Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях
Представлены новые результаты и краткий обзор новых методов теории динамических систем на многообразиях над локальными полями и формальных групп над локальными кольцами. Для исследования n-мерных многообразий, динамических систем на таких многообразиях использованы формальные структуры, в частности...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180868 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях / В.П. Харченко, Н.М. Глазунов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 45-55. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860105567521996800 |
|---|---|
| author | Харченко, В.П. Глазунов, Н.М. |
| author_facet | Харченко, В.П. Глазунов, Н.М. |
| citation_txt | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях / В.П. Харченко, Н.М. Глазунов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 45-55. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Представлены новые результаты и краткий обзор новых методов теории динамических систем на многообразиях над локальными полями и формальных групп над локальными кольцами. Для исследования n-мерных многообразий, динамических систем на таких многообразиях использованы формальные структуры, в частности n-мерные формальные группы. В терминах формальных групп представлены инфинитезимальные деформации. Известный одномерный случай расширен на n-мерные (n ≥ 1) аналитические отображения открытого p-адического полидиска (-диска) Dpⁿ. Введены n-мерные аналоги модулей, возникающие в формальных и неархимедовых динамических системах, дана их формально-алгебраическая структура. Кратко представлены жесткие структуры, объекты и методы. С точки зрения системного анализа введены и описаны новые, а именно формальные и неархимедовы грани и структуры систем, отображения и итерации отображений между ними.
Наведено нові результати і короткий огляд нових методів теорії динамічних систем на многовидах над локальними полями і формальних груп над локальними кільцями. Для дослідження n-вимірних многовидів, динамічних систем на таких многовидах використано формальні структури, зокрема, n-вимірні формальні групи. У термінах формальних груп представлено інфінітезімальні деформації. Розширено відомий одновимірний випадок, розглянуто n-вимірні (n ≥ 1) аналітичні відображення відкритого p-адичного полідиска (n-диска) Dpⁿ. Уведено n-вимірні аналоги модулів, які виникають в формальних і неархімедових динамічних структурах, наведено їхню (формально)-алгебраїчну структуру. Зауважено на жорстких структурах, об'єктах та методах. З точки зору системного аналізу введено та досліджено нові формальні та неархімедові грані та структури систем, відображення та ітерації відображень між ними.
New results are presented and a brief review of new methods and results of the theory of dynamic systems on manifolds over local fields and formal groups over local rings is given. For the analysis of n-dimensional manifolds and their dynamics, dynamic systems on such manifolds, formal structures are used, in particular, n-dimensional formal groups. Infinitesimal deformations are presented in terms of formal groups. The well-known one-dimensional case extends, and n-dimensional (n ≥ 1) analytic mappings of an open p-adic polydisc (n-disk) Dpⁿ are considered. We introduce and investigate the n-dimensional analogs of modules arising in formal and non-Archimedean dynamic structures. Attention is drawn to rigid structures, objects and methods. From the point of view of system analysis, new, namely, formal and non-Archimedean, faces and structures of systems, maps and iterations of mappings between these faces and structures are introduced and investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:31:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.5+513.6+517.9
Â.Ï. ÕÀÐ×ÅÍÊÎ, Í.Ì. ÃËÀÇÓÍÎÂ
ÔÎÐÌÀËÜÍÛÅ È ÍÅÀÐÕÈÌÅÄÎÂÛ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ
ÑÈÑÒÅÌ ÍÀ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈßÕ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäñòàâëåíû íîâûå ðåçóëüòàòû è êðàòêèé îáçîð íîâûõ ìåòîäîâ
òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ íàä ëîêàëüíûìè ïîëÿìè è
ôîðìàëüíûõ ãðóïï íàä ëîêàëüíûìè êîëüöàìè. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ n-ìåðíûõ
ìíîãîîáðàçèé, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà òàêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ èñïîëüçîâàíû
ôîðìàëüíûå ñòðóêòóðû, â ÷àñòíîñòè n-ìåðíûå ôîðìàëüíûå ãðóïïû.  òåðìè-
íàõ ôîðìàëüíûõ ãðóïï ïðåäñòàâëåíû èíôèíèòåçèìàëüíûå äåôîðìàöèè. Èçâåñò-
íûé îäíîìåðíûé ñëó÷àé ðàñøèðåí íà n-ìåðíûå (n � 1) àíàëèòè÷åñêèå îòîáðà-
æåíèÿ îòêðûòîãî p-àäè÷åñêîãî ïîëèäèñêà (n-äèñêà) Dp
n . Ââåäåíû n-ìåðíûå
àíàëîãè ìîäóëåé, âîçíèêàþùèå â ôîðìàëüíûõ è íåàðõèìåäîâûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåìàõ, äàíà èõ ôîðìàëüíî-àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà. Êðàòêî ïðåäñòàâëåíû
æåñòêèå ñòðóêòóðû, îáúåêòû è ìåòîäû. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèñòåìíîãî àíàëèçà
ââåäåíû è îïèñàíû íîâûå, à èìåííî ôîðìàëüíûå è íåàðõèìåäîâû ãðàíè
è ñòðóêòóðû ñèñòåì, îòîáðàæåíèÿ è èòåðàöèè îòîáðàæåíèé ìåæäó íèìè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôîðìàëüíàÿ ãðóïïà, ëîêàëüíîå êîëüöî, êîììóòàòèâíàÿ
ôîðìàëüíàÿ ãðóïïîâàÿ ñõåìà, äåôîðìàöèÿ, ôîðìàëüíûé ìîäóëü, äèíàìè÷åñ-
êàÿ ñèñòåìà, ìîäóëü äèôôåðåíöèàëîâ.
Ïàìÿòè àêàäåìèêà Þ.Ã. Êðèâîíîñà ïîñâÿùàåòñÿ
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ñòàòüè [1]. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé àë-
ãåáðû, àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè è àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè øèðîêî èñ-
ïîëüçóþòñÿ â ñèñòåìíîì àíàëèçå [2–6]. Îäíèì èç ïèîíåðîâ â îáëàñòè ðàçðàáîòêè
è ïðèëîæåíèé àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ñèñòåìíîì àíàëèçå ÿâëÿëñÿ àêàäåìèê
Â.Ì. Ãëóøêîâ, ðàáîòû êîòîðîãî [7, 8], à òàêæå ïóáëèêàöèè åãî ó÷åíèêîâ è ïî-
ñëåäîâàòåëåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèëîæåíèÿ è ðàçâèòèå òàêèõ ìåòîäîâ
äëÿ ìèêðîïðîãðàììèðîâàíèÿ, ñîçäàíèÿ ãëîáàëüíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ è äðóãèõ
ïðèëîæåíèé ñèñòåìíîãî àíàëèçà. Àêàäåìèêè À.È. Êóõòåíêî è Þ.Ã. Êðèâîíîñ ðàç-
âèâàëè è ïðîïàãàíäèðîâàëè ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñèñòåìíîãî àíàëèçà è èõ òåõ-
íè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ [1]. Íåîáõîäèìîñòü ïîèñêà ïóòåé ïðèìåíåíèÿ ôîðìàëüíûõ
ãðóïï â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ àêàäåìèê Â.Ì. Ãëóøêîâ îáñóæäàë ñ àâòîðîì ðàáî-
òû [9], ïîñâÿùåííîé àðèôìåòèêå ôîðìàëüíèõ ãðóïï íàä ëîêàëüíèìè êîëüöàìè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ñèñòåìíûé àíàëèç äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðà-
çèÿõ ðàñøèðåí íà ôîðìàëüíûå ñòðóêòóðû è ìíîãîîáðàçèÿ íàä íåàðõèìåäîâûìè
ëîêàëüíûìè ïîëÿìè. Îáîáùåíî çàäàíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû èòåðàöèåé ôîð-
ìàëüíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà íàä ëîêàëüíûì ïîëåì, äåéñòâóþùåé íà p-àäè÷åñêîì
äèñêå, êîòîðûé ðàññìîòðåëè Äæ. Ëþáèí è Õóà ×åí Ëè â [10, 11], c îäíîìåðíîãî
ñëó÷àÿ íà n-ìåðíûé (n � 1) , ò.å. íà îòîáðàæåíèÿ p-aäè÷åñêîãî ïîëèäèñêà (n-äèñêà),
çàäàâàåìûå n-ìåðíûì (n � 1) êîììóòàòèâíûì ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíîì, ñ ñî-
îòâåòñòâóþùèìè ðàññìîòðåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Îòìåòèì, ÷òî n-ìåðíûé (n � 1)
ñëó÷àé âàæåí äëÿ ñèñòåìíîãî àíàëèçà. Ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû è îáçîð
íîâûõ ìåòîäîâ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ íàä ëîêàëüíûìè ïî-
ëÿìè è ôîðìàëüíûõ ãðóïï íàä ëîêàëüíûìè êîëüöàìè.
Ëîêàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ êàê àðõèìåäîâû îáû÷íûå ïîëÿ âåùåñòâåííûõ è êîì-
ïëåêñíûõ ÷èñåë, òàê è ïîëÿ p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë, à òàêæå ïîëÿ ôîðìàëüíûõ ñòåïåí-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 45
� Â.Ï. Õàð÷åíêî, Í.Ì. Ãëàçóíîâ, 2019
íûõ ðÿäîâ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìíîãîîáðàçèé è èõ äèíàìèêè, äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ ââåäåíû ôîðìàëüíûå ñòðóêòóðû, â ÷àñòíîñòè ôîðìàëüíûå
ãðóïïû, ÿâëÿþùèåñÿ èíôèíèòåçèìàëüíûìè äåôîðìàöèÿìè ãðóïï Ëè. Òàêèì îá-
ðàçîì, â íàñòîÿùåé ñòàòüå â òåðìèíàõ ôîðìàëüíûõ ãðóïï ïðåäñòàâëåíû èíôèíè-
òåçèìàëüíûå äåôîðìàöèè èç [1]. Ôîðìàëüíûå ñòðóêòóðû îêàçàëèñü ïîëåçíûìè
ïðè èçó÷åíèè êàê ñàìèõ ìíîãîîáðàçèé, òàê è èõ äèíàìèêè [12–18]. Íàðÿäó
ñ êëàññè÷åñêèìè àðõèìåäîâûìè ïîëÿìè âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
ðàññìîòðåíû íåàðõèìåäîâû ïîëÿ p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë è èõ àëãåáðàè÷åñêèå è
òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿ.
Íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ p-àäè÷åñêèõ ïîëåé è èõ ðàñøèðåíèé âîçíèêàåò
â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ñîâðåìåííîé êðèïòîãðà-
ôèè, òåîðèè îáðàáîòêè ñèãíàëîâ, â ïîëèíîìèàëüíûõ çàäà÷àõ öåëî÷èñëåííîé
îïòèìèçàöèè [10, 11, 19–27]. Ñîãëàñíî ýòèì ïðèìåíåíèÿì è òåîðèè äèíàìè÷åñ-
êèõ ñèñòåì, ðàñøèðÿÿ èçâåñòíûé îäíîìåðíûé ñëó÷àé [10, 11], ðàññìàòðèâàåì
n-ìåðíûå (n � 1) àíàëèòè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ îòêðûòîãî p-àäè÷åñêîãî ïîëèäèñêà
(n-äèñêà) D p
n , ïðè÷åì òîëüêî èìåþùèå íåïîäâèæíóþ òî÷êó â 0 0 0� ( , , )� . Ñðåäè
ýòèõ îòîáðàæåíèé èññëåäîâàíû äâà èõ êëàññà: îòîáðàæåíèÿ f , çíà÷åíèÿ �f ( )0
â íóëå äèôôåðåíöèàëà êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò ïîëèäèñêó, ò.å. íåîáðàòèìûå è íå
èìåþùèå äðóãèå íåïîäâèæíûå òî÷êè, çà èñêëþ÷åíèåì 0 0 0� ( , , )� , è îáðàòèìûå
îòîáðàæåíèÿ. Ïîñëåäíèé êëàññ îòîáðàæåíèé èìååò îáðàòèìûé â íóëå äèôôåðåí-
öèàë �f ( )0 , è åãî íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè îòîáðà-
æåíèÿ f .
Îäíà èç ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ òåîðèè ëèíåéíûõ ñèñòåì [3, 4] — òåîðèÿ ìî-
äóëåé íàä êîëüöàìè, øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ è ïðè àíàëèçå íåëèíåéíûõ ñèñòåì.
Äàëåå ïðèâîäÿòñÿ ìîäóëè, âîçíèêàþùèå â ôîðìàëüíûõ è íåàðõèìåäîâûõ ñòðóê-
òóðàõ äèíàìèêè, à òàêæå æåñòêèå ñòðóêòóðû, îáúåêòû è ìåòîäû, êîòîðûå â íà-
ñòîÿùåå âðåìÿ ÿâëÿþòñÿ àêòèâíî ðàçâèâàþùåéñÿ îáëàñòüþ íàó÷íûõ èññëåäîâà-
íèé, î ÷åì íà îñíîâàíèè ðàññìîòðåíèÿ ãåîìåòðèè ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðà-
çèé âïåðâûå îòìåòèë Ì. Ãðîìîâ [28].  äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ èñïîëüçóþòñÿ
ñòðóêòóðû, â êîòîðûõ åñòü àêñèîìà âðåìåíè, ò.å. âûäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèå ìíî-
æåñòâà â ñåáÿ [29]. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèñòåìíîãî àíàëèçà ââîäÿòñÿ è èññëåäóþòñÿ
íîâûå, à èìåííî ôîðìàëüíûå è íåàðõèìåäîâû ãðàíè è ñòðóêòóðû ñèñòåì, îòîáðà-
æåíèÿ è èòåðàöèè îòîáðàæåíèé ìåæäó ýòèìè ãðàíÿìè è ñòðóêòóðàìè. Èñïîëüçî-
âàíèå æåñòêîñòè ïîçâîëÿåò ìèíèìèçèðîâàòü êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, íåîáõîäè-
ìîé äëÿ îïèñàíèÿ, ïðåäñòàâëåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåêòîâ
è ïðîöåññîâ ([30, 21] è ññûëêè ê íèì).
1. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÍÅÀÐÕÈÌÅÄÎÂÛÕ ÏÎËÅÉ È ÊÎËÅÖ ÔÎÐÌÀËÜÍÛÕ
ÑÒÅÏÅÍÍÛÕ ÐßÄΠÍÀÄ ÍÈÌÈ
Ñëåäóÿ [31, 32], ïðèâåäåì îïðåäåëåíèÿ è êðàòêèå îïèñàíèÿ êëàññîâ íåàðõèìåäîâûõ
ïîëåé è èõ ñâîéñòâ, èñïîëüçóåìûõ â äèíàìèêå íà ìíîãîîáðàçèÿõ íàä ýòèìè ïîëÿìè.
Ëîêàëüíûì íåàðõèìåäîâûì ïîëåì íàçûâàþò ïîëíîå äèñêðåòíî íîðìèðîâàí-
íîå ïîëå ñ êîíå÷íûì ïîëåì âû÷åòîâ. Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè òàêèå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ
ëîêàëüíûìè. Èíûìè ñëîâàìè, ïîëå K ëîêàëüíîå, åñëè îíî ïîëíî â òîïîëîãèè,
îïðåäåëÿåìîé ïîêàçàòåëåì � K ïîëÿ K, è åñëè åãî ïîëå âû÷åòîâ k êîíå÷íî. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî ïîêàçàòåëü � K íîðìàëèçîâàí, ò.å. ãîìîìîðôèçì � K K Z: * � ìóëü-
òèïëèêàòèâíîé ãðóïïû ïîëÿ íà àääèòèâíóþ ãðóïïó öåëûõ ÷èñåë cþðüåêòèâåí.
Ñòðóêòóðà òàêèõ ïîëåé èçâåñòíà: åñëè ïîëå K èìååò õàðàêòåðèñòèêó íîëü, òî îíî
ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ðàñøèðåíèåì p-àäè÷åñêîãî ïîëÿ Q p , êîòîðîå åñòü ïîïîëíå-
íèå ïîëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî p-àäè÷åñêîãî ïîêàçàòåëÿ; åñëè
46 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
[ : ]K Q np � , òî n ef� , ãäå f — ñòåïåíü êëàññîâ âû÷åòîâ (ò.å. f k Fp� [ : ] ) è
e pK� � ( ); åñëè ïîëå K èìååò õàðàêòåðèñòèêó p� 0, òî îíî èçîìîðôíî ïîëþ
k T(( )) ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ, ãäå T — óíèôîðìèçóþùèé ïàðàìåòð.
Ïóñòü L — êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ëîêàëüíîãî ïîëÿ K, l k, — èõ ïîëÿ âû÷åòîâ,
p k� char è eL K/ — èíäåêñ âåòâëåíèÿ L íàä K. Ðàñøèðåíèå L K/ íàçûâàåòñÿ íå-
ðàçâåòâëåííûì, åñëè eL K/ �1 è ðàñøèðåíèå l k/ ñåïàðàáåëüíî. Ðàñøèðåíèå L K/
íàçûâàåòñÿ ñëàáî ðàçâåòâëåííûì, åñëè p íå äåëèò eL K/ è ðàñøèðåíèå l k/ ñåïàðà-
áåëüíî. Ðàñøèðåíèå L K/ íàçûâàåòñÿ äèêî ðàçâåòâëåííûì, åñëè e L KL K/ [ : ]� �
� char k s, s � 1. Äàëåå îáîçíà÷èì TrL K/ è NormL K/ ñëåä è íîðìó ðàñøèðåíèÿ L K/
ñîîòâåòñòâåííî, îïóñòèâ èíäåêñû, êîãäà ÿñíî, î êàêîì ðàñøèðåíèè èäåò ðå÷ü.
Îáîçíà÷èì Knr ìàêñèìàëüíîå íåðàçâåòâëåííîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K (â ôèê-
ñèðîâàííîì àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêàíèè ïîëÿ K) ñ ïîëåì âû÷åòîâ ks, êîòîðîå ÿâ-
ëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ k.
 íåàðõèìåäîâîì ëîêàëüíîì ïîëå K êàæäûé åãî ýëåìåíò � èìååò ïðåäñòàâ-
ëåíèå � ��� m , ãäå � — åäèíèöà êîëüöà öåëûõ ïîëÿ K, � — åãî óíèôîðìèçóþ-
ùèé ýëåìåíò, ò.å. � �( ) �1, m — öåëîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Åäèíèöó íàçûâàþò
ãëàâíîé, åñëè � ��1( )mod . Ãëàâíûå åäèíèöû îáðàçóþò ãðóïïó. Òåîðåìó î ñèñòå-
ìå îáðàçóþùèõ ãðóïïû ãëàâíûõ åäèíèö äîêàçàë K. Ãåíçåëü, à êàíîíè÷åñêóþ
ñèñòåìó îáðàçóþùèõ ýòîé ãðóïïû íàøåë È.Ð. Øàôàðåâè÷ [33].
Ëåììà 1. Åñëè ëîêàëüíîå ïîëå K ñîäåðæèò ïðèìèòèâíûé êîðåíü � p p-é ñòå-
ïåíè èç åäèíèöû, òî � �K p
e
p
e( ) �
�1
1
1 (ò.å. e1 — öåëîå ÷èñëî).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, � p 1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
( ) ( ) ( ) ( )x x x x p pp p p
�
1 1 1 11 2 1
� � . Çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ � K
íà êîðíå ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíî
e
p 1
, ÷òî äîêàçûâàåò òðåáóåìîå.
Ïîëíîå äèñêðåòíî íîðìèðîâàííîå ïîëå ñ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì
âû÷åòîâ íàçûâàþò êâàçèëîêàëüíûì.
Ïóñòü R — êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé è R X X n[[ , , ]]1 � �
� R X[[ ]] — êîëüöî ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ îò n ïåðåìåííûõ, ( , , )Y Yn1 � —
åùå îäèí íàáîð n ïåðåìåííûõ, � �( ) ( ( ))T Ti� — íàáîð èç n ôîðìàëüíûõ ñòåïåí-
íûõ ðÿäîâ îò n ïåðåìåííûõ T T Tn� ( , , )1 � áåç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ òàêîé, ÷òî
îïðåäåëèòåëü �, ñîñòàâëåííûé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè ëèíåéíûõ ÷àñòÿõ ðÿäîâ � i ,
åñòü åäèíèöà êîëüöà R.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü n � 2, òîãäà �
�
�
�
�
��
�
�
�� �
1 1 2
2 1 2
11 1 12 2
21 1 22
( , )
( , )
T T
T T
a T a T
a T a T2
2
�
��
�
�
��[ ]mod deg
è � �
�
��
�
�
�� �det
a a
a a
11 12
21 22
�, ãäå � — åäèíèöà êîëüöà R.
Îáîçíà÷èì � n T( ) ìíîæåñòâî òàêèõ íàáîðîâ. Ïðîñòàÿ ïðîâåðêà (êîòîðóþ
îïóñêàåì) ïîêàçûâàåò, ÷òî ìíîæåñòâî � n T( ) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî çà-
êîíà êîìïîçèöèè � � � �� ( ) ( ( ))T T� (ïîäñòàíîâêà îäíîãî íàáîðà ôîðìàëüíûõ
ñòåïåííûõ ðÿäîâ áåç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ â äðóãîé íàáîð). Îáîçíà÷èì � �n T( )
n-êðàòíóþ èòåðàöèþ íàáîðà ��� n T( ).
Ñëåäóÿ Ëþáèíó, êîòîðûé ðàññìîòðåë îäíîìåðíûé ñëó÷àé [10], âûäåëÿåì
èíòåðåñíûå â äèíàìèêå [10, 11] ýëåìåíòû ìíîæåñòâà � n T( ).
Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü ýëåìåíòû � n T( ) îïðåäåëåíû íàä îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð (ìîðôèçì) ��� n T( ) åñòü ìîðôèçì êðó÷åíèÿ, åñëè
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 47
ñóùåñòâóåò m � 2 òàêîå, ÷òî �m T T( ) � ; ìîðôèçì ��� n T( ) íàçûâàåì óñòîé÷è-
âûì, åñëè �� ( )0 íå ÿâëÿåòñÿ íè íóëåâîé, íè äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ñ êîðíÿìè èç
åäèíèöû íà äèàãîíàëè; ìîðôèçì ��� n T( ) íàçûâàåì óíèïîòåíòíûì, åñëè îí íå
ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êðó÷åíèÿ, íî �� ( )0 åñòü óíèïîòåíòíàÿ ìàòðèöà.
Çàìå÷àíèå 1. Ãðóïïà � n T( ) ÿâëÿåòñÿ íåêîììóòàòèâíîé ïðè n � 1.
Îáîçíà÷èì �
1
n T( ) ïîäìíîæåñòâî � n T( ), ñîñòîÿùåå èç íàáîðîâ ñòåïåííûõ
ðÿäîâ �( )T òàêèõ, ÷òî ( )a Eij � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Íåòðóäíàÿ ïðîâåðêà
(êîòîðóþ òàêæå îïóñêàåì) ïîêàçûâàåò, ÷òî �
1
n T( ) — ïîäãðóïïà è, áîëåå òîãî,
íîðìàëüíûé äåëèòåëü â � n T( ).
Äëÿ íåàðõèìåäîâûõ ïîëåé àíàëîãîì êîìïëåêñíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ìíîãîîáðà-
çèÿ ÿâëÿåòñÿ æåñòêîå àíàëèòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Òàêèå ïðîñòðàíñòâà ââåäåíû
Äæ. Òýéòîì äëÿ óíèôîðìèçàöèè ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ñ ïëîõîé ðåäóêöèåé ïî ìî-
äóëþ p íàä ïîëÿìè p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë [14]. Îïðåäåëåíèå æåñòêîãî àíàëèòè÷åñêîãî
ïðîñòðàíñòâà èñïîëüçóåò àëãåáðó Òåéòà, ïîäõîä Ãðîòåíäèêà ê îïðåäåëåíèþ òîïîëî-
ãèè íà êàòåãîðèè è ïîñòðîåííóþ Òýéòîì ñîîòâåòñòâóþùóþ òîïîëîãèþ Ãðîòåíäèêà.
2. ÔÎÐÌÀËÜÍÛÅ ÃÐÓÏÏÎÂÛÅ ÇÀÊÎÍÛ È ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ
Îáùèå ïîíÿòèÿ.  äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ èñïîëüçóþòñÿ ñòðóêòóðû, â êîòî-
ðûõ åñòü àêñèîìà âðåìåíè, ò.å. âûäåëåíî ïðåîáðàçîâàíèå ìíîæåñòâà â ñåáÿ [29].
Îïðåäåëåíèå 2. Ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíîì îò n ïåðåìåííûõ íàçûâà-
åòñÿ íàáîð F Fi� ( ) èç n ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ F R X Yi � [[ , ]] òàêîé, ÷òî
F X Y X Y( , ) [ ]�
mod deg 2 è F F X Y Z F X F Y Z( ( , ), ) ( , ( , ))� (àññîöèàòèâíîñòü).
Ãðóïïîâîé çàêîí F Fi� ( ) íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì, åñëè âûïîëíåíà àê-
ñèîìà F X Y F Y X( , ) ( , )� . Â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî n-ìåðíûå êîì-
ìóòàòèâíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä êîëüöîì R. Áóäåì íàçûâàòü èõ n-ìåðíûìè
ãðóïïîâûìè çàêîíàìè èëè «ãðóïïîâûìè çàêîíàìè». ×èñëî n — ðàçìåðíîñòü
ãðóïïîâîãî çàêîíà F Fi� ( ). Ïðîñòûå âû÷èñëåíèÿ ñ ôîðìàëüíûìè ñòåïåííûìè
ðÿäàìè ïîêàçûâàþò (ñì. [12], ñ.193), ÷òî äëÿ êàæäîãî F Fi� ( ) ñóùåñòâóåò òàêîé
íàáîð i TF ( ) èç n ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ áåç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ÷òî
F T i TF( , ( )) � �0 F i T TF( ( ), ).
Îïðåäåëèì äåéñòâèå ãðóïïû � n T( ) íà ìíîæåñòâå n-ìåðíûõ ãðóïïîâûõ çàêî-
íîâ, ïîëîæèâ F X Y F X Y� � � �( , ) ( ( ( ), ( )))� 1 1 , ��� n T( ).
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè F X Y( , ) — n-ìåðíûé ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí è
��� n T( ), òî F X Y� ( , ) — òîæå n-ìåðíûé ãðóïïîâîé çàêîí.
Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò ñâîéñòâà ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ, ãðóï-
ïû � n T( ) è îïðåäåëåíèå äåéñòâèÿ ýòîé ãðóïïû íà ãðóïïîâûå çàêîíû.
3. ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ ÃÎÌÎÌÎÐÔÈÇÌÎÂ HomO F G( , ) ÏÀÐÛ ÔÎÐÌÀËÜÍÛÕ ÃÐÓÏÏ
È ÊÎËÜÖÎ ÝÍÄÎÌÎÐÔÈÇÌÎÂ EndO F( ) ÔÎÐÌÀËÜÍÎÉ ÃÐÓÏÏÛ
Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü F è G — ñîîòâåòñòâåííî n- è m-ìåðíûå ãðóïïîâûå çà-
êîíû íàä R. Íàáîð � èç m ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ áåç ñâîáîäíûõ ÷ëå-
íîâ îò n ïåðåìåííûõ T T Tn� ( , , )1 � íàçûâàåòñÿ R-ãîìîìîðôèçìîì èç F â G,
åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå � �� �F G� . (Ýòà çàïèñü îáîçíà÷àåò ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ïîäñòàíîâêè íàáîðîâ â íàáîðû.)
Îïðåäåëåíèå 4. Ìíîæåñòâî âñåõ R-ãîìîìîðôèçìîâ èç F â G îáîçíà÷èì
HomR F G( , ).
Åñëè � �, ( , )�HomR F G , òî îïðåäåëèì èõ ñóììó � �
, ïîëîæèâ
( )( ) ( ( ), ( ))� � � �
�T G T T . Íåòðóäíî ïîêàçàòü, èñïîëüçóÿ àññîöèàòèâíîñòü ãðóï-
48 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
ïîâîãî çàêîíà, ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû è îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ÷òî òåì ñàìûì çà-
äàíà íà ìíîæåñòâå HomR F G( , ) ñòðóêòóðà àáåëåâîé ãðóïïû, ò.å. ìîäóëÿ íàä
êîëüöîì öåëûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë (âûêëàäêè îïóñêàåì).
Îáîçíà÷èì EndR F( ) ìíîæåñòâî HomR F F( , ). Òàê êàê [ ] ( )1 R T T� ïðèíàäëå-
æèò EndR F( ), èìååì êàíîíè÷åñêîå âëîæåíèå êîëüöà öåëûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë â
EndR F( ), çàäàâàåìîå ôîðìóëîé m m T F m T TF F� [ ] ( ) ([ ] ( ), )� 1 ; [ ] ( ) 1 R T — íà-
áîð ðÿäîâ i TF ( ), îïðåäåëåííûé ðàíåå. Îïðåäåëèì â EndR F( ) îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ,
ïîëîæèâ äëÿ � �, ( )�EndR F : � � � �� ( ) ( ( ))T T� . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òåì ñàìûì
çàäàíà íà EndR F( ) ñòðóêòóðà (íå îáÿçàòåëüíî êîììóòàòèâíîãî) êîëüöà ñ åäèíèöåé.
Îïðåäåëåíèå 5. Ïóñòü ��HomR F G( , ). Îïðåäåëèì ãîìîìîðôèçì Ëþáèíà
c Mat Rnm: ( )� � . Îí ñîïîñòàâëÿåò íàáîðó ðÿäîâ, êîòîðûé çàäàåò �, ýëåìåíò c( )�
àëãåáðû ìàòðèöû Mat Rnm ( ) ðàçìåðà n m� íàä R, îáðàçîâàííûé êîýôôèöèåíòàìè
â ëèíåéíîé ÷àñòè ãîìîìîðôèçìà � (n F m GR R� �dim dim( ), ( )).
Åñëè n m� è � — èçîìîðôèçì, òî ÿñíî, ÷òî det ( ( ))c � åñòü åäèíèöà êîëüöà R.
Èçîìîðôèçì � íàçûâàåòñÿ ñèëüíûì (ïî Õîíäà, êîòîðûé ðàññìîòðåë îäíîìåðíûé
ñëó÷àé [14]), åñëè c E( )� � , ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Çàìå÷àíèå 3. Îòîáðàæåíèå Ëþáèíà c F G Mat RR nm: ( , ) ( )Hom � ÿâëÿåòñÿ
ãîìîìîðôèçìîì ãðóïï HomR F G( , ) è Mat Rnm ( ), à â ñëó÷àå c FR: ( )End �
�Mat Rn ( ) — ãîìîìîðôèçìîì êîëåö EndR F( ) è Mat Rn ( ). (Ýòî îïðàâäûâàåò íà-
çâàíèå «ãîìîìîðôèçì Ëþáèíà».)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � � � � � �, ( , ): ( ) ( ) ( )�
�
HomR F G c c c ; c( )0 0� —
åäèíèöà àääèòèâíîé ãðóïïû Mat Rnm ( ); � �, ( )�EndR F , c c c( ) ( ) ( )� � � �� � � �
� c c( ) ( )� � (óìíîæåíèå ìàòðèö); c T E( ) � — åäèíèöà êîëüöà Mat Rn ( ).
Òàê êàê � �( ) ( ) [ ]T c T� mod deg 2 è � �( ) ( ) [ ]T c T� mod deg 2 , òî c T( ( ))� �� �
�
� �c c c T c c( ( ) ( ) ) ( ) ( )� � � �{ ëåíû ñòåïåíè }� 2 .
Çàìå÷àíèå äîêàçàíî.
Åñëè R è S — êîììóòàòèâíûå êîëüöà ñ åäèíèöàìè è åñëè a a� * — óíè-
òàëüíûé ãîìîìîðôèçì R â S , òî ãðóïïîâîé çàêîí F Fi� ( ), îïðåäåëåííûé íàä R,
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ãðóïïîâîé çàêîí F Fi
* *( )� , îïðåäåëåííûé íàä S .
Àíàëîãè÷íî, åñëè f T F GR( ) ( , )�Hom , òî ìîæíî îïðåäåëèòü f T* ( )�
�Homk F G( , )* * . Åñëè f g F GR, ( , )�Hom , òî ( )* * *f g f g
�
, è åñëè
f F GR�Hom ( , ), h G HR�Hom ( , ), òî ( )* * *h f h f� �� .  äàëüíåéøåì â êà÷åñòâå
êîëüöà S èñïîëüçóåòñÿ ïîëå âû÷åòîâ êîëüöà R îòíîñèòåëüíî åãî ìàêñèìàëüíîãî
èäåàëà, è îòîáðàæåíèå * áóäåò ôàêòîðèçàöèåé îòíîñèòåëüíî ýòîãî èäåàëà.
Îïðåäåëåíèå 6. Ãðóïïîâîé çàêîí F íàçûâàþò àääèòèâíûì, åñëè F X Y( , ) �
�
X Y , ãäå X X X n� ( , , )1 � , Y Y Yn� ( , , )1 � .
Ïðåäëîæåíèå 1. Åñëè êîëüöî R åñòü Q-àëãåáðà, òî n-ìåðíûé êîììóòàòèâíûé
ãðóïïîâîé çàêîí íàä R ñèëüíî èçîìîðôåí àääèòèâíîìó. (Ýòî óòâåðæäåíèå äîêà-
çàíî Ôðåëèõîì ñ ïðèìåíåíèåì òåîðèè Ëè, à òàêæå åãî ìîæíî ïîëó÷èòü èñïîëü-
çîâàíèåì ìåòîäîâ Ëàçàðà è Õîíäû (ñì. [14]).)
Èçîìîðôèçì �, êîòîðûé ðåàëèçóåò ñèëüíûé èçîìîðôèçì ïðåäëîæåíèÿ 1,
èìååò âèä � � �( ( , )) ( ) ( )F X Y X Y�
; åãî èíîãäà íàçûâàþò ëîãàðèôìîì êîììó-
òàòèâíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà.
Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî â êà÷åñòâå êîëüöà R èñïîëüçóåòñÿ ïîëíîå äèñêðåòíî
íîðìèðîâàííîå êîëüöî O õàðàêòåðèñòèêè íîëü ñ ìàêñèìàëüíûì èäåàëîì
M O� � , òàê ÷òî ïîëå âû÷åòîâ k O M� / èìååò õàðàêòåðèñòèêó p� 0.
Ïðåäëîæåíèå 2. Îòîáðàæåíèå c F G Mat OO nm: ( , ) ( )Hom � åñòü èíúåêöèÿ.
Çäåñü F è G — ñîîòâåòñòâåííî n- è m-ìåðíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä O.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 49
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó ïðåäëîæåíèÿ 1 èìååì F X Y X Y( , ) ( ( ) ( ))�
� � �1
� ,
G X Y X Y( , ) ( ( ) ( ))�
� � �1
� .
Ïóñòü f T F GO( ) ( , )�Hom . Òîãäà f X Y f X� � � �� � � � �
�
1 1( ( ) ( )) ( ( )
� � f Y( )). Òàê êàê � 1 ( )Y îáðàòèì, òî � � � � �� � � �f X Y f X
�
1 ( ( ) ( )) ( )
� � f Y( ). Ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ X Y� � 1 ( ). Ââèäó îáðàòèìîñòè � 1 ( )T
ýòà çàìåíà íåâûðîæäåííàÿ. Èìååì
� � � � � �� � � � � � �f X Y f X f Y
�
1 1 1( ) ( ) ( ).
Íåñëîæíî ïîêàçàòü, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ, ÷òî íàáîð ðÿäîâ � �� �f T 1 ( )
èìååò âèä:
� �� �
� � �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
� � �
f T
a a
a a
n
m mn
�
�
�
�
�
�
1
11 1
1
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
T
Tn
1
�
�
�
.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî c F G Mat OO nm: ( , ) ( )Hom � èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëü-
íî, äîïóñòèì, ÷òî c f( ) � 0. Òîãäà � �� �f T �1 0( ) è, óìíîæàÿ ñëåâà è ñïðàâà
ñîîòâåòñòâåííî íà � 1 è �, ïîëó÷àåì, ÷òî f � 0.
Ïðåäëîæåíèå 2 äîêàçàíî.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè èìåþòñÿ íàáîðû ðÿäîâ � 1 è � èç ïðåäëîæåíèÿ 2 è ìàò-
ðèöà ( ) ( )a Mat Oij nm� , òî ìîæíî ïîñòðîèòü ãîìîìîðôèçì f T F GK( ) ( , )�Hom ,
îïðåäåëèâ åãî ôîðìóëîé f T a Tij( ): ( ) ( )� � �� �
1 , ïîëåçíîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ôîðìàëüíûõ ìîäóëåé.
Ïóñòü F è G — ñîîòâåòñòâåííî n- è m-ìåðíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä ïîëåì
k õàðàêòåðèñòèêè p� 0. Ïóñòü f T F Gk( ) ( , )�Hom . Èç ðåçóëüòàòîâ Ôðåëèõà [14]
ñëåäóåò, ÷òî èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå f T g T ph
( ) ( )� , ãäå T T Tp p
n
ph h h
� ( , , )
1
� ,
c g( ) � 0 â Mat knm ( ), è ÷èñëî ht f h( ) � ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì öåëûì òàêèì, ÷òî g
åñòü íàáîð ñòåïåííûõ ðÿäîâ îò T ph
. Ýòî ÷èñëî ht f( ) íàçûâàåì âûñîòîé ãîìîìîð-
ôèçìà f . Íàáîð ðÿäîâ g T ph
( ) äàëåå áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ òàêæå g T h( ) � � .
Ïóñòü òåïåðü F X Y( , ) — ãðóïïîâîé çàêîí, îïðåäåëåííûé íàä êîëüöîì O.
Îïðåäåëåíèå 7. ×èñëî ht p TF([ ] ( ))* áóäåì íàçûâàòü âûñîòîé ðåäóêöèè ãðóï-
ïîâîãî çàêîíà F è îáîçíà÷àòü ht F( )* èëè h F( )* . Ïîëîæèì ht F( )* � �, åñëè
[ ] ( )*p TF � 0.
Çàìå÷àíèå 4. Åñëè ãðóïïîâûå çàêîíû F è G, îïðåäåëåííûå íàä êîëüöîì O,
èçîìîðôíû, òî èõ âûñîòû ðåäóêöèè ñîâïàäàþò.
Ïóñòü òåïåðü ãðóïïîâûå çàêîíû F è G îïðåäåëåíû íàä ïîëåì k O M� / ,
åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.
Ïðèìåð 2. Ïðèâåäåì èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû Äüåäîííå, Ëàçàðà è Ëþáèíà
î ãîìîìîðôèçìàõ è ýíäîìîðôèçìàõ îäíîìåðíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ:
— ïóñòü F è G — îäíîìåðíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä ïîëåì k õàðàêòåðèñòè-
êè p� 0, f — ãîìîìîðôèçì èç F â G íàä k. Òîãäà ñóùåñòâóåò ÷èñëî pr òàêîå, ÷òî
f T aT p ap rr
( ) [ ( )],�
�mod deg 1 0.  ýòîì ñëó÷àå f T( ) ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿ-
äîì îò T pr
;
50 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
— äëÿ âñåõ h h( )1� � � ñóùåñòâóåò îäíîìåðíàÿ ôîðìàëüíàÿ ãðóïïà âûñîòû h,
îïðåäåëåííàÿ íàä ïðîñòûì êîíå÷íûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè p� 0;
— ïóñòü k — àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p� 0. Äëÿ ëþ-
áûõ îäíîìåðíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ F , G íàä k ñ óñëîâèåì h F h G( ) ( )� âûïîëíå-
íî, ÷òî F ñëàáî èçîìîðôíî G íàä k . Ïðè h F h G( ) ( )� � � ãðóïïîâîé çàêîí F
ñèëüíî èçîìîðôåí G íàä k ;
— ïóñòü F — ãðóïïîâîé çàêîí íàä k âûñîòû h F( )� �. Òîãäà Endk F( ) ÿâ-
ëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïîðÿäêîì â öåíòðàëüíîé àëãåáðå ñ äåëåíèåì ñ èíâàðèàí-
òîì 1/ h íàä ïîëåì p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë.
Çàìå÷àíèå 5.  îòëè÷èå îò îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ äëÿ n-ìåðíûõ (n � 2) ãðóï-
ïîâûõ çàêîíîâ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî
Hom
k
F G( , ) � 0, åñëè âûñîòû ðåäóêöèè F è G ðàçëè÷íûå.
Ïðèìåð 3. Åñëè F X Y
X Y
X Y X Y
( , ) ,�
�
�
�
�
�
�
1 1
2 2 2 2
G X Y X Y( , ) �
1 1, òî äëÿ
f T T T( , )1 2 1� èìååì f F F G f X f Y( , ) ( ( ), ( ))1 2 � , õîòÿ ht F( )* �1, ht G( )* � �.
4. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈß, ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÛ È ÄÅÉÑÒÂÈÅ ÔÎÐÌÀËÜÍÎÉ ÃÐÓÏÏÛ
Ïîëîæèì A R x x R xn� �[[ , , ]] [[ ]]1 � è îáîçíà÷èì D A R( , ) A-ìîäóëü R-äèôôå-
ðåíöèðîâàíèé êîëüöà A, íåïðåðûâíûõ â ( )X -àäè÷åñêîé òîïîëîãèè [12, 14].
Ìîäóëü D A R( , ) åñòü ñâîáîäíûé ìîäóëü ðàíãà n, ïîðîæäåííûé ýëåìåíòàìè
�
�
�
�x xn1
, ,� . Îáîçíà÷èì D A R* ( , ) äâîéñòâåííûé ê D A R( , ) ìîäóëü, åãî ýëå-
ìåíòû íàçûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëàìè R-àëãåáðû A, D A R
f x
x
dx* ( , )
( )
�
�
�
�
�
� 1
1 �
�
�
�
�
�
�
�
f x
x
dx Df x
n
n
( )
( ) äëÿ âñÿêîãî f x R x( ) [[ ]]� . Ýëåìåíòû dx dxn1, ,� îáðà-
çóþò åãî áàçèñ. Ïîëîæèì dx dx dxn� ( , , )1 � . Ïóñòü T — îïåðàöèÿ òðàíñïîíè-
ðîâàíèÿ, �( ) ( )x A A A nn� � � �� ðàç è
�� ( )x dx T — íåêîòîðûé äèôôåðåí-
öèàë. Åñëè �( )x A n� è �( )0 0� , òî � � �( ( )) ( )x D x — òîæå äèôôåðåíöèàë,
êîòîðûé îáîçíà÷èì �
* ( ). Î÷åâèäíî, ÷òî � ÿâëÿåòñÿ R-ýíäîìîðôèçìîì R ìî-
äóëÿ D A R* ( , ). Ïóñòü t t tn� ( , , )1 � . Ê êîëüöó R ïðèñîåäèíèì n ïåðåìåííûõ
t tn1, ,� è ðàññìîòðèì F êàê ôîðìàëüíóþ ãðóïïó íàä R t[[ ]]. Îïðåäåëèì ïðà-
âûé ñäâèã (ïðàâîå äåéñòâèå) Tt ãðóïïû F x y( , ) ôîðìóëîé T x F x tt ( ) ( ( , ),� 1 �
� , ( , )) ( , )F x t F x tn � .
Îïðåäåëåíèå 8. Äèôôåðåíöèàë
íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì íà ãðóïïå F ,
åñëè è òîëüêî åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Tt
*
� .
Ïðèìåð 4. Äëÿ äâóìåðíîé ôîðìàëüíîé ãðóïïû ïðè � �( ) ( ( , ),x x x� 1 1 2
� 2 1 2( , ))x x ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
( , )
( , )
,
,
F F
x x
F
x
F
x
F
x
F
x
1 2
1 2
1
1
1
2
2
1
2
2
�
�
�
�
�
��
äèôôåðåíöèàë
�� ( )x dx T áóäåò èíâàðèàíòíûì íà ãðóïïå F x y F x y( , ) ( ( , ),� 1
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 51
F x y2 ( , )), x x x� ( , )1 2 , y y y� ( , )1 2 , åñëè âûïîëíåíî òîæäåñòâî
� �( )
( , )
( , )
( )x
F F
x x
dx x dx
�
�
�1 2
1 2
T .
Îáîçíà÷èì D F R* ( , ) ìîäóëü F -èíâàðèàíòíûõ äèôôåðåíöèàëîâ.
Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
F t
x j
1 0( , )
è �( )t � � 1.
Îïðåäåëèì
�( ) ( ( )) ( )z z z dzi� � T . Òîãäà �( )0 � E è D F R* ( , ) — ñâîáîä-
íûé ìîäóëü ðàíãà n, ïîðîæäåííûé
i z( ).
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 3 ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäàìè Õîíäû [14]. Äà-
äèì ïîëíûé ñïèñîê äâóìåðíûõ ôîðìàëüíûõ ãðóïïîâûõ çàêîíîâ, ó êîòîðûõ ïðè
÷ëåíàõ ñòåïåíåé áîëüøèõ èëè ðàâíûõ òðåì êîýôôèöèåíòû íóëåâûå.
Ïðåäëîæåíèå 4. Òàêèå ãðóïïîâûå çàêîíû èìåþò âèä
F x y
x y ax y
x y x y
( , )
,
;
�
�
�
�
1 1 1 1
2 2 2 2�
F x y
x y ax y
x y x y
a ( , )
,
;
�
�
�
�
1 1 1 1
2 2 1 1�
F x y
x y ax y
x y x y
b ( , )
,
;
�
�
�
�
1 1 2 2
2 2 2 2�
F x y
x y a x x y y
x y x x y y
c ( , )
( )( ),
( )(
�
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2� ),
�
�
�
ãäå � �, — ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû êîëüöà R.
Ïðåäëîæåíèå 4 äîêàçûâàåòñÿ âûïèñûâàíèåì îáùåãî âèäà äâóõ ôîðìàëüíûõ
ñòåïåííûõ ðÿäîâ óêàçàííîãî òèïà è âûäåëåíèåì èç íèõ ñ èñïîëüçîâàíèåì àêñèîì
ôîðìàëüíûõ ãðóïï. Íàïðèìåð, ìîäóëü èíâàðèàíòíûõ äèôôåðåíöèàëîâ D F Rb( , )
ãðóïïû F x yb ( , ) ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòàìè
�
�
1 1
2
21
( )T dT
dT
T
�
è
�
2
2
21
( )T
dT
T
�
. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå èíâàðèàíòíûå äèôôåðåíöèàëû
ãðóïï èç ïðåäëîæåíèÿ 4 òî÷íû, ò.å. ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû f f R T1 2, [[ ]]� òàêèå,
÷òî
1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )T df T T df T� � .
Ïðèìåð 5. Ñ.Ï. Íîâèêîâ è Â.Ì. Áóõøòàáåð [14] óêàçàëè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäó-
þùóþ ñâÿçü ôîðìàëüíîé ãðóïïû ñ ôîðìàëüíîé ãðóïïîé ãåîìåòðè÷åñêèõ êîáîð-
äèçìîâ. Ïóñòü A x x xn� Z[ , , , , ... ]1 2 � — êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò áåñêîíå÷íîãî
÷èñëà ïåðåìåííûõ. Ðàññìîòðèì ðÿä g u u
u x
n
n
n
n
( ) �
�
1
1 1
, òîãäà îïðåäåëåí ãðóï-
ïîâîé çàêîí F u g g u g( , ) ( ( ) ( ))� ��
1 , ãäå g g u u �1 ( ( )) . Êîýôôèöèåíòû ðÿäà
F u( , )� ëåæàò â êîëüöå A Q! . Ýòà ãðóïïà ñîâïàäàåò ñ óíèâåðñàëüíûì ãðóïïîâûì
çàêîíîì Ëàçàðà, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü ñîâïàäàåò ñ ôîðìàëüíîé ãðóïïîé
ãåîìåòðè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ. Èíâàðèàíòíûé äèôôåðåíöèàë ýòîé ãðóïïû
èìååò âèä dg u CP u dun n
n
( ) [ ]�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
, ãäå [ ]CP n — êëàññû óíèòàðíûõ êîáîðäèç-
ìîâ êîìïëåêñíûõ ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ.
5. ÈÇÎÃÅÍÈÈ
Ñîïîñòàâèì êàæäîìó n-ìåðíîìó ãðóïïîâîìó çàêîíó F , îïðåäåëåííîìó íàä
êîëüöîì R, êîëüöî R T Tn[[ , , ]]1 � , êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü êîëüöîì ôóíêöèé
ãðóïïîâîãî çàêîíà F . Åñëè F è G — ñîîòâåòñòâåííî n- è m-ìåðíûå ãðóïïîâûå
52 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
çàêîíû íàä êîëüöîì R è f — ãîìîìîðôèçì èç F â G, òî f îïðåäåëÿåò ãîìî-
ìîðôèçì � f êîëåö ôóíêöèé � f n nR T T R T T: [[ , , ]] [[ , , ]]1 1� �� , çàäàâàåìûé
ôîðìóëàìè T f T Ti f i n� � ( , , )1 � , i m�1, ,� . Çàìåòèì, ÷òî åñëè ãðóïïîâûå çà-
êîíû èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðíîñòè è îïðåäåëåíû íàä îäíèì è òåì æå êîëü-
öîì R, òî èõ êîëüöà ôóíêöèé ñîâïàäàþò.
Îïðåäåëåíèå 9. Ïóñòü F è G — n-ìåðíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä êîëüöîì R
ñ îäíèì è òåì æå êîëüöîì ôóíêöèé A R T Tn� [[ , , ]]1 � . Íàçîâåì èçîãåíèåé òàêîé ãî-
ìîìîðôèçì f ãðóïïîâîãî çàêîíà F â G, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåìûé ïî f ãîìîìîð-
ôèçì êîëåö � f A A: � ïðåâðàùàåò A â ñâîáîäíûé ìîäóëü êîíå÷íîãî ðàíãà íàä Im � f .
Çàìå÷àíèå 6. Èç îïðåäåëåíèÿ èçîãåíèè ñëåäóåò, ÷òî êîëüöà R T Tn[[ , , ]]1 � è
R f T f Tn[[ ( ), , ( )]]1 � èìåþò îäíó è òó æå ñòåïåíü òðàíñöåíäåíòíîñòè, åñëè f —
èçîãåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, â ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû f T f Tn1 ( ), , ( )� àëãåáðàè÷åñ-
êè íåçàâèñèìû íàä êîëüöîì R.
Ïðåäëîæåíèå 5. Ïóñòü F è G — ãðóïïîâûå çàêîíû íàä êîëüöîì R, è f —
ãîìîìîðôèçì èç F â G íàä R.
Åñëè ïîëå îòíîøåíèé êîëüöà R èìååò õàðàêòåðèñòèêó íîëü, òî ãîìîìîðôèçì
f áóäåò èçîãåíèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà det
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
T
i
j
( )0
0.
Åñëè R k O M� � / è f T g T h( ) ( )� � � , òî ãîìîìîðôèçì f áóäåò èçîãåíèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà det( ( ))c f � 0 â ïîëå k.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 5 íåñëîæíî, íî äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî è çäåñü
îïóñêàåòñÿ.
Îáîçíà÷èì Iso F GR ( , ) ìíîæåñòâî èçîãåíèé ãðóïïîâîãî çàêîíà F â G íàä
êîëüöîì R. Çàìåòèì, ÷òî 0"Iso F GR ( , ). Ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå.
Ëåììà 2. Åñëè âûñîòû ãðóïïîâûõ çàêîíîâ F è G íàä ïîëåì k ðàçëè÷íû, òî
ìíîæåñòâî Iso F GR ( , ) ïóñòî.
Ïóñòü òåïåðü F è G — ãðóïïîâûå çàêîíû, îïðåäåëåííûå íàä êîëüöîì O.
Ïðåäëîæåíèå 6. Îòîáðàæåíèå *: ( , ) ( , )Iso F G Iso F GO k� ÿâëÿåòñÿ èíúåê-
òèâíûì, åñëè [ ] ( )*p TF — èçîãåíèÿ.
6. ÔÎÐÌÀËÜÍÛÅ ÌÎÄÓËÈ
Ïóñòü K — ïîëíîå äèñêðåòíî íîðìèðîâàííîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè íîëü
ñ êîëüöîì öåëûõ O OK� è ìàêñèìàëüíûì èäåàëîì M M OK� � � , à F åñòü
n-ìåðíûé êîììóòàòèâíûé ãðóïïîâîé çàêîí, îïðåäåëåííûé íàä O. Ðàíåå óêàçûâà-
ëîñü, ÷òî êîëüöî öåëûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Z îòîáðàæàåòñÿ â EndO F( ) òàê, ÷òî
EndO F( ) ÿâëÿåòñÿ Z-ìîäóëåì. Ïóñòü Mat On ( ) — êîëüöî ìàòðèö ðàçìåðà n n�
íàä êîëüöîì O OK� . Ñòðóêòóðà Mat On ( )-ìîäóëÿ ìîæåò áûòü ââåäåíà íà D p
n
ñ ïîìîùüþ n-ìåðíîé ôîðìàëüíîé ãðóïïû F íà n-äèñêå D p
n . Èìåííî äëÿ ìàò-
ðèöû ( ) ( )a Mat Oij n� è ëîãàðèôìà � ôîðìàëüíîé ãðóïïû F îïðåäåëèì ãîìî-
ìîðôèçì êîëåö ( ) [ ] : ( ) ( )a a a Tij ij F ij� � �� � � 1 , [] : ( ) ( )F n OMat O F� End .
Ôîðìàëüíóþ ãðóïïó F íàä O OK� ñ ãîìîìîðôèçìîì [] : ( ) ( )F n OMat O F� End
áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíûì Mat On ( )-ìîäóëåì F D p
n( ).
Ïðåäëîæåíèå 7. Çàäàíèå ñòðóêòóðû ôîðìàëüíîãî Mat On ( )-ìîäóëÿ îïðåäå-
ëÿåò ñòðóêòóðó Mat On ( )-ìîäóëÿ íà ôîðìàëüíîì ìîäóëå F D p
n( ), êîòîðûé çàäàåò-
ñÿ íà n-äèñêå ôîðìàëüíîé ãðóïïîé F .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû íîâûå ðåçóëüòàòû è äàí êðàòêèé îáçîð íîâûõ ìåòîäîâ
òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ íàä ëîêàëüíûìè ïîëÿìè è
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 53
ôîðìàëüíûõ ãðóïï íàä ëîêàëüíûìè êîëüöàìè. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ n-ìåðíûõ
ìíîãîîáðàçèé è èõ äèíàìèêè, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà òàêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ
èñïîëüçîâàíû ôîðìàëüíûå ñòðóêòóðû, â ÷àñòíîñòè n-ìåðíûå ôîðìàëüíûå ãðóï-
ïû. Â òåðìèíàõ ôîðìàëüíûõ ãðóïï ïðåäñòàâëåíû èíôèíèòåçèìàëüíûå äåôîðìà-
öèè. Èçâåñòíûé îäíîìåðíûé ñëó÷àé ðàñøèðåí íà n-ìåðíûå (n � 1) àíàëèòè÷åñêèå
îòîáðàæåíèÿ îòêðûòîãî p-àäè÷åñêîãî ïîëèäèñêà (n-äèñêà) D p
n . Ââåäåíû n-ìåð-
íûå àíàëîãè ìîäóëåé, âîçíèêàþùèå â ôîðìàëüíûõ è íåàðõèìåäîâûõ ñòðóêòó-
ðàõ äèíàìèêè, ïðèâåäåíà èõ ôîðìàëüíî-àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðêòóðà. Îáðàùåíî
âíèìàíèå íà æåñòêèå ñòðóêòóðû, îáúåêòû è ìåòîäû. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèñòåìíî-
ãî àíàëèçà ââåäåíû è èññëåäîâàíû íîâûå, à èìåííî ôîðìàëüíûå è íåàðõèìå-
äîâû ãðàíè è ñòðóêòóðû ñèñòåì, îòîáðàæåíèÿ è èòåðàöèè îòîáðàæåíèé ìåæäó
ýòèìè ãðàíÿìè è ñòðóêòóðàìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Êðèâîíîñ Þ.Ã., Õàð÷åíêî Â.Ï., Ãëàçóíîâ Í.Ì. Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è äèíà-
ìè÷åñêèå ñèñòåìû íà ìíîãîîáðàçèÿõ. Êèáåðíåòèêà è cèñòåìíûé aíàëèç. 2016. Ò. 52, ¹ 3. Ñ. 83–96.
2. Zerz E. Algebraic systems theory. Aachen: Lehrstuhl D fuår Mathematik RWTH, 2006. 104 p.
3. Hannan E.J., Deistler M. The statistical theory of linear systems. Philadelphia: SIAM Publ., 2012.
390 p.
4. Wood J. Modules and behaviours in nD systems theory. Multidimensional Systems and Signal
Processing. 2000. Vol. 11, Iss. 1–2. P. 11–48.
5. Àðáèá Ì.À., Ìåéíñ Ý., Áðîêåòò Ð., Ëîáðè Ê., Áåðíñ Ê.È., Õàðò Í.Ý., Îñåòèíñêèé Í.È. Ìàòå-
ìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè ñèñòåì. Ìîñêâà: Ìèð, 1979. 328 ñ.
6. Òåîðèÿ ñèñòåì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëèðîâàíèå. Ìîñêâà: Ìèð, 1989. 382 ñ.
7. Ãëóøêîâ Â.Ì. Òåîðèÿ àâòîìàòîâ è ôîðìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìèêðîïðîãðàìì. Êèáåðíåòè-
êà. 1965. ¹ 5. Ñ. 1–10.
8. Ãëóøêîâ Â.Ì. Ââåäåíèå â ÀÑÓ. Êèåâ: Òåõíèêà, 1974. 320 ñ.
9. Ãëàçóíîâ Ì.Ì. Ïðî «íîðìåí³ ï³äãðóïè» îäíîâèì³ðíèõ ôîðìàëüíèõ ãðóï, âèçíà÷åíèõ íàä
ê³ëüöåì ö³ëèõ ëîêàëüíîãî ïîëÿ. Äîï. Àêàäå쳿 Íàóê ÓÐÑÐ. Ñåð. À. 1973. ¹ 11. Ñ. 965–968.
10. Lubin J. Non-Archimedean dynamical systems. Compos. Math. 1994. Vol. 94. P. 321–346.
11. Hua-Chien Li. p-adic dynamical systems and formal groups. Compos. Math. 1996. Vol. 104.
P. 41–54.
12. Serre J.P. Lie algebras and Lie groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1500. Berlin;
Heidelberg: Springer, 1992. 168 p.
13. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Íåïðåðûâíûå ãðóïïû: 3-å èçä. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 519 ñ.
14. Hazewinkel M. Formal groups and applications. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea
Publishing, 2012. 573 p.
15. Mumford D. Abelian varieties. Tata Institute of fundamental research publications. Vol. 13, 2012.
263 p.
16. Schwede S. Equivariant properties of symmetric products. J. Amer. Math. Soc. 2017. Vol. 30, N 3.
P. 673–711.
17. Schwede S. Formal groups and stable homotopy of commutative rings. Geometry & Topology. 2004.
Vol. 8. P. 335–412.
18. Snaith V. Stable homotopy around the arf-kervaire invariant. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser,
2009. 240 p.
19. Faltings G. p-adic hodge theory. J. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 1, N 1. P. 255–288.
20. Kisin M. Crystalline representations and F-crystals. In: Algebraic Geometry and Number Theory.
Progress in Mathematics. Ginzburg V. (ed.). Boston: Birkh��auser, 2006. Vol. 253. P. 459–496.
21. Glazunov N.M. Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics. ×åáûøåâñêèé
ñáîðíèê. Íàó÷íî-òåîðåòè÷åñêèé æóðíàë. 2015. Ò. XVI, âûï. 3(55). Ñ. 124–146.
22. Glazunov N.M. On norm maps and “universal norms” of formal groups over integer rings of local
fields. Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Berlin; Heidelberg: Springer,
2014. P. 73–80.
23. Khrennikov A.Yu., Nilsson M. p-adic deterministic and random dynamics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publ., 2004. 280 p.
24. Vladimirov V.S., Volovich I.V., Zelenov E.I. p-adic analysis and mathematical physics. Series on
Soviet and East European Mathematics. New York: World Scientific Co., Inc. 1994. Vol. 1. 340 p.
54 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
25. Woodcock C.F., Smart N.P. p-adic chaos and random number generation. Experiment Math. 1998.
P. 333–342.
26. Thiran E., Verstegen D., Weyers J. p-adic dynamics. J. Stat. Phys. 1989. Vol. 54. P. 893–913.
27. Ben-Menahem S. p-adic iterations. Preprint, TAUP 1627–88, Tel Aviv University, 1988. 43 p.
28. Gromov M. Soft and hard symplectic geometry. Proc. of the International Congress of
Mathematicians Berkeley. California, USA, 1986. P. 81–98.
29. Ïîñòíèêîâ À.Ã. Èçáðàííûå òðóäû. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 2005. 512 c.
30. Rigidity (mathematics). URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity_(mathematics).
31. Serre J.P. Corps locaux. Paris: Hermann. 2004. 246 p.
32. Field M., Jarden M. Field arithmetic. Third ed. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.
3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, Vol. 11, Berlin: Springer-Verlag, 2008. 792 p.
33. Øàôàðåâè÷ È.Ð. Ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû. Ò. 3, ÷. 1. Ìîñêâà: Ïðèìà Á., 1996. 415 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 07.07.2017
Â.Ï. Õàð÷åíêî, Ì.Ì. Ãëàçóíîâ
ÔÎÐÌÀËÜͲ ÒÀ ÍÅÀÐÕ²ÌÅÄβ ÑÒÐÓÊÒÓÐÈ ÄÈÍÀ̲×ÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ ÍÀ ÌÍÎÃÎÂÈÄÀÕ
Àíîòàö³ÿ. Íàâåäåíî íîâ³ ðåçóëüòàòè ³ êîðîòêèé îãëÿä íîâèõ ìåòîä³â òåîð³¿
äèíàì³÷íèõ ñèñòåì íà ìíîãîâèäàõ íàä ëîêàëüíèìè ïîëÿìè ³ ôîðìàëüíèõ
ãðóï íàä ëîêàëüíèìè ê³ëüöÿìè. Äëÿ äîñë³äæåííÿ n-âèì³ðíèõ ìíîãîâèä³â,
äèíàì³÷íèõ ñèñòåì íà òàêèõ ìíîãîâèäàõ âèêîðèñòàíî ôîðìàëüí³ ñòðóêòóðè,
çîêðåìà, n-âèì³ðí³ ôîðìàëüí³ ãðóïè. Ó òåðì³íàõ ôîðìàëüíèõ ãðóï ïðåäñòàâ-
ëåíî ³íô³í³òåç³ìàëüí³ äåôîðìàö³¿. ³äîìèé îäíîâèì³ðíèé âèïàäîê ðîçøèðå-
íî íà n-âèì³ðí³ (n � 1) àíàë³òè÷í³ â³äîáðàæåííÿ â³äêðèòîãî p-àäè÷íîãî
ïîë³äèñêà (n-äèñêà) Dp
n . Óâåäåíî n-âèì³ðí³ àíàëîãè ìîäóë³â, ÿê³ âèíèêàþòü
â ôîðìàëüíèõ ³ íåàðõ³ìåäîâèõ äèíàì³÷íèõ ñòðóêòóðàõ, íàâåäåíî ¿õíþ ôîð-
ìàëüíî-àëãåáðà¿÷íó ñòðóêòóðó. Ñòèñëî îïèñàíî æîðñòê³ ñòðóêòóðè, îá’ºêòè
òà ìåòîäè. Ç òî÷êè çîðó ñèñòåìíîãî àíàë³çó ââåäåíî òà äîñë³äæåíî íîâ³
ôîðìàëüí³ òà íåàðõ³ìåäîâ³ ãðàí³ òà ñòðóêòóðè ñèñòåì, â³äîáðàæåííÿ òà ³òå-
ðàö³¿ â³äîáðàæåíü ì³æ íèìè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ôîðìàëüíà ãðóïà, ëîêàëüíå ê³ëüöå, êîìóòàòèâíà ôîðìàëüíà
ãðóïîâà ñõåìà, äåôîðìàö³ÿ, ôîðìàëüíèé ìîäóëü, äèíàì³÷íà ñèñòåìà, ìîäóëü
äèôåðåíö³àë³â.
V.P. Kharchenko, N.M. Glazunov
FORMAL AND NONARCHIMEDIAN STRUCTURES OF DYNAMIC SYSTEMS ON MANIFOLDS
Abstract. New results are presented and a brief review of new methods and
results of the theory of dynamic systems on manifolds over local fields and
formal groups over local rings is given. For the analysis of n-dimensional
manifolds and their dynamics, dynamic systems on such manifolds, formal
structures are used, in particular, n-dimensional formal groups. Infinitesimal
deformations are presented in terms of formal groups. The well-known
one-dimensional case extends, and n-dimensional (n � 1) analytic mappings of an
open p-adic polydisc (n-disk) Dp
n are considered. We introduce and investigate
the n-dimensional analogs of modules arising in formal and non-Archimedean
dynamic structures. Attention is drawn to rigid structures, objects and methods.
From the point of view of system analysis, new, namely, formal and
non-Archimedean, faces and structures of systems, maps and iterations of
mappings between these faces and structures are introduced and investigated.
Keywords: formal group, local ring, commutative formal group scheme,
deformation, formal module, dynamic system, module of differentials.
Õàð÷åíêî Âëàäèìèð Ïåòðîâè÷,
äîêòîð òåõ. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé, ïðîðåêòîð ïî íàó÷íîé ðàáîòå Íàöèîíàëüíîãî
àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà, Êèåâ, e-mail: kharch@nau.edu.ua.
Ãëàçóíîâ Íèêîëàé Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê, ïðîôåññîð êàôåäðû Íàöèîíàëüíîãî
àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà, Êèåâ, e-mail: glanm@yahoo.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 55
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180868 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:31:20Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Харченко, В.П. Глазунов, Н.М. 2021-10-23T16:17:13Z 2021-10-23T16:17:13Z 2019 Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях / В.П. Харченко, Н.М. Глазунов // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 45-55. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180868 681.5+513.6+517.9 Представлены новые результаты и краткий обзор новых методов теории динамических систем на многообразиях над локальными полями и формальных групп над локальными кольцами. Для исследования n-мерных многообразий, динамических систем на таких многообразиях использованы формальные структуры, в частности n-мерные формальные группы. В терминах формальных групп представлены инфинитезимальные деформации. Известный одномерный случай расширен на n-мерные (n ≥ 1) аналитические отображения открытого p-адического полидиска (-диска) Dpⁿ. Введены n-мерные аналоги модулей, возникающие в формальных и неархимедовых динамических системах, дана их формально-алгебраическая структура. Кратко представлены жесткие структуры, объекты и методы. С точки зрения системного анализа введены и описаны новые, а именно формальные и неархимедовы грани и структуры систем, отображения и итерации отображений между ними. Наведено нові результати і короткий огляд нових методів теорії динамічних систем на многовидах над локальними полями і формальних груп над локальними кільцями. Для дослідження n-вимірних многовидів, динамічних систем на таких многовидах використано формальні структури, зокрема, n-вимірні формальні групи. У термінах формальних груп представлено інфінітезімальні деформації. Розширено відомий одновимірний випадок, розглянуто n-вимірні (n ≥ 1) аналітичні відображення відкритого p-адичного полідиска (n-диска) Dpⁿ. Уведено n-вимірні аналоги модулів, які виникають в формальних і неархімедових динамічних структурах, наведено їхню (формально)-алгебраїчну структуру. Зауважено на жорстких структурах, об'єктах та методах. З точки зору системного аналізу введено та досліджено нові формальні та неархімедові грані та структури систем, відображення та ітерації відображень між ними. New results are presented and a brief review of new methods and results of the theory of dynamic systems on manifolds over local fields and formal groups over local rings is given. For the analysis of n-dimensional manifolds and their dynamics, dynamic systems on such manifolds, formal structures are used, in particular, n-dimensional formal groups. Infinitesimal deformations are presented in terms of formal groups. The well-known one-dimensional case extends, and n-dimensional (n ≥ 1) analytic mappings of an open p-adic polydisc (n-disk) Dpⁿ are considered. We introduce and investigate the n-dimensional analogs of modules arising in formal and non-Archimedean dynamic structures. Attention is drawn to rigid structures, objects and methods. From the point of view of system analysis, new, namely, formal and non-Archimedean, faces and structures of systems, maps and iterations of mappings between these faces and structures are introduced and investigated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях Формальні та неархімедові структури динамічних систем на многовидах Formal and nonarchimedian structures of dynamic systems on manifolds Article published earlier |
| spellingShingle | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях Харченко, В.П. Глазунов, Н.М. Системний аналіз |
| title | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| title_alt | Формальні та неархімедові структури динамічних систем на многовидах Formal and nonarchimedian structures of dynamic systems on manifolds |
| title_full | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| title_fullStr | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| title_full_unstemmed | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| title_short | Формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| title_sort | формальные и неархимедовы структуры динамических систем на многообразиях |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180868 |
| work_keys_str_mv | AT harčenkovp formalʹnyeinearhimedovystrukturydinamičeskihsistemnamnogoobraziâh AT glazunovnm formalʹnyeinearhimedovystrukturydinamičeskihsistemnamnogoobraziâh AT harčenkovp formalʹnítanearhímedovístrukturidinamíčnihsistemnamnogovidah AT glazunovnm formalʹnítanearhímedovístrukturidinamíčnihsistemnamnogovidah AT harčenkovp formalandnonarchimedianstructuresofdynamicsystemsonmanifolds AT glazunovnm formalandnonarchimedianstructuresofdynamicsystemsonmanifolds |