Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика
Рассмотрена задача локализации нулей аналитических функций с помощью оператора Кравчика. Получены формулы для вычисления образа оператора Кравчика для аналитических функций. На основании этого предложен новый алгоритм локализации нулей. Применение метода продемонстрировано на численных примерах, вкл...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180882 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчик / В.Ю. Семенов, Е.В. Семенова // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 194-200. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860125745432494080 |
|---|---|
| author | Семенов, В.Ю. Семенова, Е.В. |
| author_facet | Семенов, В.Ю. Семенова, Е.В. |
| citation_txt | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчик / В.Ю. Семенов, Е.В. Семенова // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 194-200. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрена задача локализации нулей аналитических функций с помощью оператора Кравчика. Получены формулы для вычисления образа оператора Кравчика для аналитических функций. На основании этого предложен новый алгоритм локализации нулей. Применение метода продемонстрировано на численных примерах, включая поиск нулей дзета-функции Римана.
Розглянуто задачу локалізації нулів аналітичних функцій. Для її розв'язання застосовано оператор Кравчика. Отримано формули для обчислення образу оператора Кравчика. Запропоновано алгоритм локалізації нулів аналітичних функцій. Застосування методу продемонстровано на чисельних прикладах, включаючи пошук нулів дзета-функції Рімана.
Localization of zeros of analytic functions is considered. For this purpose, Krawczyk operator is used. The formulas for calculation of Krawczyk operator are derived. As a result, algorithm for localization of zeros is proposed. Application of the method is shown by numerical examples including search of zeros for Riemann zeta function.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:41:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.615
Â.Þ. ÑÅÌÅÍÎÂ, Å.Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ
ÌÅÒÎÄ ËÎÊÀËÈÇÀÖÈÈ ÍÓËÅÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÔÓÍÊÖÈÉ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÊÐÀÂ×ÈÊÀ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ëîêàëèçàöèè íóëåé àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ
ïîìîùüþ îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáðàçà
îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Íà îñíîâàíèè ýòîãî ïðåäëî-
æåí íîâûé àëãîðèòì ëîêàëèçàöèè íóëåé. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïðîäåìîíñòðèðî-
âàíî íà ÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ, âêëþ÷àÿ ïîèñê íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëèíåéíîå óðàâíåíèå, àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ëîêàëè-
çàöèÿ êîðíåé, îïåðàòîð Êðàâ÷èêà, ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷à ëîêàëèçàöèè êîðíåé ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò áîëüøîå ïðàê-
òè÷åñêîå çíà÷åíèå äëÿ ïîèñêà òî÷åê ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèé, ïðèáëèæåííîãî ðå-
øåíèÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, îïðåäåëåíèÿ
ïàðàìåòðîâ àêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ, èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íå ñóùåñòâóåò îáùèõ (óíèâåðñàëüíûõ) ìåòî-
äîâ. Êðèòåðèé Êðàâ÷èêà [1] çàðåêîìåíäîâàë ñåáÿ â êà÷åñòâå ýôôåêòèâíîãî êðè-
òåðèÿ äëÿ ëîêàëèçàöèè íóëåé íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé [2]. Òàê, ìåòîäû âåòâåé
è ãðàíèö, îñíîâàííûå íà îïåðàòîðå Êðàâ÷èêà, ÿâëÿþòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûìè
ïî âû÷èñëèòåëüíûì çàòðàòàì â ñðàâíåíèè ñ ìîäèôèêàöèÿìè, îñíîâàííûìè íà
òåîðåìå Êàíòîðîâè÷à [3].  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå îïåðàòî-
ðà Êðàâ÷èêà ê ëîêàëèçàöèè íóëåé àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
f z( ) � 0, (1)
ãäå f — àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íà äâóõìåðíîì èíòåðâàëå D a b a b� �[ , ] [ , ]1 1 2 2 .
Ïîëîæèì z x ix� �1 2 . Òîãäà óðàâíåíèå (1) ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå óðàâíåíèé
âòîðîãî ïîðÿäêà:
f x x
f x x
1 1 2
2 1 2
0
0
( , ) ,
( , )
�
�
�
�
�
(2)
íà èíòåðâàëå [ , ] [ , ]a b a b1 1 2 2� , ãäå f x x f z1 1 2( , ) ( )� Re è f x x f z2 1 2( , ) ( )� Im .
Èñïîëüçóåì äëÿ äâóõìåðíûõ âåêòîðîâ îáîçíà÷åíèÿ x x x� ( , )1 2 è F x( ) �
� ( ( , ), ( , ))f x x f x x1 1 2 2 1 2 , à äëÿ ñòîðîí è äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà (èíòåðâà-
ëà) D — îáîçíà÷åíèÿ l1 � 0.5( )b a1 1� , l b a2 2 20 5� �. ( ), l l l� �
1
2
2
2 .
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èç [1] îïåðàòîð Êðàâ÷èêà íà èíòåðâàëå D çàäàåòñÿ
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
K D x F x F x I F x F x( ) [ ( )] ( ) ( [ ( )] (( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � �0 0 1 0 0 1 0) ( ), )) ( )D D x� 0 , (3)
ãäå x ( )0 — íåêîòîðàÿ òî÷êà âíóòðè D ; F x D( , )( )0 — èíòåðâàëüíàÿ ôóíêöèÿ
ïðèðàùåíèÿ [3] îòîáðàæåíèÿ F äëÿ n-ìåðíîãî èíòåðâàëà D ïî îòíîøåíèþ
ê òî÷êå x ( )0 .
194 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
© Â.Þ. Ñåìåíîâ, Å.Â. Ñåìåíîâà, 2019
Êàê èçâåñòíî [3], îïåðàòîð Êðàâ÷èêà (3) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ïðî-
âåðêè íàëè÷èÿ íóëÿ îòîáðàæåíèÿ F x( ) âíóòðè çàäàííîé îáëàñòè. Íàïðèìåð,
âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
K D D( )
ãàðàíòèðóåò íàëè÷èå åäèíñòâåííîãî íóëÿ îòîáðàæåíèÿ F x( ) â îáëàñòè D.
Àíàëîãè÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ K D D( ) � � � îçíà÷àåò îòñóòñòâèå êîðíåé
âíóòðè D.
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — ïîëó÷åíèå ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáðàçà îïåðà-
òîðà Êðàâ÷èêà K D( ) äëÿ óðàâíåíèÿ (1) è ïîñëåäóþùåå ïðèìåíåíèå ïîëó÷åííûõ
ôîðìóë îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà äëÿ ëîêàëèçàöèè íóëåé ôóíêöèè f z( ).
2. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÊÐÀÂ×ÈÊÀ
Òåîðåìà 1. Ïóñòü àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f z( ) çàäàíà íà èíòåðâàëå D a b� �[ , ]1 1
� [ , ]a b2 2 ñ öåíòðîì z x ix0 1
0
2
0� �( ) ( ) , à Lp ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì äëÿ p-é ïðî-
èçâîäíîé ôóíêöèè f z( ):
| ( ) |( )f z L z Dp
p
� � (4)
äëÿ íåêîòîðîãî p. Òîãäà îáðàç îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ñëå-
äóþùèì îáðàçîì:
K D
x x
x x
( )
[ , ]
[ , ]
�
� �
� �
�
�
��
�
�
��
1 1
2 2
� �
� �
,
ãäå
� � x z f z f z1 0 0 0Re { }( ) / ( ) , � � x z f z f z2 0 0 0Im { }( ) / ( ) ,
� �
� �
M f z f z l l
f z
(| ( ) | | ( ) | )( )
| ( ) |
Re Im0 0 1 2
0
2
,
M
f z l
k
L l
p
k k
k
p
p
p
�
�
�
�
�
� �
�
| ( ) |
( )!
| |
!
( )1
0
1
2 1
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíÿåòñÿ â íåñêîëüêî ýòàïîâ.
Ýòàï 1. Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå èíòåðâàëüíîãî ïðèðàùå-
íèÿ F x D( , )( )0 . Ñîãëàñíî [3] F x D( , )( )0 ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàëüíûì ðàñøèðåíèåì
ìàòðèöû G x x( , )( )0 , ãäå
F x F x G x x x x( ) ( ) ( , )( )( ) ( ) ( )� � �0 0 0 .
Áëàãîäàðÿ ñïåöèôèêå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû èìååì
G x x
g z z g z z
g z z g z z
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( )0 0 0
0 0
�
�
�
�
�
Re Im
Im Re
�
�
� , (5)
ãäå
g z z
f z f z
z z
( , )
( ) ( )
0
0
0
�
�
�
.
Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî íàéòè èíòåðâàëüíûå ðàñøèðåíèÿ ôóíêöèé Re g z z( , )0
è Im g z z( , )0 . Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå Òåéëîðà, ïîëó÷àåì
Re Re Reg z z g z z M g z z M( , ) [ ( , ) , ( , ) ]0 0 0� � � ,
ãäå
M
g z z l
k
g z z lk k
k
p
z D
p p
� �
�
�
�
� �
�
| ( , ) |
!
max | ( , ) |( )
( )
0 0
1
2
1
0
1
1( )!p �
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 195
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå g z z( , )0 è ïðèìåíÿÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíê-
öèè f z( ), íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
g z z
k
f z
k
k k( ) ( )( , )
!
( )
( )!
0 0
1
0
1
�
�
�
.
Ñ ó÷åòîì ýòîé ôîðìóëû ïîëó÷èì èñêîìûå âûðàæåíèÿ
Re Re Reg z z f z M f z z M( , ) [ ( ) , ( , ) ]0 0 0� � �
è
Im Im Img z z f z M f z z M( , ) [ ( ) , ( , ) ]0 0 0� � � ,
ãäå
M
f z l
k
L l
p
k k
k
p
p
p
�
�
�
�
�
� �
�
| ( ) |
( )! !
( )1
0
1
2 1
1
. (6)
Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ (5):
F x D
I I
I I
( , )( )0 1 2
2 1
�
��
�
��
�
�
�� , (7)
ãäå
I f z M f z M1 0 0� � �[ ( ) , ( ) ]Re Re ,
I f z M f z M2 0 0� � �[ ( ) , ( ) ]Im Im
è M çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (6).
Ýòàï 2. Îáðàòíóþ ìàòðèöó ßêîáè îòîáðàæåíèÿ F x( ) ïðåäñòàâèì êàê
[ ( )]
| ( ) |
( ) ( )
( )
( ) �
�
�F x
f z
f z f z
f z
0 1
0
2
0 0
0
1 Re Im
Im Re
�
�
��
�
�
��f z( )0
. (8)
Ýòàï 3. Îáúåäèíèâ (7) è (8), ñ ó÷åòîì ïðàâèë èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè [5]
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
[ ( )] ( , )( ) ( ) ��F x F x D0 1 0
�
�
�
� �
1 1 10 0
0
2
M f z f z
f z
M f(| ( ) | | ( ) |)
| ( ) |
[ , ]
(|Re Im Re ( ) | | ( ) |)
| ( ) |
[ , ]
(| ( ) | |
z f z
f z
M f z
0 0
0
2
0
1 1
�
� �
�
Im
Re Im f z
f z
M f z f z( ) |)
| ( ) |
[ , ]
(| ( ) | | ( ) |)
|
0
0
2
0 01 1 1
� � �
� Re Im
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f z( ) |
[ , ]
.
0
2
1 1
(9)
Ýòàï 4. Ïîñêîëüêó
D x
l l
l l
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
( ) [ , ]
[ , ]
0 1 1
2 2
,
ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (9) ïîëó÷èì
( [ ( )] ( , ))( )( ) ( ) ( )I F x F x D D x� � ��0 1 0 0
�
� �
�
�
M f z f z l l
f z
(| ( ) | | ( ) | )( )
| ( ) |
[ , ]
[
Re Im0 0 1 2
0
2
1 1
1, ]1
�
�
�
�
�
� . (10)
Îòìåòèì, ÷òî
x F x F x
z f z f z
z
( ) ( ) ( )[ ( )] ( )
( ) / ( )0 0 1 0 0 0 0
0
� �
�
�
� Re { }
Im { f z f z( ) / ( )0 0
�
�
��
�
�
��}
. (11)
196 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
Îáúåäèíèâ ôîðìóëû (9) è (10), ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåìîé òåîðåìû.
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð M ñîîòíîñèòñÿ ñ ïàðàìåòðîì M 0 , îïðåäåëÿåìûì ïî ôîð-
ìóëå
M
f z l
k
L l
p
k k
k
p
p
p
0
0
1
1
� �
�
�
�
| ( ) |
! !
( )
. (12)
Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (ñì. [6])
| ( ) |f z M0 0� (13)
ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ óòâåðæäåíèÿ îòñóòñòâèÿ íóëåé ó ôóíêöèè f z( ) íà
èíòåðâàëå D.
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ (6) è (12) âèäíî, ÷òî ïàðàìåòð M ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷å-
ðåç M 0 ïî ôîðìóëå
M
M
l
f z� � 0
0| ( ) | . (14)
Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ïîèñêîì òîëüêî
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (1). Ïîýòîìó ïåðåôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðå-
çóëüòàò ïðèìåíèòåëüíî ê ïîèñêó äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (1).
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f x( ) çàäàíà íà èíòåðâàëå D a b� [ , ] ñ öåíòðîì x0
è äëèíîé b a l� � 2 . Ïóñòü òàêæå Lp — îãðàíè÷åíèå äëÿ p-é ïðîèçâîäíîé ôóíê-
öèè f x( ):
| ( ) |( )f x L x Dp
p
� �
äëÿ íåêîòîðîãî p. Òîãäà îáðàç îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåí êàê
K D x x( ) [ , ]� � �1 1� � ,
ãäå
� � x x f x f x1 0 0 0( ) / ( ) ,
� �
Ml
f x| ( ) |0
, M
f x l
k
L l
p
k k
k
p
p
p
�
�
�
�
�
� �
�
| ( ) |
( )! !
( )1
0
1
2 1
1
.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.
3. ÀËÃÎÐÈÒÌ ÏÎÈÑÊÀ ÊÎÐÍÅÉ
Äëÿ ëîêàëèçàöèè è âû÷èñëåíèÿ âñåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (1) íà èíòåðâàëå
D a b a b� �[ ; ] [ ; ]1 1 2 2 èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé àëãîðèòì.
Âõîäíûå äàííûå: êîíñòàíòà Lp â îãðàíè÷åíèè (4); � — ìèíèìàëüíûé ðàç-
ìåð àíàëèçèðóåìîãî èíòåðâàëà.
Âûõîäíûå äàííûå: ñïèñîê List1 èíòåðâàëîâ, ñîäåðæàùèõ èçîëèðîâàííûå
êîðíè óðàâíåíèÿ (1); ñïèñîê List2 èíòåðâàëîâ ñ ðàçìåðîì ìåíüøå �, ñîäåðæàùèõ
êîðíè, êîòîðûå íå ïîïàëè â ñïèñîê List1 (äàííûé ñïèñîê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ áëèç-
êèõ è êðàòíûõ êîðíåé).
 íà÷àëå ðàáîòû àëãîðèòìà âûïîëíÿåòñÿ ïðèñâîåíèå D D0 � .
1. Åñëè ðàçìåð èíòåðâàëà D0 ìåíüøå �, òî îí çàíîñèòñÿ â ñïèñîê List2.
2. Âû÷èñëÿåòñÿ ïàðàìåòð M 0 ïî ôîðìóëå (12). Ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå (13).
Åñëè îíî âûïîëíåíî, èíòåðâàë D0 èñêëþ÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ.  ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ïåðåõîä ê ï. 3.
3. Âû÷èñëÿåòñÿ ïàðàìåòð M ïî ôîðìóëå (14). Çàòåì íàõîäèòñÿ îáðàç îïåðàòîðà
Êðàâ÷èêà K D( )0 . Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå K D D( )0 0� � � , èíòåðâàë D0 èñêëþ-
÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ïåðåõîä ê ï. 4.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 197
4. Ïðîâåðÿåòñÿ óñëîâèå K D D( )0 0
. Åñëè îíî âûïîëíåíî, èíòåðâàë D0 çàíî-
ñèòñÿ â ñïèñîê List1. Çíà÷åíèå êîðíÿ óòî÷íÿåòñÿ îäíèì èç èòåðàòèâíûõ ìåòîäîâ, íà-
ïðèìåð ìåòîäîì Íüþòîíà. Íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ z z f z f z1 0 0 0' � � ( ) / ( ),
êîòîðîå âû÷èñëÿëîñü ïðè ïîäñ÷åòå îáðàçà îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà.
5. Èíòåðâàë D0 çàìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: D K D0 0� ( ) .
6. Èíòåðâàë D0 ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè: D0 1, è D0 2, âäîëü ñòîðîíû èíòåð-
âàëà ñ íàèáîëüøåé äëèíîé. Ïóñòü èíäåêñ k0 ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëüøåé ñòîðîíå
èíòåðâàëà D0 , ò.å. k b a
k
k k0
1 2
� �
�
argmax { }
,
. Òîãäà
D a b ak0 1 1 1 0, [ ; ] [ ;� � �� 0.5( )] [ ; ]a b a bk k0 0 2 2� � �� ,
D a b0 2 1 1, [ ; ] [� � �� 0.5( ); ] [ ; ]a b b a bk k k0 0 0 2 2� � �� .
7. Äëÿ êàæäîãî èíòåðâàëà (D0 1, è D0 2, ) âûïîëíÿåòñÿ âîçâðàò ê ï. 1 ñ ïîñëå-
äóþùèìè äåéñòâèÿìè.
3.1. Ïîèñê êîðíåé ïîëèíîìèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïðèìåð èç
ðàáîòû [4]. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ êîìïëåêñíûõ êîðíåé ïîëèíîìèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà p � 20:
f z a z a z a z a z ap p p
p p( ) � � � � � �� �
�1 2
1
3
2
1�
íà èíòåðâàëå [ ; ] [ ; ]� � �1 1 1 1 ïðè çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a a p1 1, ..., � �
� {1, � 1.1393, 0.5349, � 0.0410, � 0.2504, 0.1918, 0.2011, � 0.1661, 0.2718, � 0.2167,
� 0.0258, � 0.1373, 0.0553, 0.1214, 0.0603, 0.0735, � 0.2053, 0.1263, � 0.0060,
� 0.0707, 0.0761}. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå îãðàíè÷åíèå (4) ïðèíèìàåò âèä
L a pp � 1 ! .
Äëÿ ëîêàëèçàöèè êîðíåé äàííîãî
óðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëñÿ îïèñàííûé
âûøå àëãîðèòì. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðåä-
ëîæåííîãî àëãîðèòìà ïîòðåáîâàëîñü
1159 ðàçáèåíèé èñõîäíîãî èíòåðâàëà (ïî
ñðàâíåíèþ ñ 1203 ðàçáèåíèÿìè ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè òåñòà, îñíîâàííîãî íà òåîðå-
ìå Êàíòîðîâè÷à [4]). Òàêîé ðåçóëüòàò ñî-
ãëàñóåòñÿ ñ âûâîäàìè ðàáîòû [3], ãäå ïîêà-
çàíî, ÷òî òåñò Êðàâ÷èêà îáëàäàåò áîëåå
âûñîêîé òî÷íîñòüþ ëîêàëèçàöèè êîðíåé
ïî ñðàâíåíèþ ñ òåñòîì Êàíòîðîâè÷à. Ðàç-
áèåíèå èñõîäíîãî èíòåðâàëà, ïîëó÷åííîãî
ïðåäëîæåííûì àëãîðèòìîì ëîêàëèçàöèè
êîðíåé, îòðàæåíî íà ðèñ. 1. Ïóñòûå ïðÿ-
ìîóãîëüíèêè ñîîòâåòñòâóþò îáëàñòÿì,
â êîòîðûõ êîðíè îòñóòñòâóþò, à íàéäåí-
íûå êîðíè îòìå÷åíû òî÷êàìè â ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïîèñê ñóãóáî äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíåé, îñíîâàííûé íà òåîðåìå 2, äèàãíîñòèðîâàë èõ îòñóòñòâèå íà èíòåðâàëå [ ; ]�1 1
ñ èñïîëüçîâàíèåì 10 ðàçáèåíèé.
3.2. Ïîèñê êîðíåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Ðàññìîòðèì ïîèñê êîðíåé äçå-
òà-ôóíêöèè Ðèìàíà
�( )z
k z
k
�
�
�
�
1
1
. (15)
Ôóíêöèÿ �( )z ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïðè Re ( )z �1. Èçâåñòíî, ÷òî îíà ìîæåò
áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü, çà èñêëþ÷å-
íèåì òî÷êè z �1, â êîòîðîé ýòà ôóíêöèÿ èìååò ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
198 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
Ðèñ. 1. Ðàçáèåíèå èñõîäíîãî èíòåðâàëà ïðåä-
ëîæåííûì ìåòîäîì äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðíåé
ïîëèíîìà 20-ãî ïîðÿäêà
x1
x2
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ïîèñê íóëåé ôóíêöèè �( )z íà èíòåðâàëå [0.4; 0.6] �
[1000; 1100]. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà âûáðàíî îãðàíè÷åíèå âòî-
ðîãî ïîðÿäêà, p � 2. Ââèäó ñëîæíîñòè àíàëèòè÷åñêîé îöåíêè ïðåäñòàâèì ïàðà-
ìåòð L2 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
L c id c id c id c id2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � � ��{| ( ) | , | ( ) | , | ( ) | , | (� � � � ) |},
ãäå � �1 — ýìïèðè÷åñêè ïîäîáðàííàÿ êîíñòàíòà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ êàæäîãî
òåêóùåãî äâóìåðíîãî èíòåðâàëà D0 â êà÷åñòâå îãðàíè÷åíèÿ áåðåòñÿ ìàêñè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî âåðøèíàì èíòåðâàëà, óâåëè-
÷åííîå â � ðàç. Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå � � 5 ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, ò.å. äàëü-
íåéøåå óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà L2 íå ïðèâîäèò ê íàõîæäåíèþ äîïîëíèòåëüíûõ
êîðíåé. Ïîäîáíûé ñïîñîá óæå èñïîëüçîâàëñÿ íàìè â ðàáîòå [6].
Ïðèìåíåíèå ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ïîèñêà êîðíåé ïîçâîëèëî îïðåäåëèòü
81 íóëü ôóíêöèè �( )z (ñì. (15)) íà èíòåðâàëå [0.4; 0.6] � [1000; 1100]. Äëÿ ýòîãî
ïîòðåáîâàëîñü âûïîëíèòü 4217 ðàçáèåíèé èñõîäíîãî èíòåðâàëà, ÷òî ìåíüøå ÷èñëà
àíàëîãè÷íîãî ðàçáèåíèé (4303), íåîáõîäèìîãî äëÿ ëîêàëèçàöèè íóëåé íà îñíîâå
òåîðåìû Êàíòîðîâè÷à [4]. Ìíèìûå ÷àñòè íàéäåííûõ êîðíåé ïðèâåäåíû â òàáë. 1.
Íàéäåííûå íóëè íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíûìè ñïèñêàìè íóëåé äçåòà-
ôóíêöèè Ðèìàíà (ñì., íàïðèìåð, http://www.lmfdb.org/zeros/zeta/ èëè
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3 199
Ò à á ë è ö à 1
Íîìåðà
êîðíåé
Ìíèìûå ÷àñòè êîðíåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà èíòåðâàëå [0.4; 0.6] � [1000; 1100]
1–9 1001.349 1002.404 1003.268 1004.675 1005.543 1008.007 1008.796 1009.807 1010.570
10–18 1012.410 1013.059 1014.690 1016.060 1017.266 1018.606 1019.912 1020.917 1021.544
19–27 1022.885 1025.266 1025.708 1027.468 1028.129 1029.227 1030.897 1031.833 1032.813
28–36 1034.613 1036.196 1037.025 1038.088 1039.077 1040.264 1041.622 1043.624 1044.515
37–45 1045.107 1047.090 1047.987 1048.954 1049.996 1051.577 1053.246 1054.781 1055.002
46–54 1056.689 1057.100 1059.134 1060.140 1061.501 1062.915 1064.072 1065.122 1066.463
55–63 1067.419 1067.990 1070.535 1071.619 1072.544 1073.570 1074.748 1076.267 1076.924
64–72 1078.647 1079.810 1081.171 1082.953 1083.295 1084.183 1085.648 1086.912 1088.756
73–81 1089.795 1090.863 1091.728 1093.441 1094.284 1095.433 1096.402 1098.841 1099.361
Ðèñ. 2. Ãðàôèê ôóíêöèè g t it( ) | ( . ) |� �� 0 5 ñ íàíåñåííûìè íóëÿìè
Èíòåðâàë
g t( )
Íà ðèñ. 2 ïîêàçàí ãðàôèê ôóíêöèè g t it( ) | ( . ) |� �� 0 5 íà èíòåðâàëå [1000; 1100]
ñ íàíåñåííûìè íóëÿìè, íàéäåííûìè ïðåäëîæåííûì àëãîðèòìîì.
Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì èññëåäîâàíèè íå àíàëèçèðîâàëîñü âëèÿíèå ïîãðåø-
íîñòåé îêðóãëåíèÿ íà êà÷åñòâî ëîêàëèçàöèè êîðíåé. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì äëÿ
äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà ê ëîêàëèçàöèè
êîðíåé àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè — ïîëó÷åíèå ýôôåê-
òèâíîãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ëîêàëèçàöèè êîðíåé, îñíîâàííîãî íà îïåðàòîðå
Êðàâ÷èêà. Ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ïðîäåìîíñòðèðîâà-
íî íà ïðèìåðàõ ïîèñêà êîìïëåêñíûõ íóëåé ïîëèíîìèàëüíîé ôóíêöèè è äçåòà-
ôóíêöèè Ðèìàíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Moore R.E. A test for existence of solutions to nonlinear systems. SIAM J. Numer. Anal. 1977. Vol. 14.
P. 611–615.
2. Ñåìåíîâ Â.Þ. Ìåòîä íàõîæäåíèÿ âñåõ êîðíåé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé,
îñíîâàííûé íà îïåðàòîðå Êðàâ÷èêà. Êèáåðíåòèêà è cèñòåìíûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 5. C. 169–175.
3. Neumaier A., Zuhe S. The Krawczyk operator and Kantorovich theorem. J. Math. Anal. Applications. 1990.
Vol. 149, N 2. P. 437–443.
4. Semenov V. Method for the calculation of all zeros of an analytic function based on the Kantorovich
theorem. Comput. Methods Appl. Math. 2014. N 3. P. 385–392.
5. Kearfott R.B. Rigorous global search: Continuous problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.
264 ð.
6. Semenov V. Method for the calculation of all non-multiple zeros of an analytic function. Comput. Methods
Appl. Math. 2011. N 1. P. 67–74.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 04.04.2018
Â.Þ. Ñåìåíîâ, ª.Â. Ñåìåíîâà
ÌÅÒÎÄ ËÎÊÀ˲ÇÀÖ²¯ ÍÓ˲ ÀÍÀ˲ÒÈ×ÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É ÍÀ ÎÑÍβ
ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÊÐÀÂ×ÈÊÀ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ëîêàë³çàö³¿ íóë³â àíàë³òè÷íèõ ôóíêö³é. Äëÿ ¿¿
ðîçâ’ÿçàííÿ çàñòîñîâàíî îïåðàòîð Êðàâ÷èêà. Îòðèìàíî ôîðìóëè äëÿ îá÷èñ-
ëåííÿ îáðàçó îïåðàòîðà Êðàâ÷èêà äëÿ àíàë³òè÷íèõ ôóíêö³é. Çàïðîïîíîâàíî
íîâèé àëãîðèòì ëîêàë³çàö³¿ íóë³â. Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó ïðîäåìîíñòðîâàíî
íà ÷èñåëüíèõ ïðèêëàäàõ âêëþ÷íî ç ïîøóêîì íóë³â äçåòà-ôóíêö³¿ гìàíà.
Êëþ÷îâi ñëîâà: íåëiíiéíå ðiâíÿííÿ, àíàëiòè÷íà ôóíêöiÿ, ëîêàëiçàöiÿ êî-
ðåíiâ, îïåðàòîð Êðàâ÷èêà, ðîçâèíåííÿ ó ðÿä Òåéëîðà.
V.Yu. Semenov, E.V. Semenova
METHOD FOR LOCALIZATION OF ZEROS OF ANALYTIC FUNCTIONS
BASED ON KRAWCZYK OPERATOR
Abstract. Localization of zeros of analytic functions is considered. For this
purpose, Krawczyk operator is used. The formulas for calculation of Krawczyk
operator are derived. As a result, algorithm for localization of zeros is proposed.
Application of the method is shown by numerical examples including search of
zeros for Riemann zeta function.
Keywords: nonlinear equation, analytic function, root localization, Krawczyk
operator, Taylor’s expansion.
Ñåìåíîâ Âàñèëèé Þðüåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, íà÷àëüíèê îòäåëà Íàó÷íî-ïðîèçâîäñòâåííîãî ïðåäïðèÿòèÿ «ÄÅËÜÒÀ ÑÏÅ»,
Êèåâ, e-mail: vasyl.delta@gmail.com.
Ñåìåíîâà Åâãåíèÿ Âèêòîðîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ,
e-mail: semenovaevgen@gmail.com.
200 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-180882 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:41:58Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенов, В.Ю. Семенова, Е.В. 2021-10-23T17:33:44Z 2021-10-23T17:33:44Z 2019 Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчик / В.Ю. Семенов, Е.В. Семенова // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 3. — С. 194-200. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180882 519.615 Рассмотрена задача локализации нулей аналитических функций с помощью оператора Кравчика. Получены формулы для вычисления образа оператора Кравчика для аналитических функций. На основании этого предложен новый алгоритм локализации нулей. Применение метода продемонстрировано на численных примерах, включая поиск нулей дзета-функции Римана. Розглянуто задачу локалізації нулів аналітичних функцій. Для її розв'язання застосовано оператор Кравчика. Отримано формули для обчислення образу оператора Кравчика. Запропоновано алгоритм локалізації нулів аналітичних функцій. Застосування методу продемонстровано на чисельних прикладах, включаючи пошук нулів дзета-функції Рімана. Localization of zeros of analytic functions is considered. For this purpose, Krawczyk operator is used. The formulas for calculation of Krawczyk operator are derived. As a result, algorithm for localization of zeros is proposed. Application of the method is shown by numerical examples including search of zeros for Riemann zeta function. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика Метод локалізації нулів аналітичних функцій на основі оператора Кравчика Method for localization of zeros of analytic functions based on Krawczyk operator Article published earlier |
| spellingShingle | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика Семенов, В.Ю. Семенова, Е.В. Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу |
| title | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика |
| title_alt | Метод локалізації нулів аналітичних функцій на основі оператора Кравчика Method for localization of zeros of analytic functions based on Krawczyk operator |
| title_full | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика |
| title_fullStr | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика |
| title_full_unstemmed | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика |
| title_short | Метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора Кравчика |
| title_sort | метод локализации нулей аналитических функций на основе оператора кравчика |
| topic | Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу |
| topic_facet | Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/180882 |
| work_keys_str_mv | AT semenovvû metodlokalizaciinuleianalitičeskihfunkciinaosnoveoperatorakravčika AT semenovaev metodlokalizaciinuleianalitičeskihfunkciinaosnoveoperatorakravčika AT semenovvû metodlokalízacíínulívanalítičnihfunkcíinaosnovíoperatorakravčika AT semenovaev metodlokalízacíínulívanalítičnihfunkcíinaosnovíoperatorakravčika AT semenovvû methodforlocalizationofzerosofanalyticfunctionsbasedonkrawczykoperator AT semenovaev methodforlocalizationofzerosofanalyticfunctionsbasedonkrawczykoperator |