К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений
Решены задачи псевдообращения нелинейных дифференциальных моделей пространственно распределенных динамических систем. Рассматриваются системы, нелинейность которых образована произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния системы или путем замены этими преобразованиями коэф...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181036 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 115-127. — Бібліогр.: 9назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-181036 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Стоян, В.А. 2021-10-29T17:56:54Z 2021-10-29T17:56:54Z 2019 К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 115-127. — Бібліогр.: 9назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181036 519.6 Решены задачи псевдообращения нелинейных дифференциальных моделей пространственно распределенных динамических систем. Рассматриваются системы, нелинейность которых образована произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния системы или путем замены этими преобразованиями коэффициентов линейного приближения модели. Строятся аналитические зависимости функции состояния системы от дискретно опреденных значений внешнединамических возмущающих факторов. Розв’язано задачі псевдообернення нелінійних диференціальних моделей просторово розподілених динамічних систем. Розглянуто системи, нелінійність яких утворено добутком лінійних диференціальних перетворень функції стану системи або шляхом заміни цими перетвореннями коефіцієнтів лінійного наближення моделі. Будуються аналітичні залежності функції стану системи від дискретно визначених значень зовнішньодинамічних збурювальних факторів. Problems of pseudoinversion of nonlinear differential models of spatially distributed dynamical system are solved. Systems whose nonlinearity is formed by the product of linear differential transformations of system functional state or by replacing the coefficients of linear approximation by these transformations are considered. Analytic dependencies of system functional state on discretely defined values of/ outward-dynamical factors are constructed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений До побудови інтегральних математичних моделей двох класів нелінійних просторово розподілених систем. I. випадок дискретно визначених зовнішньодинамічних збурень On construction of integral mathematical models of two classes of nonlinear spatially distributed systems. I. The case of discretely defined outward-dynamical perturbations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| spellingShingle |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений Стоян, В.А. Системний аналіз |
| title_short |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| title_full |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| title_fullStr |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| title_full_unstemmed |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| title_sort |
к построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. i. случай дискретно определенных внешнединамических возмущений |
| author |
Стоян, В.А. |
| author_facet |
Стоян, В.А. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
До побудови інтегральних математичних моделей двох класів нелінійних просторово розподілених систем. I. випадок дискретно визначених зовнішньодинамічних збурень On construction of integral mathematical models of two classes of nonlinear spatially distributed systems. I. The case of discretely defined outward-dynamical perturbations |
| description |
Решены задачи псевдообращения нелинейных дифференциальных моделей пространственно распределенных динамических систем. Рассматриваются системы, нелинейность которых образована произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния системы или путем замены этими преобразованиями коэффициентов линейного приближения модели. Строятся аналитические зависимости функции состояния системы от дискретно опреденных значений внешнединамических возмущающих факторов.
Розв’язано задачі псевдообернення нелінійних диференціальних моделей просторово розподілених динамічних систем. Розглянуто системи, нелінійність яких утворено добутком лінійних диференціальних перетворень функції стану системи або шляхом заміни цими перетвореннями коефіцієнтів лінійного наближення моделі. Будуються аналітичні залежності функції стану системи від дискретно визначених значень зовнішньодинамічних збурювальних факторів.
Problems of pseudoinversion of nonlinear differential models of spatially distributed dynamical system are solved. Systems whose nonlinearity is formed by the product of linear differential transformations of system functional state or by replacing the coefficients of linear approximation by these transformations are considered. Analytic dependencies of system functional state on discretely defined values of/ outward-dynamical factors are constructed.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181036 |
| citation_txt |
К построению интегральных математических моделей двух классов нелинейных пространственно распределенных систем. I. Случай дискретно определенных внешнединамических возмущений / В.А. Стоян // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 115-127. — Бібліогр.: 9назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT stoânva kpostroeniûintegralʹnyhmatematičeskihmodeleidvuhklassovnelineinyhprostranstvennoraspredelennyhsistemislučaidiskretnoopredelennyhvnešnedinamičeskihvozmuŝenii AT stoânva dopobudoviíntegralʹnihmatematičnihmodeleidvohklasívnelíníinihprostorovorozpodílenihsistemivipadokdiskretnoviznačenihzovníšnʹodinamíčnihzburenʹ AT stoânva onconstructionofintegralmathematicalmodelsoftwoclassesofnonlinearspatiallydistributedsystemsithecaseofdiscretelydefinedoutwarddynamicalperturbations |
| first_indexed |
2025-11-27T04:52:25Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:52:25Z |
| _version_ |
1850797042974064640 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â.À. ÑÒÎßÍ
Ê ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÞ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÕ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÌÎÄÅËÅÉ ÄÂÓÕ ÊËÀÑÑÎÂ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ.
I. ÑËÓ×ÀÉ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ
ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ
Àííîòàöèÿ. Ðåøåíû çàäà÷è ïñåâäîîáðàùåíèÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ ìîäåëåé ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû, íåëèíåéíîñòü êîòîðûõ îáðàçîâàíà ïðîèçâåäåíèåì
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
èëè ïóòåì çàìåíû ýòèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî ïðè-
áëèæåíèÿ ìîäåëè. Ñòðîÿòñÿ àíàëèòè÷åñêèå çàâèñèìîñòè ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ
ñèñòåìû îò äèñêðåòíî îïðåäåííûõ çíà÷åíèé âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùà-
þùèõ ôàêòîðîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïñåâäîîáðàùåíèå, íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû,
ñèñòåìû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ðàñïðåäåëåííûå ïðîñòðàíñòâåííî-
âðåìåííûå ñèñòåìû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíû äèíàìè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåí-
íûå ñèñòåìû (ïðîöåññû), ëîãèêà ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êîòîðûõ îïèñàíà äèôôå-
ðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, à èññëåäîâàíèå èõ ñîñòîÿíèÿ â çàäàííîé ïðîñòðàí-
ñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè âûïîëíÿåòñÿ â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû íà÷àëüíî-êðàåâîé
èíôîðìàöèè î íèõ.  ñèëó ýòîãî ïîñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ áóäóò íåêîððåêòíûìè è ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòå-
ìàòèêè íåðàçðåøèìû. Ïðåäëîæåííûé â [1] è ðàçâèòûé â ðàáîòàõ [2, 3] ïîäõîä
ê ðåøåíèþ íàçâàííûõ çàäà÷ ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòå-
ìû [4], êîòîðàÿ, òî÷íî óäîâëåòâîðÿÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ìàòåìàòè-
÷åñêîé ìîäåëè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû, ñ íà÷àëüíî-êðàåâûìè íàáëþäåíèÿ-
ìè çà íåé ñîãëàñóåòñÿ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì êðèòåðèÿì íåçàâèñèìî îò êîëè-
÷åñòâà è êà÷åñòâà (äèñêðåòíûå, íåïðåðûâíûå) ïîñëåäíèõ. Óïîìÿíóòàÿ ìåòîäèêà
ðåøåíèÿ íàçâàííûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé è îñíîâàíà íà ìàòåìàòè÷åñ-
êîì ìîäåëèðîâàíèè (ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîìó êðèòåðèþ) èìåþùèõñÿ íà÷àëü-
íî-êðàåâûõ íàáëþäåíèé ñèñòåìîé äèñêðåòíî è íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûõ ìîäå-
ëèðóþùèõ ôóíêöèé. Ýòî ïîçâîëèëî ïîñòðîèòü è èññëåäîâàòü íà òî÷íîñòü è îä-
íîçíà÷íîñòü ìàòåìàòè÷åñêèå ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ëèíåéíûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ èìååòñÿ èíòåãðàëüíûé ýêâèâàëåíò èõ äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè. Ïðåäëîæåííûé â [5] è ðàçâèòûé â [3] àëãîðèòì ïîñòðî-
åíèÿ ÿäåð íàçâàííûõ èíòåãðàëüíûõ ìîäåëåé ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ýòè ìîäåëè
äëÿ ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííîé ñèñòåìû, äèíàìèêà êîòîðîé îïèñà-
íà ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì. Íàëè÷èå òàêîãî êëàññà èíòåã-
ðàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïîçâî-
ëèëî áû ìåòîäèêó, èçëîæåííóþ [2, 3], ðàñïðîñòðàíèòü íà ðåøåíèå íà÷àëüíî-
êðàåâûõ çàäà÷ è äëÿ ýòèõ ñèñòåì.
Âîñïîëíåíèþ ïðîáåëîâ â ìåòîäèêå [3, 5] ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíûõ ýêâèâà-
ëåíòîâ äèôôåðåíöèàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî
ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì è ðàñïðîñòðàíåíèþ ýòîé ìåòîäèêè íà íåëèíåéíûå äèíà-
ìè÷åñêèå ñèñòåìû ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ.
 ðàáîòå ðàññìîòðåíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ÿäåð èíòåãðàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñ-
êèõ ìîäåëåé äèíàìèêè ñèñòåì, â êîòîðûõ íåëèíåéíîñòè â äèôôåðåíöèàëüíîé
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 115
© Â.À. Ñòîÿí, 2019
ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ è áîëåå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû èëè ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå çàìåíû
òàêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ïðèáëèæåíèé ìîäåëè ñèñòå-
ìû. Êàê è â [5], áóäóò ïîñòðîåíû àíàëèòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ÿäåð èíòåãðàëüíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òàêèõ ñèñòåì òàê, ÷òîáû ïîñëåäíèå ïî ñðåäíå-
êâàäðàòè÷íûì êðèòåðèÿì ñîãëàñîâàëèñü ñ èõ äèôôåðåíöèàëüíûì ýêâèâàëåíòîì è
ïî ýòîìó æå êðèòåðèþ ïîçâîëÿëè ìåòîäèêó èç [2, 3] ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâà-
íèÿ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ðàñïðîñòðàíèòü è íà äàííûé êëàññ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì âîïðîñû èññëåäîâàíèÿ ìîäåëåé íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ ïðîñòðàí-
ñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Òèïàæ òàêèõ íåëèíåéíî-
ñòåé äîñòàòî÷íî øèðîê. Çäåñü àêöåíòèðóåòñÿ âíèìàíèå íà äâóõ êëàññàõ íåëè-
íåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, êîòîðûå åñòü ëîãè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì ðàñ-
ñìàòðèâàåìûõ â ðàáîòàõ [2–4] ìîäåëåé ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî
ðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïðåäñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî øèðîêèé
ñïåêòð íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Êàê è ïðè ðàññìîòðåíèè íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì [6,7], áàçîâîé
äëÿ èçó÷åíèÿ íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì ñ÷èòàåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü âèäà
L y s u ss( ) ( ) ( )� � , (1)
ãäå s S s x t x S R t T� � � � � �{ ( , ): , [ , ]}0 0� — ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ ïå-
ðåìåííàÿ, L a a as s
n
s
n
n( )� � � � � � ��
0 1
1 � — ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïå-
ðàòîð, â êîòîðîì
an k s
k
k k k
k k k k
k
x
k
x
k
t
k�
� � � �
� �
�
� � �
� �
�
�
�
�
0 1
0 1
1
1 0
�
� �
ïðè çàäàííûõ �
�k k k0 1�
è k �{ , }0 � .
Áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî óòî÷íåíèå ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ (1) äèôôå-
ðåíöèëüíîé ìîäåëè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà âûïîëíÿåòñÿ ïóòåì ïåðåìíîæåíèÿ
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ y s( ) , ÷òî
ïðèâîäèò ê ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì âèäà
L y s L y s L y s u ss s N s1 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )� � � � ( , )i N�1 , (2)
â êîòîðûõ Li s( )� ( , )i N�1 — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû, èëè çà-
ìåíîé êîýôôèöèåíòîâ �
�k k k0 1�
îïåðàòîðà L s( )� íà ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëü-
íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíè y s( ) , ÷òî ïðèâîäèò ê íåëèíåéíûì äèô-
ôåðåíöèàëüíûì ìîäåëÿì âèäà
L y s y s u ss( ( ), ) ( ) ( )� � , (3)
â êîòîðûõ (ïðè îäíîðàçîâîé çàìåíå)
L y s L y s L y s Ls s s
n
s s
n
n( ( ), ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (� � � � � � � � ��
0 1
1 � � s y s) ( ) .
Íåëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè (2), (3), áóäó÷è îáîáùåíèåì ñâîåãî
ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ (1), îïèñûâàþò äèíàìèêó ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäå-
ëåííîé ñèñòåìû â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè.
Ïðè èññëåäîâàíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì â îãðàíè÷åííûõ ïðîñòðàíñòâåí-
íî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ (îñîáåííî ïðè íåïîëíîòå íà÷àëüíî-êðàåâîé èíôîðìàöèè
î ñîñòîÿíèè ñèñòåìû) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäèêîé èññëåäîâàíèÿ íåïîëíî
íàáëþäàåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì äëÿ ëèíåéíîãî ñëó÷àÿ, ðàçâèòîé â [2–4]
è àïðîáèðîâàííîé â [8]. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî, åñëè îò äèôôåðåíöèàëüíûõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé (2), (3) ïåðåéòè ê ïðèíÿòûì â [2–4] èíòåãðàëüíûì ìàòåìà-
116 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
òè÷åñêèì ìîäåëÿì èëè ìîäåëÿì, áëèçêèì ê íèì. Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì èçëîæåííûõ
â [3, 9] ìåòîäèê ïñåâäîîáðàùåíèÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé è ìàòåìàòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ èç ðàáîò [6, 7] ïî ïñåâäîîáðàùåíèþ íå-
ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íåëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè (2), (3)
èññëåäóåì äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà ôóíêöèÿ y s( ) (îïðåäåëåííàÿ íåïðåðûâíî èëè äèñêðåò-
íî) ñòðîèòñÿ ïðè äèñêðåòíî íàáëþäàåìîì âíåøíåäèíàìè÷åñêîì âîçìóùåíèè u s( ) .
ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÛÕ
ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅÌ ÄÂÓÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ
ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÑÎÑÒÎßÍÈß
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ôóíêöèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ êîòîðîé â íåîãðàíè÷åííîé ïðî-
ñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè
S s x t x R t� � � �
{ ( , ): , }�
îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (2).
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) òàêîé, ÷òîáû ïðè çàäàííîé
äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè u s u s u sM( ), ( ), ..., ( )� � �1 2 ôóíêöèè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ
âîçìóùåíèé u s( ) ìèíèìèçèðîâàëîñü çíà÷åíèå
�� � � � �� � � �
�
[[ ( ) ( )]| [ ( ) ( )]| ( )]L y s L y s u ss s s s s s j
j
j j1 2
2
1
M
� . (4)
Ïðè ýòîì ðàññìîòðèì ñëó÷àè, êîãäà èñêîìàÿ ñîãëàñíî (4) ôóíêöèÿ y s( ) îïðå-
äåëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè èëè íàáîðîì çíà÷åíèé y s yl l( ) � ( , )l L�1 .  îáîèõ ñëó-
÷àÿõ áóäåì èñõîäèòü èç ïîëó÷åííûõ â [6,7] íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ïî èññëåäî-
âàíèþ íåëèíåéíûõ äèñêðåòíî-íåïðåðûâíûõ ñèñòåì. Äëÿ ýòîãî ñèñòåìó (2)
(ïðè N � 2) çàïèøåì â âèäå
u s u s u s1 2( ) ( ) ( )� , (5)
ãäå
u s L y sk k s( ) ( ) ( )� � ( , )k �1 2 (6)
èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî)
y s G s s u s dsk k
S
( ) ( ) ( )� � � � �
, (7)
à ïðè � � � � � ��� � � �( , ) ( , )1 � èìååì [5]
G s s
L i
e ek
kS
i x x
j
i t tj j j( )
( ) ( )
( ) (� � �
�
� �
�
�
�
1
2
1
1
1� ��
��
� �)d dj� �
— ôóíêöèþ Ãðèíà óðàâíåíèÿ (6) â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåí-
íîé îáëàñòè S (çäåñü i — ìíèìàÿ åäèíèöà).
Ñëó÷àé äèñêðåòíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì âàðè-
àíò ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà �
y y s l Ll� �( ( ), , )1 T
(8)
òàêîãî, ÷òîáû
�� min�
y
. (9)
Äèñêðåòèçèðóÿ òî÷êàìè s l Ll ( , )�1 , � �s l Mm ( , )1 ôóíêöèè G s s kk ( ) ( , )� � �1 2
ïî íåøòðèõîâàííûì è øòðèõîâàííûì êîîðäèíàòàì, ñîîòíîøåíèÿ (7) çàïèøåì â
âèäå � � �
y A u A u� �1 1 2 2 , (10)
ãäå A G s s sk k l m M l m
l L m M� � � �
�
� �
[ ( ) ]
,
,�
1
(� �sM — øàã äèñêðåòèçàöèè îáëàñòè S
òî÷êàìè �sm ), �
�u u s u s u sk k k k M� � � �( ( ), ( ), , ( ))1 2
T ( , )k �1 2 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 117
Îòñþäà ïðè
� k k
u
u A u y� � �{ : || || min}
� � �
�
2 ( , )k �1 2
îïðåäåëèì � �
�u u
u
1
2
1
�
�
arg min || ||
�
,
� �
�u u
u
2
2
2
�
�
arg min || ||
�
ñîîòíîøåíèÿìè [3]
� � �
u A y A A u1 1 1 2 2� �� � ,
� � �
u A y A A u2 2 2 1 1� �� �
(çäåñü è äàëåå çíàê + îáîçíà÷àåò îïåðàöèþ ïñåâäîîáðàùåíèÿ ìàòðèöû).
Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì � îïåðàöèþ äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ
è óðàâíåíèå (5), â êîòîðîì ôèãóðèðóþò íå îïðåäåëåííûå ïîêà âåêòîðû
�
u1 è
�
u2 ,
ïðåäñòàâèì â âèäå � � �
u u u1 2� �
èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî) â âèäå
� � �
u A A u u1 2 1 1� �� ,
� � �
u A A u u2 1 2 2� �� , (11)
ãäå �
u u s u s u s sM M� � � � �( ( ), ( ), ..., ( ))1 2
T � . (12)
Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëåííûé ñîãëàñíî (8), (9) âåêòîð
�
y áóäåò íàé-
äåí èç ñîîòíîøåíèÿ (10), â êîòîðîì
� � � �
�u A A u
R M
1 1 2 1 1
2
1
� � �
�
�arg min || ||
�
� � , (13)
� � � �
�u A A u
R M
2 2 1 2 2
2
2
� � �
�
�arg min || ||
�
� � . (14)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ (13), (14) èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [6]. Åñëè
îáîçíà÷èòü ÷åðåç A i1 , A i2 ìàòðèöû
A A A
M i
ij1
1
2 10 0�
�
�col str(( , ..., , ([ ]
( )
���
, j M i M
M iM
� �
�
1 0 0 1
2
, ), , ..., ), , )
���
, (15)
A A A
M i
ij2
1
1 20 0�
�
�col str(( , ..., , ([ ]
( )
���
, j M i M
M iM
� �
�
1 0 0 1
2
, ), , ..., ), , )
���
(16)
áåç ( ( ) )M i i� �1 -õ ñòîëáöîâ, à ÷åðåç a ai i1 2, — ýòè ñòîëáöû ìàòðèö, òî çíà÷å-
íèÿ u si1 ( )� , u si2 ( )� ( , )i M�1 (ñì. (13) è (14)) áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíè-
ÿì
u s q u q A
k i ki k i M i ki k k
2
1( ) [ ]( )� � � �� �
T T�
� � ( , , , )i M k� �1 1 2 , (17)
ãäå q
ki
T — âåêòîð-ñòðîêà, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
( )A aki ki� � �
Q
q
ki
ki
T
�
�
�
�
�
�
�
� ,
à � k
MR�
2
âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
� � �
� � �k i M j k i M i k j M j� � � � � ��
1
2
1 1 ( , )k �1 2 , (18)
ãäå j i M� , , i M�1, .
Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé íàéäåííûå âûøå âåêòîðû
� �
u u1 2, çíà÷åíèé ôóíêöèé
u s1 ( ) è u s2 ( ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (11), îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè
�
k u
k k k k
k
A u y y y y A A y2 2� � � � �min || ||�
� � � � � �T T ,
118 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
1
2
1 2
2
1 2 1 1
1 1
� � � � � ��min || || min || |� �
� � � � � �
u u
u u u u A A u u | 2 � (19)
� � � � �min || || ,
�
�
1
1 1
2
1 1
A u u u u A A u
� � � � �T T
2
2
1 2
2
2 1 2 2
2 2
� � � � � ��min || || min || |� �
� � � � � �
u u
u u u u A A u u | 2 �
� � � � �min || ||
�
�
2
2 2
2
2 2
A u u u u A A u
� � � � �T T ,
ãäå k �1 2, . Ïðè ýòîì
�1 1 1� � �col(( ( ) ( )u s u si j , j M�1, ), i M�1, ),
� 2 2 2� � �col(( ( ) ( )u s u si j , j M�1, ), i M�1, ).
Ïîýòîìó ðåøåíèåì ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è åñòü âåêòîð
� �
y A u� 1 1, åñëè � �
1
2
1
2
2
2
2
2�
�
èëè � �
y A u� 2 2 , åñëè � �
2
2
2
2
1
2
1
2�
� .
Çàìåòèì, ÷òî òî÷íîñòü ïîëó÷åííîãî òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿ çàäà÷è çàâèñèò
îò âûáîðà òî÷åê �sm ( , )m M�1 , êîòîðûìè îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íîñòü çàìåíû èíòåã-
ðàëüíîé ôîðìû (7) ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è åå äèñêðåòíûì àíàëîãîì (10).
Ñëó÷àé íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà-
÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) òàêîé, ÷òîáû
�� min
( )y s
. (20)
Êàê è ïðè ðåøåíèè ïðåäûäóùåé çàäà÷è, èñõîäèì èç óðàâíåíèÿ (2), ïðåä-
ñòàâëåííîãî â âèäå (5), (7). Ïîñëå äèñêðåòèçàöèè ôóíêöèè u s( ) óðàâíåíèÿ (2)
îïðåäåëåííûìè âûøå òî÷êàìè � � �s m Mm ( , )1 äëÿ k �1 2, ïîëó÷àåì
y s G s uk k( ) ( )�
�
, (21)
ãäå
�
uk îïðåäåëåí âûøå, à
G s G s s sk k m M( ) ( ( )� � � �str � , m M�1, ) .
Îòñþäà � � �
�u G s u y s ds P G Pk
u
k
S
k k yk k k
k
� � � � � �
�
� �
arg min ( ( ) ( ))2 � Pk k� (22)
ïðè âûáðàííûõ ñîãëàñíî (18) � k
MR�
2
è
�
G G s y s dsyk k
S
�
T ( ) ( ) , P G s G s dsk k
S
k�
T ( ) ( ) .
Ïðè ýòîì
�
k u s
k
m
M
S
m k m M
k
y s G s s u s s ds2
1
2� � � � � � �
�
�
min ( ( ) ( ) ( ) )
( )
�
� � � �
�min ( ( ) ( ) ) ( )�
� � �
u
S
k k
S
yk k yk
k
y s G s u ds y s ds G P G2 2 T . (23)
Ïîëàãàÿ � k � 0 ïðè
lim [ ( ) ( )]
,
,
N k l k m l m
l m N
G s G s
� �
� �det T
1
0 ,
èç (21), (22) íàõîäèì
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 119
� �
u P P u1 1 12 2� � ,
� �
u P P u2 2 21 1� � ,
ãäå P G s G s dsij i
S
j�
T ( ) ( ) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
îïðåäåëÿòñÿ ñîîòíîøåíèåì (21), â êîòîðîì
� � �
u P P u u1 2 21 1� �� , (24)
� � �
u P P u u2 1 12 2� �� . (25)
Cðåäíåêâàäðàòè÷íî îáðàùàÿ (24), (25), çàêëþ÷àåì, ÷òî çíà÷åíèÿ u si1 ( )� , u si2 ( )�
( , )i M�1 , êîòîðûå èìåþò ìåñòî â îïðåäåëåíèè âåêòîðîâ
�
u1 è
�
u2 , ïîëó÷èì
èç (17), åñëè ìàòðèöû A1 è A2 â îïðåäåëåíèÿõ (15), (16) ïðåäñòàâèòü â âèäå
A P P
M i
ij1
1
2 210 0�
�
�col str(( , ..., , ([ ]
( )
���
, j M i M
M iM
� �
�
1 0 0 1
2
, ), , ..., ), , )
���
,
A P P
M i
ij2
1
1 120 0�
�
�col str(( , ..., , ([ ]
( )
���
, j M i M
M iM
� �
�
1 0 0 1
2
, ), , ..., ), , )
���
.
Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé íàéäåííûå òàêèì îáðàçîì âåêòîðû
�
u1 è
�
u2 áóäóò óäîâ-
ëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèÿì (24), (25), ïî àíàëîãèè ñ (19) îïðåäåëÿòñÿ âåëè÷èíàìè
k u
k k
k
u u u u u u A A u2
1 2
2� � � � � �min || ||�
� � � � � � �T T ( , )k �1 2 .
Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíäåêñ k â ïðåäñòàâëåíèè (21) ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çà-
äà÷è âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû
k
i
i i� �
�
arg min ( )
,1 2
2 2� .
ÎÁÙÈÉ ÑËÓ×ÀÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ, ÏÎÑÒÐÎÅÍÍÛÕ
ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅÌ ËÈÍÅÉÍÎ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÑÎÑÒÎßÍÈß
Ðàññìîòðèì îáîáùåíèå ìåòîäèêè ðåøåíèÿ çàäà÷ (4), (9) è (4), (20) íà ñëó÷àé,
êîãäà äèíàìèêà èññëåäóåìîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (2). Äëÿ óðàâ-
íåíèÿ (2), êàê è âûøå, ñîãëàñíî (9) ìîæíî íàéòè îïðåäåëåííûé ñîîòíîøåíè-
åì (8) âåêòîð
�
y çíà÷åíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ y s( ) . Ïðè ýòîì èñõîäèì èç òîãî,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå
�� � � � �
�
� � � ��[[ ( ) ( )]| [ ( ) ( )]| (L y s L y s u ss
j
M
s s N s s sj j1
1
� j )]2 . (26)
Ñëó÷àé äèñêðåòíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà-
÷è (26), (9) çàïèøåì óðàâíåíèå (2) â âèäå
u s u s u s u sN1 2( ) ( )... ( ) ( )� , (27)
ãäå
u s L y sk k s( ) ( ) ( )� � ( , )k N�1 ,
èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,
y s G s s u s ds k Nk k
S
( ) ( ) ( ) ( , )� � � � � �
1 . (28)
Ïîñëå äèñêðåòèçàöèè (27) è (28) îïðåäåëåííûìè âûøå òî÷êàìè s l Ll ( , )�1 ,
� �s m Mm ( , )1 ïîëó÷èì
� �
�
� �
u u u uN1 2� � � � , (29)
120 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
� � �
�
�
y A u A u A uN N� � � �1 1 2 2 , (30)
ãäå
�
y è
�
u îïðåäåëåíû â (8), (12), à
�
�u u s u s u s sk k k k M m
N� � � � �( ( ), ( ), , ( ))1 2
T � ( , )k N�1 ,
A G s s sk k l m m
NN
l L
m M
� � � � �
�
�
( ) ( ) |
,
,
� 1
1
1
.
Îòñþäà äëÿ k n�1 2, , ..., èìååì
� �
�
� �
u A A u u A A uk k k k k k1 1 1 1
� ��
� �
�, , ,
� �
�
� �
u A A u u A A uk k k k n n k k� �
� �� �1 1
, , . (31)
Ñ ó÷åòîì (31) ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèÿ (29) â âèäå
[ ] [ ] ( )A A u A A u u sk k i k k k i k i1 1
�
�
� � �
�
�
�
� � ��
� �[ ] [ ] ( ) ( , )A A u A A u u s i M
k k k i N k k i i1
1
�
�
�
. (32)
Çäåñü [ ]� i — i-é ýëåìåíò [ ]� , ( , , , )u u u uM1 2 �
�T � .
Ðåøåíèå (32) àíàëîãè÷íî (17) çàïèøåì â âèäå
([ ] ) [ ] ( , )*u q u q A k Nk i
N
ki k j ki k k� � � �T T�
� � 1 ,
ãäå
( | )A a
Q
q
ki ki
ki
ki
� �
�
�
�
�
�
�
�
�T .
Çäåñü Aki — ìàòðèöà Ak áåç ñòîëáöà ñ íîìåðîì j i M N* (( )(� � ��1 1
� � � ��M N 2 1 1� ) ) , � ki — ýòîò ñòîëáåö:
A Ak
M i
i
k
M iMN N N
�
� �� �
col ( ( , , , , , ,
( )
( )0 0 0 0
1 11
�
���
�
���
), , )i M�1 ,
A A A A A A Ai
k
k ij k ij k k ijk
( ) (( ((( ([ ] [ ] [ ]� � �
�
�str � � �
1 2 11 2 � ��
�
1 11
[ ]A A
k k ijk
�
� � �[ ] , , ), ), , ), , ), ), ,A A j M j M j M j
N k ij k kN
�
� �� � � �1 1 1 11 1 1 M ) ,
à � k — òàêèå, ÷òî
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
� �
� �
� �k
i M i M i
N
k i MN
N N l
N
1
1
1
1
1 1 1� � � � � � � ��
�
��
( )
( , )
i M i
l
N
l l
k N
� �
�
� �
1
1
1
ïðè i M i MN1 1 1� �, , , ,� .
Àíàëèçèðóÿ
�
k
u R
k k k k k k k k k
k
M
A u y u u u A P A u2 2� � � �
�
�min || ||�
� � � � � �T T T , P A Ak k k� T ,
k u
k k k k k k k k
k
A A u A A u A A u2
1 1 1
� � � � ��
�
�
�
�min||�
�
�
� �
�
�
� � � � � �
� � � � �� �A A u u u u u A P A u P A A
N k k k k k k k k|| ,2 T T T T
(33)
äëÿ k N�1, , ïîëó÷àåì èíäåêñ
k
i N
i i� �
�
arg min ( )
{ , , , }1 2
2 2
�
� (34)
âåêòîðà
�
uk , ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ñîãëàñíî (30) è áóäåò íàéäåíî ðåøåíèå
�
y
çàäà÷è (26), (9).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 121
Ñëó÷àé íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ çàäà÷è (20),
(26) ðåøåíèå ïîëó÷èì, êàê è âûøå, ïðè k N�1, . Ôóíêöèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ ñèñòå-
ìû (2), íàéäåííàÿ ñîãëàñíî (20), ïðè ýòîì îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (21), â êî-
òîðîì èíäåêñû k, �
k
2 è
k
2 âûáèðàþòñÿ ïî ôîðìóëàì (34), (23) è (33) ñîîòâåò-
ñòâåííî,
�
uk , G sk ( ) ,
�
G yk , Pk , Pij îïðåäåëåíû âûøå, à
A Ai
k
M i
i
k
M iMN N N
( )
( )
( )( , , , , , ,�
� �� �
col( 0 0 0 0
1 11
�
���
�
���
), , )i M�1 ,
A P P P P P Pi
k
k ij k ij k k
( ) (( ((( ([ ] [ ] [� � �
�
�
�str � � �
1 1 2 2 1 11 2 , ,] [ ]k ij k k k ijk k
P P
� ��
�
�1 11 1 �
� � �[ ] , , ), ), , ), , ), ),P P j M j M j M j
N Nk ij N k kN
�
� �� � � �1 1 11 1 1 1, )M .
ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ
Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ôóíê-
öèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ (3).
Êàê è âûøå, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ u s( ) ðàñïðåäåëåííûõ âíåø-
íåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, çàäàåòñÿ
âåêòîðîì (12) åå çíà÷åíèé. Ïîñòðîèì ôóíêöèþ y s( ) òàêóþ, ÷òîáû
( ( ( ), ) ( )| ) minL y s y s us
m
M
s s m
ym
� � �
�
� ��
1
2
� , (35)
( ( ( ), ) ( )| ) min
( )
L y s y s us
m
M
s s m
y sm
� � �
�
� ��
1
2 , (36)
ãäå, êàê è âûøå,
�
y y l L y y s u u sl l l m m� � � � �col( , , ), ( ), ( )1 .
Ñëó÷àé äèñêðåòíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà-
÷è (3), (35) çàïèøåì óðàâíåíèå (3) ñîîòíîøåíèåì
a y ukm
k
n
m
n k
m
�
�� �
0
( ) ( , )m M�1 ,
(37)
â êîòîðîì y y s a a sm
n k
s
n k
s s km k mm
( ) ( )| , ( )� �
� �� � � � ïðè a sk ( ) òàêîì, ÷òî
L y s a sk s k( ) ( ) ( )� � ( )s R� �� 1 . (38)
Âåêòîð �
a a m Mk km� �col( , , )1 (39)
êîýôôèöèåíòîâ akm ( , )m M�1 óðàâíåíèÿ (37) ïîñòðîèì ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ðå-
øåíèåì (38) áóäåò
y s G s s a s dsk k( ) ( ) ( )� � � � �
�
� �k n0, . (40)
Ïðè ýòîì [9]
�
a y s G s s ak
a m M
l
l
L
k l
m
M
m km
km
� � � �
� � �
� �arg min ( ( ) ( )
( , )1 1 1
)2 �� ak ,
ãäå
� ak k k k k k k ka a G y G G� � � �� �{ : }
� � �
� � (41)
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
ïðè ïðîèçâîëüíîì
�
� k
MR� (
�
� k � 0 , åñëè det T( )G G
k k � 0) è
G G s sk k l m l m
l L m M� � �
�
� �
[ ( )]
,
,
1
, (42)
min || ||�
� � � � � �
a
k k k k k
k ak
G a y y y y G G y
�
�� � � �
�
2 2T T � .
Îãðàíè÷èâàÿñü â (39), (40) çíà÷åíèÿìè
� �
a a G yk
a
k k
k ak
� �
�
�arg min || ||
�
2
è îáîçíà÷àÿ A m( ) m-ñòðîêó ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû A , ñèñòåìó
óðàâíåíèé (37) çàïèøåì â âèäå
( ) ( )
( )G yy u
k m
k
n
m
n k
m
�
�
�� �
�
0
( , )m M�1
èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî)
G y u
� �
� . (43)
B äîïîëíåíèå ê îïðåäåëåííîìó âûøå âåêòîðó
�
u R M� èìååì
�
y y i n m Mm
i� � �col (( , , ), , )( ) 0 1 ,
G
G y G yn
�
� �( ) ... ( ) ... ...
... ... ...
... .
( ) ( )0 1 1 0 0
0 0 0 0
� �
. ... ... ... ... ...
... ... ( ) ... ( )( ) ( )0 0
0
G y G yM n M
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïðè s s l L m M L Ml m� � � � �( , , , , )1 1 óðàâíåíèå (43) âûðîæäàåòñÿ â ñèñòåìó
ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
~~Gy u
� �
� îòíîñèòåëüíî âåêòîðà
~ ((( , , ), , ), , )( )
�
y y y l M i n m Ml m
i� � � �col 1 0 1 . (44)
Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû
~
( ) ... ( ) ...
... ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )G
G G
G G
n
n�
� �
� �
0 1 1
0 2 2
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
... ... ... ... ... ... ...
... ( ) ( )( ) ( )G GM n M
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèÿ
~ ~
(
~ ~
)
� �
y G GG u� �T T (45)
íàõîäèì ñîãëàñíî (44) âåêòîð ~ min || ~||
�
�y y
y y
�
�
arg
�
2 , ãäå
� y
M
y
y R Gy u� � � �{~ : ||
~~ || min}
~
2 2�
.
Èç (45) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (44) âåêòîðà ~
�
y íàõîäèì êîìïîíåíòû
y l Ml ( , )�1 âåêòîðà
�
y, ïðè ýòîì
y G GG ul k
� �~
(
~ ~
)
( )
T T �
( , )l M�1 ,
ãäå k M n l Mn l� � � � �( )( )1 1 , à
~
( )
G
k
T — k-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû
~
G T .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 123
Ïîñëå íåñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ýëåìåíòû yl ( , )l M�1
âåêòîðà
�
y , êîòîðûé ðåøàåò çàäà÷ó (3), (35), îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì
y G G G ul n ll
j
n
j l j l l� �
�
� � ��( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( )
1
1T ( , )l M�1 ,
ãäå ( )� l è ( )� ll — l-ñòðîêà è ( )ll -ýëåìåíò ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû. À ýòî çíà-
÷èò, ÷òî èíòåãðàëüíûé ýêâèâàëåíò äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ñèñòåìû (6), ïî-
ñòðîåííûé ñîãëàñíî (35), èìååò âèä
� � �
y y Gu� � ,
ãäå
G G G G m Mn mm j m
j
n
j m
� �� �
�
��diag T[( ) ( ) ( ) , , ]( ) ( )
1
1
ïðè îïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî (42) ìàòðèöàõ G j ( , )j n�1 .
Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé ðåøåíà ðàñìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à, îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåø-
íîñòÿìè �
k
2 ( , )k n� 0 , ñ êîòîðûìè îáðàùåíû äèñêðåòèçîâàííûå ñîãëàñíî (39) èí-
òåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ (40). Ïîãðåøíîñòü
�2
1
2� � �
�
� ��min ( ( ( ), ) ( )| )�
y
s
m
M
s s mL y s y s u
m
,
ñ êîòîðîé íàõîäèòñÿ èñêîìûé ñîãëàñíî (35) âåêòîð
�
y , îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷è-
íîé
�2 2� � � � �min ||
~ ~ ||
~~
�
� � � � � �
y
G y u u u u PP uT T ,
à ýòà âåëè÷èíà ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó ìàòðèöà
~ ~ ~
P GG� T ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëü-
íîé ìàòðèöåé, à
~~
PP � �1 .
Ñëó÷àé íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì ðå-
øåíèå çàäà÷è (3), (36). Êàê è âûøå, áóäåì èñõîäèòü èç ñèñòåìû (37), â êîòîðîé
êîìïîíåíòû akm ( ,k n� 0 ) (m M�1, ) âåêòîðîâ
�
ak , îïðåäåëèì èç äèñêðåòèçîâàí-
íîãî ïî øòðèõîâàííûì êîîðäèíàòàì óðàâíåíèÿ (40).
Îáîçíà÷èâ
G s G s s m M
k k m
T str( ) ( ( ), , )� � � �1 ,
ýòî óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå G s a y s
k k
T ( ) ( )
�
� . Îòñþäà íàõîäèì
� ak k
M
k
a k ka R a G s a y s ds
k
� � � � �
!
"
�
�
� �
: min ( ( ) ( ))arg T 2
#"
� � � � �
$
%
"
&"
� �P G P P R
k y k k k k k
M� � � (46)
ïðè
P G s G s dsk k k
�
�
�
( ) ( )T , G G s y s dsy k�
�
�
( ) ( ) .
Îãðàíè÷èâàÿñü â (46) çíà÷åíèÿìè
� �
�
min || ||a a
a
k
k ak
�
�
arg
�
2 ,
ñèñòåìó (37) ïðèâåäåì ê âèäó
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
P G s y s ds y u
k m k
k
n
m
n k
m( )
( )( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
( , )m M�1
èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî)
~
( )~ ( )G s y s ds uk
�
�
�
�
, (47)
ãäå
~( ) (( ( ) , , ), , )( )y s y s y i n m Mm
i� � �col 0 1 ,
~
( )
( ) ... ( ) ... ...
... ... ..
( ) ( )
G s
P G s P G s
n n
�
� �
0 1 0 1
0 0
0 0 0 .
... ... ... ... ... ... ...
... ... ( ) ...
( ) ( )
0
0 0
0 0P G s P
M n M
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�G sn ( )
.
Îòñþäà ìèíèìàëüíóþ ïî íîðìå âåêòîð-ôóíêöèþ ~( )y s òàêóþ, ÷òîáû
~
( )~( ) min
~( )
G s y s ds u
y s
�
�
� �
�
2
,
çàïèøåì â âèäå
~( )
~
( )
~
y s G s P u� �T �
, (48)
ãäå
~ ~
( )
~
( )P G s G s ds�
�
�
T .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî (48)
y
y
y s
P G s
P G
m
n
m
m
n m n
( )
( )
( )
... ( )
( )
...
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0
s
P u
m
)
~
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( , )m M�1 ,
íàõîäèì çíà÷åíèå
y P G s P um
i
n i m s
i
n i s s mm
( )
( ) ( )
( )|
~
� ��
�
� � �
� �
,
à ñëåäîâàòåëüíî, è âåêòîð
U y i n m Mm
i� � �col(( , , ), , )( ) 0 1 ,
êîòîðûì îöåíèâàåòñÿ âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ â òî÷êàõ �sm âíåøíåäèíàìè-
÷åñêèõ âîçìóùåíèé u sm( )� ( , )m M�1 íà ñîñòîÿíèå y s( ) èññëåäóåìîé ñèñòåìû.
Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèå (48) ïîäàäèì â âèäå
Uy s G s P u( )
~
( )
~
� �T �
, (49)
îòêóäà
y s U U U G s P u( ) ( )
~
( )
~
� � �T T T1 �
,
÷òî è çàêàí÷èâàåò ðåøåíèå çàäà÷è, îïðåäåëåííîé ñîîòíîøåíèÿìè (3), (36).
Ñ ó÷åòîì ñòðóêòóðû êîìïîíåíò âåêòîðà U è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè
~
( )G s ïðåîá-
ðàçóåì è óïðîñòèì íàéäåííóþ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèþ y s( ) . Èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî
U U P G s P u
n i m s
i
n i
s s
m
m
M
i
n
m
T � ��
�
�
� �
�
��
�� ( ( ) )(
~
)
( ) ( )
�
10
,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 125
U G s str P G s P G s
i m i
i
n
n i m s
i
n i
s
T T~
( ) ( )
~
( )
( ) ( )
� ��
�
�
�
�
� �
�
0 s
m
m
P u m M
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�~
, ,
( )
�
1 ,
èìååì
y s
P G s P G s
i m i
i
n
n i m s
i
n i
s sm
( )
( )
~
( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
0 �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
� (
~
)
(
~
( ))
( )
( )
P u
P G s
m
m
M
n i m s
i
n i
s si
n
m
� 3
2
1
0
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m
M
m
P u
1
(
~
)
.
( )
�
(50)
Òî÷íîñòü íàéäåííîãî ñîãëàñíî (50) ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ
âåëè÷èíàìè
�u u u u PP u2 � � �� � � �T T ~~
, � y Uu P P P u2 � � �� �T ~ ~
îáðàùåíèÿ óðàâíåíèé (47), (49), ãäå
P G s I UU G s dsU � �
�
~
( ) ( )
~
( )+ T .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðåøåíà ñëîæíàÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé äâóõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûìè îïèñûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåííûé â çàäàííîé
ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ. Óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñ äèñêðåòíî îïðåäåëåííîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äèôôåðåíöè-
àëüíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ ñòðîèòñÿ ïóòåì ïåðåìíîæåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñêîìîé ôóíêöèè èëè ÿâëÿåòñÿ ñóììîé òàêèõ
ïðåîáðàçîâàíèé, óìíîæåííûõ íà ïðîèçâîäíûå ýòîé ôóíêöèè. Îñíîâîé äëÿ èñ-
ñëåäîâàíèÿ íàçâàííûõ óðàâíåíèé ïîñëóæèëè íàó÷íûå ðåçóëüòàòû àâòîðà ïî
ñðåäíåêâàäðàòè÷íîìó ïñåâäîîáðàùåíèþ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñ-
êèõ, èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé îäíîé ïåðåìåííîé. Âûïîëíåí-
íîå â ðàáîòå ïñåâäîîáðàùåíèå (ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîìó êðèòåðèþ) ðàññìàòðè-
âàåìûõ óðàâíåíèé ïîçâîëèëî íàéòè àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (ãäå ýòî âîçìîæ-
íî) èñêîìîé ôóíêöèè èëè âåêòîðà åå çíà÷åíèé â çàäàííûõ òî÷êàõ. Ïîñòðîåíû è
èññëåäîâàíû íà òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé.
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïñåâäîðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ â ðàáîòå äâóõ
êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îïðåäåëÿþò ïåðåäàòî÷íóþ
ôóíêöèþ îò âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé ê ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ èëè ìàòðèöó
åå çíà÷åíèé. Êàê è â ëèíåéíîì ñëó÷àå, îíè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äèíàìèêè
ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ïðîöåññîâ è ñèñòåì, ëîãèêà ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ îäíèì èç ðàññìàòðèâàåìûõ â ðàáîòå óðàâíåíèé è èçó÷àåòñÿ â
óñëîâèÿõ íåïîëíîòû äàííûõ î íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû (ïðîöåññà).
Ðåøåíèå áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñèòåì áåç
ïðåäñòàâëåííûõ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïñåâäîîáðàùåíèé íàì âèäèòñÿ íåâîçìîæíûì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñòîÿí Â.À. Îá îäíîì ïîäõîäå ê èññëåäîâàíèþ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ìàòôèçèêè. Ïðîáëåìû óïðàâ-
ëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 1998. ¹ 1. Ñ. 79–86.
2. Ñêîïåöüêèé Â.Â., Ñòîÿí Â.À., Êðèâîíîñ Þ.Ã. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðÿìèõ òà îáåðíåíèõ çàäà÷
äèíàì³êè ñèñòåì ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2002. 361 ñ.
3. Ñòîÿí Â.À. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. Êè¿â:
ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. 320 ñ.
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
4. Ñòîÿí Â.À. Î íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè íå ïîëíîñòüþ íà-
áëþäàåìûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. ¹ 5.
Ñ. 79–94.
5. Ñòîÿí Â.À., Äâ³ðíè÷óê Â.Á. Äî ïîáóäîâè ³íòåãðàëüíîãî åêâ³âàëåíòó ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ìîäå-
ëåé. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2012. ¹ 9. Ñ. 36–43.
6. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèñ-
êðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì. ². ìóëüòèïëèêàòèâíî íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 1. Ñ. 127–134.
7. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèñ-
êðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì. ²². Ñèñòåìû ñ àäèòèâíî âûäåëåííîé íåëèíåéíîñòüþ. Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 2. Ñ. 102–107.
8. Ñòîÿí Â.À., Äâèðíè÷óê Ê.Â., Åðøîâ À.Å., Åìöîâ À.Ñ. Î ñèñòåìå êîìïüþòåðíî-àíàëèòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. 2012.
¹ 2. Ñ. 34–44.
9. Êèðè÷åíêî Í.Ô., Ñòîÿí Â.À. Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íûõ è èíòåãðàëüíûõ ëèíåéíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1998. ¹ 3. Ñ. 90–104.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 12.10.2018
Â.À. Ñòîÿí
ÄÎ ÏÎÁÓÄÎÂÈ ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÈÕ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÄÂÎÕ ÊËÀѲÂ
ÍÅ˲ͲÉÍÈÕ ÏÐÎÑÒÎÐÎÂÎ ÐÎÇÏÎIJËÅÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ.
I. ÂÈÏÀÄÎÊ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ÇÎÂͲØÍÜÎÄÈÍÀ̲×ÍÈÕ ÇÁÓÐÅÍÜ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ ïñåâäîîáåðíåííÿ íåë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ
ìîäåëåé ïðîñòîðîâî ðîçïîä³ëåíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. Ðîçãëÿíóòî ñèñòåìè,
íåë³í³éí³ñòü ÿêèõ óòâîðåíî äîáóòêîì ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ïåðåòâîðåíü
ôóíêö³¿ ñòàíó ñèñòåìè àáî øëÿõîì çàì³íè öèìè ïåðåòâîðåííÿìè
êîåô³ö³ºíò³â ë³í³éíîãî íàáëèæåííÿ ìîäåë³. Áóäóþòüñÿ àíàë³òè÷í³ çàëåæíîñò³
ôóíêö³¿ ñòàíó ñèñòåìè â³ä äèñêðåòíî âèçíà÷åíèõ çíà÷åíü çîâí³øíüîäè-
íàì³÷íèõ çáóðþâàëüíèõ ôàêòîð³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïñåâäîîáåðíåííÿ, íåë³í³éí³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè, ñèñòåìè
ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè, ðîçïîä³ëåí³ ïðîñòîðîâî-÷àñîâ³ ñèñòåìè.
V.À. Stoyan
ON CONSTRUCTION OF INTEGRAL MATHEMATICAL MODELS
OF TWO CLASSES OF NONLINEAR SPATIALLY DISTRIBUTED SYSTEMS.
I. THE CASE OF DISCRETELY DEFINED OUTWARD-DYNAMICAL PERTURBATIONS
Abstract. Problems of pseudoinversion of nonlinear differential models of
spatially distributed dynamical system are solved. Systems whose nonlinearity is
formed by the product of linear differential transformations of system functional
state or by replacing the coefficients of linear approximation by these
transformations are considered. Analytic dependencies of system functional state
on discretely defined values of outward-dynamical factors are constructed.
Keywords: pseudoinversion, nonlinear dynamical systems, spatially distributed
dynamical systems.
Ñòîÿí Âëàäèìèð Àíòîíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: v_a_stoyan@ukr.net.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 127
|