Інтерполювання звичайних диференціальних операторів
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximated and approximating operators are equal on a given system of functions (functional knots).
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1809 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтерполювання звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 19–23. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1809 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.М. 2008-09-02T17:39:37Z 2008-09-02T17:39:37Z 2007 Інтерполювання звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 19–23. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1809 519.6 Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximated and approximating operators are equal on a given system of functions (functional knots). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтерполювання звичайних диференціальних операторів Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| spellingShingle |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів Литвин, О.М. Математика |
| title_short |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| title_full |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| title_fullStr |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| title_full_unstemmed |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| title_sort |
інтерполювання звичайних диференціальних операторів |
| author |
Литвин, О.М. |
| author_facet |
Литвин, О.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators are given. Approximated and approximating operators are equal on a given system of functions (functional knots).
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1809 |
| citation_txt |
Інтерполювання звичайних диференціальних операторів / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 19–23. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom ínterpolûvannâzvičainihdiferencíalʹnihoperatorív |
| first_indexed |
2025-11-26T21:42:42Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:42:42Z |
| _version_ |
1850777829187256320 |
| fulltext |
Лемма 3. Жесткий стабилизатор группы G любого уровня является подгруппой ко-
нечного индекса
|G/Rist
G
(n)| < ∞.
Из последнего утверждения следует, что мощность множества F (n) можно оценить сни-
зу: |F (n)| > R4n
, где R > 2 — некоторая константа. По определению, количество элементов
длины 6 r(n) не меньше, чем |F (n)|. Отсюда имеем неравенство γG(r(n)) > R4n
. Принимая
во внимание неравенство (1), легко получить утверждение теоремы.
Заметим, что данный метод оценки снизу роста самоподобных групп может быть при-
менен ко многим известным самоподобным группам. Для большинства таких групп верны
аналоги лемм 1 и 3. Однако наибольшая сложность состоит в комбинаторном утверждении
леммы 2.
1. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publ. Math. IHES. – 1981. – 53. –
P. 53–73.
2. Григорчук Р.И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних // Изв.
АН СССР. Сер. матем. – 1984. – № 5. – С. 939–985.
3. Григорчук Р.И. О ряде Гильберта–Пуанкаре градуированных алгебр, ассоциированных с группами //
Мат. сб. – 1989. – 180, № 2. – С. 207–225.
4. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложе-
ния. – 1980. – 14, вып. 1. – С. 53–54.
5. Леонов Ю.Г. Об оценке снизу роста 3-порожденной 2-группы // Мат. сб. – 2001. – 192, вып. 11. –
С. 77–92.
6. Гупта Н., Сидки С. Some infinite p-groups // Алгебра и логика. – 1983. – 22, № 5. – С. 584–589.
7. Леонов Ю.Г. Нижняя оценка функции роста p-групп Гупты–Сидки // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 1. – С. 71–78.
Поступило в редакцию 25.10.2006Одесская национальная академия связи
им. А.С. Попова
УДК 519.6
© 2007
О.М. Литвин
Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Basic statements of the theory of the approximation of ordinary differential operators by other
ordinary differential operators are given. Approximated and approximating operators are equal
on a given system of functions (functional knots).
1. Постановка проблеми. Теорiя наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних вклю-
чає в себе, як важливий частинний випадок, теорiю iнтерполювання. Оператори Lnu(x)
iнтерполювання функцiй u(x) вiдновлюють (взагалi кажучи, наближено) u(x) мiж задани-
ми точками x0, x1, . . . , xn, використовуючи значення функцiї u(x) або (у бiльш загальному
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 19
випадку) деякої системи операторiв (найчастiше використовуються диференцiальнi та iн-
тегро-диференцiальнi оператори) вiд u(x) у вказаних точках Bk,su(xk) = γk,s, 0 6 k 6 n;
0 6 s 6 ρk − 1;
n∑
k=0
ρk = M . При цьому вимагається, щоб наближуючий (iнтерполяцiйний)
оператор Lnu(x) мав тi ж самi властивостi у вказаних точках, що i наближувана функ-
цiя Bk,sLnu(xk) = γk,s, 0 6 k 6 n; 0 6 s 6 ρk − 1. Для функцiй двох i бiльше змiнних
поняття iнтерполювання знайшло своє узагальнення у виглядi операторiв iнтерлiнацiї та
iнтерфлетацiї, у яких iнформацiя про наближувану функцiю задається на системi лiнiй або
поверхонь (якщо змiнних бiльше двох) [1, 2].
У данiй роботi розв’язується така задача. Деякий звичайний диференцiальний оператор
A : U → Γ (взагалi кажучи, невiдомий) задається iнтерполяцiйними даними Auβ(x) = γβ(x),
0 6 β 6 n, де функцiональнi вузли uβ(x) ∈ U , 0 6 β 6 n i функцiї γβ(x) ∈ Γ, 0 6 β 6 n,
вважаються заданими елементами деяких функцiональних просторiв U , Γ вiдповiдно. Треба
побудувати за допомогою цiєї iнформацiї iнший диференцiальний оператор (лiнiйний або
нелiнiйний), який мав би тi ж iнтерполяцiйнi властивостi.
Ми будемо пов’язувати з термiном “теорiя iнтерполювання операторiв” теорiю набли-
ження операторiв шляхом розв’язання такої основної задачi. Для заданого оператора Au(x)
побудувати наближуючий оператор Anu(x) з властивостями Anuβ(x) = γβ(x) := Auβ(x),
0 6 β 6 n. Деякi важливi результати з побудови полiномiальних наближуючих операторiв
у виглядi операторних полiномiв Pn степеня n, визначених на множинi функцiй u ∈ X
iз значеннями у просторi Y (X та Y — деякi лiнiйнi простори, наприклад, гiльбертовi),
наведенi в працях [3–8].
Пiд Pn розумiється оператор
Pnu =
n∑
k=0
Lku
k,
де L0u
0 = L0 ∈ Y , Lku
k = Lk(u, u, . . . , u
︸ ︷︷ ︸
k
), k = 1, n — k-й операторний степiнь, отриманий
з полiлiнiйного симетричного оператора Lk(v1, v2, . . . , vk) : Xk → Y , при v1 = · · · = vk = u,
vi ∈ X, i = 1, n. Для деякого оператора A треба знайти такий операторний полiном Pn,
який задовольняє iнтерполяцiйнi умови Pn(uβ(x)) = F (uβ(x)), 1 6 β 6 m, де {uβ(x)}m
β=1 —
задана система вузлiв uβ(x) ∈ X. У цитованих роботах [3–8] найбiльше уваги придiлено
випадку, коли
Pnu = k0 +
∫
Ω1
k1(z1)u(z1) dz1 +
∫
Ω1
∫
Ω1
k2(z1, z2)u(z1)u(z2) dz1dz2 + · · ·
+
∫
Ω1
(n)
∫
Ω1
kn(z1, . . . , zn)u(z1) · · · u(zn) dz1 · · · dzn,
де k0 ∈ R, kp(z1, . . . , zp), p = 1, n — неперервнi та симетричнi функцiї своїх змiнних. Вiд-
мiтимо також роботу [5], у якiй класичнi полiноми Лагранжа i Ермiта узагальнюються на
випадок операторного iнтерполювання. Але у цитованих роботах наближуючий оператор
є операторним полiномом, а не диференцiальним оператором, навiть якщо наближуваний
оператор A є диференцiальним оператором.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
У жоднiй з вiдомих авторовi робiт не розглядався важливий з практичної точки зору
випадок, коли наближуваний i наближуючий оператори є диференцiальними операторами
(звичайними або з частинними похiдними). У той же час уся теорiя наближення функцiй
свiдчить про те, що врахування класу наближуваних функцiй дозволяє отримати бiльш
точне наближення до них. Зокрема, теорiя наближення, в якiй на множинi наближуваних
елементiв знайдеться такий, що точно може бути наближений, повинна розглядатись як
бiльш якiсна теорiя наближення порiвняно з теорiєю, що не має цiєї властивостi. Сказане
повнiстю стосується наближення диференцiальних операторiв. Наприклад, у теорiї роздi-
лених рiзниць не iснує такої роздiленої рiзницi, яка б точно представляла похiдну хоча б
одного порядку. У той же час iснують практичнi задачi, в яких наближуваний нелiнiйний
диференцiальний оператор доцiльно замiнити iншим диференцiальним оператором бiльш
простої конструкцiї (наприклад, лiнiйним чи полiномiальним).
Зазначимо, що у виразi A(x,D)u(x) для наближення оператора A(x,D) можна викорис-
товувати або не використовувати функцiю u(x). Перший випадок полягає у наближеному
вiдновленнi оператора A(x,D) з умов (1). Другий випадок пов’язаний з наближенням фор-
мули A(x,D) якою-небудь iншою формулою, яку можна розглядати як функцiю змiнної x,
що залежить вiд параметра D. Метою даної роботи є побудова основ теорiї iнтерполювання
звичайних диференцiальних операторiв A(x,D) на основi умов (1), вiдмiнної вiд теорiї на-
ближення операторiв, дослiдженої в [3–8]. Запропонована теорiя iстотно використовує те,
що наближуваний i наближуючий оператори є звичайними диференцiальними операторами.
2. Основи теорiї iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв з ви-
користанням функцiональних вузлiв. Iнтерполювання лiнiйними диференцiальними
операторами. Припустимо, що n ∈ N , D = d/dx, A(x,D) — деякий звичайний диференцi-
альний оператор, iнформацiя про нього задана таким чином:
A(x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 n;
n∑
β=0
|γβ(x)| 6= 0, x ∈ [x1, x2] ⊆ R.
(1)
Задача полягає в побудовi звичайного лiнiйного диференцiального оператора n-го порядку
Ln(x,D)u(x) =
∑
06α6n
aα(x)Dαu(x), D0u(x) = u(x), (2)
невiдомi коефiцiєнти aα(x), 0 6 α 6 n, якого знаходяться з умов
Ln(x,D)uβ(x) = γβ(x), 0 6 β 6 n. (3)
Нижче сформулюємо умови, якi повинна задовольняти система функцiй uβ(x), 0 6 β 6
6 n, для того щоб задача (3)–(2) мала єдиний розв’язок, i дамо два явних аналiтичних вира-
зи для такого оператора Ln(x,D)u(x). Наведемо аналiтичний вираз для нелiнiйних iнтерпо-
ляцiйних операторiв Ln(x,D)u(x) =
∑
α=0
aα(x)(Du(x))α, а також iнтегральне зображення за-
лишку наближення операторiв A(x,D), що задовольняють умову A(x,D)u(x) = A(x,Du(x))
за допомогою нелiнiйних диференцiальних операторiв першого порядку Ln(x,D)u(x).
Теорема 1. Для того щоб на iнтервалi x ∈ [x1, x2] задача (3)–(2) мала єдиний розв’язок
a0(x), . . . , an(x), необхiдно i достатньо, щоб система функцiй uβ(x), 0 6 β 6 n, задоволь-
няла умову
∆ = detW (x) 6= 0, x1 6 x 6 x2; W (x) = [Dαuβ(x)]nα,β=0. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 21
При цьому шуканий оператор Ln(x,D)u(x) можна зобразити у виглядi
Ln(x,D)u(x) = Γ(x)W (x)−1[ID · · ·Dn]T u(x), (5)
де I — тотожний оператор, Γ(x) = [γ0(x) · · · γn(x)].
Нижче дамо iншу формулу для операторiв Ln(x,D)u(x), еквiвалентну формулi (5).
Теорема 2. Оператор Ln(x,D)u(x) можна зобразити також у виглядi
Ln(x,D)u(x) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u0(x) . . . Dnu0(x) γ0(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un(x) . . . Dnun(x) γn(x)
u(x) . . . Dnu(x) 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∆
. (6)
Iнтерполювання диференцiальних операторiв спецiального виду. Теореми 1 i 2 повнiстю
розв’язують задачу побудови шуканого звичайного лiнiйного диференцiального оператора
з властивостями (3). Але задача операторного iнтерполювання має неєдиний розв’язок.
У теоремi 3 для диференцiальних операторiв A(x,D), якi задовольняють умову
A(x,D)u = A(x,Du), (7)
дано аналiтичний вираз оператора Lnu(x) =
n∑
α=0
wα(x)(Du(x))α, що задовольняє умови (3).
Цi оператори Lnu(x) = Ln(x,Du(x)) є нелiнiйними диференцiальними операторами першого
порядку.
Теорема 3. Оператор Ln(x,Du(x)), який визначається формулою
Ln(x,Du(x)) =
n∑
β=0
γβ(x)
n∏
µ=0, µ6=β
Duµ(x) − Du(x)
Duµ(x) − Duβ(x),
(8)
задовольняє iнтерполяцiйнi умови (3), якщо система функцiй uβ(x), 0 6 β 6 n, задоволь-
няє такi умови:
Duµ(x) − Duβ(x) 6= 0 ∀x ∈ [x1, x2], µ 6= β, 0 6 µ, β 6 n. (9)
У теоремi 4 наведено iнтегральне зображення для залишку
RnAu(x) = (A(x,D) − Ln(x,D))u(x). (10)
Теорема 4. Хай 1 6 r 6 n + 1 i функцiя A(x, t) змiнної t ∈ R належить до класу
A(x, t) ∈ Cr(R) i для оператора A(x,D) виконується умова (7). Тодi для залишку набли-
ження RnAu(x) виконується iнтегральне зображення
RnAu(x) =
n∑
β=0
n∏
µ=0, µ6=β
Duµ(x) − Du(x)
Duµ(x) − Duβ(x)
Du(x)∫
Duβ(x)
drA(x, t)
dtr
(Duβ(x) − t)r−1
(r − 1)!
dt. (11)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Теорема 5. Якщо диференцiальний оператор A(x,Du) як функцiя двох змiнних, має
неперервну похiдну порядку n+1 по другiй змiннiй, то для залишку Rn,n+1Au(x) одержуємо
Rn,n+1Au(x) =
n∑
β=0
n∏
µ=0, µ6=β
Duµ(x) − Du(x)
Duµ(x) − Duβ(x)
Du(x)∫
Duβ(x)
dn+1A(x, t)
dtn+1
(Duβ(x) − t)n
n!
dt (12)
або
Rn,n+1Au(x) =
n∏
µ=0
(Duµ(x) − Du(x))
∂n+1A(x, t)
∂tn+1
∣
∣
∣
∣
t=θ(Du)
1
(n + 1)!
,
θ(Du(x)) = θ(Du0(x), . . . ,Dun(x),Du(x)).
(13)
П р и к л ад . Хай A(x, D) = D2 = d2/dx2; n = 1; A1(x, u(x)) = a0u(x) + a1(x)Du(x). У випадку
u0(x) = 1; u1(x) = x2/2, γ0(x) = 0; γ1(x) = 1 система (3) має розв’язок a0(x) = 0; a1(x) = x−1. Тому
A1u(x) = x−1Du(x). У цьому випадку оператор L1u(x) = L1(x, D)u(x) теж має вигляд L1u(x) =
= x−1Du(x). У випадку u0(x) = x; u1(x) = x2/2, γ0(x) = 0; γ1(x) = 1 система (3) має розв’язок
a0(x) = −2x−2; a1(x) = 2x−1 i A1u(x) = −2x−2u(x) + 2x−1Du(x). У цьому випадку оператор L1u(x)
має вигляд L1u(x) = (1 − Du(x))/(1 − x).
Таким чином, у роботi викладено основи теорiї наближення звичайних диференцiальних
операторiв за допомогою звичайних лiнiйних або нелiнiйних диференцiальних операторiв
полiномiального типу. При цьому використанi результати дiї наближуваного оператора на
деяку систему функцiй — функцiональних вузлiв. Наведенi явнi аналiтичнi вирази для
запропонованих операторiв, дослiджено залишки наближення з їх допомогою деяких нелi-
нiйних операторiв. Розглянуто приклад.
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її узагальнення. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
3. Даугавет И.К. О полиномиальном приближении операторов // Вестн. Санкт-Петербург. ун-та.
Сер. 1. – 1994. – Вып. 3. – С. 23–26.
4. Porter W.A. Synthesis of polynomic system // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
5. Prenter P.M. Lagrange and Hermite interpolation in Banach spaces // Appr. Theory. – 1971. – 4, No 4. –
P. 419–432.
6. Howlett P.G., Torokhti A. P. Weak interpolation and approximation of nonlinear operators on the space
C([0, 1]) // Numer. Func. Anal. and Optimiz. – 1998. – 19(9, 10). – P. 1025–1043.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Изд. Ин-та математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2002. – 406 с.
Надiйшло до редакцiї 16.11.2006Українська iнженерно-педагогiчна
академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 23
|