Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий

Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий

По пространственному распределению величин параметров магнитного поля в каждой точке плоскости наблюдения определяют значения всех составляющих вектора магнитной индукции и его пространственных производных первого порядка. Обратная задача решена с помощью аналитического метода собственных векторов....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2019
Main Authors: Примин, М.А., Недайвода, И.В.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Subjects:
Програмно-технічні комплекси
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180861
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 188-200. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180861
record_format dspace
spelling Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
2021-10-22T15:47:32Z
2021-10-22T15:47:32Z
2019
Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 188-200. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
1019-5262
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180861
681.32+537.8
По пространственному распределению величин параметров магнитного поля в каждой точке плоскости наблюдения определяют значения всех составляющих вектора магнитной индукции и его пространственных производных первого порядка. Обратная задача решена с помощью аналитического метода собственных векторов. Работа алгоритма промоделирована на реальных данных магнитометрических исследований в геомагнитном поле.
За просторовим розподілом величин параметрів магнітного поля в кожній точці площини спостереження визначено значення всіх складових вектора магнітної індукції і його просторових похідних першого порядку. Обернену задачу розв'язано за допомогою аналітичного методу власних векторів. Роботу алгоритму промодельовано на реальних даних магнітометричних досліджень у геомагнітному полі.
The values of all the components of the magnetic induction vector and its first spatial derivatives at the points of observation plane are obtained by the spatial distribution of the magnetic field parameters at each observation point. The inverse problem is solved with the use of the analytic eigenvector method. The algorithm is simulated using real data of magnetometric studies in geomagnetic field.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Програмно-технічні комплекси
Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
Метод і алгоритм отримання елементів тензора просторових похідних вектора магнітної індукції в задачі пошуку магнітних аномалій
Method and algorithm for obtaining elements of the tensor of spatial derivatives of the magnetic induction vector in the problem of magnetic anomalies search
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
spellingShingle Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
Програмно-технічні комплекси
title_short Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
title_full Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
title_fullStr Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
title_full_unstemmed Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
title_sort метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий
author Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
author_facet Примин, М.А.
Недайвода, И.В.
topic Програмно-технічні комплекси
topic_facet Програмно-технічні комплекси
publishDate 2019
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Метод і алгоритм отримання елементів тензора просторових похідних вектора магнітної індукції в задачі пошуку магнітних аномалій
Method and algorithm for obtaining elements of the tensor of spatial derivatives of the magnetic induction vector in the problem of magnetic anomalies search
description По пространственному распределению величин параметров магнитного поля в каждой точке плоскости наблюдения определяют значения всех составляющих вектора магнитной индукции и его пространственных производных первого порядка. Обратная задача решена с помощью аналитического метода собственных векторов. Работа алгоритма промоделирована на реальных данных магнитометрических исследований в геомагнитном поле. За просторовим розподілом величин параметрів магнітного поля в кожній точці площини спостереження визначено значення всіх складових вектора магнітної індукції і його просторових похідних першого порядку. Обернену задачу розв'язано за допомогою аналітичного методу власних векторів. Роботу алгоритму промодельовано на реальних даних магнітометричних досліджень у геомагнітному полі. The values of all the components of the magnetic induction vector and its first spatial derivatives at the points of observation plane are obtained by the spatial distribution of the magnetic field parameters at each observation point. The inverse problem is solved with the use of the analytic eigenvector method. The algorithm is simulated using real data of magnetometric studies in geomagnetic field.
issn 1019-5262
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180861
citation_txt Метод и алгоритм получения элементов тензора пространственных производных вектора магнитной индукции в задаче поиска магнитных аномалий / М.А. Примин, И.В. Недайвода // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 188-200. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT priminma metodialgoritmpolučeniâélementovtenzoraprostranstvennyhproizvodnyhvektoramagnitnoiindukciivzadačepoiskamagnitnyhanomalii
AT nedaivodaiv metodialgoritmpolučeniâélementovtenzoraprostranstvennyhproizvodnyhvektoramagnitnoiindukciivzadačepoiskamagnitnyhanomalii
AT priminma metodíalgoritmotrimannâelementívtenzoraprostorovihpohídnihvektoramagnítnoííndukcíívzadačípošukumagnítnihanomalíi
AT nedaivodaiv metodíalgoritmotrimannâelementívtenzoraprostorovihpohídnihvektoramagnítnoííndukcíívzadačípošukumagnítnihanomalíi
AT priminma methodandalgorithmforobtainingelementsofthetensorofspatialderivativesofthemagneticinductionvectorintheproblemofmagneticanomaliessearch
AT nedaivodaiv methodandalgorithmforobtainingelementsofthetensorofspatialderivativesofthemagneticinductionvectorintheproblemofmagneticanomaliessearch
first_indexed 2025-11-24T11:48:39Z
last_indexed 2025-11-24T11:48:39Z
_version_ 1850846166784147456
fulltext ÓÄÊ 681.32+537.8 Ì.À. ÏÐÈÌÈÍ, È.Â. ÍÅÄÀÉÂÎÄÀ ÌÅÒÎÄ È ÀËÃÎÐÈÒÌ ÏÎËÓ×ÅÍÈß ÝËÅÌÅÍÒΠÒÅÍÇÎÐÀ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÂÅÊÒÎÐÀ ÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ Â ÇÀÄÀ×Å ÏÎÈÑÊÀ ÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÀÍÎÌÀËÈÉ Àííîòàöèÿ. Ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ îïðåäåëÿþò çíà÷å- íèÿ âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåí- íûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðåøåíà ñ ïîìîùüþ àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ðàáîòà àëãîðèòìà ïðîìîäåëè- ðîâàíà íà ðåàëüíûõ äàííûõ ìàãíèòîìåòðè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé â ãåîìàãíèò- íîì ïîëå. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàãíèòíûå àíîìàëèè, îáðàòíàÿ çàäà÷à ìàãíèòîñòàòèêè, òåíçîð ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòð. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ðàçâèòûõ ñòðàíàõ ïðîâîäÿòñÿ èíòåíñèâíûå èññëåäîâàíèÿ ïî èñïîëüçîâàíèþ ñâåðõ÷óâñòâèòåëüíîé ìàãíèòîìåòðè÷åñêîé àïïàðàòóðû íà îñíîâå ÑÊÂÈÄ-äàò÷è- êîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïîèñêà ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ è/èëè èíæåíåðíûõ îáúåê- òîâ è ñîîðóæåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä çåìëåé (âîäîé).  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàñ- ñìàòðèâàþòñÿ ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû, â òîì ÷èñëå ýêñïåðèìåíòàëüíûå, ñâÿçàííûå ñ ðàçðàáîòêîé àëãîðèòìîâ èçìåðåíèé è îáðàáîòêè äàííûõ äëÿ ðå- øåíèÿ ãåîôèçè÷åñêèõ çàäà÷, êîãäà èññëåäóåìûé îáúåêò îáëàäàåò ìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè, ðàñïîëîæåí â ãåîìàãíèòíîì ïîëå, ìåñòîïîëîæåíèå îáúåêòà â ïðî- âîäÿùåé ñðåäå (çåìëÿ, âîäà) íåèçâåñòíî è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü åãî êîîðäèíà- òû ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèé âåëè÷èí ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî îáúåêòîì â òî÷êàõ íàáëþäåíèÿ â âîçäóøíîé ñðåäå. Ïðåäëàãàåìûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ìàãíèòîñòàòèêè ó÷èòûâàåò â ÿâíîì âèäå êîíñòðóêöèþ òðàíñôîðìàòîðîâ ìàãíèòíîãî ïîòîêà (àíòåíí) ìàã- íèòîìåòðè÷åñêîãî êàíàëà è ïîçâîëÿåò îïòèìèçèðîâàòü êîëè÷åñòâî èçìåðèòåëü- íûõ êàíàëîâ ñèñòåìû. Êàê âàðèàíò, äàííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è ïîçâî- ëèë ñîçäàòü ïðîòîòèï ÑÊÂÈÄ-ìàãíèòîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ ïîèñêà èíæå- íåðíûõ êîììóíèêàöèé ïîä çåìëåé, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíûå èñïûòàíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ åå óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ.  ñòàòüå ïðèâåäåíû íå- êîòîðûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû îáðàáîòêè ìàãíèòíûõ ñèãíàëîâ äëÿ ôèçè÷åñ- êèõ ìîäåëåé, êîòîðûå ðàçëè÷àþòñÿ êàê ïî êîëè÷åñòâó (îäèí èëè íåñêîëüêî ðàñïðåäåëåííûõ â ïðîñòðàíñòâå îáúåêòîâ), òàê è ïî ôîðìå è îðèåíòàöèè îáú- åêòà îòíîñèòåëüíî ñèëîâûõ ëèíèé ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ. ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È ÏÎÈÑÊÀ ÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÀÍÎÌÀËÈÉ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÐÅÃÈÑÒÐÀÖÈÈ ÏÎËÍÎÃÎ ÒÅÍÇÎÐÀ ÃÐÀÄÈÅÍÒΠÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß Ïðè ïîèñêå è èññëåäîâàíèè îáúåêòîâ â ãåîôèçèêå ìàãíèòíûå ìåòîäû ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïàðàëëåëüíî ñ ìåòîäàìè ãðàâèìåòðèè [1, 2]. Ýòè ìåòîäû ïîèñêà àíîìàëèé ÿâëÿþòñÿ áåñêîíòàêòíûìè è ïðåäïîëàãàþò ðåãèñòðàöèþ âåëè÷èí ïà- ðàìåòðîâ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðîâ ìàãíèòíîãî è íàïðÿæåí- íîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëåé, ñîçäàííûõ îáúåêòîì â îêðóæàþùåì ïðîñòðàí- ñòâå. Çàìåòèì, ÷òî ðåãèñòðàöèÿ è ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëèç ãðàâèìåòðè÷åñêèõ äàííûõ ðàçðàáîòàíû äëÿ øèðîêîãî êëàññà ãåîôèçè÷åñêèõ çàäà÷ è øèðîêî ïðè- 188 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 © Ì.À. Ïðèìèí, È.Â. Íåäàéâîäà, 2019 ìåíÿþòñÿ íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð ïðè ïîèñêå ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ. Ïîÿâëå- íèå âûñîêî÷óâñòâèòåëüíûõ ìàãíèòîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåì íà îñíîâå ÑÊÂÈÄ- äàò÷èêîâ ñòàëî ñòèìóëîì äëÿ ðàçðàáîòêè íîâûõ ìåòîäîâ ðåãèñòðàöèè è àíàëè- çà ìàãíèòíûõ àíîìàëèé ïðè ïîèñêå ìåñòîðîæäåíèé èñêîïàåìûõ èëè, íàïðè- ìåð, ïðè ïîèñêå èíæåíåðíûõ êîììóíèêàöèé ïîä çåìëåé. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [3] îïèñàí ïîäõîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ïðåîáðàçîâàòü (òðàíñôîðìèðîâàòü) ðåçóëüòàòû ìàãíèòíûõ èçìåðåíèé â ðåçóëüòàòû ãðàâèìåòðè- ÷åñêèõ èçìåðåíèé. Îäíàêî ýòîò ìåòîä äàåò äîñòîâåðíûå ðåçóëüòàòû â òîì ñëó÷àå, åñëè âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè ãåîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååò òîëüêî âåðòèêàëü- íóþ (íîðìàëüíóþ ïî îòíîøåíèþ ê ïîâåðõíîñòè Çåìëè) ñîñòàâëÿþùóþ, íàïðè- ìåð âáëèçè ìàãíèòíûõ ïîëþñîâ Çåìëè. Âìåñòå ñ òåì ñóùåñòâóþò ìåòîäû è àëãî- ðèòìû, êîòîðûå îñíîâàíû íà ñâîéñòâàõ ñèììåòðèè òåíçîðà ïåðâûõ è âòîðûõ ïðî- ñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè (íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó íàáëþäåíèÿ Q ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r � ( , , )r r rx y z â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ îáúåêòîì. Òîãäà ïîëå, ñîçäàííîå îáúåêòîì â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ B � ( , , )B B Bx y z , G � ( , , )G G Gx y z , ãäå B è G — âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè è âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöè- îííîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðâûå ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå âåêòîðîâ ìàãíèòíîé èíäóêöèè è íà- ïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ îáðàçóþò òåíçîðû D B x B y B z B x B y B z B x B y B z x x x y y y z z z 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � G x G y G z G x G y G z G x G y G z x x x y y y z z z � � � � � � � � � . (1) Åñëè òî÷êà íàáëþäåíèÿ Q ðàñïîëîæåíà â îäíîðîäíîé, íåìàãíèòíîé, íåïðî- âîäÿùåé ñðåäå (â âîçäóõå), à äëÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ — âíå ãðàâèòàöèîííûõ îáúåêòîâ, òî äëÿ âåêòîðîâ B è G ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: div rotB B� �0 0, , div rotG G� �0 0, . (2) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òåíçîðû ïðîèçâîäíûõ D1 è 1 ñèììåòðè÷íû è íå èìåþò ñëåäà; òàêèì îáðà- çîì, íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïÿòü ýëåìåí- òîâ êàæäîãî òåíçîðà (ðèñ. 1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè íàáëþ- äåíèÿ äî îáúåêòà íàìíîãî áîëüøå çíà÷åíèé ãåîìåò- ðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ îáúåìà V ïðîñòðàíñòâà, ãäå ñî- ñðåäîòî÷åí èñòî÷íèê ïîëÿ (îáúåêò). Äðóãèìè ñëîâà- ìè, òî÷êè ïðîñòðàíñòâà, ãäå èçâåñòíî èëè îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå B , ðàñïîëîæåíû ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó ïîëÿ íà ðàññòîÿíèÿõ r, çíà- ÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèõ ðàçìåðû èñòî÷íèêà. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 189 xx yy zz xy xz yx yz zx zy Ðèñ. 1. Ñõåìà ñèììåòðèè òåíçîðà è åãî äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ Àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ìåñòîïîëîæåíèÿ îáúåêòà ïî äàííûì èçìåðåíèé âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ãðàâèòàöèîííîãî àíàëîãè÷åí. Ïîýòîìó äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìàãíèòíîå ïîëå îáúåêòà. Ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èñ- òî÷íèê ñèãíàëà ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ìàãíèòíûì äèïîëåì. Òîãäà âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè â òî÷êå íàáëþäåíèÿ ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [4] B � � � � �4 3 2 5 ( )Mr r Mr r � �4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 2 2 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r x x y x z x y y y z x z y z � � r r M M M z x y z 2 2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , (3) ãäå � — ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, M — ïîëíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò îáúåêòà. Ýòî îòíîñèòñÿ êî âñåì êëàññàì èñòî÷íèêîâ ìàã- íèòíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó, íå ñíèæàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âíå çàâèñè- ìîñòè îò ïðèíàäëåæíîñòè èñòî÷íèêà ê òîìó èëè èíîìó êëàññó ñòàòè÷åñêîå ìàãíèòíîå ïîëå â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r èìååò âèä (3) è ñîçäàíî äèïîëüíûì èñòî÷íèêîì (äèïîëåì) ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì M, ðàñïî- ëîæåííûì â íà÷àëå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò XYZ .  îäíîðîäíîé, íåìàãíèòíîé, íåïðîâîäÿùåé ñðåäå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2). Ïðÿìûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì (3) ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì ïîëó÷èì âñå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïåðâûõ è âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîçäóõå. Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ èìåþò âèä � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � B y B z B y B z B z x x y y z / / / / / 3 4 5 5 5 5 5 0 7 2 2 2 2 2 2 � �r r r r r r r r r r r r r x y y x x y z x z ( ) ( ) ( ) � � � � � r r r r r r r r r r r r r r r x y z z z y x y y y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 3 5 5 � � � � z x y z y z z y z x z r r r r r r r r r r r r r r � � � � � 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r M M M y z z x y z 3 52 2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . (4) Îáðàòíàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà òàê: ïî èçâåñòíîìó (èçìåðåí- íîìó) â îäíîé èëè íåñêîëüêèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà âåêòîðó ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì íàéòè ðàäèóñ-âåêòîð óêàçàííûõ òî÷åê â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ, è äèïîëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò èñòî÷íèêà ñèãíàëà. ÐÅØÅÍÈÅ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÇÀÄÀ×È ÄËß ÄÈÏÎËÜÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀ ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÑÈÃÍÀËÀ Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ äèïîëüíîãî èñòî÷íèêà ïîëó÷èì, èñ- ïîëüçóÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ [4]. Êàê áûëî ïîêàçàíî, òåíçîð ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè D1 ñèììåò- ðè÷åí è íå èìååò ñëåäà. Èíûìè ñëîâàìè, èç äåâÿòè ýëåìåíòîâ òåíçîðà D1 íåçàâè- ñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ëèøü ïÿòü: òðè íåäèàãîíàëüíûõ: � � óx / , � � zx / , � � zó / è äâà äèàãîíàëüíûõ: � � yó / è � � xx / . Èç ñèììåòðèè D1, è óñëîâèÿ tr ( )D1 0� ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà ãðàäèåíòîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ � i ( , , )i �1 2 3 , îïðåäåëÿåìûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì � �3 2 2 2 2� � � � � � � �( )B B B B B B B B B B Bxx yy xx zz yy zz xy xz yz xx yz � � � � �B B B B B B B B B Byy xz zz xy xy xz yz xx yy zz 2 2 2 0 , (5) ãäå B B rij i j� � �/ , äåéñòâèòåëüíû è ðàçëè÷íû, à ñóììà èõ ðàâíà íóëþ (�1 � � � �� �2 3 0). Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû 190 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 òåíçîðà D1 u i i i i yz xy i yy xz xz xy i B B B B B B B� � � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( xx yz xx i yy i xy B B B B ) ( )( )� � � � � � � � � � � � 2 , i �1 2 3, , , (6) âçàèìíî îðòîãîíàëüíû: u u u u u u1 2 1 3 2 3 0� � � � � � . Ïîñëå íîðìèðîâàíèÿ ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìîãóò áûòü âûáðàíû â êà÷åñòâå áàçèñà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïðè÷åì â ýòîì íîâîì áàçèñå òåíçîð D1 èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: D1 1 2 3 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � , (7) à êîîðäèíàòû ðàäèóñà-âåêòîðà ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà â íîâîé ñèñ- òåìå êîîðäèíàò (� i , i �1 2 3, , ) ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè ðàäèóñà-âåêòîðà ýòîé æå òî÷êè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò XYZ ( , , , )� j j x y z� ñëåäóþùèìè ñîîò- íîøåíèÿìè: � � � � � � � � � � � � � x y z � � � � � � � � � � � �1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 / / / 2 3 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/ / / 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2� � � � � � � � � � � �/ / /� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 , (8) ãäå � i , � i , � i îïðåäåëÿþòñÿ èç (6). Ñîîòíîøåíèÿ (6)–(8) ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è, åñëè â ïðîèç- âîëüíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èçâåñòíû íåçàâèñèìûå ýëåìåíòû òåíçîðà D1 è îäíà èç êîìïîíåíò âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, íàïðèìåð Bx . Òîãäà èç (4) äëÿ � �B / õ â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, áàçèñîì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåí- íûå âåêòîðû ìàòðèöû �D1, íàõîäèì âåêòîð, ïðîïîðöèîíàëüíûé âåêòîðó Ì: M r r r r r r r r r r r � � � � � � 3 4 5 5 5 5 4 1 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 � � � M ( ) ( ) ( ) r3 � � � � � � � � � � � . (9) Çäåñü r1 0� (äåòåðìèíàíò ñèñòåìû óðàâíåíèé (4) íå ðàâåí íóëþ). Ñäåëàâ ïîäñòàíîâêó (9) â (4), ïðèâåäåì ïîäîáíûå ñëàãàåìûå äëÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ: n n n n n n n n n 1 2 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 0 1 5 5 1 5 3 5 � � � � � � � , ( )[ ( ) ( )]� � 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 5 1 5 3 5 1 5 ( ) [ ( ) ( )] ( )[ � � � � � � � � n n n n n� � � ( ) ( )] ,1 5 1 5 0 1 2 1 2 2� � � � � � � � � n n� (10) ãäå n r r1 1� / , n r r2 2� / , n r r3 3� / — íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû ðàäèóñà-âåêòîðà r â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Íà îñíîâàíèè àíàëèçà ñèñòåìû (8)–(10) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: n r r 1 1� � cos , n2 � sin , n3 0� , sin 2 1 2 2 1 2 � � � � � � � , M n n n1 1 2 2 1 2 1 5 1 1 � � � � , (11) M n n n2 1 1 2 1 2 2 1 5 1 � � � � , M 3 0� . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 191 Íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (11) ìîæíî íàéòè nx , n y , nz , M x , M y , M z â çà- äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò XYZ, à çàòåì îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå r ïî èçìåðåííîé êîìïîíåíòå Âx: r B M n M n M n n Mx x x y y z z x x� � � � �3 3 3 3 1[( ) ] , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ èñòî÷íèêà ïîëÿ äèïîëüíîé ìîäåëè. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ N èñòî÷íèêîâ îïóáëè- êîâàíî â [5, 6]. Àëãîðèòì ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííûõ, ñîîòíîøåíèÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ïàðà- ìåòðàìè â ÿâíîì âèäå, ïðèìåðû ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà, à òàêæå îöåíêè âëèÿíèÿ ìàãíèòíîãî øóìà íà äîñòîâåðíîñòü ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ïðèâåäåíû â ðàáî- òàõ [4, 5]. Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâà ñèììåòðèè òåíçîðà D1 (ïåðâûõ ïðîñòðàíñòâåí- íûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè) ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü èíôîðìà- öèþ îá èñòî÷íèêå ïîëÿ (îáúåêòå) â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ïðåäâàðèòåëüíîé èíôîðìà- öèè î âçàèìîñâÿçè ìåæäó ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè íàáëþäåíèÿ äî îáúåêòà è ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè îáúåêòà. Äëÿ ýòîãî ïðè ìàãíèòîìåòðè÷åñêîì ïîèñêå ìàãíèòíûõ àíîìàëèé â çàäàííîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ñëåäóþùèõ ïàðàìåòðîâ: I B x B y B z B x y z 1 � � � � � � � � � , I B x B y B y B z B x B z B x y y z x z 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B y B y B x B x B y B y x x z z z z , (12) I B x B y B z B y B y B x y z z z 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � ��� B y B y B x B y B z x z z x z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B x B y B y B x B y z x z z y . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ I B1 , I B2 , I B3 íå çàâèñÿò îò âûáî- ðà íàïðàâëåíèÿ îñåé êîîðäèíàò, ïîýòîìó îíè ïîëó÷èëè íàçâàíèå «ïðîñòðàí- ñòâåííûå èíâàðèàíòû» [7].  êà÷åñòâå èíâàðèàíòîâ èñïîëüçóþò òàêæå ñîáñòâåí- íûå çíà÷åíèÿ â âèäå ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé: I1 1 2 3� � �� � � , I 2 1 2 2 2 3 2� � �� � � , (13) I 3 1 3 2 3 3 3� � �� � � . Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî çíà÷åíèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, âñå íåçàâè- ñèìûå ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòîãî âåêòîðà, à òàêæå çíà÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ èíâàðèàíòîâ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ èçâåñòíû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè è ðàñïîëîæåííîé íàä èññëåäóåìûì îáúåêòîì.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ êàæäîé òî÷êè íà- áëþäåíèÿ ìîæíî íàéòè ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è, èñïîëüçóÿ àïïàðàò ñîáñòâåí- íûõ âåêòîðîâ, è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü ìåñòîïîëîæåíèå îáúåêòà â ïðîñòðàíñòâå. Êðîìå òîãî, âû÷èñëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ èíâàðèàíòîâ (12), (13) â ïëîñêîñòè èçìåðåíèé íàä îáúåêòîì äàåò äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ êàê î ïðîåêöèè íà ýòó ïëîñêîñòü îáëàñòè ìåñòîïîëîæåíèÿ îáúåêòà, òàê è î åãî ïðîñòðàíñòâåííîé êîíôèãóðàöèè (ôîðìà, ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû, ïðîòÿæåí- íîñòü èëè ñîñðåäîòî÷åííîñòü îáúåêòà, õàðàêòåðèñòèêè — ïëîñêèé èëè òðåõìåð- íûé îáúåêò è ò.ä.) [7]. 192 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ñðåäè èçâåñòíûõ ìàãíèòîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåì íà îñíîâå ÑÊÂÈÄ-äàò÷èêîâ äëÿ ðåãèñòðàöèè è ïðîñòðàíñòâåííîãî àíàëèçà «ïîëíîãî òåíçîðà ãðàäèåíòîâ» îòìå- òèì îïóáëèêîâàííûå â [8–11]. Òåõíè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü «òåíçîðíûõ» èçìåðåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ èçâåñòíà è ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò ïðèìåíåíèå ðàññìàòðè- âàåìûõ ìåòîäîâ ìàãíèòíûõ èññëåäîâàíèé â ãåîôèçèêå. Èñõîäÿ èç ýòîãî, ïðåä- ïîëîæèì, ÷òî: — îáúåêò îãðàíè÷åí îáëàñòüþ ïðîñòðàíñòâà V è ñîçäàåò âî âíåøíåì ïðî- ñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå; — òî÷êàìè èçìåðåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ óçëû ðàâíîìåðíîé äâóìåð- íîé ðåøåòêè (ñåòêè) â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè (âîäû), ïðè ýòîì êîîðäèíàòû òî÷åê íàáëþäåíèÿ èçâåñòíû (çàäàíû); — ðàçìåð îáëàñòè íàáëþäåíèÿ çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ðàçìåð îáúåêòà; — ìàãíèòíîå ïîëå ðåãèñòðèðóþò îäíîêàíàëüíûì ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðîì, êîíñòðóêöèÿ òðàíñôîðìàòîðà ìàãíèòíîãî ïîòîêà (àíòåííû) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàäèåíòîìåòð ïåðâîãî ïîðÿäêà (ðèñ. 2). Ïîêàæåì, ÷òî ýòîé èíôîðìàöèè äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü: — çíà÷åíèÿ âñåõ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà ïåðâûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ (èçìåðå- íèÿ); — ìåñòîïîëîæåíèå òî÷åê íàáëþäåíèÿ â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ îáúåêòîì; — çíà÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ èíâàðèàíòîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäîé òî÷- êå íàáëþäåíèÿ è äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ îá îáúåêòå (ïî ðåçóëüòàòàì ïðî- ñòðàíñòâåííîãî àíàëèçà ðàñïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòîâ). ÀËÃÎÐÈÒÌ ÏÎËÓ×ÅÍÈß ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÛÕ ÝËÅÌÅÍÒΠÒÅÍÇÎÐÀ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß ÍÀ ÎÑÍÎÂÀÍÈÈ ÄÀÍÍÛÕ «ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ» ÈÇÌÅÐÅÍÈÉ Ïðè âûïîëíåíèè èçìåðåíèé ìàãíèòíîå ïîëå ðåãèñòðèðóþò íå ÑÊÂÈÄ-ñåí- ñîðîì, à ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåòëè èç ñâåðõïðîâîäÿùåé ïðîâîëîêè, íàçûâàåìîé òðàíñôîðìàòîðîì (àíòåííîé èëè ïðåîáðàçîâàòåëåì) ìàãíèòíîãî ïîòîêà.  çàäà- ÷àõ ïîèñêà ìàãíèòíûõ àíîìàëèé, ãäå èñòî÷íèê èçìåðÿåìîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ «âíåøíèì» è ïðèíöèïèàëüíî íå ìîæåò áûòü ýêðàíèðîâàí, îñíîâíûì ìåòîäîì áîðüáû ñ ïîìåõàìè ÿâëÿåòñÿ âûáîð ïðèåìíîé êàòóøêè òðàíñôîðìàòîðà ïîòîêà â âèäå ãðàäèåíòîìåòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà [4]. Äðóãèìè ñëîâàìè, àíòåííà ÑÊÂÈÄ-ñåíñîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èäåíòè÷íûõ âèòêîâ èç ñâåðõïðîâîä- íèêîâîé ïðîâîëîêè, ðàñïîëîæåííûõ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îäèí îò äðóãîãî è âêëþ÷åííûõ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Ìàãíèòíîå ïîëå îò «äàëåêèõ» èñòî÷íèêîâ (â òîì ÷èñëå è ãåîìàãíèòíîå ïîëå) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì è, ñëåäîâàòåëüíî, ñî- çäàåò â âèòêàõ ðàâíûå ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûå ïî íàïðàâëåíèþ ïîòî- êè. Ïîëå îò «áëèçêèõ» èñòî÷íèêîâ ñîçäàåò ðàçíûå ïîòîêè ÷åðåç âèòêè, à çíà÷èò, íåíóëåâîé ïîëíûé ïîòîê, êîòîðûé è ôèêñèðóåòñÿ ÑÊÂÈÄ-ìàãíèòîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, êàê è ðàíåå, ÷òî íà÷àëî äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò XYZ íàõîäèòñÿ â îáúåìå èñòî÷íèêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à íàïðàâëåíèå îñè OZ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì íîðìàëè ê ïëîñêîñòè èçìåðåíèé. Îñíîâíûå ïðîñòðàíñòâåííûå êîíôèãóðàöèè ïðîâîëî÷íûõ àíòåíí (òðàíñôîðìàòîðîâ ìàãíèòíîãî ïîòîêà) ÑÊÂÈÄ-èçìåðèòåëüíûõ êàíàëîâ ïðåäñòàâåíû íà ðèñ. 2. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 193 Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî â çàäà÷å ïîèñêà ìàãíèòíûõ àíîìàëèé ðåãèñòðèðó- åòñÿ õàðàêòåðèñòèêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñâÿçàííàÿ ñ íàïðàâëåíèåì íîðìàëè ê ïëîñ- êîñòè èçìåðåíèé (ïîâåðõíîñòè Çåìëè), à èìåííî: à) ñîñòàâëÿþùàÿ B z âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè; á) âûõîäíîé ñèãíàë ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðà, ïðîïîðöèîíàëüíûé ïåðâîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé � �B xz / èëè � �B yz / ; â) âûõîäíîé ñèãíàë ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðà, ïðîïîðöèîíàëüíûé âòîðîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé � �2 2B zz / . Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìîâ äâóìåðíîé èíòåðïîëÿöèè è ãëàäêîãî âîñïîëíåíèÿ äàííûõ ìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà �, êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû âûõîäíîìó ñèãíàëó ÑÊÂÈÄ-ìàãíèòîìåòðà (ãðàäèåíòîìåòðà) â N N� óçëàõ ïëîñ- êîé ðåãóëÿðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ðåøåòêè ñ øàãîì � , íàïðèìåð áîëåå ìåëêèì, ÷åì â èñõîäíûõ äàííûõ èçìåðåíèé. Çàòåì ïî ïîëó÷åííûì âåëè÷èíàì ñèãíàëà ñëåäó- åò îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ôóðüå-îáðàçà ïàðàìåòðà � â âîëíîâîé ïëîñêîñòè F k k x y z e dxdyx y ik x ik yx y[ ]( , ) ( , , )� �� � � � , (14) � �( , , ) [ ]( , )x y z F k k e dk dkx y ik x ik y x y x y� � � , (15) ãäå kx , k y — êîìïîíåíòû âîëíîâîãî âåêòîðà. 194 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Ðèñ. 2. Îñíîâíûå ïðîñòðàíñòâåííûå êîíôèãóðàöèè ïðâîëî÷íûõ àíòåíí ÑÊÂÈÄ-èçìåðèòåëüíûõ êàíàëîâ: à — ìàãíèòîìåòð Bz ; á — ìàãíèòîìåòð Bx ; â — ìàãíèòîìåòð By ; ã — âåêòîð- íûé ìàãíèòîìåòð; ä — ãðàäèåíòîìåòð ïåðâîãî ïîðÿäêà � �B xz / ; å — ãðàäèåíòîìåòð âòîðîãî ïîðÿäêà � �2 2B zz / Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X à á â åä ã Ïîñêîëüêó òî÷êè íàáëþäåíèÿ ðàñïîëîæåíû â íåìàãíèòíîé, íåïðîâîäÿùåé îäíîðîäíîé ñðåäå (â âîçäóõå), òî äëÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ñïðàâåäëèâû îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (2), êîòîðûå â âîëíîâîé ïëîñêîñòè èìåþò âèä � � � � �ik F B ik F B k k F Bx x y y x y z[ ] [ ] [ ] ,2 2 0 � � �ik F B ik F By x x y[ ] [ ] ,0 (16) � � � �k k F B ik F Bx y x x z 2 2 0[ ] [ ] , � � � �k k F B ik F Bx y y y z 2 2 0[ ] [ ] . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â âîëíîâîé ïëîñêîñòè çíà÷åíèÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà ÑÊÂÈÄ-ñåíñîðà è z-é ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ñâÿçàíû ïðîñòûìè àíàëèòè÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè: F B Fz[ ] [ ]� � äëÿ ìàãíèòîìåòðà (� S B z� , S — ïëîùàäü âèòêà àíòåííû), F B F e z L k kx y [ ] [ ] � � � � � 1 2 2 äëÿ àêñèàëüíîãî ãðàäèåíòîìåòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ( ~ /� � �B zz ), F B F ik z x [ ] [ ] � � � , F B F ik z y [ ] [ ] � � � äëÿ àêñèàëüíîãî ãðàäèåíòîìåòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà ( ~ /� � �B xz è � ~ /� �B yz ñî- îòâåòñòâåííî), F B F e e z L k k L k kx y x y [ ] [ ] � � � � � � � � 1 2 2 2 2 22 äëÿ àêñèàëüíîãî ãðàäèåíòîìåòðà âòîðîãî ïîðÿäêà ( ~ /� � �B zz 2 2). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèé (16) ìîæíî âû÷èñëèòü âñå êîìïîíåíòû âåê- òîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå ïî çíà÷åíèÿì ôóðüå-îáðàçà z-é ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè F B ik F B k k x x z x y [ ] [ ] � � �2 2 , F B ik F B k k y y z x y [ ] [ ] � � �2 2 , F B y k k F B k k x x y z x y � � � � � � � � � [ ] 2 2 , F B y k F B k k x y z x y � � � � � � � � � 2 2 2 [ ] , F B x ik F Bz x z � � � � � � � � � [ ], F B y ik F Bz y z � � � � � � � � � [ ], F B z k k F Bz x y z � � � � � � � � � �2 2 [ ].  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëè çíà÷åíèÿ ôóðüå-îáðàçîâ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóê- öèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ â êàæäîé òî÷êå âîëíîâîé ïëîñêîñòè, à çàòåì ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (15) — çíà÷åíèÿ ýòèõ õà- ðàêòåðèñòèê ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êàõ íàáëþäåíèÿ, ÷òî è äàåò ïîëíîå ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 195 Ïðåäñòàâèì â âèäå ñõåìû àëãîðèòì ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàãíèòîìåòðè÷åñêîé èí- ôîðìàöèè â ñðàâíåíèè ñî ñõåìîé, èñïîëüçóåìîé â èçâåñòíûõ ìíîãîêàíàëüíûõ ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß È ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÀËÜÍÎÉ ÏÐÎÂÅÐÊÈ ÐÀÁÎÒÛ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÎÈÑÊÀ ÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÀÍÎÌÀËÈÉ ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è ïîèñêà ìàãíèòíûõ àíîìàëèé áûëî âûïîëíåíî äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è ëîêàëèçàöèè èñòî÷íèêîâ ìàã- íèòíîãî ïîëÿ «ñòàíäàðòíîé» ïðîñòðàíñòâåííîé êîíôèãóðàöèè. Íà ðèñ. 3 ñõåìà- òè÷åñêè ïðåäñòàâëåíû ìîäåëè, êîòîðûå ðàçëè÷àþòñÿ ôîðìîé, ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè, ðàñïîëîæåíèåì â ïðîñòðàíñòâå è êîëè÷åñòâîì îáúåêòîâ, êîòîðûå îä- íîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êðîìå òîãî, äàíû ïàðà- ìåòðû îáúåêòîâ è ñõåìà èõ ðàñïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî ëàáîðà- òîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå îáúåêòû ðàâíîìåðíî íàìàã- íè÷åíû âäîëü îñè êîîðäèíàò OZ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå Çåìëè. Îáúåêò 1 èìååò ôîðìó ïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðàçìåðàìè 20 500 200� � ì è ðàñïîëî- æåí â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (300, 300, 100) ì (ðèñ. 3, à). Îáúåêò 2 èìååò ôîðìó ïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðàçìåðàìè 20 400 20� � ì è ðàñïîëîæåí â òî÷êå ñ êîîðäèíà- òàìè (600, 300, 100) ì (ðèñ. 3, â). Îáúåêò 3 èìååò ôîðìó ñôåðû ñ ðàäèóñîì 50 ì è ðàñïîëîæåí â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (600, 600, 100) ì (ðèñ. 3, ä). Íà ïåðâîì ýòàïå äëÿ êàæäîãî îáúåêòà (ãðóïïû îáúåêòîâ) ðåøàëàñü ïðÿìàÿ çàäà÷à è âû÷èñëÿëèñü çíà÷åíèÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà èçìåðèòåëüíîãî ìîäóëÿ ñèñ- òåìû â òî÷êàõ 31 31� íàáëþäåíèÿ â ïëîñêîñòè èçìåðåíèé ïðè óñëîâèè, ÷òî îñíî- âîé èçìåðèòåëüíîãî êàíàëà ÿâëÿåòñÿ ÑÊÂÈÄ-ñåíñîð ñ àíòåííîé â âèäå àêñèàëü- íîãî ãðàäèåíòîìåòðà âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàòåì ïî ïîëó÷åííûì äàííûì ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå áûëè íàéäåíû âñå ýëåìåíòû òåíçîðà ïðî- ñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â çàäàííûõ òî÷êàõ 196 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Ýòàï 1. Èçâåñòíûå ìåòîäû è ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Òðåõìåðíûé îáúåêò ðàñïîëîæåí â ãåîìàãíèòíîì ïîëå è ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì âòîðè÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êàõ íàáëþäåíèÿ Ýòàï 2. Èçâåñòíûå ìåòîäû è ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðåãèñòðèðóþò â óçëàõ ïëîñêîé ðåøåòêè Ýòàï 3 Èçâåñòíûå ìåòîäû Ìàãíèòíûé ñèãíàë ðåãèñòðèðóþò â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ îäíîâðåìåííî ïÿòüþ ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðàìè Ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Ìàãíèòíûé ñèãíàë ðåãèñòðèðóþò â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ îäíèì ÑÊÂÈÄ-ãðàäèåíòîìåòðîì Âûïîëíÿþò ïðÿìîå äâîéíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóðüå-îáðàçà z-é ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè â âîëíîâîé ïëîñêîñòè Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóðüå-îáðàçà âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ â âîëíîâîé ïëîñêîñòè Âûïîëíÿþò îáðàòíîå äâîéíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ýòàï 4. Èçâåñòíûå ìåòîäû è ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Çíà÷åíèÿ âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ èçâåñòíû (èçìåðåíû, âû÷èñëåíû) â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ Ýòàï 5. Èçâåñòíûå ìåòîäû è ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ìàãíèòîñòàòèêè äëÿ äèïîëüíîé ìîäåëè èñòî÷íèêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ýòàï 6. Èçâåñòíûå ìåòîäû è ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ïðîñòðàíñòâåííûõ èíâàðèàíòîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ è ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëèç èõ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîñêîñòè èçìåðåíèé. Íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå ïî âû÷èñëåííûì çíà÷åíèÿì ñî- ñòàâëÿþùèõ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè è åãî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ áûëî âûïîëíåíî ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ìàãíèòî- ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 197 Ðèñ. 3. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà îáúåêòîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ îáðàò- íîé çàäà÷è ìàãíèòîñòàòèêè: îáúåêò 1 (à, á); îáúåêò 2 (â, ã); îáúåêò 3 (ä, å); îáúåêòû 1, 2, 3 (æ, ç) à 100 ì 1000 ì 1000 ì Z Y X X Y Z á Z X Y X Y Z 100 ì ãâ 1000 ì 1000 ì 1000 ì 1000 ì 100 ì Z Y X 1000 ì Y Z X ä å Y XZ Y Z X 1000 ì çæ 100 ì ñòàòèêè. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ïîêàçàíû íà ðèñ. 3, á, ã, å, ç â âèäå ïðîñòðàíñòâåííîé êîíôèãóðàöèè N ðàçëè÷íûõ íåçàâèñèìûõ ìàãíèòíûõ äèïî- ëåé [5]. Îïðåäåëåííîå òàêèì îáðàçîì ìåñòîïîëîæåíèå èñòî÷íèêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è èõ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîíôèãóðàöèÿ ñîîòâåòñòâóþò çàäàííûì ìîäåëÿì. Ïî ðåçóëüòàòàì ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ðåãèñòðàöèè è ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííûõ èçìåðåíèé ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ñèãíàëîâ ðàçðàáîòàí è ñîçäàí ýêñïåðèìåí- òàëüíûé îáðàçåö îäíîêàíàëüíîé ÑÊÂÈÄ-èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìû äëÿ ïîèñêà èí- æåíåðíûõ êîììóíèêàöèé ïîä çåìëåé. ÑÊÂÈÄ-ìàãíèòîìåòðè÷åñêèé êîìïëåêñ óñïåøíî ïðîøåë èñïûòàíèÿ ïðè ïîèñêå òðóá ïîä çåìëåé íà ñïåöèàëüíîì ïîëèãî- íå â Ïåêèíå (ÊÍÐ). Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ñêàíèðîâàíèÿ è âàðèàíò âèçó- àëèçàöèè è îáðàáîòêè ìàãíèòíûõ ñèãíàëîâ ïðè ïîèñêå èíæåíåðíûõ êîììóíèêà- öèé ïîä çåìëåé. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Èçâåñòíûå ÑÊÂÈÄ-ìàãíèòîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû äëÿ ïîèñêà è îïðåäåëåíèÿ êîîð- äèíàò (ìåñòîïîëîæåíèÿ) ìàãíèòíûõ àíîìàëèé, êàê ïðàâèëî, âêëþ÷àþò øåñòü èç- ìåðèòåëüíûõ êàíàëîâ (ïÿòü êàíàëîâ, êîòîðûå èçìåðÿþò íåçàâèñèìûå ýëåìåíòû òåíçîðà (3), à òàêæå îäèí êàíàë, êîòîðûé èçìåðÿåò ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà ìàã- íèòíîãî ïîëÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàëüíîñòè äî îáúåêòà). Åñëè ïîèñê âûïîëíÿþò ñ âåðòîëåòà, òî äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ïðè îïðåäåëåíèè ìåñòîïîëîæåíèÿ ìàãíèò- íîé àíîìàëèè â èçâåñòíûõ ìàãíèòîìåòðè÷åñêèõ ñèñòåìàõ íåîáõîäèìî äîïîëíè- òåëüíî èñïîëüçîâàòü ñëîæíóþ ñèñòåìó ãèðîèíåðöèàëüíîé ñòàáèëèçàöèè èçìåðè- òåëüíîãî ìîäóëÿ ïî îòíîøåíèþ ê çàäàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà D1 ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå â èçìåðèòåëüíîé ñèñòåìå òîëüêî îäíîãî èçìåðèòåëüíîãî êàíàëà ñ àíòåííîé, ðàñ- 198 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Ðèñ. 4. Ñõåìàòè÷åñêîå ðàñïîëîæåíèå êîììóíèêàöèé íà ïîëèãîíå è îáëàñòü ñêàíèðîâàíèÿ (à); ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ãðàíèöàõ îáëàñòè ñêàíèðîâàíèÿ (á); ðåçóëüòàòû àíàëèçà ðàñïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ (â); ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ñ âèçóàëèçàöèåé îáúåêòîâ ïîä çåìëåé (ã) X á Z Y à â ã Z X Y XZ Y ïîëîæåííîé âåðòèêàëüíî îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè Çåìëè (íå òðåáóåò ñòàáèëèçà- öèè ïî îòíîøåíèþ ê ïðèíÿòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò), ÷òî ïðèâîäèò êàê ê ïîâûøå- íèþ òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è, òàê è óìåíüøåíèþ ñòîèìîñòè ñàìîé ñèñòåìû è åå ýêñïëóàòàöèîííûõ ðàñõîäîâ. Ìåòîä îáðàáîòêè äàííûõ èçìåðåíèé â ìàãíèòîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìå ïîèñêà ìàãíèòíûõ àíîìàëèé, êîòîðûé ðåàëèçîâàí â îïûòíîì îáðàçöå (ñì. ðèñ. 4), ïî ñâîåé ñóòè àíàëîãè÷åí òîìó, êîòîðûé íàìè èñïîëüçîâàí â ìàãíèòîêàðäèîãðàôè- ÷åñêèõ ñèñòåìàõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñåðäöà ÷åëîâåêà [12]. Çàìåòèì, ÷òî ïðåäëîæåííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû ðåøåíèÿ îá- ðàòíîé çàäà÷è íå îðèåíòèðîâàíû íà êîíêðåòíóþ ìàãíèòîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â ëþáîé îáëàñòè ïðèëîæåíèé, ãäå êîððåêòíà äàííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Nabighian M.N., Grauch V.J.S., Hansen R.O., LaFehr T.R., Li Y., Peirce J.W., Phillips J.D., Ruder M.E. The historical development of the magnetic method in exploration. Geophysics. 2005. Vol. 70, N 6. P. 33ND–61ND. 2. Áëîõ Þ.È. Èíòåðïðåòàöèÿ ãðàâèòàöèîííûõ è ìàãíèòíûõ àíîìàëèé. Ìîñêâà: ÌÃÃÀ, 2009. 232 ñ. 3. Áàðàíîâ Â. Ïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ è èõ òðàíñôîðìàöèè â ïðèêëàäíîé ãåîôèçèêå. Ìîñêâà: Íåäðà, 1980. 151 ñ. 4. Ïðèìèí Ì.À., Ãóìåíþê-Ñû÷åâñêèé Â.È., Íåäàéâîäà È.Â. Ìåòîäû è àëãîðèòìû ëîêàëèçàöèè èñòî÷íèêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. 92 ñ. 5. Primin M., Nedayvoda I. Inverse problem solution algorithms in magnetocardiography: New analytical approach and some results. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics. 2009. Vol. 29, N 2. P. 65–81. 6. Primin M.A., Nedayvoda I.V. A method and an algorithm to reconstruct the spatial structure of current density vectors in magnetocardiography. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 485–494. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-017-9950-6. 7. Pedersen L.B., Rasmussen T.M. The gradient tensor of potential field anomalies: Some implications on data collection and data processing of maps. Geophysics. 1990. Vol. 55, N 12. P. 1558–1566. 8. Chwala A., Stolz R., Zakosarenko V., Fritzsch L., Schulz M., Rompel A., Polome L., Meyer M., Meyer H.G. Full tensor SQUID gradiometer for airborne exploration. In: 22nd International Geophysical Conference and Exhibition (26–29 February 2012, Brisbane, Australia), 2012. P. 1–4. 9. Schmidt P., Clark D., Leslie K., Bick M., Tilbrook D., Foley C. GETMAG — a SQUID magnetic tensor gradiometer for mineral and oil exploration. Exploration Geophysics. 2004. Vol. 35, N 4. P. 297–305. 10. Gamey T.J. Development and evaluation of an airborne superconducting quantum interference device-based magnetic gradiometer tensor system for detection, characterization and mapping of unexploded ordnance: SERDP Project MM-1316, 2008. 11. Wynn W.M., Frahm C.P., Carroll P.J., Clark R.H., Wellhoner J., Wynn M.J., Advanced superconducting gradiometer/magnetometer arrays and a novel signal processing technique. IEEE Trans. Mag. 1975. Vol. 11, Iss. 2. P. 701–707. 12. Maslennikov Yu.V., Primin M.A., Slobodtchikov V.Yu., Nedayvoda I.V., Krymov V.A., Khanin V.V., Ivanov G.G., Bulanova N.A., Kuznetsova S.Yu., Gunaeva V.N. SQUID-based magnetometric systems for cardiac diagnostics. Biomedical Engineering. 2017. Vol. 51, N 3. Ð. 153–156. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 10.05.2018 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 199 Ì.À. Ïð³ì³í, ².Â. Íåäàéâîäà ÌÅÒÎÄ ² ÀËÃÎÐÈÒÌ ÎÒÐÈÌÀÍÍß ÅËÅÌÅÍҲ ÒÅÍÇÎÐÀ ÏÐÎÑÒÎÐÎÂÈÕ ÏÎÕ²ÄÍÈÕ ÂÅÊÒÎÐÀ ÌÀÃͲÒÍί ²ÍÄÓÊÖ²¯  ÇÀÄÀײ ÏÎØÓÊÓ ÌÀÃͲÒÍÈÕ ÀÍÎÌÀË²É Àíîòàö³ÿ. Çà ïðîñòîðîâèì ðîçïîä³ëîì âåëè÷èí ïàðàìåòð³â ìàãí³òíîãî ïîëÿ â êîæí³é òî÷ö³ ïëîùèíè ñïîñòåðåæåííÿ âèçíà÷åíî çíà÷åííÿ âñ³õ ñêëàäîâèõ âåêòîðà ìàãí³òíî¿ ³íäóêö³¿ ³ éîãî ïðîñòîðîâèõ ïîõ³äíèõ ïåðøîãî ïîðÿäêó. Îáåðíåíó çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàíî çà äîïîìîãîþ àíàë³òè÷íîãî ìåòîäó âëàñíèõ âåêòîð³â. Ðîáîòó àëãîðèòìó ïðîìîäåëüîâàíî íà ðåàëüíèõ äàíèõ ìàãí³òîìåò- ðè÷íèõ äîñë³äæåíü ó ãåîìàãí³òíîìó ïîë³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàãí³òí³ àíîìà볿, îáåðíåíà çàäà÷à ìàãí³òîñòàòèêè, òåíçîð ïðîñòîðîâèõ ïîõ³äíèõ, ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º, ÑʲÄ-ãðà䳺íòîìåòð. M.A. Primin, I.V. Nedayvoda METHOD AND ALGORITHM FOR OBTAINING ELEMENTS OF THE TENSOR OF SPATIAL DERIVATIVES OF THE MAGNETIC INDUCTION VECTOR IN THE PROBLEM OF MAGNETIC ANOMALIES SEARCH Abstract. The values of all the components of the magnetic induction vector and its first spatial derivatives at the points of observation plane are obtained by the spatial distribution of the magnetic field parameters at each observation point. The inverse problem is solved with the use of the analytic eigenvector method. The algorithm is simulated using real data of magnetometric studies in geomagnetic field. Keywords: magnetic anomalies, magnetostatic inverse problem, spatial derivatives tensor, Fourier transformation, SQUID gradiometer. Ïðèìèí Ìèõàèë Àíäðååâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: priminma@meta.ua. Íåäàéâîäà Èãîðü Âëàäèìèðîâè÷, íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: igorvlad63@meta.ua. 200 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2

Similar Items