Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции
Рассмотрен подход к доказательству теорем с нечеткой и не вполне истинной аргументаяцией. В качестве правила доказательного рассуждения используется композиционное правило вывода Л. Заде, а его процедурная реализация осуществляется механизмом опровержения. В качестве такого механизма предложена стру...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180847 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции / Ю.Я. Самохвалов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 44-58. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180847 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самохвалов, Ю.Я. 2021-10-22T14:49:02Z 2021-10-22T14:49:02Z 2019 Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции / Ю.Я. Самохвалов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 44-58. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180847 681.61 Рассмотрен подход к доказательству теорем с нечеткой и не вполне истинной аргументаяцией. В качестве правила доказательного рассуждения используется композиционное правило вывода Л. Заде, а его процедурная реализация осуществляется механизмом опровержения. В качестве такого механизма предложена структурная резолюция (S -резолюция), которая является обобщением принципа резолюций на нечеткие утверждения. S -резолюция основана на семантических индексах литер и их сходстве. Семантические индексы являются существенным моментом S -резолюции. Они содержат информацию, которая используется в качестве управляющей в процессе вывода. А сходство заключается в поиске литер для получения S -резольвенты. Комплексирование композиционного правила вывода Л. Заде и S -резолюции позволяет, с одной стороны, снять проблему корректности резольвент в нечеткой логике, а с другой — обеспечить регулярность процесса доказательства как в двузначной, так и в нечеткой логике. Ключевые слова: автоматическое доказательство теорем, нечеткая теорема, принцип резолюций, нечеткая логика, приближенные рассуждения, обобщенное правило modus ponens, композиционное правило, нечеткие предикаты, нечеткие и лингвистические переменные. Розглянуто підхід до доведення теорем у нечіткій логіці і не цілком істинною аргументацією. Як правило доказового міркування використовують композиційне правило виведення Л. Заде, а його процедурна реалізація здійснюється механізмом спростування. Структурна резолюція (S -резолюція), яка є узагальненням принципу резолюцій на нечіткі твердження, запропонована як такий механізм. S -резолюція базується на семантичних індексах літер і їхній схожості. Семантичні індекси є істотним моментом S -резолюції. Вони містять інформацію, яка використовується як керівна у процесі виводу, а схожість полягає у пошуку літер для отримання S -резольвенти. Комплексування композиційного правила виводу Л. Заде і S -резолюції дозволяє, з одного боку, зняти проблему коректності резольвент в нечіткій логіці, а з іншого — забезпечити регулярність процесу доведення як в двозначній, так і в нечіткій логіці. The author considers the approach to proof of theorems with fuzzy and not quite true argumentation. In this approach, the Zadeh composition rule of correctness is used as a rule of evidence, and its procedural implementation is carried out by refutation mechanism. As such a mechanism, a structural resolution (S -resolution) is proposed, which is a generalization of the principle of resolutions to fuzzy statements. S -resolution is based on semantic indices of letters and their similarity. Semantic indices are a key point of S-resolution. They contain information that is used as a control for the derivation process. And similarity implies finding letters to get S-resolvent. Combining the Zadeh compositional derivation rule and S-resolution allows, on the one hand, solving the problem of correctness of resolvents in fuzzy logic, and on the other hand, ensuring the regularity of the proof process in both two-valued and fuzzy logic. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции Доведення теорем у нечіткій логіці на основі структурної резолюції Proof of theorems in fuzzy logic on the basis of structural resolution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| spellingShingle |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции Самохвалов, Ю.Я. Кібернетика |
| title_short |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| title_full |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| title_fullStr |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| title_full_unstemmed |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| title_sort |
доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции |
| author |
Самохвалов, Ю.Я. |
| author_facet |
Самохвалов, Ю.Я. |
| topic |
Кібернетика |
| topic_facet |
Кібернетика |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Доведення теорем у нечіткій логіці на основі структурної резолюції Proof of theorems in fuzzy logic on the basis of structural resolution |
| description |
Рассмотрен подход к доказательству теорем с нечеткой и не вполне истинной аргументаяцией. В качестве правила доказательного рассуждения используется композиционное правило вывода Л. Заде, а его процедурная реализация осуществляется механизмом опровержения. В качестве такого механизма предложена структурная резолюция (S -резолюция), которая является обобщением принципа резолюций на нечеткие утверждения. S -резолюция основана на семантических индексах литер и их сходстве. Семантические индексы являются существенным моментом S -резолюции. Они содержат информацию, которая используется в качестве управляющей в процессе вывода. А сходство заключается в поиске литер для получения S -резольвенты. Комплексирование композиционного правила вывода Л. Заде и S -резолюции позволяет, с одной стороны, снять проблему корректности резольвент в нечеткой логике, а с другой — обеспечить регулярность процесса доказательства как в двузначной, так и в нечеткой логике. Ключевые слова: автоматическое доказательство теорем, нечеткая теорема, принцип резолюций, нечеткая логика, приближенные рассуждения, обобщенное правило modus ponens, композиционное правило, нечеткие предикаты, нечеткие и лингвистические переменные.
Розглянуто підхід до доведення теорем у нечіткій логіці і не цілком істинною аргументацією. Як правило доказового міркування використовують композиційне правило виведення Л. Заде, а його процедурна реалізація здійснюється механізмом спростування. Структурна резолюція (S -резолюція), яка є узагальненням принципу резолюцій на нечіткі твердження, запропонована як такий механізм. S -резолюція базується на семантичних індексах літер і їхній схожості. Семантичні індекси є істотним моментом S -резолюції. Вони містять інформацію, яка використовується як керівна у процесі виводу, а схожість полягає у пошуку літер для отримання S -резольвенти. Комплексування композиційного правила виводу Л. Заде і S -резолюції дозволяє, з одного боку, зняти проблему коректності резольвент в нечіткій логіці, а з іншого — забезпечити регулярність процесу доведення як в двозначній, так і в нечіткій логіці.
The author considers the approach to proof of theorems with fuzzy and not quite true argumentation. In this approach, the Zadeh composition rule of correctness is used as a rule of evidence, and its procedural implementation is carried out by refutation mechanism. As such a mechanism, a structural resolution (S -resolution) is proposed, which is a generalization of the principle of resolutions to fuzzy statements. S -resolution is based on semantic indices of letters and their similarity. Semantic indices are a key point of S-resolution. They contain information that is used as a control for the derivation process. And similarity implies finding letters to get S-resolvent. Combining the Zadeh compositional derivation rule and S-resolution allows, on the one hand, solving the problem of correctness of resolvents in fuzzy logic, and on the other hand, ensuring the regularity of the proof process in both two-valued and fuzzy logic.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180847 |
| citation_txt |
Доказательство теорем в нечеткой логике на основе структурной резолюции / Ю.Я. Самохвалов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 44-58. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT samohvalovûâ dokazatelʹstvoteoremvnečetkoilogikenaosnovestrukturnoirezolûcii AT samohvalovûâ dovedennâteoremunečítkíilogícínaosnovístrukturnoírezolûcíí AT samohvalovûâ proofoftheoremsinfuzzylogiconthebasisofstructuralresolution |
| first_indexed |
2025-11-25T21:29:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:29:36Z |
| _version_ |
1850551672170872832 |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.61
Þ.ß. ÑÀÌÎÕÂÀËÎÂ
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌ Â ÍÅ×ÅÒÊÎÉ ËÎÃÈÊÅ
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÍÎÉ ÐÅÇÎËÞÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåí ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì ñ íå÷åòêîé è íå
âïîëíå èñòèííîé àðãóìåíòàöèåé.  êà÷åñòâå ïðàâèëà äîêàçàòåëüíîãî ðàñ-
ñóæäåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ êîìïîçèöèîííîå ïðàâèëî âûâîäà Ë. Çàäå, à åãî
ïðîöåäóðíàÿ ðåàëèçàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ìåõàíèçìîì îïðîâåðæåíèÿ. Â êà-
÷åñòâå òàêîãî ìåõàíèçìà ïðåäëîæåíà ñòðóêòóðíàÿ ðåçîëþöèÿ (S-ðåçîëþ-
öèÿ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïðèíöèïà ðåçîëþöèé íà íå÷åòêèå
óòâåðæäåíèÿ. S-ðåçîëþöèÿ îñíîâàíà íà ñåìàíòè÷åñêèõ èíäåêñàõ ëèòåð è
èõ ñõîäñòâå. Ñåìàíòè÷åñêèå èíäåêñû ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûì ìîìåíòîì
S-ðåçîëþöèè. Îíè ñîäåðæàò èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå
óïðàâëÿþùåé â ïðîöåññå âûâîäà. À ñõîäñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â ïîèñêå ëèòåð äëÿ
ïîëó÷åíèÿ S-ðåçîëüâåíòû. Êîìïëåêñèðîâàíèå êîìïîçèöèîííîãî ïðàâèëà âû-
âîäà Ë. Çàäå è S-ðåçîëþöèè ïîçâîëÿåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, ñíÿòü ïðîáëåìó
êîððåêòíîñòè ðåçîëüâåíò â íå÷åòêîé ëîãèêå, à ñ äðóãîé — îáåñïå÷èòü ðåãó-
ëÿðíîñòü ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà êàê â äâóçíà÷íîé, òàê è â íå÷åòêîé ëîãèêå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì, íå÷åòêàÿ òåîðåìà,
ïðèíöèï ðåçîëþöèé, íå÷åòêàÿ ëîãèêà, ïðèáëèæåííûå ðàññóæäåíèÿ, îáîá-
ùåííîå ïðàâèëî modus ponens, êîìïîçèöèîííîå ïðàâèëî, íå÷åòêèå ïðåäèêà-
òû, íå÷åòêèå è ëèíãâèñòè÷åñêèå ïåðåìåííûå.
ÀÍÀËÈÇ ÏÐÎÁËÅÌÛ È ÏÓÒÈ ÐÅØÅÍÈß
Óñòàíîâëåíèå îòíîøåíèé ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äîêàçà-
òåëüñòâî òåîðåì ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ çàäà÷ ëîãèêè è ïðåäñòàâëÿåò íå òîëü-
êî òåîðåòè÷åñêèé, íî è ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ äëÿ ìíîãèõ íàó÷íûõ è òåõíè÷åñêèõ
îáëàñòåé. Ðàçíîîáðàçíûå ïðîáëåìû ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü, ïðåäñòàâëÿÿ îïè-
ñàíèå çàäà÷è è îòíîñÿùóþñÿ ê íåé èíôîðìàöèþ â âèäå ëîãè÷åñêèõ àêñèîì è
ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå ñëó÷àè çàäà÷è êàê òåîðåìû, êîòîðûå íóæíî äîêàçàòü.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ðåçîëþöèîííûé ïðèíöèï ââèäó âûñîêîé ýôôåêòèâíîñòè
ìàøèííîé ðåàëèçàöèè ñîñòàâëÿåò îñíîâó àâòîìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì â
äâóçíà÷íîé ëîãèêå. Îäíàêî äâóçíà÷íàÿ ëîãèêà íåïðèãîäíà äëÿ îáðàáîòêè íå÷åò-
êîé àðãóìåíòàöèè è âûâîäîâ, õàðàêòåðíûõ äëÿ ïðèáëèæåííûõ ðàññóæäåíèé. Â íå-
÷åòêèõ óñëîâèÿõ èñïîëüçîâàíèå ðåçîëþöèîííîãî ïðèíöèïà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òå-
îðåì äîëæíî áàçèðîâàòüñÿ íå íà äâóçíà÷íîé, à íà íå÷åòêîé ëîãèêå. Âìåñòå ñ òåì â
íå÷åòêîé ëîãèêå âûâîä ðåçîëþöèîííîãî òèïà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ñ ñó-
ùåñòâåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè, òàê êàê îí íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ïîëåçíûì ðåçóëüòà-
òàì. Ýòî îáîñíîâàíî òåì, ÷òî â íå÷åòêîé ëîãèêå ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå D èç ïîñûë-
êè C çíà÷èìî òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ èíòåðïðåòàöèé âûïîëíåíî óñëîâèå
T C T D( ) ( )� , (1)
ãäå T C( ) è T D( ) — çíà÷åíèÿ èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèé C è D ñîîòâåòñòâåí-
íî. Â [1] ïîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíèòåëüíî ê ìåòîäó ðåçîëþöèé ýòî óñëîâèå âû-
ïîëíÿåòñÿ, åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
T C C T R C C( , ) ( ( , ))1 2 1 2�
èëè
T L L T R C C( ) ( ( , ))�� � 1 2 , (2)
ãäå R C C( , )1 2 — ðåçîëüâåíòà ïîñûëîê C1 è C2 , à L è �L — îòðåçàåìûå ëèòåðû
â ýòèõ ïîñûëêàõ. Òàêèì îáðàçîì, â íå÷åòêîé ëîãèêå ðåçîëüâåíòó ìîæíî ïðèíÿòü â êà-
÷åñòâå âûâîäà ëèøü òîãäà, êîãäà îòðåçàåìûå ëèòåðû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (2).
44 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
© Þ.ß. Ñàìîõâàëîâ, 2019
Ïðåäëàãàëîñü íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê îáîáùåíèþ ïðèíöèïà ðåçîëþöèé íà ñëó-
÷àé íå÷åòêîé ëîãèêè [2–7]. Òàê, â [2] ïðåäëîæåí ïðèíöèï íå÷åòêîé ðåçîëþöèè äëÿ
ñëó÷àÿ íåîïðåäåëåííûõ ïðåäëîæåíèé.  [3] ââåäåíà íå÷åòêàÿ ãèïåððåçîëþöèÿ íà
îñíîâå àíòîíèìîâ è äîêàçàíà åå ïîëíîòà. Íå÷åòêàÿ ðåçîëþöèÿ íà îñíîâå ïîíÿòèÿ
ñõîäñòâà ñ ðàñøèðåííûì àëãîðèòìîì óíèôèêàöèè ðàññìîòðåíà â ðàáîòå [4].
 ñòàòüå [5] ïîëó÷èë îáîáùåíèå ïðèíöèï ðåçîëþöèé, êîòîðûé ïðèìåíèì êàê äëÿ
÷åòêî îïðåäåëåííûõ, òàê è äëÿ íåîïðåäåëåííûõ ïðåäëîæåíèé.  ðàáîòàõ [6, 7] ðàñ-
ñìîòðåíû ìåòîä è ñòðàòåãèè äîêàçàòåëüñòâà â íå÷åòêîé ëîãèêå ïðåäèêàòîâ íà
îñíîâå îïðîâåðæåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì îáùåãî (non-clausal) ïðàâèëà ðåçîëþöèé.
 öåëîì ïðåäëîæåííûå â ýòèõ ðàáîòàõ ïîäõîäû íå íàøëè øèðîêîãî ïðèìå-
íåíèÿ ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷, òàê êàê ðàçëè÷íûå ñåìàíòè÷åñêèå ïðåäïî-
ëîæåíèÿ â òàêèõ ïîäõîäàõ îãðàíè÷èâàþò ìåõàíèçìû âûâîäà è äåëàþò èõ
íåäîñòàòî÷íî ãèáêèìè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ, ó÷èòûâàÿ ýôôåêòèâíîå ïðèìåíåíèå ñèñòåì íå÷åòêîãî
âûâîäà ïðè ðåøåíèè øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ óïðàâëåíèÿ [8], ïðåäïðèíèìàþòñÿ
ïîïûòêè èñïîëüçîâàòü ìåòîäîëîãèþ ïðèáëèæåííûõ ðàññóæäåíèé è ïðè íå÷åò-
êîì âûâîäå ðåçîëþöèîííîãî òèïà [9–12]. Îñíîâíàÿ èäåÿ ýòèõ èññëåäîâàíèé çà-
êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåêîòîðîå îáîáùåíèå ïðèíöèïà ðåçîëþöèé
ñ ó÷åòîì ïîëîæåíèé è ïîäõîäîâ ê ðåàëèçàöèè íå÷åòêèõ ðàññóæäåíèé. Òàê, â ðà-
áîòå [12] ðàññìîòðåí ïðèíöèï ðåçîëþöèé äëÿ íå÷åòêèõ ôîðìóë, îñíîâàííûé íà
ïîäîáèè è îáðàòíîì ïðèáëèæåííîì ðàññóæäåíèè. Ïîäîáèå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñò-
âåííûì ìîìåíòîì ðåçîëþöèè äâóõ äèçúþíêòîâ è çàêëþ÷àåòñÿ â ïîèñêå â ýòèõ
äèçúþíêòàõ ïî÷òè êîìïëåìåíòàðíûõ ëèòåð. À ïðèìåíåíèå ïðèáëèæåííûõ ðàñ-
ñóæäåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåîáðàçîâàíèè íå÷åòêèõ äèçúþíêöèé â íå÷åòêèå èì-
ïëèêàöèè (íå÷åòêèå ïðàâèëà), êîòîðûå çàòåì âûïîëíÿþòñÿ ìåòîäîì îáðàòíîãî
ïðèáëèæåííîãî ðàññóæäåíèÿ. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íå÷åòêèå ðàññóæ-
äåíèÿ âïîëíå èñòèííû. Òàêîå îáîáùåíèå ïðèíöèïà ðåçîëþöèé ÿâëÿåòñÿ åñòåñò-
âåííûì, îäíàêî ïðîáëåìà îáåñïå÷åíèÿ çíà÷èìîñòè ðåçîëþöèîííûõ âûâîäîâ â
ñìûñëå (1) îñòàåòñÿ îòêðûòîé è òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ìåõà-
íèçìîâ ñ öåëüþ ïîëó÷èòü êîððåêòíûå çàêëþ÷åíèÿ.
Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ðàññìîòðåííûõ â ðàáîòå [13] èäåé è ìå-
õàíèçìîâ èñïîëüçîâàíèÿ ïðèíöèïà ðåçîëþöèé ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì ñ íå-
îïðåäåëåííîé àðãóìåíòàöèåé è ïðåäëàãàåò àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä ê äîêàçà-
òåëüñòâó â íå÷åòêîé ëîãèêå. Åãî îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè êîìïîçè-
öèîííîãî ïðàâèëà íå÷åòêîãî âûâîäà Ë. Çàäå (äàëåå — êîìïîçèöèîííîå ïðàâèëî)
â êà÷åñòâå ïðàâèëà äîêàçàòåëüíîãî ðàññóæäåíèÿ, à ïðèíöèïà ðåçîëþöèé — êàê ìå-
õàíèçìà åãî ðåàëèçàöèè. Òàêîé ñèíåðãèçì ïîçâîëÿåò ñíÿòü ïðîáëåìó çíà÷èìîñòè
ðåçîëüâåíò â ñìûñëå (1) è îáåñïå÷èòü ðåãóëÿðíîñòü ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà.
ËÎÃÈÊÀ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÂÛÂÎÄÀ
Èñõîäÿ èç òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ, êàê ðàçäåëà ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, óñòàíîâëåíèå
èñòèííîñòè òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî çàâèñèò îò èñïîëüçóåìûõ ïðàâèë ëîãè÷åñêîãî
âûâîäà. Òàêèå ïðàâèëà äîëæíû îáåñïå÷èâàòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííóþ íàïðàâëåí-
íîñòü ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà è ó÷èòûâàòü ôîðìó ïðåäñòàâëåíèÿ òåîðåìû.
Òåîðèÿ äîêàçàòåëüñòâ ðàññìàòðèâàåò òåîðåìû êàê óòâåðæäåíèÿ ôîðìàëüíîãî
ÿçûêà. Ïóñòü F1, F2 , …, Fn , G – ôîðìóëû òåîðèè � . Òîãäà òåîðåìó ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå F1, F2 , …, F Gn |��
�
, à åå äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó
òîãî, ÷òî ôîðìóëà G âûâîäèìà èç ôîðìóë F1, F2 , …, Fn â òåîðèè �, ÷òî ðàâíî-
ñèëüíî äîêàçàòåëüñòâó òîãî, ÷òî ôîðìóëà G ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ìíî-
æåñòâà ôîðìóë F1, F2 , …, Fn . Ïîýòîìó òåîðåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå
(F1 , F2 , ..., F Gn )� (3)
è ñôîðìóëèðîâàòü åå ïðàâèëîì ïðîäóêöèè: «Åñëè F1, F2 , …, Fn èñòèííû Òî
èñòèííà è G». Çäåñü ôîðìóëû F1, F2 , …, Fn ÿâëÿþòñÿ àêñèîìàìè, à G — çà-
êëþ÷åíèåì òåîðåìû.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 45
Åñëè ôîðìàëüíîé òåîðèåé � ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêàÿ ëîãèêà, òî ôîðìóëû F1, F2 ,...
…, Fn , G (èëè èõ ÷àñòü) â (3) ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêèìè [14, 15]. Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî
Ë. Çàäå çíà÷åíèå èñòèííîñòè çàêëþ÷åíèÿ G åñòü èñòèííûì â ïðèáëèæåííîì ñìûñëå
è åãî ìîæíî âûâåñòè èç ñèñòåìû àêñèîì, èñïîëüçóÿ ïðèáëèæåííûå ðàññóæäåíèÿ.
Ïîä ïðèáëèæåííûìè ðàññóæäåíèÿìè ïîíèìàåòñÿ ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ èç íå-
÷åòêèõ ïîñûëîê íåêîòîðûõ ñëåäñòâèé, âîçìîæíî òàêæå íå÷åòêèõ. Ïðèáëèæåííûå
ðàññóæäåíèÿ ýêñïëèöèðóþòñÿ ïðàâèëàìè íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé, êîòîðûå íå òîëü-
êî ïîçâîëÿþò àäåêâàòíî ïðåäñòàâèòü ïðàêòè÷åñêèå çíàíèÿ ýêñïåðòîâ â òîé èëè
èíîé ïðîáëåìíîé îáëàñòè, íî, ÷òî î÷åíü âàæíî, ïðîäóêöèîííîå ïðåäñòàâëåíèå
çíàíèé ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷åëîâåêà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì îïèñàíèåì ëîãè÷åñêèõ âûâî-
äîâ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷. Êðîìå ýòîãî, ïðàâèëà íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé
ïîëíîñòüþ êîððåñïîíäèðóþòñÿ ñ ïðåäñòàâëåíèåì òåîðåìû â ôîðìå (3).
Êîíöåïòóàëüíîé îñíîâîé ôîðìàëèçàöèè ïðàâèë íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé ÿâëÿåò-
ñÿ îáîáùåííûé modus ponens
A A B
B
*, �
, ãäå A * , A, B — íå÷åòêèå âûñêàçûâà-
íèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè. Ýòî ïðàâèëî óòâåðæäàåò ñëå-
äóþùåå: åñëè A B� èñòèííî è èìååò ìåñòî A * , ãäå A * — â íåêîòîðîì ñìûñëå
ïðèáëèæåíèå A , òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî B ïðèáëèæåííî èñòèííî.
Ìåòîäîëîãè÷åñêèì áàçèñîì òàêîé ôîðìàëèçàöèè ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèîííîå
ïðàâèëî
B A A B� �* ( )� ,
ãäå çíàê � — îïåðàöèÿ ìàêñèìèííîé ñâåðòêè A * è A B� .
Ïóñòü U — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ íå÷åòêèõ âûñêàçûâà-
íèé, à T U: [ , ]� 0 1 — îòîáðàæåíèå èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèé èç U â èíòåð-
âàë [0, 1]. Îáîçíà÷èì T C( ) çíà÷åíèå èñòèííîñòè íå÷åòêîãî âûñêàçûâàíèÿ C U .
Òîãäà â îáùåì ñëó÷àå èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ B îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
T B( ) maxmin� (T(A Ai| * ), (T A B( � )), i n�1, , (4)
ãäå T(A Ai| * ) — ñòåïåíü èñòèííîñòè ïîñûëêè A ïðè íàëè÷èè âûñêàçûâàíèÿ Ai
* .
Ïðè ýòîì åñëè íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå A ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì, òî åãî èñòèííîñòü
T A( ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî êëàññè÷åñêèì ôîðìóëàì min-êîíúþíêöèè è màõ-äèçúþíêöèè.
Êðîìå òîãî, âû÷èñëåíèå èñòèííîñòè T A B( )� â (4) ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì
íå÷åòêîé èìïëèêàöèè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, òàê êàê äëÿ ýòîãî íåîáõîäè-
ìî çíà÷åíèå T B( ) . Ïîýòîìó âìåñòî êëàññè÷åñêîé èìïëèêàöèè A B� èñïîëüçóåì
èìïëèêàöèþ âèäà A B� ( )� , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé â ñèñòåìàõ íå÷åòêîãî
âûâîäà. Çäåñü � — êîýôôèöèåíò óâåðåííîñòè (âåñîâîé êîýôôèöèåíò), âûðàæàþ-
ùèé îöåíêó ñòåïåíè èñòèííîñòè èëè îòíîñèòåëüíûé âåñ íå÷åòêîé ïðîäóêöèè.
Ýòîò êîýôôèöèåíò ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì T A B( )� . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ëîãè÷åñêîå
ñëåäñòâèå B íå÷åòêîãî ïðàâèëà modus ponens âñåãäà çíà÷èìî â ñìûñëå (1).
Äàëåå, ïîíÿòèå èñòèííîñòè â íå÷åòêîé ëîãèêå èìååò «ðàçìûòûé»» õàðàêòåð,
ïðè ýòîì èíòåðâàë [0, 1] èñïîëüçóåòñÿ êàê óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî äëÿ çàäàíèÿ
ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé «èñòèííîñòü». Íå÷åòêàÿ èñòèííîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
àêñèîìàòè÷åñêè, ïðè÷åì ðàçíûå àâòîðû îáîñíîâûâàþò ýòî ïî-ðàçíîìó. Åñëè âñå
çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà [0, 1] äîïóñòèìû â êà÷åñòâå çíà÷åíèé «èñòèííî» èëè
«ëîæíî», òî íàèáîëåå èíòóèòèâíî ïîíÿòíûìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíî-
ñòè Áàëäâèíà äëÿ òåðìîâ «èñòèííî» è «ëîæíî»:
� «èñòèííî» ( )x x� ,
� «ëîæíî» ( )x x� �1 ,
êîòîðûå êîëè÷åñòâåííî ãðàäóèðóþò ïðèíàäëåæíîñòü çíà÷åíèé èñòèííîñòè
x [ , ]0 1 íå÷åòêèì ìíîæåñòâàì èñòèííî è ëîæíî.
 ñëó÷àÿõ, êîãäà öåëåñîîáðàçíî ðàçäåëèòü èíòåðâàë [0, 1] íà çíà÷åíèÿ èñòèí-
íî è ëîæíî, òîãäà äëÿ ýòèõ òåðìîâ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðåäëîæåííûå Ë. Çàäå
46 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè:
� «èñòèííî» ( )
, ,
, ,x
x a
x a
a
a x
a
x
a
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
0 0
2
1
1
2
1 2
1
1
2
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2
1, ,
a
x
� «ëîæíî» ( )x � � «èñòèííî» ( )1� x ,
ãäå a [ , ]0 1 — ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé íîñèòåëè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ èñòèííî
è ëîæíî. Íîñèòåëåì äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà èñòèííî ÿâëÿåòñÿ èíòåð-
âàë ( , ]a 1 , à äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ëîæíî — èíòåðâàë [ , )0 a .
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå íå÷åòêèõ ïðàâèë ïðîäóêöèé ïîçâîëÿåò ôîðìèðî-
âàòü åñòåñòâåííûå âûâîäû, êîòîðûå áëèçêè ê ñîäåðæàòåëüíîìó ðàññóæäåíèþ ÷åëîâå-
êà, è îáåñïå÷èâàòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííóþ íàïðàâëåííîñòü ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà.
Âìåñòå ñ òåì ïðèìåíåíèå íå÷åòêèõ ïðàâèë ïðîäóêöèé äëÿ àâòîìàòè÷åñêîãî
äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì íåäîñòàòî÷íî ñîñòîÿòåëüíî. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ïðî-
äóêöèîííûõ ìîäåëÿõ ñóùåñòâåííûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ïðîâåðêà ïðèìåíèìîñòè
ïðàâèë, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå (âîçìîæíî, çíà÷èòåëüíîãî
êîëè÷åñòâà) ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèë âûâîäà. À ïîñêîëüêó âûáîð òàêèõ ïðàâèë
îòíîñèòñÿ ê êîìïåòåíöèè ÷åëîâåêà, ýòî ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò, à â íåêîòîðûõ
ñëó÷àÿõ äåëàåò íåâîçìîæíûì ìåõàíèçàöèþ ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà. Òàêèì
îáðàçîì, èäåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ðåàëèçàöèè íå÷åòêîãî ïðîäóêöèîííîãî âûâîäà
åäèíñòâåííûì ïðàâèëîì — ïðàâèëîì ðåçîëþöèé.
Ïóñòü çàäàíî ïðàâèëî
A A B
B
*, ( )� �
. Ïðåäñòàâèì èìïëèêàöèþ ýòîãî ïðàâè-
ëà â âèäå � �A B è ïîëîæèì C A1 �
* è C A B2 �� � . Ïóñòü òàêæå � — ìåðà ñõîä-
ñòâà ìåæäó A è A * , êîòîðàÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü çíà÷åíèå T(A A| * ). Åñëè ïðèìå-
íèòü ïðàâèëî ðåçîëþöèé ê äèçúþíêòàì C1 è C2 , òî ïîëó÷èì ðåçîëüâåíòó B, ñòå-
ïåíü èñòèííîñòè êîòîðîé ñîãëàñíî (4) ìîæíî ïîëó÷èòü ïî ôîðìóëå
T B( ) min ( ,� � ��.
Äàëåå, ïóñòü ïîñûëêà A ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì âûñêàçûâàíèåì. Áåç ïîòåðè îá-
ùíîñòè ïóñòü A A An� � �1 � è èìåþò ìåñòî óòâåðæäåíèÿ A An1
* *, ..., . Òîãäà, ïî-
ñëåäîâàòåëüíî îòðåçàÿ ëèòåðû �Ai â äèçúþíêòå � �� � �� �A A A Bn1 2 ... , ïîëó÷èì
çàêëþ÷åíèå B, èñòèííîñòü êîòîðîãî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå T B( ) = min (T(A), �),
ãäå T A n( ) min( , ..., )� � �1 , à � i — ìåðà ñõîäñòâà ìåæäó Ai è Ai
* . Ïðè ýòîì, ÷òî
î÷åíü âàæíî, íåîáõîäèìîñòü ïðîâåðêè ðåçîëþöèîííûõ âûâîäîâ (ðåçîëüâåíò) íà çíà-
÷èìîñòü èõ â ñìûñëå (2) îòïàäàåò.  öåëîì ýòè ïîëîæåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê
ïðîöåäóðíûé áàçèñ íå÷åòêîãî âûâîäà ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì â íå÷åòêîé ëîãèêå.
ÑÅÌÀÍÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÍÄÅÊÑÛ
×òîáû ðåàëèçîâàòü ïðîöåäóðíûé áàçèñ, ðàññìîòðåííûé âûøå, íåîáõîäèìî ðàç-
ëè÷àòü äèçúþíêòû ôàêòîâ, ïðàâèë è çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû. Äëÿ èõ èäåíòèôèêà-
öèè èñïîëüçóåì ñåìàíòè÷åñêèå èíäåêñû [13], êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñòðóêòóðèðî-
âàòü ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ è ïðèäàòü åìó îñìûñëåííûé õàðàêòåð.
Ñåìàíòè÷åñêèé èíäåêñ ïðèñâàèâàåòñÿ êàæäîé ëèòåðå è ìîæåò áûòü ôîðìàëèçî-
âàí ðàçëè÷íûì ñïîñîáîì. Ïðåäñòàâèì åãî ôðåéìîì — êîðòåæåì âèäà
� �N S S S, , ,1 2 3 , ãäå N – èìÿ (ñåìàíòè÷åñêèé èíäåêñ ëèòåðû); S1 — ìíîæåñòâî
ñëîòîâ, ñîäåðæàùèõ ôàêòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò äåêëàðàòèâíóþ ñåìàíòèêó ëèòåðû;
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 47
S 2 — ìíîæåñòâî ñëîòîâ, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò ñâÿçè ñ äðóãèìè ëèòåðàìè òåîðåìû
(êàóçàëüíûå, ñåìàíòè÷åñêèå è ò.ä.); S 3 — ìíîæåñòâî ñëîòîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ
ïðåîáðàçîâàíèÿ è îïðåäåëÿþùèå ïðîöåäóðíóþ ñåìàíòèêó ëèòåðû. Çäåñü ñëîòû ìíî-
æåñòâà S1 ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûìè, à ñëîòû ìíîæåñòâ S 2 è S 3 — äîïîëíèòåëüíûìè.
Ê îáÿçàòåëüíûì ñëîòàì îòíîñÿòñÿ ñòàòóñ è èñòèííîñòü. Ñòàòóñ ëèòåðû
îïðåäåëÿåò åå ïðèíàäëåæíîñòü ê ýëåìåíòàì òåîðåìû è ìîæåò ïðèíèìàòü ñëåäóþ-
ùèå çíà÷åíèÿ: ô — ëèòåðà-ôàêò, à(ê) — ëèòåðà-àíòåöåäåíò (êîíñåêâåíò) ïðàâèëà,
ç — ëèòåðà-çàêëþ÷åíèå òåîðåìû. Ñòàòóñ òàêæå ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå î —
îòðåçàííàÿ ëèòåðà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ðåçîëþöèè.
Çíà÷åíèåì ñëîòà èñòèííîñòü äëÿ ëèòåð-ôàêòîâ, àíòåöåäåíòîâ è çàêëþ÷åíèÿ
òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíü èõ èñòèííîñòè; äëÿ ëèòåð-êîíñåêâåíòîâ — êîýôôèöèåíò
óâåðåííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèë. Çàìåòèì, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ñòàòóñà ëè-
òåðû èëè åå èñòèííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ èíäåêñà òàêæå èçìåíÿþòñÿ.
Äîïîëíèòåëüíûå ñëîòû èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ ìîãóò îòðàæàòü ïðè-
êëàäíûå îñîáåííîñòè òåîðåìû, ñâÿçàííûå, íàïðèìåð, ñ ad hoc ñòðàòåãèÿìè, êîòî-
ðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷. Òàê, â êà÷åñòâå ñëîòà ìíîæåñò-
âà S 2 ìîæåò áûòü ñëîò ñâÿçü, îáåñïå÷èâàþùèé äåäóêòèâíóþ ñâÿçü ïðàâèë. Çíà÷å-
íèåì ýòîãî ñëîòà ìîæåò áûòü ñèìâîë «ñ». Íàïðèìåð, ïóñòü ïðàâèëî âûâîäà
çàäàíî â ñëåäóþùåì âèäå:
R x y z u w P x y u P y z P u z:( )( )( )( )( )( )( ( , , ) ( , , ) ( ,� � � � � � � �� � , )w �
� � � � � � � � �P x w x y z u w P x y u P y( , , )) ( )( )( )( )( )( )( ( , , ) ( ,� � z, )� �
� �P x w P u z w( , , ) ( , , ))� .
 êëàóçàëüíîì âèäå ýòî ïðàâèëî ïðåäñòàâëåíî äâóìÿ äåäóêòèâíî-ñâÿçàííûìè
äèçúþíêòàìè-ïðàâèëàìè:
1) � �� �� �P x y u P y z P u z w P x w1 2 3 4( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � ,
2) � �� �� �P x y u P y z P x w P u z w5 6 7 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � .
Ëèòåðû äèçúþíêòîâ ïðîèíäåêñèðîâàíû äëÿ èõ óñëîâíîé èäåíòèôèêàöèè.
 ýòèõ ïðàâèëàõ ëèòåðû P x w4 ( , , )� è �P x w7 ( , , )� îáåñïå÷èâàþò èõ äåäóêòèâíóþ
ñâÿçü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå ñðàáàòûâàíèÿ ïðàâèëà ï. 1), ò.å. ïîëó÷åíèÿ ëèòåðû
P x w4 ( , , )� â êà÷åñòâå ðåçîëüâåíòû, ýòà ëèòåðà áóäåò ðåçîëüâèðîâàòü ñ ëèòåðîé
�P x w7 ( , , )� ïðàâèëà ï. 2).
Êðîìå ýòîãî, â êà÷åñòâå ñëîòà ìíîæåñòâà S 3 ìîæåò áûòü ñëîò ïîðÿäîê, êîòîðûé
óêàçûâàåò íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçàíèÿ ëèòåð àíòåöåäåíòà ïðàâèëà â ñëó÷àå íà-
ëè÷èÿ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Äëÿ ïðàâèëà ï. 1), íàïðèìåð, âîçìîæíà òàêàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü îòðåçàíèÿ ëèòåð: 3, 1, 2. Ýòè ÷èñëà áóäóò çíà÷åíèÿìè ñëîòà ïîðÿäîê ñå-
ìàíòè÷åñêèõ èíäåêñîâ ëèòåð àíòåöåäåíòà ýòîãî ïðàâèëà.  öåëîì ñåìàíòè÷åñêèå èí-
äåêñû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, êàê óïðàâëÿþùóþ èíôîðìàöèþ è èñïîëüçîâàòü åå
â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ñîêðàùåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ïîèñêà ðåøåíèÿ.
Ïîä ñòðóêòóðèðîâàííûì ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ áóäåì ïîíèìàòü òàêîå
ìíîæåñòâî, â êîòîðîì êàæäîé ëèòåðå ïðèñâîåí ñåìàíòè÷åñêèé èíäåêñ.  äàëü-
íåéøåì (åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå) áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ìíî-
æåñòâî äèçúþíêòîâ ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðèðîâàííûì.
ÀÊÑÈÎÌÀÒÈÇÀÖÈß ÒÅÎÐÅÌÛ
Êàê áûëî îòìå÷åíî, ëþáóþ çàäà÷ó ïðàêòèêè ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü, ïðåä-
ñòàâëÿÿ åå îïèñàíèå è îòíîñÿùóþñÿ ê íåé èíôîðìàöèþ â âèäå ëîãè÷åñêèõ àê-
ñèîì è ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå ïîñòàíîâêè çàäà÷è êàê òåîðåìû, òðåáóþùèå äî-
êàçàòåëüñòâà. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ïîíÿòèÿ «çàäà÷à» è «òåîðåìà», à òàêæå
«ðåøåíèå çàäà÷è» è «äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû» áóäåì ñ÷èòàòü ñèíîíèìàìè.
Ïðîöåññó äîêàçàòåëüñòâà â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ïðåäøåñòâóåò ïîäãîòîâèòåëüíûé
ýòàï, êîòîðûé ñîñòîèò â àêñèîìàòèçàöèè ïîñûëîê è çàêëþ÷åíèè òåîðåìû, çàäàííîé
íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå. Ê îïåðàöèÿì ýòîãî ýòàïà îòíîñÿòñÿ ïîñòðîåíèå ôîðìóë ÿçû-
48 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
êà ïðåäèêàòîâ, ïðèâåäåíèå èõ â ïðåäâàðåííóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó è çàòåì â ñêóëå-
ìîâñêóþ ñòàíäàðòíóþ ôîðìó èëè ïðîñòî â ñòàíäàðòíóþ ôîðìó (êîíúþíêòèâíóþ
íîðìàëüíóþ ôîðìó). Â ðåçóëüòàòå òåîðåìà áóäåò ïðåäñòàâëåíà â êëàóçàëüíîì âèäå.
 ïðåäëàãàåìîì ïîäõîäå óêàçàííûå ïîäãîòîâèòåëüíûå îïåðàöèè òàêæå èìå-
þò ìåñòî. Ñíà÷àëà òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå. Îñíîâó âåð-
áàëüíîãî îïèñàíèÿ åå ôàêòîâ è çàêëþ÷åíèÿ ñîñòàâëÿþò ÷åòêèå è íå÷åòêèå ýëå-
ìåíòàðíûå âûñêàçûâàíèÿ (óòâåðæäåíèÿ), êîòîðûå ìîãóò áûòü äâóõ òèïîâ.
1. Âûñêàçûâàíèå «a åñòü b». Åñëè âûñêàçûâàíèå ÷åòêîå, òî a — ýòî íàèìåíî-
âàíèå ñóùíîñòè, à b — íàèìåíîâàíèå åå ñâîéñòâà. Åñëè âûñêàçûâàíèå íå÷åòêîå,
òîãäà a è b ÿâëÿþòñÿ íàèìåíîâàíèåì ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åå çíà÷åíè-
åì ñîîòâåòñòâåííî.
2. Âûñêàçûâàíèå «a R b», ãäå a, b — ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A è B, à R — íàèìåíî-
âàíèå îòíîøåíèÿ ìåæäó a è b. Åñëè îòíîøåíèå íå÷åòêîå, òî R — íå÷åòêàÿ ïåðåìåí-
íàÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, òàê êàê n-àðíûå îòíîøåíèÿ,
âî-ïåðâûõ, ñëîæíû äëÿ âîñïðèÿòèÿ è îáðàáîòêè, à âî-âòîðûõ, ïðè íåîáõîäèìîñòè èõ
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå åñòåñòâåííîãî ñîåäèíåíèÿ áèíàðíûõ îòíîøåíèé.
Âåðáàëèçàöèÿ ïðàâèë âûâîäà òåîðåìû îñóùåñòâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè
â ôîðìå ñòðóêòóðèðîâàííîãî òåêñòà: «Åñëè óñëîâèå Òî çàêëþ÷åíèå (�)». Çäåñü �
ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì óâåðåííîñòè ïðàâèëà. Îñíîâó âåðáàëüíîãî îïèñàíèÿ
óñëîâèé è çàêëþ÷åíèé ïðàâèë òàêæå ñîñòàâëÿþò ÷åòêèå è íå÷åòêèå ýëåìåíòàð-
íûå âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå.
Îòíîñèòåëüíî ïðàêòè÷åñêîé íàïðàâëåííîñòè òåîðåì ñäåëàåì íåñêîëüêî
óòî÷íåíèé.  êà÷åñòâå ôàêòîâ è çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òîëüêî
ýëåìåíòàðíûå âûñêàçûâàíèÿ. Ïîñêîëüêó ôàêòû ìîãóò áûòü íå âïîëíå äîñòîâåð-
íûìè (íàïðèìåð, ðàçâåääàííûå), êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò êîýôôèöèåíò
äîñòîâåðíîñòè r. Ïîä äîñòîâåðíîñòüþ ôàêòà áóäåì ïîíèìàòü ñâîéñòâî ñîäåðæà-
ùåéñÿ â íåì èíôîðìàöèè îòðàæàòü îáúåêòèâíóþ ðåàëüíîñòü ñ íåîáõîäèìîé òî÷-
íîñòüþ. Ïðè ýòîì èñòî÷íèêîì ôàêòîâ ìîæåò áûòü êàê ÷åëîâåê, òàê è òåõíè÷åñêîå
óñòðîéñòâî. Âîïðîñû îöåíêè äîñòîâåðíîñòè èíôîðìàöèè ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ
ìíîãèõ àâòîðîâ, íàïðèìåð â [16, 17], ïîýòîìó äëÿ ñîêðàùåíèÿ îáúåìà ñòàòüè èõ
îïóñêàåì. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî êîýôôèöèåíòû äîñòîâåðíîñòè è óâåðåííîñòè
ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó [ , ]0 1 è ïî óìîë÷àíèþ ðàâíû åäèíèöå.
Óñëîâèÿ ïðàâèë ïðîäóêöèé ìîãóò èìåòü ñëîæíóþ ëîãè÷åñêóþ ñòðóêòóðó è
ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé âûñêàçûâàíèÿ, ñîñòàâëåííûå èç ýëåìåíòàðíûõ ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé È, ÈËÈ, ÍÅ.  êà÷åñòâå çàêëþ÷åíèé ïðàâèë áóäåì ðàññìàòðèâàòü
òîëüêî ýëåìåíòàðíûå âûñêàçûâàíèÿ.
Òåîðåìà, çàäàííàÿ íà åñòåñòâåííîì ÿçûêå, îòîáðàæàåòñÿ íà íåêîòîðûé ôîð-
ìàëüíûé ÿçûê. Ïóñòü ST — ìíîæåñòâî îáúåêòîâ òåîðåìû T (ïîñûëêè è çàêëþ÷å-
íèå), S L — ìíîæåñòâî îáúåêòîâ (ôîðìóë) ÿçûêà L, DT — òåðìèíîëîãè÷åñêèé
ñëîâàðü ïîíÿòèé è îòíîøåíèé ïðåäìåòíîé îáëàñòè òåîðåìû T . Íåîáõîäèìî ïî-
ñòðîèòü îòîáðàæåíèå� �: S ST
D
L
T
, êîòîðîå ïåðåâîäèò âåðáàëüíîå îïèñàíèå òåîðå-
ìû T â åå ôîðìàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåêîòîðîãî ÿçûêà L . Ýòî îòîáðàæåíèå
ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñëîâàðÿ DT , êîòîðûé ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ïîíèìàòü è îáî-
çíà÷àòü òåðìèíû äàííîé çàäà÷è. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ÿçûêà L áóäåì
èñïîëüçîâàòü ðàñøèðåííûé ÿçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ.
Òàêîå ðàñøèðåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì ïðèñîåäèíåíèÿ ê àëôàâèòó ÿçûêà
ïðåäèêàòîâ ñïåöèàëüíûõ êîíñòàíò è ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ. Ñïåöèàëüíóþ êîí-
ñòàíòó — íàçâàíèå òåðìà ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé îáîçíà÷èì ñòðî÷íîé áóê-
âîé ñ òèëüäîé, à ñïåöèàëüíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë — íàçâàíèå íå÷åòêîãî îòíî-
øåíèÿ îáîçíà÷èì ïðîïèñíîé áóêâîé ñ òèëüäîé.
×åòêèå âûñêàçûâàíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ â ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû ñòàíäàðòíûì
ñïîñîáîì, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå ìåõàíèçìû çäåñü îïóñêàåì. Íå÷åòêèå âû-
ñêàçûâàíèÿ ïåðâîãî òèïà ïðåäñòàâèì ïðåäèêàòîì P a(~ ) , â êîòîðîì ïðåäèêàòíûé
ñèìâîë P îáîçíà÷àåò íàçâàíèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé, à òåðì ~a — åå çíà-
÷åíèå. Ýòî çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêîé ïåðåìåííîé, äëÿ êîòîðîé ñòðîèòñÿ ôóíê-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 49
öèÿ ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ) � ~ ( )a x (x X , ãäå X — áàçîâîå ìíîæåñòâî ïåðåìåí-
íîé ~a ). Çàòåì ôîðìèðóåòñÿ ñåìàíòè÷åñêèé èíäåêñ ëèòåðû P a(~ ) . Íàïðèìåð, âû-
ñêàçûâàíèå «ìóæ÷èíà ìîëîäîãî âîçðàñòà» ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðåäèêàòîì P a(~ ) ,
ãäå P� «âîçðàñò ìóæ÷èíû», à ~a� «ìîëîäîé».
Íå÷åòêèå âûñêàçûâàíèÿ âòîðîãî òèïà ýêñïëèöèðóþòñÿ ïðåäèêàòàìè
~
( , )R x y1 1 è
~
( , )R x y , ãäå
~
R — íàçâàíèå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ; x X1 , y Y1 —
ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû; x y, — ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå, îïðåäåëåííûå íà ìíî-
æåñòâàõ X è Y . Ïðè ýòîì ïðåäèêàòû
~
( , )R x y1 1 îïèñûâàþò ôàêòû è çàêëþ÷åíèå òå-
îðåìû, à ïðåäèêàòû
~
( , )R x y âõîäÿò â îïèñàíèÿ óñëîâèé è çàêëþ÷åíèé ïðàâèë âû-
âîäà.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
~
R ñòðîèòñÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíî-
ñòè � ~ ( , )
R
x y (( , ) )x y X Y � . Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå «x çíà÷èòåëüíî áîëüøå y»
ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðåäèêàòîì
~
( , )R x y , ãäå
~
R� «çíà÷èòåëüíî áîëüøå», à x y R, .
Èñõîäÿ èç ïðàêòèêè âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà ïðåäñòàâèòü ôàêòû áèíàðíûìè
íå÷åòêèìè ïðåäèêàòàìè çàòðóäíèòåëüíî, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íåâîçìîæíî (íàïðè-
ìåð, êîãäà ìåõàíèçìû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì âñòðîåíû â ñèñòåìó àâòîìàòè÷åñêîãî
óïðàâëåíèÿ è â êà÷åñòâå ôàêòîâ âûñòóïàþò òåëåìåòðè÷åñêèå äàííûå). Ïîýòîìó â òà-
êèõ ñèòóàöèÿõ ïðåäëàãàåòñÿ ôîðìèðîâàòü íå÷åòêèå ïðåäèêàòû ïðîöåäóðíî. À èìåí-
íî, ïðåäñòàâëåíèå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäèêàòîì
~
( , )R x y ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü:
åñëè x Xi , y Yj , òî ýëåìåíòû xi è y j íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè
~
R , ò.å. åñëè èìåþò
ìåñòî ôàêòû Q xi( )� «x Xi » è S y j( )� « y Yj », òî èìååò ìåñòî è ôàêò
~
( , )R x yi j . Ïðè ýòîì ïðåäèêàòû Q xi( ) è S y j( ) áóäåì íàçûâàòü àôôèëèðîâàííûìè
ñ ïðåäèêàòîì
~
( , )R x y è îáîçíà÷àòü èõ â ñåìàíòè÷åñêîì èíäåêñå ëèòåðû
~
( , )R x y .
È, íàêîíåö, ïðàâèëà íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ èìïëèêàöèÿìè
âèäà A B� ( )� , àíòåöåäåíòû è êîíñåêâåíòû êîòîðûõ ôîðìàëèçóþòñÿ âûøå
îïèñàííûì ñïîñîáîì.
Îïåðàöèè ïðèâåäåíèÿ ôîðìóë â ïðåäâàðåííóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó è ñêóëå-
ìåçàöèè àíàëîãè÷íû îïåðàöèÿì â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ, ïîýòîìó äëÿ èõ ðåàëèçàöèè
ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû.
 çàêëþ÷åíèå ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé. Ìû ðàññìîòðåëè âîïðîñû ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ýëåìåíòîâ òåîðåìû â êëàóçàëüíûé âèä êàê òàêîâûå, ò.å. áåçîòíîñèòåëüíî
ê åå ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ. Ïîñêîëüêó áîëüøèíñòâî çàäà÷ ïðàêòèêè ðàçðàáà-
òûâàþòñÿ ñ ó÷åòîì èõ ìíîãîêðàòíîãî àâòîìàòèçèðîâàííîãî ðåøåíèÿ, öåëåñîîáðàçíî
ïðàâèëà íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé, ñåìàíòè÷åñêèå èíäåêñû èõ ëèòåð è îïèñàíèÿ âñåõ
ëèíãâèñòè÷åñêèõ è íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ, èñïîëüçóåìûõ â ýòèõ ïðàâèëàõ, õðàíèòü â
áàçå çíàíèé. Òîãäà ïðîöåññ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû áóäåò âêëþ÷àòü äâà ýòàïà:
— ôîðìèðîâàíèå òåîðåìû, ò.å. àêñèîìàòèçàöèÿ èñõîäíûõ äàííûõ (ôàêòîâ) è çà-
êëþ÷åíèå òåîðåìû, à òàêæå çàãðóçêà èç áàçû çíàíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèë è ÔÏ;
— íåïîñðåäñòâåííî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
ÑÒÐÓÊÒÓÐÍÀß ÐÅÇÎËÞÖÈß
Ââåäåì ïîíÿòèå ñòðóêòóðíîé ðåçîëþöèè. Ñòðóêòóðíàÿ ðåçîëþöèÿ (S-ðåçîëþ-
öèÿ) — ýòî óòî÷íåíèå åäèíè÷íîé ðåçîëþöèè, èñïîëüçóþùåå ïîíÿòèå, àíàëî-
ãè÷íîå ïîíÿòèþ óïîðÿäî÷åííîãî äèçúþíêòà. S-ðåçîëþöèÿ îñíîâàíà íà ñåìàí-
òè÷åñêèõ èíäåêñàõ ëèòåð è èõ ñõîäñòâå. Ñåìàíòè÷åñêèå èíäåêñû ÿâëÿþòñÿ
êëþ÷åâûì ïîíÿòèåì S-ðåçîëþöèè è èñïîëüçóþòñÿ äëÿ óïîðÿäî÷åíèÿ ëèòåð
â äèçúþíêòàõ è èõ èäåíòèôèêàöèè. Ïðè ýòîì S-ðåçîëþöèþ ðàçðåøàåòñÿ ïðè-
ìåíÿòü ê ïîñûëêàì, îäíà è òîëüêî îäíà èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ äèçúþíòêîì-ôàê-
òîì, à â äèçúþíêòàõ-ïðàâèëàõ ðàçðåøåíî îòðåçàòü òîëüêî ëèòåðû-àíòåöåäåíòû.
À ñõîäñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â ïîèñêå ëèòåðû-ôàêòà, êîòîðàÿ ëèáî ïî÷òè äîïîëíÿåò ëè-
òåðó â äðóãîé ïîñûëêå, ëèáî ìåæäó ýòèìè ëèòåðàìè ìîæíî óñòàíîâèòü îòíîøåíèå
ñõîäñòâà, èñïîëüçóåìîå ïðè ôàççèôèêàöèè â ñèñòåìàõ íå÷åòêîãî âûâîäà. Ïðåæäå
÷åì äàòü ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå S-ðåçîëþöèè, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
50 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ïóñòü òåîðåìà ïðåäñòàâëåíà ñòðóêòóðèðîâàííûì ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ôîðìóëàìè:
C A1 0 8: .
ô,
C B2 0 2: . �
ô,
C A Ba
3 07: ( . )� � ê ,
C B Da
4 09: ( . )� � ê ,
C A5 : � ç,
ãäå C C1 2, — äèçúþíêòû-ôàêòû; C C3 4, — äèçúþíêòû-ïðàâèëà A B� �( . )� 0 7
è B D� ( . )� � 0 9 ; C5 — îòðèöàíèå çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû. Äëÿ íàãëÿäíîñòè
â ýòèõ äèçúþíêòàõ íèæíèå èíäåêñû ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè èñòèííîñòè ëèòåð,
âåðõíèå — ïðèíàäëåæíîñòü ëèòåð ê ýëåìåíòàì òåîðåìû, à ÷èñëà â ñêîáêàõ —
âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ïðàâèë.
 äàííîì ñëó÷àå S-ðåçîëþöèÿ íå ïðèìåíèìà ê äèçúþíêòàì C2 , C3 è C3 , C4 .
Ïðè ýòîì ðåçîëüâåíòîé äèçúþíêòîâ C1 è C3 åñòü äèçúþíêò B ê , à ðåçîëüâåíòîé
äèçúþíêòîâ C1 è C5 — ïóñòîé äèçúþíêò.
Òåïåðü äàäèì ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå S-ðåçîëþöèè. Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü
÷åòêèå è íå÷åòêèå ëèòåðû. ×åòêàÿ ëèòåðà – ýòî ëèòåðà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, à íå-
÷åòêàÿ ëèòåðà îïðåäåëÿåò ëèáî íå÷åòêîå îòíîøåíèå, ëèáî åå òåðìîì ÿâëÿåòñÿ
íå÷åòêàÿ ïåðåìåííàÿ.
Ïóñòü C Lr1 11
� ô — äèçúþíêò-ôàêò, à Ñ2 — äèçúþíêò-ïðàâèëî. Åñëè ëèòåðû
r L
1 1
ô è L Ña
2 2 — ÷åòêèå è r L
1 1
ô, �La
2
èìåþò íàèáîëåå îáùèé óíèôèêàòîð � , òî
äèçúþíêò ( )Ñ Lr
a
2 1 21
� �� � íàçîâåì S-ðåçîëüâåíòîé C1 è Ñ2 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëèòåðû r L
1 1
ô è L Ña
2 2 — íå÷åòêèå. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. Ïóñòü ýòè ëèòåðû ÿâëÿþòñÿ óíàðíûìè ïðåäèêàòàìè: r L
1 1
ô �
� r P a
1
(~ )* è L P aa
2
�� (~ ) , ãäå P — íàçâàíèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ~ *a è
~a — åå çíà÷åíèÿ (íå÷åòêèå ïåðåìåííûå), çàäàííûå íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè, êî-
òîðûå îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå áàçîâîì ìíîæåñòâå X . Ïóñòü òàêæå
�1 ( ),x x X , è �2 ( ),x x X , — ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ~ *a
è ~a ñîîòâåòñòâåííî. Ââåäåì ìåðó � [ , ]0 1 ñõîäñòâà ìåæäó íå÷åòêèìè ìíîæåñòâà-
ìè ~ *a è ~a . Òîãäà S-ðåçîëüâåíòîé C1 è Ñ2 áóäåò äèçúþíêò ( (~ ))C P ar2 1� �� , ãäå
r r� �� 1 — èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ P a(~ ) ïðè íàëè÷èè âûñêàçûâàíèÿ P a(~ )* .
Êîãäà ïðåäúÿâëÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ èñòèííîñòè çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû,
ìîæíî çàäàòü ïîðîãîâîå çíà÷åíèå � è ðàçðåøàòü S-ðåçîëþöèþ òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà çíà÷åíèå � áîëüøå ýòîãî ïîðîãà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò ìíîãî ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ îïðåäåëèòü
ìåðó ñõîäñòâà (ðàçëè÷èÿ) ìåæäó äâóìÿ íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè [18]. Ïðîâåäåí-
íûé â äàííîé ðàáîòå àíàëèç ðàçëè÷íûõ ìåð ñõîäñòâà ïîêàçûâàåò, ÷òî íåâîçìîæ-
íî âûäåëèòü åäèíóþ êîíêðåòíóþ ìåðó ïîäîáèÿ, êîòîðàÿ îäèíàêîâî õîðîøî
«ïîäõîäèò» äëÿ ëþáîé ïðîáëåìû. Ñ ó÷åòîì ýòîãî â [19] ïðåäëîæåí ïîêàçàòåëü
ïîäîáèÿ, îñíîâàííûé íà ïàðàìåòðè÷åñêîé ìåòðèêå Ìèíêîâñêîãî ( p-ìåòðèêå).
Âàðüèðóÿ ïàðàìåòðîì p, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ôóíêöèè ðàññòîÿíèÿ â åâ-
êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, à ñëåäîâàòåëüíî, è ðàçëè÷íûå ìåðû ñõîäñòâà, îðèåíòè-
ðîâàííûå íà êîíêðåòíóþ ïðîáëåìó. Ýòî ïîçâîëÿåò îáåñïå÷èòü ãèáêîñòü òàêîé
ìåðû è â íåêîòîðîì ñìûñëå åå óíèâåðñàëüíîñòü.
Ïóñòü
~
( )A x è
~
( )B x , x X , — íå÷åòêèå ìíîæåñòâà. Òîãäà ïîêàçàòåëü ïîäîáèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
� �S A B
n
x x
A i B i
p
i
n p
(
~
,
~
) ( ) ( )~ ~� � �
�
�
�
�
�
�
�
�1
1
1
1
� � ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 51
ãäå n — ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X è p � 1 — ïàðàìåòð (âåùåñòâåííîå ÷èñëî),
ïðè÷åì ÷åì áîëüøå p , òåì áîëüøå ìåðà ïîäîáèÿ. Ýòîò ïàðàìåòð îïðåäåëÿåòñÿ
äëÿ êàæäîé òåîðåìû. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî òàêîé ïîêàçàòåëü ïîäîáèÿ áóäåì
èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ìåðû ñõîäñòâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ.
Ïóñòü òåïåðü ~ *a x X� 1 .  ýòîì ñëó÷àå ìåðîé ñõîäñòâà ïðåäèêàòîâ P a(~ ) è
P a(~ )* ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíü ñîîòâåòñòâèÿ (ïðèíàäëåæíîñòè) ýëåìåíòà x1 íå÷åòêîìó
ìíîæåñòâó ~a , ò.å. � �� 2 1( )x .
Ñëó÷àé 2. Ïóñòü ëèòåðû r L
1 1
ô è L Ña
2 2 ÿâëÿþòñÿ áèíàðíûìè ïðåäèêàòàìè:
r rL R x y
1 11 1 1
ô �
~
( , ) , L R x ya
2
��
~
( ) , ãäå
~
R — íå÷åòêîå îòíîøåíèå ìåæäó ïðåäìåò-
íûìè ïåðåìåííûìè x y, , êîòîðûå îïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâàõ èíäèâèäíûõ êîí-
ñòàíò X è Y , à � ~ ( , )
R
x y — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
~
R .
 ýòîì ñëó÷àå ìåðîé ñõîäñòâà ýòèõ ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíü � �� ~ ( , )
R
x y1 1
ñîîòâåòñòâèÿ (ïðèíàäëåæíîñòè) ïàðû ( , )x y1 1 íå÷åòêîìó îòíîøåíèþ
~
R ,
à S-ðåçîëüâåíòîé áóäåò äèçúþíêò
(
~
( ) )C R x yr2 1� �� �� ,
ãäå � � { / , / }x x y y1 1 , r r� �� 1.
 ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ôàêòà
~
( , )R x y1 1 âûïîëíÿåòñÿ ïîèñê ëèòåð-ôàêòîâ, àô-
ôèëèðîâàííûõ ñ ïðåäèêàòîì
~
( , )R x y . Ïóñòü r Q x
1 1
ô ( ) è r S y
2 1
ô ( ) ÿâëÿþòñÿ òà-
êèìè ëèòåðàìè.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìèðóåòñÿ ôàêò r R x y
~
( , )1 1 , ãäå r r r� min( , )1 2 ,
è àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ S-ðåçîëüâåíòà.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà C Lr1 11
� ô — äèçúþíêò-ôàêò, à C L2 2
� ç —
äèçúþíêò-çàêëþ÷åíèå. Åñëè ëèòåðû r L
1 1
ô è L
2
ç ÷åòêèå è êîíòðàðíûå, òî S-ðåçîëü-
âåíòîé C1 è Ñ2 áóäåò ïóñòîé äèçúþíêò � . Ïðè ýòîì èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèÿ L
2
ç
áóäåò ðàâíà r1 . Åñëè äèçúþíêòû C1 è C2 íå÷åòêèå è ïî÷òè êîìïëåìåíòàðíûå, òî
S-ðåçîëüâåíòîé ýòèõ äèçúþíêòîâ òàêæå áóäåò ïóñòîé äèçúþíêò, à èñòèííîñòü çà-
êëþ÷åíèÿ L
2
ç áóäåò âû÷èñëåíà ñîãëàñíî ñëó÷àÿì 1 è 2.
Ìû ðàññìîòðåëè ðàçëè÷íûå âàðèàíòû âîçìîæíîãî ïðèìåíåíèÿ S-ðåçîëþ-
öèè. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà S-ðåçîëüâåíòîé ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷åíèå
íåêîòîðîãî ïðàâèëà.
Ïóñòü â ïðîöåññå âûâîäà â êà÷åñòâå S-ðåçîëüâåíòû ïîëó÷åíà ëèòåðà-êîíñåê-
âåíò Ln
ê ïðàâèëà � �� �L La a
1 2
,..., �� ��L L
n
a
n1
ê , ÷òî ðàâíîñèëüíî «ñðàáàòûâàíèþ»
ïðîäóêöèîííîãî ïðàâèëà ( , , ..., ) ( )L L L L
n n1 2 1� � � .  ýòîì ñëó÷àå ñòåïåíü èñ-
òèííîñòè ëèòåðû Ln
ê âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî (4):
r ri� �min (( max ), )1 � , (5)
ãäå ri — èñòèííîñòü îòðåçàííîé ëèòåðû �Li
a àíòåöåäåíòà äàííîãî ïðàâèëà.
Åñëè ëèòåðà-êîíñåêâåíò Ln
ê ýêñïëèöèðóåò íå÷åòêîå âûñêàçûâàíèå, òî âûïîë-
íÿåòñÿ êîððåêöèÿ ÔÏ ñîîòâåòñòâóþùåé íå÷åòêîé ïåðåìåííîé ïóòåì åå ðåäóêöèè
(îòñå÷åíèÿ). Äëÿ ýòîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí èç ìåòîäîâ àêòèâèçàöèè íå÷åò-
êîãî âûâîäà, íàïðèìåð êëàññè÷åñêóþ min–àêòèâèçàöèþ:
� �� �( ) min ( , ( ))x r x ,
ãäå �� ( )x , �( )x — ñîîòâåòñòâåííî óñå÷åííàÿ è èñõîäíàÿ ÔÏ íå÷åòêîé ïåðå-
ìåííîé çàêëþ÷åíèÿ ïðàâèëà. Çàòåì ýòà ëèòåðà ïåðåâîäèòñÿ â ðàçðÿä ôàêòîâ Ln
ô.
Ïðè ýòîì åñëè óæå ñóùåñòâóåò ôàêò q nLô òàêîé, ÷òî q r� , òî ôàêò r nLô óäàëÿåòñÿ,
èíà÷å óäàëÿåòñÿ ôàêò q nLô.
52 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ïóñòü D — ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ. Ïîä S-âûâîäîì áóäåì ïîíèìàòü âûâîä,
â êîòîðîì êàæäûé äèçúþíêò ÿâëÿåòñÿ ëèáî ÷ëåíîì D, ëèáî S-ðåçîëüâåíòîé. Äà-
ëåå, ïóñòü äàíà òåîðåìà T : (F1, F2 , …, F Gn )� . Ïóñòü òàêæå D — ìíîæåñòâî
äèçúþíêòîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé ôîðìóë F1,
F2 , …, Fn , à G *— äèçúþíêò-çàêëþ÷åíèå òåîðåìû. Òîãäà åñëè ñïðàâåäëèâà òåî-
ðåìà T , òî ñóùåñòâóåò S-âûâîä ïóñòîãî äèçúþíêòà èç ìíîæåñòâà ( )*D G � .
Âûâîä çàêëþ÷åíèÿ G ýòîé òåîðåìû èìååò äåäóêòèâíûé õàðàêòåð è åãî ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùåé ñèñòåìîé ïðàâèë ïðîäóêöèé: ( ( .. .F F1 2� �
... ( ( ))) )� � ��F F Gn n1 � . Òàê êàê ðåàëèçàöèÿ ïðàâèë ïðîäóêöèé îñóùåñòâëÿ-
åòñÿ S-ðåçîëþöèåé, òî, ïðèìåíÿÿ åå, ïîëó÷èì äèçúþíêò G *â êà÷åñòâå S-ðåçîëü-
âåíòû. Ñëåäîâàòåëüíî, ( ) |*D G � �� � , ò.å. ñóùåñòâóåò S-âûâîä ïóñòîãî
äèçúþíêòà èç ìíîæåñòâà ( )*D G � .
ÑÒÐÀÒÅÃÈß ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÂÛÂÎÄÎÌ
Èñïîëüçîâàíèå ñåìàíòè÷åñêèõ èíäåêñîâ ëèòåð ïîçâîëÿåò â ïðîöåññå äîêàçà-
òåëüñòâà ïðèìåíÿòü òàêèå ýâðèñòèêè, êàê ïðÿìîé èëè îáðàòíûé âûâîä.
Ïðÿìîé ëîãè÷åñêèé âûâîä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öåïî÷êó ðàññóæäåíèé, êîòî-
ðàÿ âåäåò îò èñõîäíûõ àêñèîì ê öåëåâîìó âûðàæåíèþ. Îñíîâíîé íåäîñòàòîê
ïðÿìîãî ìåòîäà ñîñòîèò â åãî íåíàïðàâëåííîñòè, ÷òî ïðèâîäèò ê ðîñòó ïðîìåæó-
òî÷íûõ çàêëþ÷åíèé, íå ñâÿçàííûõ ñ öåëåâûì óòâåðæäåíèåì. Îäíàêî â ñëó÷àÿõ,
êîãäà íåîáõîäèìî ïîëó÷àòü çàêëþ÷åíèÿ íà îñíîâå ïîñòóïàþùèõ ðåçóëüòàòîâ
âîñïðèÿòèÿ áåç ó÷åòà êàêîãî-ëèáî êîíêðåòíîãî çàïðîñà, ïðÿìàÿ öåïî÷êà
ðàññóæäåíèé ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ìåòîäîì ëîãè÷åñêîãî âûâîä.
Ïðè îáðàòíîì âûâîäå ïîèñê äîêàçàòåëüñòâà íà÷èíàåòñÿ ñ öåëåâîãî óòâåðæ-
äåíèÿ. Îáðàòíûé âûâîä ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåííûì. Êàæäûé øàã âûâîäà â ýòîì ñëó-
÷àå ñâÿçàí âñåãäà ñ èñõîäíîé öåëüþ. Äëÿ îáðàòíûõ âûâîäîâ õàðàêòåðíà òåíäåí-
öèÿ èñêëþ÷åíèÿ èç ðàññìîòðåíèÿ ïðàâèë, íå èìåþùèõ ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê çà-
äàííîé öåëè. Ïîýòîìó èñïîëüçîâàíèå îáðàòíîé öåïî÷êè ðàññóæäåíèé
ïðåäïî÷òèòåëüíåå.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåì îäèí èç âîçìîæíûõ
àëãîðèòìîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îáðàòíûì ìåòîäîì.
Ïóñòü òåîðåìà T ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì ñòðóêòóðèðîâàííûì ìíîæåñòâîì
äèçúþíêòîâ:
C1: M ô(a),
C2 : rC bô (
~
) ,
C3 : Dô ( )�1 ,
C4 : � �� �M x D e L xa a( ) (~) ( )( )ê �1 ,
C5 : � �� �� �M x L x C g A xa a a( ) ( ) ( ~) ( )( )ê �2 ,
C6 : �A aç ( ) .
Çäåñü äèçúþíêòû C C1 3! — ôàêòû; C C4 5, — ïðàâèëà; C6 — çàêëþ÷åíèå
òåîðåìû. Ïóñòü òàêæå � ~ ( )g u , � ~ ( )
b
u , � �~ ( )e — ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè íå-
÷åòêèõ ïåðåìåííûõ ~,
~
, ~g b e . Ïðè÷åì íå÷åòêèå ïåðåìåííûå ~g è
~
b çàäàíû íå÷åò-
êèìè ìíîæåñòâàìè è îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñò-
âå U u um� ( , , )1 � , à ïåðåìåííàÿ ~e çàäàíà íà óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå
V n� ( , ..., )� �1 .
Äàëåå, ïóñòü M — ìíîæåñòâî ôàêòîâ, F — ìíîæåñòâî ïðàâèë âûâîäà,
G A0 ��
ç — èñõîäíàÿ öåëåâàÿ ôîðìóëà (öåëü). Òîãäà òåîðåìó T ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü êîðòåæåì� �M F G, , 0 è åå äîêàçàòåëüñòâî îïèñàòü ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì.
Øàã 1. Ïðîâåðèòü íà ïðîòèâîðå÷èâîñòü ìíîæåñòâî {M G 0} . Åñëè
{ }|M G �� �0 , òî çàâåðøèòü ðàáîòó; òåîðåìà T äîêàçàíà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ñëåäóþùèé øàã.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 53
Øàã 2. Ïîìåñòèòü öåëü G0 â ñïèñîê LIST = (G0) è íàéòè ïðàâèëî, êîíñåê-
âåíò êîòîðîãî ïîçâîëèë áû äîñòè÷ü öåëü G0 . Åñëè ïîäõîäÿùåãî ïðàâèëà íåò —
çàâåðøèòü ïðîöåññ; òåîðåìà íå èìååò ðåøåíèÿ.  äàííîì ñëó÷àå òàêèì ïðàâèëîì
ÿâëÿåòñÿ äèçúþíêò C5 . Åãî àíòåöåäåíò çàäàòü â êà÷åñòâå íîâîé öåëè
G M a L a C ga a a
1 �� �� ��( ) ( ) (~ ) è ïîìåñòèòü åå â ñïèñîê LIST � ( ,G G1 0).
Øàã 3. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C1 è G1 :
G L a C ga a
7 : ( ) (~ )� �� — S-ðåçîëüâåíòà.
Øàã 4. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C2 è C7 :
C L aa
8 : ( )� — S-påçîëüâåíòà.
Øàã 5. Òàê êàê íåò ôàêòà, êîòîðûé ìîã áû ðåçîëüâèðîâàòü ñ C8 , òî èñïîëü-
çîâàòü àíòåöåäåíò ïðàâèëà C4 â êà÷åñòâå íîâîé öåëè G M a D ea a
2 �� ��( ) (~ ) è ïî-
ìåñòèòü åå â ñïèñîê LIST = (G G G2 1 0, , ).
Øàã 6. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C1 è G2 :
C D ea
9 : (~ )� — S-ðåçîëüâåíòà.
Øàã 7. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C3 è C9 :
C10 : � — S-ðåçîëüâåíòà.
Óäàëèòü G2 èç ñïèñêà LIST.
Øàã 8. Âû÷èñëèòü ñîãëàñíî (5) çíà÷åíèå r èñòèííîñòè êîíñåêâåíòà
L aê ( ) ïðàâèëà C4 è ïåðåâåñòè åãî â ðàçðÿä ôàêòîâ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëè-
òåðó C L ar11: ( )ô .
Øàã 9. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C8 è C11:
C12 : � — S-ðåçîëüâåíòà.
Óäàëèòü G1 èç ñïèñêà LIST.
Øàã 10. Âû÷èñëèòü àíàëîãè÷íî çíà÷åíèå r èñòèííîñòè êîíñåêâåíòà A aê ( )
ïðàâèëà C5 è ïåðåâåñòè åãî â ðàçðÿä ôàêòîâ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëèòåðó
C A ar13 : ( )ô .
Øàã 11. Ïðèìåíèòü S-ðåçîëþöèþ ê C13 è C6 :
C14 : � — S-ðåçîëüâåíòà.
Òåîðåìà äîêàçàíà ñ ðåçóëüòèðóþùèì ïðàâèëîì C5 , ïðè ýòîì èñòèííîñòü
åå çàêëþ÷åíèÿ ðàâíà r . Àðãóìåíòàöèåé ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ
öåïî÷êà ðàññóæäåíèé: èñõîäíûå ôàêòû � ïðàâèëî C4 � ïðàâèëî C5 �
� çàêëþ÷åíèå òåîðåìû.
Øàã 12. Åñëè íåò äðóãèõ ïîäõîäÿùèõ ïðàâèë, êîíñåêâåíòû êîòîðûõ ïîçâî-
ëèëè áû äîñòè÷ü öåëü G0 , òî äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøèòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âû-
áðàòü ïðàâèëî, àíòåöåäåíò êîòîðîãî èìååò íàèìåíüøå ëèòåð, è ïðîöåññ ïîâòî-
ðèòü. Åñëè ïðàâèëà èìåþò àíòåöåäåíòû îäèíàêîâîé äëèíû, òî äîêàçàòåëüñòâî
ïðîâîäèòñÿ äëÿ êàæäîãî èç íèõ.  ýòîì ñëó÷àå èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû
áóäåò ìàêñèìàëüíîé ïðè âñåõ ðåçóëüòèðóþùèõ ïðàâèëàõ, à àðãóìåíòàöèÿ ýòîãî
çàêëþ÷åíèÿ áóäåò àðãóìåíòàöèåé äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.
Ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì âêëþ÷àåò äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå (øàãè 1–8)
îïðåäåëÿåòñÿ öåïî÷êà ðàññóæäåíèé, âåäóùàÿ ê öåëè, à íà âòîðîì ýòàïå
(øàãè 9–11) âû÷èñëÿåòñÿ èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèé ïðàâèë òåîðåìû.
ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÏÐÅÄËÀÃÀÅÌÎÃÎ ÏÎÄÕÎÄÀ
1.  êëàññè÷åñêîé ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà ðåçîëüâåíòû ïðèñîåäèíÿþòñÿ ê èñõîä-
íîìó ìíîæåñòâó äèçúþíêòîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê åãî óâåëè÷åíèþ, à ñîîòâåòñòâåííî
54 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
è ê ïîòåðè ýôôåêòèâíîñòè. Ïðèìåíÿÿ S-ðåçîëþöèþ, ïîëó÷àåì â êà÷åñòâå ðå-
çîëüâåíòû óêîðî÷åííóþ íååäèíè÷íóþ ïîñûëêó. Ïîñêîëüêó ñòàòóñ îòðåçàííîé
ëèòåðû ôèêñèðóåòñÿ â åå ñåìàíòè÷åñêîì èíäåêñå, ôàêòè÷åñêè íåò íåîáõîäèìî-
ñòè ýòó ëèòåðó îòðåçàòü, à ðåçîëüâåíòó ïðèñîåäèíÿòü ê òåêóùåìó ìíîæåñòâó.
2. Ïðèìåíåíèå S-ðåçîëþöèè ïîçâîëÿåò áëîêèðîâàòü áåñêîíå÷íûå âåòâè ïðî-
öåññà äîêàçàòåëüñòâà. Íàïðèìåð, ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ:
1) �P a( ) ,
2) � �P f f x P x( ( ( ))) ( ) .
Ïðèìåíÿÿ ðåçîëþöèþ ê ýòèì äèçúþíêòàì, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé áåñ-
êîíå÷íûé âûâîä: �P f f a( ( ( ))) , �P f f f f a( ( ( ( ( ))))) , …
Òåïåðü ïðåäñòàâèì ýòî ìíîæåñòâî â ñòðóêòóðèðîâàííîì âèäå:
3) �P aô ( ) ,
4) � �P f f x P xa ( ( ( ))) ( )ê .
 ýòîì ñëó÷àå S-ðåçîëþöèÿ ê òàêèì äèçúþíêòàì íå ïðèìåíèìà ïî îïðåäåëåíèþ.
3. Ïðèìåíåíèå S-ðåçîëþöèè äàåò âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëÿòü äîêàçàòåëüñòâî
ïðè íàëè÷èè ïðîòèâîðå÷èâîé èíôîðìàöèè, êîòîðàÿ â êëàññè÷åñêîé ëîãèêå ïîçâî-
ëÿåò èç óòâåðæäåíèÿ A è åãî îòðèöàíèÿ �A ïîëó÷èòü ëþáîå ñóæäåíèå. Íàïðèìåð,
ïóñòü òåîðåìà ïðåäñòàâëåíà ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ:
1) A,
2) �A,
3) � �B C,
4) �P.
Çäåñü äèçúþíêòû 1) è 2) — ôàêòû, 3) — ïðàâèëî âûâîäà, 4) — îòðèöàíèå çà-
êëþ÷åíèÿ òåîðåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå P âûâîäèìî. Ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì S-ðåçîëþöèè ïîëó÷èòü òàêîé âûâîä íåâîçìîæíî, òàê êàê ê äèçú-
þíêòàì-ôàêòàì S-ðåçîëþöèÿ òàêæå íå ïðèìåíèìà.
4. Ïðèìåíåíèå êîìïîçèöèîííîãî ïðàâèëà â êà÷åñòâå ïðàâèëà âûâîäà ïîçâî-
ëÿåò ïåðåéòè îò «ìåëêèõ», íå åñòåñòâåííûõ äëÿ íàøåãî ïîíèìàíèÿ çàêëþ÷åíèé,
êàêèìè ÿâëÿþòñÿ ðåçîëüâåíòû, ê ïðîäóêöèîííûì âûâîäàì, êîòîðûå áëèçêè ê ñî-
äåðæàòåëüíîìó ðàññóæäåíèþ, ïðèâû÷íîìó äëÿ íàñ, è ïîçâîëÿþò èíòóèòèâíî
ïðîñëåäèòü çà êàæäûì øàãîì ïðîöåññà äîêàçàòåëüñòâà.
5. Ââåäåíèå â àëôàâèò ÿçûêà ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ñïåöèàëüíûõ êîíñòàíò, îáî-
çíà÷àþùèõ òåðìû ëèíãâèñòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, è ïðåäèêàòíûõ ñèìâîëîâ, êîòî-
ðûå îòîáðàæàþò íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿåò îñóùåñòâèòü äîêàçàòåëüñòâî êàê
â íå÷åòêîé, òàê è â äâóçíà÷íîé ëîãèêå êàê åå ÷àñòíîì ñëó÷àå. Ïðè ýòîì äîïóñêà-
åòñÿ èñïîëüçîâàíèå íå âïîëíå èñòèííîé àðãóìåíòàöèè.
6. Ïðåäëîæåííûå ìåõàíèçìû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòîé S-âûâîä.
Àðãóìåíòàöèåé ýòîìó ìîãóò áûòü ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ.
Èçâåñòíî, ÷òî ñëîæíîñòü âûâîäà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì äèçúþíêòîâ â åãî ëè-
íåéíîé çàïèñè. Ïóñòü D — ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ; �— ïóñòîé äèçúþíêò, ïðè-
÷åì D |�� � . Îáîçíà÷èì � âûâîä äèçúþíêòà � èç D, ãäå êàæäûé äèçúþíêò ÿâëÿ-
åòñÿ ëèáî ÷ëåíîì D, ëèáî ðåçîëüâåíòîé. Ïîýòîìó ñëîæíîñòü âûâîäà � íåïîñðåä-
ñòâåííî çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ðåçîëüâåíò. Ïðè ýòîì áóäåì ðàçëè÷àòü
ðåçîëüâåíòû äâóõ âèäîâ: ïîëåçíûå ðåçîëüâåíòû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü
ïóñòîé äèçúþíêò, è áåñïîëåçíûå ðåçîëüâåíòû.
Ïîëåçíûå ðåçîëüâåíòû ôîðìèðóþòñÿ, êîãäà îòðåçàåìûìè ÿâëÿþòñÿ ëèòåðà
äèçúþíêòà-ôàêòà è ëèòåðà àíòåöåäåíòà äèçúþíêòà-ïðàâèëà. Ïðè ýòîì ÷åì ìåíüøå
ëèòåð ñîäåðæàò ïîñûëêè, òåì ìåíüøå ïîëåçíûõ ðåçîëüâåíò. Â ïðåäëàãàåìîì ïîä-
õîäå ðåçîëüâåíòû âñåãäà ïîëåçíû, òàê êàê óêàçàííîå óñëîâèå ïîëó÷åíèÿ ðåçîëü-
âåíò ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ïðèìåíåíèÿ S-ðåçîëþöèè. Ñîêðàùåíèå òàêèõ ðåçîëüâåíò
ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíî çà ñ÷åò âûáîðà ïðàâèë ñ êîðîòêèìè àíòåöåäåíòàìè.
Ãåíåðèðîâàíèå áåñïîëåçíûõ ðåçîëüâåíò âîçìîæíî â äâóõ ñëó÷àÿõ.  ïåðâîì
ñëó÷àå îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû, êîãäà ðåçîëþöèÿ ïðèìåíÿåòñÿ ê ïîñûëêàì-ôàê-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 55
òàì èëè ïîñûëêàì-ïðàâèëàì. Åñëè ìíîæåñòâî äèçúþíêòîâ íå ñòðóêòóðèðîâàíî, òî
òàêîå ïðèìåíåíèå ðåçîëþöèè âîçìîæíî. Ïðèìåíåíèå S-ðåçîëþöèè ïîçâîëÿåò çà-
áëîêèðîâàòü çàâåäîìî íåïåðñïåêòèâíûå ïîñûëêè è òàêèì îáðàçîì ñîêðàòèòü ïðî-
ñòðàíñòâî ïîèñêà ðåøåíèÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå áåñïîëåçíûå ðåçîëüâåíòû ìîãóò
áûòü ïîëó÷åíû, êîãäà âîçìîæíû ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ïðèìåíåíèÿ ðåçîëþöèè, íà-
ïðèìåð åñëè òåîðåìà ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì ìíîæåñòâîì äèçúþíêòîâ:
1) P i x x e( ( ), , ) ,
2) P e x x( , , ) ,
3) � �� �� �P x y u P y z P u z w P x w( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � ,
4) � �� �� �P x y u P y z P x w P u z w( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � ,
5) �P a e a( , , ) .
Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ñòðóêòóðèðîâàíî.  íåì äèçúþíê-
òû 1) è 2) ÿâëÿþòñÿ ôàêòàìè, äèçúþíêòû 3) è 4) — ïðàâèëàìè âûâîäà, äèçú-
þíêò 5) — çàêëþ÷åíèåì òåîðåìû.  ýòîì ñëó÷àå S-ðåçîëþöèÿ ê äèçúþíêòàì 3) è
4) íå ïðèìåíèìà ïî îïðåäåëåíèþ. À ïðè ïðèìåíåíèè S-ðåçîëþöèè, íàïðèìåð,
ê äèçúþíêòàì 1) è 3) íåîïðåäåëåííîñòü âûáîðà ðåçîëüâèðóþùèõ ëèòåð ìîæåò
áûòü óñòðàíåíà ñ ó÷åòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ îòðåçàíèÿ, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ â
ñåìàíòè÷åñêèõ èíäåêñàõ ýòèõ ëèòåð.
Òàêæå íåîïðåäåëåííîñòü âûáîðà ðåçîëüâèðóþùèõ ëèòåð ìîæåò áûòü óìåíü-
øåíà, èñïîëüçóÿ äåäóêòèâíóþ ñâÿçü ïðàâèë è îáðàòíóþ öåïî÷êó ðàññóæäåíèé,
êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ïðàâèëà, íå èìåþùèå ïðÿìîãî îò-
íîøåíèÿ ê çàêëþ÷åíèþ òåîðåìû.
Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè ñêàçàííîãî ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ñîêðàùåíèå
ðåçîëüâåíò â S-âûâîäå ïðîèñõîäèò ïðè ó÷åòå óïðàâëÿþùåé èíôîðìàöèè, êîòîðàÿ
îòðàæàåò ñïåöèôèêó çàäà÷è è íàõîäèòñÿ â ñåìàíòè÷åñêèõ èíäåêñàõ ëèòåð òåîðåìû.
À ïîñêîëüêó èçâåñòíûå îáîáùåíèÿ ïðèíöèïà ðåçîëþöèé íà íå÷åòêèå óòâåðæäåíèÿ
òàêóþ èíôîðìàöèþ íå èñïîëüçóþò, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðåäëîæåííûé ïîäõîä
ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì è áîëåå ãèáêèì.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íå÷åòêîå óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå àêòèâíûõ
è ðåçóëüòàòèâíûõ îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Àëãî-
ðèòìû íå÷åòêîãî óïðàâëåíèÿ îñíîâàíû íà íå÷åòêîì âûâîäå è ïðèìåíÿþòñÿ
â ñëîæíûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ â êà÷åñòâå èíòåëëåêòóàëüíûõ êîíòðîëëå-
ðîâ [20]. Îñíîâíàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåì íå÷åòêîãî óïðàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â âûðà-
áîòêå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè íå÷åòêèõ ïðîäóêöèé óïðàâëÿþùèõ âîçäåé-
ñòâèé íà îñíîâå ïîñòóïàþùåé îò äàò÷èêîâ òåëåìåòðè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Òà-
êèå ñèñòåìû îòíîñÿòñÿ ê êëàññó ðåôëåêñíûõ ñèñòåì, ôóíêöèîíèðîâàíèå
êîòîðûõ îñíîâàíî íà íåïîñðåäñòâåííîì îòîáðàæåíèè ñîñòîÿíèé â äåéñòâèÿ.
Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå öåëü óïðàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íà îñíî-
âàíèè àíàëèçà òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà óïðàâëåíèÿ è âíåøíåé ñðåäû îïðåäå-
ëèòü óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ, ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ ïîçâîëèò îáåñïå÷èòü æåëàå-
ìîå ïîâåäåíèå èëè ñîñòîÿíèå îáúåêòà óïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìó â áîëüøèíñòâå ïðî-
áëåìíûõ ñèòóàöèé óïðàâëåíèå ïî ñâîåé ñóòè äîëæíî áûòü ñèòóàöèîííûì.
Îñíîâíûìè çàäà÷àìè ñèòóàöèîííîãî óïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îöåíêà (ðàñïîçíà-
âàíèå) ñèòóàöèé, îïðåäåëåíèå óïðàâëÿþùèõ ðåøåíèé è âûðàáîòêà ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ âîçäåéñòâèé íà îáúåêò óïðàâëåíèÿ.  [21] ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷è îöåíêè ñèòóà-
öèé è âûðàáîòêè óïðàâëÿþùèõ ðåøåíèé â ìîäåëÿõ ñèòóàöèîííîãî óïðàâëåíèÿ ìî-
ãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êàê çàäà÷è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì, à ïðîöåäóðû èõ
ðåøåíèÿ (â ñîâîêóïíîñòè) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íå÷åòêèé íåäåòåðìèíèðîâàí-
íûé ñåêâåíöèàëüíûé àâòîìàò âûðàáîòêè óïðàâëÿþùèõ ðåøåíèé. Èñïîëüçîâàíèå
òàêîãî àâòîìàòà â òåõíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ îñîáåííî ïåðñïåêòèâíûì
ïðè óïðàâëåíèè àâòîíîìíûìè ðîáîòèçèðîâàííûìè ñèñòåìàìè [22], íàïðèìåð áåñ-
ïèëîòíûìè ëåòàþùèìè àïïàðàòàìè, êîòîðûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ øèðîêî èñïîëüçó-
þòñÿ êàê â ìèðíûõ, òàê è â âîåííûõ öåëÿõ. Òàêèå ðîáîòû äîëæíû ñàìîñòîÿòåëüíî
56 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
äåéñòâîâàòü â çàðàíåå íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ, îöåíèâàòü îêðóæàþùóþ ñðåäó,
ïðèíèìàòü è ðåàëèçîâûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå óïðàâëÿþùèå ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó
ïðèìåíåíèå íå÷åòêîãî ñåêâåíöèàëüíîãî àâòîìàòà, îñîáåííî ñîâìåñòíî ñ ìåõàíèç-
ìàìè íå÷åòêîãî óïðàâëåíèÿ, ïîçâîëèò îáåñïå÷èòü â íåêîòîðîé ìåðå àâòîíîìíîñòü
è öåëåíàïðàâëåííîå ïîâåäåíèå ðîáîòèçèðîâàííûõ ñèñòåì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåí ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì ñ íå÷åòêîé àðãóìåíòàöèåé.  êà÷å-
ñòâå ïðàâèëà äîêàçàòåëüíîãî ðàññóæäåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ êîìïîçèöèîííîå ïðàâè-
ëî, à åãî ïðîöåäóðíàÿ ðåàëèçàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ S-ðåçîëþöèåé. Òàêîå êîì-
ïëåêñèðîâàíèå ïîçâîëÿåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, ñíÿòü ïðîáëåìó çíà÷èìîñòè ðåçîëü-
âåíò â ñìûñëå (1), à ñ äðóãîé — îáåñïå÷èòü ðåãóëÿðíîñòü ïðîöåññà
äîêàçàòåëüñòâà êàê â íå÷åòêîé ëîãèêå, òàê è â åå ÷àñòíîì ñëó÷àå — äâóçíà÷íîé
ëîãèêå. Ïðè ýòîì äîïóñêàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå íå âïîëíå èñòèííîé àðãóìåíòàöèè.
 öåëîì äàííûé ïîäõîä ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ïðè ïîñòðîåíèè äî-
êàçàòåëüñòâà òåîðåì â íå÷åòêîé ëîãèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîöåäóðû îïðîâåðæåíèÿ.
Îí íå ïðåòåíäóåò íà çàâåðøåííîñòü è ñëóæèò ëèøü èëëþñòðàöèåé èñïîëüçîâàíèÿ ìå-
õàíèçìîâ ïðèáëèæåííûõ ðàññóæäåíèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ íå÷åòêîãî âûâîäà ðåçîëþöèîí-
íîãî òèïà è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí â êà÷åñòâå ìåòîäîëîãè÷åñêîé îñíîâû äëÿ ðàçðà-
áîòêè ðåãóëÿðíûõ àëãîðèòìîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ñ íå÷åòêîé àðãóìåíòàöèåé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìóêàèäîíî Ì.À. Íå÷åòêèé âûâîä ðåçîëþöèîííîãî òèïà.  êí.: Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà è òåî-
ðèÿ âîçìîæíîñòåé (ïîä ðåä. ßãåðà Ð.). Ìîñêâà: Ðàäèî è ñâÿçü, 1986. Ñ. 153–161.
2. Dubois D., Prade H. Necessity and the resolution principle. IEEE Transactions on Systems, Man,
and Cybernetics. 1987. Vol. 17, N 3. P. 474–478.
3. Kim C.S., Kim D.S., Park J. A new fuzzy resolution principle based on the antonym. Fuzzy Sets and
Systems. 2000. Vol. 113, N 2. P. 299–307.
4. Fontana F.A., Formato F. A similarity-based resolution principle. International Journal of Intelligent
Systems. 2002. Vol. 17, N 9. P. 853–872.
5. Raha S., Ray K.S. Approximate reasoning based on generalised disjunctive syllogism. Fuzzy Sets
and Systems. 1994. Vol. 61, N 2. P. 143–151.
6. Habiballa H. Resolution principle in fuzzy predicate logic. Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis.
Ser. C. 2005. N 9. P. 3–12
7. Habiballa H. Resolution principle and fuzzy logic. Fuzzy Logic — Algorithms, Techni-
ques and Implementations. Ch. 3. London: IntechOpen, 2012. P. 20.
8. Øòîâáà Ñ.Ä. Ïðîåêòèðîâàíèå íå÷åòêèõ ñèñòåì ñðåäñòâàìè MATLAB. Ìîñêâà: Ãîðÿ÷àÿ ëèíèÿ.
Òåëåêîì, 2007. 288 ñ.
9. Raha S., Pal N.R., Ray K.S. Similarity based approximate reasoning: Methodology and application.
IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernatics. Part A: Systems and humans. 2002. Vol. 32,
N 4. P. 541–547.
10. Mondal B., Mazumdar D., Raha S. Similarity in approximate reasoning. International Journal of
Computational Cognition. 2006. Vol. 4, N 3. P. 46–56.
11. Mondal B., Raha S. Similarity-based inverse approximate reasoning. IEEE Transaction on Fuzzy
Systems. 2011. Vol. 19, N 6. P. 1058–1071.
12. Mondal B., Raha S. Approximate reasoning in fuzzy resolution. International Journal of Intelligence
Science. 20113. Vol. 3, N 2. P. 86–98.
13. Ñàìîõâàëîâ Þ.ß. Ìåòîä ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííîãî äîêàçàòåëüñòâà â íå÷åòêîé ëîãèêå.
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1995. ¹ 5. Ñ. 58–68.
14. Çàäå Ë.À. Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå ê ïðèíÿòèþ ïðèáëèæåí-
íûõ ðåøåíèé. Ìîñêâà: Ìèð, 1976. 165 ñ.
15. Bofill M., Moreno G., V�zquez C., Villaret M. Automatic proving of fuzzy formulae with fuzzy
logic programming and SMT. Actas de las XIII Jornadas sobre Programacio' n y Lenguajes,
PROLE’13, Jornadas SISTEDES, Madrid, 18–20 September 2013. P. 151–165.
16. Ñàìîõâàëîâ Þ.ß. Îöåíêà îáîñíîâàííîñòè óïðàâëåí÷åñêèõ ðåøåíèé íà îñíîâå íå÷åòêîé ëîãèêè.
Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2017. ¹ 3. C. 26–34.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 57
17. Ñàìîõâàëîâ Þ.ß. Ñîãëàñîâàíèå ýêñïåðòíûõ îöåíîê â ìàòðèöàõ îòíîøåíèé ïðåäïî÷òåíèÿ.
Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. 2002. ¹ 6. Ñ. 49–53.
18. Zwick R., Carlstein E., Budescu D.V. Measures of similarity among fuzzy concepts: A comparative
analysis. International Journal of Approximat. 1987. Vol. 1, N 2. P. 221–242.
19. Mondal B., Mazumdar D., Raha S. Similarity in approximate reasoning. International Journal of
Computational Cognition. 2006. Vol. 4, N 3. P. 46–56.
20. Wilamowski B.M., Irwin J.D. (Eds.) The industrial electronics handbook: Intelligent systems. Boca
Raton: CRC Press, 2011. 610 p.
21. Ñàìîõâàëîâ Þ.ß. Àâòîìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì è íå÷åòêèé ñèòóàöèîííûé ïîèñê
ðåøåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. ¹ 4. Ñ. 53–60.
22. Ford M. The rise of the robots: Technology and the threat of jobless future. New York: Basic Books,
2015. 334 p.
Íàä³éøëî äî ðåäàêö³¿ 22.01.2018
Þ.ß. Ñàìîõâàëîâ
ÄÎÂÅÄÅÍÍß ÒÅÎÐÅÌ Ó ÍÅײÒÊ²É ËÎòֲ ÍÀ ÎÑÍβ ÑÒÐÓÊÒÓÐÍί ÐÅÇÎËÞÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ï³äõ³ä äî äîâåäåííÿ òåîðåì ó íå÷³òê³é ëîã³ö³ ³ íå
ö³ëêîì ³ñòèííîþ àðãóìåíòàö³ºþ. ßê ïðàâèëî äîêàçîâîãî ì³ðêóâàííÿ âèêî-
ðèñòîâóþòü êîìïîçèö³éíå ïðàâèëî âèâåäåííÿ Ë. Çàäå, à éîãî ïðîöåäóðíà
ðåàë³çàö³ÿ çä³éñíþºòüñÿ ìåõàí³çìîì ñïðîñòóâàííÿ. Ñòðóêòóðíà ðåçîëþö³ÿ
(S-ðåçîëþö³ÿ), ÿêà º óçàãàëüíåííÿì ïðèíöèïó ðåçîëþö³é íà íå÷³òê³ òâåð-
äæåííÿ, çàïðîïîíîâàíà ÿê òàêèé ìåõàí³çì. S-ðåçîëþö³ÿ áàçóºòüñÿ íà ñåìàí-
òè÷íèõ ³íäåêñàõ ë³òåð ³ ¿õí³é ñõîæîñò³. Ñåìàíòè÷í³ ³íäåêñè º ³ñòîòíèì ìî-
ìåíòîì S-ðåçîëþö³¿. Âîíè ì³ñòÿòü ³íôîðìàö³þ, ÿêà âèêîðèñòîâóºòüñÿ ÿê
êåð³âíà ó ïðîöåñ³ âèâîäó, à ñõîæ³ñòü ïîëÿãຠó ïîøóêó ë³òåð äëÿ îòðèìàííÿ
S-ðåçîëüâåíòè. Êîìïëåêñóâàííÿ êîìïîçèö³éíîãî ïðàâèëà âèâîäó Ë. Çàäå ³
S-ðåçîëþö³¿ äîçâîëÿº, ç îäíîãî áîêó, çíÿòè ïðîáëåìó êîðåêòíîñò³ ðåçîëü-
âåíò â íå÷³òê³é ëîã³ö³, à ç ³íøîãî — çàáåçïå÷èòè ðåãóëÿðí³ñòü ïðîöåñó äî-
âåäåííÿ ÿê â äâîçíà÷í³é, òàê ³ â íå÷³òê³é ëîã³ö³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: àâòîìàòè÷íå äîâåäåííÿ òåîðåì, íå÷³òêà òåîðåìà, ïðèíöèï
ðåçîëþö³é, íå÷³òêà ëîã³êà, íàáëèæåí³ ì³ðêóâàííÿ, óçàãàëüíåíå ïðàâèëî
modus ponens, êîìïîçèö³éíå ïðàâèëî, íå÷³òê³ ïðåäèêàòè, íå÷³òê³ ³
ë³íãâ³ñòè÷í³ çì³íí³.
Yu.Ya. Samokhvalov
PROOF OF THEOREMS IN FUZZY LOGIC ON THE BASIS OF STRUCTURAL RESOLUTION
Abstract. The author considers the approach to proof of theorems with fuzzy
and not quite true argumentation. In this approach, the Zadeh composition rule
of correctness is used as a rule of evidence, and its procedural implementation is
carried out by refutation mechanism. As such a mechanism, a structural
resolution (S-resolution) is proposed, which is a generalization of the principle
of resolutions to fuzzy statements. S-resolution is based on semantic indices of
letters and their similarity. Semantic indices are a key point of S-resolution.
They contain information that is used as a control for the derivation process.
And similarity implies finding letters to get S-resolvent. Combining the Zadeh
compositional derivation rule and S-resolution allows, on the one hand, solving
the problem of correctness of resolvents in fuzzy logic, and on the other hand,
ensuring the regularity of the proof process in both two-valued and fuzzy logic.
Keywords: automatic proof of theorems, fuzzy theorem, principle of resolutions,
fuzzy logic, approximate reasoning, generalized rule of modus ponens,
composition rule, fuzzy predicates, fuzzy and linguistic variables.
Ñàìîõâàëîâ Þðèé ßêîâëåâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: yu1953@ukr.net.
58 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
|