Аксиомы неоднородной геометрии
Работа основана на гипотезе Лобачевского, что пространство на различных участках удовлетворяет различным геометриям: евклидовой, неевклидовой, проективной. На базе теории арифметических графов построены три системы алгебраических уравнений, вложенных в дискретное метрическое пространство, в котором...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аксиомы неоднородной геометрии / Ю.Г. Григорьян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 24-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859676120331321344 |
|---|---|
| author | Григорьян, Ю.Г. |
| author_facet | Григорьян, Ю.Г. |
| citation_txt | Аксиомы неоднородной геометрии / Ю.Г. Григорьян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 24-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Работа основана на гипотезе Лобачевского, что пространство на различных участках удовлетворяет различным геометриям: евклидовой, неевклидовой, проективной. На базе теории арифметических графов построены три системы алгебраических уравнений, вложенных в дискретное метрическое пространство, в котором точка целое число, позволяющее определить прямую, плоскость и другие элементы, исключением является 0.
Робота ґрунтується на гіпотезі Лобачевського, що простір на різних ділянках задовольняє різній геометрії: евклідовій, неевклідовій, проективній. На базі теорії арифметичних графів побудовано три системи алгебраїчних рівнянь, укладених у дискретний метричний простір, в якому точка це ціле число, що дозволяє визначити пряму, площину та інші елементи, винятком є 0.
The study is based on Lobachevski’s hypothesis that the space at different areas satisfies various geometries: Euclidean, non-Euclidean, projective. On the basis of the arithmetic graph theory, three systems of algebraic equations were constructed. The systems are embedded in a discrete metric space in which point is an integer that allows defining a straight line, a plane, and other elements, except for 0.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:14:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 514.01
Þ.Ã. ÃÐÈÃÎÐÜßÍ
ÀÊÑÈÎÌÛ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàáîòà îñíîâàíà íà ãèïîòåçå Ëîáà÷åâñêîãî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî
íà ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêàõ óäîâëåòâîðÿåò ðàçëè÷íûì ãåîìåòðèÿì: åâêëèäîâîé,
íååâêëèäîâîé, ïðîåêòèâíîé. Íà áàçå òåîðèè àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ ïîñòðî-
åíû òðè ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, âëîæåííûõ â äèñêðåòíîå ìåò-
ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì òî÷êà — öåëîå ÷èñëî, ïîçâîëÿþùåå îïðå-
äåëèòü ïðÿìóþ, ïëîñêîñòü è äðóãèå ýëåìåíòû, èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ 0.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåêëàññè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, ìîäåëü, ãåîìåòðèÿ, ïðîñòàíñòâî.
Îñíîâû òåîðèè àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ, ïîñòðîåííîé íà áàçå âïîëíå îïðåäå-
ëåííîãî öåëî÷èñëåííîãî êîäèðîâàíèÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ [1–6], îá-
óñëîâèëè ðÿä ïðîáëåì ãåîìåòðè÷åñêîãî è àðèôìåòè÷åñêîãî õàðàêòåðà [5, 6].
Îäíà èç íèõ — ïðîáëåìà àêñèîìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ãåîìåòðèè àðèôìåòè÷åñ-
êèõ ãðàôîâ â ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå [5]. Ïðèìå-
ðû àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ (ìíîãîãðàííèêîâ), äîïóñêàþùèõ ãåîìåòðè÷åñêóþ
ðåàëèçàöèþ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå â âèäå êîíêðåòíûõ åâêëèäîâûõ îáúåêòîâ,
ïðèâåäåíû â [5]. Îäíàêî â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå ïîñòðîåí ïðèìåð àðèôìåòè-
÷åñêîãî ãðàôà, íå ïðåäóñìàòðèâàþùèé âîçìîæíîñòè òàêîé ðåàëèçàöèè.
Óêàçàííûå ïðèìåðû îáóñëîâèëè èäåþ ñóùåñòâîâàíèÿ íåêîé äðóãîé ãåîìåò-
ðèè, àêñèîìû êîòîðîé îñíîâàíû íà àðèôìåòè÷åñêîì êîäèðîâàíèè ãðàôîâ è ñâîé-
ñòâàõ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîñòðîåííîãî â [5].
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïîëó÷åíèþ è îáîñíîâàíèþ íåîäíîðîäíîé ñèñ-
òåìû àêñèîì, îïèñûâàþùåé íîâóþ íååâêëèäîâó ïëîñêîñòü â ìåòðè÷åñêîì ïðî-
ñòðàíñòâå àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ.
Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ èç åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè äëÿ
ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è: ïî çàäàííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿì
A A B A C� �( )1 1 1 1 , B B A B C� �( )1 1 1 1 , C C A C B� �( )1 1 1 1 (1)
òðåóãîëüíèêà A B C1 1 1 íàéòè äëèíû åãî ñòîðîí | |A B1 1 , | |A C1 1 , | |B C1 1 .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñêàëÿðíûõ êâàäðàòîâ ñòîðîí � A B Ñ1 1 1 èìåþò ìåñòî
òîæäåñòâà
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A B A B A C B A B C
A C A C A B
1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2
1 1 1 1
� � � �
� � � �
� � � �
�
�
( )
( ) ( ) ( )
C A C B
B C B C B A C A C B
1 1 1 1
1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1
èëè â ñèëó (1) èìååì
|
| |
|
| |
A B A B
A C A C
B C B C
1 1
2
1 1
2
1 1
2
� �
� �
� �
�
�
, (2)
ãäå A B, , C — íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
Èç ñèñòåìû (2) ïîëó÷àåì òðåáóåìîå
| |A B A B1 1 � � , | |A C A C1 1 � � , | |B C B C1 1 � � .
24 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
© Þ.Ã. Ãðèãîðüÿí, 2019
Ñèñòåìà (2) ïîçâîëÿåò ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó: ïî çàäàííûì ñòîðîíàì
| |A B1 1 , | |A C1 1 , | |B C1 1 òðåóãîëüíèêà A B C1 1 1 íàéòè ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû A B, , C
(1), à èìåííî:
A
A B A C B C
B
A B B C A C
�
� �
�
� �
| | | | | |
| | | | | |
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
2
2
C
A C B C A B
�
� �
�
�
| | | | | |
. (3)
Î÷åâèäíî, ÷òî (3) ÿâëÿåòñÿ èíîé çàïèñüþ òåîðåìû êîñèíóñîâ. Èçëîæåííîå
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû.
Òåîðåìà 1. Êàæäîìó åâêëèäîâîìó � A B C1 1 1 ñ çàäàííûìè ñêàëÿðíûìè ïðî-
èçâåäåíèÿìè A A B A C� �( )1 1 1 1 , B B A B C� �( )1 1 1 1 , C C A C B� �( )1 1 1 1 ìîæíî ïî-
ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðàâíûé åìó � ABC ñî ñòîðîíàìè
| | | |AB A B A B� � �1 1 , | | | |AC A C A C� � �1 1 , | | | |BC B C B C� � �1 1
(4)
è âåðøèíàìè A B C, , , âûðàæåííûìè äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò îáðàòíàÿ çàäà÷à, êàêîé òðîéêå ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí
( , , )A B C ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åâêëèäîâûé òðåóãîëüíèê (âêëþ÷àÿ âû-
ðîæäåííûé). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Òðîéêå ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí ( , , )A B C ñîîòâåòñòâóåò åâêëèäîâûé
� ABC ñî ñòîðîíàìè
| |AB A B� � , | |AC A C� � , | |BC B C� �
è âåðøèíàìè A B, , C òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ äâà óñëîâèÿ:
1) A B� � 0, A C� � 0, B C� � 0 ;
2) AB AC BC� �
0.
Ïåðâîå óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò íåîáõîäèìîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ � ABC , ïðè êî-
òîðîì âåëè÷èíû | |AB A B� � , | |AC A C� � , | |BC B C� � ÿâëÿþòñÿ äåé-
ñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
Âòîðîå óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò äîñòàòî÷íîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ åâêëèäîâîãî
� ABC, îñíîâàííóþ íà ôîðìóëå Ãåðîíà, â êîòîðîì ïðè
a BC B C B C� � � �| | | |1 1 , b AC A C A C� � � �| | | |1 1 ,
(5)
c AB A B A B� � � �| | | |1 1
ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ABC ïðèíèìàåò âèä
S p p a p b p c AB AC BC� � � � � � �
( )( )( )
1
2
0. (6)
Ïðè òàêîì ïðåäñòàâëåíèè çàäàííîãî åâêëèäîâîãî � A B C1 1 1 ðàâíûì åìó
� ABC ñî ñòîðîíàìè (4) è âåðøèíàìè A B C, , (3) ïëîùàäü S ñîãëàñíî (6) è îñíîâ-
íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
S AB AC BC� � �
1
2
, (7)
cos
( ) ( )
� �
� � �
BAC
A
A B A C
, (8)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 25
cos
( ) ( )
� �
� � �
ABC
B
A B B C
, (9)
cos
( ) ( )
� �
� � �
ACB
C
A C B C
, (10)
tg � �
� �
�BAC
AB AC BC
A
S
A
2
, (11)
tg � �
� �
�ABC
AB AC BC
B
S
B
2
, (12)
tg � �
� �
�ACB
AB AC BC
C
S
C
2
. (13)
Ôîðìóëû (5)–(13) ïðîùå ñâîèõ êëàññè÷åñêèõ àíàëîãîâ è, ãëàâíîå, ñîçäàþò
ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäïîñûëêè äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðî-
áëåìû. Òàê êàê â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî öåëî÷èñëåííûå òðîéêè
÷èñåë ( , , )A B C , ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî � öåëûõ ÷èñåë áåç íóëÿ íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè-
÷åñêèì ìíîæåñòâîì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì:
à) äëÿ ëþáîé ïàðû ðàçëè÷íûõ A B, �� ñïðàâåäëèâî A B� � 0;
á) äëÿ ëþáîé òðîéêè ðàçëè÷íûõ A B C, , ��ñïðàâåäëèâî AB AC BC� �
0.
Çàôèêñèðóåì öåëîå D � �2 è ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíî-
æåñòâî öåëûõ ÷èñåë
� � � � � � � �( ) , , , ,D D D D D i i{ } { }1 0 1 22
�
(14)
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë �( )D (14) ïðè ëþáîì
D � �2 ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì ìíîæåñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì óñëîâèå à) îïðåäåëåíèÿ 1.
Äåéñòâèòåëüíî,
D D� � � � �( )1 1 0 ,
D D D i D i i� � � � � � �( ) , , , ,2 2 0 0 1 2 � ,
( ) ( ) ( ) , , , ,� � � � � � � � � �D D D i D i i1 1 0 0 1 22 2
�
Óñëîâèå á) îïðåäåëåíèÿ 1 äîêàæåì äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ:
1) äëÿ òðîåê { }D D D D i D D i, ( ), ( ) ( ), , , , ,� � � � � � � � �1 2 0 1 22
� ;
2) äëÿ òðîåê { }D D D i D D j D, ( ), ( ) ( )2 2� � � � � � , D � �2, i j� , i � 0 1 2, , ,� ,
j � 0 1 2, , ,�
Äëÿ îñòàëüíûõ ñëó÷àåâ, î÷åâèäíî, óñëîâèå á) âûïîëíÿåòñÿ.
 ñëó÷àå 1 óñëîâèå á) îïðåäåëåíèÿ 1 ïðèíèìàåò âèä
D D D D D i D D D i( ) ( ) ( )( )� � � � � � � � � � �
1 1 1 02 2 , i � 0 1 2, , �
 ñëó÷àå 2 óñëîâèå á) èìååò âèä
D D D i D D D j D D i D D j( ) ( ) ( )( )2 2 2 2� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � �D D Di D D Dj D D D D j D D i ij2 2 2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �
� � � � � �D D i j D ij2 2 21 0( ) ( ) , i � 0 1 2, , � , j �1 2, ,� , i j� .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
26 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Òåîðåìà 4. Àðèôìåòè÷åñêîå ìíîæåñòâî �( )D äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî
D � �2 îáðàçóåò ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåòðèêîé
r A B
A B A B
A B
( , )
, ,
,
�
� �
�
�
�
�0
(15)
(ìåòðèêà (15) âïåðâûå ââåäåíà àâòîðîì â [5]).
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ñîãëàñíî òåîðåìå 3 �( )D ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñ-
êèì ìíîæåñòâîì, òî â ñèëó óñëîâèÿ à) îïðåäåëåíèÿ 1 è ìåòðèêè (15) r A B( , )
0 .
Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå àêñèîìû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà: r A B( , ) � 0,
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A B� ; r A B r B A( , ) ( , )� (àêñèîìû ñèììåòðèè).
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ àðèôìåòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà �( )D èìååò ìåñòî àêñèîìà
òðåóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî �( )D , êîòîðîìó ïðè ôèêñèðîâàííîì D
ïðèíàäëåæèò åäèíñòâåííûé îòðèöàòåëüíûé ýëåìåíò D � �2. Â ñèëó óñëîâèÿ á)
îïðåäåëåíèÿ 1 è ïîëîæèòåëüíîñòè îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà �( )D äëÿ
ëþáûõ A B C, , �� ïðîâåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé:
AB AD BD� �
0 ,
AB AD BD D D� � �
2 2 ,
( )( ) | |A D B D D� �
,
( )( )A D B D D� �
� ,
2 2( )( )A D B D D� �
� ,
(16)
2 ( )( )A D B D A D B D A B� � � � � �
� ,
2 2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( )A D B D A D B D A B� � � � � �
� ,
( ( )) ( )A D B D A B� � �
�2 2 ,
A B A D B D� � � � � ,
r A B r A D r B D( , ) ( , ) ( , )� � ,
÷òî è äîêàçûâàåò àêñèîìó òðåóãîëüíèêà äëÿ �( )D .
Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî �( )D (14) ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñ-
êèì ïðîñòðàíñòâîì ñ ìåòðèêîé (15).  äàëüíåéøåì ïîëó÷åííîå ìåòðè÷åñêîå ïðî-
ñòðàíñòâî îáîçíà÷àåòñÿ òàê æå, êàê è àðèôìåòè÷åñêîå ìíîæåñòâî — �( )D , è íà-
çûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì �( )D . Ëåãêî çàìåòèòü,
÷òî â ïðîñòðàíñòâå �( )D ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè íå ñóùåñòâóþò, òàê êàê
0��( )D .
 äàëüíåéøåì ïîä ïîìå÷åííûì ãðàôîì áóäåì ïîíèìàòü ãðàô, âåðøèíû êî-
òîðîãî îòëè÷àþòñÿ îäíà îò äðóãîé êàêèìè-ëèáî ìåòêàìè.
Òàê, àðèôìåòè÷åñêèé ãðàô G N M( , ) [2] ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîìå÷åí-
íîãî ãðàôà, ïðè êîòîðîì âñÿêèé íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñïå-
öèàëüíîé öåëî÷èñëåííîé ñèñòåìå êîäèðîâàíèÿ.
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 êàæäîìó åâêëèäîâîìó � A B C1 1 1 ìîæíî ïîñòàâèòü â ñî-
îòâåòñòâèå ïîìå÷åííûé � ABC, ðàâíûé èñõîäíîìó, â êîòîðîì ìåòêàìè âåðøèí
ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû A B, , C, îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëàì (3). Îäíàêî
òåîðåìà 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî àðèôìåòè÷åñêîìó ìåòðè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó �( )D
ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ïîìå÷åííûõ öåëûìè ÷èñëàìè åâêëèäî-
âûõ òðåóãîëüíèêîâ ABC ( , , ( ( ))A B C D� � , äëèíû ñòîðîí êîòîðûõ | |AB , | |AC ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 27
| |BC ñîâïàäàþò ñ ìåòðèêîé ïðîñòðàíñòâà �( )D , ò.å.
| | ( , )AB r A B A B� � � , | | ( , )AC r A C A C� � � , | | ( , )BC r B C B C� � � .
 äàëüíåéøåì ïðè öåëî÷èñëåííîì êîäèðîâàíèè âåðøèí ãåîìåòðè÷åñêèõ ôè-
ãóð (ãðàôîâ) êîäû âåðøèí ïðåäñòàâëÿþòñÿ íåðàâíûìè îäèí äðóãîìó öåëûìè
÷èñëàìè èç �( )D .
Îïðåäåëåíèå 2. Òî÷êîé àðèôìåòè÷åñêîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà �( )D0
(14) ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � íàçûâàåòñÿ ëþáîå öåëîå ÷èñëî X D��( )0 .
Îïðåäåëåíèå 3. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � ïàðà òî÷åê ( , )X Y ,
X Y D, ( )�� 0 , íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðÿìîé, åñëè X Y� — öåëîå ÷èñëî
è ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà Z D��( )0 , ÷òî XY YZ XY� � � 0.
Îïðåäåëåíèå 4. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � ïàðà òî÷åê ( , ),U V
U V D, ( )�� 0 , íàçûâàåòñÿ ïñåâäîïðÿìîé, åñëè U V� — öåëîå ÷èñëî è ñóùåñò-
âóåò òàêàÿ òî÷êà T D��( )0 , ÷òî UT VT UV� � � 0.
Îïðåäåëåíèå 5. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðÿìàÿ
( , )K D0 , K D D, ( )0 0�� , íàçûâàåòñÿ áàçèñíîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðÿìîé, åñëè
K D� �0 1 (17)
è ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà C D��( )0 , ÷òî
KD CD CK0 0 0� � � . (18)
Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (17), (18) èìååì
K D K C D D C� � �
� �
1 0 3 1 60 0 0, , ( ), .
Ñëåäîâàòåëüíî, K C D, ( )�� 0 è ïîýòîìó ïàðà ( , )K D0 ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé
àðèôìåòè÷åñêîé ïðÿìîé.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � àðèôìåòè÷åñêàÿ ïñåâäîïðÿìàÿ
( , )A B , A B D, ( )�� 0 , íàçûâàåòñÿ áàçèñíîé àðèôìåòè÷åñêîé ïñåâäîïðÿìîé, åñëè
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
A B D� � �( )1 2 0
2 , (19)
A B D� � �1 2 0 . (20)
Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (19), (20) èìååì
A D D� � �( )( )2 1 10 0 , B D D� �( )2 10 0 , A B D, ( )�� 0 . (21)
Íà îñíîâàíèè (21) ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî AC BC AB� � � 0, ãäå
C D D� �0 0 1( ) è C D��( )0 . Ïîýòîìó ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿì 4 è 6 ïàðà òî÷åê
( , )A B ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé áàçèñíîé ïñåâäîïðÿìîé.
Îïðåäåëåíèå 7. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � áàçèñíûå àðèôìåòè÷åñêàÿ
ïðÿìàÿ ( , )K D0 è àðèôìåòè÷åñêàÿ ïñåâäîïðÿìàÿ ( , )A B , óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòå-
ìå óðàâíåíèé
CD CK KD
K D
A B D
A B D
0 0
0
0
2
0
0
1
1 2
1 2
� � �
� �
� � �
� � �
�
�
( )
, (22)
íàçûâàþòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé íåîäíîðîäíîé ïëîñêîñòüþ �( )D0 .
28 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 5. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � ñèñòåìà óðàâíåíèé (22) ýêâèâàëåí-
òíà ñèñòåìå óðàâíåíèé
CD CK KD
K D
A D B K
AD BK
0 0
0
0
0
0
1
0
� � �
� �
� � �
� �
�
�
.
Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ åâêëèäîâó ôèãóðó � n A B K D{ }1 1 1 1, , , (ðèñ. 1) ñî ñòðóê-
òóðîé, èçîìîðôíîé ïîëíîìó ãðàôó ñ ÷åòûðüìÿ âåðøèíàìè.
Îïðåäåëåíèå 8. Ïëîñêàÿ åâêëèäîâà ôèãóðà � n A B K D{ }1 1 1 1, , , (ñì. ðèñ. 1),
â êîòîðîé D1 — îðòîöåíòð � A B K1 1 1 ñî ñòîðîíîé | |A B n1 1 � , óãëàìè � �A K B1 1 1
arctg n, � �B A K1 1 1 4� / , ãäå n
5 — íå÷åòíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ áàçèñíîé åâêëè-
äîâîé ôèãóðîé (ÁÅÔ).
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 8 ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ ôîðìóë ãåîìåòðèè
è òðèãîíîìåòðèè íàõîäÿòñÿ øåñòü ñòîðîí è 12 óãëîâ ÁÅÔ � n (ñì. ðèñ. 1),
à èìåííî:
| | , | | ( ), | | | |K D A K n B K A D n1 1 1 1 1 1 1 1
21
2
2
1
2
2
1� � � � � � ,
| | ( ), | |B D n A B n1 1 1 1
2
2
1� � � , (23)
� � � � � � � �A B D B A K A K D B D K1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4
3
4
� �
, ,
� � � �
�
�
� � � �B K D B A D
n
n
D A K D B K1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
arctg arctg,
n
,
� � � �
�
�
� � �A K B n A B K
n
n
A D B1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
arctg arctg arctg, , ( n),
� � �
�
�
�
�
�
�
�
A D K
n
n
1 1 1
1
1
arctg .
Ïîñòðîèì â àðèôìåòè÷åñêîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå �( )D àíàëîã ÁÅÔ � n
(ñì. ðèñ. 1).
Îïðåäåëåíèå 9. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � ïîìå÷åííûé ãðàô
!n A B K D{ }, , , 0 (ðèñ. 2), ãäå A B K D D, , , ( )0 0�� , íàçûâàåòñÿ áàçèñíîé àðèôìå-
òè÷åñêîé ôèãóðîé (ÁÀÔ), åñëè âûïîëíÿþòñÿ òðè óñëîâèÿ:
K D
A D B K
AD BK
� �
� � �
� �
�
�
0
0
0
1
0
. (24)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 29
A1
B1
K1
D1
Ðèñ. 1
A B
K
D0
Ðèñ. 2
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 6. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � áàçèñíàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ôèãóðà
!n A B K D{ }, , , 0 (ñì. ðèñ. 2), ãäå A B K D D, , , ( )0 0�� , ðàâíà áàçèñíîé åâêëèäî-
âîé ôèãóðå � n A B K D{ }1 1 1 1, , , (ñì. ðèñ. 1), ( )! �n n� , n
5, — íå÷åòíûé ïàðà-
ìåòð ( )n D� �1 2 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî ïîñòðîåíî íà âû÷èñëåíèè äëèí ñòîðîí ÁÅÔ � n ñ ïîìîùüþ
îáû÷íûõ ôîðìóë ãåîìåòðèè è èõ ñðàâíåíèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîðîíàìè
ÁÀÔ !n , íàéäåííûõ íà îñíîâå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (24) c ïðèìåíåíèåì ìåòðè-
êè (15) àðèôìåòè÷åñêîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà �( )D0 . Ïåðåõîä îò öåëîãî
ïàðàìåòðà D0 2� � ê íå÷åòíîìó ïàðàìåòðó n
5 ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîäñòà-
íîâêè n D� �1 2 0 .
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèå ñèñòåìû (24) ( , , , )A B K D0 ïðè íå÷åòíîì ïàðàìåòðå
n
5 ïðèíèìàåò âèä
A
n n
B
n n
K
n
D
n
�
� �
�
�
� �
�( )
,
( )
, ,
1
2
1
2
1
2
1
2
0 . (25)
Íà îñíîâå (23) è ìåòðèêè (15) îêîí÷àòåëüíî èìååì
| | ( , )K D r K D K D1 1 0 0 1� � � � , | | ( , )A D r A D A D n1 1 0 0
22
2
1� � � � � ,
| | ( , , )A K r A K A K n1 1
2
2
1� � � � � ,
(26)
| | ( , ) ( )B D r B D B D n1 1 0 0
2
2
1� � � � � ,
| | ( , )B K r B K B K n1 1
22
2
1� � � � � , | | ( , )A B r A B A B n1 1 � � � � .
Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè (26) ñëåäóåò, ÷òî � !n n� . Èç ðàâåíñòâà óêà-
çàííûõ äèñêðåòíûõ îáúåêòîâ � n è !n ñëåäóåò, ÷òî àðèôìåòè÷åñêîå ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî �( )D0 ñîõðàíÿåò åâêëèäîâîñòü íå òîëüêî òðåóãîëüíèêîâ, íî è îïðå-
äåëåííûõ ïëîñêèõ ôèãóð ñî ñòðóêòóðîé, èçîìîðôíîé ïîëíîìó ãðàôó ñ ÷åòûðüìÿ
âåðøèíàìè.
Ñîãëàñíî èçëîæåííîìó íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 9 è òåîðåìû 5 ìîæíî
äàòü äðóãîå ïîíÿòèå àðèôìåòè÷åñêîé íåîäíîðîäíîé ïëîñêîñòè �( )D0 , ýêâèâà-
ëåíòíîå îïðåäåëåíèþ 7.
Îïðåäåëåíèå 10. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � ïîìå÷åííûé ãðàô
!n A B D K D C{ }, , , , ,0 (ðèñ. 3), ÿâëÿþùèéñÿ îáúåäèíåíèåì áàçèñíîé àðèôìåòè-
÷åñêîé ôèãóðû !n A B K D{ }, , , 0 (ñì. ðèñ. 2) è íåêîòîðîé òî÷êè C D��( )0 , íàçû-
âàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé íåîäíîðîäíîé ïëîñêîñòüþ �( )D0 , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ÷å-
òûðå óñëîâèÿ:
CD CK KD
K D
A D B K
AD BK
0 0
0
0
0
0
1
0
� � �
� �
� � �
� �
�
�
. (27)
Òàê êàê ïîñëåäíèå òðè óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (27) ñîâïàäàþò ñ ñèñòåìîé (24),
òî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìà (27) ïðè n
5 èìååò ðåøåíèå
A
n n
B
n n
K
n
D
n
C
n
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�( )
,
( )
, , ,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
0
2
. (28)
Äîêàæåì îñíîâíóþ òåîðåìó.
30 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Òåîðåìà 7. Ïðè ôèêñèðîâàííîì D0 2� � àðèôìåòè÷åñêàÿ íåîäíîðîäíàÿ
ïëîñêîñòü �( )D0 ÿâëÿåòñÿ íååâêëèäîâîé ïëîñêîñòüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ÷òî �( )D0 ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé
ïëîñêîñòüþ. Òîãäà ôèãóðà ! !n nA B K D A B K D C{ } { }, , , , , , ,0 0� (ñì. ðèñ. 3) ñî-
ãëàñíî òåîðåìå 6 ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé åâêëèäîâîé ôèãóðîé, ðàâíîé � n (ñì. ðèñ. 1).
Ïîýòîìó òî÷êà D0 — îðòîöåíòð åâêëèäîâîãî � ABK . Ïðîäîëæèâ ïåðïåíäèêóëÿð
KD0 äî ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé AB , ïîëó÷èì òî÷êó L (ðèñ. 4). Ñîãëàñíî (25)
| | ( )AK n� �
2
2
1 è òàê êàê � �BAK � � �, òî � AKL ïðÿìîóãîëüíûé, ðàâíîáåäðåí-
íûé, ò.å.
| | | | , | | | | | |AL KL
n
LD KL KD
n n
� �
�
� � �
�
� �
�1
2
1
2
1
1
2
0 0 . (29)
Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (3), (29) è ðàâåíñòâà | | | | | |KL KD D L� �0 0 íàéäåì
K L, , D0 :
K
n
D
n
L
n
�
�
� �
�
�
�1
2
1
2
1
4
0
2
, , . (30)
Ñðàâíèâàÿ C â (28) è L â (30), ïîëó÷àåì (ñì. ðèñ. 4)
L C� . (31)
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû AB â � ABK (ñì. ðèñ. 4) ïðè
óñëîâèè, ÷òî � �ABD0
4
�
(ñì. (23)), èìååì
| | | | | |AB AL LB� � , | | , | | | | , | | | |AB n AL KL
n
LB LD
n
� � �
�
� �
�1
2
1
2
. (32)
Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (3) è (32) ïîëó÷èì
A
n n
B
n n
L
n n
�
�
�
�
� �
�( )
,
( )
,
( )1
2
1
2
1
2
2
. (33)
Ñðàâíèâàÿ C â (28) è L â (33), ïîëó÷àåì
L C� � . (34)
Ñðàâíèâàÿ (31) è (34), èìååì C C C� � " � 0. Îäíàêî C � 0 íåâîçìîæíî, òàê
êàê 0 0��( )D (14).
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâå àðèôìåòè÷åñêîãî êîäèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ îáúåê-
òîâ ïîñòðîåíà íååâêëèäîâàÿ ãåîìåòðèÿ, îòëè÷àþùàÿñÿ îò ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêî-
ãî è Ðèìàíà ñâîéñòâàìè ïîñòîÿíñòâà ñóììû óãëîâ òðåóãîëüíèêà è íåîäíîðîäíîñ-
òüþ, ïîðîæäàåìîé óñëîâèåì ìàñøòàáèðîâàíèÿ ( )K D� �1 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 31
A B
K
D0
L
Ðèñ. 4
A B
K
D0
C
Ðèñ. 3
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã. Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè è ìåòîä åå ðåàëèçàöèè íà ÝÂÌ. Êè-
áåðíåòèêà. 1967. ¹ 1. C. 26–30.
2. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã., Ìàíîÿí Ã.Ê. Íåêîòîðûå âîïðîñû àðèôìåòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè íåîðèåíòèðîâàí-
íûõ ãðàôîâ. Êèáåðíåòèêà. 1977. ¹ 3. C. 129–131.
3. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã. Êëàññèôèêàöèÿ è ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ. Êèáåðíåòèêà.
1979. ¹ 6. C. 9–12.
4. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã. Çàäà÷à ñóùåñòâîâàíèÿ è âîïðîñû ïðåäñòàâëåíèÿ íàòóðàëüíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ãðà-
ôîâ. Æ. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 1984. Ò. 24, ¹ 11. C. 1751–1756.
5. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã. Ãåîìåòðèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ ãðàôîâ. Êèáåðíåòèêà. 1982. ¹ 4. C. 1–4.
6. Ãðèãîðüÿí Þ.Ã. Ãðóïïû àðèôìåòè÷åñêèõ àâòîìîðôèçìîâ ïðîñòûõ öèêëîâ. Êèáåðíåòèêà. 1990. ¹ 4.
C. 9–15.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 03.12.2018
Þ.Ã. Ãðèãîð’ÿí
ÀÊѲÎÌÈ ÍÅÎÄÍÎвÄÍί ÃÅÎÌÅÒв¯
Àíîòàö³ÿ. Ðîáîòà ´ðóíòóºòüñÿ íà ã³ïîòåç³ Ëîáà÷åâñüêîãî, ùî ïðîñò³ð íà
ð³çíèõ ä³ëÿíêàõ çàäîâîëüíÿº ð³çí³é ãåîìåòð³¿: åâêë³äîâ³é, íååâêë³äîâ³é, ïðî-
åêòèâí³é. Íà áàç³ òåî𳿠àðèôìåòè÷íèõ ãðàô³â ïîáóäîâàíî òðè ñèñòåìè àë-
ãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü, óêëàäåíèõ ó äèñêðåòíèé ìåòðè÷íèé ïðîñò³ð, â ÿêîìó
òî÷êà — öå ö³ëå ÷èñëî, ùî äîçâîëÿº âèçíà÷èòè ïðÿìó, ïëîùèíó òà ³íø³
åëåìåíòè, âèíÿòêîì º 0.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íåêëàñè÷íà ãåîìåòð³ÿ, ìîäåëü, ãåîìåòð³ÿ, ïðîñò³ð.
Yu. Grigoryan
AXIOMS OF HETEROGENEOUS GEOMETRY
Abstract. The study is based on Lobachevski’s hypothesis that the space at
different areas satisfies various geometries: Euclidean, non-Euclidean, projective.
On the basis of the arithmetic graph theory, three systems of algebraic equations
were constructed. The systems are embedded in a discrete metric space in which
point is an integer that allows defining a straight line, a plane, and other
elements, except for 0.
Keywords: nonclassical geometry, model, geometry, space.
Ãðèãîðüÿí Þðèé Ãåîðãèåâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Åâðîïåéñêîãî óíèâåðñèòåòà, Åðåâàí, Ðåñïóáëèêà Àðìåíèÿ,
e-mail: grigrubi@yahoo.com.
32 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-181007 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:14:59Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григорьян, Ю.Г. 2021-10-26T16:56:43Z 2021-10-26T16:56:43Z 2019 Аксиомы неоднородной геометрии / Ю.Г. Григорьян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 24-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181007 514.01 Работа основана на гипотезе Лобачевского, что пространство на различных участках удовлетворяет различным геометриям: евклидовой, неевклидовой, проективной. На базе теории арифметических графов построены три системы алгебраических уравнений, вложенных в дискретное метрическое пространство, в котором точка целое число, позволяющее определить прямую, плоскость и другие элементы, исключением является 0. Робота ґрунтується на гіпотезі Лобачевського, що простір на різних ділянках задовольняє різній геометрії: евклідовій, неевклідовій, проективній. На базі теорії арифметичних графів побудовано три системи алгебраїчних рівнянь, укладених у дискретний метричний простір, в якому точка це ціле число, що дозволяє визначити пряму, площину та інші елементи, винятком є 0. The study is based on Lobachevski’s hypothesis that the space at different areas satisfies various geometries: Euclidean, non-Euclidean, projective. On the basis of the arithmetic graph theory, three systems of algebraic equations were constructed. The systems are embedded in a discrete metric space in which point is an integer that allows defining a straight line, a plane, and other elements, except for 0. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Аксиомы неоднородной геометрии Аксіоми неоднорідної геометрії Axioms of heterogeneous geometry Article published earlier |
| spellingShingle | Аксиомы неоднородной геометрии Григорьян, Ю.Г. Кібернетика |
| title | Аксиомы неоднородной геометрии |
| title_alt | Аксіоми неоднорідної геометрії Axioms of heterogeneous geometry |
| title_full | Аксиомы неоднородной геометрии |
| title_fullStr | Аксиомы неоднородной геометрии |
| title_full_unstemmed | Аксиомы неоднородной геометрии |
| title_short | Аксиомы неоднородной геометрии |
| title_sort | аксиомы неоднородной геометрии |
| topic | Кібернетика |
| topic_facet | Кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181007 |
| work_keys_str_mv | AT grigorʹânûg aksiomyneodnorodnoigeometrii AT grigorʹânûg aksíomineodnorídnoígeometríí AT grigorʹânûg axiomsofheterogeneousgeometry |