Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях

У статті розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від розв'язку параболічної задачі зі швидко коливними коефіцієнтами. До розв'язання цієї задачі застосовано традиційний мінімаксний підхід через наявність невідомих функцій у правій частині рівняння та у початковій умові. Довед...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Authors:	Наконечний, О.Г., Капустян, О.А., Чикрій, А.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181034
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях / О.Г. Наконечний, О.А. Капустян, А.О. Чикрій // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-181034
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1810342025-02-09T14:52:11Z Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях Приближенные гарантированные среднеквадратичные оценки функционалов от решений параболических задач с быстро колеблющимися коэффициентами при нелинейных наблюдения Approximate guaranteed mean square estimates of functionals on solutions of parabolic problems with fast oscillating coefficients under nonlinear observations Наконечний, О.Г. Капустян, О.А. Чикрій, А.О. Системний аналіз У статті розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від розв'язку параболічної задачі зі швидко коливними коефіцієнтами. До розв'язання цієї задачі застосовано традиційний мінімаксний підхід через наявність невідомих функцій у правій частині рівняння та у початковій умові. Доведено існування гарантованої лінійної середньоквадратичної оцінки вихідної задачі. Знайдено наближений розв'язок вихідної задачі з використанням теорії усереднення та методів побудови наближеного синтезу для розподілених систем. Доведено, що оцінка задачі з усередненими параметрами є наближеною гарантованою середньоквадратичною оцінкою вихідної задачі. В статье рассмотрена задача минимаксного оценивания функционала от решения параболической задачи с быстро колеблющимися коэффициентами. К решению этой задачи применен традиционный минимаксный подход из-за наличия неизвестных функций в правой части уравнения и в начальном условии. Доказано существование гарантированной линейной среднеквадратичной оценки исходной задачи. Найдено приближенное решение исходной задачи с использованием теории усреднения и методов построения приближенного синтеза для распределенных систем. Доказано, что оценка задачи с усредненными параметрами является приближенной гарантированной среднеквадратичной оценкой исходной задачи. The paper deals with the problem of minimax estimation of a functional on the solution of parabolic problem with rapidly oscillating coefficients. To solve this problem, the traditional minimax approach is used because of the presence of unknown functions on the right-hand side of the equation and in the initial condition. The existence of a guaranteed linear mean square estimate of the original problem is proved. An approximate solution of the original problem is found with the use of the averaging theory and the approximate synthesis methods for distributed systems. The main result of the work is to prove that the estimation of the problem with averaged parameters is an approximate guaranteed mean square estimation of the original problem. 2019 Article Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях / О.Г. Наконечний, О.А. Капустян, А.О. Чикрій // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181034 517.9 uk Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Наконечний, О.Г. Капустян, О.А. Чикрій, А.О. Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях Кибернетика и системный анализ
description	У статті розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від розв'язку параболічної задачі зі швидко коливними коефіцієнтами. До розв'язання цієї задачі застосовано традиційний мінімаксний підхід через наявність невідомих функцій у правій частині рівняння та у початковій умові. Доведено існування гарантованої лінійної середньоквадратичної оцінки вихідної задачі. Знайдено наближений розв'язок вихідної задачі з використанням теорії усереднення та методів побудови наближеного синтезу для розподілених систем. Доведено, що оцінка задачі з усередненими параметрами є наближеною гарантованою середньоквадратичною оцінкою вихідної задачі.
format	Article
author	Наконечний, О.Г. Капустян, О.А. Чикрій, А.О.
author_facet	Наконечний, О.Г. Капустян, О.А. Чикрій, А.О.
author_sort	Наконечний, О.Г.
title	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
title_short	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
title_full	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
title_fullStr	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
title_full_unstemmed	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
title_sort	наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181034
citation_txt	Наближені гарантовані середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв’язків параболічних задач зі швидко коливними коефіцієнтами при нелінійних спостереженнях / О.Г. Наконечний, О.А. Капустян, А.О. Чикрій // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 95-105. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT nakonečnijog nabliženígarantovaníserednʹokvadratičníocínkifunkcíonalívvídrozvâzkívparabolíčnihzadačzíšvidkokolivnimikoefícíêntamiprinelíníjnihsposterežennâh AT kapustânoa nabliženígarantovaníserednʹokvadratičníocínkifunkcíonalívvídrozvâzkívparabolíčnihzadačzíšvidkokolivnimikoefícíêntamiprinelíníjnihsposterežennâh AT čikríjao nabliženígarantovaníserednʹokvadratičníocínkifunkcíonalívvídrozvâzkívparabolíčnihzadačzíšvidkokolivnimikoefícíêntamiprinelíníjnihsposterežennâh AT nakonečnijog približennyegarantirovannyesrednekvadratičnyeocenkifunkcionalovotrešenijparaboličeskihzadačsbystrokoleblûŝimisâkoéfficientamiprinelinejnyhnablûdeniâ AT kapustânoa približennyegarantirovannyesrednekvadratičnyeocenkifunkcionalovotrešenijparaboličeskihzadačsbystrokoleblûŝimisâkoéfficientamiprinelinejnyhnablûdeniâ AT čikríjao približennyegarantirovannyesrednekvadratičnyeocenkifunkcionalovotrešenijparaboličeskihzadačsbystrokoleblûŝimisâkoéfficientamiprinelinejnyhnablûdeniâ AT nakonečnijog approximateguaranteedmeansquareestimatesoffunctionalsonsolutionsofparabolicproblemswithfastoscillatingcoefficientsundernonlinearobservations AT kapustânoa approximateguaranteedmeansquareestimatesoffunctionalsonsolutionsofparabolicproblemswithfastoscillatingcoefficientsundernonlinearobservations AT čikríjao approximateguaranteedmeansquareestimatesoffunctionalsonsolutionsofparabolicproblemswithfastoscillatingcoefficientsundernonlinearobservations
first_indexed	2025-11-27T01:47:38Z
last_indexed	2025-11-27T01:47:38Z
_version_	1849906234245775360
fulltext	ÓÄÊ 517.9 Î.Ã. ÍÀÊÎÍÅ×ÍÈÉ, Î.À. ÊÀÏÓÑÒßÍ, À.Î. ×ÈÊÐ²É ÍÀÁËÈÆÅÍ² ÃÀÐÀÍÒÎÂÀÍ² ÑÅÐÅÄÍÜÎÊÂÀÄÐÀÒÈ×Í² ÎÖ²ÍÊÈ ÔÓÍÊÖ²ÎÍÀË²Â Â²Ä ÐÎÇÂ’ßÇÊ²Â ÏÀÐÀÁÎË²×ÍÈÕ ÇÀÄÀ× Ç² ØÂÈÄÊÎ ÊÎËÈÂÍÈÌÈ ÊÎÅÔ²Ö²ªÍÒÀÌÈ ÏÐÈ ÍÅË²Í²ÉÍÈÕ ÑÏÎÑÒÅÐÅÆÅÍÍßÕ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ì³í³ìàêñíîãî îö³íþâàííÿ ôóíêö³îíàëà â³ä ðîç- â’ÿçêó ïàðàáîë³÷íî¿ çàäà÷³ ç³ øâèäêî êîëèâíèìè êîåô³ö³ºíòàìè. Äî ðîçâ’ÿ- çàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ çàñòîñîâàíî òðàäèö³éíèé ì³í³ìàêñíèé ï³äõ³ä ÷åðåç íà- ÿâí³ñòü íåâ³äîìèõ ôóíêö³é ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ òà ó ïî÷àòêîâ³é óìîâ³. Äîâåäåíî ³ñíóâàííÿ ãàðàíòîâàíî¿ ë³í³éíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³íêè âèõ³äíî¿ çàäà÷³. Çíàéäåíî íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíî¿ çàäà÷³ ç âèêîðèñ- òàííÿì òåîð³¿ óñåðåäíåííÿ òà ìåòîä³â ïîáóäîâè íàáëèæåíîãî ñèíòåçó äëÿ ðîçïîä³ëåíèõ ñèñòåì. Äîâåäåíî, ùî îö³íêà çàäà÷³ ç óñåðåäíåíèìè ïàðàìåò- ðàìè º íàáëèæåíîþ ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ îö³íêîþ âèõ³äíî¿ çàäà÷³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ãàðàíòîâàí³ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷í³ îö³íêè, ð³âíÿííÿ ïàðà- áîë³÷íîãî òèïó, øâèäêî êîëèâí³ êîåô³ö³ºíòè, ñïîñòåðåæåííÿ, íàáëèæåí³ îö³íêè, îïåðàòîð òèïó ñóïåðïîçèö³¿. ÂÑÒÓÏ Ðîçâèòîê ñó÷àñíèõ òåõíîëîã³é çóìîâèâ ïîñòàíîâêó íîâèõ ìàòåìàòè÷íèõ çàäà÷. Ó ðîáîòàõ [1–7] ðîçâèíóòî êîíñòðóêòèâíó òåîð³þ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ÿê äåòåðì³íîâàíèõ, òàê ³ ñòîõàñòè÷íèõ ð³âíÿíü ç³ çâè÷àéíèìè òà ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñò³ òà íåïîâíîòè äàíèõ. Ó ìåæàõ ì³í³ìàêñíî- ãî ï³äõîäó äîâåäåíî íèçêó òåîðåì ïðî ³ñíóâàííÿ, à çà äîäàòêîâèõ óìîâ — ïðî ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçê³â çàäà÷ îö³íþâàííÿ ç íåâ³äîìîþ ìàòðèöåþ ñïîñòåðåæåíü äëÿ ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì òà äëÿ êâàç³ë³í³éíèõ ð³âíÿíü àáî çà óìîâè âèïàäêîâîñò³ ìàòðèö³ ë³í³éíî¿ ñèñòåìè. Ïðèíöèïîâ³ òðóäíîù³ âèíèêàþòü ï³ä ÷àñ óçàãàëü- íåííÿ çàäà÷ îö³íþâàííÿ íà âèïàäîê ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè. Ç ö³ºþ ìåòîþ ïîáóäîâàíî òåîð³þ ì³í³ìàêñíîãî îö³íþâàííÿ ôóíêö³îíàë³â â³ä ðîç- â’ÿçê³â ð³âíÿíü [1, 2]. Ïðè öüîìó âèêîðèñòàíî âàð³àö³éíó òåîð³þ ðîçâ’ÿçê³â êðàéîâèõ çàäà÷, ùî çðåøòîþ äàëî çìîãó âñòàíîâèòè óìîâè ãëàäêîñò³ àïð³îðíèõ äàíèõ. Ó âèïàäêó ð³âíÿíü ïàðàáîë³÷íîãî òà ã³ïåðáîë³÷íîãî òèï³â ç ïåâíèìè îáìåæåííÿìè äëÿ ì³í³ìàêñíèõ îö³íîê îòðèìàíî ³íòåãðî-äèôå- ðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ, ÿê³ º àíàëîãîì ô³ëüòð³â Êàëìàíà–Á’þñ³ [3, 5]. Ìåòîäàìè ì³í³ìàêñíî¿ òåîð³¿ îö³íþâàííÿ ðîçâ’ÿçàíî íèçêó çàäà÷ ïðîãíîçóâàííÿ ðîç- â’ÿçê³â ð³âíÿíü ïàðàáîë³÷íîãî òèïó çà äàíèìè âèì³ðþâàíü [3]. Ñïåö³àëüí³ îá- ìåæåííÿ êîðåëÿö³éíèõ ôóíêö³é âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â, ùî âõîäÿòü äî ïðàâèõ ÷àñòèí òà äî ïîõèáîê âèì³ðþâàíü, äàëè çìîãó îòðèìàòè ïàðàáîë³÷í³ ð³âíÿííÿ äëÿ ì³í³ìàêñíèõ ïðîãíîçíèõ îö³íîê. Ó ö³é ñòàòò³ ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷ó ì³í³ìàêñíîãî îö³íþâàííÿ ôóíêö³îíàëó â³ä ðîçâ’ÿçêó ïàðàáîë³÷íî¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ ç³ øâèäêî êîëèâíèìè êîåô³ö³ºíòàìè ïðè íåë³í³éíèõ ñïîñòåðåæåííÿõ. Çàäà÷ó ñóòòºâî óñêëàäíþº íåë³í³éí³ñòü îïåðàòîðà ñïîñòåðåæåííÿ (îïåðàòîðà òèïó ñóïåðïîçèö³¿), íàÿâí³ñòü øâèäêî êîëèâíèõ êîåô³ö³ºíò³â òà íåïîâíîòà ³íôîðìàö³¿ ùîäî ôóíêö³é ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ òà ó ïî÷àòêîâ³é óìîâ³. Öå çóìîâëþº ïîòðåáó â ïîøóêó íàáëèæåíî¿ îö³íêè ôóíêö³îíà- ëà â³ä ðîçâ’ÿçêó âèõ³äíî¿ çàäà÷³ ç âèêîðèñòàííÿì òåîð³¿ óñåðåäíåííÿ [8, 9] òà ìå- òîä³â, îïèñàíèõ ó [10, 11]. Ñïî÷àòêó äîâîäèìî ³ñíóâàííÿ ãàðàíòîâàíî¿ ë³í³éíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³íêè âèõ³äíî¿ çàäà÷³. Äàë³ îá´ðóíòîâóºìî òå, ùî îö³íêà çàäà÷³ ç óñåðåäíåíèìè ïàðàìåòðàìè º íàáëèæåíîþ ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàä- ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 95 © Î.Ã. Íàêîíå÷íèé, Î.À. Êàïóñòÿí, À.Î. ×èêð³é, 2019 ðàòè÷íîþ îö³íêîþ âèõ³äíî¿ çàäà÷³. ßê ïðèêëàä, äëÿ ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó ìíî- æèí, ÿêèì íàëåæàòü íåâ³äîì³ ôóíêö³¿ ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ òà ó ïî÷àòêîâ³é óìîâ³, çíàéäåíî âèãëÿä íàáëèæåíî¿ ãàðàíòîâàíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³íêè. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Íåõàé � �� n — îáìåæåíà îáëàñòü ³ç êóñêîâî-ãëàäêîþ ãðàíèöåþ �� , Q TT � �( , )0 � — öèë³íäð ç á³÷íîþ ïîâåðõíåþ � �T T� ��( , )0 . Ó öèë³íäð³ QT ðîçãëÿäàºòüñÿ çàäà÷à L y y t A y f t x y y x f x T � � � � � � � � � � � � � � �� 1 0 0 0 ( , ), \| , ( , ) ( ), � � � � � (1) äå A a x� �� div ( ( ) ) , a x a x� �( ) ( / )� , a L n� � ( )� — çàäàíà ïåð³îäè÷íà, ñè- ìåòðè÷íà ìàòðèöÿ òàêà, ùî � � �� 1 20 0, � �x n � , � �� n � � � � � �1 2 1 1 2 2 1 i i n i j i j i j n i i n a x � � � � � �� , , ( ) . (2) Çàóâàæèìî, ùî äëÿ f t x L QT1 2( , ) ( )� , f x L0 2( ) ( )� � ó ïðîñòîð³ Ñîáîëºâà W QT 0 2 1 0, ( ) ³ñíóº ºäèíèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1) [12]. Íàäàë³ ïðèïóñòèìî, ùî äëÿ äåÿêèõ f f0 1, ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ðåàë³çàö³ÿ âèïàä- êîâî¿ ôóíêö³¿ � � ( ),x x ��, âèãëÿäó � �� ( ) ( , , ( , )) ( , ) ( )x C t x y t x y t x dt x T � � �� 0 , (3) äå C C t x T� � �� ( , , ): ( , )0 � � � — çàäàíà âèì³ðíà îáìåæåíà ôóíêö³ÿ òàêà, ùî � �� , � �� ( , )0 1 ³ äëÿ ìàéæå âñ³õ (ì.â.) ( , ) ( , )t x T� �0 � âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü \| ( , , )\| ( , )C t x C t x� � � 1 , (4) C L QT1 � � ( ) — çàäàíà íåâ³ä’ºìíà ôóíêö³ÿ; �( )x — âèïàäêîâå ïîëå, äëÿ ÿêîãî E x�( ) � 0 ³ ôóíêö³ÿ E x� 2 ( ) âèì³ðíà òà ³íòåãðîâíà. Ôóíêö³¿ f L QT� 2 ( ) ³ f L0 2� ( )� ç (1) íåâ³äîì³, ïðîòå â³äîìî, ùî âîíè íàëå- æàòü îáìåæåí³é çàìêíåí³é îïóêë³é ìíîæèí³ F ç ïðîñòîðó L L QT 2 2( ) ( )� � ; êîðå- ëÿö³éíà ôóíêö³ÿ R x x E x x( , ) ( ) ( )1 2 1 2� � � íåâ³äîìà, àëå â³äîìî, ùî âîíà íàëåæèòü îáìåæåí³é ìíîæèí³ V ç ïðîñòîðó L2 ( )� �� . Çàäà÷à ïîëÿãàº â îö³íþâàíí³ ôóíêö³îíàëà l y l t x y t x dt dx QT ( ) ( , ) ( , )� �� , (5) äå l L QT� 2 ( ) — çàäàíà ôóíêö³ÿ, y� — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1). Îçíà÷åííÿ 1. Ë³í³éíîþ îö³íêîþ ôóíêö³îíàëà l y( )� íàçâåìî âèðàç � ( ) ( ) ( ) ( , )l y u x x dx ñ u ñ� � �� , (6) äå u L� 2 ( )� — çàäàíà ôóíêö³ÿ, � � ( )x — ñïîñòåðåæåííÿ (3), ñ��1— êîíñòàíòà. 96 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Òóò ³ íàäàë³ \|\| \|\|� ³ ( , )� � — íîðìà ³ ñêàëÿðíèé äîáóòîê â L2 ( )� , \|\| \|\|� QT , ( , )� � QT — íîðìà ³ ñêàëÿðíèé äîáóòîê â L QT 2 ( ) . Îçíà÷åííÿ 2. Âèðàç � � � �( , ) ( ( ( ) � ( )) ) , /u c E l y l y F V � �sup 2 1 2 (7) íàçâåìî ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ ïîõèáêîþ îö³íþâàííÿ. Îçíà÷åííÿ 3. Îö³íêà � � ( ) � ( ) ( ) � ( �, ) �l y u x x dx ñ u c� � �� , (8) äëÿ ÿêî¿ ( �, � ) min ( , )u c u c�Arg � � (òîáòî inf u c u c u c , ( , ) ( �, � )� �� 2 2� ), íàçèâàºòüñÿ ãà- ðàíòîâàíîþ ë³í³éíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ îö³íêîþ (ÃËÑÎ) ôóíêö³îíàëà � ( )l y� , à âåëè÷èíà � � ( �, � )u c — ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ ïîõèáêîþ (ÃÑÏ) îö³íêè � � ( )l y� . Íåõàé äëÿ äåÿêîãî � � 0 ìíîæèíà V ì³ñòèòü ï³äìíîæèíó V1 âèãëÿäó V R R x x R x x dx dx1 1 2 0 1 2 2 1 2 2� � � � �� : ( ( , ) ( , )) � � � , (9) äå R L0 2� �( )� � — â³äîìà êîðåëÿö³éíà ôóíêö³ÿ. Òîä³ ìàº ì³ñöå òàêå òâåðä- æåííÿ. Òâåðäæåííÿ 1. ²ñíóº ÃËÑÎ ôóíêö³îíàëà l y( )� ³ ïðè öüîìó � ( ( � ) ( � ))c u u� �� 1 2 � �� , (10) � � �� 2 2 1 2 1 1 4 ( �, � ) ( ( � ) ( � )) ( , ) � ( )u c u u R x x u x V � � �� sup � ( )u x dx dx2 1 2 � �� , (11) äå � �� ( � ) ( , � ), ( � ) inf ( , � )u S f u u S f u F F sup , S f u l y u x C t x y t x y t x dtdx QT � � � � �( , � ) ( ) � ( ) ( , , ( , )) ( , )� � �� . Äîâåäåííÿ. Ä³éñíî, çã³äíî ç îçíà÷åííÿì 2 ìàº ì³ñöå ð³âí³ñòü � �� 2 2( , ) ( ( , ) ) ( ) ( )u c S f u ñ E u x x dx F V � � � � � � � � !�sup sup � ! � 2 � � � � �sup sup F V S f u ñ R x x u x u x dx dx( ( , ) ) ( , ) ( ) ( )� 2 1 2 1 2 1 2 � � . Çàóâàæèìî, ùî � � 2 ( , )u c — îïóêëèé íàï³âíåïåðåðâíèé çíèçó ôóíêö³îíàë çà çì³ííîþ u L� 2 ( )� . Êð³ì òîãî, âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü � � � 2 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( ) ( )u c S f u ñ R x x u x u x d F V " � �sup sup x dx1 2 � �� sup F S f u ñ R x x u x u x dx dx( ( , ) ) ( , ) ( ) ( )� 2 0 1 2 1 2 1 2 � � � � � �sup V R x x R x x u x u x dx dx 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2( ( , ) ( , )) ( ) ( ) . � � ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 97 Äàë³ îäåðæèìî, ùî sup V R x x R x x u x u x dx dx u 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2( ( , ) ( , )) ( ) ( ) \| \|� � � � � � � 2 ( )x dx � � . (12) Ç îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ âèïëèâàº, ùî lim ( , ) \|\| \|\|u u c �� 2 . Çâ³äñè òà ç â³äîìîãî ðå- çóëüòàòó [14] äëÿ ñëàáêî-íàï³âíåïåðåðâíèõ çíèçó ôóíêö³îíàë³â âèïëèâàº, ùî ³ñíóº �u òàêå, ùî inf u u c u c� �� 2 2( , ) ( �, )� . (13) Çàóâàæèìî äàë³, ùî âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü � �� ( ) ( , ) ( )u S f u u , çâ³äêè âèïëèâàº, ùî � � � � �� 2 1 2 1 2 ( , ) ( ( ) ( )) \| ( ( ) ( ))\|u c u u c u u� � � � � � � � � � � � � ! � 2 (14) � " � � � � �sup V R x x u x u x dx dx u u( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 4 � � � �� )2 � � " � �sup V R x x u x u x dx dx( , ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 � � " � �� min ( ( ) ( )) ( , ) ( ) ( ) u V u u R x x u x u x dx d 1 4 2 1 2 1 2 1� �� sup x2 � �� , à ì³í³ìóì â îñòàíí³é íåð³âíîñò³ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ u u� �, îòæå � ( ( � ) ( � ))c u u� �� 1 2 � �� , (15) ïðè öüîìó � � �� 2 2 1 2 1 1 4 ( �, � ) ( ( � ) ( � )) ( , ) � ( )u c u u R x x u x V � � �� sup � ( )u x dx dx2 1 2 � �� . Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî. Íåë³í³éí³ñòü C � ³ íàÿâí³ñòü øâèäêî êîëèâíèõ êîåô³ö³ºíò³â ó A � , C � çìóøóº íàñ øóêàòè íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1)–(5) çà ìåòîäèêîþ, çàïðîïîíîâàíîþ â [10, 11], âèêîðèñòîâóþ÷è òåîð³þ óñåðåäíåííÿ [8, 9]. Íåõàé ñòàëà, äîäàòíî âèç- íà÷åíà ìàòðèöÿ a 0 º óñåðåäíåíîþ äëÿ ìàòðèö³ a x� ( ) , A a0 0� div( ) . Óñåðåä- íåí³ êîåô³ö³ºíòè, ÿê ³ ñàìó óñåðåäíåíó çàäà÷ó, ìîæíà îòðèìàòè ìåòîäîì àñèìï- òîòè÷íèõ ðîçêëàä³â, äåòàëüíî îïèñàíèì ó [11]. Ïðèïóñòèìî, ùî ³ñíóº âèì³ðíà îáìåæåíà ôóíêö³ÿ C t x L QT 0 ( , ) ( )� � òàêà, ùî �r C t x C t x� �( , , ) ( , )� 0 ïðè � � 0 ð³âíîì³ðíî ïî \| \|� � r . (16) Äëÿ ô³êñîâàíîãî u L� 2 ( )� ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó L y y t A y f t x y y x f x T 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 � � � � � � � � �� ( , ), \| , ( , ) ( ). � � � � � (17) 98 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Çàóâàæèìî, ùî äëÿ f t x L QT1 2( , ) ( )� , f x L0 2( ) ( )� � ó ïðîñòîð³ Ñîáîëºâà W QT 0 2 1 0, ( ) ³ñíóº ºäèíèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê y0 çàäà÷³ (17) [12]. Ïðèïóñòèìî òàêîæ, ùî äëÿ äåÿêèõ f t x L QT1 2( , ) ( )� , f x L0 2( ) ( )� � ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ðåàë³çàö³ÿ âèïàäêîâî¿ ôóíêö³¿ � 0 ( ),x x ��, âèãëÿäó � �0 0 0 0 ( ) ( , ) ( , ) ( )x C t x y t x dt x T � � �� . (18) Íåõàé ôóíêö³ÿ � ( )u L0 2� � ³ ÷èñëî �c 0 çíàõîäÿòüñÿ ³ç ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ inf u c u c u c , ( , ) ( � , � )� � 0 2 0 2 0 0� , (19) äå � 0 2 0 0( � , � )u c � � � �� 1 4 0 0 0 0 2 1 2 0 1 0 2( ( � ) ( � )) ( , ) � ( ) � ( )� �u u R x x u x u x V sup dx dx1 2 � �� , (20) � � 0 0 0 0 0 0 0 0� �� ( � ) ( , � ), ( � ) inf ( , � )u S f u u S f u F F sup , (21) S f u l y u x C t x y t x dtdx QT 0 0 0 0 0 0( , � ) ( ) � ( ) ( , ) ( , )� � �� , l y( )0 — ôóíêö³îíàë âèãëÿäó (5), y0 — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1) äëÿ � � 0. Îçíà÷åííÿ 4. Îö³íêó âèãëÿäó � ( ) ( � , ) �l y u c0 0 0� �� , (22) äå � �— ñïîñòåðåæåííÿ âèãëÿäó (3), y� — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), íàçâåìî íàáëè- æåíîþ ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîþ îö³íêîþ (ÍÃÑÎ) äî ãàðàíòîâàíî¿ ë³í³éíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³íêè. ÎÑÍÎÂÍ² ÐÅÇÓËÜÒÀÒÈ Îá´ðóíòóºìî áëèçüê³ñòü íàáëèæåíî¿ ãàðàíòîâàíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³í- êè äî ë³í³éíî¿ îö³íêè ôóíêö³îíàëà (6). Òâåðäæåííÿ 2. Ìàº ì³ñöå ãðàíè÷íà ð³âí³ñòü lim ( ( ) � ( )) ,� � � � � � � 0 0 2 0 2sup F V E l y l y , (23) äå � 0 2 0 0 0 0 0� � � � � � � � �sup F Q l y u x C t x y t x dtdx c T ( ) � ( ) ( , ) ( , ) � � ! ! � 2 (24) � � �sup V R x x u x u x dx dx( , ) � ( ) � ( )1 2 0 1 0 2 1 2 � � . Äîâåäåííÿ. Çàóâàæèìî, ùî sup F V E l y l y , ( ( ) � ( ))� �� 0 2 � � � ��sup F Q l y u x C t x y t x y t x dtdx c T ( ) � ( ) ( , , ( , )) ( , ) � � � � �0 0 2 � � � � � ! ! � (25) � � �sup V R x x u x u x dx dx( , ) � ( ) � ( )1 2 0 1 0 2 1 2 � � . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 99 Íåõàé { � , � }f fk k 0 1 — ìàêñèì³çóâàëüíà ïîñë³äîâí³ñòü ó (25). Òîä³ çà ï³äïîñë³äîâí³ñòþ { � , � } { � , � }f f f fk k 0 1 0 1� ñëàáêî â L L QT 2 2( ) ( )� � . Òàêèì ÷èíîì, ç [13] âèïëèâàº � �y yk � 0 â L QT 2 ( ) , (26) äå �y0 — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (17) ç óìîâàìè � , �f f1 0 . Äîâåäåìî, ùî ìàº ì³ñöå çá³æí³ñòü äëÿ äåÿêî¿ ôóíêö³¿ C t x y u C t x uk k k� ( , , � ) � ( , ) �� 0 0 ñëàáêî â L QT 2 ( ) . (27) Ç³ çá³æíîñò³ (16) âèïëèâàº, ùî � �r 0 � � � k r k Q r C t x y t x C t x dtdxk T ( ): \| ( , , � ( , )) ( , )\| \| \| � � � �sup 0 2 � 0 , k � �. Ïîêëàäåìî Q k r t x y t x rT k( , ) ( , )\| \| � ( , )\|� �{ } . Çã³äíî ç íåð³âí³ñòþ ×åáèøîâà ³ çá³æí³ñòþ (26) îäåðæèìî ( \ ( , )) \| � ( , )\|Q Q k r r y t x dt dx C r T T k QT � �� 1 , (28) äå êîíñòàíòà C � 0 íå çàëåæèòü â³ä k r, . Òîä³ \| ( , , � ( , )) ( , )\|C t x y t x C t x dt dxk T k Q � � �� 0 2 � � �� \| ( , , � ( , )) ( , )\| ( , ) C t x y t x C t x dt dxk T k Q k r � 0 2 � � �� \| ( , , � ( , )) ( , )\| ( ) \ ( , ) C t x y t x C t x dt dx rk T T k Q Q k r k � �0 2 � � � 2 1 2\| \| \| \| , ( ) C C rL QT (29) äå ôóíêö³ÿ C1 âçÿòà ç óìîâè (4). Îñòàííÿ íåð³âí³ñòü (29) îçíà÷àº, ùî C t x y C t xk k� ( , , � ) ( , )� 0 â L QT 2 ( ). Òîä³ â ñèëó íåð³âíîñò³ Ãåëüäåðà \| ( , , � ( , )) ( , )\| \| � ( )\| ,C t x y t x C t x u x dtdx kk T k k Q � � � � � �� 0 0 . Îòæå, çà ï³äïîñë³äîâí³ñòþ ( ( , , � ( , )) ( , )) � ( ) ,C t x y t x C t x u x kk k k� � � � �0 0 äëÿ ì.â. ( , )t x . Ç ëåìè Ë³îíñà [14] îòðèìóºìî ( ( , , � ) ( , )) � ,C t x y C t x u kk k k� � � � �0 0 ñëàáêî â L QT 2 ( ) . (30) Îñê³ëüêè C t x u u kk0 0 0( , )( � � ) ,� � � � ñëàáêî â L QT 2 ( ), (31) òî ç³ çá³æíîñòåé (30), (31) îòðèìóºìî çá³æí³ñòü (27). Òàêèì ÷èíîì, ç³ çá³æíîñòåé (26) ³ (27) îäåðæóºìî ð³âí³ñòü (23). Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî. 100 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Çíàéäåìî âèãëÿä ÍÃÑÎ ó âèïàäêó, êîëè V V� 1, à ìíîæèíà F ìàº âèãëÿä F f f f f q x f x f x dx� � � � � �� ( , ): ( , ) ( )( ( ) ( ))0 1 0 1 0 2 0 0 2# � � � � � � � �� q t x f t x f t x dxdt QT 1 2 1 1 2 1( , )( ( , ) ( , )) , (32) äå q x0 ( ) , q t x1 ( , ) — íåïåðåðâí³ ôóíêö³¿ ó â³äïîâ³äíèõ çàìêíåíèõ îáëàñòÿõ, ïðè÷îìó � �0 1 0, $ òàê³, ùî q x 0 2 0( ) " � , q t x 1 2 1( , ) " � , f x f t x0 1( ), ( , ) — â³äîì³ ôóíêö³¿ ç L2 ( )� òà L QT 2 ( ) â³äïîâ³äíî. Çíàéäåìî ôóíêö³þ � ( )u x0 òà êîíñòàíòó �c 0 äëÿ öüîãî âèïàäêó. Ñïî÷àòêó ââå- äåìî ôóíêö³¿ � ( , )z t x òà � ( , )p t x ÿê óçàãàëüíåí³ ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè ð³âíÿíü L z z t A z l t x C t x u x z z 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � ( , ) ( , ) � ( ), �\| , � (� T x L p p t A p q t x z t x p p , ) , � � � ( , ) � ( , ), � \| , � � � � � � � � � � 0 0 0 0 1 2 � ( , ) ( ) � ( , ),0 0 0 2x q x z x� � � � � � � � � (33) äå L 0 � — îïåðàòîð, ôîðìàëüíî ñïðÿæåíèé äî L0 , ³ íåõàé âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü R u u x C t x p t x dt T 0 0 0 0 0 � \| \| � ( ) ( , ) � ( , )� � �� . (34) Äàë³ áóäå ïîêàçàíî, ùî ñèñòåìà (33) ìàº ºäèíèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé íàëåæèòü ïðîñòîðó W Q W QT T 0 2 1 0 0 2 1 0, , ( ) ( )� . Òåîðåìà 1. Ìàº ì³ñöå ð³âí³ñòü � 0 2 � l p( � ) , (35) ôóíêö³ÿ � ( )u x0 âèçíà÷àºòüñÿ ³ç ñèñòåì ð³âíÿíü (33) ³ ïðè öüîìó � � ( , ) ( ) � ( , ) ( , )c z x f x dx z t x f t x dtdx QT 0 0 10� �� . (36) Äîâåäåííÿ. Íåõàé � ( , )z t x º óçàãàëüíåíèì ðîçâ’ÿçêîì ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ñèñ- òåìè (33). Ââåäåìî ôóíêö³¿ � � 0 0 � �( ), ( )u u ÿê íàâåäåíî ó âèðàçàõ (19), äå S f u z x f x dx z t x f t x dtdx QT 0 0 10( , ) � ( , ) ( ) � ( , ) ( , )� �� . (37) Âèêîðèñòîâóþ÷è íåð³âí³ñòü Êîø³–Áóíÿêîâñüêîãî, îäåðæèìî 1 2 0 0( ( ) ( ))� �� u u � � � � � � � � � � �� ( , ) ( ) � ( , ) ( , )z x q x dx z t x q t x dtdx QT 2 0 2 2 1 20 � ! ! � 1 2 1d z( � ) , (38) 1 2 0 0 0 0 1( ( ) ( )) � ( , ) ( ) � ( , ) ( , )� �� u u z x f x dx z t x f t x d � tdx d z QT � � 2 ( � ) . (39) Çâ³äñè, âðàõîâóþ÷è âèðàç äëÿ sup V Ru u 1 ( , ) òà âèðàç (11), îòðèìàºìî J u d z R x x u x u x dx dx u0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2( ) ( � ) ( , ) ( ) ( ) \| \| (� � � � � � � � x dx) � � . (40) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 101 Îñê³ëüêè J u0 ( ) — îïóêëèé ñëàáêî-íàï³âíåïåðåðâíèé çíèçó ôóíêö³îíàë ³ lim ( ) \|\| \|\|u J u �� 0 , òî ³ñíóº ºäèíà ôóíêö³ÿ � ( ) ( )u x L0 2� � , ÿêà çíàõîäèòüñÿ ³ç ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ inf u J u J u0 0 0( ) ( � )� . Òîä³ äëÿ ôóíêö³¿ � ( )u x0 ñïðàâåäëèâà òîòîæí³ñòü d d J u v 0 0 0 0( � )� % � � �v x L( ) ( )2 � . (41) Ââåäåìî ôóíêö³þ � ( , )p t x ÿê óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê äðóãîãî ð³âíÿííÿ ñèñòå- ìè (33). Îñê³ëüêè q t x z t x L QT1 2 2� �( , ) � ( , ) ( ) , òî ó ïðîñòîð³ W QT 0 2 1 0, ( ) ³ñíóº ºäè- íèé ðîçâ’ÿçîê öüîãî ð³âíÿííÿ ³ç ñèñòåìè (33). Òîä³ 1 2 0 0 0 d d J u v ( � )\|� �� \| \| � ( ) ( ) ( , )� ( ) ( )� u x v x dx R x x u x dx v x dx0 0 1 0 1 1 � �� %�� C t x p t x dt v x dx T 0 0 0( , ) � ( , ) ( ) . � (42) Çâ³äñè îäåðæèìî, ùî ôóíêö³ÿ � ( )u x0 º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ \| \| � ( ) ( , ) � ( ) ( , ) � ( , )� u x R x x u x dx C t x p t x dt T 0 0 1 0 1 1 0 0 � �� . (43) Äîâåäåìî äàë³, ùî âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü (35). Îñê³ëüêè � � 0 2 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 2� � � � �d z R x x u x u x dx dx( � ) ( , ) � ( ) � ( ) \| \| ( � � � ( ))u x dx0 2 � � , (44) òî, âðàõîâóþ÷è ð³âíÿííÿ äëÿ � ( , )p t x ñèñòåìè (33), îäåðæèìî d z z x p x dx z t x p t x dtdx QT 1 0 0( � ) � ( , ) � ( , ) � ( , ) � ( , )� � �� l t x p t x dtdx u x C t x p t x dtdx Q QT T ( , ) � ( , ) � ( ) ( , ) � ( , )0 0 , (45) à çã³äíî ç (43) ìàºìî \| \| ( � ( )) ( , ) � ( ) � ( ) �� u x dx R x x u x u x dx dx u0 2 0 1 0 0 1 1 � � � � �� 0 0( ) ( , ) � ( , )x C t x p t x dtdx QT � . Çâ³äñè îäåðæèìî, ùî � 0 2 � � l t x p t x dtdx QT ( , ) � ( , ) , (46) ùî ³ äîâîäèòü ð³âí³ñòü (35). Òåîðåìó äîâåäåíî. Çàóâàæåííÿ 1. ßêùî ôóíêö³ÿ f t x1 ( , ) — â³äîìà ³ äîð³âíþº f t x1 ( , ) , òîä³ ñèñ- òåìà ð³âíÿíü äëÿ âèçíà÷åííÿ � ( )u x0 ìàòèìå âèãëÿä L z z t A z l t x C t x u x z z 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � ( , ) ( , ) � ( ), �\| , � (� T x L p p t A p p p x q x z , ) , � � � , � \| , � ( , ) ( ) � � � � � � � � �� 0 0 0 0 0 0 0 2 � ( , ),0 x � � � � � � � (47) à òàêîæ âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü (34). 102 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Ïðèêëàä 1. Çíàéäåìî ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè (47) ó âèïàäêó, êîëè R0 0� , q x q0 0( ) � , C t x C t0 ( , ) ( )� , à ìàòðèöÿ a x0 ( ) — ñèìåòðè÷íà. Ïîçíà÷èìî � k x( ) óçàãàëüíåí³ âëàñí³ ôóíêö³¿ îïåðàòîðà L0 , à � k — âëàñí³ ÷èñëà. Áóäåìî øóêàòè ôóíêö³¿ � ( , )z t x òà � ( , )p t x ó âèãëÿä³ � ( , ) ( ) ( ), � ( , ) ( ) ( )z t x z t x p t x p t xk k k k k k � � � � � � � �� 1 1 . (48) Ðîçêëàäåìî ôóíêö³þ l t x( , ) ó ðÿä l t x l t xk k k ( , ) ( ) ( )� � � � � 1 . (49) Òîä³ äëÿ z tk ( ) ³ p tk ( ) áóäåìî ìàòè ñèñòåìó ð³âíÿíü � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , � ( ) ( z t z t l t C t x z T p t p t k k k k k k k k k � � 0 ) , ( ) ( ),� � � �0 0 0 0 2p q zk k (50) äå x C p dk k T � � ( ) ( ) 0 . (51) Îñê³ëüêè ðîçâ’ÿçîê ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (50) ìàº âèãëÿä z t z t x z tk k k k( ) ( ) ( )� �1 2 , (52) äå z t iik ( ), ,�1 2 , — ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿíü � ( ) ( ) ( ), ( )z t z t l t z Tk k k k k1 1 0� � �� , (53) � ( ) ( ) ( ), ( )z t z t C t z Tk k k k2 2 2 0� � �� , (54) òî ðîçâ’ÿçîê äðóãîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (50) p tk ( ) ìàòèìå âèãëÿä p t p t x p tk k k k( ) ( ) ( )� �1 2 , (55) äå p t iik ( ), ,�1 2 , — ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿíü � ( ) ( ) , ( ) ( )p t p t p q zk k k k k1 1 1 0 2 10 0 0� � � �� , (56) � ( ) ( ) , ( ) ( )p t p t p q zk k k k k2 2 2 0 2 20 0 0� � � �� , (57) òîáòî p e q z p e q zk t k k t k k k 1 0 2 1 2 0 2 20 0 0 0( ) ( ), ( ) ( )� �� . (58) Çâ³äñè òà ç (55) îäåðæèìî p t e q z x zk t k k k k( ) ( ( ) ( ))� �� 0 2 1 20 0 , (59) à çã³äíî ç (51) x C t e dt q z x zk t k k k T k� � �� ( ) ( ( ) ( )) � 0 2 1 2 0 0 0 , (60) îòæå, x b zk k k� ( )0 , äå b C t e dt q z C t ek t k T tk k� � � � � � � � ! ! �� 1 0 0 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) � � dt q z k T � � � 0 2 1 0 0( ) . Òîä³ ç ð³âíîñòåé (34) ³ (51) îòðèìàºìî, ùî � ( ) \| \| ( ) ( )u x x t xk k k 0 1 1 � � � � �� , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 103 ïðè öüîìó � � ( , ) ( )c z x f x dx0 00� � � . (61) Îòæå, çíàéäåíî ôóíêö³þ � ( )u x0 òà êîíñòàíòó �c 0 äëÿ öüîãî âèïàäêó. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Ó ñòàòò³ ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ì³í³ìàêñíîãî îö³íþâàííÿ ôóíêö³îíàëà â³ä ðîçâ’ÿç- êó ïàðàáîë³÷íî¿ çàäà÷³ ç³ øâèäêî êîëèâíèìè êîåô³ö³ºíòàìè. Íåâèçíà÷åí³ñòü òóò ïðåäñòàâëåíî ÷åðåç íàÿâí³ñòü íåâ³äîìèõ ôóíêö³é ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿí- íÿ, ó ïî÷àòêîâ³é óìîâ³ òà ó ñïîñòåðåæåíí³. Ñïåðøó îá´ðóíòîâàíî ³ñíóâàííÿ ãàðàíòîâàíî¿ ë³í³éíî¿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íî¿ îö³íêè âèõ³äíî¿ çàäà÷³. Îñê³ëüêè íåë³í³éí³ñòü îïåðàòîðà ñïîñòåðåæåííÿ ³ íàÿâí³ñòü øâèäêî êîëèâíèõ êîå- ô³ö³ºíò³â íå äàþòü çìîãè çíàéòè îö³íêó ôóíêö³îíàëó â³ä ðîçâ’ÿçêó âèõ³äíî¿ çàäà÷³, òîìó çä³éñíåíî ïåðåõ³ä â³ä ðîçâ’ÿçêó óñåðåäíåíî¿ çàäà÷³ äî îö³íêè ôóíêö³îíàëà. Îñíîâíèì ðåçóëüòàòîì ðîáîòè º äîâåäåííÿ òîãî, ùî îö³íêà çà- äà÷³ ç óñåðåäíåíèìè ïàðàìåòðàìè º íàáëèæåíîþ ãàðàíòîâàíîþ ñåðåäíüîêâàä- ðàòè÷íîþ îö³íêîþ âèõ³äíî¿ çàäà÷³. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Íàêîíå÷íûé À.Ã. Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé âàðèàöèîííûõ óðàâíå- íèé â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Êè¿â: ÊÃÓ, 1985. 83 ñ. 2. Kapustyan E.A., Nakonechnyj A.G. The minimax problems of pointwise observation for a parabolic boundary value problem. Journal of Automation and Information Sciences. 2002. Vol. 34 (5–8). P. 52–63. 3. Nakonechnyi A.G., Podlipenko Yu.K., Zaitsev Yu.A. Minimax prediction estimation of solutions of initial-boundary-value problems for parabolic equations with discontinuous coefficients based on imperfect data. Cybernetics and Systems Analysis. 2000. Vol. 36, N 6. P. 845–854. 4. Zhuk S., Nakonechnii O. Minimax state estimates for abstract Neumann problems. Minimax Theory and its Applications. 2018. Vol. 3, N 1. P. 1–21. 5. Kapustian O., Nakonechnyi O., Podlipenko Yu. Minimax estimation of solutions of the first order linear hyperbolic systems with uncertain data. Statistics, Optimization and Information Computing. 2019 (in print). 6. Luz M., Moklyachuk M. Minimax-robust filtering problem for stochastic sequences with stationary increments and cointegrated sequences. Statistics, Optimization and Information Computing. 2014. Vol. 2. P. 176–199. 7. Chikrii A.A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. Vol. 271, Iss. 1. P. 69–85. 8. Æèêîâ Â.Â., Êîçëîâ Ñ.Ì., Îëåéíèê Î.À. Óñðåäíåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 1993. 464 ñ. 9. Áàõâàëîâ Í.Ñ., Ïàíàñåíêî Ã.Ï. Îñðåäíåíèå ïðîöåññîâ â ïåðèîäè÷åñêèõ ñðåäàõ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1984. 352 ñ. 10. Kapustian O.A., Sobchuk V.V. Approximate homogenized synthesis for distributed optimal control problem with superposition type cost functional. Statistics, Optimization and Information Computing. 2018. Vol. 6, N 2. P. 233–239. 11. Kapustyan E.A., Nakonechnyj A.G. Optimal bounded control synthesis for a parabolic boundary-value problem with fast oscillatory coefficients. Journal of Automation and Information Sciences. 1999. Vol. 31, Iss. 12, P. 33–44. 12. Ìèõàéëîâ Â. Ï. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 391 ñ. 13. Denkiwski Z., Mortola S. Asymptotic behavior of optimal solutions to control problems for systems described by differential inclusions corresponding to partial differential equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 1993. Vol. 78. P. 365–391. 14. Ëèîíñ Æ.-Ë. Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Ìèð, 1972. 588 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.03.2019 104 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 À.Ã. Íàêîíå÷íûé, Å.À. Êàïóñòÿí, À.À. ×èêðèé ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÅ ÑÐÅÄÍÅÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÎÂ ÎÒ ÐÅØÅÍÈÉ ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÈÕ ÇÀÄÀ× Ñ ÁÛÑÒÐÎ ÊÎËÅÁËÞÙÈÌÈÑß ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ ÏÐÈ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ìèíèìàêñíîãî îöåíèâàíèÿ ôóíêöèîíàëà îò ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷è ñ áûñòðî êîëåáëþùèìèñÿ êîýôôèöèåíòàìè. Ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è ïðèìåíåí òðàäèöèîííûé ìèíèìàêñíûé ïîäõîä èç-çà íàëè÷èÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ è â íà÷àëü- íîì óñëîâèè. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ãàðàíòèðîâàííîé ëèíåéíîé ñðåäíåê- âàäðàòè÷íîé îöåíêè èñõîäíîé çàäà÷è. Íàéäåíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èñ- õîäíîé çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè óñðåäíåíèÿ è ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ñèíòåçà äëÿ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Äîêàçàíî, ÷òî îöåíêà çàäà÷è ñ óñðåäíåííûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé ãàðàíòèðîâàí- íîé ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îöåíêîé èñõîäíîé çàäà÷è. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ãàðàíòèðîâàííûå ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îöåíêè, óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, áûñòðî êîëåáëþùèåñÿ êîýôôèöèåíòû, íàáëþäåíèå, ïðèáëèæåííûå îöåíêè, îïåðàòîð òèïà ñóïåðïîçèöèè. O.G. Nakonechnyi, O.A. Kapustian, A.O. Chikrii APPROXIMATE GUARANTEED MEAN SQUARE ESTIMATES OF FUNCTIONALS ON SOLUTIONS OF PARABOLIC PROBLEMS WITH FAST OSCILLATING COEFFICIENTS UNDER NONLINEAR OBSERVATIONS Abstract. The paper deals with the problem of minimax estimation of a functional on the solution of parabolic problem with rapidly oscillating coefficients. To solve this problem, the traditional minimax approach is used because of the presence of unknown functions on the right-hand side of the equation and in the initial condition. The existence of a guaranteed linear mean square estimate of the original problem is proved. An approximate solution of the original problem is found with the use of the averaging theory and the approximate synthesis methods for distributed systems. The main result of the work is to prove that the estimation of the problem with averaged parameters is an approximate guaranteed mean square estimation of the original problem. Keywords: guaranteed mean-square estimates, parabolic equations, fast oscillating coefficients, observations, approximate estimates, superposition type operator. Íàêîíå÷íèé Îëåêñàíäð Ãðèãîðîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: a.nakonechniy@gmail.com. Êàïóñòÿí Îëåíà Àíàòîë³¿âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê, çàñòóïíèê äåêàíà Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: olena.kap@gmail.com. ×èêð³é Àðêàä³é Îëåêñ³éîâè÷, àêàäåì³ê ÍÀÍ Óêðà¿íè, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ â³ää³ëó ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: g.chikrii@gmail.com. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 105

Institution

Similar Items