Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью
Построены псевдорешения дискретно преобразующих систем, линейная часть которых дополнена нелинейностями, полученными после декартового преобразования входного вектора или итерационного уточнения матричного ядра преобразователя. Исследованы точность и однозначность множества среднеквадратических приб...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180852 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 102-107. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180852 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1808522025-02-09T09:38:42Z Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью Методи лінійної алгебри в задачах дослідження деяких класів нелінійних дискретно-перетворювальних систем. ІІ. Системи з адитивно виділеною нелінійністю Linear algebra methods in problems of the analysis of certain classes of nonlinear discretely transformative systems. II. Systems with additionally highlighted nonlinearity Стоян, В.А. Системний аналіз Построены псевдорешения дискретно преобразующих систем, линейная часть которых дополнена нелинейностями, полученными после декартового преобразования входного вектора или итерационного уточнения матричного ядра преобразователя. Исследованы точность и однозначность множества среднеквадратических приближений к обращению математической модели преобразователя. Рассмотрены квадратически нелинейные системы и системы с произвольным порядком нелинейности. Побудовано псевдорозв язки дискретно перетворювальних систем, лінійна частина яких доповнена нелінійностями, отриманими після декартового перетворення вхідного вектора або ітераційного уточнення матричного ядра перетворювача. Досліджено точність та однозначність множини середньоквадратичних наближень до обернення математичної моделі перетворювача. Розглянуто квадратично нелінійні системи та системи з довільним порядком нелінійності. Pseudo-solutions of discretely transformative systems are generated; their linear part is complemented with nonlinearities obtained after the Cartesian transformation of input vector or iterative specification of matrix transformer kernel. Sets of root-mean-square approximations to inversion of mathematical model of the transformer are investigated for accuracy and uniqueness. Root-mean-square nonlinear systems and systems with arbitrary order of nonlinearity are considered. 2019 Article Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 102-107. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180852 519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Стоян, В.А. Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью Кибернетика и системный анализ |
| description |
Построены псевдорешения дискретно преобразующих систем, линейная часть которых дополнена нелинейностями, полученными после декартового преобразования входного вектора или итерационного уточнения матричного ядра преобразователя. Исследованы точность и однозначность множества среднеквадратических приближений к обращению математической модели преобразователя. Рассмотрены квадратически нелинейные системы и системы с произвольным порядком нелинейности. |
| format |
Article |
| author |
Стоян, В.А. |
| author_facet |
Стоян, В.А. |
| author_sort |
Стоян, В.А. |
| title |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| title_short |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| title_full |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| title_fullStr |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| title_full_unstemmed |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| title_sort |
методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. іі. системы с адитивно выделенной нелинейностью |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180852 |
| citation_txt |
Методы линейной алгебры в задачах исследования некоторых классов нелинейных дискретно преобразующих систем. ІІ. Системы с адитивно выделенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 102-107. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT stoânva metodylinejnojalgebryvzadačahissledovaniânekotoryhklassovnelinejnyhdiskretnopreobrazuûŝihsistemíísistemysaditivnovydelennojnelinejnostʹû AT stoânva metodilíníjnoíalgebrivzadačahdoslídžennâdeâkihklasívnelíníjnihdiskretnoperetvorûvalʹnihsistemíísistemizaditivnovidílenoûnelíníjnístû AT stoânva linearalgebramethodsinproblemsoftheanalysisofcertainclassesofnonlineardiscretelytransformativesystemsiisystemswithadditionallyhighlightednonlinearity |
| first_indexed |
2025-11-25T10:49:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T10:49:39Z |
| _version_ |
1849759141397004288 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â.À. ÑÒÎßÍ
ÌÅÒÎÄÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß
ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÊËÀÑÑÎÂ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ
ÏÐÅÎÁÐÀÇÓÞÙÈÕ ÑÈÑÒÅÌ.
²². ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÀÄÈÒÈÂÍÎ ÂÛÄÅËÅÍÍÎÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÑÒÜÞ
Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû ïñåâäîðåøåíèÿ äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì,
ëèíåéíàÿ ÷àñòü êîòîðûõ äîïîëíåíà íåëèíåéíîñòÿìè, ïîëó÷åííûìè ïîñëå
äåêàðòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âõîäíîãî âåêòîðà èëè èòåðàöèîííîãî óòî÷íåíèÿ
ìàòðè÷íîãî ÿäðà ïðåîáðàçîâàòåëÿ. Èññëåäîâàíû òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü
ìíîæåñòâà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé ê îáðàùåíèþ ìàòåìàòè÷åñ-
êîé ìîäåëè ïðåîáðàçîâàòåëÿ. Ðàññìîòðåíû êâàäðàòè÷åñêè íåëèíåéíûå ñèñ-
òåìû è ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûì ïîðÿäêîì íåëèíåéíîñòè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïñåâäîîáðàùåíèå, íåëèíåéíûå äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèå
ñècòåìû, íåëèíåéíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû, íåëèíåéíûå èòåðàöèîííî
óòî÷íÿåìûå ñèñòåìû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äàííàÿ ïóáëèêàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì [1], â êîòîðîé èäåè ïñåâäîîáðàùå-
íèÿ êëàññè÷åñêèõ ëèíåéíî îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé [2–4] èñïîëüçîâà-
ëèñü äëÿ çàäà÷ ïîñòðîåíèÿ ïñåâäîîáðàùåíèé íåëèíåéíûõ äèñêðåòíî ïðåîá-
ðàçóþùèõ ñèñòåì [5, 6]. Ïðè ýòîì ïðåäëàãàëèñü àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ è
èññëåäîâàíèÿ òî÷íîñòè è îäíîçíà÷íîñòè ïñåâäîðåøåíèé íåëèíåéíûõ àëãåáðàè-
÷åñêèõ ñèñòåì, ïîëó÷åííûõ ïóòåì äâóõ- è íåñêîëüêî êðàòíîãî äåêàðòîâîãî
óìíîæåíèÿ ëèíåéíî ïðåîáðàçîâàííîãî âõîäíîãî âåêòîðà, à òàêæå ïóòåì åãî
èòåðàöèîííîãî óòî÷íåíèÿ. Äàëåå ñòàâÿòñÿ è ðåøàþòñÿ çàäà÷è ïñåâäîîáðàùå-
íèÿ äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì, â êîòîðûõ ðàññìîòðåííûå â [1] íåëè-
íåéíîñòè ÿâëÿþòñÿ äîïîëíåíèÿìè ê êëàññè÷åñêîìó àëãåáðàè÷åñêè îïðåäåëåí-
íîìó ïðåîáðàçîâàòåëþ. Êàê è â [1], äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì ñòðîÿòñÿ
ìíîæåñòâà ðåøåíèé (åñëè îíè åñòü) èëè íàèëó÷øèõ ñðåäíåêâàäðàòèò÷åñêèõ
ïðèáëèæåíèé ê íåìó (åñëè íå ñóùåñòâóåò òî÷íîãî ðåøåíèÿ). Êàê è â [1], çà-
ïèñûâàþòñÿ óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè ïîñòðîåííûõ ìíîæåñòâ. Ïîëó÷åííûå ìàòå-
ìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðîñòû è äîñòóïíû äëÿ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé è
ìîãóò ñîãëàñíî ìåòîäèêè [4] ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ çàäà÷è ïñåâäîîáðàùåíèÿ èíòåã-
ðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà çàäà-
÷è [6] ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ íåïîëíî îïðåäåëåííûõ
ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÎÑÍÎÂÛ ÅÅ ÐÅØÅÍÈß
Ðàññìîòðèì ïðîöåcñû è ÿâëåíèÿ, äèñêðåòíî îïðåäåëåííûé âõîä u R M� êîòî-
ðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ â âûõîäíîé âåêòîð y R L� . Áóäåì èñõîäèòü èç êëàññè÷åñ-
êîé àëãåáðàè÷åñêè ëèíåéíîé ìîäåëè òàêîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ, êîòîðóþ çàïè-
øåì â âèäå
A u y0 � , (1)
ãäå A R L M
0 � � — ìàòðè÷íîå ÿäðî ïðåîáðàçîâàòåëÿ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà äîñòàòî÷íî ïîëíî èññëåäîâàííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü (1) äîïîëíÿåòñÿ íåëèíåéíîé ÷àñòüþ F u( ) òàê, ÷òîáû
A u F u y0 � �( ) , (2)
102 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
� Â.À. Ñòîÿí, 2019
ïðè çàäàííûõ ( )L M� -ìåðíûõ ìàòðèöàõ A AN0 , ,� :
F u A u A u( ) � �1 2 , (3)
F u A u A u uM( ) ( , , )� 1 � , (4)
F u A u A u A uN( ) � � � �1 2 � , (5)
F u A u i M u u i M ui i i NN
( ) (( ( , , ) ) , , )� � �� ��1 2
1 11 . (6)
Ïðè ýòîì, ìàêñèìàëüíî èñïîëüçîâàâ ðåçóëüòàòû [1], ãäå ñèñòåìà (2) ðàññìàò-
ðèâàëàñü ïðè A0 0� , ïîñòðîèì ìíîæåñòâà
u
u
u A u F u y� �
�{ }:| | ( ( )) | | min0
2 (7)
äëÿ F u( ), îïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî (3)–(6).
Êàê è â [1], çàïèøåì óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè ìíîæåñòâà (7) è îöåíèì
òî÷íîñòü �u
u
A u F u y� �
min | | ( ( )) | |0
2 åãî ýëåìåíòîâ ïî îòíîøåíèþ ê (2). Ïðè
ýòîì áóäåì èñõîäèòü [1] èç òîãî, ÷òî äëÿ ñèñòåìû A u y0 � âî ìíîæåñòâå
u
Mu u A y A A R� � �
� �� �{ }:
0 0 0� � � , � � 0,
åñëè det TA A � 0, è
�u
u
A u y y y y A A y�
�
�min | | | |0
2
0 0
T T .
ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÌÓËÜÒÈÏËÈÊÀÒÈÂÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÑÒÜÞ
Àäèòèâíî îïðåäåëåííûå íåëèíåéíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó
(2), (3), (7), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû
A u A u y1 2� � [1].
 ðàçâèòèå ìåòîäèêè [1] ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ
u
u
u A u A u y� �
�{ }: | | | | min1 2
2
ââåäåì â ðàññìîòðåíèå L-ìåðíûå âåêòîðû
y A ui i� ( , )i � 0 2 , (8)
÷åðåç êîòîðûå ñîîòíîøåèÿìè
u A y ii i� �� ( , )0 2 (9)
äàäèì îïðåäåëåíèå âåêòîðà u òàê, ÷òîáû u u
u ui
�
�
arg min | | | |
2 , ãäå
ui i i
u
u A u y�
�{ }:| | | | min .
Ïðè ýòîì òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé ïñåâäîðåøåíèÿ (9) ñîãëàñóþòñÿ ñ ñèñòåìà-
ìè (8), îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè
� i
u
i i i i i i i i
ui
A u y y y y A A y i2 2 0 2�
�
�
�
�min | | | | ( , )
T T . (10)
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà y ii ( , , )�{ }0 1 2 , íàèëó÷øåãî (ïî ñðåäíåêâàäðàòè-
÷åñêîìó êðèòåðèþ) äëÿ îïðåäåëåííîãî ñîîòíîøåíèåì (9) âåêòîðà u, êðîìå çíà-
÷åíèé � i
2 ( , )i � 0 2 , áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî
A A y A A y y y1 0 0 2 0 0 0
� �� � � ,
y A A y A A y y1 2 1 1 0 1 1� � �� � ,
A A y y A A y y1 2 2 2 0 2 2
� �� � � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 103
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðîâ yi ( , )i � 0 2 òàêèõ, ÷òîáû
| | | | minA A y A A y y y
y
1 0 0 2 0 0 0
2
0
� �� �
� , (11)
| | | | miny A A y A A y y
y
1 2 1 1 0 1 1
2
1
� �
�� � , (12)
| | | | minA A y y A A y y
y
1 2 2 2 0 2 2
2
2
� �� �
� , (13)
ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîðû
y y y y y j L i Lp p p p pL i j
� � �( , , , (( , , ), , ))
1
1 1� str T ( , )p � 0 2
è ìàòðèöû
A A A A
i L i
il0
1
1 0
0 0 1 0 0�
�col str(( , , , , , , , (([ ] [�
���
�
��� 2 0
1 1 1A k L l L i Lik
� � � �] , , ), , )), , ),
A A A j L Aij
L i
1 0 1
1
1 0 0� ��
col str str(( ([ ] , , ), , , , ([
( )
�
��� 2 1
1 0 0 1
2
A j L i Lij
L iL
�
� �] , , ), , , ), , )�
���
,
A A A j L Aij
L i
2 0 2
1
1 0 0� ��
col str str(( ([ ] , , ), , , , ([
( )
�
��� 1 2
1 0 0 1
2
A j L i Lij
L iL
�
� �] , , ), , , ), , )�
���
.
Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò çàäà÷è (11)–(13) ñâåñòè ê çàäà÷å ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêî-
ãî îáðàùåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
A y y pp p � �( , )0 2 (14)
îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò âåêòîðîâ y pp ( , )� 0 2 .
Èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà
yp p p p
y
y A y y
p
�
�{ }: | | | | min2
ñ òî÷íîñòüþ
� p
y
p p p p p p p p
p yp
A y y y y y A A y2 2�
�
�
�min | | | |
T T
(15)
íàõîäÿòñÿ ñîîòíîøåíèåì
y A P y A P Ap p p p p p p� �
� �T T� � , (16)
â êîòîðîì P A Ap p p� T , A Ap p p� �� ïðè ïðîèçâîëüíîì � p
L LR� �2
, à òàêæå
ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ yp ( , )p � 0 2 , íàõîäèì è êîìïîíåíòû
y j Lij ( , )�1 âåêòîðîâ y ii ( , )� 0 2 . Îíè áóäóò ñëåäóþùèìè:
y y i j Lij i j� � �, ( , , , )0 2 1 , (17)
ãäå y yi i L, ,, ,1
— ïåðâûå L êîìïîíåíò âåêòîðà y y j L Li i j� � �col ( , , ), 1 2 ( , )i � 0 2 .
C ó÷åòîì îøèáîê � i
2 ( , )i � 0 2 è � p
2 ( , )p � 0 2 ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùå-
íèÿ óðàâíåíèé (8) è (14) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà u (ñì. (9)) âûáåðåì âåêòîð
y y j Li ij� �col ( , , )1 , äëÿ êîòîðîãî ( ) min� �i i
i
2 2� � .
Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå (17), êàê è ðåøåíèå (16) óðàâíåíèÿ (14), êîððåê-
òíî, åñëè âåêòîðû � p ( , )p � 0 2 â ñîîòíîøåíèè (16) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
104 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
y y y
p iL j p iL i p jL j, , ,� � ��2 ,
y y i L j Lp i p iL i, , ( , , , )2 1 1� � �� . (18)
Îñîáåííîñòè ïñåâäîîáðàùåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñ àääèòèâíîé íå-
ëèíåéíîñòüþ âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Îáîáùèì ðåøåíèå çàäà÷è (2), (3), (7) íà ñëó-
÷àé, êîãäà ëèíåéíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà (2) ïîëó÷àåò àäèòèâíóþ íåëèíåé-
íîñòü N -ãî ïîðÿäêà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé (5).
Ñëåäóÿ èçëîæåííîé ìåòîäèêå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2), (3), (7) â ðàìêàõ ñèñòåìû
(2), (5) ñäåëàåì âûâîä î òîì, ÷òî ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
u A y
i i� �
0 0
, (19)
â êîòîðîì i
i N
i i0
1
2 2� �
�
arg
{ }
min ( )
,... ,
� � ïðè îïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî (10) è (15)
òî÷íîñòÿõ � i
2 è �i
2 ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñ-
êèõ ñèñòåì âèäà (8) è (14).
Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî èìåþùèåñÿ â (14), êàê è â (19), ìàòðèöû è âåêòîðû òå-
ïåðü áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
A A A
j L j
j0
1
1 0
0 0 1 0 0�
�col str(( , , , , , , , (... ([ ]�
���
�
��� k N jkA A
N1 0
...[ ] ,�
k L k L j LN � � �1 1 11, ), , , )), , )� ,
A A A k L Ai i jk
L j
j
N
� ��
col str(( ([ ] , , ), , , ,
( )
(
0
1
1 0 0
1
�
���
i
L jLN N
j L) , , , ) , , )0 0 1
1
�
���
� ,
y y y y y k Li i i L i k i k NN
� � � �str str( , (... ( , , ), ..., , , ,1 1
1� � , , )) ( , ).k L i N1 1 1� �T (20)
Çäåñü (êàê è ðàíåå) yi j, ( , )j L LN� �1 — êîìïîíåíòû âåêòîðà y i Ni ( , )� 0 .
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (20) âåêòîðà yi ( , )i N�1 èç ðåøåíèÿ (16) óðàâíåíèÿ
(14) ñîîòíîøåíèåì (17) íàõîäèì êîìïîíåíòû yij ( , )j N�1 âåêòîðîâ yi ( , )i N� 0 .
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ (18), êîòîðûìè îãðàíè÷èâàëñÿ âûáîð âåêòîðà � p (ñì.
(16)) â ïðåäûäóùåé çàäà÷å òåïåðü çàìåíÿòñÿ ñëåäóþùèìè:
y y
i i L i L i
N
i i L i L i
k
N
N
N N k
N
k k, ,
1
1
1
1
1
1
� � � � � �
�
� �
� �
,
y yi i
N
i iL i L iN,
,
�
� � �1
�
.
Çäåñü i N� 0, , i Ln �1, ïðè n N�1, .
Ïñåâäîîáðàùåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èòåðàöèîííî óòî÷íÿåìîé íå-
ëèíåéíîñòüþ. Ðàcñìîòðèì çàäà÷ó ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî (ñîãëàñíî (7)) îáðàùå-
íèÿ êâàäðàòè÷åñêè íåëèíåéíîé ñèñòåìû (2), (4). Êàê è ðàíåå, ìàêñèìàëüíî èñ-
ïîëüçóåì ìåòîäèêó ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû (1). Ïðè ýòîì áóäåì èñõîäèòü èç
òîãî, ÷òî çàìåíîé
� � �� � � �
�
( , , ) ( , ..., , (( , , ), , )1 12 1 1�
M M M i ju u u u j M i Mstr T (21)
A A i Mi� �str ( , , )0 ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 105
â êîòîðîé ( , ..., )u u uM1 � T , ñèñòåìó (2), (4) ïðèâåäåì ê âèäó
A y� � . (22)
Ðåøåíèåì ïîñëåäíåé òàêèì, ÷òî
� �
�
�
arg min| | | |A y 2 , (23)
åñòü âåêòîð
� � �� �
� �A P y A P AT T
1 1
, (24)
â êîòîðîì P AA1 � T , à
� � � � � � ��� � � � � �
� � � � { { }}: , , , ...,
iM j iM i jM j i iM i i j M2 2 1 . (25)
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (21) âåêòîðà � è âûðàæåíèÿ (24) â ðàìêàõ ðàññìàòðè-
âàåìîé çàäà÷è íàõîäèì êîìïîíåíòû um ( , )m M�1 âåêòîðà u, êîòîðûé ñîãëàñíî
(7) óäîâëåòâîðÿåò (2), (4). Ïðè ýòîì
um m� � ( , )m M�1 . (26)
Ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ êâàäðàòè÷íî íåëèíåéíîé ñèñòåìû (2), (4)
ìîæíî îáîáùèòü è íà ñèñòåìû âûñøåãî ïîðÿäêà íåëèíåéíîñòè, ò.å. íà ñèñòåìû,
ôóíêöèÿ F u( ) â êîòîðûõ îïðåäåëåíà ñîãëàñíî (6).
Êàê è ðàíåå, çàìåíîé
A A A i M i M ii i i N NN
� � �
( , ((... (( , , ), , )... ),...0 11 2
1 1str 1 1� , ))M (27)
� � �
( , ..., , ((... (( ... , , ),u u u u u i MM i i i NN N1 1 1
1str i M i MN
� �1 11 1, )... ), , ))T (28)
ñèñòåìó (2), (6) ïðèâåäåì ê âèäó (22).
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (27), (28) ìàòðèöû A è âåêòîðà � ñîîòíîøåíèåì (24)
íàéäåì è ðåøåíèå çàäà÷è (22), (23). Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî îãðàíè÷èâàþùèå ðàâå-
íñòâà, êîòîðûìè ñîãëàñíî (25) îïðåäåëÿåòñÿ âûáîð âåêòîðà � â (24), òåïåðü áóäóò
ñëåäóþùèìè:
� �
i M i M i
N
i M i M i
k
N
N
N N k
N
k k1
1
1
1
1
� � � � � �
�
� �
� �
, � �i
N
iM iM iN�
� � �1
�
. (29)
Çäåñü i M i Mn� �1 1, , , ïðè n N�1, .
Ðåøåíèå çàäà÷è (à ýòî êîìïîíåíòû u m Mm ( , )�1 âåêòîðà u), êàê è ðàíåå, áó-
äåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîãëàñíî (26). Òî÷íîñòü íàéäåíîãî òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿ áó-
äåò çàâèñåòü îò òî÷íîñòè ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû (22) è
� �
�
2 2
1 1
�
�
�min | | | |A y y y y P P yT T .
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà det TA A � 0, ýòî ïñåâäîîáðàùåíèå áóäåò îäíîçíà÷íûì.
Ïðè ýòîì � � 0, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò óñëîâèé äëÿ ïðîâåðêè îãðàíè-
÷èâàþùèõ óñëîâèé (25) è (29).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðåøåíà ñëîæíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ïñåâäîðåøåíèÿ äèñêðåòíî ïðåîáðà-
çóþùèõ ñèñòåì ñ âåêòîðíûìè âõîäàìè-âûõîäàìè, îñîáåííîñòüþ êîòîðûõ ÿâ-
ëÿåòñÿ òî, ÷òî ëèíåéíàÿ ÷àñòü ïðåîáðàçîâàòåëÿ äîïîëíÿåòñÿ íåëèíåéíî ïðåîá-
ðàçóþùåé êîìïîíåíòîé. Ðàññìàòðèâàåìûå â ðàáîòå íåëèíåéíîñòè ñòðîÿòñÿ ïó-
òåì êàê äåêàðòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âõîäíîãî âåêòîðà, òàê è èòåðàöèîííîãî
106 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2
óòî÷íåíèÿ ìàòðè÷íîãî ÿäðà ïðåîáðàçîâàòåëÿ. Íà îñíîâàíèè êëàññè÷åñêèõ ðå-
çóëüòàòîâ ëèíåéíîé àëãåáðû äëÿ êàæäîãî èç ïðåîáðàçîâàòåëåé ïîñòðîåíû ìíî-
æåñòâà äîïóñòèìûõ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ïñåâäîîáðàùåíèé.
Ñäåëàíà îöåíêà òî÷íîñòè ïîëó÷åííûõ ïñåâäîðåøåíèé, îïèñàíû óñëîâèÿ èõ
îäíîçíà÷íîñòè. Âûáðàííûå äëÿ èññëåäîâàíèÿ êëàññû íåëèíåéíîñòåé â äèñ-
êðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåìàõ, ïî ìíåíèþ àâòîðà, ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ øè-
ðîêîãî ñïåêòðà ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé, à èõ îáîáùåíèå è ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå íà íåëèíåéíûå íåïðåðûâíî ïðåîáðàçóþùèå ñèñòåìû íåñîìíåííî
ìîæåò áûòü ïîëåçíûì â ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèñ-
êðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì. ². Ìóëüòèïëèêàòèâíî íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 127–124.
2. Êèðè÷åíêî Í.Ô. Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùåíèé ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. 1997. ¹ 2. Ñ. 98–107.
3. Êèðè÷åíêî Í.Ô. Ïñåâäîîáðàùåíèå ìàòðèö è èõ ðåêóððåíòíîñòü â çàäà÷àõ ìîäåëèðîâàíèÿ è óïðàâëå-
íèÿ. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 1995. ¹ 1. Ñ. 114–127.
4. Êèðè÷åíêî Í.Ô., Ñòîÿí Â.À. Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íûõ è èíòåãðàëüíûõ ëèíåéíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1998. ¹ 3. Ñ. 90–104.
5. Ñòîÿí Â.Â. Ïñåâäî³íâåðñíèé ï³äõ³ä äî ðîçâ’ÿçàííÿ îäíîãî êëàñó íåë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü.
Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2008. ¹ 3. Ñ. 45–49.
6. Ñòîÿí Â.À. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. Êè¿â:
ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. 320 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 08.02.2018
Â.À. Ñòîÿí
ÌÅÒÎÄÈ Ë²Í²ÉÍί ÀËÃÅÁÐÈ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß ÄÅßÊÈÕ ÊËÀѲÂ
ÍÅ˲ͲÉÍÈÕ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÏÅÐÅÒÂÎÐÞÂÀËÜÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ.
²². ÑÈÑÒÅÌÈ Ç ÀÄÈÒÈÂÍÎ ÂÈIJËÅÍÎÞ ÍÅ˲ͲÉͲÑÒÞ
Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî ïñåâäîðîçâ’ÿçêè äèñêðåòíî ïåðåòâîðþâàëüíèõ ñèñ-
òåì, ë³í³éíà ÷àñòèíà ÿêèõ äîïîâíåíà íåë³í³éíîñòÿìè, îòðèìàíèìè ï³ñëÿ äå-
êàðòîâîãî ïåðåòâîðåííÿ âõ³äíîãî âåêòîðà àáî ³òåðàö³éíîãî óòî÷íåííÿ ìàò-
ðè÷íîãî ÿäðà ïåðåòâîðþâà÷à. Äîñë³äæåíî òî÷í³ñòü òà îäíîçíà÷í³ñòü ìíîæè-
íè ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèõ íàáëèæåíü äî îáåðíåííÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³
ïåðåòâîðþâà÷à. Ðîçãëÿíóòî êâàäðàòè÷íî íåë³í³éí³ ñèñòåìè òà ñèñòåìè
ç äîâ³ëüíèì ïîðÿäêîì íåë³í³éíîñò³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïñåâäîîáåðíåííÿ, íåë³í³éí³ äèñêðåòíî ïåðåòâîðþâàëüí³
ñècòåìè, íåë³í³éí³ àëãåáðà¿÷í³ ñèñòåìè, íåë³í³éí³ ³òåðàö³éíî óòî÷íþâàëüí³
ñèñòåìè.
V.A. Stoyan
LINEAR ALGEBRA METHODS IN PROBLEMS OF THE ANALYSIS OF CERTAIN CLASSES
OF NONLINEAR DISCRETELY TRANSFORMATIVE SYSTEMS.
II. SYSTEMS WITH ADDITIONALLY HIGHLIGHTED NONLINEARITY
Abstract. Pseudo-solutions of discretely transformative systems are generated;
their linear part is complemented with nonlinearities obtained after the Cartesian
transformation of input vector or iterative specification of matrix transformer
kernel. Sets of root-mean-square approximations to inversion of mathematical
model of the transformer are investigated for accuracy and uniqueness.
Root-mean-square nonlinear systems and systems with arbitrary order of
nonlinearity are considered.
Keywords: pseudo-inversion, nonlinear discretely transformative systems,
nonlinear algebraic systems, nonlinear iterative specified systems.
Ñòîÿí Âëàäèìèð Àíòîíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà
Øåâ÷åíêî, e-mail: v_a_stoyan@ukr.net.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 107
|