Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів
We study a boundary-value problem elliptic in the sense of Petrovskii for a system of partial differential equations over a bounded domain. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one in a refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the isotropic spaces of...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1811 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів / О.О. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 24–31. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669350124879872 |
|---|---|
| author | Мурач, О.О. |
| author_facet | Мурач, О.О. |
| citation_txt | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів / О.О. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 24–31. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We study a boundary-value problem elliptic in the sense of Petrovskii for a system of partial differential equations over a bounded domain. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one in a refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the isotropic spaces of Hörmander–Volevich–Paneyakh.
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:08:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.223
© 2007
О.О. Мурач
Крайова задача для елiптичної за Петровським системи
диференцiальних рiвнянь в уточненiй шкалi просторiв
(Представлено академiком НАН України Ю.М. Березанським)
We study a boundary-value problem elliptic in the sense of Petrovskii for a system of partial
differential equations over a bounded domain. We prove that the operator of the problem is
a Fredholm one in a refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the
isotropic spaces of Hörmander–Volevich–Paneyakh.
У роботi вивчається загальна елiптична крайова задача для системи диференцiальних рiв-
нянь в обмеженiй областi евклiдового простору з гладкою межею. Вiдомо [1, c. 58], що ця
задача має скiнченний iндекс в однобiчнiй шкалi соболєвських просторiв. Мета роботи —
уточнити цей результат щодо бiльш тонкої шкали гiльбертових функцiональних просто-
рiв. Елементами такої шкали є деякi iзотропнi простори Хермандера–Волевича–Панеяха,
параметризованi за допомогою двох параметрiв: числового та функцiонального. Останнiй
повiльно змiнюється на +∞ в сенсi Карамати. Ця шкала введена та дослiджувалась в [2, 3]
i названа там уточненою. Вона мiстить у собi соболєвську шкалу i дозволяє значно тонше
охарактеризувати гладкiсть розподiлу по властивостях його перетворення Фур’є.
Ми вважаємо, що система диференцiальних рiвнянь елiптична за I. Г. Петровським,
а крайовi диференцiальнi оператори задовольняють умову Я. Б. Лопатинського. Нами вста-
новлено, що оператор крайової задачi обмежений i фредгольмiв (тобто має скiнченний iн-
декс) в однобiчнiй уточненiй шкалi просторiв та породжує в нiй набiр iзоморфiзмiв. Отрима-
на також апрiорна оцiнка та дослiджена локальна гладкiсть розв’язку задачi. Як наслiдок,
встановлена одна достатня умова класичностi розв’язку. Скалярний випадок розглянутий
ранiше в роботах [2–5], а елiптична за Петровським система на замкненому многовидi — в [6].
Зазначимо, що простори, гладкiсть в яких задається за допомогою функцiональних па-
раметрiв (простори узагальненої гладкостi), є предметом багатьох дослiджень (див., напр.,
[7–9] та наведену там бiблiогр.).
1. Постановка задачi. Нехай Ω — обмежена область в евклiдовому просторi R
n, де
n > 2, а межа Γ областi Ω є нескiнченно гладким компактним многовидом розмiрностi n−1
без краю, Ω := Ω
⋃
Γ — замикання областi Ω.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
p∑
k=1
Aj,kuk = fj в Ω, j = 1, . . . , p, (1)
де розв’язок розумiється в сенсi узагальнених функцiй. Тут p ∈ N, а Aj,k, де j, k = 1, . . . , p, —
скалярнi лiнiйнi диференцiальнi вирази, заданi в замкненiй областi Ω. Вираз Aj,k має до-
вiльний скiнченний порядок та нескiнченно гладкi комплекснi коефiцiєнти. Для кожного
номера k = 1, . . . , p покладемо
mk := max{ordAj,k : j = 1, . . . , p}.
Припустимо, що всi mk > 1.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Пов’яжемо з системою (1) квадратну матрицю порядку p
a0(x, ξ) := (a
(0)
j,k(x, ξ)), x ∈ Ω, ξ ∈ R
n.
Тут a
(0)
j,k(x, ξ) — головний символ диференцiального виразу Aj,k у випадку, коли ordAj,k =
= mk, або a
(0)
j,k(x, ξ) ≡ 0 у випадку, коли ordAj,k < mk.
Припустимо, що система (1) задовольняє такi двi умови.
Умова 1 елiптичностi за I. Г. Петровським. Для довiльних точки x ∈ Ω та вектора
ξ ∈ R
n \ {0} справедливо det a0(x, ξ) 6= 0.
З умови 1 випливає, що для кожного x ∈ Ω визначник det a0(x, ξ) є однорiдним полi-
номом вiд ξ порядку m1 + · · · +mp. Позначимо через ν(x) одиничний вектор внутрiшньої
нормалi до межi Γ областi Ω в точцi x ∈ Γ.
Умова 2 правильної елiптичностi. Порядок полiнома det a0(x, ξ) парний, причому для
кожної точки x ∈ Γ та для довiльного вектора τ 6= 0, дотичного до межi Γ в точцi x, много-
член det a0(x, τ + ην(x)) має половину комплексних η-коренiв (з урахуванням їх кратностi)
з додатними уявними частинами та половину коренiв з вiд’ємними уявними частинами.
Вiдомо [1, с. 53], що при n > 2 умова 2 є наслiдком умови 1. При n 6 2 це не так.
Позначимо через 2q, де q ∈ N, парний порядок полiнома det a0(x, ξ).
Будемо розглядати такi розв’язки системи (1), якi задовольняють крайовi умови
p∑
k=1
Bj,kuk = gj на Γ, де j = 1, . . . , q. (2)
Тут Bj,k, де j = 1, . . . , q та k = 1, . . . , p, — скалярнi лiнiйнi крайовi диференцiальнi вирази,
заданi на межi Γ. Вираз Bj,k має порядок ordBj,k 6 mk−1 та нескiнченно гладкi комплекснi
коефiцiєнти. Для кожного номера j = 1, . . . , q покладемо
rj := min{mk − ordBj,k : k = 1, . . . , p} > 1.
Отже, ordBj,k 6 mk − rj для довiльних j = 1, . . . , q та k = 1, . . . , p.
Пов’яжемо з умовами (2) матрицю розмiру q × p
b0(x, ξ) := (b
(0)
j,k(x, ξ)), x ∈ Γ, ξ ∈ R
n.
Тут b
(0)
j,k(x, ξ) — головний символ диференцiального виразу Bj,k у випадку, коли ordBj,k =
= mk − rj, або b
(0)
j,k(x, ξ) ≡ 0 у випадку, коли ordBj,k < mk − rj.
Припустимо також, що виконується
Умова 3 Я.Б. Лопатинського. Для кожної точки x ∈ Γ та для довiльного вектора τ 6= 0,
дотичного до межi Γ в точцi x, рядки матрицi
b0(x, τ + ην(x))ac0(x, τ + ην(x))
лiнiйно незалежнi як многочлени вiд комплексної змiнної η за модулем многочлена
q∏
j=1
(η − η+
j (x, τ)).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 25
Тут ac0 — транспонована матриця алгебраїчних доповнень елементiв матрицi a0,
а η+
1 (x, τ), . . . , η+
q (x, τ) — всi η-коренi многочлена det a0(x, τ + ην(x)), що мають додатну
уявну частину.
Таким чином, крайова задача (1), (2) задовольняє умови 1, 2, 3, тобто є [1, c. 53] елiп-
тичною за I. Г. Петровським. Запишемо її в матричнiй формi:
Au = f в Ω, Bu = g на Γ. (1), (2)
Тут A := (Aj,k) — квадратна матриця порядку p, B := (Bj,k) — матриця розмiру q × p та
u = col(u1, . . . , up), f = col(f1, . . . , fp), g = col(g1, . . . , gq).
Пов’яжемо з крайовою задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення
u 7→ (Au,Bu), u ∈ (C∞(Ω))p. (3)
Наша задача — дослiдити продовження за неперервнiстю вiдображення (3) в уточнених
шкалах функцiональних просторiв.
2. Уточненi шкали просторiв дослiджувались в [3]. Наведемо (для зручностi читача)
їх означення.
Позначимо через M сукупнiсть усiх таких функцiй ϕ : [1,+∞) → (0,+∞), що:
а) ϕ вимiрна за Борелем на пiвосi [1,+∞);
б) функцiї ϕ та 1/ϕ обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b < +∞;
в) функцiя ϕ повiльно змiнна на +∞ у сенсi Карамати, тобто
lim
t→+∞
ϕ(λt)
ϕ(t)
= 1 для довiльного λ > 0.
Нехай s ∈ R, ϕ ∈ M. Позначимо через Hs,ϕ(Rn) множину всiх таких повiльно зростаю-
чих розподiлiв v, заданих в евклiдовому просторi R
n, що перетворення Фур’є v̂ розподiлу v
є локально сумовною за Лебегом в R
n функцiєю, яка задовольняє умову
∫
Rn
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)|v̂(ξ)|2dξ <∞.
Тут 〈ξ〉 = (1+ξ21 +· · ·+ξ2n)
1/2 — згладжений модуль вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ R
n. У просторi
Hs,ϕ(Rn) означений скалярний добуток за формулою
(v1, v2)Hs,ϕ(Rn) :=
∫
Rn
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)v̂1(ξ)v̂2(ξ)dξ.
Простiр Hs,ϕ(Rn) — це окремий iзотропний гiльбертiв випадок просторiв, розглянутих
Л. Хермандером [10, с. 54] та Б.П. Волевичем i Л.Р. Панеяхом [11, с. 14]. У випадку ϕ ≡ 1
простiр Hs,ϕ(Rn) збiгається з простором Соболєва Hs(Rn). З включень
⋃
ε>0
Hs+ε(Rn) =: Hs+(Rn) ⊂ Hs,ϕ(Rn) ⊂ Hs−(Rn) :=
⋂
ε>0
Hs−ε(Rn)
випливає, что в сiм’ї просторiв
{Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈ M} (4)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
функцiональний параметр ϕ уточнює основну (степеневу) s-гладкiсть. Ця сiм’я називається
уточненою шкалою в R
n.
Уточненi шкали в областi Ω та на межi Γ означаються за допомогою шкали (4) таким
чином.
Позначимо через Hs,ϕ(Ω) факторпростiр простору Hs,ϕ(Rn) по замкненому пiдпростору
{v ∈ Hs,ϕ(Rn) : supp v ⊆ R
n \ Ω}. (5)
Факторпростiр Hs,ϕ(Ω) гiльбертiв сепарабельний; у ньому скалярний добуток класiв су-
мiжностi розподiлiв v1, v2 ∈ Hs,ϕ(Rn) дорiвнює
(v1 − Πv1, v2 − Πv2)Hs,ϕ(Rn),
де Π — ортопроектор в Hs,ϕ(Rn) на пiдпростiр (5). Зауважимо, что Hs,ϕ(Ω) природно трак-
тувати як простiр звужень в область Ω всiх розподiлiв v ∈ Hs,ϕ(Rn). Для такого звуження w
маємо
‖w‖Hs,ϕ(Ω) = inf{‖v‖Hs,ϕ(Rn) : v ∈ Hs,ϕ(Rn) та v = w в Ω}.
Далi позначимо через Hs,ϕ(Γ) простiр усiх таких розподiлiв h на Γ, що
(χjh) ◦ αj ∈ Hs,ϕ(Rn) для кожного j = 1, . . . , ρ.
Тут αj : R
n ↔ Γj, де j = 1, . . . , ρ, — скiнченний атлас iз C∞-структури на многовидi Γ;
χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . , ρ, — розбиття одиницi на Γ, що задовольняє умову suppχj ⊂ Γj;
(χjh) ◦αj — зображення розподiлу χjh у локальнiй картi αj. У просторi Hs,ϕ(Γ) означений
скалярний добуток за формулою
(h1, h2)Hs,ϕ(Γ) :=
ρ∑
j=1
((χjh1) ◦ αj , (χjh2) ◦ αj)Hs,ϕ(Rn).
Вiн стандартним чином задає норму. Простiр Hs,ϕ(Γ) сепарабельний гiльбертiв та з точнiс-
тю до еквiвалентностi норм не залежить вiд вибору атласа i розбиття одиницi.
Сiм’ї просторiв Hs,ϕ(Ω) та Hs,ϕ(Γ), де s ∈ R, ϕ ∈ M, утворюють уточненi шкали
просторiв вiдповiдно в областi Ω та на межi Γ. Зауважимо, що множина C∞(Ω) щiльна
в просторi Hs,ϕ(Ω), а множина C∞(Γ) щiльна в просторi Hs,ϕ(Γ).
Уточненi шкали просторiв дозволяють тонше, нiж соболєвська шкала, охарактеризувати
гладкiсть розподiлу по властивостях його перетворення Фур’є.
Твердження 1 [10, c. 59; 3]. Нехай функцiональний параметр ϕ ∈ M задовольняє умову
+∞∫
1
dt
tϕ2(t)
<∞. (6)
Тодi для довiльного цiлого k > 0 справедливi компактнi вкладення
Hk+n/2,ϕ(Ω) →֒ Ck(Ω) та Hk+(n−1)/2,ϕ(Γ) →֒ Ck(Γ). (7)
Зворотно, якщо виконується принаймi одне з неперервних вкладень (7) для деякого ϕ ∈ M
та цiлого k > 0, то справедлива нерiвнiсть (6).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 27
3. Основнi результати. Нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : X → Y , де
X, Y — банаховi простори, називається фредгольмовим, якщо його ядро скiнченновимiр-
не, область значень T (X) замкнена в Y та є скiнченновимiрним факторпростiр Y/T (X).
Iндексом фредгольмового оператора T називаєтся число dim kerT − dim(Y/T (X)).
Позначимо через (·, ·)Ω та (·, ·)Γ скалярнi добутки в просторах L2(Ω) та L2(Γ) вiдпо-
вiдно, а також розширення за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. Покладемо r :=
= min{r1, . . . , rq} > 1.
Теорема 1. Нехай s > −r + 1/2, ϕ ∈ M. Вiдображення (3) продовжується за непе-
рервнiстю до обмеженого фредгольмового оператора
(A,B) :
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω,Γ) := (Hs,ϕ(Ω))p ×
q∏
j=1
Hs+rj−1/2,ϕ(Γ). (8)
Ядро N оператора (8) задовольняє умову N ⊂ (C∞(Ω))p та не залежить вiд s, ϕ. Область
значень цього оператора складається з усiх таких вектор-функцiй
(f, g) = (col(f1, . . . , fp), col(g1, . . . , gq)) ∈ Hs,ϕ(Ω,Γ), (9)
що
p∑
j=1
(fj , wj)Ω +
q∑
j=1
(gj , hj)Γ = 0
для довiльної вектор-функцiї
(w1, . . . , wp, h1, . . . , hq) ∈ N∗.
Тут N∗ — деякий не залежний вiд s, ϕ скiнченновимiрний пiдпростiр у
(C∞(Ω))p × (C∞(Γ))q.
Iндекс оператора (8) дорiвнює числу dimN − dimN∗ i не залежить вiд s, ϕ.
Теорема 2 (апрiорна оцiнка). Нехай s > −r + 1/2, ϕ ∈ M. Припустимо, що век-
тор-функцiя
u = col(u1, . . . , up) ∈
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω) (10)
є розв’язком крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову (9). Тодi
iснує таке число c > 0, не залежне вiд вектор-функцiй u, f , g, що
p∑
k=1
‖uk‖Hs+mk,ϕ(Ω) 6 c
(
p∑
j=1
‖fj‖Hs,ϕ(Ω) +
q∑
j=1
‖gj‖Hs+rj−1/2,ϕ(Γ)
+
p∑
k=1
‖uk‖L2(Ω)
)
. (11)
Вiдмiтимо, що у випадку тривiального ядра N остання сума в правiй частинi нерiвно-
стi (11) вiдсутня. Згiдно з теоремою 1, якщо простори N та N+ тривiальнi, то оператор (8)
є топологiчним iзоморфiзмом. У загальному випадку iзоморфiзм зручно задавати за допо-
могою таких проекторiв.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Розглянемо двi прямi суми
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω)=N∔
{
u — вектор (10) :
p∑
k=1
(uk, vk)Γ =0 для довiльного (v1, . . . , vp)∈N
}
,
Hs,ϕ(Ω,Γ) = N∗ ∔ (A,B)
(
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω)
)
.
Позначимо через P та Q косi проектори вiдповiдно просторiв
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω) та Hs,ϕ(Ω,Γ)
на другi доданки в цих сумах паралельно N та N∗. Цi проектори не залежать вiд s, ϕ.
Теорема 3. Для довiльних s > −r+1/2, ϕ ∈ M звуження оператора (8) на пiдпростiр
P
(
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω)
)
є топологiчним iзоморфiзмом
(A,B) : P
(
p∏
k=1
Hs+mk,ϕ(Ω)
)
↔ Q(Hs,ϕ(Ω,Γ)).
Вiдзначимо, що у випадку −r + 1/2 < s < 0 наведенi результати є новими навiть для
соболєвської шкали (ϕ ≡ 1). У цьому випадку вектор-функцiя f у крайовiй задачi (1), (2)
може мати компоненти, що не є регулярними розподiлами в областi Ω.
4. Застосування. Важливе застосування теорем про розв’язнiсть елiптичних рiвнянь —
це твердження про пiдвищення локальної гладкостi розв’язку рiвняння. (Див. [12, 10] для
регулярних розв’язкiв i [13–15] для узагальнених розв’язкiв та посилання в цих роботах.)
Нехай U — вiдкрита непорожня пiдмножина замкненої областi Ω. Покладемо Ω0 = U
⋂
Ω
та Γ0 = U
⋂
Γ (можливий випадок Γ0 = ∅). Введемо такi локальнi аналоги просторiв
уточнених шкал в Ω i на Γ:
Hs,ϕ
loc (Ω0,Γ0)={v — розподiл в Ω: χv ∈ Hs,ϕ(Ω) для всiх χ ∈ C∞(Ω), suppχ⊂Ω0
⋃
Γ0},
Hs,ϕ
loc (Γ0) = {h — розподiл на Γ: χh ∈ Hs,ϕ(Γ) для всiх χ ∈ C∞(Γ), suppχ ⊂ Γ0}.
Теорема 4. Нехай s > σ > −r + 1/2 та ϕ, ψ ∈ M. Припустимо, що вектор-функцiя
u = col(u1, . . . , up) ∈
p∏
k=1
Hσ+mk ,ψ(Ω) (12)
є узагальненим розв’язком крайової задачi (1), (2), де
fj ∈ Hs,ϕ
loc (Ω0,Γ0) при j = 1, . . . , p та gj ∈ H
s+rj−1/2,ϕ
loc (Γ0) при j = 1, . . . , q.
Тодi
uk ∈ Hs+mk,ϕ
loc (Ω0,Γ0) при k = 1, . . . , p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 29
Отже, уточнена гладкiсть ϕ правих частин задачi (1), (2) успадковується її розв’язком.
Зауважимо, що
Hs,ϕ
loc (Ω,Γ) = Hs,ϕ(Ω) та Hs,ϕ
loc (Γ) = Hs,ϕ(Γ).
Таким чином, теорема 4 мiстить у собi твердження про пiдвищення глобальної гладкостi
розв’язку, тобто на всiй замкненiй областi Ω. Вiдмiтимо також випадок Γ0 = ∅, який приво-
дить до твердження про пiдвищення локальної гладкостi в околах внутрiшнiх точок областi.
З теореми 4 та твердження 1 випливає
Теорема 5. Нехай σ > −r + 1/2, ψ ∈ M та вектор-функцiя (12) є узагальненим
розв’язком крайової задачi (1), (2), де
fj ∈ H
n/2,ϕ
loc (Ω,∅)
⋂
H−r+n/2,ϕ(Ω) для довiльного j = 1, . . . , p,
gj ∈ Hrj−r+(n−1)/2,ϕ(Γ) для довiльного j = 1, . . . , q,
а функцiональний параметр ϕ ∈ M задовольняє умову (6). Тодi
uk ∈ Cmk(Ω)
⋂
Cmk−r(Ω) для довiльного k = 1, . . . , p,
тобто розв’язок u = col(u1, . . . , up) задачi є класичним.
Вiдзначимо, що для класичного розв’язку u правi частини задачi (1), (2) обчислюються
за допомогою класичних частинних похiдних функцiй u1, . . . , up.
Автор щиро вдячний В.А. Михайлецю та Ю.М. Березанському за обговорення результатiв
та кориснi зауваження.
1. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci., 79. Part. Different. Equat. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1–144.
2. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 2. – С. 217–235.
3. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II //
Там же. – 2006. – 58, № 3. – С. 352–370.
4. Михайлец В.А., Мурач А.А. Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравне-
ния в двухсторонней уточненной шкале пространств // Там же. – 2006. – 58, № 11. – С. 1536–1555.
5. Михайлец В.А., Мурач А.А. Эллиптический оператор с однородными регулярными граничными
условиями в двухсторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. вiсн. – 2006. – 3, № 4. –
С. 447–480.
6. Мурач А.А. Эллиптические по Петровскому системы дифференциальных уравнений в уточненной
шкале пространств на замкнутом многообразии // Доп. НАН України. – 2007. – № 4. – С. 29–35.
7. Лизоркин П.И. Пространства обобщенной гладкости. – Добавл. к кн.: Х. Трибель. Теория функцио-
нальных пространств. – Москва: Мир, 1986. – С. 381–415.
8. Haroske D.D., Moura S.D. Continuity envelopes of spaces of generalised smoothness, entropy and approxi-
mation numbers // J. Approxim. Theory. – 2004. – 128. – P. 151–174.
9. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisation of function spaces of generalised smoothness // Ann. mat. pura
ed appl. – 2006. – 185, No 1. – P. 1–62.
10. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.
11. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74.
12. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в
частных производных при общих граничных условиях. I. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 206 с.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
13. Березанский Ю.М., Крейн С. Г., Ройтберг Я.А. Теорема о гомеоморфизмах и локальное повышение
гладкости вплоть до границы решений эллиптичеких уравнений // Докл. АН СССР. – 1963. – 148,
№ 4. – С. 745–748.
14. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев:
Наук. думка., 1965. – 800 с.
15. Roitberg Ya.A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer, 1996. –
427 p.
Поступило в редакцию 15.11.2006Институт математики НАН Украины, Киев
Черниговский государственный
технологический университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1811 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:08:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мурач, О.О. 2008-09-02T17:41:17Z 2008-09-02T17:41:17Z 2007 Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів / О.О. Мурач // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 24–31. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1811 517.956.223 We study a boundary-value problem elliptic in the sense of Petrovskii for a system of partial differential equations over a bounded domain. We prove that the operator of the problem is a Fredholm one in a refined scale of functional Hilbert spaces. Elements of this scale are the isotropic spaces of Hörmander–Volevich–Paneyakh. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів Article published earlier |
| spellingShingle | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів Мурач, О.О. Математика |
| title | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| title_full | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| title_fullStr | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| title_full_unstemmed | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| title_short | Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| title_sort | крайова задача для еліптичної за петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1811 |
| work_keys_str_mv | AT muračoo kraiovazadačadlâelíptičnoízapetrovsʹkimsistemidiferencíalʹnihrívnânʹvutočneníiškalíprostorív |