ëèíåé-
íûõ SEM ñ êîððåëèðîâàííûìè îøèáêàìè (â)
à á â
 ðàáîòå [7] äëÿ òîé æå ìîäåëè âûâåäåíî íåðàâåíñòâî
� � �
XY YZ ZX
2 2 2 3 2� � � / , (5)
à òàêæå íàáîð íåðàâåíñòâ
� �
XY YZ
2 2 1� � , � �
XY ZX
2 2 1� � , � �
YZ ZX
2 2 1� � . (6)
Èç (5) èëè (6) ëåãêî ïîëó÷èòü (4) è (3). (Äàëåå ïîêàçàíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ íå-
ðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ ñòðîãèì, è ñëó÷àé, êîãäà íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.)
Çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå îãðàíè÷åíèÿ âûâåäåíû â [7] ïî óïðîùåííîé ñõåìå.
Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ýòè îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî óñèëèòü. Íàéäåì áîëåå
æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ ñóììû êâàäðàòîâ êîððåëÿöèé � � �
XY XZ ZY
2 2 2
� � â ìî-
äåëè (1). Äîïîëíèòåëüíî ó÷òåì âëèÿíèå íàáëþäàåìûõ «èíäèâèäóàëüíûõ» ôàêòî-
ðîâ Q, T , W è óñèëèì îãðàíè÷åíèå.
ÁÀÇÎÂÛÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Íàáëþäàåìûå èíäèâèäóàëüíûå ôàêòîðû Q, T , W óâåëè÷èâàþò äèñïåðñèþ èíäè-
êàòîðîâ X , Y , Z è ñíèæàþò êîððåëÿöèè ìåæäó èíäèêàòîðàìè â ìîäåëè (1).
Ïðè âûâîäå âåðõíèõ ãðàíèö äëÿ ñóììû êîððåëÿöèé öåëåñîîáðàçíî èñêëþ÷èòü
âëèÿíèå ôàêòîðîâ Q , T , W (ò.å. óñòðàíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû äèñ-
ïåðñèé). Ïîýòîìó íàéäåì îãðàíè÷åíèå äëÿ ñóììû ÷àñòíûõ êîððåëÿöèé
( ) ; ; ;p XY QT YZ TW ZX WQ
� � �� � �2 2 2 . Ïîñêîëüêó ôàêòîð Q íåçàâèñèì îò âñåõ ïå-
ðåìåííûõ ìîäåëè (1), çà èñêëþ÷åíèåì «ñâîåãî» èíäèêàòîðà X (è àíàëîãè÷íîå
ñïðàâåäëèâî äëÿ äðóãèõ èíäèâèäóàëüíûõ ôàêòîðîâ), ïîëó÷àåì
�
�
� �
XY QT
XY
XQ YT
;
( )( )
2
2
2 21 1
�
, �
�
� �
YZ TW
YZ
YT ZW
;
( )( )
2
2
2 21 1
�
,
(7)
�
�
� �
ZX WQ
ZX
ZW XQ
;
( )( )
2
2
2 21 1
�
.
Îáîçíà÷èì äèñïåðñèè ïåðåìåííûõ Q, T , W ñîîòâåòñòâåííî �
Q
2 , �
T
2 , �
W
2 . Âû-
ðàçèì êîððåëÿöèè äëÿ ïàð ïåðåìåííûõ, ñâÿçàííûõ ðåáðîì:
�
�
� � � � �
XH
H
H U Q
a
a f
2
2 2
2 2 2 2 2 2
1
2
�
�
� � � � � �
, �
�
� � � � �
YH
H
H L T
b
b c
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
�
�
� � � � � �
, ...
..., �
�
� � � � �
ZU
U
L U W
e
d e
2
2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
�
�
� � � � � �
.
Âèäèì, ÷òî äèñïåðñèè ïåðåìåííûõ H L U Q T, , , , , W âõîäÿò â ôîðìóëû êîððåëÿ-
öèé òîëüêî â ñîñòàâå ïðîèçâåäåíèé (êàæäàÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ñòðóêòóðíûì êî-
ýôôèöèåíòîì). Ïîýòîìó, åñëè ñòðóêòóðíûå êîýôôèöèåíòû îñòàâèòü ñâîáîäíûìè,
òî ìîæíî áåç ïîòåðè îáùíîñòè ïîëîæèòü � � � � � �H L U Q T W� � � � � �1.
Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè X è Y ñîçäàåòñÿ èñêëþ÷èòåëü-
íî ñ ïîìîùüþ îáùåãî ôàêòîðà H , èìååì � � �
XY XH YH
2 2 2
� � . Àíàëîãè÷íî èìååì
� � �YZ YL ZL
2 2 2
� � è � � �
ZX ZU XU
2 2 2
� � . Òîãäà (ñ ó÷åòîì � � � � �H L U Q T� � � � �
� ��W 1) ïîëó÷àåì
�
� �
XY QT
a b
a f b c
;
( )( )
2
2 2
2 2
1
2 2 2
2
2
�
�
� � � �
,
�
� �
YZ TW
c d
b c d e
;
( )( )
2
2 2
2 2
2
2 2 2
3
2
�
�
� � � �
, (8)
�
� �
ZX WQ
e f
a f d e
;
( )( )
2
2 2
2 2
1
2 2 2
3
2
�
�
� � � �
.
12 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Àíàëèçèðóÿ ýòè âûðàæåíèÿ, âèäèì, ÷òî óäàëîñü èñêëþ÷èòü âëèÿíèå èíäèâèäó-
àëüíûõ ôàêòîðîâ Q, T , W. Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (8) áóäóò
àäåêâàòíî îïèñûâàòü îðäèíàðíûå êîððåëÿöèè ñîîòâåòñòâåííî �
XY
2 , �
YZ
2 è �
ZX
2
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ôàêòîðû Q , T , W íå ñóùåñòâóþò.
Óòâåðæäåíèå 1.  êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè (1) âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå
� � �
XY QT YZ TW ZX WQ; ; ;
2 2 2 1� � � , (9)
åñëè âñå òðè êîððåëÿöèè íå ðàâíû íóëþ. Åñëè îäíà èç êîððåëÿöèé â (9) ðàâíà
íóëþ, òî íåðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ íåñòðîãèì (ò.å. çíàê � ñëåäóåò çàìåíèòü çíà-
êîì �).  ÷àñòíîñòè, åñëè � XY � 0, òî îãðàíè÷åíèå ïðèíèìàåò âèä
� �
YZ TW ZX WQ; ;
2 2 1� � . (9a)
Ïîÿñíèì ôîðìóëèðîâêó óòâåðæäåíèÿ 1. Èñïîëüçîâàíèå ÷àñòíîé êîððåëÿöèè
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â óñëîâèè ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàð-
íàÿ êîððåëÿöèÿ íå ðàâíà íóëþ, à êîððåëÿöèÿ èíäèâèäóàëüíîãî ôàêòîðà ñ èíäèêà-
òîðîì íå ðàâíà åäèíèöå. Íóëåâóþ êîððåëÿöèþ òðåáóåòñÿ óäàëèòü èç ôîðìóëû
ñóììû. (Åñëè äâå èç òðåõ êîððåëÿöèé ðàâíû íóëþ, îãðàíè÷åíèå ñòàíîâèòñÿ òðè-
âèàëüíûì äëÿ ìîäåëè (1).) Åñëè íåêîòîðûå (èëè âñå) èíäèâèäóàëüíûå ôàêòîðû
Q, T , W îòñóòñòâóþò, â îãðàíè÷åíèå ïîäñòàâëÿþòñÿ ÷àñòíûå êîððåëÿöèè ñ îäíîé
ïåðåìåííîé â óñëîâèè (íàïðèìåð, �
XY Q;
2 ) èëè îðäèíàðíûå êîððåëÿöèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû óïðîñòèòü âûêëàäêè, çàìåòèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè
�1, � 2 è � 3 (êîãäà ïðî÷èå ïàðàìåòðû ôèêñèðîâàíû) çíà÷åíèÿ �
XY QT;
2 , �
YZ TW;
2
è �
ZX WQ;
2 ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåíñòâà
òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ � � �1 2 3 0� � � . Äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ � � �1 2 3 0� � � .
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âñå òðè êîððåëÿöèè: � XY QT; , �YZ TW; , � ZX WQ; , íå
ðàâíû íóëþ. Òîãäà âñå êîýôôèöèåíòû a b c d e, , , , , f íå ðàâíû íóëþ.
Èñïîëüçóÿ (8), ïîëó÷àåì
� � �
XY QT YZ TW ZX WQ
a b
a f b c
; ; ;
( )( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
� � �
�
� �
�
�
�
� �
�
�
� �
c d
b c d e
e f
a f d e
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2( )( ) ( )( )
�
S a c e b d f
S
2 2 2 2 2 2
, (10)
ãäå S a f b c d e� � � �( )( )( )2 2 2 2 2 2 .
Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âñå êîýôôèöèåíòû íå ðàâíû íóëþ è âû-
ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå S � 0, íåðàâåíñòâî ( ) /S a c e b d f S
�
2 2 2 2 2 2 1 ñïðàâåäëèâî.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îäíà èç òðåõ êîððåëÿöèé ðàâíà íóëþ. Ïóñòü
�
ZX
2 0� . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî e � 0 èëè f � 0 . Áåç ïîòåðè îáùíîñòè âûáåðåì f � 0.
(Êîýôôèöèåíòû a b c, , , d íå ðàâíû íóëþ.) Òîãäà ïîëó÷àåì
� �
XY QT YZ TW
a b
a b c
c d
b c d e
; ;
( ) ( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
� �
�
�
�
�
� �
�
�
R
R a c e2 2 2
, (11)
ãäå R a b d a b e a c d� � �
2 2 2 2 2 2 2 2 2 .
Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå èìååì R � 0, òî ñïðàâåäëèâî � �
XY QT YZ TW; ;
2 2 1� � .
Çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ (11) ìîæåò ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå òîëüêî, êîãäà e � 0.
Óòâåðæäåíèå 1 äîêàçàíî. Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî (7) èìååì ñîîòíîøåíèÿ
� � �
XY XY Q XY QT
2 2 2
� �
; ;
. Ïîýòîìó, åñëè â ôîðìóëó ñóììû ïîäñòàâèòü îðäèíàð-
íûå êîððåëÿöèè èëè ÷àñòíûå êîððåëÿöèè ñ îäíîé ïåðåìåííîé â óñëîâèè, íåðàâåí-
ñòâà îñòàíóòñÿ ñïðàâåäëèâû.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 13
Èòàê, ðàâåíñòâî � � �
XY QT YZ TW ZX WQ; ; ;
2 2 2 1� � � ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ, òîëüêî
åñëè îäíà èëè äâå èç êîððåëÿöèé, âõîäÿùèõ â ñóììó, ðàâíû íóëþ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ
öèêëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìîäåëè «ðàçðûâàåòñÿ». Åñëè öèêë íå ðàçîðâàí (ò.å. èìååì
�
XY
2 0� , �
YZ
2 0� è �
ZX
2 0� ), òî îãðàíè÷åíèå óòî÷íÿåòñÿ äî ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà (9).
Âñå äåâÿòü âàðèàíòîâ ìîäåëè, êîãäà îãðàíè÷åíèå ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ â ðà-
âåíñòâî, ìîæíî ðàçáèòü íà äâà êîíöåïòóàëüíûõ êëàññà. Â ìîäåëÿõ ïåðâîãî êëàñ-
ñà (íàçîâåì åãî «îäèí íîëü») òîëüêî îäíà èç òðåõ êîððåëÿöèé: � � �
XY YZ ZX
2 2 2, , ,
ðàâíà íóëþ. Â ìîäåëÿõ âòîðîãî êëàññà («äâà íóëÿ») äâå èç òðåõ óêàçàííûõ êîððå-
ëÿöèé ðàâíû íóëþ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî
� � �
XY QT YZ TW ZX WQ; ; ;
2 2 2 1� � � , íåîáõîäèìî íå òîëüêî ðàçîðâàòü öèêë, íî òàêæå
íå ïîçâîëèòü ñêðûòîìó ôàêòîðó, êîòîðûé ïåðåñòàë ñîçäàâàòü îäíó èç êîððåëÿöèé,
ïðåâðàòèòüñÿ â «øóì» è ñíèçèòü
äðóãóþ êîððåëÿöèþ. Ïîýòîìó îäíî-
âðåìåííî äâà êîýôôèöèåíòà â îïðå-
äåëåííûõ ïîçèöèÿõ äîëæíû îáðà-
ùàòüñÿ â íóëü. Íà ðèñ. 2 îòîáðàæå-
íî ïî îäíîìó âàðèàíòó èç ýòèõ
äâóõ êëàññîâ ìîäåëåé äëÿ ñëó÷àåâ
a b� � 0 è a d� � 0 ñîîòâåòñòâåí-
íî. Â ìîäåëÿõ êëàññà «îäèí íîëü»
(ñì. ðèñ. 2, à) ÷åðåç òðè èíäèêà-
òîðíûå ïåðåìåííûå ïðîõîäèò
ïóòü ñ òðåìÿ êîëëàéäåðàìè. Â ìî-
äåëÿõ êëàññà «äâà íóëÿ» (ñì.
ðèñ. 2, á) îäíà èç èíäèêàòîðíûõ ïåðåìåííûõ èçîëèðîâàíà îò äâóõ äðóãèõ. Ôðàã-
ìåíò ýòîé ìîäåëè âêëþ÷àåò äâà èíäèêàòîðà è óïðîùåííî èçîáðàæàåòñÿ â âèäå
Q X Z W� � � �� .
ÑËÅÄÑÒÂÈß È ÊÎÌÌÅÍÒÀÐÈÈ
 îòëè÷èå îò ðàáîò [6, 7] â íàñòîÿùåé ñòàòå ïîëó÷åíû îãðàíè÷åíèÿ äëÿ ÷àñò-
íûõ êîððåëÿöèé. Âñå âûâåäåííûå íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû òàêæå è äëÿ îðäè-
íàðíûõ êîððåëÿöèé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èìååì �
XQ
2 0� , �
YT
2 0� , �
ZW
2 0� , òî
ñîãëàñíî (7) � �
XY XY QT
2 2
�
;
, � �
YZ YZ TW
2 2
�
;
, � �
ZX ZX WQ
2 2
�
;
. Ïîýòîìó çàìåíà
÷àñòíûõ êîððåëÿöèé îðäèíàðíûìè îñëàáëÿåò óñòàíîâëåííîå îãðàíè÷åíèå. Îðäè-
íàðíûå êîððåëÿöèè ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü â òîì ñëó÷àå, êîãäà «èíäèâèäóàëü-
íûå» ôàêòîðû Q, T , W íå íàáëþäàþòñÿ (íåäîñòóïíû) èëè îíè íå ñóùåñòâóþò.
Êðîìå òîãî, ëó÷øå âîçäåðæàòüñÿ îò êîíäèöèîíèðîâàíèÿ ïî ôàêòîðó Q, êîãäà âå-
ëè÷èíà êîððåëÿöèè �
XQ
2 ïðèáëèæàåòñÿ ê åäèíèöå (îñîáåííî, åñëè èñïîëüçóåò-
ñÿ âûáîðî÷íàÿ îöåíêà êîððåëÿöèè).
Ñëåäñòâèå 1. Â ìîäåëè (1) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
� � �
XY YZ ZX
2 2 2 1� � � , (12)
min , , /{ }� � �
XY YZ ZX
2 2 2 1 3� , (13)
min | | , | | , | | /{ }� � �XY YZ ZX � 1 3 , (14)
min , , /
; ; ;
{ }� � �
XY QT YZ TW ZX WQ
2 2 2 1 3� , (15)
min | | , | | , | | /; ; ;{ }� � �XY QT YZ TW ZX WQ � 1 3 . (16)
Äåéñòâèòåëüíî, ëèáî íàèìåíüøàÿ èç òðåõ êîððåëÿöèÿ ðàâíà íóëþ, ëèáî íå-
ðàâåíñòâà (13)–(16) ñëåäóþò èç (9).
14 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
YX
H
Z
LU
Q T
W
YX
H
Z
LU
Q T
W
Ðèñ. 2. Âàðèàíòû ìîäåëè ïîñëå óäàëåíèÿ äâóõ ñâÿçåé:
òðåõêîëëàéäåðíàÿ ñòðóêòóðà (a); ñòðóêòóðà ñ èçîëèðî-
âàííûì èíäèêàòîðîì Y (á)
à á
Êîíñòàòèðóåì, ÷òî ïîëó÷åííûå âåðõíèå ãðàíèöû óëó÷øàþò ïðåäûäóùèå ðåçóëü-
òàòû â ïîëòîðà ðàçà (äëÿ êâàäðàòîâ).  ÷àñòíîñòè, (16) â 3 2/ ðàçà ñèëüíåå, ÷åì (3).
Ñôîðìóëèðóåì îãðàíè÷åíèå áîëåå êîíöåïòóàëüíî.
Óòâåðæäåíèå 1à. Åñëè â ëèíåéíîé êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè, âêëþ÷àþùåé ïå-
ðåìåííûå X Y Z H L U Q T, , , , , , , , W, ñïðàâåäëèâî � � �HL LU UH� � � 0, � XQ
2 0� ,
�YT
2 0� , �ZW
2 0� è � � �XY XH YH� � , � � �YZ YL ZL� � , � � �ZX ZU XU� � , òî âûïîë-
íÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå � � �
XY QT YZ TW ZX WQ; ; ;
2 2 2 1� � � .
Åñëè ïðèíÿòü ïðåäïîëîæåíèå êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè (ò.å. èñêëþ÷èòü
îñîáûå ñëó÷àè, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ íóëåâîé ìåðîé Ëåáåãà), òî èç óñëîâèé
óòâåðæäåíèÿ 1à ñ íåîáõîäèìîñòüþ âûòåêàþò òå æå ñâîéñòâà ìîäåëè (ñóùåñòâåí-
íûå äëÿ ðåçóëüòàòîâ (9)–(16)), ÷òî è ó ìîäåëè (1). Äåéñòâèòåëüíî, èç òðåõ ðà-
âåíñòâ: � � �XY XH YH� � , � � �YZ YL ZL� � è � � �ZX ZU XU� � , ñëåäóåò, ÷òî
êàæäàÿ ïàðà èíäèêàòîðíûõ ïåðåìåííûõ ñîåäèíåíà òîëüêî îäíèì áåñêîëàéäåð-
íûì ïóòåì âèäà X H Y� � , Y L Z� � , Z U X� � ñîîòâåòñòâåííî. (Äîïóñ-
êàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûå âàðèàíòû ïóòåé ñâÿçè âèäà X H Y�
, X H Y
� ,
Y L Z�
è ò.ï.) Áîëåå òîãî, èç óêàçàííûõ òðåõ ðàâåíñòâ âûòåêàåò òàêæå, ÷òî ôàê-
òîðû Q, T , W èíäèâèäóàëüíû, ò.å. � � � � � �XT XW YW YQ ZQ ZT� � � � � � 0.
Óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 1à äîïóñêàþò íåñóùåñòâåííûå îòêëîíåíèÿ îò ìîäåëè (1). Íàïðè-
ìåð, åñëè èìååòñÿ ïóòü âèäà X H Y�
, òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ñâÿçü Q H� . Ýòà
ñâÿçü íå èçìåíèò ñâîéñòâ ìîäåëè: ïåðåìåííûå Q è Y îñòàíóòñÿ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè
è ïî-ïðåæíåìó áóäåò ñïðàâåäëèâî � � �XY XH YH� � . (Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå íåëèíåé-
íîé èëè äèñêðåòíîé ìîäåëè ââåäåíèå ñâÿçè Q H� èçìåíÿåò ñâîéñòâà ìîäåëè.)
Ìîæíî ïðåäëîæèòü àëüòåðíàòèâíóþ êîíöåïòóàëüíóþ ôîðìóëèðîâêó óòâåðæäå-
íèÿ è íå òðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâ � � �XY XH YH� � , � � �YZ YL ZL� � ,
� � �ZX ZU XU� � . Âìåñòî ýòîãî ìîæíî ââåñòè â óñëîâèÿ îãðàíè÷åíèÿ �
XH
2 0� ,
�
XU
2 0� , �
YH
2 0� è ò.ä., à òàêæå òðåáîâàíèå � � � � �XT XW YW YQ ZQ� � � � �
� �� ZT 0.  ðàìêàõ òàêèõ ìîäèôèöèðîâàííûõ òðåáîâàíèé ïåðåìåííàÿ H ìîæåò
íå ëåæàòü íà ïóòè ìåæäó X è Y . (Àíàëîãè÷íî äëÿ ïåðåìåííûõ L,U .) Íî òîãäà íà
ýòîì ïóòè ëåæèò íåêîòîðàÿ äðóãàÿ «ïðîìåæóòî÷íàÿ» ïåðåìåííàÿ H �, ñ êîòîðîé
H ñâÿçàíà. Íàïðèìåð, èìåþòñÿ ñâÿçè X H Y� �
� è H H�
� . (Àíàëîãè÷íî äëÿ
äðóãèõ ïàð èíäèêàòîðîâ.)
ÓÒÎ×ÍÅÍÈÅ ÂÅÐÕÍÈÕ ÃÐÀÍÈÖ
Áàçîâûé ðåçóëüòàò ìîæíî óòî÷íèòü (óñèëèòü) ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Óòâåðæäåíèå 2.  êàóçàëüíîé ãàóññîâîé ñåòè (1) âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå
� � � � � �
XY QT YZ TW ZX WQ XY QT YZ TW ZX WQ; ; ; ; ; ;
min , ,2 2 2 2 2
� � � { 2 1} � . (17)
Óïîðÿäî÷èì òðîéêó êâàäðàòîâ êîððåëÿöèé: �
XY QT;
2 , �
YZ TW;
2 , �
ZX WQ;
2 , ïî
âåëè÷èíå è îáîçíà÷èì èõ �
(min)
2 , �
( )md
2 è �
(max)
2 ñîîòâåòñòâåííî (âûïîëíÿåòñÿ
� � �
(min) ( ) (max)
2 2 2
� �
md
). Òîãäà íåðàâåíñòâî (17) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
2 12 2 2
� � � �� � �
(min) ( ) (max)md
. (18)
Äëÿ óòâåðæäåíèÿ 2 äåéñòâóþò òå æå ïîÿñíåíèÿ, ÷òî è äëÿ óòâåðæäåíèÿ 1 (îò-
áðàñûâàíèå íóëåâîé êîððåëÿöèè, ïåðåõîä ê îðäèíàðíûì êîððåëÿöèÿì â ñëó÷àå
îòñóòñòâèÿ èíäèâèäóàëüíûõ ôàêòîðîâ Q, T èëè W). Îäíàêî èçìåíÿåòñÿ óñëîâèå,
ïðè êîòîðîì îãðàíè÷åíèå ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.
×òîáû ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îãðàíè÷åíèé (17) è (18), íàéäåì ìàêñèìóì
ñóììû � � � � �2 2 2 2� � �
(min) ( ) (max)md
. Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê ðàññìîòðèì ñëó÷àé,
êîãäà èíäèâèäóàëüíûõ ôàêòîðîâ Q, T , W íåò, è ïîýòîìó â (18) èñïîëüçóþòñÿ îðäè-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 15
íàðíûå êîððåëÿöèè. Ñíîâà, ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è äëÿ óòâåðæäåíèÿ 1, ïî-
ëîæèì � � �1 2 3 0� � � , ò.å. ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ôóíêöèè âåðõíèõ ãðàíèö
ñóìì
�
è
�
�. Òîãäà (ââèäó âçàèìíîé íåçàâèñèìîñòè H L, ,U ) èìååì � �
XH XU
2 2 1� � ,
� �
YH YL
2 2 1� � , � �
ZL ZU
2 2 1� � . Çàìåíèì ïåðåìåííûå �
XH
r2
1� , �
YL
r2
2� , �
ZU
r2
3�
è ïîëó÷èì
�
� � � �� � �
XY YZ ZX
2 2 2 r r r r r r1 2 2 3 3 11 1 1( ) ( ) ( )
�
�
.
Ïðåäïîëîæèì, èç òðåõ êâàäðàòîâ êîððåëÿöèé, âõîäÿùèõ â ñóììó
�
, íàè-
ìåíüøèì ÿâëÿåòñÿ �
XY
2 . Òîãäà ñóììû â (17) è (18) ïðèíèìàþò âèä
�
� ( ) ( ) ( ) ( )XY r r r r r r� � �
� �
� �
2 1 1 11 2 2 3 3 1 .
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòó ôóíêöèþ
�
� ( )XY è íàéäåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
d
dr
XY
�
� ( )
1
0� ,
d
dr
XY
�
� ( )
2
0� ,
d
dr
XY
�
� ( )
3
0� . Ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
r1 1 4� / , r2 3 4� / , r3 1 2� / . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ êîððåëÿöèÿ
�
XY
2 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé èç òðåõ. Îäíàêî íàéäåííîå ðåøåíèå
ñîîòâåòñòâóåò íå ìàêñèìóìó
�
� ( )XY , à ñåäëîâîé òî÷êå.  ýòîé òî÷êå èìååì
�
� ( ) /XY � 7 8. Ïðè îäíîâðåìåííîì óìåíüøåíèè r1 è r2 èëè ïðè îäíîâðåìåííîì
óâåëè÷åíèè r1 è r2 ñóììà
�
� ( )XY áóäåò ñíèæàòüñÿ. Ïðèðàùåíèÿ r1 è r2 ðàçíûõ
çíàêîâ ïðèâåäóò ê âîçðàñòàíèþ ñóììû
�
� ( )XY . Ê àíàëîãè÷íîìó ýôôåêòó ïðèâîäÿò
èçìåíåíèÿ çíà÷åíèé r2 è r3 .
Àíàëèç àëüòåðíàòèâíûõ ñëó÷àåâ (êîãäà íàèìåíüøèì ñëàãàåìûì ñóììû ÿâëÿåò-
ñÿ íå �
XY
2 , à äðóãèå êîððåëÿöèè) äàñò èíûå ñåäëîâûå òî÷êè. Ââèäó êðóãîâîé ñèì-
ìåòðèè ýòè òî÷êè ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîùå — ïóòåì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè íàé-
äåííûõ çíà÷åíèé r r1 2, , r3 . Ìàêñèìóì âåëè÷èíû
�
� íåîáõîäèìî èñêàòü íà ãðàíèöàõ
äîïóñòèìîé îáëàñòè çíà÷åíèé r1, r2 è r3 . Äåéñòâèòåëüíî, ìàêñèìóì
�
� �� äîñòèãàåò-
ñÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðè óñëîâèè r1 0� , r2 1� , r3 ëþáîå (â èíòåðâàëå îò 0 äî 1). Èíûìè
ñëîâàìè, ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ãèïåðëèíèè, çàäàííîé êîîðäèíàòàìè ( , , )0 1
.
Ìàêñèìóì
�
� �1 äîñòèãàåòñÿ òàêæå íà ãèïåðëèíèÿõ, çàäàííûõ êîîðäèíàòàìè
( , , )1 0
, ( , , )0 1
, ( , , )1 0
, ( , , )
0 1 è ( , , )
1 0 . Êðîìå òîãî, ìàêñèìóì âîçìîæåí íà
«âíóòðåííèõ» ãðàíèöàõ, êîòîðûå âîçíèêàþò âñëåäñòâèå èñïîëüçîâàíèÿ ôóíêöèè
min { }� â ôîðìóëå (17) (ò.å. íà ñòûêå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé). Âíóòðåííèå ãðàíèöû
îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì, ÷òî îäíà èç êîððåëÿöèé (íàïðèìåð, �
XY
2 ) ïåðåñòàåò áûòü
íàèìåíüøåé ñðåäè âåëè÷èí �
XY
2 , �
YZ
2 è �
ZX
2 . Äåéñòâèòåëüíî, ìàêñèìóì
�
� �1 äîñòè-
ãàåòñÿ â òî÷êå ( / , / , / )1 2 1 2 1 2 . Äðóãèå âíóòðåííèå ãðàíèöû îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì, ÷òî
äâå èç òðåõ êîððåëÿöèé (�
XY
2 , �
YZ
2 , �
ZX
2 ) ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ìåíüøå òðåòüåé. Îêàçà-
ëîñü, íà âíóòðåííèõ ãðàíèöàõ íåò äðóãèõ ìàêñèìóìîâ, íî íàéäåíû äîïîëíèòåëüíûå («íå-
àíàëèòè÷åñêèå») ñåäëîâûå òî÷êè, â êîòîðûõ èìååì
�
� �15 16/ . Îäíà èç òàêèõ òî÷åê çàäà-
åòñÿ çíà÷åíèÿìè r1 1 2� / , r2 1 4� / , r3 3 2� / . Äðóãèå «íåàíàëèòè÷åñêèå» ñåäëîâûå òî÷êè
ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè ýòèõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò.
Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû òàêæå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èñïîëüçóþò-
ñÿ ÷àñòíûå êîððåëÿöèè �
XY QT;
2 , �
YZ TW;
2 è �
ZX WQ;
2 âìåñòî îðäèíàðíûõ. Îãðàíè-
÷åíèÿ (17) è (18) ñïðàâåäëèâû.
Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíû ïîâåðõíîñòè âåðõíèõ ãðàíèö
�
è
�
� êàê ôóíêöèè îò r1 è r2
ïðè ôèêñèðîâàííîé r3 1 2� / . Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíà ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè
�
�
ñ âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ïî äèàãîíàëè îñíîâàíèÿ ÷åðåç òî÷êè (0, 1)
16 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
è (1, 0).  öåíòðàëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè èìååì
� � �
XY YZ ZX
2 2 2 1 4� � � / ,
�
� 3 4/ è
�
� �1.
Ââèäó òðèâèàëüíîãî îòíîøåíèÿ
� �
( ) (max)md
2 2
� ïîëó÷àåì èç (18) íåðàâåíñòâî
2 2 12 2
� � � �� �
(min) ( )md
èëè � �
(min) ( )
/2 2 1 2� �
md
.
Ïîñêîëüêó èìååì � �
(min) ( )
2 2
�
md
, èç ïî-
ñëåäíåãî íåðàâåíñòâà âûòåêàåò �
(min)
/2 1 4� . Òà-
êèì îáðàçîì, ïîëó÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 2. Ìîäåëü (1) óäîâëåòâîðÿåò
îãðàíè÷åíèÿì:
min , , /{ }� � �
XY YZ ZX
2 2 2 1 4� , (19)
min | | , | | , | | /{ }� � �XY YZ ZX � 1 2 , (20)
min , , /
; ; ;
{ }� � �
XY QT YZ TW ZX WQ
2 2 2 1 4� , (21)
min | | , | | , | |} /; ; ;{ � � �XY QT YZ TW ZX WQ � 1 2. (22)
Ïîëó÷åííûå ãðàíè÷åíèÿ ïðåâîñõîäÿò ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â [6, 7].
À èìåííî íàèìåíüøèé êâàäðàò êîððåëÿöèè îãðàíè÷åí ñâåðõó âåëè÷èíîé 1 4/ (íå-
ðàâåíñòâî (4) äàåò 1 2/ ). Ñîîòâåòñòâåííî îöåíêà äëÿ ìîäóëÿ íàèìåíüøåé êîððåëÿ-
öèè óñèëåíà â 2 ðàçà. Òåì íå ìåíåå íåðàâåíñòâà èç [7] ïîëåçíû, òàê êàê ïîëó÷åíû
â áîëåå îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îáîñíîâàíèÿ îãðàíè÷åíèé èç
óòâåðæäåíèÿ 5 â [7] èñïîëüçîâàíû íåðàâåíñòâà � �
XY XH
2 2
� , � �
YZ YL
2 2
� è
� �
ZX ZU
2 2
� , êîòîðûå ñïðàâåäëèâû äëÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîãî êëàññà ìî-
äåëåé. (Ëèíåéíîñòè íå òðåáóåòñÿ.)
Ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íà íåêîòîðûå
ìîäåëè ñ äèñêðåòíûìè ñëó÷àéíûìè ïåðåìåííûìè. Ïóñòü èìååòñÿ ìîäåëü òîé æå
ñòðóêòóðû (ñì. ðèñ. 1), íî ñ áèíàðíûìè ïåðåìåííûìè H L, , U è äèñêðåòíûìè
(íåîáÿçàòåëüíî áèíàðíûìè) ïðî÷èìè ïåðåìåííûìè. Òîãäà ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî èç
óñëîâíîé íåçàâèñèìîñòè ïåðåìåííûõ X è Y ïðè óñëîâèè äëÿ áèíàðíîé ïåðå-
ìåííîé H ñëåäóåò ðàâåíñòâî � � �
XY XH YH
2 2 2
� � . (Åñëè ïåðåìåííûå X , Y , H êàòå-
ãîðíûå, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîððåëÿöèé ìîæíî ïðîèçâîëüíî ïðèñâîèòü ïåðåìåí-
íûì äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.) Åñëè áåçóñëîâíî íåçàâèñèìûå äèñêðåòíûå ïåðå-
ìåííûå H è U âëèÿþò íà òðåòüþ äèñêðåòíóþ ïåðåìåííóþ X , âûïîëíÿåòñÿ
� �
XH XU
2 2 1� � . Ñëåäîâàòåëüíî, â óêàçàííîé äèñêðåòíîé ìîäåëè âûïîëíÿþòñÿ òå
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 17
Ðèñ. 3. Ïîâåðõíîñòè âåðõíèõ ãðàíèö ñóìì êàê ôóíêöèè ïåðåìåííûõ �XH
2 è �YL
2 ïðè �ZU
2 1 2� / :
�
(à) è
�
� (á)
à á
�YL
2
�XH
2
�
�
�
�YL
2
�XH
2
1
7/8
15/16
Ñåäëîâûå
òî÷êè
(1, 0)(0, 1)
Ðèñ. 4. Ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè âåðõíåé
ãðàíèöû
�
� ïî äèàãîíàëè ( /�ZU
2 1 2� ,
� �YL XH
2 21�
)
æå óñëîâèÿ, íà êîòîðûõ îñíîâàíû äîêàçàòåëüñòâà ðåçóëüòàòîâ. Çíà÷èò, ïîëó÷åí-
íûå ðåçóëüòàòû è, â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâî (18) îñòàíóòñÿ âàëèäíûìè.
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÉ, ÀÍÀËÈÇ ÍÀÐÓØÅÍÈÉ È ÎÁÑÓÆÄÅÍÈÅ
Âûâåäåííûå îãðàíè÷åíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïðèìåíåíèÿ â íåîïðåäåëåííîé
ñèòóàöèè, êîãäà ãåíåðàòèâíàÿ ìîäåëü, èç êîòîðîé ïîëó÷åí íàáîð êîððåëÿöèé,
íåèçâåñòíà è ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò îñíîâíîé ìîäåëè (1). Äëÿ àëüòåðíàòèâíîé
ìîäåëè âåëè÷èíû �
XY QT;
2 , �
YZ TW;
2 è �
ZX WQ;
2 (îïðåäåëåííûå â (7)), ìîãóò íå
âûðàæàòü ÷àñòíûõ êîððåëÿöèé. Ïîýòîìó ëó÷øå íàçûâàòü èõ, íàïðèìåð, «êà-
ëèáðîâàííûìè», «ïðèâåäåííûìè» èëè «î÷èùåííûìè» êîððåëÿöèÿìè äëÿ êðè-
òåðèÿ. Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 2 è îäíî èç åãî ñëåäñòâèé (19)
â ïîëíîé ôîðìå è íàçîâåì èõ êðèòåðèåì âàëèäàöèè öèêëà, îáðàçîâàííîãî òðå-
ìÿ èíäèêàòîðàìè è òðåìÿ ñêðûòûìè ïàðíûìè ôàêòîðàìè (C3I3PF).
Êðèòåðèé Ñ3I3PF:
cr X Y cr Y Z cr Z X cr X Y cr Y Z cr Z X( , ) ( , ) ( , ) min ( , ), ( , ), ( ,� � � { )} � 1, (23)
min ( , ), ( , ), ( , ) /{ }cr X Y cr Y Z cr Z X � 1 4, (24)
ãäå
cr X Y XY
XQ YT
( , )
( )( )
�
�
� �
2
2 21 1
, cr Y Z YZ
YT ZW
( , )
( )( )
�
�
� �
2
2 21 1
,
cr Z X ZX
ZW XQ
( , )
( )( )
�
�
� �
2
2 21 1
.
Åñëè íåêîòîðàÿ èç êîððåëÿöèé ðàâíà íóëþ èëè íåèçâåñòíà, òî ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé ÷ëåí ñëåäóåò îïóñòèòü. Ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ïðàâèëà: åñëè
êîððåëÿöèÿ �
�
íåèçâåñòíà, òî â (23) è (24) ïðèíèìàåì �
�
� 0 .
Íàðóøåíèå êðèòåðèÿ C3I3PF ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿò-
íîñòåé p x y z( , , ), èç êîòîðîãî âû÷èñëåíû «êàëèáðîâàííûå» êîððåëÿöèè cr X Y( , ),
cr Y Z( , ), cr Z X( , ), íåñîâìåñòèìî ñ ëèíåéíîé ìîäåëüþ, èìåþùåé ñòðóêòóðó öèêëà
ñ òðåìÿ êîëëàéäåðàìè (ñì. ðèñ. 1). Èíûìè ñëîâàìè, ìîäåëü, èç êîòîðîé ïîëó÷åí íà-
áîð êîððåëÿöèé, íàðóøàþùèé êðèòåðèé C3I3PF, èìååò äðóãóþ ñòðóêòóðó.
Ëåãêî ïîñòðîèòü àëüòåðíàòèâíûå ìîäåëè, ãäå êðèòåðèé C3I3PF ãðóáî íàðó-
øàåòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóåò ìíîãî ìîäåëåé, ãäå âåëè÷èíû �
XY
2 , �
YZ
2 è �
ZX
2
îäíîâðåìåííî ïðèáëèæàþòñÿ ê åäèíèöå. Îáùåé ÷åðòîé âñåõ ìîäåëåé, íàðóøàþ-
ùèõ óêàçàííûå îãðàíè÷åíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå õîòÿ áû îäíîé ñâÿçè, êîòî-
ðàÿ èçìåíÿåò êàóçàëüíûé õàðàêòåð ìîäåëè. Åñëè íåêîòîðàÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ìî-
äåëü M íàðóøàåò êðèòåðèé C3I3PF, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ñòðóêòóðå ìîäå-
ëè M äîëæåí ïðèñóòñòâîâàòü îáùèé ôàêòîð âñåõ òðåõ èíäèêàòîðíûõ
ïåðåìåííûõ: X , Y , Z , èëè ïî êðàéíåé ìåðå îäíà èíäèêàòîðíàÿ ïåðåìåííàÿ â ìî-
äåëè M äîëæíà êàóçàëüíî âëèÿòü íà äðóãóþ èíäèêàòîðíóþ ïåðåìåííóþ. (Îáà
ýòè ìåõàíèçìà ìîãóò äåéñòâîâàòü îäíîâðåìåííî.)
Íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå âàðèàíòû àëüòåðíàòèâíûõ ìîäåëåé èçîáðàæåíû íà
ðèñ. 5.  ìîäåëÿõ, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 5, à, ã, åñòü îáùàÿ ïðè÷èíà äëÿ òðåõ èíäèêà-
òîðîâ. Â ñòðóêòóðå íà ðèñ. 5, á ïåðåìåííàÿ Z íåïîñðåäñòâåííî âëèÿåò íà Y .
 ñòðóêòóðàõ íà ðèñ. 5, â, ä, å ïåðåìåííàÿ X ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé äëÿ äâóõ äðóãèõ.
 ñòðóêòóðå íà ðèñ. 5, å ïåðåìåííàÿ X âëèÿåò íà Y è Z íåïîñðåäñòâåííî. Òîëüêî
îäíà ýòà ñòðóêòóðà ñðåäè ïðåäñòàâëåííûõ èìååò íàñûùåííóþ ñèñòåìó ñâÿçåé äëÿ
ïåðåìåííûõ X , Y , Z . Ñòðóêòóðó, â êîòîðîé îäíà èç ïåðåìåííûõ X , Y , Z ÿâëÿåòñÿ
ïðè÷èíîé äëÿ äâóõ äðóãèõ, ìîæíî áûëî áû ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
ñòðóêòóðû ñ îáùåé ïðè÷èíîé òðåõ èíäèêàòîðîâ. Îäíàêî ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé îò-
ëè÷àåòñÿ ïðèçíàêîì, ÷òî ïåðåìåííàÿ-ïðè÷èíà íå ìîæåò èìåòü èíäèâèäóàëüíîãî
ôàêòîðà. Íàïðèìåð, â ñòðóêòóðå, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 5, ä, ëþáîé ôàêòîð G ïåðå-
ìåííîé X áóäåò àññîöèèðîâàí òàêæå ñ Y è Z (òðàíçèòíàÿ çàâèñèìîñòü). Â íåêîòî-
18 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ðûõ ñèòóàöèÿõ òàêîé ïðèçíàê ìîæåò ïîìî÷ü äèñêðèìèíèðîâàòü ìîäåëè äàæå áåç
ïðîâåðêè êðèòåðèÿ C3I3PF. Â òî æå âðåìÿ äëÿ îïðîâåðæåíèÿ ìîäåëè (1) â ïîëüçó
àëüòåðíàòèâíîé ìîäåëè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 5, ã, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êðèòå-
ðèé Ñ3I3F. Êñòàòè, ìîäåëè, ãäå ïåðåìåííûå X , Y , Z ñîåäèíåíû ñòðóêòóðîé äåðåâà,
õàðàêòåðèçóþòñÿ èçâåñòíûì ñïåöèàëüíûì îãðàíè÷åíèåì, à èìåííî êàæäàÿ èç òðåõ
êîððåëÿöèé: �
XY
2 , �
YZ
2 , �
ZX
2 , äîëæíà ïðåâûøàòü ïðîèçâåäåíèå äâóõ äðóãèõ. Ñ ýòîé
òî÷êè çðåíèÿ êàóçàëüíî ðàçëè÷íûå ñòðóêòóðû, îòîáðàæåííûå íà ðèñ. 5, ã è 5, ä, ïîäîáíû.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé ïðèìåíåíèå âûâåäåííûõ îãðàíè÷å-
íèé. Ïóñòü ãåíåðàòèâíàÿ ìîäåëü èìååò ñòðóêòóðó, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 5, à,
íî ñ äîïîëíåíèåì, ÷òî íà ïåðåìåííûå X , Y è Z âëèÿþò èíäèâèäóàëüíûå ôàêòîðû
Q, T è W ñîîòâåòñòâåííî. Òàêàÿ ìîäåëü îòëè÷àåòñÿ îò (1) òîëüêî äîïîëíèòåëüíîé
ñâÿçüþU H� , êîòîðàÿ ñîçäàåò ýôôåêò îáùåãî ôàêòîðà òðåõ èíäèêàòîðîâ. Ïóñòü
ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé
h � 0.75 � �u H� , x h u q� � � � �1,
y h l t� � � � �2 , z l u w� � � � �3 ,
ãäå �H , �1, �2 , �3 , H , L, U , Q, T , W âçàèìíî íåçàâèñèìû è íîðìàëüíî ðàñïðå-
äåëåíû; � �i i iN m~ ( , )2 ; � � �
1
2
2
2
3
2
� � � 0.5; � �H H
N m~ ( , )2 ; � � �H L U� � �
� � � �� � �Q T W 1.
Âû÷èñëÿåì êîððåëÿöèè ïåðåìåííûõ X , Y è Z:
�
XY
2
� 0.237; �
YZ
2
� 0.215; �
ZX
2
� 0.157; �
XY QT;
2
� 0.383;
�
YZ TW;
2
� 0.4; �
ZX WQ;
2
� 0.268.
Ïîëó÷àåì çíà÷åíèÿ êðèòåðèàëüíûõ ñóìì:
( )o XY YZ ZX
� � � �� � �2 2 2 0.609; ( ) ; ; ;p XY QT YZ TW ZX WQ
� � � �� � �2 2 2 1.05;
� ( )o XY YZ ZX
� � � �� � �2 2 22 0.767; � ( ) ; ; ;p XY QT YZ TW ZX WQ
� � � �� � �2 2 22 1.32.
Çíà÷åíèÿ ( )p è � ( )p ïðåâûñèëè óñòàíîâëåííóþ âåðõíþþ ãðàíèöó, ÷òî ñâèäå-
òåëüñòâóåò î íåàäåêâàòíîñòè ìîäåëè (1). Ïðèìåð ïðîäåìîíñòðèðîâàë, ÷òî ïðè
òåñòèðîâàíèè ïðåäïî÷òèòåëüíåå èñïîëüçîâàòü «êàëèáðîâàííûå» êîððåëÿöèè
(à íå îðäèíàðíûå); ýòî ìîæåò ñòàòü ðåøàþùèì óñëîâèåì ýôôåêòèâíîñòè ïðåä-
ëîæåííîãî êðèòåðèÿ. Òàêæå ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñóììà � ( )p äàåò çíà÷è-
òåëüíî áîëåå æåñòêèé êðèòåðèé, ÷åì ñóììà ( )p . Åñëè èçìåíèòü îäèí ïàðà-
ìåòð ìîäåëè, à èìåííî óìåíüøèòü êîýôôèöèåíò äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè U H�
äî âåëè÷èíû 0.675, òî ñóììà ( )p íå íàðóøèò îãðàíè÷åíèÿ ( ( )p � 0.997), â òî
âðåìÿ êàê ñóììà � ( )p ïî-ïðåæíåìó áóäåò çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàòü îãðàíè÷å-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 19
YZ
X
L
U H
YZ
X
U H
YZ
X
L
U H
L
YZ
XQ
TW
YZ
X
YZ
X
L
G
W
Ðèñ. 5. Àëüòåðíàòèâíûå ñòðóêòóðû ìîäåëè: ñòðóêòóðû ñ îáùèì ôàêòîðîì òðåõ èíäèêàòîðîâ (à, ã);
ñòðóêòóðû, ãäå îäèí èíäèêàòîð âëèÿåò íà äâà äðóãèõ (â, ä); ñòðóêòóðû ñ íåïîñðåäñòâåííîé ñâÿçüþ
èíäèêàòîðîâ (á, å), â òîì ÷èñëå — íàñûùåííàÿ ñòðóêòóðà (å)
à á â
åäã
íèå (� ( )p � 1.26). Îäíàêî, êîãäà êîýôôèöèåíò äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè ñíèæàåòñÿ
äî âåëè÷èíû ïðèáëèçèòåëüíî 0.385, îãðàíè÷åíèÿ äëÿ îáîèõ âàðèàíòîâ ñóìì íå
íàðóøàþòñÿ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðè òàêîì óðîâíå âëèÿíèÿ U íà H ýôôåêò îá-
ùåãî ôàêòîðà òðåõ èíäèêàòîðîâ ñëèøêîì ñëàá è ïðàêòè÷åñêè íå ðàçëè÷èì.
Êðèòåðèé C3I3PF ìîæåò ýôôåêòèâíî ðàáîòàòü äàæå â óñå÷åííîì (ðåäóöèðîâàí-
íîì) âèäå, êîãäà ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäíî èëè äâà ñëàãàåìûõ êðèòåðè-
àëüíîé ñóììû. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà â ñëó÷àå äâóõ ñöåíàðèåâ: â ïåðâîì îäíà
èëè äâå èç òðåõ êîððåëÿöèé èíäèêàòîðîâ ðàâíû íóëþ (ðàçîðâàííûé öèêë), à âî âòî-
ðîì àíàëèòèêó äîñòóïåí ñîêðàùåííûé íàáîð ýìïèðè÷åñêîé èíôîðìàöèè, ò.å. èç
òðåõ êîððåëÿöèé èíäèêàòîðîâ èçâåñòíû òîëüêî äâå èëè îäíà. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé,
êîãäà äâå êîððåëÿöèè èíäèêàòîðîâ ðàâíû íóëþ, ñîîòâåòñòâóåò ñòðóêòóðå ìîäåëè èç
èçâåñòíîé òåîðåìû Äæ. Áåëëà î íåëîêàëüíîñòè [8, 9]. Äëÿ òàêîé ñòðóêòóðû ïîëó÷åí-
íûå ðåçóëüòàòû äàþò îãðàíè÷åíèå äðóãîãî âèäà (íåèçâåñòíîãî ðàíåå), à èìåííî
� � �
XY XQ YT
2 2 21 1�
( )( ) . (25)
Íàðóøåíèå íåðàâåíñòâà (25) ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ìîäåëü ñî ñòðóêòó-
ðîé Q X Y T� � � �� íåêîíñèñòåíòíà.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü àíàëèòèêó èçâåñòíû òîëüêî äâå êîððå-
ëÿöèè: � XY è � XQ . Òîãäà êðèòåðèé C3I3PF ðåäóöèðóåòñÿ äî âèäà
�
�
XY
XQ
2
21
1
� .
Ïóñòü ôðàãìåíò ãåíåðàòèâíîé ìîäåëè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè
x h q� � �
�
�1 , y h x� � � �
�
0 4 2. � , (26)
ãäå h, q, �1�
, �2�
âçàèìíî íåçàâèñèìû; h N~ ( , )0 1 , �1 0
�
~ ( ,N 0.5),
�2 0
�
~ ( ,N 0.5), q N~ ( , )0 2 . Òîãäà ïîëó÷àåì êîððåëÿöèè �
XQ
2
� 0.571; �
XY
2
� 0.575
è êðèòåðèàëüíîå çíà÷åíèå � �
XY XQ
2 21/ ( )
� 1.34. Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé
C3I3PF ãðóáî íàðóøåí, áàçîâàÿ ìîäåëü (1) îïðîâåðãàåòñÿ. Íàðóøåíèå âûçâàíî
íåïîñðåäñòâåííûì êàóçàëüíûì âëèÿíèåì ïåðåìåííîé X íà Y ñîãëàñíî âòîðî-
ìó óðàâíåíèþ â (26).
(Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð èëëþñòðèðóåò íå òîëüêî ñèòóàöèþ, êîãäà íåò òðåòüå-
ãî èíäèêàòîðà Z , àññîöèèðîâàííîãî ñ X è Y . Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò âîçíèê-
íóòü, êîãäà ïåðåìåííàÿ Z íå íàáëþäàåòñÿ, íî îíà ñóùåñòâóåò è ñâÿçàíà ñ äðóãèìè
ïåðåìåííûìè òàê æå, êàê â ìîäåëè (1). Òîãäà äèñòóðáàöèÿ �1�
áóäåò âêëþ÷àòü âåëè-
÷èíó f u� êàê îäíó èç êîìïîíåíò, à äèñòóðáàöèÿ �2�
— êîìïîíåíòó c l t� � �� .)
Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèÿ C3I3PF â óñå÷åííîì
âèäå. Ïóñòü äîñòóïíû òîëüêî äâå êîððåëÿöèè: � XY è � XQ . Îäíàêî òåïåðü ãåíå-
ðàòèâíàÿ ìîäåëü îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî ïåðåìåííàÿ Q ÿâëÿåòñÿ íå ôàêòîðîì, à ýô-
ôåêòîì ïåðåìåííîé X . (Ïðîâåðèòü ýòîò ôàêò òðàäèöèîííûì ñïîñîáîì àíàëèòèê
íå ìîæåò, òàê êàê êîððåëÿöèÿ �QY íåäîñòóïíà.) Ôðàãìåíò ãåíåðàòèâíîé ìîäåëè
îïèñûâàåòñÿ (íåèçâåñòíûìè àíàëèòèêó) óðàâíåíèÿìè
x h� � �1, y h� � �2 , q x� � �3 ,
ãäå h, �1, �2 , �3 âçàèìíî íåçàâèñèìû; h N~ ( , )0 1 ; �1 0~ ( ,N 0.5); �2 0~ ( ,N 0.5);
�3 0~ ( ,N 0.25).
Àíàëèòèêó èçâåñòíû òîëüêî êîððåëÿöèè �
XQ
2 6 7� / , �
XY
2 4 9� / , è îí âû÷èñ-
ëÿåò êðèòåðèàëüíîå çíà÷åíèå � �
XY XQ
2 21 28 9/ ( ) /
� � 3.11. Êðèòåðèé C3I3PF
ãðóáî íàðóøåí, áàçîâàÿ ìîäåëü (1) îïðîâåðãàåòñÿ.
Ïîíÿòíî, ÷òî ïðèâåäåííûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèÿ C3I3PF èäåà-
ëèçèðîâàíû.  ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ çíà÷åíèÿ êîððåëÿöèé âû÷èñëÿþò èç ñòàòèñ-
òè÷åñêèõ âûáîðîê, à äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ìîäåëè ñòðîÿò âûáîðî÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåé ñòàòèñòèêè.
20 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëîæåí è îáîñíîâàí íàáîð îãðàíè÷åíèé-íåðàâåíñòâ äëÿ êîððåëÿöèé òðåõ
èíäèêàòîðíûõ ïåðåìåííûõ â ëèíåéíîé ìîäåëè, ãäå êîððåëÿöèè ôîðìèðóþòñÿ
èñêëþ÷èòåëüíî âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ ñêðûòûõ ôàêòîðîâ, ïðè÷åì êàæäûé èç íèõ
âëèÿåò òîëüêî íà äâà èíäèêàòîðà. Âûâåäåíû îãðàíè÷åíèÿ ñâåðõó äëÿ ñóìì
êâàäðàòîâ êîððåëÿöèé (îðäèíàðíûõ è ÷àñòíûõ) è äëÿ íàèìåíüøåé êîððåëÿöèè
(èç òðåõ). Ýòè îãðàíè÷åíèÿ çíà÷èòåëüíî óëó÷øàþò èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû äëÿ
ïîäîáíîé ìîäåëè. Ïðåäëîæåííûå îãðàíè÷åíèÿ, ïî-âèäèìîìó, äîñòàòî÷íî æåñ-
òêèå, è ìîãóò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûìè äëÿ òåñòèðîâàíèÿ (âàëèäàöèè) ìîäåëè
â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèòóàöèÿõ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü
íà íåêîòîðûå íåëèíåéíûå è äèñêðåòíûå ìîäåëè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Kang Ch., Tian J. Inequality constraints in causal models with hidden variables. Proc. of 22nd Conf.
on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI-06). AUAI Press, 2006. P. 233–240.
2. Steeg G.V., Galstyan A. A sequence of relaxations constraining hidden variable models. Proc. of 27th Conf.
on Uncertainty in Artif. Intel. (UAI-11). AUAI Press, 2011. P. 717–726.
3. Steudel B., Ay N. Information-theoretic inference of common ancestors. Entropy. 2015. Vol. 17. P. 2304–2327.
4. Chen B., Tian J., Pearl J. Testable implications of linear structural equation models. Proc. 28th AAAI Conf.
on Artif. Intel. (AAAI’14). Qu�bec, Canada, AAAI Press, 2014. P. 2424–2430.
5. van Ommen T., Mooij J.M. Algebraic equivalence class selection for linear structural equation models. Proc.
of 33rd Conf. on Uncertainty in Artif. Intel. (UAI-17). Vol. 1. Curran Associates, Inc., 2017. P. 763–773.
6. Spirtes P., Richardson T. Ancestral graph Markov models. Ann. Statist. 2002. Vol. 30, N 4. P. 962–1030.
7. Balabanov O.S. Structurally determined inequality constraints on correlations in the cycle of linear
dependencies. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 2. P. 173–184.
8. Gill R.D. Statistics, causality and Bell’s theorem. Statistical Science. 2014. Vol. 29, N 4. P. 512–528.
9. Suppes P., de Barros J.A., Oas G. A collection of probabilistic hidden-variable theorems and counterexamples.
In: Waves, Information and Foundations of Physics. Conf. Proceeding. Pratesi R., Ronchi E. (Eds.). Vol. 60.
Bologna: Societ� Italiana Di Fisica, 1998. P. 267–291 (arXiv:quant-ph/9610010).
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 11.05.2018
Î.Ñ. Áàëàáàíîâ
ÂÅÐÕÍß ÌÅÆÀ ÄËß ÑÓÌÈ ÊÎÐÅËßÖ²É ÒÐÜÎÕ ²ÍÄÈÊÀÒÎв ÇÀ ²ÄÑÓÒÍÎÑÒ²
ÑϲËÜÍÎÃÎ ÔÀÊÒÎÐÀ
Àíîòàö³ÿ. Ïîêàçàíî, ùî â ë³í³éí³é ìîäåë³ ç òðüîìà ³íäèêàòîðíèìè çì³ííè-
ìè, äå êîæíà ïàðà ³íäèêàòîð³â ìຠîêðåìèé ïðèõîâàíèé «ïàðíèé» ôàêòîð,
ñóìà òðüîõ êîðåëÿö³é îáìåæåíà çâåðõó. Ïîðóøåííÿ âñòàíîâëåíîãî îáìåæåí-
íÿ ñâ³ä÷èòü ïðî òå, ùî êàóçàëüíà ñòðóêòóðà ãåíåðàòèâíî¿ ìîäåë³
â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ïðèïóùåíî¿. Ó âèïàäêó ïîðóøåííÿ íåð³âíîñò³ ìîæíà
ñòâåðäæóâàòè, ùî ³ñíóº çàãàëüíà ïðè÷èíà òðüîõ ³íäèêàòîð³â, àáî ùî îäíà
ç ³íäèêàòîðíèõ çì³ííèõ êàóçàëüíî âïëèâຠíà ³íøó. Îáìåæåííÿ ìîæíà
åôåêòèâíî çàñòîñîâóâàòè íàâ³òü çà íåïîâíî¿ ñïîñòåðåæóâàíîñò³ (çîêðåìà,
êîëè ñïîñòåð³ãàþòüñÿ ò³ëüêè äâ³ ³íäèêàòîðí³ çì³íí³).
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êîðåëÿö³ÿ, îáìåæåííÿ òèïó íåð³âí³ñòü, öèêë ç òðüîìà êîë³çî-
ðàìè, ïðèõîâàíà çàãàëüíà ïðè÷èíà, ñèñòåìà ë³í³éíèõ ñòðóêòóðàëüíèõ ð³âíÿíü.
O.S. Balabanov
UPPER BOUND ON CORRELATION SUM FOR THREE INDICATORS
UNDER ABSENCE OF COMMON FACTOR
Abstract. We demonstrate that in linear model with three indicator variables,
where each pair of indicators is associated by separate hidden pairwise factor,
the sum of correlations is upper bounded. The inequality constraint violation
manifests that the underlying causal structure differs from the supposed one.
In the case of the inequality violation, one may suggest that there is a common
cause of the three indicators, or one indicator variable causally influences the
other one. The inequality constraint remains efficient under partial observability
(for instance, when two indicators only are observed).
Keywords: correlation, inequality constraint, cycle with three colliders, hidden
common cause, linear SEM.
Áàëàáàíîâ Àëåêñàíäð Ñòåïàíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîãðàììíûõ ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: bas@isofts.kiev.ua.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 21
|