Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств
The extremal problems of the theory of univalent functions are studied. Some known results concerning the extremal problems with free poles for nonoverlapping domains are extended to the special classes of open sets.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1819 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13-16. — Библиогр.: 11 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860248762521223168 |
|---|---|
| author | Бахтин, А.К. Вьюн, В.Е. |
| author_facet | Бахтин, А.К. Вьюн, В.Е. |
| citation_txt | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13-16. — Библиогр.: 11 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The extremal problems of the theory of univalent functions are studied. Some known results concerning the extremal problems with free poles for nonoverlapping domains are extended to the special classes of open sets.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
© 2007
А.К. Бахтин, В. Е. Вьюн
Разделяющее преобразование и неравенства
для открытых множеств
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины П.М. Тамразовым)
The extremal problems of the theory of univalent functions are studied. Some known results
concerning the extremal problems with free poles for nonoverlapping domains are extended to
the special classes of open sets.
Работа посвящена решению новых экстремальных задач геометрической теории функций
комплексного переменного на классах неналегающих областей или открытых множеств
(см. [1–9]).
Всюду ниже n — натуральное число, n > 2. В комплексной плоскости C рассмотрим
множество точек An,2 = {ak,p : k = 1, n, p = 1, 2} такое, что 0 = arg a1,1 = arg a1,2 <
< arg a2,1 = arg a2,2 < · · · < arg an,1 = arg an,2 < 2π (такие множества будем называть
(n, 2)-лучевыми системами точек). Пусть αk := (1/π)(arg ak+1,1 − arg ak,1) при k = 1, n − 1,
αk := (1/π)(2π − arg an,1), Λk := {w ∈ C : arg ak,1 6 arg w 6 arg ak,1 + παk}, zk(w) — од-
нозначная ветвь функции −i(e−i arg ak,1w)1/αk , которая реализует однолистное конформное
отображение области Λk на полуплоскость Re z > 0 (k = 1, n). Обозначим χ(t) := (1/2)(t +
+ t−1) (t 6= 0),
L(An,2) :=
n∏
k=1
2∏
p=1
χ
(∣∣∣∣
ak,p
ak+1,p
∣∣∣∣
1/(2αk)
)
|ak,p|,
Lp(An,2) :=
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣
ak,p
ak+1,p
∣∣∣∣
1/(2αk)
)
|ak,p|, p = 1, 2,
и определим действительное число ρk > 0 следующим условием: точки zk(ak,1), zk(ak,2),
zk(ak+1,1), zk(ak+1,2) переводятся дробно-линейным автоморфизмом расширенной комплекс-
ной плоскости C соответственно в точки −iρ
1/αk
k , −iρ
−1/αk
k , iρ
1/αk
k , iρ
−1/αk
k (k = 1, n). Легко
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 7
видеть, что последовательность {ρk}
n
k=1 определена однозначно (см., напр., [7]). Пусть
t0 :=
(
n∏
k=1
1 − ρ
2/αk
k
1 + ρ
2/αk
k
)1/n
, R0 :=
[
1 − t0
1 + t0
]1/n
.
Рассмотрим открытое множество D ⊂ C, удовлетворяющее следующему условию час-
тичного неналегания относительно множества An,2: An,2 ⊂ D и для каждого k = 1, . . . , n,
и для любых точек z1, z2 ∈ An,2
⋂
Λk, z1 6= z2, связная компонента множества D
⋂
Λk,
содержащая точку z1, не пресекается со связной компонентой множества D
⋂
Λk, содержа-
щей точку z2 (см. [8, 9]).
Используемые в дальнейшем определения внутреннего радиуса r(B, a) области B отно-
сительно содержащейся в ней точки a, квадратичного дифференциала, обобщенной функ-
ции Грина gB(z,w) области B, конденсатора и связанные с ним понятия его емкости и моду-
ля содержатся, например, в [1–3, 5]. Если B — открытое (не обязательно связное) множест-
во, a ∈ B, B(a) — содержащая точку a связная компонента множества B, то r(B, a) :=
= r(B(a), a),
g̃B(w, a) : =
gB(a)(w, a), w ∈ B(a),
lim
ζ→w
gB(a)(ζ, a), w ∈ ∂B(a) (ζ ∈ B(a)),
0, w ∈ C \ B(a).
Во введенных выше обозначениях справедлива следующая
Теорема. Пусть n > 2. Тогда каковы бы ни были (n, 2)-лучевая система точек An,2
такая, что L(An,2) = 1, и открытое множество D ⊂ C, удовлетворяющее условию час-
тичного неналегания относительно множества An,2, имеет место неравенство
n∏
k=1
2∏
p=1
r(D,ak,p)
∏
z1,z2∈An,2,
z1 6=z2
exp g̃D(z1, z2) 6 22n
(
n∏
k=1
αk
)2( n∏
k=1
1 − ρ
2/αk
k
1 + ρ
2/αk
k
)2
, (1)
знак равенства в котором достигается, когда An,2 и D являются, соответственно, мно-
жеством полюсов и объединением круговых областей квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2(wn + 1)2
(wn − (R0)n)2(1 − (R0)nwn)2
dw2.
Эта теорема обобщает некоторые результаты о неналегающих областях, установленные
в работах [6, 7].
Доказательство следует схеме, предложенной в работах [8, 9] и использует идеи и методы
работ [3–7].
Из условий, наложенных на множество D, следует, что функция g̃D(z,w) определена
при всех z, w ∈ D и конечна при всех z 6= w.
Пусть E0 = C \ D, ε > 0, E1(ε) — замкнутая ε-окрестность множества An,2. Емкость
конденсатора C(ε), определяемого парой пластин E0, E1(ε), равна
cap C(ε) := inf
∫∫ ((
∂ϕ
∂x
)2
+
(
∂ϕ
∂y
)2)
dxdy,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
где точная нижняя грань берется по всем вещественным непрерывным функциям ϕ, опре-
деленным в C, удовлетворяющим в C условию Липшица (с показателем 1) и таким, что
ϕ
∣∣
E0
= 0, ϕ
∣∣
E1(ε)
= 1. Величина |C(ε)| := [cap C(ε)]−1 называется модулем конденсатора C(ε).
Следуя работам В.Н. Дубинина (см., напр., [3]), определим разделяющее преобразование
конденсатора C(ε) относительно системы функций {zk(w)}n
k=1 и системы областей {Λk}
n
k=1.
Пусть Ck(ε) = {E
(k)
0 , E
(k)
1 (ε)}, где E
(k)
0 — объединение образа множества E0
⋂
Λk при ото-
бражении z = zk(w) с симметричным ему множеством относительно мнимой оси, а E
(k)
1 (ε) —
объединение образа множества E1(ε)
⋂
Λk при том же отображении с симметричным ему
множеством относительно мнимой оси (k = 1, n). Тогда (см. [4, 5]) выполняются неравенства
cap C(ε) >
1
2
n∑
k=1
Ck(ε) (2)
и, следовательно,
∣∣C(ε)
∣∣ 6 2
(
n∑
k=1
∣∣Ck(ε)
∣∣−1
)−1
. (3)
Применяя теорему 1 из работы [4], получаем асимптотическое равенство
∣∣C(ε)
∣∣ =
1
4πn
log
1
ε
+ M(D,An,2) + o(1), ε → 0, (4)
где M(D,An,2) — приведенный модуль множества D относительно системы точек An,2:
M(D,An,2) =
1
8πn2
(
n∑
k=1
2∑
p=1
log r(D,ak,p) +
∑
z1,z2∈An,2,
z1 6=z2
g̃D(z1, z2)
)
. (5)
Объединение связной компоненты множества zk
(
Λk
⋂
D
)
, содержащей точку ω
(1)
k,p :=
= zk(ak,p), с образом ее симметричного отражения относительно мнимой оси, обозначим
через Ω
(1)
k,p. Аналогично, объединение связной компоненты множества zk
(
Λk
⋂
D
)
, содержа-
щей точку ω
(2)
k,p := zk(ak+1,p), с образом ее симметричного отражения относительно мнимой
оси, обозначим через Ω
(2)
k,p. Тогда выполняются следующие равенства:
∣∣zk(w) − zk(as,p)
∣∣ =
1
αk
|as,p|
(1/αk)−1 · |w − as,p| + o(1), w → as,p (6)
(k = 1, n, p = 1, 2, s = k, k + 1). Нетрудно заметить, что
∣∣ω(1)
k,p − ω
(2)
k,p
∣∣ = |ak,p|
1/αk + |ak+1,p|
1/αk , k = 1, n, p = 1, 2. (7)
Используя (6) и применяя теорему 1 из работы [4], получаем асимптотические равенства
∣∣Ck(ε)
∣∣ =
1
8π
log
1
ε
+ Mk(D,An,2) + o(1), ε → 0 (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 9
(k = 1, n), где
Mk(D,An,2) =
1
2π
1
16
2∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
1
αk
|ak,p|(1/αk)−1
r
(
Ω
(2)
k,p, ω
(2)
k,p
)
1
αk
|ak+1,p|(1/αk)−1
. (9)
Производя необходимые вычисления с учетом [2–9], из (3) получаем неравенство
M(D,An,2) 6
2
n2
n∑
k=1
Mk(D,An,2)
и, следовательно,
n∏
k=1
2∏
p=1
r(D,ak,p)
∏
z1,z2∈An,2,
z1 6=z2
exp g̃D(z1, z2) 6
6 22n
(
n∏
k=1
αk
)2
· L(An,2) ·
n∏
k=1
(
2∏
p=1
r
(
Ω
(1)
k,p, ω
(1)
k,p
)
· r
(
Ω
(2)
k,p, ω
(2)
k,p
)
∣∣ω(1)
k,p − ω
(2)
k,p
∣∣2
)1/2
.
Отсюда, повторяя рассуждения из работы [7], приходим к неравенству (1).
Утверждение о знаке равенства проверяется непосредственно. Теорема доказана.
Сформулируем два следствия, вытекающие из доказанной теоремы. Для формулировки
первого из них, введем обозначения: λ1 := [L1(An,2)]
1/n, λ2 := [L2(An,2)]
1/n. Определим
(n, 2)-лучевую систему точек Ãn,2 равенствами ãk,p = λp · (ak,p/|ak,p|), k = 1, n, p = 1, 2.
Если c — действительное положительное число и A ⊂ C, то cA := {z = cw : w ∈ A}.
Следствие 1. Пусть n > 3, λ, R — положительные действительные числа, λ < R.
Тогда для любой (n, 2)-лучевой системы точек An,2 = {ak,p : k = 1, n, p = 1, 2} такой, что
L(An,2) = R2n, L1(An,2) = λn, t0
(
1
R
An,2
)
= t0
(
1
R
Ãn,2
)
,
и для произвольного открытого множества D ⊂ C, удовлетворяющего условию частич-
ного неналегания относительно системы точек An,2, выполняется неравенство
n∏
k=1
2∏
p=1
r(D,ak,p)
∏
z1,z2∈An,2,
z1 6=z2
exp g̃D(z1, z2) 6
(
4R
n
)2n
·
[
Rn − λn
Rn + λn
]2n
,
знак равенства в котором достигается, когда точки ak,p и множество D являются, соо-
тветственно, полюсами и объединением круговых областей квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2(wn + Rn)2
(wn − λn)2(R2n − λnwn)2
dw2.
Функционал t0(An,2), определенный на (n, 2)-лучевых системах точек, можно распрост-
ранить на являющиеся подмножествами круга |z| < 1 т. н. n-лучевые системы точек An,
т. е. множества из n различных точек в C\{0} с попарно различными аргументами, а именно,
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
полагая t0(An) равным значению функционала t0 на (n, 2)-лучевой системе, которая состоит
из объединения множества An с симметричным ему множеством относительно окружности
|z| = 1. По аналогии с введенными выше обозначениями для (n, 2)-лучевых систем, для
заданной n-лучевой системы An = {ak}
n
k=1 определяем n-лучевую систему Ãn := {ãk}
n
k=1.
Будем говорить, что открытое множество D ⊂ C удовлетворяет условию частичного не-
налегания относительно n-лучевой системы An = {ak}
n
k=1, an+1 := a1, arg an+1 := 2π,
если для каждого k = 1, . . . , n компоненты связности множества D
⋂
{w ∈ C : arg ak 6
6 arg w 6 arg ak+1}, содержащие точки ak и ak+1, не пересекаются между собой. Обозна-
чим UR := {z ∈ C : |z| < R}.
Следствие 2. Пусть n > 3, λ и R — положительные действительные числа, λ < R.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}
n
k=1 такой, что
L(An) = λn, t0
(
1
R
An
)
= t0
(
1
R
Ãn
)
,
и для любого открытого множества D ⊂ UR, удовлетворяющего условию частичного
неналегания относительно системы точек An, справедливо неравенство
n∏
k=1
r(D,ak)
∏
z1,z2∈An,2,
z1 6=z2
exp g̃D(z1, z2) 6
(
4λ
n
)n
·
[
Rn − λn
Rn + λn
]n
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки ak и множество D явля-
ются, соответственно, принадлежащими кругу UR полюсами и объединением круговых
областей квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2(wn + Rn)
(wn − λn)2(R2n − λnwn)2
dw2.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Государственной программы Украи-
ны № 0105U000435.
1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
2. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
3. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1. – (295). – С. 3–76.
4. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля выраждающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. научн. семин. ЛОМИ. – 1997. – 237. – С. 56–73.
5. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Учебн. пособие. – Влади-
восток: Изд. Дальневост. ун-та, 2003. – 116 с.
6. Емельянов Е. Г. О связи двух задач об экстремальном разбиении // Зап. научн. семин. ЛОМИ. –
1987. – 160. – С. 91–98.
7. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на двух
окружностях // Доп. НАН України. – 2005. – № 7. – С. 12–16.
8. Бахтин А.К. Приведенные модули открытых множеств и экстремальные задачи со свободными по-
люсами // Доп. НАН України. – 2006. – № 5. – С. 7–13.
9. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
Поступило в редакцию 08.11.2006Институт математики НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1819 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:30Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтин, А.К. Вьюн, В.Е. 2008-09-02T17:45:26Z 2008-09-02T17:45:26Z 2007 Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13-16. — Библиогр.: 11 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1819 517.54 The extremal problems of the theory of univalent functions are studied. Some known results concerning the extremal problems with free poles for nonoverlapping domains are extended to the special classes of open sets. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств Article published earlier |
| spellingShingle | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств Бахтин, А.К. Вьюн, В.Е. Математика |
| title | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| title_full | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| title_fullStr | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| title_full_unstemmed | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| title_short | Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| title_sort | разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1819 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak razdelâûŝeepreobrazovanieineravenstvadlâotkrytyhmnožestv AT vʹûnve razdelâûŝeepreobrazovanieineravenstvadlâotkrytyhmnožestv |