Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов
Предложен конструктивно-продукционный подход порождения фракталов, который является более общим, чем другие известные подходы. Показаны возможности применения большой вариативности атрибутики и исходных элементов формирования фракталов, а также комбинирования фракталов в мультифракталах. Возможности...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180845 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов / В.И. Шинкаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860087530972512256 |
|---|---|
| author | Шинкаренко, В.И. |
| author_facet | Шинкаренко, В.И. |
| citation_txt | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов / В.И. Шинкаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Предложен конструктивно-продукционный подход порождения фракталов, который является более общим, чем другие известные подходы. Показаны возможности применения большой вариативности атрибутики и исходных элементов формирования фракталов, а также комбинирования фракталов в мультифракталах. Возможности формирования фракталов расширены путем устранения необходимых при других подходах ограничений. Предложенный подход позволил установить несколько неизвестных ранее свойств дробной размерности, которые заключаются в возможности ее изменения в процессе порождения фрактала и несовпадения дробных размерностей предела форм в процессе порождения и предельного фрактала. Дано простое определение детерминированного геометрического фрактала, учитывающего все характеризующие его свойства.
Запропоновано конструктивно-продукційний підхід породження фракталів, який є більш загальним, ніж інші відомі підходи. Показано можливості застосування великої варіативності атрибутики і вихідних елементів формування фракталів, а також комбінування фракталів у мультифракталах. Можливості формування фракталів розширено шляхом усунення необхідних для інших підходів обмежень. Запропонований підхід дозволив встановити кілька невідомих раніше властивостей дробової розмірності, що полягають у можливості її зміни в процесі породження фракталу і розбіжності дробових розмірностей границі форм у процесі породження і граничного фракталу. Наведено просте визначення детермінованого геометричного фракталу, яке враховує усі його характеристики.
A constructive-production approach to the generation of fractals is proposed, which is more general than other known approaches. The possibilities of application are shown: great variability of the attributes and initial elements of the formation of fractals; combination of fractals in multifractals. The possibilities of fractal generation are extended by eliminating the constraints necessary for other approaches. The proposed approach allowed us to establish several properties of fractional dimension that were previously unknown, which allow its change in the process of fractal generation and mismatch of fractional dimensions of the form limit in the process of generation and the limiting fractal. A simple definition of a deterministic geometric fractal that takes into account all the characteristic properties is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:20:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 510+004.94
Â.È. ØÈÍÊÀÐÅÍÊÎ
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÍÎ-ÏÐÎÄÓÊÖÈÎÍÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÐÀÊÒÀËÎÂ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííûé ïîäõîä ïîðîæäåíèÿ
ôðàêòàëîâ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì, ÷åì äðóãèå èçâåñòíûå ïîäõîäû.
Ïîêàçàíû âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ áîëüøîé âàðèàòèâíîñòè àòðèáóòèêè è èñ-
õîäíûõ ýëåìåíòîâ ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ, à òàêæå êîìáèíèðîâàíèÿ ôðàê-
òàëîâ â ìóëüòèôðàêòàëàõ. Âîçìîæíîñòè ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ ðàñøèðåíû
ïóòåì óñòðàíåíèÿ íåîáõîäèìûõ ïðè äðóãèõ ïîäõîäàõ îãðàíè÷åíèé. Ïðåäëî-
æåííûé ïîäõîä ïîçâîëèë óñòàíîâèòü íåñêîëüêî íåèçâåñòíûõ ðàíåå ñâîéñòâ
äðîáíîé ðàçìåðíîñòè, êîòîðûå çàêëþ÷àþòñÿ â âîçìîæíîñòè åå èçìåíåíèÿ
â ïðîöåññå ïîðîæäåíèÿ ôðàêòàëà è íåñîâïàäåíèÿ äðîáíûõ ðàçìåðíîñòåé
ïðåäåëà ôîðì â ïðîöåññå ïîðîæäåíèÿ è ïðåäåëüíîãî ôðàêòàëà. Äàíî ïðîñòîå
îïðåäåëåíèå äåòåðìèíèðîâàííîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ôðàêòàëà, ó÷èòûâàþùåãî
âñå õàðàêòåðèçóþùèå åãî ñâîéñòâà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíñòðóêòîð, ôðàêòàë, ìóëüòèôðàêòàë, äðîáíàÿ ðàçìåð-
íîñòü, òðåóãîëüíèê Ñåðïèíñêîãî, ôðàêòàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íà÷àëî áóðíîìó ðàçâèòèþ ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè ïîëîæèëà ðàáîòà Á. Ìàíäåëü-
áðîòà [1]. Ôðàêòàëû îáíàðóæåíû âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ îáúåêòàõ è ïðîöåñ-
ñàõ. Ôðàêòàëüíûå ìîäåëè ïðèìåíÿþòñÿ âî ìíîãèõ íàó÷íûõ îáëàñòÿõ: áèîëîãèè,
àðõèòåêòóðå, ìåäèöèíå, ìàòåðèàëîâåäåíèè, ÿäåðíîé ôèçèêå, àñòðîíîìèè, ìàòå-
ìàòèêå, â èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåìàõ è ò.ä.
Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî àëüòåðíàòèâíûõ ïîäõîäîâ ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ:
àëãîðèòìè÷åñêèé [1–5]; ôóíêöèîíàëüíî-àëãîðèòìè÷åñêèé ñ ïðèìåíåíèåì ñèñòå-
ìû èòåðèðîâàííûõ ôóíêöèé íà îñíîâå ñîâîêóïíîñòè ñæèìàþùèõ îòîáðàæå-
íèé [2, 4, 5]; L-ñèñòåì [2]; ñæèìàþùèõ àôôèííûõ àâòîìàòîâ [6].
Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä áûë ñôîðìèðîâàí ïðè îïèñàíèè ïåðâûõ, ñòàâøèõ
êëàññè÷åñêèìè, ôðàêòàëîâ, òàêèõ êàê òðåóãîëüíèê, êîâåð Ñåðïèíñêîãî, ñíåæèíêà
Êîõà è äð. Ïðåäëàãàëñÿ àëãîðèòì ôîðìèðîâàíèÿ ýòèõ ôðàêòàëîâ.
Ôóíêöèîíàëüíî-àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä — ïðåäñòàâëåíèå ôðàêòàëüíîé ãåî-
ìåòðèè ñðåäñòâàìè êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè.
Äîñòàòî÷íî íîâîå íàïðàâëåíèå ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ — ñæèìàþùèå àô-
ôèííûå àâòîìàòû — ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ôðàêòàëû íà îñíîâå àôôèííûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé è èìååò òåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó â âèäå êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ.
Íàèáîëüøåå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå ïîëó÷èëè
L-ñèñòåìû, ïðåäëîæåííûå À. Ëèíäåìàéåðîì [7], êàê ñóùåñòâåííàÿ ìîäèôèêàöèÿ
ôîðìàëüíûõ ãðàììàòèê.
 [8–10] çàëîæåíû îñíîâû êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
(ÊÏÌ), â ðàìêàõ êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì ìîäåëèðîâàíèå ëþáûõ êîí-
ñòðóêöèé è êîíñòðóêòèâíûõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé,
ñòðîèòåëüñòâà, ìàøèíîñòðîåíèÿ, ðîáîòîòåõíèêè, áèîëîãèè è ò.ä. Ïðåäëîæåííûé
àïïàðàò ïîçâîëÿåò ôîðìàëèçîâàòü ïðîöåññû è ðåçóëüòàòû ôîðìèðîâàíèÿ êîí-
ñòðóêöèé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, ñâÿçûâàÿ ýëåìåíòû êîíñòðóêöèé è ó÷èòûâàÿ ñâîé-
ñòâà ýëåìåíòîâ, èõ àãðåãàòîâ (ôîðì) è ñâÿçåé.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ÊÏÌ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ
ôðàêòàëîâ. Ýòîò ïîäõîä íàèáîëåå áëèçîê ê L-ñèñòåìàì. Îí ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðèñïî-
ñîáëåííûì ê ðàáîòå ñ àòðèáóòèêîé è áîëåå ãèáîê ïðè çàäàíèè ïðîöåññà âûâîäà.
22 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
© Â.È. Øèíêàðåíêî, 2019
ÏÎÍßÒÈÅ ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐÀ
Íàçîâåì êîíñòðóêòîðîì òðîéêó [8]:
C M� � �, ,� � ,
ãäå M — íåîäíîðîäíûé ïîïîëíÿåìûé íîñèòåëü, � — ñèãíàòóðà îïåðàöèé
(è ñîîòâåòñòâóþùèõ îòíîøåíèé) ñâÿçûâàíèÿ, ïîäñòàíîâêè è âûâîäà, à òàêæå
îïåðàöèé íàä àòðèáóòàìè, � — ìíîæåñòâî (ôîðìàëüíûõ è íåôîðìàëüíûõ)
óòâåðæäåíèé èíôîðìàöèîííîãî îáåñïå÷åíèÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ (ÈÎÊ). ÈÎÊ
âêëþ÷àåò îíòîëîãèþ, öåëü, ïðàâèëà, îãðàíè÷åíèÿ, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ è óñëî-
âèÿ çàâåðøåíèÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ. Îíòîëîãèÿ îáîáùåííîãî êîíñòðóêòîðà �
ïðåäñòàâëåíà â [8]. Ïðè ýòîì ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ ðÿä óòî÷íÿþùèõ ïðåîáðàçî-
âàíèé îáîáùåííîãî êîíñòðóêòîðà.
Ñïåöèàëèçàöèÿ îïðåäåëÿåò îíòîëîãèþ ïðåäìåòíîé îáëàñòè: ñåìàíòè÷åñêóþ
ïðèðîäó íîñèòåëÿ, îáùåå äëÿ ñåìåéñòâà çàäà÷ öåëè, êîíå÷íîå ìíîæåñòâî îïåðà-
öèé è èõ ñåìàíòèêó, àòðèáóòèêó îïåðàöèé, ïîðÿäîê èõ âûïîëíåíèÿ è îãðàíè÷å-
íèÿ. Îïåðàöèÿ ñïåöèàëèçàöèè S � âûïîëíÿåòñÿ âíåøíèì èñïîëíèòåëåì.
Èíòåðïðåòàöèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñâÿçûâàíèè îïåðàöèé ñèãíàòóðû ñ àëãîðèòìà-
ìè âûïîëíåíèÿ íåêîòîðîé àëãîðèòìè÷åñêîé ñòðóêòóðû [10]. Ïðè èíòåðïðåòàöèè
âûïîëíÿåòñÿ ñâÿçûâàíèå ìîäåëåé êîíñòðóêòîðà è âíóòðåííåãî èñïîëíèòåëÿ ïðî-
öåññà êîíñòðóèðîâàíèÿ. Ðåçóëüòàòîì èíòåðïðåòàöèè I � ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâ-
íàÿ ñèñòåìà. Îïåðàöèÿ èíòåðïðåòàöèè âûïîëíÿåòñÿ âíåøíèì èñïîëíèòåëåì.
Êîíêðåòèçàöèÿ êîíñòðóêòîðà ïðåäóñìàòðèâàåò çàäàíèå êîíêðåòíûõ ïðàâèë,
îãðàíè÷åíèé, íà÷àëüíûõ óñëîâèé, à òàêæå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ,
êîíêðåòèçàöèè ýëåìåíòíîé áàçû íîñèòåëÿ: ìíîæåñòâà íåòåðìèíàëüíûõ è òåðìè-
íàëüíûõ ñèìâîëîâ ñ èõ àòðèáóòàìè è (ïðè íåîáõîäèìîñòè) çíà÷åíèé àòðèáóòîâ.
Ïîñëå èíòåðïðåòàöèè è êîíêðåòèçàöèè K �, âûïîëíÿåìîé âíåøíèì èñïîëíèòå-
ëåì, êîíñòðóêòèâíàÿ ñèñòåìà èìååò âñå íåîáõîäèìîå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî
ôîðìèðîâàíèÿ êîíñòðóêöèé.
Ðåàëèçàöèÿ R �, âûïîëíÿåìàÿ âíóòðåííèì èñïîëíèòåëåì ñèñòåìû, çàêëþ-
÷àåòñÿ â ôîðìèðîâàíèè êîíñòðóêöèè èç ýëåìåíòîâ íîñèòåëÿ ïóòåì âûïîëíåíèÿ
àëãîðèòìîâ, ñâÿçàííûõ ñ îïåðàöèÿìè ñèãíàòóðû. Ðåàëèçàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî
äëÿ ïðåäâàðèòåëüíî ñïåöèàëèçèðîâàííîãî, èíòåðïðåòèðîâàííîãî è êîíêðåòèçè-
ðîâàííîãî êîíñòðóêòîðà.
ÑÏÅÖÈÀËÈÇÀÖÈß ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐΠÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
 ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ R 2
Ñïåöèàëèçàöèÿ êîíñòðóêòîðà — ýòî ôîðìèðîâàíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð (êîí-
ñòðóêöèé) â ïðîñòðàíñòâå R 2 , â òîì ÷èñëå ôðàêòàëîâ
C M C MS G G G G� � � � � �, , , ,� � � �� ,
ãäå � � � �G � � �1 2, �1
2� �{M T F KG G G GR � � � ; � �
G G G G� � �{ { }}, , , , ,
G �
��{ }, /, , , � , G � � � �{ }}, | , || . Çäåñü èìååì òàêèå ìíîæåñòâà: TG —
óñëîâíî íåäåëèìûõ ãðàôè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ êîíñòðóèðîâàíèÿ; FG , KG — ïðî-
ìåæóòî÷íûõ ôîðì è êîíñòðóêöèé ñîîòâåòñòâåííî; �G — îòíîøåíèÿ âçàèìíî-
ãî ðàñïîëîæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð (ñâÿçûâàíèÿ ýëåìåíòîâ), êîòîðûå çàäà-
þòñÿ ãðàôè÷åñêè; îïåðàöèè G — ïîäñòàíîâêè è âûâîäà, îïåðàöèè
G —
íàä àòðèáóòàìè, à òàêæå îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè (�) è àòðèáóòèâíîñòè (�).
Ñîñòàâëÿþùàÿ ÈÎÊ � 2 ñîäåðæèò ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ, äîïîëíåíèÿ
è îãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå óòî÷íÿþò àëôàâèò, àòðèáóòû íîñèòåëÿ, îòíîøåíèÿ ïîä-
ñòàíîâêè, îïðåäåëÿþò îñîáåííîñòü âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ïîäñòàíîâêè è âûâîäà.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 23
Ôèãóðîé èëè îáúåêòîì íàçîâåì ñâÿçíîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â R 2 .
Íàëè÷èå àòðèáóòà w ó ýëåìåíòà íîñèòåëÿ m îáîçíà÷èì wm (èäåíòèôèêàòîð m
ñ àòðèáóòîì w), à îáîçíà÷åíèå w m� ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî w ÿâëÿåòñÿ àòðè-
áóòîì èäåíòèôèêàòîðà m.
Òåðìèíàëüíûé àëôàâèò TG ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ñ àòðèáóòàìè.
Ñîãëàñíî [8] ôîðìîé w f ñ àòðèáóòîì w íàçûâàåòñÿ íàáîð òåðìèíàëîâ, îáúåäè-
íÿåìûõ îïåðàöèÿìè ñâÿçûâàíèÿ.
Êîíå÷íàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ êîíñòðóêöèåé, ïðîìåæóòî÷íûå ôîðìû — ñåí-
òåíöèàëüíûìè ôîðìàìè.
Îáùèé âèä ïðàâèë ïîäñòàíîâêè: � r r rs g� � � �, �, ãäå sr — îäíî èëè íå-
ñêîëüêî îòíîøåíèé ïîäñòàíîâêè, s s s sr r r rn
� � �
1 2
, � ; g g g gr r r rn
� � �
1 2
, � — íà-
áîð îïåðàöèé íàä àòðèáóòàìè.
Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè sri
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõìåñòíîå îòíîøåíèå ñ àòðè-
áóòàìè w i w w ji j
l l� (çäåñü w i w ji j
l l, — ôîðìû ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé îòíîøåíèÿ
ïîäñòàíîâêè) [8]. Äëÿ ôîðìû w l w w w w h w kl h k
f f f l f� �
0 1 21 2( , , , , , )� � è îòíî-
øåíèÿ ïîäñòàíîâêè w h w w qh p q
l l� òàêîãî, ÷òî w h w lh l
l f� (w hh
l ÿâëÿåòñÿ ÷àñ-
òüþ w ll
f ), ðåçóëüòàòîì òðåõìåñòíîé îïåðàöèè ïîäñòàíîâêè w w h w q w lp h q l
l l f� ( , , ) áó-
äåò ôîðìà
w l w w w w q w k
l q k
f f f l f�
� � �
0 1 21 2( , , , , , )� � , ãäå � — ïðîèçâîëüíîå
îòíîøåíèå ñâÿçûâàíèÿ [8].
Äâóõìåñòíàÿ îïåðàöèÿ ÷àñòè÷íîãî âûâîäà f f� � �(| ( , ))� (çäåñü f , f � —
ôîðìû äî è ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ÷àñòè÷íîãî âûáîðà) çàêëþ÷àåòñÿ â ïî-
î÷åðåäíîì âûáîðå âñåõ âîçìîæíûõ äëÿ òåêóùåé ñåíòåíöèàëüíîé ôîðìû ïðàâèë
ïîäñòàíîâêè � r r rs g: ,� � �� , ñ îòíîøåíèÿìè ïîäñòàíîâêè sr è çàäàííûìè îïåðà-
öèÿìè íàä àòðèáóòàìè gr , êîòîðûå áóäóò âûïîëíÿòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ àòðèáó-
òîì ïîðÿäêà âûïîëíåíèÿ ïîñëåäíèõ.
Ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè íàä àòðèáóòàìè â ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ
îïåðàöèè ÷àñòè÷íîãî âûâîäà çàäàåòñÿ àòðèáóòîì � j I� , I � { }� � �0 1 2, , ,
I MG� , �0 , �1, �2 — îïåðàöèÿ íàä àòðèáóòàìè, êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòâåò-
ñòâåííî ïåðåä îïåðàöèåé ïîäñòàíîâêè, ïîñëå îïåðàöèè ïîäñòàíîâêè è ïåðåä çà-
âåðøåíèåì îïåðàöèè ÷àñòè÷íîãî âûâîäà.
Îïåðàöèÿ ïîëíîãî âûâîäà (èëè ïðîñòî âûâîäà) çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâà-
òåëüíîì âûïîëíåíèè îïåðàöèè ÷àñòè÷íîãî âûâîäà, íà÷èíàÿ ñ íà÷àëüíîãî òåðìè-
íàëà è çàêàí÷èâàÿ êîíñòðóêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ îêîí÷àíèÿ âûâîäà.
 ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå êîíñòðóêòîðàõ ïðåäóñìîòðåíû ñëåäóþùèå îïåðà-
öèè ñâÿçûâàíèÿ è îïåðàöèè íàä àòðèáóòàìè:
— äóáëèðîâàíèå ìíîæåñòâà f fi j� , ìíîæåñòâî f i êîïèðóåòñÿ â f j (â ïðàâè-
ëàõ âûâîäà îòíîøåíèå f fi j� «ìîæåò áûòü ñêîïèðîâàíî»);
— îïåðàöèÿ äåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë / ( , )a b , ðåàëèçóåìàÿ êàê a a b: /� ;
— îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ
( , , )c a b , ðåàëèçóåìàÿ êàê c a b:�
;
— îïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ � ( , , )c a b , ðåàëèçóåìàÿ êàê c a b:� � ;
— êîïèðîâàíèå ñåíòåíöèàëüíîé ôîðìû f k â f k , ïîñëåäîâàòåëüíîå îáúåäè-
íåíèå ïëîñêîñòåé z ai i� ôîðìû f k ñ ïëîñêîñòüþ z � 0 â ïîðÿäêå óäàëåíèÿ îò ïî-
ñëåäíåé � ( , )f fk k .
Óñëîâèåì îêîí÷àíèÿ âûâîäà ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå N -é îïåðàöèè ÷àñòè÷íîãî
âûâîäà (ãèïîòåòè÷åñêè N ìîæåò áûòü ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè), N çàäàåòñÿ êàê
îãðàíè÷åíèå â ÈÎÊ ïðè êîíêðåòèçàöèè.
24 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐΠÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ
ÎÁÚÅÊÒÎÂ Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ R 2
Äëÿ èíòåðïðåòàöèè îïåðàöèé êîíñòðóèðîâàíèÿ íåîáõîäèìî çàäàòü áàçîâóþ àë-
ãîðèòìè÷åñêóþ ñòðóêòóðó (ÁÀÑ) [10].
Ïóñòü èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ ÁÀÑ:
C M VA A A A A� � �, , ,� � ,
ãäå M A — íåîäíîðîäíûé íîñèòåëü, �A — ñèãíàòóðà, � A — àêñèîìàòèêà,
V MA A� — ìíîæåñòâî áàçîâûõ àëãîðèòìîâ âíóòðåííåãî èñïîëíèòåëÿ êîíñò-
ðóèðîâàíèÿ, V AA l l f
f
h q i
j�{ 1 |
, ,
, A A A A A A
f
f
f
f
a b
a
a b
c
a b
c
f
f
i
j
i
j
i
2 3 4 5 6 7| , | , | , | , | , |
, , , , ,� �
i
i
i jA
f
f f
, }8|
,
.
Óêàçàííûå âûøå àëãîðèòìû ðåàëèçóþò ñëåäóþùèå îïåðàöèè:
� A
l l f
f
h q i
j
1|
, ,
— ïîäñòàíîâêè;
� A A
f
f
i
j
2 3| , |
, ,� �
�
�
— ÷àñòè÷íîãî è ïîëíîãî âûâîäà; çäåñü f fi j, — ôîðìû,
� — íà÷àëüíûé òåðìèíàë, � — ìíîæåñòâî ñôîðìèðîâàííûõ êîíñòðóêöèé;
� A
a b
a
4 |
,
, A
a b
c
5 |
,
, A
a b
c
6 |
,
— äåëåíèÿ, ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ âåùåñòâåííûõ
÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî;
� A
f
f
i
i
7 | — ðåàëèçàöèè îïåðàöèè � ( , )f fi i ;
� A
f
f f
i
i j
8 |
,
— ðåàëèçàöèè îïåðàöèè f fi j� .
Èíòåðïðåòàöèÿ îïåðàöèé êîíñòðóèðîâàíèÿ (ôîðìèðîâàíèå êîíñòðóêòèâíîé
ñèñòåìû):
� � � � � � �� � �C M C M V C MG G G G A A A A A I GI GI GI GI, , , , , , , ,� � � � � �� � ,
ãäå I � — îïåðàöèÿ èíòåðïðåòàöèè; � � � �GI G A� � � 3,
�3 1� ��{ |( ),
, ,
A
l l f
f
h q i
j ( | | )
,
A
f
f
i
j
2 �
� � , ( | | | ),
,
A3 � �
� � � ( | /),
,
A
a b
a
4 � ( | ),
,
A
a b
c
5 �
( | ),
,
A
a b
c
6 �� ( | )A
f
f
i
i
7 �� , ( | )
,
A
f
f f
i
i j
8 �� }.
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ ÑÅÐÏÈÍÑÊÎÃÎ
Âûïîëíèì êîíêðåòèçàöèþ êîíñòðóêòîðà CSERP , ïðåäíàçíà÷åííóþ äëÿ ôîðìèðîâà-
íèÿ êëàññè÷åñêîãî ôðàêòàëà — òðåóãîëüíèêà (ñàëôåòêè) Ñåðïèíñêîãî [1–4, 6, 11]:
C M C MGI GI GI GI K SERP GI GI SERP� � � � � �, , , ,� � � �� ,
ãäå � � �SERP GI� � 4 , ÷àñòü ÈÎÊ � 4 îïðåäåëÿåò:
— íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: íà÷àëüíàÿ ôèãóðà (òåðìèíàë) � ñ àòðèáóòàìè ðàçìå-
ðîâ h � 3 2/ , l �1 è ïîëîæåíèåì öåíòðà xö � 0, yö � 0;
— ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè � � � �s g, , ãäå s ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî îòíîøå-
íèÿ ïîäñòàíîâêè, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 1, è îïåðàöèé íàä àòðèáóòàìè
g h l� � �� �2 2
2 2/( , ) / ( , ), ;
— ðàçìåð ôèãóðû â ïðàâîé ÷àñòè îòíîøåíèÿ
ïîäñòàíîâêè s òàêîé æå, êàê è â ëåâîé;
— óñëîâèå çàâåðøåíèÿ N � � .
Ðåàëèçàöèþ ïðåäñòàâèì â âèäå ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè ñåíòåíöèàëüíûõ ôîðì f f f f1 2 3 4, , , ,�
(ðèñ. 2, èçîáðàæåíèå óâåëè÷åíî ïî îòíîøåíèþ ê s).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 25
Ðèñ. 1. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâ-
êè s êîíñòðóêòîðà CSERP
Ðåàëèçàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïåðàöèÿ ÷àñòè÷íîãî âûâîäà
îñóùåñòâëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå ôîðìû f i â f i
1:
— íà÷àëüíóþ ôîðìó f 0 (�) (ñîãëàñíî îòíîøåíèþ íà ðèñ. 1) ïðåîáðàçóåò â f1,
îäíîêðàòíî ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ ïîäñòàíîâêè;
— âûïîëíÿÿ îïåðàöèè íàä àòðèáóòàìè, óìåíüøàåò ðàçìåðû òðåóãîëüíèêîâ
ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s.
Ñëåäóþùàÿ ôîðìà f 2 ïîëó÷åíà îïåðàöèåé ÷àñòè÷íîãî âûâîäà ñ òðîåêðàò-
íûì ïðèìåíåíèåì îïåðàöèè ïîäñòàíîâêè (ñîãëàñíî îòíîøåíèþ íà ðèñ. 1) ñ ïî-
ñëåäóþùèì óìåíüøåíèåì åùå â äâà ðàçà ðàçìåðîâ ôèãóð â ëåâîé è ïðàâîé
÷àñòÿõ îòíîøåíèÿ s. Òàêèì æå îáðàçîì ïîëó÷åíû ôîðìû f 3 , f 4 è ò.ä.
Îïåðàöèÿ ïîëíîãî âûâîäà ñ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì îïåðàöèè ÷àñòè÷-
íîãî âûâîäà âûïîëíÿåò ïðåîáðàçîâàíèå îò f 0 äî f � .
Ôîðìà f i
1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå N � 3 ôîðì f i , ñóùåñòâåííî íåïå-
ðåñåêàþùèõñÿ è óìåíüøåííûõ â äâà ðàçà (êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ r �1 2/ ). Ñëåäîâà-
òåëüíî, ïðåäñòàâëåííûå ôðàêòàëû (ïðåäôðàêòàëû) èìåþò äðîáíóþ ðàçìåðíîñòü [2]:
d
N
r
� � �
log
log /
log
log1
3
2
1.585.
Îòìåòèì, ÷òî äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åíà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èçîáðà-
æåííûå íà ðèñ. 2 òðåóãîëüíèêè ïóñòûå. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííèå òðå-
óãîëüíèêè áåëûå, òî ïîëó÷èì ðàçìåðíîñòü äâà âî âñåõ ñåíòåíöèàëüíûõ ôîð-
ìàõ, â òîì ÷èñëå è â ïðåäåëüíîé ( f � ïðè n � �).
ÂÀÐÈÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐÎÂ ÏÎ ÏÎËÎÆÅÍÈÞ
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈÉ
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ýëåìåíòîâ (îòíîøåíèå ñâÿçûâàíèÿ) â ïðàâîé ÷àñòè îòíî-
øåíèé ïîäñòàíîâêè íå èçìåíÿåò ôðàêòàëüíîé ïðèðîäû ôîðìèðóåìûõ êîíñòðóê-
öèé (ïóñòûõ ÷àñòåé çäåñü íåò). Ðàññìîòðèì êîíñòðóêòîð C MGI GI1 5� � �, ,� � ,
ãäå � �5 1� SERP \ { } { }� �� , �1 1� � �s g, ; îòíîøå-
íèå s1 ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 3.
Ïðàâàÿ ÷àñòü îòíîøåíèÿ s1 îòëè÷àåòñÿ îò îòíî-
øåíèÿ s òåì, ÷òî âåðõíèé òðåóãîëüíèê ïåðåìåùåí
âíèç. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñåíòåíöèàëüíûå ôîðìû
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4.
26 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ðèñ. 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíñòðóèðîâàíèÿ òðåóãîëüíèêà Ñåðïèíñêîãî
Ðèñ. 3. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè s1
êîíñòðóêòîðà C1
Ðèñ. 4. Ìíîæåñòâî FG êîíñòðóêòîðà C1 èëè F CG ( )1
Êîíñòðóêòîð C MGI GI2 6� � �, ,� � , ãäå � 6 �
� � SERP \ { } { }� �� 2 , � 2 2� � �s g, , ñ îòíîøåíèåì
s2 , ïðåäñòàâëåííûì íà ðèñ. 5, ïîðîæäàåò ôîðìû,
èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 6.
Åñëè ñ÷èòàòü èçîáðàæåííîå áåëûì öâåòîì
ïóñòûì, äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü áóäåò òàêîé æå, êàê
ó òðåóãîëüíèêà Ñåðïèíñêîãî, ò.å. 1.585.
Èçâåñòíûå ïîäõîäû ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ [1–6] âïîëíå ïðèìåíèìû äëÿ
ôîðìèðîâàíèÿ ïðåäåëüíûõ ôîðì K CG( )1 è K CG( )2 . Â ýòîì ñìûñëå ÊÏÌ ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîöåííóþ àëüòåðíàòèâó èçâåñòíûì ïîäõîäàì. Îäíàêî ïîñëåä-
íèé ïðîÿâëÿåò á�ëüøóþ ãèáêîñòü è óíèâåðñàëüíîñòü ïðè ðàáîòå ñ àòðèáóòèêîé.
ÀÒÐÈÁÓÒÛ ÖÂÅÒÀ Â ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÎÉ ÎÑÍÎÂÅ ÔÐÀÊÒÀËÎÂ TG
Ðàññìîòðèì ïðèìåð êîíñòðóêòîðà ñ ðàçíîöâåòíûìè ýëåìåíòàìè C3 �
� � �MGI GI, ,� � 7 , ãäå � � �7 3 8� SERP \ { } { }� �� � , � 3 3� � �s g, ; îòíîøåíèå
ïîäñòàíîâêè s3 ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 7.
ÈÎÊ � 8 îïðåäåëÿåò îïåðàöèþ ïîäñòàíîâêè òà-
êèì îáðàçîì, ÷òîáû ó÷èòûâàëàñü òîëüêî ôîðìà ôèãóð.
Ïðè ýòîì ýëåìåíòû (â äàííîì ñëó÷àå òðåóãîëüíûå)
ìîãóò áûòü ðàçíîöâåòíûìè, èìåòü ãðàäèåíòíóþ çàëèâ-
êó, óçîðû, ôîòîèçîáðàæåíèÿ èëè äðóãèå çàëèâêè.
Ðåàëèçàöèÿ C3 â âèäå F CG ( )3 ïðåäñòàâëåíà
íà ðèñ. 8.
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè îòíîøåíèÿ s3 öâåòà òðåóãîëüíèêîâ — ÷åð-
íûé, ñåðûé è áåëûé, òî äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü òàêàÿ æå, êàê ó F CG SERP( ) è
K CG SERP( ) — 1.585. Åñëè æå íèæíèé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ëèøü êîíòóðîì
(âíóòðåííîñòü âûðåçàíà), âîïðîñ î äðîáíîé ðàçìåðíîñòè îñòàåòñÿ îòêðûòûì
è ìîæåò ðåøàòüñÿ íåîäíîçíà÷íî.
ÂÀÐÈÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐÎÂ ÏÎ ÔÎÐÌÅ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ ÊÎÍÑÒÐÓÈÐÎÂÀÍÈß
Ðàññìîòðåííûå âûøå êîíñòðóêòîðû ðåàëèçóþò ôðàêòàëû ñ îäíîðîäíûìè ýëå-
ìåíòàìè òàê æå, êàê è èçâåñòíûå ïîäõîäû. Êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííûé
ïîäõîä (ÊÏÏ) ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿåò âîçìîæíîñòè ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 27
Ðèñ. 5. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè s2
êîíñòðóêòîðà C2
Ðèñ. 6. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )2
Ðèñ. 7. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè s3
êîíñòðóêòîðà C3
Ðèñ. 8. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )3
ïðèìåíÿÿ ìíîæåñòâåííîñòü îòíîøåíèé ïîäñòà-
íîâêè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êîíñòðóêòîð
C MGI GI4 9� � �, ,� � , ãäå � �9 � SERP \ { }� �
�{ }� � �4 5 6, , , � i is g� � �, , i � 4 6, ,� . Îòíî-
øåíèÿ ïîäñòàíîâêè s s4 5, , s6 ïðåäñòàâëåíû íà
ðèñ. 9, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñåíòåíöèàëüíûå ôîð-
ìû — íà ðèñ. 10. Çäåñü îâàë è ôèãóðà íåïðà-
âèëüíîé ôîðìû âïèñàíû â ñîîòâåòñòâóþùèå
òðåóãîëüíèêè îòíîøåíèÿ s.
Èçâåñòíûå ïîäõîäû ôîðìèðîâàíèÿ ãåîìåòðè-
÷åñêèõ ôðàêòàëîâ îñíîâàíû íà ïðèìåíåíèè àôôèí-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïðè êîòîðûõ ñîõðàíÿåòñÿ ôîð-
ìà è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ýëåìåíòîâ — ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ñæàòèÿ, âðàùåíèÿ è ïåðåìåùåíèÿ. ÊÏÏ
ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü áîëåå ñëîæíûå ôðàêòàëû
ñ íàðóøåíèåì àôôèííîñòè. Íàïðèìåð, ðàñ-
ñìîòðèì êîíñòðóêòîð C MGI GI5 10� � �, ,� � , ãäå
� �10 7 8 9� SERP \ , ,{ } { }� � � �� , � i is g� � �, ,
i � 7 9, ..., . Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s s7 8, , s9
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 11, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñåí-
òåíöèàëüíûå ôîðìû — íà ðèñ. 12.
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÎÐÛ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÐÀÊÒÀËÎÂ
Ñ ÀÒÐÈÁÓÒÈÊÎÉ ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß
Ïðè ôîðìèðîâàíèè ôðàêòàëîâ ñ àòðèáóòîì ñóùåñòâîâàíèÿ âîçíèêàåò ïàðàäîêñ íå-
ñîâïàäåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïðîìåæóòî÷íûõ ôîðì ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåð-
íîñòüþ ïðåäåëüíîé ôèãóðû. Ðàññìîòðèì êîíñòðóêòîð C MGI GI6 11� � �, ,� � , ãäå
� � �11 10 12� SERP \ { } { }� �� � , �10 1� � �s g, , g h l e1 2 2 2
2 2 2� � �� � �/( , ) /( , ), /( , ), ;
�12 âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ:
— ýëåìåíòû TG èìåþò àòðèáóò ñóùåñòâîâàíèÿ e , ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèÿ
íà îòðåçêå [0, 1], ïðè ýòîì 1 — ýëåìåíò ñóùåñòâóåò, 0 — ýëåìåíòà íåò;
— íà÷àëüíûå óñëîâèÿ CSERP äîïîëíåíû çíà÷åíèåì e �1.
28 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ðèñ. 9. Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè
s4, s5, s6 êîíñòðóêòîðà C4
Ðèñ. 10. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )4
Ðèñ. 11. Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s7, s8, s9
êîíñòðóêòîðà C5
Ðèñ. 12. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )5
Àòðèáóò ñóùåñòâîâàíèÿ ðåàëèçîâàí â èçâåñòíûõ ãðàôè÷åñêèõ ðåäàêòîðàõ
Corel Draw, Photoshop è äð. â âèäå àòðèáóòà ïðîçðà÷íîñòè. Ðåàëèçàöèÿ êîíñòðóêòî-
ðà C6 â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñåíòåíöèàëüíûõ ôîðì ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 13.
Äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü ëþáîé ôîðìû èç F CG ( )6 ðàâíà 1.585, à K CG ( )6 —
íóëþ, ò.å. lim ( ( )) ( lim ( ))
N
N
N
Nd f d f
�� ��
� .
ÊÎÍÑÒÐÓÈÐÎÂÀÍÈÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÐÀÊÒÀËÎÂ
Ñ ÏÅÐÅÑÅÊÀÞÙÈÌÈÑß ÝËÅÌÅÍÒÀÌÈ
Âñå èçâåñòíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ôðàêòàëû ïîñòðîåíû íà îñíîâå òðåáîâàíèÿ ñó-
ùåñòâåííî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ýëåìåíòîâ. Ïîêàæåì âîçìîæíîñòè ÊÏÏ, ñíèìà-
þùèå äàííîå îãðàíè÷åíèå. Îíè îñíîâàíû íà ôîðìèðîâàíèè ôðàêòàëîâ â òðåõ-
ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîñëåäóþùèì ïðîåöèðîâàíèåì íà ïëîñêîñòü.
Ðàññìîòðèì êîíñòðóêòîð C MGI GI7 13� � �, ,� � , ãäå � �13 � SERP \ { }� �
� �{ }�11 14� , �11 10 2 3� � �s g g, , , îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè s10 ïðåäñòàâëåíî íà
ðèñ. 14, g h l f f i ii i2 2 2 2 2
2 2 1� �
�� � � �/( , ) /( , ), ( , ), ( , , ), � , g z t z t3 10
0� �
� �� ( , , ),
� �0 02 3
� � � � � �( , , ) ( , , )z t z t l z t z t l, .
Èíôîðìàöèîííîå îáåñïå÷åíèå êîíñòðóèðîâàíèÿ �14 âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå
ïîëîæåíèÿ:
— âñå ýëåìåíòû èìåþò àòðèáóò ñìåùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z � 0;
— íà÷àëüíûå óñëîâèÿ CSERP äîïîëíÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè àòðèáóòîâ çàìåíÿå-
ìîãî òðåóãîëüíèêà z t� � 0 , òðåóãîëüíèêîâ â ëåâîé ÷åñòè îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâ-
êè z t� �1 0, z t l� �2 , z t l� � �3 è çíà÷åíèåì i �1;
— êîíñòðóêòîð ôîðìèðóåò äâå ôîðìû îäíîâðåìåííî: îáúåìíóþ (ñ ôèãóðà-
ìè íà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ) f i , ïðåäíàçíà÷åííóþ äëÿ äàëüíåéøåãî ôîðìè-
ðîâàíèÿ ôðàêòàëà, è ïëîñêóþ f i , â êîòîðîé âñå
ïëîñêîñòè f i ñîâìåùåíû ñ ïëîñêîñòüþ z � 0 îïå-
ðàöèåé � ( , )f fi i .
Ðåàëèçàöèÿ ñåíòåíöèàëüíûõ ôîðì f i êîí-
ñòðóêòîðà C7 ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 15.
Îòìåòèì, ÷òî ìíîãîñëîéíûå èçîáðàæåíèÿ
ïðèìåíÿþòñÿ âî ìíîãèõ ãðàôè÷åñêèõ ðåäàêòîðàõ,
òàêèõ êàê Corel Draw, Photoshop, AutoCAD è äð.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 29
Ðèñ. 13. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )6
Ðèñ. 14. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâêè s10
êîíñòðóêòîðà C7
Ðèñ. 15. Ñåíòåíöèàëüíûå ôîðìû fi êîíñòðóêòîðà C7
ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ Ñ ÈÇÌÅÍßÅÌÎÉ
ÄÐÎÁÍÎÉ ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜÞ
 ðàññìîòðåííûõ âûøå êîíñòðóêòîðàõ ðåàëèçàöèè ôðàêòàëîâ èìåþò ïîñòîÿííóþ
äðîáíóþ ðàçìåðíîñòü. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû èçìåíåíèÿ äðîáíîé ðàçìåðíîñòè â
ïðîöåññå ïîðîæäåíèÿ ôðàêòàëîâ, â ÷àñòíîñòè êîíñòðóêòîðà C MGI GI8 15� � �, ,� � ,
ãäå � �15 12 13� SERP \ ,{ } { }� � �� , � i is g� � �, , i �12 13, . Îòíîøåíèÿ ïîäñòà-
íîâêè s12 , s13 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 16, à ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñåíòåíöèàëüíûå ôîðìû — íà ðèñ. 17.
Ñåíòåíöèàëüíàÿ ôîðìà f i ñîñòîèò èç ni
i� 3 òðå-
óãîëüíèêîâ ñ êîýôôèöèåíòîì ñæàòèÿ 1 2/ i (îòíîñè-
òåëüíî íà÷àëüíîãî) è m ni i
i�
�
�
1
13 êðóãîâ ñ òàêèì
æå êîýôôèöèåíòîì ñæàòèÿ. Ñ ïðèìåíåíèåì ìåòðèêè
Õàóñäîðôà [2] è òðåóãîëüíèêà â êà÷åñòâå «øàðà» [2]
ïîëó÷èì äðîáíóþ ðàçìåðíîñòü ôîðìû f i :
d
n m n m
i
i
i i
i
i i�
�
log( )
log
log( )
log
4
2
4
2
,
ãðàôèê çàâèñèìîñòè êîòîðîé ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 18.
Ñëåäóþùèé êîíñòðóêòîð C MGI GI9 16� � �, ,� � ,
ãäå � �16 14� SERP \ { } { }� �� , �14 14� � �s g, , ïðè-
ìå÷àòåëåí çíà÷åíèåì äðîáíîé ðàçìåðíîñòè f � .
Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s14 ïðåäñòàâëåíî íà
ðèñ. 19, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñåíòåíöèàëüíûå ôîðìû —
íà ðèñ. 20.
30 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ðèñ. 16. Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâ-
êè s12, s13 êîíñòðóêòîðà C8
Ðèñ. 17. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )8
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
0 50 100
Íîìåð ôîðìû f i
d i
Ðèñ. 18. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè äðîáíîé ðàçìåðíîñòè ôîðìû fi êîíñòðóêòîðà C8
Ðèñ. 19. Îòíîøåíèå ïîäñòàíîâ-
êè s14 êîíñòðóêòîðà C9
Ñåíòåíöèàëüíàÿ ôîðìà f1 ñîñòîèò èç îäíîãî òðåóãîëüíèêà (n1 1� ) ñ êîýô-
ôèöèåíòîì ñæàòèÿ 1 2/ è m1 2� òðåóãîëüíèêîâ ñ êîýôôèöèåíòîì ñæàòèÿ 1 4/ .
Ôîðìà f i ñîñòîèò ñîîòâåòñòâåííî èç n n mi i i� �� �1 12 (êîýôôèöèåíò 1 2/ i ) è èç
m ni i� �2 1 (êîýôôèöèåíò1 2 1/ i
) òðåóãîëüíèêîâ. Âû÷èñëÿÿ, êàê è ðàíåå, äðîáíóþ
ðàçìåðíîñòü ôîðìû f i , ïîëó÷àåì
d
n m n m
i
i
i i
i
i i�
�
log ( )
log
log ( )
( ) log
4
2
4
1 21
;
åå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 21.
Òàêèì îáðàçîì, äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü lim ( ( ))
N N
d f
��
�1 ñêîíñòðóèðîâàííîãî
ôðàêòàëà f � , ÿâëÿþùåãîñÿ êàíòîðîâîé ïûëüþ [2], òàêàÿ æå, êàê è ó ãëàäêîé êðèâîé.
Ýòî ñòàâèò ïîä ñîìíåíèå îáùåïðèíÿòóþ èíòåðïðåòàöèþ äðîáíîé ðàçìåðíîñòè êàê
ïðîìåæóòî÷íóþ ìåæäó öåëî÷èñëåííûìè ðàçìåðíîñòÿìè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
ÊÎÍÑÒÐÓÈÐÎÂÀÍÈÅ ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÓËÜÒÈÔÐÀÊÒÀËÎÂ
Îäèí èç ñïîñîáîâ ôîðìèðîâàíèÿ ìóëüòèôðàêòàëîâ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå
ïàðû êîíñòðóêòîðîâ: C MGI GI10 17� � �, ,� � , ãäå � �17 15� SERP \ { } { }� �� ,
�15 15� � �s g, , è C MGI GI11 18� � �, ,� � , ãäå � �18 16� SERP \ { } { }� �� ,
�16 16� � �s g, . Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s15 è s16 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 22 è
ðèñ. 23, à ñîîòâåòñòâóþùèå
ñåíòåíöèàëüíûå ôîðìû —
íà ðèñ. 24 è ðèñ. 25.
Îáîçíà÷èâ f i ñåíòåí-
öèàëüíûå ôîðìû êîíñòðóê-
òîðà CSERP ,
~
f i — êîíñòðóê-
òîðà C10 è �f i — êîíñòðóêòî-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 31
Ðèñ. 20. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )9
1
1.1
1.2
1.3
0 50 100
Íîìåð ôîðìû f i
d i
Ðèñ. 21. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè äðîáíîé ðàçìåðíîñòè ôîðìû fi êîíñòðóêòîðà C9
Ðèñ. 22. Îòíîøåíèå ïîäñòà-
íîâêè s15 êîíñòðóêòîðà C10
Ðèñ. 23. Îòíîøåíèå ïîäñòà-
íîâêè s16 êîíñòðóêòîðà C11
ðà C11; çàìåòèì, ÷òî
~ �f f fi i k
k
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé ñåíòåíöèàëüíûõ
ôîðì äâóõ ôðàêòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Åùå îäèí ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ ìóëüòèôðàêòàëîâ — âëîæåííîñòü ôðàêòà-
ëîâ îäèí â äðóãîé — ïðåäñòàâëåí êîíñòðóêòîðîì C MGI GI12 19� � �, ,� � , ãäå
� � �19 17 18 20� SERP \ ,{ } { }� � �� � , �17 17� � �s g, , �18 18 3� � �s g, , g lline3 2
3� � �� /( , ) .
ÈÎÊ � 20 äîïîëíÿåò íà÷àëüíûå óñëîâèÿ CSERP íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì äëèíû îò-
ðåçêà îòíîøåíèÿ s18 : lline � 0.4. Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s17 è s18 (â s18 öâåò ëè-
íèé — áåëûé) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 26, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñåíòåíöèàëüíûå ôîð-
ìû — íà ðèñ. 27. Íà ðèñ. 27 âíóòðè êàæäîãî òðåóãîëüíèêà Ñåðïèíñêîãî «ðàçâè-
âàåòñÿ» ñíåæèíêà Êîõà. Âîçíèêàåò ïðîáëåìà ïðàêòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ
äðîáíîé ðàçìåðíîñòè òàêèõ ôðàêòàëîâ.
ÔÐÀÊÒÀËÛ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÑÆÈÌÀÞÙÈÕ/ÐÀÇÆÈÌÀÞÙÈÕ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÉ
Îáùåïðèíÿòàÿ îñíîâà ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ — ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ.
ÊÏÌ ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ôðàêòàëû íà îñíîâå ðàñøèðÿþùèõñÿ îòîáðàæå-
íèé, à òàêæå è îäíîâðåìåííî ñæèìàþùèõ/ðàçæèìàþùèõ. Ðàññìîòðèì êîíñòðóê-
òîð C MGI GI13 21� � �, ,� � , ãäå � � �21 19 20 21 22 22� SERP \ , , ,{ } { }� � � � �� � ;
� 22 âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: �f i è ��f i — ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè êîí-
ñòðóêöèè, äîáàâëÿåìîé íà i-ì øàãå, � � ��f f0 0 — íà÷àëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ òðå-
óãîëüíèêà, êàê â CSERP ; i �1; h t� 21, l t� 21 — âûñîòà è øèðèíà
òðåóãîëüíèêîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ îòíîøåíèÿ s�� 21; h t� 22 , l t� 22 —
âûñîòà è øèðèíà òðåóãîëüíèêîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ îòíîøåíèÿ s�� 22 ;
�19 19 4� � �s g, , � 20 20 5� � �s g, , � 21 6� � �s g, , � 22 7� � �s g, ,
32 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ðèñ. 24. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )10
Ðèñ. 25. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )11
Ðèñ. 26. Îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè s17, s18
êîíñòðóêòîðà C12
Ðèñ. 27. Ìíîæåñòâî ôîðì F CG ( )12
s f f fi i i19 1 1� � � � � ��� � � , s f f fi i i20 1 1� � �� � �� ���� � � ,
g x f l y f l fi i i4 2 2 2
1 25 1 25� � � � � � � � �� � �( , ), /( , . ), / ( , . )ö ö , / ( , . )� 2
1 25h f i� � � ,
g y f l f x f li i i5 2 2 2
0 8 0 8� � � �� � ��
� ��� � �/ ( , . ), / ( , . ), ( ,ö ö ), / ( , . )� 2
0 8h f i� �� � ,
g l t h t6 21 210 0
2 5 2 5� � � � �� �/ ( , . ), / ( , . ) ,
g l t h t7 22 220 0
1 6 1 6� � � � �� �/ ( , . ), / ( , . ) .
Ñôîðìèðîâàííûé ôðàêòàë ïðèâåäåí íà ðèñ. 28.
Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ ñæàòèÿ â ïðàâèëàõ s�� 21 è s�� 22 ìîãóò áûòü êàê
áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû.
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíû âîçìîæíîñòè ôîðìèðîâàíèÿ íîâîãî, ðàíåå íå èç-
âåñòíîãî è íå èçó÷åííîãî êëàññà ôðàêòàëîâ. Ïðè ðàçæèìàþùåì îòîáðàæåíèè
ìîæíî ïîëó÷èòü ôèãóðó, çàïîëíÿþùóþ âñþ ïëîñêîñòü, íî ñ íóëåâîé ïëîùàäüþ.
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÍÎÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÔÐÀÊÒÀËÎÂ
Ïîëàãàåì ñïðàâåäëèâûì âûñêàçûâàíèå Â.À. Åðîâåíêî [11] îòíîñèòåëüíî ïîíÿ-
òèÿ ôðàêòàëà: «Õîòÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëà äî ñèõ ïîð íå ïðåäëîæå-
íî, òàêîå îïðåäåëåíèå ïðè íàëè÷èè ðàçðóøàþùèõ åãî êîíòðïðèìåðîâ îñîáî
íå íóæíî â ñèëó ñëîæèâøåéñÿ «èíòåðñóáúåêòèâíîé ïðàêòèêè» íàó÷íîãî ïðè-
ìåíåíèÿ ýòîé êàòåãîðèè ìàòåìàòèêè. Ýòî òîò ñëó÷àé, êîãäà íóæíî ïðîäîëæàòü
çíàêîìñòâî ñ íîâûì ïîíÿòèåì íå ñ óòî÷íåíèÿ åãî îïðåäåëåíèÿ, à ñ ðàññìîòðå-
íèÿ êîíêðåòèçèðóþùèõ åãî êîíòðïðèìåðîâ».
Ïðèâåäåííûå â äàííîé ñòàòüå ïðèìåðû äàþò îñíîâàíèÿ äëÿ ñòðîãîãî îïðå-
äåëåíèÿ ôðàêòàëîâ, îáúåäèíÿþùåãî âñå èçâåñòíûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ õàðàêòåð-
íûå îñîáåííîñòè ôðàêòàëîâ. Îáùåïðèíÿòûìè ÿâëÿþòñÿ ñâîéñòâà ñàìîïîäîáèÿ,
äðîáíîé ðàçìåðíîñòè è íåòðèâèàëüíàÿ ñòðóêòóðà âî âñåõ ìàñøòàáàõ. Áîëåå ïîë-
íûé ïåðå÷åíü ñâîéñòâ ñàìîïîäîáèÿ èçëîæåí â ðàáîòå [3]:
— äðîáíàÿ ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü;
— ôóíêöèè, íå äèôôåðåíöèðóåìûå íè â îäíîé òî÷êå;
— ñàìîïîäîáèå: ãåîìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî Q ñîäåðæèò êîïèè ñàìîãî ñåáÿ
âî ìíîãèõ ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáàõ;
— ìíîæåñòâî Q èìååò «òîíêóþ ñòðóêòóðó», êîòîðàÿ ñîäåðæèò äåòàëè â ïðî-
èçâîëüíûõ ìàëûõ ìàñøòàáàõ;
— ìíîæåñòâî Q èìååò ñëîæíóþ ñòðóêòóðó, íî åãî ôàêòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå
äîñòàòî÷íî ïðîñòîå;
— Q ïîëó÷àåòñÿ ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðîé;
— ãåîìåòðèþ ìíîæåñòâà Q ñëîæíî îïèñàòü â êëàññè÷åñêèõ òåðìèíàõ, è îíà
íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ëþáîãî ïðîñòîãî óðàâíåíèÿ;
— çàòðóäíèòåëüíî îïèñûâàòü ëîêàëüíóþ ãåîìåòðèþ ìíîæåñòâà Q — âáëèçè
êàæäîé åå òî÷êè íàõîäèòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî äðóãèõ òî÷åê è ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó íèìè ðàçëè÷íî;
— ðàçìåð Q íå îïðåäåëÿåòñÿ òàêèìè ìåðàìè, êàê äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 33
Ðèñ. 28. Ôðàêòàë K CG ( )13
Çàìåòèì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå ôðàêòàëû îïðåäåëÿþò êàê ìíîæåñòâà, îáëàäà-
þùèå ñâîéñòâîì ñàìîïîäîáèÿ, õîòÿ ñàìîïîäîáèåì îáëàäàþò òîëüêî ïðåäåëüíûå
ôèãóðû ( f � ).
Ïåðå÷èñëåííûå õàðàêòåðíûå ïðèçíàêè ïðîÿâëÿþòñÿ â òîì èëè èíîì ñî÷åòà-
íèè ïðè ðåêóðñèâíîì ïîðîæäåíèè êîíñòðóêòèâíîé ñèñòåìîé.
Îïðåäåëåíèå 1. Äåòåðìèíèðîâàííûì ãåîìåòðè÷åñêèì ôðàêòàëîì íàçûâàåò-
ñÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñôîðìèðîâàíà êîíñòðóêòèâíîé ñèñòåìîé ñ ðåêóð-
ñèâíûìè, ïîñòîÿííî ïðèìåíèìûìè ïðàâèëàìè.
Ýòî îïðåäåëåíèå ó÷èòûâàåò âñå ïðèçíàêè ôðàêòàëüíîñòè.
Ìîæíî âûäåëèòü ÷èñòûå ôðàêòàëû, åñëè âñå îòíîøåíèÿ ïîäñòàíîâêè — ðå-
êóðñèâíûå.
Îòìåòèì íåêîòîðóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü â îïðåäåëåíèè ïðåäôðàêòàëà êàê ñàìî-
ïîäîáíîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû, êàæäûé ôðàãìåíò êîòîðîé ïîâòîðÿåòñÿ â óïðî-
ùåííîì âèäå ïðè óìåíüøåíèè ìàñøòàáà êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Êîëè÷åñòâî óðîâíåé
ìàñøòàáà, íà êîòîðûõ íàáëþäàåòñÿ ïîäîáèå, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ïðåäôðàêòàëà.
Ïðè ïîðÿäêå, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ïðåäôðàêòàë ïåðåõîäèò âî ôðàêòàë.
Ïðîòèâîðå÷èâîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â êëàññè÷åñêèõ ðàáîòàõ îïðåäåëåíèå
äðîáíîé ðàçìåðíîñòè ïîêàçàíî íà ïðåäôðàêòàëàõ îäíîãî–äâóõ ïîðÿäêîâ (ò.å. óæå
íà÷àëüíûå ïðåäôðàêòàëû îáëàäàþò äðîáíîé ðàçìåðíîñòüþ — ïî îïðåäåëåíèþ
Ê. Ôàëüêîíà îíè ÿâëÿþòñÿ ôðàêòàëàìè); áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàáîò ïî èññëåäîâà-
íèþ ôðàêòàëîâ â ïðèðîäå è òåõíèêå íå èñïîëüçóþò ïðåäåëîâ, ôàêòè÷åñêè îïåðè-
ðóþò ñ ïðåäôðàêòàëàìè íèçêèõ ïîðÿäêîâ, íàçûâàÿ èõ ôðàêòàëàìè.
Ïîíÿòèå «ïðåäôðàêòàë» îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôðàêòàë êîíå÷íîãî ïîðÿäêà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëîæåííûé êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííûé ïîäõîä ïîðîæäåíèÿ ôðàêòàëîâ
ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì, ÷åì èçâåñòíûå àëãîðèòìè÷åñêèé, ôóíêöèîíàëüíî-àëãî-
ðèòìè÷åñêèé è ñæèìàþùèõ àôôèííûõ àâòîìàòîâ, L-ñèñòåì è äðóãèå ïîäõîäû.
Îí ïîçâîëÿåò ïîðîæäàòü áîëåå øèðîêèé êëàññ ôðàêòàëîâ.  ÷àñòíîñòè, ïîêà-
çàíû âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ áîëüøîé âàðèàòèâíîñòè àòðèáóòèêè öâåòà; íå-
îäíîðîäíûõ èñõîäíûõ ýëåìåíòîâ ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ; êîìáèíèðîâàíèÿ
ðàçëè÷íûõ (â òîì ÷èñëå êëàññè÷åñêèõ) ôðàêòàëîâ â ìóëüòèôðàêòàëàõ.
Êðîìå òîãî, âîçìîæíîñòè ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ ðàñøèðåíû ïóòåì óñòðà-
íåíèÿ îãðàíè÷åíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ äðóãèõ ïîäõîäîâ, à èìåííî:
— èñõîäíûå ýëåìåíòû ôîðìèðîâàíèÿ ôðàêòàëîâ äîëæíû áûòü ïðåäñòàâëå-
íû ñóùåñòâåííî íåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè;
— ïðèìåíÿþòñÿ òîëüêî ñæèìàþùèå îòîáðàæåíèÿ.
Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ïîçâîëèë óñòàíîâèòü íåñêîëüêî íåèçâåñòíûõ ðàíåå
ñâîéñòâ äðîáíîé ðàçìåðíîñòè:
— âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ åå â ïðîöåññå ïîðîæäåíèÿ ïðåäåëüíîãî ôðàêòàëà
è ñõîäèìîñòè, â ÷àñòíîñòè, ê åäèíèöå;
— íåñîâïàäåíèå äðîáíûõ ðàçìåðíîñòåé ïðåäåëà ôîðì â ïðîöåññå ïîðîæäå-
íèÿ è ïðåäåëüíîãî ôðàêòàëà lim ( ( )) ( lim ( ))
N
N
N
Nd f d f
�� ��
� .
Ïðèìåíåíèå ÊÏÌ ïîçâîëèëî äàòü ïðîñòîå îïðåäåëåíèå äåòåðìèíèðîâàííî-
ãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ôðàêòàëà, ó÷èòûâàþùåãî âñå õàðàêòåðèçóþùèå åãî ñâîéñòâà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìàíäåëüáðîò Á. Ôðàêòàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ ïðèðîäû. Ìîñêâà: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäî-
âàíèé, 2002. 656 ñ.
2. Êðîíîâåð Ð. Ôðàêòàë è õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ìîñêâà: Òåõíîñôåðà, 2006. 484 ñ.
34 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
3. Falconer K. Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, 1999.
288 p.
4. Áîæîêèí Ñ.Â., Ïàðøèí Ä.À. Ôðàêòàëû è ìóëüòèôðàêòàëû. Èæåâñê: ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàî-
òè÷åñêàÿ äèíàìèêà», 2001. 128 ñ.
5. Ìîðîçîâ À.Ä. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôðàêòàëîâ. Ìîñêâà; Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èñ-
ñëåäîâàíèé, 2002. 160 ñ.
6. Ðûñöîâ È.Ê. Àôôèííûå àâòîìàòû è êëàññè÷åñêèå ôðàêòàëû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
2018. Ò. 54, ¹1. Ñ. 13–23.
7. Lindenmayer A. Mathematical models for cellular interaction in development. J. Theoret. Biology. 1968.
Vol. 18, Iss. 3. P. 280–315.
8. Øèíêàðåíêî Â.È., Èëüìàí Â.Ì. Êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííûå ñòðóêòóðû è èõ ãðàììàòè÷åñêèå
èíòåðïðåòàöèè. I. Îáîáùåííàÿ ôîðìàëüíàÿ êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííàÿ ñòðóêòóðà. Êèáåðíåòè-
êà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014. Ò. 50, ¹ 5. Ñ. 8–16.
9. Øèíêàðåíêî Â.È., Èëüìàí Â.Ì. Êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêöèîííûå ñòðóêòóðû è èõ ãðàììàòè÷åñ-
êèå èíòåðïðåòàöèè. II. Óòî÷íÿþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014.
Ò. 50, ¹ 6. Ñ. 15–28.
10. Øèíêàðåíêî Â.È., Èëüìàí Â.Ì., Ñêàëîçóá Â.Â. Ñòðóêòóðíûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ â çàäà÷àõ
ïðèêëàäíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. I. Ôîðìàëüíûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñòðóêòóðû. Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2009. ¹ 3. Ñ. 3–14.
11. Åðîâåíêî Â.À. Êîíöåïöèÿ ôðàêòàëà Ìàíäåëüáðîòà ñ ìàòåìàòè÷åñêîé è ôèëîñîôñêîé òî÷åê
çðåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèå ñòðóêòóðû è ìîäåëèðîâàíèå. 2015. ¹ 4 (36). Ñ. 29–39.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 13.03.2018
Â.². Øèíêàðåíêî
ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÍÎ-ÏÐÎÄÓÊÖ²ÉÍÅ ÇÎÁÐÀÆÅÍÍß ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÍÈÕ ÔÐÀÊÒÀ˲Â
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî êîíñòðóêòèâíî-ïðîäóêö³éíèé ï³äõ³ä ïîðîäæåííÿ
ôðàêòàë³â, ÿêèé º á³ëüø çàãàëüíèì, í³æ ³íø³ â³äîì³ ï³äõîäè. Ïîêàçàíî ìîæ-
ëèâîñò³ çàñòîñóâàííÿ âåëèêî¿ âàð³àòèâíîñò³ àòðèáóòèêè ³ âèõ³äíèõ åëåìåíò³â
ôîðìóâàííÿ ôðàêòàë³â, à òàêîæ êîìá³íóâàííÿ ôðàêòàë³â ó ìóëüòèôðàêòàëàõ.
Ìîæëèâîñò³ ôîðìóâàííÿ ôðàêòàë³â ðîçøèðåíî øëÿõîì óñóíåííÿ íåîáõ³äíèõ
äëÿ ³íøèõ ï³äõîä³â îáìåæåíü. Çàïðîïîíîâàíèé ï³äõ³ä äîçâîëèâ âñòàíîâèòè
ê³ëüêà íåâ³äîìèõ ðàí³øå âëàñòèâîñòåé äðîáîâî¿ ðîçì³ðíîñò³, ùî ïîëÿãàþòü
ó ìîæëèâîñò³ ¿¿ çì³íè â ïðîöåñ³ ïîðîäæåííÿ ôðàêòàëó ³ ðîçá³æíîñò³ äðîáî-
âèõ ðîçì³ðíîñòåé ãðàíèö³ ôîðì ó ïðîöåñ³ ïîðîäæåííÿ ³ ãðàíè÷íîãî ôðàê-
òàëó. Íàâåäåíî ïðîñòå âèçíà÷åííÿ äåòåðì³íîâàíîãî ãåîìåòðè÷íîãî ôðàê-
òàëó, ÿêå âðàõîâóº óñ³ éîãî õàðàêòåðèñòèêè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êîíñòðóêòîð, ôðàêòàë, ìóëüòèôðàêòàë, äðîáîâà ðîçì³ðí³ñòü,
òðèêóòíèê Ñåðï³íñüêîãî, ôðàêòàëüíà ãåîìåòð³ÿ.
V.I. Shynkarenko
CONSTRUCTIVE-SYNTHESIZING REPRESENTATION OF GEOMETRIC FRACTALS
Abstract. A constructive-production approach to the generation of fractals is
proposed, which is more general than other known approaches. The possibilities
of application are shown: great variability of the attributes and initial elements
of the formation of fractals; combination of fractals in multifractals. The
possibilities of fractal generation are extended by eliminating the constraints
necessary for other approaches. The proposed approach allowed us to establish
several properties of fractional dimension that were previously unknown, which
allow its change in the process of fractal generation and mismatch of fractional
dimensions of the form limit in the process of generation and the limiting
fractal. A simple definition of a deterministic geometric fractal that takes into
account all the characteristic properties is given.
Keywords: constructor, fractal, multifractal, fractional dimension, Sierpinski
triangle, fractal geometry.
Øèíêàðåíêî Âèêòîð Èâàíîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé Äíåïðîïåòðîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà èìåíè àêàäåìèêà Â. Ëàçàðÿíà, Äíåïð, e-mail: Shinkarenko_vi@ua.fm.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55 ¹ 2 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180845 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:20:51Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шинкаренко, В.И. 2021-10-22T14:43:18Z 2021-10-22T14:43:18Z 2019 Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов / В.И. Шинкаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 22-35. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180845 510+004.94 Предложен конструктивно-продукционный подход порождения фракталов, который является более общим, чем другие известные подходы. Показаны возможности применения большой вариативности атрибутики и исходных элементов формирования фракталов, а также комбинирования фракталов в мультифракталах. Возможности формирования фракталов расширены путем устранения необходимых при других подходах ограничений. Предложенный подход позволил установить несколько неизвестных ранее свойств дробной размерности, которые заключаются в возможности ее изменения в процессе порождения фрактала и несовпадения дробных размерностей предела форм в процессе порождения и предельного фрактала. Дано простое определение детерминированного геометрического фрактала, учитывающего все характеризующие его свойства. Запропоновано конструктивно-продукційний підхід породження фракталів, який є більш загальним, ніж інші відомі підходи. Показано можливості застосування великої варіативності атрибутики і вихідних елементів формування фракталів, а також комбінування фракталів у мультифракталах. Можливості формування фракталів розширено шляхом усунення необхідних для інших підходів обмежень. Запропонований підхід дозволив встановити кілька невідомих раніше властивостей дробової розмірності, що полягають у можливості її зміни в процесі породження фракталу і розбіжності дробових розмірностей границі форм у процесі породження і граничного фракталу. Наведено просте визначення детермінованого геометричного фракталу, яке враховує усі його характеристики. A constructive-production approach to the generation of fractals is proposed, which is more general than other known approaches. The possibilities of application are shown: great variability of the attributes and initial elements of the formation of fractals; combination of fractals in multifractals. The possibilities of fractal generation are extended by eliminating the constraints necessary for other approaches. The proposed approach allowed us to establish several properties of fractional dimension that were previously unknown, which allow its change in the process of fractal generation and mismatch of fractional dimensions of the form limit in the process of generation and the limiting fractal. A simple definition of a deterministic geometric fractal that takes into account all the characteristic properties is given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов Конструктивно-продукційне зображення геометричних фракталів Constructive-synthesizing representation of geometric fractals Article published earlier |
| spellingShingle | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов Шинкаренко, В.И. Кібернетика |
| title | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| title_alt | Конструктивно-продукційне зображення геометричних фракталів Constructive-synthesizing representation of geometric fractals |
| title_full | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| title_fullStr | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| title_full_unstemmed | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| title_short | Конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| title_sort | конструктивно-продукционное представление геометрических фракталов |
| topic | Кібернетика |
| topic_facet | Кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180845 |
| work_keys_str_mv | AT šinkarenkovi konstruktivnoprodukcionnoepredstavleniegeometričeskihfraktalov AT šinkarenkovi konstruktivnoprodukcíinezobražennâgeometričnihfraktalív AT šinkarenkovi constructivesynthesizingrepresentationofgeometricfractals |