Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием
Рассматривается задача об устойчивости нулевого решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным возмущением в фиксированные моменты времени. В предположении, что система линейного приближения неасимптотически устойчива, получены достаточные условия равномерной асимпто...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Таврический вестник информатики и математики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18193 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием / О.В. Анашкин, Т.В. Довжик, О.В. Митько // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859544370850562048 |
|---|---|
| author | Анашкин, О.В. Довжик, Т.В. Митько, О.В. |
| author_facet | Анашкин, О.В. Довжик, Т.В. Митько, О.В. |
| citation_txt | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием / О.В. Анашкин, Т.В. Довжик, О.В. Митько // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Таврический вестник информатики и математики |
| description | Рассматривается задача об устойчивости нулевого решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным возмущением в фиксированные моменты времени. В предположении, что система линейного приближения неасимптотически устойчива, получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости полной системы.
The problem of stability of the zero solution of a nonlinear system of ordinary differential equations with impulse perturbation at fixed moments is considered. The system of linear approximation is supposed to be non-asymtotically stable. Sufficient conditions on the uniform asymptotic stability of the complete system are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-26T00:38:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.925.51Ï�ßÌÎÉ ÌÅÒÎÄ ËßÏÓÍÎÂÀ  ÇÀÄÀ×Å ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈÑÈÑÒÅÌ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÅÌ
Àíàøêèí Î.Â.�, Äîâæèê Ò.Â.��, Ìèòüêî Î.Â.��Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî�àêóëüòåò ìàòåìàòèêè è èí�îðìàòèêèïð-ò Âåðíàäñêîãî, 4, ã. Ñèì�åðîïîëü, 95007, Óêðàèíàe-mail: anashkin�
rimea.edu���ÿçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ðàäèîòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò�îññèÿ, �ÿçàíü 390005.Abstra
t. The problem of stability of the zero solution of a nonlinear system of ordinary di�erentialequations with impulse perturbation at �xed moments is
onsidered. The system of linear approximationis supposed to be non-asymtoti
ally stable. Su�
ient
onditions on the uniform asymptoti
stability ofthe
omplete system are obtained. ÂâåäåíèåÑèñòåìà îáûêíîâåííûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ èìïóëüñíûì âîçäåé-ñòâèåì (êîðî÷å, èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà) ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå ýâîëþöèîííîãî ïðîöåññàñ êîíå÷íîìåðíûì âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûé â íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè ðåçêîèçìåíÿåò ñâîå ïîëîæåíèå. Ïðè ýòîì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñòîëü âå-ëèêà, ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü ýòî èçìåíåíèå ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííûì. Ôèçè÷åñêèìè ïðè-ìåðàìè òàêèõ ÿâëåíèé ÿâëÿþòñÿ ìåõàíè÷åñêèå óäàðû, ýëåêòðè÷åñêèå èìïóëüñû è ò.ï.Èòîãè ïåðâûõ ïÿòíàäöàòè ëåò ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ñèñòåì ñ èìïóëüñ-íûì âîçäåéñòâèåì ïîäâåäåíû â ìîíîãðà�èè À.Ì.Ñàìîéëåíêî è Í.À.Ïåðåñòþêà [1℄,çà êîòîðîé ïîñëåäîâàëè êíèãè [2℄-[5℄. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ýòî íàïðàâëåíèå â òåî-ðèè äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îñíîâàòåëüíî ðàçðàáîòàíî è áèáëèîãðà�èÿ èñ-ñëåäîâàòåëüñêèõ ñòàòåé íàñ÷èòûâàåò ñîòíè íàèìåíîâàíèé.Îäíèì èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ïðè àíàëèçå ëþáîãî äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâ-íåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé, ðàññìîòðåííàÿ óæå â ïåðâîé ïóá-ëèêàöèè ïî ñèñòåìàì ñ èìïóëüñàìè [7℄. Ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ âàæíî èìåòüý��åêòèâíûå èíñòðóìåíòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè êîíêðåòíûõ óðàâíåíèé.Îáùåïðèçíàíî, ÷òî èìåííî òàêèì èíñòðóìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä �óíêöèé Ëÿïóíîâà(íàçûâàåìûé îáû÷íî ïðÿìûì èëè âòîðûì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà) [8℄. �àçëè÷íûì àñïåê-òàì çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè è ðàçâèòèÿ ïðÿìîãî ìåòîäà äëÿ èìïóëüñíûõ ñèñòåì óäåëå-íî ìíîãî âíèìàíèÿ â ìîíîãðà�èÿõ [1℄�[6℄ è ïîñâÿùåíû ñòàòüè [9℄�[20℄, ñîñòàâëÿþùèåëèøü ìàëóþ ÷àñòü ïóáëèêàöèé ïîñëåäíåãî âðåìåíè ïî ýòîé òåìàòèêå.Îáðàòèìîñòü îñíîâíûõ òåîðåì ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà (ñì., íàïðèìåð, [12, 20℄)ñâèäåòåëüñòâóåò î åãî óíèâåðñàëüíîñòè. Îäíàêî ïîäáîð ïîäõîäÿùåé �óíêöèè Ëÿïó-íîâà, óäîâëåòâîðÿþùåé ýòèì òåîðåìàì, ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûì. Íåçðÿ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíî ìíåíèå, ÷òî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ïðÿìîãî ìåòîäàËÿïóíîâà ÿâëÿåòñÿ ñêîðåå èñêóññòâîì, ÷åì íàóêîé. Ïîýòîìó ïîñòîÿííî àêòóàëüíà çà-äà÷à ïîèñêà óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè, ðàñøèðÿþùèõ êëàññ ïîäõîäÿùèõ �óíêöèé òèïàËÿïóíîâà è, òåì ñàìûì, îáëåã÷àþùèõ ïîäáîð òàêèõ �óíêöèé.  íàñòîÿùåé ðàáîòå
10 Àíàøêèí Î.Â., Äîâæèê Ò.Â., Ìèòüêî Î.Â.ïðåäëîæåíû íîâûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðå-øåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì â �èêñèðîâàííûå ìîìåíòûâðåìåíè â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà ñèñòåìà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ íå ïîçâîëÿåòîïðåäåëèòü õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ïîëíîé ñèñòåìû. Èñïîëüçóþòñÿ èäåè, ñî÷åòàþùèåïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà è àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä óñðåäíåíèÿ [21℄-[23℄.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÎáùåïðèíÿòûì ñòàíäàðòîì çàïèñè ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì â �èêñè-ðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè ñòàëà ñëåäóþùàÿ �îðìà_x = f(t; x); t 6= �k;�xjt=�k = hk(x); (1)ãäå x 2 Rn , 0 � �1 < �2 < : : : � �èêñèðîâàííûå ìîìåíòû èïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ,�k+1 � �k � � > 0, �xjt=�k = x(�k + 0)� x(�k � 0) � ñêà÷îê ðåøåíèÿ x(t) â ìîìåíò �k,k = 1; 2; : : :. Ñèñòåìà èìååò íóëåâîå ðåøåíèå: f(t; 0) = hk(0) = 0. Ñëåäóÿ óñòàíîâèâ-øåéñÿ òðàäèöèè [1℄, áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåïðåðûâíîñòü ðåøåíèé ñèñòåìû (1) ñëå-âà, ò. å. x(t) = x(t � 0). Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî �óíêöèè f(t; x) è hk(x) óäî-âëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ D � Rn ðàâíîìåðíîïî t 2 R+ = ft 2 R : t � 0g è k = 1; 2; : : :. Êàê îáû÷íî, x(t) = x(t; t0; x0) åñòü ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x(t0) = x0.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bh � Rn îòêðûòûé øàð ðàäèóñà h ñ öåíòðîì â íó-ëå (h-îêðåñòíîñòü íóëÿ).Íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íàçîâåì� óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ ëþáûõ " > 0 è t0 � 0 íàéäåòñÿ Æ("; t0) > 0 òàêîå, ÷òî äëÿëþáîãî x0 2 BÆ x(t; t0; x0) 2 B" ïðè âñåõ t � t0;� ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 íàéäåòñÿ Æ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿëþáûõ t0 � 0 è x0 2 BÆ x(t; t0; x0) 2 B" ïðè âñåõ t � t0;� ðàâíîìåðíî ïðèòÿãèâàþùèì, åñëè íåêîòîðîãî � > 0 è äëÿ ëþáîãî " > 0 íàéäåò-ñÿ �(") > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ t0 � 0 è x0 2 B� x(t; t0; x0) 2 B" ïðè âñåõ t � t0+�(");� ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîóñòîé÷èâûì è ðàâíîìåðíî ïðèòÿãèâàþùèì.�åøåíèå, íå ÿâëÿþùååñÿ óñòîé÷èâûì, íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì.Ñèñòåìó (1) íàçîâåì íåâîçìóùåííîé è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åå íóëåâîå ðåøå-íèå íåàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ âûâîä óñëîâèéóñòîé÷èâîñòè âîçìóùåííîé ñèñòåìû_y = F (t; y) = f(t; y) +R(t; y); t 6= �k;�yjt=�k = Hk(y) = hk(y) + rk(y); (2)ãäå jR(t; y)j = o(jyj), jr(t; y)j = o(jyj) ïðè jyj ! 0. Çäåñü è äàëåå j � j îáîçíà÷àåò íîðìóâ ñîîòâåòñòâóþùåì êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì 11 äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ëèíåàðèçàöèÿ íåâîçìó-ùåííîé ñèñòåìû â íóëå _z = A(t)z; t 6= �k;�zjt=�k = Bkz; (3)ãäå jf(t; x) � A(t)xj = o(jxj), jhk(x) � Bkxj = o(jxj) ïðè jxj ! 0 ðàâíîìåðíîïî t � 0 è k = 1; 2; : : :. Ïóñòü Z(t; t0) åñòü ìàòðèöàíò ýòîé ñèñòåìû, íîðìèðîâàí-íûé ïðè t = t0, ò. å. Z(t0; t0) = I � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäóòñÿ÷èñëà 0 < �1 � �2 òàêèå, ÷òî ðåøåíèå ëèíåàðèçàöèè z(t; t0; x0) = Z(t; t0)x0 ñ íà÷àëü-íûì óñëîâèåì z(t0) = x0 óäîâëåòâîðÿåò ïðè t � t0 è x0 2 D íåðàâåíñòâàì�1jx0j � jz(t; t0; x0)j � �2jx0jÝòî óñëîâèå çàâåäîìî áóäåò âûïîëíåíî, åñëè íîðìà jZ(t; t0)j îãðàíè÷åíà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç K ¾êëàññ Õàíà¿ � ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ñòðîãîâîçðàñòàþùèõ �óíêöèé a : R+ ! R+ , a(0) = 0, è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîæå-ñòâî T = 1Sk=1(�k; �k+1).Ïóñòü V (t; x)��óíêöèÿ Ëÿïóíîâà íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (1), íåïðåðûâíî äè�-�åðåíöèðóåìàÿ â îáëàñòè R+ �D è óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàìa(jxj) � V (t; x) � b(jxj); (4)dVdx ����(1) = �V�t (t; x) + �V�x (t; x)f(t; x) � 0; t 6= �k; (5)V (�k; x+ hk(x)) � V (�k; x); (6)ãäå a; b 2 K . Êàê ñëåäóåò èç [3℄, ýòè óñëîâèÿ îáåñïå÷èâàþò ðàâíîìåðíóþ óñòîé÷è-âîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (1).Îáîçíà÷èì �(t; y) = �V�y (t; y)R(t; y), yk = y(�k), k = 1; 2; : : :.Êàê èçâåñòíî [1, ñòð. 20℄, ðåøåíèå y(t; t0; y0) ñèñòåìû (2) ñ íà÷àëüíûìè çíà÷åíè-ÿìè t0, y0 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäåy(t; t0; y0) = y0 + tZt0 F (s; y(s)) ds+ Xt0<�k<tHk(yk): (7)Âäîëü ðåøåíèÿ y(t) ñèñòåìû (2) �óíêöèÿ v(t) = V (t; y(t)) òàêæå áóäåò ïðåòåðïåâàòüðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà â ìîìåíòû èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèé �i. Ó÷èòûâàÿ (6)�(7), ïî-ëó÷èìV (t; y(t)) � V (t0; y0)+ tZt0 �(t; y) ds+ Xt0<�k<t[V (�k; yk+Hk(yk))�V (�k; yk+hk(yk))℄: (8)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
12 Àíàøêèí Î.Â., Äîâæèê Ò.Â., Ìèòüêî Î.Â.�àçíîñòü ïîä çíàêîì ñóììû ïðåäñòàâèì â âèäåV (�k; yk+Hk(yk))� V (�k; yk+ hk(yk)) = 1Z0 �V�y (�k; yk+hk(yk)+�rk(yk))rk(yk) d�: (9)Îáîçíà÷àÿ Wk(y) = 1Z0 �V�y (�k; yk + hk(yk) + �rk(yk))rk(yk) d�; (10)îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìV (t; y(t)) � V (t0; y0) + tZt0 �(t; y) ds+ Xt0<�k<tWk(yk): (11)Ïóñòü ' : J ! Rn � êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå J � R �óíêöèÿ, èìåþùàÿíà íåì íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà. Îáîçíà÷èìk'kJ = supfj'(t)j; t 2 Jgíîðìó ' : J ! Rn â ïðîñòðàíñòâå KC(J) âñåõ òàêèõ �óíêöèé.Èñïîëüçóÿ ëåììó �ðîíóîëëà, ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêó ðîñòà íîðìû ðåøåíèÿ ñè-ñòåìû (1) íà ïðîèçâîëüíîì êîíå÷íîì îòðåçêå J = [t0; t0 + T ℄: jx(t; t0; x0)j � jx0j
onst,ãäå
onst çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû ïðîìåæóòêà J . Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà ñïðàâåäëèâàäëÿ ðåøåíèÿ âîçìóùåííîé ñèñòåìû (2). Îöåíêó íîðìû ðàçíîñòè ðåøåíèé ñèñòåì (1)è (2) èëè ñèñòåì (2) è (3) íà îòðåçêå J ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ïîìîùè òåîðåìû 2.5èç [1, ñòð. 19℄ (òåîðåìà 4 â [5, ñòð. 25℄):jy(t; t0; y0)� x(t; t0; y0)j � ky � xkJ = o(jy0j) ïðè jy0j ! 0:Ïðè ýòîì îöåíêà ðàâíîìåðíà îòíîñèòåëüíî t0 � 0 è y0 èç çàäàííîé îêðåñòíîñòè íóëÿè çàâèñèò òîëüêî îò âåëè÷èíû T .2. Óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè×òîáû íå îáñóæäàòü âîçìîæíûå ïàòàëîãèè, â äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîìîìåíòû èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ �k ðàñïðåäåëåíû áîëåå èëè ìåíåå ðàâíîìåðíî, àèìåííî, ïóñòü 0 < �1 � �k+1 � �k � �2; (12)äëÿ íåêîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûõ ïîñòîÿííûõ �1 � �2. Íàïîìíèì, ÷òî íàìè ââåäåíûñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ �(t; y) = �V�y (t; y)R(t; y);Wk(y) = rk(y) 1Z0 �V�y (�k; y + hk(y) + �rk(y)) d�:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì 13Òåîðåìà. Ïóñòü íåïðåðûâíî äè��åðåíöèðóåìàÿ �óíêöèÿ V : R+ � D ! R óäîâëå-òâîðÿåò óñëîâèÿì (5)�(7) è â îáëàñòè R+ �D âûïîëíåíû òðåáîâàíèÿ:1) ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû M > 0, d1 > 1, d2 > 1 òàêèå, ÷òîj�(t; y)j �M jyjd1; jWk(y)j �M jxjd2 ; j�(t; x)� �(t; y)j �M�d1�1jx� yj;jWk(x)�Wk(y)j � M�d2�1jx� yj; 8x; y 2 B�; 0 < � < h; k = 1; 2; : : : ;2) ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû T0 > 0, è Æ > 0 òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ t0 � 0, y0 2 D,T > T0 âåðíî íåðàâåíñòâît0+TZt0 �(t; z(t; t0; y0)) dt+ Xt0<�k<t0+T Wk(z(�k; t0; y0)) � �2Æjy0jdT;ãäå d = minfd1; d2g > 1, z(t; t0; y0) � ðåøåíèå ñèñòåìû (3) ñ íà÷àëüíûì óñëî-âèåì z(t0) = y0.Òîãäà íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) ðàâíîìåðíî óñòîé÷è-âî ïî Ëÿïóíîâó. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíî ìàëîå " > 0 è íåêîòîðîå � 2 T . Ïîëî-æèì � = b�1(a("=2)) è ïóñòü y(t) � ðåøåíèå âîçìóùåííîé ñèñòåìû, òðàåêòîðèÿ êî-òîðîãî âûõîäèò â ìîìåíò � èç òî÷êè y� 2 B� � B"=2. Òîãäà V (�; y�) � b(�) < a("=2).Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì t0 � � V (t0; y(t0)) = a("=2) è V (t; y(t)) > a("=2) ïðèçíà÷åíèÿõ t > t0, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê t0. Îáîçíà÷èì y0 = y(t0) è ïîêàæåì,÷òî V (t0 + T; y(t0 + T )) < a("=2), ãäå T � T0 � íå çàâèñÿùàÿ îò t0 è y0 ïîñòîÿí-íàÿ. Ïðè ýòîì y(t) 2 B" íà ïðîìåæóòêå t 2 [t0; t0+T ℄. Îòñþäà ñðàçó áóäåò ñëåäîâàòüèñêîìàÿ ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòü.Îöåíèì èçìåíåíèå �óíêöèè V íà îòðåçêå [t0; t0 + T ℄. Ïóñòü x(t) = x(t; t0; y0),z(t) = z(t; t0; y0) � ðåøåíèÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (1) è ëèíåàðèçàöèè (3), ñîîòâåò-ñòâåííî, âûõîäÿùèå èç îäíîé è òîé æå òî÷êè (t0; y0). Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî t 2 [t0; t0+T ℄,èç (8) � (9) ïîëó÷èìV (t; y(t)) � V (t0; y0) + tZt0 �(s; y(s)) ds+ Xt0<�k<tWk(yk) �� V (t0; y0) + tZt0 �(s; z(s)) ds+ Xt0<�k<tWk(zk)++ tZt0 j�(s; y(s))� �(s; z(s))j ds+ Xt0<�k<t ��Wk(yk)�Wk(zk)�� : (13) êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî íà êîíå÷íîì ïðîìåæóò-êå J = [t0; t0 + T ℄ ñïðàâåäëèâû îöåíêèjy(t; t0; y0)� x(t; t0; y0)j � ky � xkJ = o(jy0j); ïðè jy0j ! 0; (14)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
14 Àíàøêèí Î.Â., Äîâæèê Ò.Â., Ìèòüêî Î.Â.jx(t; t0; y0)� z(t; t0; y0)j � kx� zkJ = o(jy0j); ïðè jy0j ! 0; (15)jy(t; t0; y0)� z(t; t0; y0)j � ky � zkJ = o(jy0j); ïðè jy0j ! 0: (16)Ïðè ýòîì îöåíêè ðàâíîìåðíû îòíîñèòåëüíî t0 � 0 è y0 èç çàäàííîé îêðåñòíîñòèíóëÿ è çàâèñÿò òîëüêî îò âåëè÷èíû T . Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ òåîðåìû, èç ýòèõ îöåíîê íàîñíîâàíèè íåðàâåíñòâà (10), íåòðóäíî âûâåñòè ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: íàéäåòñÿ "0 > 0òàêîå, ÷òî ïðè óñëîâèè 0 < " � "0 â ìîìåíò t1 = t0 + T áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîV (t1; y(t1)) � V (t0; y0)� Æjy0jdT < V (t0; y0): (17)Êðîìå òîãî, áëàãîäàðÿ (6) è (11) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì "0 > 0 òðàåêòîðèÿ ðåøåíèÿâîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò îñòàâàòüñÿ â "-îêðåñòíîñòè íà÷àëà ïðè t0 � t � t0+T .Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé, êîãäà t0 2 T . Åñëè t0 ñîâïàäàåò ñ ìîìåíòîì èìïóëüñíîãîâîçäåéñòâèÿ, ò.å. V (t0; y(t0)) � a("=2), à V (t0+0; y(t0+0)) > a("=2), òî îöåíêè (11)�(13)ñîõðàíÿòñÿ, ïîñêîëüêó jrk(x)j = o(jxj) ïðè jxj ! 0, è âñå âûâîäû îñòàíóòñÿ â ñèëå.Îáîçíà÷èì tp = t0 + pT , p = 1; 2; : : :. Áëàãîäàðÿ ðàâíîìåðíîñòè âñåõ ïîëó÷åííûõâûøå îöåíîê îòíîñèòåëüíî t0 2 R+ è y0 2 B"0 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî p èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâî V (tp+1; y(tp+1)) � V (tp; y(tp))� Æjy(tp)jdT < V (tp; y(tp)):Ñëåäîâàòåëüíî0 < V (tp+1; y(tp+1)) � V (t0; y(t0))� ÆT pXl=0 jy(tl)jd < V (t0; y(t0)): (18)Ïîýòîìó jy(tl)j ! 0 ïðè l!1.  ñèëó ðàâíîìåðíîé óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿâîçìóùåííîé ñèñòåìû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî y(t)! 0.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èç íàøèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî �0-îêðåñòíîñòü,ãäå �0 = b�1(a("0=2)), íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íóëåâîãî ðåøåíèÿ, ò.å.y(t; t0; y0)! 0 ïðè t!1 äëÿ ëþáîãî t0 2 R+ è y0 2 B�0 : �Ôîðìóëèðîâêó óñëîâèé òåîðåìû ìîæíî ñëåãêà óïðîñòèòü, åñëè ïîëî-æèòü d1 = d2 = d > 1.Êàê âîçìóùåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè R, òàê è âîçìóùåíèÿ ñêà÷êîâ ðåøåíèÿ rk ñóùå-ñòâåííî âëèÿþò íà ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû (2). Åñëè d1 < d2, òî äîìèíèðîâàòüáóäåò R, åñëè d2 < d1, òî äîìèíèðîâàòü áóäóò rk â ñëîæíîì âçàèìîäåéñòâèè ñ hk èðåøåíèåì ëèíåàðèçàöèè (3).Ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ, íàïðèìåð, òåîðåìå 18.1 îá àñèìïòîòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè èç [1, ñòð. 132℄, óäîâëåòâîðÿåò è òðåáîâàíèÿì íàøåé òåîðåìû (ïðèâûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (5)), ò.ê. ìîíîòîííî óáûâàåò âäîëü ðåøåíèé âîçìóùåííîé ñè-ñòåìû (2). Ïîýòîìó äîêàçàííàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðÿäà èçâåñòíûõ òåîðåìîá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì 15Çàêëþ÷åíèå ñòàòüå ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷è-âîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèÿì â �èêñèðî-âàíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè �îðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ ñâîéñòâ�óíêöèè Ëÿïóíîâà, êîòîðàÿ äîïóñêàåò íåìîíîòîííîå èçìåíåíèå âäîëü ðàçðûâíîãîðåøåíèÿ èìïóëüñíîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì ñóùåñòâåíî ðàñøèðÿåòñÿ êëàññ ïîäõî-äÿùèõ �óíêöèé Ëÿïóíîâà è îáëåã÷àåòñÿ ïîñòðîåíèå òàêèõ �óíêöèé äëÿ êîíêðåòíûõñèñòåì. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. ÑàìîéëåíêîÀ.Ì. Äè��åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. � Êèåâ, Âèùàøêîëà, 1987. � 288 ñ.2. LakshmikanthamV., BainovD.D., SimeonovP. S. Theory of impulsive di�erential equations // WorldS
ienti�
, Singapure � New Jersey � London, 1989.3. BainovD.D., Simeonov P. S. Systems with impulse e�e
t: stability, theory and appli
ations. � N.-Y.,Halsted Press, 1989.4. HaddadW.M., Chellaboina V., Nersesov S.G. Impulsive and hybrid dynami
al systems: stability,dissipativity, and
ontrol // Prin
eton University Press, Prin
eton, 2006.5. ÏåðåñòþêÍ.À. ÏëîòíèêîâÂ.È., ÑàìîéëåíêîÀ.Ì., ÑêðèïíèêÍ. Â.. Èìïóëüñíûå äè��åðåí-öèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ìíîãîçíà÷íîé è ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. � Ê.: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍÓêðàèíû, 2007. � 428 ñ.6. ÁîðèñåíêîÑ.Ä, ÊîñîëàïîâÂ.È., ÎáîëåíñêèéÀ.Þ. Óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññîâ ïðè íåïðåðûâíûõ èäèñêðåòíûõ âîçìóùåíèÿõ. � Ê.: Íàóê. äóìêà, 1988. � 200 ñ.7. ÌèëüìàíÂ.Ä. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðè íàëè÷èè òîë÷êîâ // Ñèá. ìàòåì. æóðíàë. �1060. � Ò.1, �2. � Ñ. 233-237.8. ËÿïóíîâÀ.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. � Ë.-Ì.: ÎÍÒÈ, 1935. � 386 ñ.9. AkhmetovM.U., Zafer A. Stability of the zero solution of impulsive di�erential equations by theLyapunov se
ond method // J. Math. Anal. Appl. � 2000. � Vol.248. � P. 69�82.10. Èãíàòüåâ À.Î. Ìåòîä �óíêöèé Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ñèñòåì äè��åðí-öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì // Ìàòåì. ñáîðíèê. � 2003. � Ò.194, �.10. �C. 117-132.11. �ëàäèëèíà�.È., ÈãíàòüåâÀ.Î. Î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ àñèìïòîòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè èìïóëüñíûõ ñèñòåì // Óêð. ìàòåì. æóðíàë. � 2003. � Ò.55, �8. � Ñ. 1035-1043.12. �ëàäèëèíà�.È., ÈãíàòüåâÀ.Î. Î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè èìïóëüñ-íûõ ñèñòåì // Óêð. ìàòåì. æóðíàë. � 2003. � Ò.55, �8. � C. 1035-1043.13. �ëàäèëèíà�.È., ÈãíàòüåâÀ.Î. Îá óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì // Ìà-òåì. çàìåòêè. � 2004. � Ò.76, �1. � �. 44-51.14. Gladilina R. I., Ignatyev A.O. On Retention of Impulsive System Stability under Perturbations //Automation and Remote Control. � 2007. � Vol.68, No.8. � P. 1364�1371.15. ÌàðòûíþêA.A., ÑëûíêîÂ.È. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ íåëèíåéíîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû //Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 2004. � Vol.40, No.2. � C. 134-144.16. PerestyukM.O., Chernikova O. S. Some modern aspe
ts of the theory of impulsive di�erential equa-tions // Ukrainian Math. J. � 2008. � Vol.60, No.1. � P. 91-107.17. IgnatyevA.O. On the stability of invariant sets of systems with impulse e�e
t // Nonlinear Analysis:Theory, Methods & Appli
ations. � 2008. � Vol.69, No.1. � P. 53-72.18. IgnatyevA.O., IgnatyevO.A., SolimanA.A. On the asymptoti
stability and instability of solutionsof systems with impulse e�e
t // Math. Notes. � 2006. � Vol.80, No.4. � P. 516�525.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
16 Àíàøêèí Î.Â., Äîâæèê Ò.Â., Ìèòüêî Î.Â.19. Èãíàòüåâ À.Î. Îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíî ÷àñòè ïå-ðåìåííûõ ðåøåíèé ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì // Ñèá. ìàòåì. æóðíàë. � 2008. �Ò.49, No.1. � Ñ. 125�133.20. Èãíàòüåâ À.Î.Î ñóùåñòâîâàíèè �óíêöèè Ëÿïóíîâà â âèäå êâàäðàòè÷íîé �îðìû äëÿ ëèíåéíûõñèñòåì äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì // Óêð. ìàòåì. æóðíàë. �2010. � Vol.62, No.11. � Ñ. 1451�1458.21. ÕàïàåâÌ.Ì. Óñðåäíåíèå â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè: Èññëåäîâàíèå ðåçîíàíñíûõ ìíîãî÷àñòîòíûõñèñòåì. � Ì.: Íàóêà, 1986. � 192 ñ.22. ÕàïàåâÌ.Ì. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû è óñòîé÷èâîñòü â òåîðèè íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. � Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1988. � 184 ñ.23. ÀíàøêèíÎ.Â. Îá óñòîé÷èâîñòè â ñèñòåìàõ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè, ñîäåðæàùèõ âîç-ìóùåíèÿ // Òåç. êîí�. ¾Ìîäåëèðîâàíèå è èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè �èçè÷. ïðîöåññîâ¿. �Ê.: Îá-âî ¾Çíàíèå¿. � 1990. � Ñ. 3-4. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 01.12.2010
¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18193 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1729-3901 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T00:38:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Анашкин, О.В. Довжик, Т.В. Митько, О.В. 2011-03-18T14:56:41Z 2011-03-18T14:56:41Z 2010 Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием / О.В. Анашкин, Т.В. Довжик, О.В. Митько // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1729-3901 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18193 517.925.51 Рассматривается задача об устойчивости нулевого решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным возмущением в фиксированные моменты времени. В предположении, что система линейного приближения неасимптотически устойчива, получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости полной системы. The problem of stability of the zero solution of a nonlinear system of ordinary differential equations with impulse perturbation at fixed moments is considered. The system of linear approximation is supposed to be non-asymtotically stable. Sufficient conditions on the uniform asymptotic stability of the complete system are obtained. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Таврический вестник информатики и математики Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием Article published earlier |
| spellingShingle | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием Анашкин, О.В. Довжик, Т.В. Митько, О.В. |
| title | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| title_full | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| title_fullStr | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| title_short | Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| title_sort | прямой метод ляпунова в задаче об устойчивости систем с импульсным воздействием |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18193 |
| work_keys_str_mv | AT anaškinov prâmoimetodlâpunovavzadačeobustoičivostisistemsimpulʹsnymvozdeistviem AT dovžiktv prâmoimetodlâpunovavzadačeobustoičivostisistemsimpulʹsnymvozdeistviem AT mitʹkoov prâmoimetodlâpunovavzadačeobustoičivostisistemsimpulʹsnymvozdeistviem |