Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями
Поведение флуктуаций процедури стахостической аппроксимации (ПСА) характерезует скорость восхождения системы к точке равновесия. В работе рассматриваются свойства флуктуаций ПСА с импульсными возмущением в окрестности точки равновесия усредненной системы. В дальнейшем это позволит рассматривать проб...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Таврический вестник информатики и математики |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18184 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями / С.А. Семенюк, Я.М. Чабанюк // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 25-33. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860015213683671040 |
|---|---|
| author | Семенюк, С.А. Чабанюк, Я.М. |
| author_facet | Семенюк, С.А. Чабанюк, Я.М. |
| citation_txt | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями / С.А. Семенюк, Я.М. Чабанюк // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 25-33. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Таврический вестник информатики и математики |
| description | Поведение флуктуаций процедури стахостической аппроксимации (ПСА) характерезует скорость восхождения системы к точке равновесия. В работе рассматриваются свойства флуктуаций ПСА с импульсными возмущением в окрестности точки равновесия усредненной системы. В дальнейшем это позволит рассматривать проблемы асимптотической поведения ПСА.
Поведінка флуктуацій процедури стахостичної апроксимації (ПСА) характеризує швидкість сходження системи до точки рівноваги. В цій роботі розглядаються властивості флуктуацій ПСА з імпульсними збуренням в околі точки рівноваги усередненої системи. В подальшому це дасть змогу розглядати проблеми асимптотичної поведінки ПСА.
Behavior of the Stochastic approximation procedure (SAP) fluctuations characterize the system convergence speed. In this paper we consider properties of the SAP fluctuations in the case when the regression function is perturbed by the Markov impulsive process near the equilibrium point of the averaged system. As a result it will allow to consider the SAP asymptotic behavior.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:44:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21ÔËÓÊÒÓÀÖI� Ï�ÎÖÅÄÓ�È ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÎ� ÀÏ�ÎÊÑÈÌÀÖI� ÇIÌÏÓËÜÑÍÈÌÈ ÇÁÓ�ÅÍÍßÌÈ
Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì.Íàöiîíàëüíèé óíiâåpñèòåò ¾Ëüâiâñüêà Ïîëiòåõíiêà¿Iíñòèòóò ïðèêëàäíî¨ ìàòåìàòèêè òà �óíäàìåíòàëüíèõ íàóê79013, Ëüâiâ, âóë. Ñ.Áàíäåpè 12e-mail: semenyuk�gmail.
omAbstra
t. Behavior of the Sto
hasti
approximation pro
edure (SAP) �u
tuations
hara
terize thesystem
onvergen
e speed. In this paper we
onsider properties of the SAP �u
tuations in the
ase whenthe regression fun
tion is perturbed by the Markov impulsive pro
ess near the equilibrium point of theaveraged system. As a result it will allow to
onsider the SAP asymptoti
behaviorÂñòóïÂèêîðèñòàííÿ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ âèïàäêîâèõ åâîëþöié áà-çó¹òüñÿ íà ïðèáëèçíié ðiâíîñòi âèõiäíî¨ òà óñåðåäíåíî¨ åâîëþöiéíèõ ñèñòåì [1℄. Ïðèöüîìó âèíèê๠ïðîáëåìà âèâ÷åííÿ �ëóêòóàöié òàêî¨ ïðîöåäóðè. Çîêðåìà â [2℄ äî-ñëiäæåíî ïîâåäiíêó �ëóêòóàöié ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ äëÿ äè�óçié-íî¨ åâîëþöiéíî¨ ñèñòåìè ç ìàðêîâñüêèìè ïåðåêëþ÷åííÿìè, äå �óíêöiÿ øâèäêîñòi ìà¹ñèíãóëÿðíî çáóðåíèé äîäàíîê çà ìàëèì ïàðàìåòðîì. Âiäçíà÷èìî âàæëèâiñòü �ëóê-òóàöié ïðè âñòàíîâëåííi øâèäêîñòi çáiæíîñòi ïðîöåäóðè â ñõåìi óñåðåäíåííÿ òà çäè�óçiéíèì çáóðåííÿì ó ñõåìi ñåðié.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷i òà ïîçíà÷åííÿÍåïåðåðâíà ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ çàäà¹òüñÿ åâîþöiéíèì ðiâíÿí-íÿì [1℄: du"(t) = a(t)[C(u"(t); x(t="4))dt+ "d�"(t)℄; (1)ç �óíêöi¹þ ðåãðåñi¨ C(u; �) 2 C2(Rn).Ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ x(t); t � 0 â ñòàíäàðòíîìó �àçîâîìó ïðîñòîði (X; X) çà-äà¹òñÿ ãåíåðàòîðîì:Q'(x) = q(x) ZX P (x; dy) ['(y)� '(x)℄ ; ' 2 B(X);äå B(X) - áàíàõîâèé ïðîñòið äiéñíèõ îáìåæåíèõ �óíêöié ç ñóïðåìóì � íîð-ìîþ jj'jj = maxx2X j'(x)j.Ñòîõà
òè÷íå ÿäðî P (x;B); x 2 X;B 2 X âèçíà÷๠ðiâíîìiðíî åðãîäè÷íèé âêëà-äåíèé ëàíöþã Ìàðêîâà xn = x(�n), n � 0 iç ñòàöiîíàðíèì ðîçïîiäëîì �(B); B 2 X .Ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië �(B); B 2 X ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó x(t); t � 0 âèçíà÷à¹òüñÿñïiââiäíîøåííÿì: �(dx)q(x) = q�(dx); q = ZX �(dx)q(x):
26 Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì.Ïîòåíöiàëüíûé îïåðàòîð R0 [3℄ ãåíåðàòîðà Q âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíî-øåííÿì: R0 = �� (� +Q)�1, äå �'(x) = ZX �(dy)'(y) � ïðîåêòîð íà ïiäïðî-ñòið NQ = f' : Q' = 0g íóëiâ îïåðàòîðà Q.2. Âëàñòèâîñòi çáóðþþ÷îãî ïðîöåñóIìïóëüñíèé ïðîöåñ çáóðåíü (IÏÇ) �"(t); t � 0 çàäà¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿìè:�"(t) = tZ0 �"(ds; x(s="4)); (2)äå ñiìåéñòâî ïðîöåñiâ ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè �"(t; x); t � 0; x 2 X çàäà¹òüñÿãåíåðàòîðàìè �"(x)'(w) = "�4 ZR ['(w + "2v)� '(w)℄�(dv; x); x 2 X: (3)�åíåðàòîð (3) äîïóñê๠àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿ�"(x)'(w) = "�2�1(x)'(w) + �2(x)'(w) + "2
"(x)'(w);äå �1(x)'(w) = b1(x)'0(w); b1(x) = ZR v�(dv; x) (4)�2(x)'(w) = 12b2(x)'00(w); b2(x) = ZR v2�(dv; x); (5)à çàëèøêîâèé ÷ëåí òàêèé, ùî jj"2
"(x)'(w)jj ! 0 ïðè "! 0.Òàêîæ íåõàé ïðè öüîìó âèêîíó¹òüñÿ óìîâà áàëàíñó��1(x) = ZX �(dx)b1(x) = 0: (6)Ïðè âiäïîâiäíèõ óìîâàõ íà êåðóþ÷ó �óíêöiþ a(t), �óíêöiþ ðåãðåñi¨ C(u; x) òàçáóðþþ÷èé ïðîöåñ íåïåðåðâíà ÏÑÀ (1) ç iìîâiðíiñòþ îäèíèöÿ çiáãà¹òüñÿ äî òî÷êèðiâíîâàãè óñåðåäíåíî¨ ñèñòåìè dû(t)dt = Ĉ(û(t)); (7)äå Ĉ(u) = ZX �(dx)C(u; x):¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Ôëóêòóàöi¨ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè 27Óìîâîþ iñíóâàííÿ òî÷êè ðiâíîâàãè u0 ¹ óìîâà áàëàíñó�C(0; x) = ZX �(dx)C(0; x) = 0: (8)Íàäàëi áóäåìî ðîçãëÿäàòè ÏÑÀ ç êåðóþ÷îþ �óíêöi¹þ:a(t) = a=t
; 0 < t0 < t; a > 0; 1=2 <
� 1Íîðìîâàíå iìïóëüñíå çáóðåííÿ çàäà¹òüñÿ ñïiâiäíîøåííÿì�"(t) = a tZt0 �"(ds; x(s="4))=s
;�îçãëÿíåìî àñèìïòîòè÷íi âëàñòèâîñòi ïðîöåñó �"(t).Ëåìà 1. �åíåðàòîð äâîêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó �"(t), x(t="4), t � 0 ìà¹âèãëÿä: B"(x)'(w; x) = "�4Q'(w; x) + at�
�"(x)'(w; x); (9)äå �"(x) - ãåíåðàòîð ñiìåéñòâà ïðîöåñiâ ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè�"(t; x); t � 0; x 2 X.Äîâåäåííÿ. Íåõàé �"(t) = wt, x(t="4) = xt. Îá÷èñëèìî óìîâíå ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàí-íÿ: E ['(�"(t+�); x((t+�)="4))� '(�"(t); x(t="4))j�"(t) = w; x(t="4) = x℄ == E['(wt+�; xt+�)� '(w; x)℄ = E['(wt+�; xt+�)� '(w; xt+�)℄ ++E['(w; xt+�)� '(w; x)℄:À ç âèêîðèñòàííÿì îçíà÷åííÿ ãåíåðàòîðà ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó �"(t), x(t="4), t � 0,îòðèìà¹ìîB"(x)'(w; x) = lim�!0 1�E['(wt+�; xt+�)� '(w; x)℄ == lim�!0 1�E['(wt+�; xt+�)� '(w; xt+�)℄ + lim�!0 1�E['(w; xt+�)� '(w; x)℄:Îñêiëüêè çãiäíî îçíà÷åíülim�!0 1�E['(wt+�; xt+�)� '(w; xt+�)℄ = at�
�"(x)'(v; w; x);i lim�!0 1�E['(w; xt+�)� '(w; x)℄ = "�4Q'(w; x);òî ïðîñóìóâàâøè öi äâi ãðàíèöi, îäåðæèìî (9). �Ëåìà 2. �åíåðàòîð äâîêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó �"(t), x(t="4), t � 0 íàòåñò-�óíêöiÿõ '(w; �) 2 C3(R) äîïóñê๠àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàëåííÿ:B"(x)'(w; x) = "�4Q'(w; x) + "�2at�
�1(x)'(w; x) ++ at�
�2(x)'(w; x) + �B(x)'(w; x); (10)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
28 Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì.äå çàëèøêîâèé ÷ëåí òàêèé, ùî jj�B(x)'(w; x)jj ! 0 ïðè "! 0.Äîâåäåííÿ. Äîâåäåííÿ ïðîâîäèòüñÿ iç âèêîðèñòàííÿì ðîçêëàäó îïåðàòîðà �"(x) (3)ïî ñòåïåíÿõ " òà ðåçóëüòàòiâ ëåìè 1. �Çðiçàíèé îïåðàòîð íàáóäå âèãëÿäó:B"0(x)'(u; x) = "�4Q'(w; x) ++"�2at�
�1(x)'(w; x) + at�
�2(x)'(w; x): (11)Ëåìà 3. Çà óìîâè áàëàíñó (6) ðîçâ'ÿçîê ïðîáëåìè ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ çði-çàíîãî îïåðàòîðà (11) íà òåñò-�óíêöiÿõ'"(w; x) = '(w) + "2t�
'2(w; x) + "4t�
'0(w; x)ðåàëiçó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì:B"0(x)'(u; x) = t�
Bt'(w) + "2�"�(x)'(w); (12)äå çàëèøêîâèé ÷ëåí �"�'(w) ðiâíîìiðíî îáìåæåíèé ïî x.�ðàíè÷íèé îïåðàòîð Bt âèçíà÷à¹òüñÿ �îðìóëîþ:Bt� = a��2(x)� + a2t�
��1(x)R0�1(x)�: (13)Äîâåäåííÿ. Äëÿ âèêîíàííÿ ðiâíîñòi (12) íåîáõiäíî ùîá êîå�iöi¹íòè ïðè îäíàêîâèõñòåïåíÿõ " çëiâà i ñïðàâà ñïiâïàäàëè. Îá÷èñëèìî:B"0(x)'(u; x) = "�4Q'(w) + "�2t�
[Q'2(w; x) + a�1(x)'(w)℄ ++t�
[Q'0(w; x) + at�
�1(x)'2(w; x) + a�2(x)'(w)℄ ++"2at�2
[�1(x)'0(w; x) + �2(x)'2(w; x)℄ + "4at�2
�2(x)'0(w; x):Îñêiëüêè '(w) íå çàëåæèèòü âiä x òîQ'(w) = 0;, '(w) 2 NQ:Óìîâà áàëàíñó (6) ¹ óìîâîþ ðîçâ'ÿçíîñòi ðiâíÿííÿQ'2(w; x) + a�1(x)'(w) = 0:Òîìó '2(w; x) = aR0�1(x)'(w): (14)�iâíÿííÿ Q'0(w; x) + at�
�1(x)'2(w; x) + a�2(x)'(w) = Bt'(w)ç âèêîðèñòàííÿì (14) ìîæíà çâåñòè äî âèãëÿäóQ'0(w; x) + a2t�
�1(x)R0�1(x)'(w) + a�2(x)'(w) = Bt'(w)Óìîâà ðîçâ'ÿçíîñòi îñòàííüîãî ðiâíÿííÿ i ä๠ãðàíè÷íèé îïåðàòîð Bt â �îðìi (13).Òîäi '0(w; x) = R0[a2t�
�1(x)R0�1(x) + a�2(x)� Bt℄'(w); (15)à âðàõîâóþ÷è ùî R0Bt = 0, òî '0(w; x) = R0[a2t�
�1(x)R0�1(x) + a�2(x)℄'(w).¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Ôëóêòóàöi¨ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè 29Âèêîðèñòîâóþ÷è (13) òà (15), ðåøòó ÷ëåíiâ ðîçêëàäó ìîæíà çâåñòè äî âèãëÿäó"2at�2
[�1(x)'0(w; x) + �2(x)'2(w; x)℄ + "4at�2
�2(x)'0(w; x) == "2at�2
[�1(x)R0[a2t�
�1(x)R0�1(x) + a�2(x)℄ + a�2(x)R0�1(x)℄'(w) ++"4at�2
�2(x)R0[a2t�
�1(x)R0�1(x) + a�2(x)℄'(w) = "2�"�(x)'(w):Îáìåæåíiñòü �"�'(w) âèïëèâ๠ç âèãëÿäó îïåðàòîðiâ �1(x),�2(x) òà R0. �Ëåìà 4. Çà óìîâè áàëàíñó (6) ì๠ìiñöå ñëàáêà çáiæíiñòü�"(t)! �0(t); "! 0�ðàíè÷íèé ïðîöåñ �0(t) âèçíà÷à¹òüñÿ ãåíåðàòîðîìBt'(w) = 12B(t)'00(w);äå B(t) = at�
B1 + aB2;B1 = 2�b1(x)R0b1(x) = 2 ZX �(dx)b1(x)R0b1(x); b1(x) = ZR v�(dv; x);B2 = �b2(x) = ZX �(dx)b2(x); b2(x) = ZR v2�(dv; x):Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ îïåðàòîðiâ ïðè îá÷èñëåííi ïðàâî¨ ÷àñòèíè(13) îäåðæèìî:Bt'(w) = [a��2(x) + a2t�
��1(x)R0�1(x)℄'(w) == 12a ZX �(dx)b2(x)'00(w) + at�
ZX �(dx)b1(x)R0b1(x)'00(w):I â ðåçóëüòàòi îäåðæèìî: Bt'(w) = 12B(t)'00(w):Çàêií÷åííÿ äîâåäåííÿ ïðîâîäèòüñÿ ïî ñõåìi äîâåäåííÿ òåîðåìè 4.2 â [3℄. �Çàóâàæåííÿ 1. �ðàíè÷íèé ïðîöåñ �0(t) ì๠âèãëÿä�0(t) = �(t)W (t)äå �(t)��(t) = B(t), à W (t) � ñòàíäàðòíèé âiíåðiâñüêèé ïðîöåñ.Òàêèì ÷èíîì ãðàíè÷íèì ïðîöåñ äëÿ íîðìîâàíîãî çáóðþþ÷îãî ïðîöåñó �"(t) ¹äè�óçiéíèì iç íóëüîâèì çñóâîì. ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
30 Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì.3. Âëàñòèâîñòi �ëóêòóàöié�îçãëÿíåìî �ëóêòóàöi¨ ÏÑÀ (1) â íàñòóïíîìó íîðìóâàííiv"(t) = "�1tÆ [u"(t)� "�"(t)℄ ; (16)Òåîðåìà 1. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè áàëàíñó (8) i (6), à òàêîæ óìîâè çáiæíîñòiÏÑÀ (1). Òîäi ì๠ìiñöå ñëàáêà çáiæíiñòü(v"(t); �"(t))! (�(t); �(t)W (t)); t > 0; "! 0â êîæíîìó ñêií÷åííîìó iíòåðâàëi 0 < t0 < t < T . �ðàíè÷íèé ïðîöåñ (�(t); �0(t))çàäà¹òñÿ ãåíåðàòîðîìL'(v; w) = �v(a
t�
+ ÆtÆ�1) + a
t�
w�'0v(v; w) + a2B(t)'00w(v; w);äå
= ZX �(dx)C 0(0; x); B(t) = at�
B1 + t�
B2;à B1, B2 âèçíà÷åíî â ëåìi 4.Çàóâàæåííÿ 2. �ðàíè÷íèé ïðîöåñ �(t) çàäîâîëüíÿ¹ ñòîõàñòè÷íîìó äè�åðåíöiàëü-íîìó ðiâíÿííþ d�(t) = ��(t)(a
t�
+ ÆtÆ�1) + a
t�
�(t)W (t)� dt: (17)Çàóâàæåííÿ 3. ßêùî, àíàëîãi÷íî äî [2℄, ðîçãëÿíóòè ñïðîùåíèé âèïàäêîê, êîëè
= 1, Æ = 1�
= 0, òî îäåðæèìîd�(t) = a
t�1 [�(t) + �(t)W (t)℄ dt:Ëåìà 5. Íîðìîâàíà �ëóêòóàöiÿ (16) çàäîâîëüíÿ¹ äè�åðåíöiàëüíîìó ðiâíÿííþdv"(t) = C"(v"(t); x"t )dt; (18)äå C"(v; x) = "�1atÆ�
C("z"(t); x) + Ævt�1;z = t�Æv + w; v = v"(t); w = �"(t).Äîâåäåííÿ. Äëÿ îäåðæàííÿ (18) ïðîäè�åðåíöiþ¹ìî (16) ç âèêîðèñòàííÿì (1). ��îçãëÿíåìî ïiâãðóïè îïåðàòîðiâ C";tt+s(x)'(v) = '(v"(t + s)), v"x(s) = v, ÿêi ïî-ðîäæóþòüñÿ ðîçâ'ÿçêàìè ñèñòåìè (18) ç ãåíåðàòîðîìC"t (x)'(v) = C"(v; x)'0(v): (19)Ëåìà 6. �åíåðàòîð (19) ïiâãðóïè îïåðàòîðiâ C";tt+s(x), x 2 X ì๠àñèìïòîòè÷íå ïðåä-ñòàâëåííÿ C"t (x)'(v) = �Ævt�1 + atÆ�
zC 0(0; x)�'0(v) ++ "�1at1�2
C(0; x)'0(v) + "�"(x)'0(v); (20)äå �"(x) ðiâíîìiðíî îáìåæåíà ïî x �óíêöiÿ.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Ôëóêòóàöi¨ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè 31Äîâåäåííÿ. Äëÿ îäåðæàòàííÿ (20 â ãåíåðàòîði (19) ðîçêëàäåìî �óíêöiþ C â ðÿäÒåéëîðà ïî ïåðøié çìiííié. �Ëåìà 7. �åíåðàòîð òðüîõêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó [4℄v"(t); �"(t); x(t="4) = x"t ; t � 0 (21)ì๠àíàëiòè÷íå âèãëÿäL"'(v; w; x) = �"�4Q+ "�2at�
�"(x) +C"t (x)�'(v; w; x); (22)Äîâåäåííÿ. Îá÷èñëèìî óìîâíå ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, ââiâøè ïîçíà÷åííÿx(t="4) = xt, v"(t) = vt, �"(t) = wt:E['(v"(t +�); �"(t+�); x((t +�)="4))� '(v"(t); �"(t); x(t="4))jv"(t) = v; �"(t) = w; x(t="4) = x℄ = E['(vt+�; wt+�; xt+�)� '(v; w; x)℄ == E['(vt+�; wt+�; xt+�)� '(v; wt+�; xt+�)℄ + E['(v; wt+�; xt+�)� '(v; w; x)℄:Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ ãåíåðàòîðà ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó (21), îäåðæó¹ìîL"'(v; w; x) = lim�!0 1�E['(v"(t+�); �"(t+�); x((t +�)="4))� v"(t); �"(t); x(t="4))jv"(t) = v; �"(t) = w; x(t="4) = x℄ = lim�!0 1�E[vt+�; wt+�; xt+�)� '(v; w; x)℄ == lim�!0 1�E['(vt+�; wt+�; xt+�)� '(v; wt+�; xt+�)℄ + lim�!0 1�E'(v; wt+�; xt+�)� '(v; w; x)℄Îñêiëüêè ïåðøà ç ãðàíèöü, çãiäíî ëåìè 6, ðiâíà (20), à äðóãà, çãiäíî ëåìè 1, ðiâíà(9), òî ïðîñóìóâàâøè ¨õ, îäåðæèìî òâåðæåííÿ ëåìè. �Ëåìà 8. �åíåðàòîð L" äîïóñê๠àñèìïòîòè÷íå ïðåäñòàâëåííÿL"'(v; w; x) = �"�4Q + "�2at�
�1(x) + at�
C1(x)+ "�1at�
C(x) + �"L(x)�'(v; w; x); (23)äå C(x)'(v; w; x) = C(0; x)'0v(v; w; x);C1(x)'(v; w; x) = (tÆzC 0(0; x) + �2(x) + Æavt
�1)'0v(v; w; x); (24)z = tÆv + w;à çàëèøêîâèé ÷ëåí òàêèé, ùî jj�"L(x)'(v; w; x)jj ! 0 ïðè "! 0.Äîâåäåííÿ. Âèãëÿä ãåíåðàòîðà (23) îäåðæèìî ç ðîçêëàäó (22) ëåìè 7. �Çðiçàíèé îïåðàòîð íàáóäå âèãëÿäó:L"0 = "�4Q + "�2at�
�1(x) + "�1at1�2
C(x) + at�
C1(x): (25)�îçâ'ÿæåìî ïðîáëåìó ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ çðiçàíîãî îïåðàòîðà (25) ç âèêîðè-ñòàííÿì òåñò-�óíêöi¨ [4℄'"(v; w; x) = '(v; w) + "2t�
'2(v; w; x) + "3t�
'1(v; w; x) + "4t�
'0(v; w; x):¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
32 Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì.Ëåìà 9. �îçâ'ÿçîê ïðîáëåìè ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ çðiçàíîãî îïåðàòîðà (25) âóìîâàõ òåîðåìè ðåàëiçó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿìL"0'"(v; w; x) = t�
L'(v; w) + "�"(x)'(v; w); (26)äå çàëèøêîâèé ÷ëåí �"(x) ðiâíîìiðíî îáìåæåíèé ïî x.�ðàíè÷íèé îïåðàòîð L âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì:L� = a�C1(x)� + a2t�
��1(x)R0�1(x)�: (27)Äîâåäåííÿ. Äëÿ ðîçâ'ÿçêó ïðîáëåìè ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ ïðèâåäåì ïîäiáíi ÷ëåíèâ ëiâié ÷àñòèíi (26) ç âðàõóâàííÿì ":L"0'" = "�4Q'+ "�2t�
[Q'2 + a�1(x)'℄ + "�1tÆ�
[Q'1 + aC(x)'℄ ++ t�
[Q'0 + at�
�1(x)'2 + aC1(x)'℄ + "�"(x)':Îñêiëüêè ' íå çàëåæèòü âiä x òîìóQ' = 0;, ' 2 NQ:Óìîâà áàëàíñó (6) ¹ óìîâîþ ðîçâ'ÿçíîñòi ðiâíÿííÿQ'2 + a�1(x)' = 0:Òîìó '2 = aR0�1(x)': (28)Óìîâà áàëàíñó (8) ¹ óìîâîþ ðîçâ'ÿçíîñòi ðiâíÿííÿQ'1 + aC(x)' = 0:Òîìó '1 = aR0C(x)': (29)Îñòàíí¹ ðiâíÿííÿ Q'0 + at�
�1(x)'2 + aC1(x)' = L';ç âèêîðèñòàííÿì (28) i (29) ìîæíà çâåñòè äî âèãëÿäó:Q'0 + [aC1(x) + a2t�
�1(x)R0�1(x)℄' = L':Âèãëÿä ãðàíè÷íîãî îïåðàòîðà L â �îðìi (27) âèïëèâ๠iç óìîâè ðîçâ'ÿçíîñòi îñòàí-íüîãî ðiâíÿííÿ.Òîäi '0(v; w; x) = R0[aC1(x) + a2t�
�1(x)R0�1(x)� L℄'(v; w): (30)à, âðàõîâóþ÷è, ùî R0L = 0, îäåðæèìî'0(v; w; x) = R0[aC1(x) + a2t�
�1(x)R0�1(x)℄'(v; w): �¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
Ôëóêòóàöi¨ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè 334. Äîâåäåííÿ òåîðåìèÎá÷èñëèìî ïðàâó ÷àñòèíó (27 ç âèêîðèñòàííÿì (24):L'(v; w) = [a�C1(x) + a2t�
��1(x)R0�1(x)℄'(v; w)= atÆ�
24ZX �(dx)(zC 0(0; x) + Æat
�1v)'0v(v; w)35++a2 t�
ZX �(dx)b2(x)'00w(v; w) + a2t�
ZX �(dx)b1(x)R0b1(x)'00w(v; w):i ïiñëÿ ïåðåòâîðåíü îäåðæèìî:L'(v; w) = �v(a
t�
+ ÆtÆ�1) + a
t�
w�'0v(v; w) + a2B(t)'00w(v; w):Çàêií÷åííÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè ïðîâîäèòüñÿ ïî ñõåìi äîâåäåííÿ òåîðåìè 4.2 â [3℄.Çàêëþ÷åííÿÒàêèì ÷èíîì �ëóêòóàöi¨ ïðîöåäóðè ñòîõàñòè÷íî¨ àïðîêñèìàöi¨ ç iìïóëüñíèìèçáóðåííÿìè ïðè íàÿâíîñòi òî÷êè ðiâíîâàãè óñåðåäíåíî¨ ñèñòåìè íà çðîñòàþ÷èõ ií-òåðâàëàõ ÷àñó îïèñóþòüñÿ äè�åðåíöiàëüíèì ðiâíÿííÿì, â ÿêîìó øâèäêiñòü åâîëþöi¨çàëåæèòü âiä âiíåðiâñüêîãî ïðîöåñó [2℄.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Chabanyuk Ya.M. Continuous sto
hasti
approximation pro
edure with singular perturbation underthe balan
e
onditions // Cyberneti
s and sto
hasti
analysis (2006), no. 3,
. 1�7.2. Ñåìåíþê Ñ.À. Ôëóêòóàöèè ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ñ äè��óçèîííûì âîçìó-ùåíèåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç (2009), no. 5,
. 176�180.3. Korolyuk V.S, Limnius N. Sto
hasti
Systems in Merging Phase Spa
e, World S
ienti�
, 2005.4. Korolyuk V.S., Korolyuk V.V. Sto
hasti
Models of Systems, Kluwer, Dordre
ht, 1999.Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 15.09.2009
¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18184 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1729-3901 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:44:35Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенюк, С.А. Чабанюк, Я.М. 2011-03-18T12:36:54Z 2011-03-18T12:36:54Z 2010 Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями / С.А. Семенюк, Я.М. Чабанюк // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 1. — С. 25-33. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1729-3901 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18184 519.21 Поведение флуктуаций процедури стахостической аппроксимации (ПСА) характерезует скорость восхождения системы к точке равновесия. В работе рассматриваются свойства флуктуаций ПСА с импульсными возмущением в окрестности точки равновесия усредненной системы. В дальнейшем это позволит рассматривать проблемы асимптотической поведения ПСА. Поведінка флуктуацій процедури стахостичної апроксимації (ПСА) характеризує швидкість сходження системи до точки рівноваги. В цій роботі розглядаються властивості флуктуацій ПСА з імпульсними збуренням в околі точки рівноваги усередненої системи. В подальшому це дасть змогу розглядати проблеми асимптотичної поведінки ПСА. Behavior of the Stochastic approximation procedure (SAP) fluctuations characterize the system convergence speed. In this paper we consider properties of the SAP fluctuations in the case when the regression function is perturbed by the Markov impulsive process near the equilibrium point of the averaged system. As a result it will allow to consider the SAP asymptotic behavior. uk Кримський науковий центр НАН України і МОН України Таврический вестник информатики и математики Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями Article published earlier |
| spellingShingle | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями Семенюк, С.А. Чабанюк, Я.М. |
| title | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| title_full | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| title_fullStr | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| title_full_unstemmed | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| title_short | Флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| title_sort | флуктуації процедури стахостичної апроксимації з імпульсними збуреннями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18184 |
| work_keys_str_mv | AT semenûksa fluktuacííproceduristahostičnoíaproksimacíízímpulʹsnimizburennâmi AT čabanûkâm fluktuacííproceduristahostičnoíaproksimacíízímpulʹsnimizburennâmi |