Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами
Рассмотрена проблема интерпретации данных, полученных в экспериментальных исследованиях, как неклассическая математическая задача, которая в большинстве случаев является в широком смысле некорректно поставленной. Использована дополнительная информация об объекте в виде уравнений локальных связей, оп...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180848 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859803867175190528 |
|---|---|
| author | Губарев, В.Ф. |
| author_facet | Губарев, В.Ф. |
| citation_txt | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрена проблема интерпретации данных, полученных в экспериментальных исследованиях, как неклассическая математическая задача, которая в большинстве случаев является в широком смысле некорректно поставленной. Использована дополнительная информация об объекте в виде уравнений локальных связей, определяющих его замкнутую или незамкнутую математическую модель. Описаны процедуры регуляризации, позволяющие находить практически пригодные решения, согласованные с имеющимися данными.
Розглянуто проблему інтерпретації даних, отриманих в експериментальних дослідженнях, як некласичну математичну задачу, що у більшості випадків є в широкому сенсі некоректно поставленою. Використано додаткову інформацію про об'єкт у вигляді рівнянь локальних зв'язків, які визначають його замкнуту або незамкнуту математичну модель. Описано процедури регуляризації, що дозволяють знаходити практично придатні розв'язки, узгоджені з наявними даними.
Interpretation problem for data obtained in experimental research is considered as a nonclassical mathematical problem, which generally is ill-posed in many cases. Additional information in the form of equations of local constraints that define its closed or open mathematical model are used for this. Regularization procedures are described, which make possible to find applicable solutions consistent with available data.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:14:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Â.Ô. ÃÓÁÀÐÅÂ
ÓÄÊ 519.7 ÏÐÎÁËÅÌÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈÈ ÄÀÍÍÛÕ.
I. ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÌÈ
ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà èíòåðïðåòàöèè äàííûõ, ïîëó÷åííûõ
â ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèÿõ, êàê íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à,
êîòîðàÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ÿâëÿåòñÿ â øèðîêîì ñìûñëå íåêîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííîé. Èñïîëüçîâàíà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ îá îáúåêòå â âèäå óðàâíåíèé
ëîêàëüíûõ ñâÿçåé, îïðåäåëÿþùèõ åãî çàìêíóòóþ èëè íåçàìêíóòóþ ìàòåìàòè÷åñ-
êóþ ìîäåëü. Îïèñàíû ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü ïðàêòè-
÷åñêè ïðèãîäíûå ðåøåíèÿ, ñîãëàñîâàííûå ñ èìåþùèìèñÿ äàííûìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, èí-
òåðïðåòàöèÿ, íåêîððåêòíîñòü, ðåãóëÿðèçàöèÿ, ðåäóêöèÿ ìîäåëè, îáîáùåííîå
ðåøåíèå, âàðèàöèîííûé ìåòîä.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ìàòåìàòèêå ðàçëè÷àþò êîððåêòíî è íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå çàäà÷è.
Ê ïåðâûì îòíîñÿò òàêèå, äëÿ êîòîðûõ óñòàíîâëåíà èõ òî÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü,
ò.å. äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïîëó÷àåìîãî ðåøåíèÿ. Êðîìå
òîãî, åñëè èñõîäíûå äàííûå ñîäåðæàò ïîãðåøíîñòü, òî âàæíåéøèì ôàêòîðîì
ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ, à èìåííî åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê äîïóñòèìûì
âàðèàöèÿì äàííûõ. Ýòî õàðàêòåðèçóåò ïðàêòè÷åñêóþ ïðèãîäíîñòü ðåøåíèé,
ñ êîòîðîé àññîöèèðóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó. Ê íå-
êîððåêòíî ïîñòàâëåííûì çàäà÷àì ÷àñòî îòíîñÿò òàêæå òàêèå, äëÿ êîòîðûõ
íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü èõ êîððåêòíîñòü, ò.å. äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåí-
íîñòü è óñòîé÷èâîñòü èñêîìîãî ðåøåíèÿ. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî òåì,
÷òî ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ íåêîð-
ðåêòíûõ çàäà÷, êàê ïðàâèëî, îáåñïå÷èâàþò ñõîäèìîñòü ê êëàññè÷åñêîìó ðåøå-
íèþ, åñëè èñõîäíàÿ çàäà÷à áûëà êîððåêòíîé.
 ðàáîòå ôîðìóëèðóåòñÿ è àíàëèçèðóåòñÿ ïðîáëåìà ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòà-
öèè äàííûõ, ïîëó÷àåìûõ ïðè ïðîâåäåíèè ýêñïåðèìåíòîâ íà èññëåäóåìîì îáúåêòå, êî-
òîðàÿ íå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè è âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ
ñâîäèòñÿ ê íåîáõîäèìîñòè ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Çàäà÷è, êîòîðûå íåîáõîäèìî ðåøàòü ïðè ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè äàí-
íûõ, îòëè÷àþòñÿ îò ðàññìàòðèâàåìûõ â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå òåì, ÷òî èõ
ñëîæíî êëàññèôèöèðîâàòü è óñòàíîâèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îíè ðàçðåøèìû.
Ïîýòîìó òàêèå çàäà÷è ìîæíî òðàêòîâàòü êàê íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå â óêà-
çàííîì âûøå ñìûñëå. Ïðè ýòîì èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ èõ ðåøåíèÿ ÿâëÿþò-
ñÿ ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ èëè íàáëþäåíèÿ çà ñîñòîÿíèåì ëèáî ïîâåäåíèåì íå-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 59
� Â.Ô. Ãóáàðåâ, 2019
êîòîðîãî ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî îáúåêòà, ïîëó÷åííûå â ïðîöåññå ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé. Äàííûå èçìåðåíèé ìîãóò áûòü êîñâåííûìè, ò.å. çàäà-
âàòüñÿ â âèäå ñîîòíîøåíèé èëè îïåðàòîðîâ, ñâÿçûâàþùèõ èõ ñ ïåðåìåííûìè
ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà. Òàêóþ ñâÿçü çàïèøåì â âèäå óðàâíåíèÿ íàáëþäåíèÿ
y h w u� ( , ), (1)
ãäå y — âåêòîð èçìåðÿåìûõ ïåðåìåííûõ, èìåþùèé êîíå÷íóþ ðàçìåðíîñòü M , w —
ñîñòîÿíèå îáúåêòà (êîíå÷íîìåðíîå èëè áåñêîíå÷íîìåðíîå), u — âåêòîð âõîäíîãî
âîçäåéñòâèÿ, êîòîðûé â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ òàêæå êîíå÷íîìåðíûé ðàçìåðíîñòè R.
Çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè äàííûõ âîçíèêàåò, êîãäà èç (1) ïî y è u íåâîçìîæíî
íàéòè w, ò.å. ñèñòåìà (1) íåçàìêíóòà. Íàïðèìåð, â ïðîñòåéøåì ëèíåéíîì ñëó÷àå
ôîðìóëà (1) ñ âåêòîðîì âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ x ïðèíèìàåò âèä
y Cx Du� � , (2)
ãäå â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå C — ìàòðèöà ðàçìåðà M N� (N — ïîðÿäîê ñèñ-
òåìû), ìàòðèöà D èìååò ðàçìåð M R� , à äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì C —
ëèíåéíûé îïåðàòîð, îñóùåñòâëÿþùèé îòîáðàæåíèå ëèíåéíîãî áåñêîíå÷íîìåðíîãî
âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà â êîíå÷íîìåðíîå. Ïðè ýòîì ñèñòåìà (2) íåäîîïðåäåëåíà
îòíîñèòåëüíî x, ò.å. èçìåðåíèÿ íåïîëíûå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç (1) èëè (2) íåâîç-
ìîæíî îïðåäåëèòü âåêòîð ñîñòîÿíèÿ. Òîãäà íåîáõîäèìà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîð-
ìàöèÿ îá èññëåäóåìîé ñèñòåìå. Îáû÷íî â òàêîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ïðîöåññû èëè ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. ×àùå âñåãî îíà
èìååò âèä ëîêàëüíûõ ñâÿçåé ìåæäó åå îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè. Äëÿ äèíàìè÷åñ-
êèõ ñèñòåì ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè òàêèå ñâÿçè çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ (ðàçíîñòíûõ) óðàâíåíèé èëè ñèñòåì óðàâíå-
íèé. Â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ëîêàëüíàÿ ìîäåëü çàäàåòñÿ
â âèäå óðàâíåíèé èëè ñèñòåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Ôóíêöèîíàëüíî-àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìà â âèäå îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé ïîçâî-
ëÿåò îáúåäèíèòü îáà ñëó÷àÿ è çàïèñàòü ëîêàëüíóþ ìîäåëü êàê
L D w f( ) � , (3)
ãäå D — îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, w — ñêàëÿðíîå èëè âåêòîðíîå ïîëå,
õàðàêòåðèçóþùåå âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, w x� â ñîñðåäîòî÷åííûõ
ñèñòåìàõ, f — ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò u è îïðåäåëÿþùàÿ êëàññè÷åñêîå èëè
îáîáùåííîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó.
 êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå ôîðìóëà (3) äîïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì,
êîòîðîå â îáùåì âèäå çàïèøåì êàê
L D w w0 0( ) � , t t� 0 . (4)
 ïðîñòðàíñòâåííî-ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåìàõ w w z t� ( , ), ãäå ïåðåìåííàÿ z
ïðèíàäëåæèò îòêðûòîé îáëàñòè G åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àÿ ãðàíèöó �G,
à âðåìåííàÿ ïåðåìåííàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé t t� 0 èëè êî-
íå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå S . Êðîìå òîãî, äëÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïà-
ðàìåòðàìè çàïèñûâàþòñÿ ãðàíè÷íûå èëè êðàåâûå óñëîâèÿ, êîòîðûå â îïåðàòîð-
íîì ïðåäñòàâëåíèè èìåþò âèä
l D w f z t� �( ) ( , )� , z G � , t t� 0 èëè t S , (5)
ãäå l� — ëèíåéíûé îïåðàòîð, f z t� ( , ) — ôóíêöèÿ èëè âåêòîð-ôóíêöèÿ, êëàñ-
ñè÷åñêàÿ ëèáî îáîáùåííàÿ, êîòîðóþ ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííîé. Çàìåòèì, ÷òî
äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîìèìî çàäà÷è Êîøè ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ òàêæå êðàåâûå çàäà÷è.
 ìàòåìàòèêå êðîìå êëàññè÷åñêèõ èññëåäóþòñÿ çàäà÷è, òðàêòóåìûå êàê îáðàò-
íûå. Èìååòñÿ ìíîãî ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ òàêèì çàäà÷àì (íåêîòîðûå èç íèõ
îïèñàíû â [1, 2]). Îñíîâíîå âíèìàíèå â îáðàòíûõ çàäà÷àõ óäåëÿåòñÿ âîïðîñàì èõ
ðàçðåøèìîñòè â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîãî ïîäõîäà.  çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåð-
ïðåòàöèè, ðàññìàòðèâàåìûõ â íàñòîÿùåé ñòàòüå, àêöåíò äåëàåòñÿ íà òîì, êàê ïî íå-
60 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ïîëíûì äàííûì, ïîëó÷àåìûì ïðè äîïóñòèìûõ èçìåðåíèÿõ â âèäå (1), ðàñøèðèòü
è óòî÷íèòü èõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ëîêàëüíûõ ñâÿçåé, ïðåäñòàâëÿåìûõ óðàâíåíèÿ-
ìè (3). Äàííûå ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè è íå ìîãóò èçìåíÿòüñÿ, ïîñêîëüêó èìåííî èõ
íåîáõîäèìî èíòåðïðåòèðîâàòü. Ìîäåëü äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåííûå ïðåä-
ñòàâëåíèÿ è óïðîùåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ñîãëàñîâûâàòü åå ñ èìåþùèìèñÿ äàííûìè
òàê, ÷òîáû çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè èìåëà ïðàêòè÷åñêè ïðèãîäíîå ðåøåíèå. Áîëåå
òîãî, àäåêâàòíûìè ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ îïèñàíèÿ ðàçíîé ñòðóêòóðû èëè â ðàìêàõ îä-
íîé ñòðóêòóðû çà ñ÷åò íàëè÷èÿ â íèõ íåîïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïðåä-
ñòàâëÿþò ìíîæåñòâî ìîäåëåé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ñâîäèòñÿ
ê ðàñøèðåíèþ çíàíèé î ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû è îïðåäåëåíèþ àïðèîðè
íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Êðîìå òîãî, äîïóñêàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå íåçàìê-
íóòûõ ìîäåëåé îòíîñèòåëüíî âñåõ íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûõ. Ýòè ôàêòîðû îáóñëîâ-
ëèâàþò òðàêòîâàíèå çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè êàê íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé, ïî-
ñêîëüêó åå êîððåêòíîñòü ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì, à íå ïðàâèëîì. Îáû÷íî èìååì íå-
äîîïðåäåëåííóþ èëè ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèòóàöèè. Ïðè íàëè÷èè ïîãðåøíîñòåé
â äàííûõ êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà, ïîýòîìó íàõîäèòñÿ îáîáùåííîå
ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîöåäóð ðåãóëÿðèçàöèè, ò.å. îïðåäåëÿ-
åòñÿ ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå.
ËÈÍÅÉÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ Ñ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòåéøèé ñëó÷àé çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî-
÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, åå óðàâíåíèå íàáëþäåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ëè-
íåéíû. Âíà÷àëå èññëåäóåì íåïðåðûâíóþ ñèñòåìó ñ íåïðåðûâíûì è äèñêðåò-
íûì èçìåðåíèåì, çàòåì äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ îïèøåì ïîäõîä ê ðåøåíèþ
çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè.
Ñëó÷àé íåïðåðûâíûõ äàííûõ. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó èíòåðïðå-
òàöèè ñ óðàâíåíèåì íàáëþäåíèÿ (2) äëÿ ëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ âèäà
dx
dt
Ax Bu� � ,
(6)
ãäå A è B — ìàòðèöû ðàçìåðà N N� è N R� ñîîòâåòñòâåííî.
Ïóñòü èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü íà èíòåðâàëå [ , ]0 T . Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ
ôîðìóëîé Êîøè, ïðåäñòàâëÿþùåé îáùåå ðåøåíèå (6), òî, ñëåäóÿ [3], ìîæíî
ïîëó÷èòü ñ ó÷åòîì (2) ñîîòíîøåíèÿ âõîä–âûõîä. Äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì D
0,
â ðåçóëüòàòå èìååì
y t c t c t x c t cm mp
c
p mp
s
p p
c
mp
s
p mp( ) [( cos sin ) ( cos� � � �� � �
0
c
p p
s
p
P
t
t x e psin ) ]�
�
0
1�
�
� �
� � � �
��
��
�
[ cos ( ) sin ( )]f t f t emp
rc
p mp
rs
p
t
p
P
r
R
� � � �
�
011
p t
ru d m M
( )
( ) , , ,
�
�
�
� � 1 (7)
ãäå � �p p� �0 0, (ñèñòåìà ïðåäïîëàãàåòñÿ óñòîé÷èâîé); f c b c bmp
rc
mp
c
rp
c
mp
s
rp
s� � ;
f c b c bmp
rs
mp
s
rp
c
mp
c
rp
s� � ; x
p
c
0
, x
p
s
0
, cmp
c , cmp
s , brp
c , brp
s — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñ-
òåìû, ýëåìåíòû ìàòðèö C è B ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðîé æîðäàíîâîé ðåàëèçà-
öèè [3]. Çäåñü äëÿ óïðîùåíèÿ ðàññìîòðåí ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ êðàòíûõ êîðíåé
ó ìàòðèöû A. Â ôîðìóëå (7) èñïîëüçîâàëàñü óíèôèöèðîâàííàÿ ôîðìà çàïèñè,
îáúåäèíÿþùåé äåéñòâèòåëüíûå è êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ. Äåéñòâèòåëüíûì êîðíÿì ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðû � p � 0, c bmp
s
rp
s� �
� �x
p
s
0
0. Êðîìå òîãî, â ìàòðèöàõ A, B, C ñëåäóåò óäàëèòü íåêîòîðûå ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ýòèì ïàðàìåòðàì ñòîëáöû. Òîãäà ïîðÿäîê ñèñòåìû N îïðåäåëÿåòñÿ óñëî-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 61
âèåì N P Pr� �2 Im , ãäå Pr — ÷èñëî äåéñòâèòåëüíûõ, à PIm — êîìïëåêñíî-ñî-
ïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ïàðàìåòðû f
mp
c
0
, f
mp
s
0
, f mp
c , f mp
s ÿâëÿþòñÿ
èíâàðèàíòàìè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåâûðîæäåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ ñîõðàíå-
íèåì æîðäàíîâîé ôîðìû ìàòðèöû A.
Ñîîòíîøåíèÿ (7) ïîçâîëÿþò ïî èçâåñòíûì âûõîäíûì ïåðåìåííûì y tm ( ) è
âõîäíûì u tr ( ) îïðåäåëÿòü íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå x
p
c
0
, x
p
s
0
( p P�1, ), à ñëåäîâàòåëü-
íî, è èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ, ÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè. Ïðè
ýòîì èìååì èçáûòî÷íûå äàííûå äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è. Äàæå äëÿ ñèñòåìû
ñ îäíèì âûõîäîì äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y t( ) â P Pr �2 Im
ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, ÷òîáû íàéòè ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ïðè óñëîâèè,
÷òî èçìåðåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ òî÷íûå. Åñëè èçìåðåíèÿ ñîäåðæàò ïîãðåøíîñòü, çà-
äà÷à èíòåðïðåòàöèè ñ âåðîÿòíîñòüþ ïî÷òè åäèíèöà ñ÷èòàåòñÿ íåêîððåêòíî ïî-
ñòàâëåííîé â ñìûñëå ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7).
Ìîæíî íàéòè òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàçûâàþò òàêæå îáîáùåí-
íûì. Åãî íàõîäÿò èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé âàðèàöèîííîé çàäà÷è:
min [( cos sin )
,
,
x x
p P
mp
c
p mp
s
p p
c
p
P
p
c
p
s
c t c t x
0 0
0
1
1
�
�
� �� ��
�
�
�
�
�
� 01
t
m
M
� � �
�
�
�
�
�
( cos sin ) ] ( )c t c t x e y t dtmp
s
p mp
c
p p
s t
m
p� �
�
0
2
, (8)
ãäå
y t y t f t f tm m mp
rc
p mp
rs
p
t
t
p
( ) ( ) [ cos ( ) sin ( )]� � � � �
� � � �
0
��
� �
��
11
P
r
R
t
re u dp� �
� �
( )
( )
åñòü ñèãíàë îò ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, â êî-
òîðîì îíà íàõîäèòñÿ â ìîìåíò t � 0. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà (8) çà-
ïèøåì â âèäå
( )a x a x dpq p
c
pq p
s
p
P
q1 0 2 0 1
1
� �
�
� ,
( )a x a x dpq p
c
pq p
s
p
P
q3 0 4 0 2
1
� �
�
� , q P�1, ,
(9)
ãäå
a c t c t c t c tpq mp
c
p mp
s
p mq
c
q mq
s
q1
� � �( cos sin )( cos sin� � � � )
( )
e dtp q t
T
m
M � �
�
�
� �
01
,
a c t c t c t c tpq mp
s
p mp
c
p mq
c
q mq
s
q2
� � �( cos sin )( cos sin� � � � )
( )
e dtp q t
T
m
M � �
�
�
� �
01
,
d y t c t c t e dtq m mq
c
q mq
s
q
t
T
m
M
q
1
01
� �
�
�
� ( )( cos sin )� �
�
,
a c t c t c t c tpq mp
c
p mp
s
p mq
s
q mq
c
q3
� � �( cos sin )( cos sin� � � � )
( )
e dtp q t
T
m
M � �
�
�
� �
01
,
a c t c t c t c tpq mp
s
p mp
c
p mq
s
q mq
c
q4
� � �( cos sin )( cos sin� � � � )
( )
e dtp q t
T
m
M � �
�
�
� �
01
,
d y t c t c t e dtq m mq
s
q mq
c
q
t
T
m
M
q
2
01
� �
�
�
� ( )( cos sin )� �
�
.
62 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
 ðåçóëüòàòå èìååì 2P ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ x
p
c
0
, x
p
s
0
, p P�1, .
Ïðè íàëè÷èè äåéñòâèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé òàêèõ óðàâíåíèé èìå-
åì N P Pr im� �2 . Åñëè c cmq
c
mq
s� � 0 äëÿ âñåõ m M�1, , òî ñèãíàë îò ñîîòâåòñòâó-
þùåé ìîäû ðàçëîæåíèÿ (7) íå ñîäåðæèòñÿ â èçìåðåíèÿõ y tm ( ), ò.å. îíà íåíàáëþ-
äàåìà è èç (9) íå ìîæåò áûòü íàéäåíî åå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå x
q
c
0
, x
q
s
0
. Ïîýòîìó
çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ðàçðåøèìà, åñëè âñå åå ìîäû íàáëþäàåìû õîòÿ áû íà îä-
íîì âûõîäå. Íàëè÷èå øóìîâ èçìåðåíèé ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïðèâîäèò
ê áîëüøåé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ðåøåíèé ê ïîãðåøíîñòÿì â äàííûõ. Ïðèìåíèòåëüíî
ê (9) ýòè óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Èìååì áîëüøîé ðàçáðîñ ðåøåíèé äëÿ
ðàçëè÷íûõ ðåàëèçàöèé îøèáîê èçìåðåíèé, åñëè ñèñòåìà ïëîõî íàáëþäàåìà, ÷òî
ñîîòâåòñòâóåò ìàëûì çíà÷åíèÿì cmq
c , cmq
s ïðè ëþáîì m.  ýòîì ñëó÷àå ñèñ-
òåìà (9) ïëîõî îáóñëîâëåíà. Òàêæå îíà ñòàíîâèòñÿ áëèçêîé ê âûðîæäåííîé, åñëè
èìåþòñÿ ðàçíûå, íî ìàëî îòëè÷àþùèåñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Îñîáåííî ýòî õà-
ðàêòåðíî äëÿ î÷åíü áîëüøèõ çíà÷åíèé N . Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íà êîì-
ïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå êëàñòåðîâ ñ äîñòàòî÷íî áëèçêèìè êîð-
íÿìè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëÿþòñÿ íà óäàëåíèè
îäíî îò äðóãîãî, ÷òî ïðè îáåçðàçìåðèâàíèè äëÿ áîëüøèõ N ìîæåò ïðèâåñòè ê íà-
ëè÷èþ ðàçíîòåìïîâûõ ïðîöåññîâ â ñèñòåìå.  ðåçóëüòàòå ñîîòíîøåíèå (6) ñòàíî-
âèòñÿ ýêâèâàëåíòíûì ñèñòåìå ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè íåêîòîðûõ ïðîèçâîäíûõ.
Òîãäà âáëèçè t � 0 ïîÿâëÿþòñÿ ïîãðàíñëîéíûå ðåøåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ íà îñòàëüíîì
èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ îòíîøåíèå ñèãíàë/øóì ñòàíîâèòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé. Èìåí-
íî ýòîò ôàêòîð îáóñëîâëèâàåò áîëüøóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ðåøåíèÿ ê ïîãðåøíîñòÿì.
Ñëó÷àé äèñêðåòíûõ äàííûõ. ×àñòî ìîäåëü íåïðåðûâíà, à äàííûå èçìåðå-
íèé äèñêðåòíû. Ïóñòü èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ èçìåðåíèé { } { }y t yi i( ) � ,
i I�1, . Òîãäà âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó ìåòîäó íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ, ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé âèäà (9) äëÿ
îïðåäåëåíèÿ x
p
c
0
, x
p
s
0
, â êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû ïðåäñòàâëå-
íû ñîîòíîøåíèÿìè
a c t c t c t cpq mp
c
p i mp
s
p i mq
c
q i mq
s
1
� � �( cos sin )( cos sin� � � �
� �
q i
t
i
I
m
M
t e p q i)
( )� �
��
��
11
,
a c t c t c t cpq mp
s
p i mp
c
p i mq
c
q i mq
s
2
� � �( cos sin )( cos sin� � � �
� �
q i
t
i
I
m
M
t e p q i)
( )� �
��
��
11
,
d y t c t c t eq m i mq
c
q i mq
s
q i
t
i
I
m
M
q i
1
11
� �
�
��
� ( )( cos sin )� �
�
� ,
a c t c t c t cpq mp
c
p i mp
s
p i mq
s
q i mq
c
3
� � �( cos sin )( cos sin� � � �
� �
q i
t
i
I
m
M
t e p q i)
( )� �
��
��
11
,
a c t c t c t cpq mp
s
p i mp
c
p i mq
s
q i mq
c
4
� � �( cos sin )( cos sin� � � �
� �
q i
t
i
I
m
M
t e p q i)
( )� �
��
��
11
,
d y t c t c t eq m i mq
s
q i mq
c
q i
t
i
I
m
M
q i
2
11
� �
�
��
� ( )( cos sin )� �
�
� .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 63
Óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ íåïðåðûâíàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåí-
íîé, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé ñ äèñêðåòíûìè èçìåðåíèÿìè. Êðîìå òîãî, ïðè
M I P� � ñèñòåìà (9) ñòàíîâèòñÿ âûðîæäåííîé, ò.å. äàííûõ íåäîñòàòî÷íî äëÿ ðå-
øåíèÿ çàäà÷è èõ èíòåðïðåòàöèè. Òàêèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ è îñî-
áåííîñòåé ìàòðèö A, C ëèíåéíîé ñèñòåìû, à òàêæå ÷èñëà ïðèáëèæåííûõ äàííûõ,
åñëè îíè äèñêðåòíû, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ìîæåò îêàçàòüñÿ íå-
êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìû ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçà-
öèè, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü ïðèáëèæåííûå óñòîé÷èâûå ê ïîãðåøíîñòÿì ðåøå-
íèÿ. Åñëè íåêîððåêòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðíûìè îñîáåííîñòÿìè ìîäåëè è
óðàâíåíèÿ íàáëþäåíèÿ, îäíîé èç òàêèõ ïðîöåäóð ìîæåò áûòü ðåäóêöèÿ ïîðÿäêà
ìîäåëè ñ ïîñòðîåíèåì áîëåå ïðîñòîãî àïïðîêñèìèðóþùåãî îïèñàíèÿ ñèñòåìû
áåç ýòèõ îñîáåííîñòåé, ó êîòîðîé ïðè ëþáûõ âõîäíûõ âîçäåéñòâèÿõ òî÷íîñòü
âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ ñîãëàñîâàíà ñ ïîãðåøíîñòÿìè èçìåðåíèé. Ñïîñîá
ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà ïðè çíàíèè èñ-
õîäíîãî îïèñàíèÿ (2), (6) ïîäðîáíî èçëîæåí â ðàáîòå [4]. Çäåñü ðàññìîòðèì
òîëüêî âîïðîñ âûáîðà ïîðÿäêà ýòîé ìîäåëè.
Ïóñòü èìååì íåïðåðûâíûå èçìåðåíèÿ âåêòîðà y. Íà èíòåðâàëå [ , ]0 T ñôîðìè-
ðóåì èç íåãî äèñêðåòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }yi ñ íåêîòîðûì äîñòàòî÷íî ìà-
ëûì øàãîì �. Âûáåðåì åãî òàê, ÷òîáû äëÿ ñàìîãî áûñòðîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåñ-
ñà, îïðåäåëÿåìîãî max max , max{ { } { }}
p
p
p
p� � , ÷èñëî äèñêðåòíûõ èçìåðåíèé áûëî
íå ìåíåå äåñÿòè. Êàæäàÿ m-ÿ êîìïîíåíòà ymi ñîäåðæèò ïîãðåøíîñòü �mi , ïðè
ëþáûõ ðåàëèçàöèÿõ è ïðîèçâîëüíîì i óäîâëåòâîðÿþùóþ
| |� �mi m� , m M�1, . (10)
Èç êàæäîãî ymi âû÷èòàåì â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ òî÷íîå çíà÷åíèå ñèãíàëà
âûíóæäåííîãî äâèæåíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }yi , õà-
ðàêòåðèçóþùóþ ñâîáîäíîå äâèæåíèå. Èç íåå ôîðìèðóåì ãàíêåëåâó ìàòðèöó
Y
y y y
y y y
y y y
K
K
N N K N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1 2
2 3 1
1 11 1 1
�
�
� � � �
�
, (11)
ãäå yi — âåêòîð ðàçìåðíîñòè M .
Çíà÷åíèå N1 äîëæíî áûòü ðàâíûì èëè áîëüøèì N èñõîäíîé ìîäåëè. Çíà÷å-
íèå K ñ ïîìîùüþ øàãà äèñêðåòèçàöèè âûáèðàåòñÿ òàêèì, ÷òîáû K N� è òî÷êà
K N� �1 1 áûëà ðàâíîé òî÷êå T èëè áëèçêîé ê íåé. Ïî àíàëîãèè ñ (11) çàïèøåì
ìàòðèöó ïîãðåøíîñòåé
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� � �
� � �
� � �
1 2
2 3 1
1 11 1 1
�
�
� � � �
�
K
K
N N K N
. (12)
Ïðèìåì ñëåäóþùåå ñîãëàøåíèå. Ïóñòü èìååì ìàòðèöû A è B ðàçìåðà m n� .
Òîãäà ïîëàãàåì
B A b a i m j nij ij� � ! | | | | , , ,1 1 ,
B A b a i m j nij ij� � ! | | , , ,1 1 ,
ãäå | |A — ìàòðèöà àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé. Ýòî ïîçâîëÿåò ñ ó÷åòîì (10) çàïè-
ñàòü ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî â âèäå
� � E, (13)
64 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
ãäå E — ìàòðèöà, â êîòîðîé ýëåìåíòû �mi â ìàòðèöå (12) çàìåíèëè çíà÷åíèÿìè �m
èç (10). Âûïîëíèâ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå (SVD) ìàòðèöû Y , ïîëó÷èì
Y Q V� " T , (14)
ãäå Q è V — îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû, " — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ñèíãóëÿð-
íûìè ÷èñëàìè íà äèàãîíàëè, ðàñïîëîæåííûìè â íåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå.
Âûïîëíèì ðàçáèåíèå íà áëîêè âñåõ ìàòðèö, âõîäÿùèõ â (14):
Q Q Q� [ , ]1 2 , "
"
"
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
0
, V V V1 1 2� [ , ]. (15)
Ðàçìåðíîñòè áëîêîâ âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû
Y Y Y Q V Q V� � � �1 2 1 1 1 2 2 2
" "T T . (16)
Òîãäà ìàòðèöà Y1 èìååò íåïîëíûé ðàíã, îïðåäåëÿþùèé ðàçìåðíîñòü ðåäóöèðî-
âàííîé ìîäåëè [4]. Ñëåäóåò òàê âûáðàòü ðàçìåðíîñòü "1, ÷òîáû àïïðîêñèìè-
ðóþùàÿ ìîäåëü ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà ïî òî÷íîñòè ñîãëàñîâûâàëàñü ñ ïîãðåø-
íîñòüþ èçìåðåíèé. Óñòàíîâèòü ýòî ìîæíî ïî ïîâåäåíèþ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë
ìàòðèöû " . Íàèáîëåå òèïè÷íû äâå ñèòóàöèè.  ïåðâîé âñå ñèíãóëÿðíûå ÷èñ-
ëà, ïî êðàéíåé ìåðå â îáëàñòè ìàëûõ çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê �m , ñòðîãî óáûâà-
þò, à âî âòîðîé — íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìàëîãî ÷èñëà ïðàêòè÷åñêè íå óìåíü-
øàþòñÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå ìåñòîïîëîæåíèå ïåðâîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà, ïî
âåëè÷èíå ñòàâøåãî ìåíüøå èëè ðàâíûì max ( )
m
m� , îïðåäåëÿåò íóëåâîå ïðè-
áëèæåíèå ðàçìåðíîñòè àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè, ò.å. ðàçìåðíîñòü ïåðâûõ
áëîêîâ â (15). Äëÿ ýòîé ðàçìåðíîñòè ïðîâåðÿåòñÿ âûïîëíèìîñòü óñëîâèÿ
| | | |Y Q V2 2 2 2
� �" �T . (17)
Åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî èëè íå âûïîëíÿåòñÿ, òî óìåíüøàåì èëè óâåëè-
÷èâàåì íà åäèíèöó ðàçìåðíîñòü ïåðâîãî áëîêà è ñíîâà ïðîâåðÿåì âûïîë-
íèìîñòü (17). Èñêîìîé ðàçìåðíîñòüþ áóäåò òàêàÿ, äëÿ êîòîðîé óñëîâèå (17) âû-
ïîëíÿåòñÿ, à ïðè óìåíüøåíèè åå íà åäèíèöó íåðàâåíñòâî ìåíÿåò çíàê íà ïðîòè-
âîïîëîæíûé. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîðÿäîê ðåäóöèðîâàííîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ
ñèíãóëÿðíûì ÷èñëîì, ïîñëå êîòîðîãî âñå ïîñëåäóþùèå ÷èñëà ïðàêòè÷åñêè íå
óìåíüøàþòñÿ.
Ïàðàìåòðû ìîäåëè òàêîãî ðåäóöèðîâàííîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþòñÿ îäíèì èç
ìåòîäîâ, îïèñàííûõ â [4].
Óïðîùåííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåäóöèðîâàííîé ìîäåëè. Â îïðåäåëåííûõ
ñëó÷àÿõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè ïîíèæåííîãî ïîðÿäêà ìîæíî
ïðèìåíèòü óïðîùåííûé ñïîñîá. Åãî ñóòü â òîì, ÷òî ðàçìåðíîñòü è ñîáñòâåííûå çíà÷å-
íèÿ ðåäóöèðîâàííîé ìîäåëè íàõîäÿòñÿ ýìïèðè÷åñêè, à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû — èç
êâàäðàòè÷íîé âàðèàöèîííîé çàäà÷è, êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé. Îïèøåì çäåñü ïåðâóþ ÷àñòü çàäà÷è, ðåøåíèå âòîðîé ïîäðîáíî èçëîæåíî â [4].
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåäóöèðîâàííîé ìîäåëè ïîëàãàåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íóëå-
âûìè. Òîãäà ïîíèæåíèå ïîðÿäêà îñóùåñòâëÿåòñÿ îòäåëüíî ïî êàæäîé èìïóëüñíîé
ïåðåõîäíîé ôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ýëåìåíòîì ïåðåõîäíîé ìàòðèöû, ò.å. äëÿ ñêà-
ëÿðíîãî ñëó÷àÿ, âûòåêàþùåãî èç (7), èìååì
y t h t u dm mr
t
r( ) ( ) ( )� �
� � �
0
, (18)
ãäå h f f emr mp
rc
p mp
rs
p
p
Pmr
p( ) [ cos sin ]� � � � �
� �
� �
�
�
�
1
è P Pmr � .
Èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ ðåäóöèðîâàííîé ìîäåëè �hmr èìååò ïîíè-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 65
æåííóþ ðàçìåðíîñòü �P Pmr mr� è
ïàðàìåòðû �� p , �� p , �f mp
rc , �f mp
rs . Ïðè-
âåäåì èñõîäíóþ ñèñòåìó ê áåçðàç-
ìåðíîìó âèäó, âûáðàâ â êà÷åñòâå
õàðàêòåðíîãî âðåìåíè äëèòåëü-
íîñòü èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ T .
Òîãäà t [ , ]0 1 , à ïàðàìåòðû � p , � p
ïðåîáðàçóþòñÿ â áåçðàçìåðíûå.
Âû÷èñëèì èõ è ðàçìåñòèì íà êîì-
ïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Êàê ïîêàçû-
âàþò âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåí-
òû, ïðè áîëüøèõ P (áîëåå 20) êà÷åñòâî àïïðîêñèìàöèè óëó÷øàåòñÿ äî ðàçìåð-
íîñòåé 4 6# , ïîñëå ÷åãî äàëüíåéøåå åå óâåëè÷åíèå âïëîòü äî èñòèííîé
ðàçìåðíîñòè ñëàáî âëèÿåò íà âçàèìíîå ðàññîãëàñîâàíèå èìïóëüñíûõ ôóíêöèé.
Ñîãëàñíî ýòîìó âûáèðàþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ñ íàè-
áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ f mp
rc è f mp
rs , êîòîðûå ñ÷èòàåì öåíòðàìè ïðèòÿ-
æåíèÿ. Èç áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ê íèì äðóãèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ôîðìèðó-
åì êëàñòåðû îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ. Ïðè ýòîì íåêîòîðûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñ
î÷åíü ìàëûìè f mp
rc , f mp
rs èëè áîëüøèìè � p , � p ìîãóò èñêëþ÷àòüñÿ, ò.å. íå âõî-
äèòü â êëàñòåðû. Äëÿ êàæäîãî êëàñòåðà íàõîäèì öåíòðû òÿæåñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî â
êàæäîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (� p , �p ) ñîñðåäîòî÷åí âåñ ( ) ( )f fmp
rc
mp
rs2 2� . Êî-
îðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè è áóäóò ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè àïïðîêñèìèðóþ-
ùåé ñèñòåìû. Çíàÿ ýòè çíà÷åíèÿ, äîñòàòî÷íî ïðîñòî íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ [4]
âû÷èñëÿåì îöåíêè �f mp
rc è �f mp
rs . Ïî äàííûì îöåíêàì ìîæíî óñòàíîâèòü, íàñêîëüêî
êîððåêòíî âûáðàíû öåíòðû ïðèòÿæåíèÿ. Åñëè ñðåäè �f mp
rc è �f mp
rs èìåþòñÿ ìàëûå
çíà÷åíèÿ, òî ìîæíî ñêîððåêòèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå öåíòðû òÿæåñòè, èçìåíèâ
êîíôèãóðàöèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàñòåðîâ. Íà ðèñ. 1 äëÿ èñõîäíîé (êðóæêè)
è àïïðîêñèìèðóþùåé (êðåñòèêè) ìîäåëåé ïðåäñòàâëåíû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ,
ðàñïîëîæåííûå â âåðõíåé ÷àñòè óñòîé÷èâîé îáëàñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
(íèæíÿÿ ÷àñòü ñèììåòðè÷íà).
Îïèñàííóþ ïðîöåäóðó âûáîðà ðàçìåðíîñòè è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àïïðîê-
ñèìèðóþùåé ìîäåëè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå ïðè íà-
õîæäåíèè èòåðàòèâíûì ñïîñîáîì ìèíèìèçàöèîííîé çàäà÷è, ê êîòîðîé ñâîäèòñÿ
ðåäóêöèÿ ìîäåëè [4].
ÍÀÁËÞÄÀÒÅËÜ ËÓÅÍÁÅÐÃÅÐÀ È ÔÈËÜÒÐ ÊÀËÌÀÍÀ
Îðèãèíàëüíûé ñïîñîá ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è áûë ïðåäëîæåí Ëóåí-
áåðãåðîì [5], êîòîðûé èìïëàíòèðîâàë óðàâíåíèå íàáëþäåíèÿ â óðàâíåíèå äè-
íàìèêè:
dx
dt
Ax Bu L y Cx� � � �( ), (19)
ãäå L — ìàòðèöà N N� , ïîçâîëÿþùàÿ äëÿ íàáëþäàåìîé ñèñòåìû ôîðìèðî-
âàòü ëþáûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A LC� . Âûáðàâ èõ òàê, ÷òîáû âñå
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îáåñïå÷èâàëè óñòîé÷èâîñòü (19) ñ áûñòðûì çàòóõàíèåì
ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ïîëó÷èì àñèìïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ê èñêîìîìó ðå-
øåíèþ, íàïðèìåð, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè x x0 0� ( ). Íà áîëüøåé
÷àñòè èíòåðâàëà [ , ]0 T ïîëó÷èì áëèçêóþ ê òî÷íîé îöåíêó, êðîìå îêðåñòíîñòè
òî÷êè 0, ãäå èìååì ïîãðàíñëîéíîå ðåøåíèå. Îäíàêî ïðè ïðèáëèæåííîì y t( )
òàêîå ñèíãóëÿðíî âûðàæåííîå ðåøåíèå ÷óâñòâèòåëüíî ê ïîãðåøíîñòÿì, ò.å.
íåâîçìîæíî íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàòü òîëùèíó ïîãðàíñëîÿ — äîëæíî áûòü
ñîãëàñîâàíèå åãî òîëùèíû ñ óðîâíåì øóìîâ èçìåðåíèé. Â ñâÿçè ñ ýòèì Êàë-
66 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Ðèñ. 1
Im
Re
ìàí ðàçðàáîòàë ôèëüòð, â êîòîðîì ìàòðèöà L îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ õàðàê-
òåðèñòèêàìè ïîìåõ, âêëþ÷àÿ âîçìóùåíèÿ íà âõîäå, îáåñïå÷èâàþùèé ìèíèìóì
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé îøèáêè îöåíêè ñîñòîÿíèÿ. Êàê ïîêàçàëè äàëüíåéøèå
èññëåäîâàíèÿ, ôèëüòð Êàëìàíà íå îáëàäàåò ðîáàñòíîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê âà-
ðèàöèÿì ïàðàìåòðîâ è âíåøíèõ óñëîâèé. Îñîáåííî ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ïëî-
õîé íàáëþäàåìîñòè è áîëüøèõ ðàçìåðíîñòÿõ óðàâíåíèé äèíàìèêè. Â òàêèõ
ñëó÷àÿõ åãî ýôôåêòèâíîñòü ñóùåñòâåííî ñíèæàåòñÿ, âïëîòü äî ïîëó÷åíèÿ íå-
óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ñ èñïîëüçîâà-
íèåì ôèëüòðà Êàëìàíà òàêæå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé.
 îòëè÷èå îò ðàíåå ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ óñòàíîâèòü íåïîñðåäñòâåííî ïî
óðàâíåíèþ (19), â êàêîì ñëó÷àå çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ íåêîððåêòíîé, ïîêà íå óäà-
ëîñü. Â ýòîì íàïðàâëåíèè íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ. Ïîëàãà-
åì, ÷òî óñëîâèÿ íåêîððåêòíîñòè îñòàþòñÿ òàêèìè æå, êàê â ïðåäûäóùèõ ðàç-
äåëàõ, à èìåííî çàâèñÿùèìè îò ðàñïîëîæåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íà êîì-
ïëåêñíîé ïëîñêîñòè, áîëüøîé ðàçìåðíîñòè è ïëîõîé íàáëþäàåìîñòè.
ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÉ ÑÏÎÑÎÁ ÐÅØÅÍÈß
Òàêîé ñïîñîá âïîëíå åñòåñòâåí, åñëè çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ÿâëÿåòñÿ ïåðåîïðå-
äåëåííîé ïî êîëè÷åñòâó èñõîäíûõ äàííûõ. Òîãäà â êà÷åñòâå åå ðåøåíèÿ ïðè-
íèìàåòñÿ ýëåìåíò x t( ), ìèíèìèçèðóþùèé àääèòèâíûé ôóíêöèîíàë, ñîñòàâ-
ëåííûé èç íåâÿçîê óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ñèñòåìû è óðàâíå-
íèé íàáëþäåíèÿ, ò.å. èç ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷è, ôîðìóëèðóåìîé ñ ïî-
ìîùüþ íîðì ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. Çàïèøåì åå äëÿ
îáùåãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèÿ íàáëþäåíèÿ (1) è óðàâíåíèÿ äèíàìèêè, êîòî-
ðûå èìåþò âèä
dx
dt
f t x u� ( , , ), (20)
íåëèíåéíû. Â òàêîé ñèòóàöèè íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíû ïðîñòðàíñòâà ñ íîð-
ìîé L2 . Òîãäà âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó çàïèøåì êàê
J x
dx
dt
f
dx
dt
f y h y h[ ( )] , ~ , (~ )� � � ��
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�$ $1 2
0
T
dt
% min , (21)
ãäå ~y — âûõîäíûå ñèãíàëû, èçìåðÿåìûå ñ ïîãðåøíîñòüþ, à $1 è $ 2 — ïî-
ëîæèòåëüíûå äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû.
Ôàêòè÷åñêè ôóíêöèîíàë J x[ ( )]� ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííîé àääèòèâíîé ñóììîé
äâóõ òèïîâ íåâÿçîê: íåâûïîëíèìîñòü äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè è
ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íàáëþäåíèÿ. Ìàòðèöû $1 è $ 2 îïðåäåëÿþò â (21)
âåñ òåõ èëè èíûõ íåâÿçîê, à çíà÷åíèÿ èõ ýëåìåíòîâ äîëæíû ñîãëàñîâûâàòüñÿ ñî
çíà÷åíèÿìè ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ è âîçìóùåíèÿìè â óðàâíåíèè äèíàìèêè,
åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ. Åñëè çàäà÷à îöåíèâàíèÿ x t( ) äëÿ êàæäîãî t ðàçðåøèìà è
ïðè ýòîì ðåøåíèå åäèíñòâåííîå, òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ïîãðåøíîñòåé â èñõîä-
íûõ äàííûõ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè (21) ïðè ëþáûõ $1 è $ 2 èìååò àáñîëþòíûé
ìèíèìóì íà ýòîì ðåøåíèè. Ïðè íàëè÷èè â äàííûõ ïîãðåøíîñòåé ìîæíî ñ ïî-
ìîùüþ âåñîâûõ ìàòðèö$1 è$ 2 ðåãóëèðîâàòü íåâÿçêè â ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèÿõ,
äîáèâàÿñü äëÿ íèõ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ñîãëàñîâàíèÿ ñ ïîãðåøíîñòüþ.
Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìèçèðóþùåãî ýëåìåíòà ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (21)
â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà äëÿ îãðàíè÷åííîãî ñíèçó êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà
ñ íåïðåðûâíîé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî
dx
dt
è íåïðåðûâíûìè ïî ñâîèì àðãóìåí-
òàì ôóíêöèÿìè f è h ñëåäóåò èç òåîðåìû Òîíåëëè [6]. Áîëåå òîãî, çàäà÷à (21)
åñòü íå ÷òî èíîå, êàê çàäà÷à Áîëüöà ñ íóëåâûì òåðìèíàíòîì, ò.å. çàäà÷à êëàññè-
÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ (áåç îãðàíè÷åíèé), äëÿ êîòîðîé ìîæíî çàïè-
ñàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà â âèäå óðàâíåíèé Ýéëåðà è óñëîâèÿ
òðàíñâåðñàëüíîñòè.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 67
Äëÿ ôóíêöèîíàëà (21) çàïèøåì èõ â âèäå
d x
dt
f
x
f
x
dx
dt
f
x
2
2 1
1
1 1
1�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �$ $ $
�
�
�
�
�
�
T
�
�
�
�
�
� �
T
$1 f
� � � �
�
�
�
�
� � ���
�
�
�
�
�
f
t
f
u
du
dt
h
x
y h$ $
1
1
2 0
T
(~ ) (22)
ñ óñëîâèåì òðàíñâåðñàëüíîñòè
dx
dt
f t x u� �( , , ) 0, t � 0, t T� .
(23)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì íåëèíåéíóþ äâóõòî÷å÷íóþ êðàåâóþ çàäà÷ó. Îäíîçíà÷-
íàÿ åå ðàçðåøèìîñòü äàåò åäèíñòâåííûé ìèíèìèçèðóþùèé ýëåìåíò çàäà-
÷è (21), êîòîðûé ïðèìåì çà îöåíêó âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ íà èíòåðâàëå íàáëþäå-
íèÿ. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ âèäà (22), (23) äî-
êàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Ïîëàãàåì, ÷òî óñëîâèÿ
åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è âûòåêàþò èç ëîêàëüíûõ óñëîâèé ïîëíîé
íàáëþäàåìîñòè è ( )n�1 -êðàòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè âåêòîðà íàáëþäåíèé ~( )y t .
Ñîãëàñíî [7] âåêòîð � ( )x t îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, åñëè ìàòðèöà ßêîáè íà
âñåõ ôèíèòíûõ òðàåêòîðèÿõ èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ, ðåàëèçóåìûõ äîïóñòèìû-
ìè âõîäíûìè âîçäåéñòâèÿìè, ïîëíîðàíãîâàÿ. Ïðè ýòîì ìàòðèöà ßêîáè ôîðìè-
ðóåòñÿ èç ôóíêöèé h è îïåðàòîðà Ëÿïóíîâà çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè.
Äàííàÿ çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê êëàññó îáðàòíûõ, äëÿ êîòîðûõ îáðàòíûé îïåðà-
òîð, çàïèñàííûé â âèäå (22), (23), ìîæåò íå áûòü âïîëíå íåïðåðûâíûì. Òîãäà
íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü ïîëó÷àåìîãî ïî ïðèáëèæåííûì äàííûì ðå-
øåíèÿ, ò.å. åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê èìåþùèìñÿ ïîãðåøíîñòÿì â èñõîäíûõ äàííûõ.
Ðå÷ü èäåò î ïðàêòè÷åñêîé ïðèãîäíîñòè ïîëó÷àåìîãî ðåøåíèÿ, èëè, äðóãèìè ñëîâà-
ìè, åãî ðîáàñòíîñòè. Ýòî ìîæíî óñòàíîâèòü, îöåíèâàÿ ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè îá-
ðàòíîãî îïåðàòîðà (îïðåäåëÿåìîãî äâóõòî÷å÷íîé êðàåâîé çàäà÷åé) îò èñõîäíûõ
äàííûõ y t( ) è u t( ).  îáùåì ñëó÷àå îñóùåñòâèòü ýòî ñëîæíî, òàê æå, êàê äîêàçàòü
îäíîçíà÷íóþ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è. Îäíàêî ïîñëå ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñò-
íîé àïïðîêñèìàöèè è èòåðàòèâíîé ïðîöåäóðû ðåøåíèÿ çàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëè-
ðîâàòü êîíñòðóêòèâíûå êðèòåðèè äëÿ îöåíêè óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé.
Èòåðàòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ. Ïóñòü ôóíêöèè f ( )� è h( )� â (1) òàêîâû, ÷òî
äîïóñêàåòñÿ èõ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
f t x u Ax Bu f t x uNL( , , ) ( , , )� � � ,
h t x Hx h t xNL( , ) ( , ),� � (24)
ãäå A B H, , — ïîñòîÿííûå ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðîâ.
Ðàçëîæåíèå (24) äîïóñòèìî, åñëè, íàïðèìåð, ñèñòåìà (1) àâòîíîìíà è âûäå-
ëÿåìàÿ ëèíåéíàÿ ÷àñòü àïïðîêñèìèðóåò åå äâèæåíèå âáëèçè íåêîòîðîãî ðàâíî-
âåñíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )x ue e . Òîãäà çàäà÷ó (22), (23) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ñèñòå-
ìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
dx
dt
z� ,
dz
dt
A x A z h h NL� � � �1 2
0 (25)
ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè
z Ax Bu f NL� � � , t � 0, t T� . (26)
68 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
 (25) ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
A A A H H1 1
1
1 2� ��$ $ $( )T T , A A A2 1
1
1� � �$ $T ,
h A Bu H y Bu0
1
1
1 2� � ��$ $ $( ~ )T T ,
h A f
f
x
Ax Bu f
h
x
yNL NL
NL
NL
NL
� �
�
�
� � �
�
�
�$ $ $ $
1
1
1 1 2
T
T
( )
( )
(~ � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�Hx h NL )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�$ $
1
1
1
f
x
f
x
z
f
t
f
u
du
dt
NL NL NL NL
.
Àïïðîêñèìèðóþùàÿ (25), (26) ïðîñòåéøàÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ìîäåëü çàïè-
ñûâàåòñÿ êàê ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ
x x z k Nk k k� � � 1 0� , , ,
z A x E A z h hk k k k k
NL
� � � � � �1 1 2
0� �( ) (27)
ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè
z Ax Bu f NL
0 0 0 0
� � � ,
z Ax Bu fN N N N
NL� � � , (28)
ãäå � — øàã êâàíòîâàíèÿ ïî âðåìåíè, k — äèñêðåòíîå âðåìÿ, T N� � , h
k
0 ,
h
k
NL, uk , f
k
NL — çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé â äèñêðåòíûõ òî÷êàõ.
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (27), (28) íåëèíåéíà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ ïðèìåíèì èòåðàöè-
îííóþ ñõåìó, ñóòü êîòîðîé â ñëåäóþùåì. Äåéñòâóÿ ôîðìàëüíî, ñ ïîìîùüþ ðå-
êóððåíòíûõ ôîðìóë çàïèøåì óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå
( , )x z0 0 ñî çíà÷åíèåì ïåðåìåííûõ â ìîìåíò âðåìåíè k �1:
x P x Q z Sk k k k� � � �1
1
0
1
0
1,
z P x Q z S k Nk k k k� � � � �1
2
0
2
0
2 0 1, , , (29)
ãäå ìàòðèöû P
k
1, P
k
2 , Q
k
1, Q
k
2 è âåêòîðû S
k
1, S
k
2 îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíûìè
ñîîòíîøåíèÿìè
P P P
k k k� � �
1
1 1 2� ,
P A P E A P
k k k� � � �
1
2
1
2
2
2� �( ) ,
Q Q Q
k k k� � �
1
1 1 2� ,
Q A Q E A Q
k k k� � � �
1
2
1
2
2
2� �( ) ,
S S S
k k k� � �
1
1 1 2� ,
S A S E A S h h
k k k k k
NL
� � �� � � � �
1
2
1
2
2
2
1
0
1
� �( ) , k N �0 1, .
Ïðè ýòîì èìååì
P E Q E S
0
1
0
1
0
1 0� � �, ,� ,
P A Q E A S h h NL
0
2
1 0
2
2 0
2
0
0
0
� � � � �� �, , .
Ôàêòè÷åñêè ôîðìóëà (29) — äèñêðåòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåëèíåéíûõ èí-
òåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç (25) íà îñíîâå ôîðìóëû
Êîøè ñ ÿäðîì, îïðåäåëÿåìûì ëèíåéíîé ÷àñòüþ â (25).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 69
Äàëåå, äåéñòâóÿ â ðàìêàõ òîãî æå ôîðìàëèçìà, êðàåâûå óñëîâèÿ (28) ìîæíî
ïðèâåñòè ê âèäó
z Ax Bu f NL
0 0 0 0
� � � ,
( ) ( )Q AQ z P AP x Bu AS f
N N N N N N N
NL
� � � � �� � � � � �
1
2
1
1
0 1
2
1
1
0 1
1 . (30)
Ëåâàÿ ÷àñòü (30) ñîñòîèò èç ìàòðèö ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íåëè-
íåéíîñòè âîøëè â ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç ôóíêöèè f NL è h NL. Åñëè èõ ïîëîæèòü
ðàâíûìè íóëþ, òî (30) ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îöåíèâàíèÿ
íåèçâåñòíîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )x z0 0 ïî èçìåðÿåìûì (â áîëüøèíñòâå
ñëó÷àåâ ïðèáëèæåííî) âõîäíûì è âûõîäíûì ïåðåìåííûì â ëèíåéíûõ ñòàöèî-
íàðíûõ ñèñòåìàõ, ò.å. äâóõòî÷å÷íàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåé-
íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ïðèáëèæåííûõ èñõîäíûõ äàííûõ ðåøå-
íèå óñòîé÷èâî, åñëè êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà â ëåâîé ÷àñòè (30) íå ÿâëÿåòñÿ ïëîõî
îáóñëîâëåííîé. Áîëåå òîãî, óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè â äàííîì ñëó÷àå ýêâè-
âàëåíòíî íåâûðîæäåííîñòè ýòîé ìàòðèöû (ìèíèìèçèðóþùèé ýëåìåíò åäèíñòâåí-
íûé), à åå îáóñëîâëåííîñòü îïðåäåëÿåò ÷óâñòâèòåëüíîñòü ðåøåíèÿ ê ïîãðåø-
íîñòÿì â èñõîäíûõ äàííûõ. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè äàííîé ìàòðèöû âîçðàñòà-
åò ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû èíòåðâàëà T , ïðè÷åì íåçàâèñèìî îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ
ñèñòåìà óñòîé÷èâîé, íåéòðàëüíîé èëè íåóñòîé÷èâîé. Ïîýòîìó èìååò çíà÷åíèå
âîïðîñ âûáîðà ïîäõîäÿùåãî T . Êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ, çíà÷åíèÿ ìàòðèö
$1 è $ 2 ñëàáî âëèÿþò íà îáóñëîâëåííîñòü îñíîâíîé ìàòðèöû, à òî÷íîñòü ïî-
ëó÷àåìûõ îöåíîê çàâèñèò îò âûáîðà ýëåìåíòîâ ýòèõ ìàòðèö. ×åì áîëüøå äèà-
ãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû $ 2 â ñðàâíåíèè ñ $1, òåì ìåíüøå íåâÿçêà
â óðàâíåíèÿõ íàáëþäåíèÿ, è, íàîáîðîò, ÷åì ìåíüøå $ 2 ïî îòíîøåíèþ ê $1,
òåì òî÷íåå âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, âûáèðàòü ýòè
ìàòðèöû íåîáõîäèìî òàê, ÷òîáû çíà÷åíèÿ èõ ýëåìåíòîâ áûëè ñîãëàñîâàíû
ñ íåâÿçêàìè, îïðåäåëÿåìûìè ïîãðåøíîñòÿìè. Çäåñü ïðîñëåæèâàåòñÿ àíàëîãèÿ
ñ âûáîðîì îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ôèëüòðà Êàëìàíà ïî èçâåñòíûì êîâàðèàöèîí-
íûì ìàòðèöàì øóìîâ è âîçìóùåíèé.
Îïèñàííûå ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ðåàëèçîâàòü ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ìåòîä
ðåøåíèÿ çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè â êîððåêòíîì íåëèíåéíîì ñëó÷àå íà îñíîâå (30).
Èòåðàöèÿ 0. Ïîëàãàåì â (29), (30) f gNL NL� � 0 è ðåøàåì ëèíåéíóþ çàäà÷ó
îöåíèâàíèÿ. Îïðåäåëÿåì âî âñåõ òî÷êàõ èíòåðâàëà [ , ]0 T ôóíêöèè xk è zk .
Èòåðàöèÿ 1. Ïîëó÷åííûå íà 0-é èòåðàöèè îöåíêè âìåñòå ñ âðåìåííûìè
ôóíêöèÿìè âõîäíîãî è âûõîäíîãî ñèãíàëîâ ïîäñòàâëÿåì â f NL è g NL. Â ðåçóëü-
òàòå íàõîäèì S
k
1 è S
k
2 ïî èçâåñòíîé âðåìåííîé ôóíêöèè g
k
NL, à òàêæå çíà÷åíèÿ
f NL
0
è f
N
NL. Ðåøàåì òó æå ëèíåéíóþ çàäà÷ó ñ óòî÷íåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ, ò.å.
ïðè íàéäåííûõ f NL
0
, S
N �1
1 , f
N
NL êàê ôóíêöèÿõ âðåìåíè ( )k . Ïîëó÷àåì íîâóþ
óòî÷íåííóþ îöåíêó x0 , z0 .
Èòåðàöèÿ 2. Ïî óòî÷íåííûì x0 , z0 íàõîäèì xk è zk èç (28). Ïî àíàëîãèè
ñ ïðåäûäóùåé èòåðàöèåé îïðåäåëÿåì f NL è g NL êàê ôóíêöèè âðåìåíè ( )k . Íàõî-
äèì ðåøåíèå ëèíåéíîé çàäà÷è (30) ñ ïðàâîé ÷àñòüþ, îïðåäåëÿåìîé óòî÷íåííûìè
f NL è g NL.
Âñå ïîñëåäóþùèå èòåðàöèè ðåàëèçóþòñÿ àíàëîãè÷íî. Èòåðàöèè ïðåêðàùà-
þòñÿ, êàê òîëüêî âñå íåâÿçêè ñòàíóò ðàâíûìè èëè ìåíüøèìè ïîãðåøíîñòè. Ïðè
ïðàâèëüíîì âûáîðå ìàòðèö $1 è $ 2 ýòî óñëîâèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðå-
ìåííî ïî âñåì óðàâíåíèÿì íåâÿçîê.
Çàìå÷àíèå 1. Îïèñàííûå èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ, åñëè N òàêîå, ÷òî îñíîâíàÿ
ìàòðèöà ñèñòåìû (30) íåâûðîæäåííàÿ (âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè) è
íå ÿâëÿåòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííîé (âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè), ò.å. T íå
äîëæíî áûòü î÷åíü ìàëûì èëè î÷åíü áîëüøèì.
70 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ íàáëþäàåìîé ñèñòåìû
ñ õîðîøåé îáóñëîâëåííîñòüþ ìàòðèöû â (30) íåñòðîãèå óðàâíåíèÿ íåâÿçîê âû-
ïîëíÿþòñÿ çà íåáîëüøîå ÷èñëî èòåðàöèé.
 ñëó÷àå, åñëè çàäà÷à (21) íåêîððåêòíî ïîñòàâëåíà èëè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
îíà òàêîâà, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèì èç ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ, îïèñàííûõ
â [8].  ðàññìîòðåíèå ââîäèòñÿ ñòàáèëèçàòîð &[ ]x , êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå
çàïèøåì êàê
& $[ ] ,x x x dt
T
� ' (
3
0
,
ãäå $ 3 — ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, íàïðèìåð åäèíè÷íàÿ.
Îïðåäåëÿåì &-íîðìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (21), êîòîðîå íà îñíîâå ëåìì î ðå-
ãóëÿðèçàöèè ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ îäíèì èç ìåòîäîâ, îïèñàííûõ â [8], ðåãóëÿð-
íûõ ìèíèìèçèðóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ ê ýòîìó ðåøåíèþ. Ïðè
íåòî÷íûõ èñõîäíûõ äàííûõ ñòðîèòñÿ ïðèáëèæåííîå óñòîé÷èâîå ðåøåíèå, ñîãëà-
ñîâàííîå ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòÿìè â ñèòóàöèè, êîãäà çàäà÷à (21) ïîñòàâëåíà
íåêîððåêòíî.  îáùåì ñëó÷àå íå ãàðàíòèðóåòñÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, ÷òî ïðî-
âåðÿåòñÿ âàðüèðîâàíèåì íà÷àëüíîé òî÷êè ìèíèìèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû. Ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäà ïðîâåðÿëàñü ÷èñ-
ëåííûì ìîäåëèðîâàíèåì. Ðàññìàòðèâàëèñü ëèíåéíûé è íåëèíåéíûé ñëó÷àè.
 ëèíåéíîì ñëó÷àå ðåøàëàñü è èññëåäîâàëàñü ìîäåëüíàÿ çàäà÷à, â íåëèíåé-
íîì — çàäà÷à îöåíèâàíèÿ ïîëíîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ïî èçìåðÿåìûì óãëîâûì
êîîðäèíàòàì (óãëîâûå ñêîðîñòè íå èçìåðÿëèñü) âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ êîñìè-
÷åñêîãî àïïàðàòà âîêðóã öåíòðà ìàññ. Ïðè êîððåêòíîé ïîñòàíîâêå è òî÷íûõ äàí-
íûõ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíî òî÷íîå ðåøåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîëîæèòåëü-
íî-îïðåäåëåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö $1 è $ 2 .  ëèíåéíîì ñëó÷àå ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ ïðèâîäèëèñü ê áåçðàçìåðíîìó âèäó ñ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì T .
Ïðè âàðüèðîâàíèè T ðàñïîëîæåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èçìåíÿëîñü òàê, ÷òî
ïðè ìàëîì è áîëüøîì T ðåøåíèå ñòàíîâèëîñü íåêîððåêòíûì, â ðåçóëüòàòå ÷åãî
âîçðàñòàëà åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê ïîãðåøíîñòÿì.  îáëàñòè, â êîòîðîé çàäà÷à
îñòàâàëàñü êîððåêòíîé, áûëî ïîëó÷åíî ðåøåíèå, ñîãëàñîâàííîå ïî òî÷íîñòè ñ âå-
ëè÷èíîé �, îãðàíè÷èâàþùåé â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè,
÷òî óñòàíîâëåíî ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.  ðàññìàòðèâàåìîé íåëèíåéíîé çàäà÷å
îðèåíòàöèè êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà îïèñàííàÿ èòåðàöèîííàÿ ñõåìà ðàáîòàëà ýô-
ôåêòèâíî. Ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ïîêàçàíà ðîáàñòíîñòü ìåòîäà ïî îòíîøåíèþ
ê âàðèàöèÿì ïîãðåøíîñòè â ïðåäåëàõ, äîïóñòèìûõ îãðàíè÷åíèåì �. Äëÿ êîíêðåò-
íîé çàäàííîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò èíòåðâàë çíà÷åíèé T , ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå
áûëî íàèëó÷øèì. Ïðè ìàëûõ � ñîãëàñîâàííîå ïî òî÷íîñòè ðåøåíèå òðåáîâàëî
áîëüøå èòåðàöèé. Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò òàêîå �, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî ñîãëàñî-
âàííîå ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòüþ ðåøåíèå ïîëó÷àëîñü ïðè íóëåâîé èòåðàöèè,
ò.å. ïðèáëèæåííàÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü äàâàëà ïðèåìëåìûé ðåçóëüòàò. Áîëåå ïîäðîáíî
ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [9, 10].
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äàííîé ðàáîòå çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè äàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé, àäåêâàòíûõ ðàññìàòðèâàåìûì ïðîöåññàì, òðàêòóþòñÿ êàê íåêîððåêòíî
ïîñòàâëåííûå, ïîñêîëüêó âûïîëíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îíè èìåþò êëàññè÷åñ-
êèå ðåøåíèÿ, ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Êàê ïðàâèëî, èìååòñÿ ëèáî íåäîñòàòî÷-
íîå, ëèáî èçáûòî÷íîå ÷èñëî äàííûõ, ÷òî ïðè íàëè÷èè â íèõ ïîãðåøíîñòåé ñòà-
âèò ïîä âîïðîñ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è èõ èíòåðïðåòàöèè. Áîëåå òîãî, ïðè îïðåäå-
ëåííûõ ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ïðîÿâëÿåòñÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü èñêîìûõ ðåøåíèé
ê èìåþùèìñÿ ïîãðåøíîñòÿì, ÷òî çàòðóäíÿåò èõ ïðàêòè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìàì ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè îïèñàíû âîçìîæ-
íûå ïîäõîäû, ïîçâîëÿþùèå äàâàòü áëèçêóþ ê ðåàëüíîé èíòåðïðåòàöèþ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ äàííûõ, ò.å. ïðåäñòàâëåíèå â öåëîì îá èññëåäóåìûõ ïðîöåññàõ ïî
íåïîëíûì äàííûì. Äëÿ çàäàííûõ äàííûõ äîïóñêàþòñÿ ïðèáëèæåííûå îïèñàíèÿ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 71
ïóòåì ìàòåìàòè÷åñêîãî óïðîùåíèÿ èñõîäíîé ìîäåëè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òàêîé
ïîäõîä ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåäóðå ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
èíòåðïðåòàöèè, ïðåîáðàçóÿ åå â ïðèáëèæåííî ðàçðåøèìóþ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical
physics. N.Y.; Basel: Marcel Dekker, 1999. 357 p.
2. Êàáàíèõèí Ñ.È. Îáðàòíûå è íåêîððåêòíûå çàäà÷è. Íîâîñèáèðñê: Ñèáèð. íàó÷. èçä-âî, 2009.
457 ñ.
3. Ãóáàðåâ Â.Ô. Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì ïî íåòî÷íûì äàííûì.
×àñòü 1. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2006. ¹ 5. Ñ. 16–32.
4. Ãóáàðåâ Â.Ô., Ôàòåíêî Â.Â. Ãåîìåòðè÷åñêèé è âàðèàöèîííûå ìåòîäû ðåäóêöèè ïîðÿäêà ìîäå-
ëè. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2018. ¹ 1. Ñ. 38–52.
5. Àíäðååâ Þ.Í. Óïðàâëåíèå êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè îáúåêòàìè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 424 ñ.
6. Áóòòàöî Äæ., Äæàêâèíòà Ì., Ãèëüäåáðàíò Ñ. Îäíîìåðíûå âàðèàöèîííûå çàäà÷è. Íîâîñè-
áèðñê: Íàó÷. êíèãà, 2002. 248 ñ.
7. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ (ïîä ðåä. Êðàñîâñêîãî À.À.). Ìîñêâà: Íà-
óêà, 1987. 712 ñ.
8. Âàñèëüåâ Ô.Ï. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1981. 400 ñ.
9. Gubarev V.F., Shevchenko V.M., Zhykov A.O., Gummel A.V. State estimation for systems
subjected bounded uncertainty using moving horizon approach. Preprints of the 15th IFAC
Symposium on System Identification. Saint-Malo, France, 2009. P. 910–915.
10. Ãóáàðåâ Â.Ô., Äàðüèí À.Í., Ëûñþ÷åíêî È.À. Íåëèíåéíûé îöåíèâàòåëü ñîñòîÿíèÿ ïî äàííûì
íà ñêîëüçÿùåì èíòåðâàëå è âîçìîæíîñòü åãî ïðèìåíåíèÿ â çàäà÷å îðèåíòàöèè êîñìè÷åñêîãî
àïïàðàòà. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2011. ¹ 1. Ñ. 118–132.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 25.04.2018
Â.Ô. Ãóáàðåâ
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Íί ²ÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖ²¯ ÄÀÍÈÕ.
I. ÑÈÑÒÅÌÈ ²Ç ÇÎÑÅÐÅÄÆÅÍÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìó ³íòåðïðåòàö³¿ äàíèõ, îòðèìàíèõ â åêñïåðèìåí-
òàëüíèõ äîñë³äæåííÿõ, ÿê íåêëàñè÷íó ìàòåìàòè÷íó çàäà÷ó, ùî ó á³ëüøîñò³ âè-
ïàäê³â º â øèðîêîìó ñåíñ³ íåêîðåêòíî ïîñòàâëåíîþ. Âèêîðèñòàíî äîäàòêîâó
³íôîðìàö³þ ïðî îá’ºêò ó âèãëÿä³ ð³âíÿíü ëîêàëüíèõ çâ’ÿçê³â, ÿê³ âèçíà÷àþòü
éîãî çàìêíóòó àáî íåçàìêíóòó ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü. Îïèñàíî ïðîöåäóðè ðå-
ãóëÿðèçàö³¿, ùî äîçâîëÿþòü çíàõîäèòè ïðàêòè÷íî ïðèäàòí³ ðîçâ’ÿçêè, óçãîä-
æåí³ ç íàÿâíèìè äàíèìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³, ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü, ³íòåðïðåòàö³ÿ,
íåêîðåêòí³ñòü, ðåãóëÿðèçàö³ÿ, ðåäóêö³ÿ ìîäåë³, óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê,
âàð³àö³éíèé ìåòîä.
V.F. Gubarev
PROBLEM OF MATHEMATICAL DATA INTERPRETATION.
I. SYSTEMS WITH LUMPED PARAMETERS
Abstract. Interpretation problem for data obtained in experimental research is
considered as a nonclassical mathematical problem, which generally is ill-posed
in many cases. Additional information in the form of equations of local
constraints that define its closed or open mathematical model are used for this.
Regularization procedures are described, which make possible to find applicable
solutions consistent with available data.
Keywords: experimental data, mathematical model, interpretation, incorrectness,
regularization, model order reduction, general solution, variational method.
Ãóáàðåâ Âÿ÷åñëàâ Ôåäîðîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð òåõí. íàóê, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êîñìè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé ÍÀÍ Óêðàèíû è ÃÊÀ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v.f.gubarev@gmail.com.
72 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180848 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:14:59Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Губарев, В.Ф. 2021-10-22T14:51:52Z 2021-10-22T14:51:52Z 2019 Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 59-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180848 519.7 Рассмотрена проблема интерпретации данных, полученных в экспериментальных исследованиях, как неклассическая математическая задача, которая в большинстве случаев является в широком смысле некорректно поставленной. Использована дополнительная информация об объекте в виде уравнений локальных связей, определяющих его замкнутую или незамкнутую математическую модель. Описаны процедуры регуляризации, позволяющие находить практически пригодные решения, согласованные с имеющимися данными. Розглянуто проблему інтерпретації даних, отриманих в експериментальних дослідженнях, як некласичну математичну задачу, що у більшості випадків є в широкому сенсі некоректно поставленою. Використано додаткову інформацію про об'єкт у вигляді рівнянь локальних зв'язків, які визначають його замкнуту або незамкнуту математичну модель. Описано процедури регуляризації, що дозволяють знаходити практично придатні розв'язки, узгоджені з наявними даними. Interpretation problem for data obtained in experimental research is considered as a nonclassical mathematical problem, which generally is ill-posed in many cases. Additional information in the form of equations of local constraints that define its closed or open mathematical model are used for this. Regularization procedures are described, which make possible to find applicable solutions consistent with available data. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами Проблема математичної інтерпретації даних. I. Системи із зосередженими параметрами Problem of mathematical data interpretation. I. Systems with lumped parameters Article published earlier |
| spellingShingle | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами Губарев, В.Ф. Системний аналіз |
| title | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами |
| title_alt | Проблема математичної інтерпретації даних. I. Системи із зосередженими параметрами Problem of mathematical data interpretation. I. Systems with lumped parameters |
| title_full | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами |
| title_fullStr | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами |
| title_full_unstemmed | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами |
| title_short | Проблема математической интерпретации данных. I. Системы с сосредоточенными параметрами |
| title_sort | проблема математической интерпретации данных. i. системы с сосредоточенными параметрами |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180848 |
| work_keys_str_mv | AT gubarevvf problemamatematičeskoiinterpretaciidannyhisistemyssosredotočennymiparametrami AT gubarevvf problemamatematičnoíínterpretacíídanihisistemiízzoseredženimiparametrami AT gubarevvf problemofmathematicaldatainterpretationisystemswithlumpedparameters |