Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной
Рассматриваются стационарные структуры в оптическом резонаторе с преобразованием отражения в двумерной обратной связи. Математической моделью системы является скалярное параболическое уравнение с преобразованием отражения пространственной переменной и условием Неймана на отрезке. В работе строятся...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2010
|
| Series: | Таврический вестник информатики и математики |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18195 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной / Е.П. Белан // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 27-38. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18195 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-181952025-02-10T01:24:49Z Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной Белан, Е.П. Рассматриваются стационарные структуры в оптическом резонаторе с преобразованием отражения в двумерной обратной связи. Математической моделью системы является скалярное параболическое уравнение с преобразованием отражения пространственной переменной и условием Неймана на отрезке. В работе строятся стационарные решения и исследуется их устойчивость при уменьшении коэффициента диффузии. Досліджено дінаміку стаціонарних структур у нелінійному оптичному резонаторі з перетворенням відображення у двомірному зворотному зв'язку. Математичною моделлю системи є скалярнє параболічне рівняння з відображеним просторим аргументом та умовами Неймана на проміжку. Досліджено єволюцію форм та стійкість структур, коли коєффіціент диффузії зменьшуєтся. The properties of the stationary structures in a nonlinear optical resonator with lateral inversions transformer in feedback are investigated. The mathematical description of optical structures is based on the scalar parabolic equation with inversion spatial arguments and Neumann's condition on the segment. We determine the forms of stationary structures and investigate its stability as the diffusion coefficient decrease. 2010 Article Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной / Е.П. Белан // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 27-38. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1729-3901 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18195 517.9+530.1 ru Таврический вестник информатики и математики application/pdf Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются стационарные структуры в оптическом резонаторе с преобразованием отражения в двумерной обратной связи. Математической моделью системы является скалярное параболическое уравнение с преобразованием отражения пространственной переменной и условием Неймана на отрезке. В работе строятся стационарные решения и исследуется их устойчивость при уменьшении коэффициента диффузии. |
| format |
Article |
| author |
Белан, Е.П. |
| spellingShingle |
Белан, Е.П. Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной Таврический вестник информатики и математики |
| author_facet |
Белан, Е.П. |
| author_sort |
Белан, Е.П. |
| title |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| title_short |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| title_full |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| title_fullStr |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| title_full_unstemmed |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| title_sort |
динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18195 |
| citation_txt |
Динамика диссипативных структур в параболической задаче с преобразованием отражения пространственной переменной / Е.П. Белан // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 27-38. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Таврический вестник информатики и математики |
| work_keys_str_mv |
AT belanep dinamikadissipativnyhstrukturvparaboličeskoizadačespreobrazovaniemotraženiâprostranstvennoiperemennoi |
| first_indexed |
2025-12-02T11:41:55Z |
| last_indexed |
2025-12-02T11:41:55Z |
| _version_ |
1850396603438858240 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9+530.1ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÛÕ ÑÒ�ÓÊÒÓ� ÂÏÀ�ÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×Å Ñ Ï�ÅÎÁ�ÀÇÎÂÀÍÈÅÌÎÒ�ÀÆÅÍÈß Ï�ÎÑÒ�ÀÍÑÒÂÅÍÍÎÉ ÏÅ�ÅÌÅÍÍÎÉ
Áåëàí Å.Ï.Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî�àêóëüòåò ìàòåìàòèêè è èí�îðìàòèêèïð-ò Âåðíàäñêîãî, 4, ã. Ñèì�åðîïîëü, 95007, Óêðàèíàe-mail: belan�
rimea.eduAbstra
t. The properties of the stationary stru
tures in a nonlinear opti
al resonator with lateralinversions transformer in feedba
k are investigated. The mathemati
al des
ription of opti
al stru
turesis based on the s
alar paraboli
equation with inversion spatial arguments and Neumann's
ondition onthe segment. We determine the forms of stationary stru
tures and investigate its stability as the di�usion
oe�
ient de
rease. paraboli
equation, bifur
ation, stationary stru
ture, stability,
enter manifold.ÂâåäåíèåÎïòè÷åñêèå ñèñòåìû ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ [1, 2℄ äåìîíñòðèðóþò øèðî-êèå âîçìîæíîñòè ïî èññëåäîâàíèþ ïðîöåññîâ çàðîæäåíèÿ è ðàçâèòèÿ äèññèïàòèâíûõñòðóêòóð. Ôîðìèðîâàíèå è ðàçâèòèå îïòè÷åñêèõ ñòðóêòóð ÿâëÿåòñÿ ÿðêèì ïðèìåðîìñàìîîðãàíèçàöèè â äèññèïàòèâíîé ñèñòåìå [3, 4, 5℄. Áîãàòîå ðàçíîîáðàçèå êàê ñòàöèî-íàðíûõ, òàê è âðàùàþùèõñÿ îïòè÷åñêèõ ñòðóêòóð íàáëþäàëîñü óæå ïðè ïðîñòåéøèõïðåîáðàçîâàíèÿõ (ïîâîðîò, îòðàæåíèå).Ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ ÿâëÿ-þòñÿ ïîëóëèíåéíûå ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðîñòðàíñòâåí-íûõ ïåðåìåííûõ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå íàáëþäàåìûõ àâòîâîëíîâûõ ÿâëåíèéíà îñíîâå òåîðèè áè�óðêàöèè Àíäðîíîâà-Õîï�à ïðîâåäåíî â [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13℄.Èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè áåãóùèõ âîëí, ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð äëÿ ïàðàáîëè÷åñêî-ãî óðàâíåíèÿ ñ ïîâîðîòîì îäíîìåðíîãî àðãóìåíòà è ìàëîé äè��óçèè ïîñâÿùåíûðàáîòû [14, 15, 16, 4, 17, 18℄Òåîðèÿ áè�óðêàöèè ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ âðàùàþùèõ-ñÿ âîëí, ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð. Îäíàêî íà âîïðîñ îá èõ ýâîëþöèè ïðè óäàëåíèèîò òî÷êè áè�óðêàöèè ëîêàëüíàÿ òåîðèÿ áè�óðêàöèè îòâåòà íå äà¼ò. Ñîãëàñíî æåýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì è ÷èñëåííûì ðàñ÷åòàì â íåëèíåéíûì èíòåð�åðîìåò-ðå ñ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì ïîëÿ èìååò ìåñòî ìíîãîîáðàçèå îïòè÷åñêèõ ñòðóêòóð.Êîëè÷åñòâî èõ ðàñòåò ïðè óìåíüøåíèè êîý��èöèåíòà äè��óçèè [1, 20, 21, 22℄.Ñëåäóÿ [5℄, â ðàáîòå àâòîðà [19℄ äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ óêàçàííîé äè-íàìèêè ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð áûëà ïîñòðîåíà èåðàðõèÿ óïðîùåííûõ ìîäåëåé. Èõàíàëèç ïðèâ¼ë, â ÷àñòíîñòè, ê ñëåäóþùåìó âûâîäó. Ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû ñ èí-äåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1, îòâåòâëÿþùèåñÿ îò ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ñòàöèî-íàðíîãî ðåøåíèÿ, ïðè óìåíüøåíèè êîý��èöèåíòà äè��óçèè îáðåòàþò óñòîé÷èâîñòü. äàííîé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î õàðàêòåðå óêàçàííîé áè�óðêàöèè.
28 Áåëàí Å.Ï.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÍà ïðîìåæóòêå (��2 ; �2 ) ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó [1, 20, 21℄�tu(x; t) + u(x; t) = D�xxu(x; t) +K(1 +
os u(�x; t)); t > 0; (1)�xu���2 ; t� = �xu��2 ; t� = 0: (2)Çàäà÷à (1), (2) ìîäåëèðóåò äèíàìèêó �àçîâîé ìîäóëÿöèè u(x; t) ñâåòîâîé âîëíû,ïðîøåäøåé òîíêèé ñëîé íåëèíåéíîé ñðåäû êåððîâñêîãî òèïà ñ ïðåîáðàçîâàíèåìîòðàæåíèÿ êîîðäèíàò â äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçè â îäíîìåðíîì ïðèáëèæåíèè.Çäåñü D > 0 � ý��åêòèâíûé êîý��èöèåíò äè��óçèè ÷àñòèö íåëèíåéíîé ñðåäû,0 <
� 1 � âèäíîñòü (êîíòðàñòíîñòü) èíòåð�åðåíöèîííîé êàðòèíû, K > 0 � êîý��è-öèåíò, ïðîïîðöèîíàëüíûé èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîãî ïîòîêà. Îòìåòèì, ÷òî ðîäñòâåí-íàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàëàñü â [23, 2℄.Îáîçíà÷èì H = L2(��2 ; �2 ) ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ íà (��2 ; �2 )�óíêöèé. Øêàëó ïðîñòðàíñòâ, ïîðîæäåííóþ îïåðàòîðîì �� (� � îäíîìåðíûé îïå-ðàòîð Ëàïëàñà) ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (2) îáîçíà÷èì Hs, s 2 Z+. Íîðìà â ïðî-ñòðàíñòâå Hs, s 2 Z+, îïðåäåëÿåòñÿ �îðìóëîé kuk2s =< (��)su; u > + < u; u >.Çäåñü < �; � > � ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H. äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ, �îðìû è óñòîé÷è-âîñòè â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H1 ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõðåøåíèé çàäà÷è (1), (2), áè�óðöèðóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ ðåøå-íèé u(t; x) = w, ò.å. èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿw = K(1 +
osw): (3)Ñîãëàñíî [16℄, [4, ñì.12.℄ ñ ðîñòîì K êîëè÷åñòâî ñîñóùåñòâóþùèõ êîðíåé ýòîãî óðàâ-íåíèÿ íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò, ïðè÷åì ïðè K ! 1 èõ ñîñòàâ ïîñòîÿííî îáíîâëÿåòñÿ:ðîæäàþòñÿ íîâûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èñ÷åçàþò ñòàðûå.  ýòîé ñâÿçè �èêñèðóåìêàêóþ-ëèáî ãëàäêóþ âåòâü ðåøåíèéw = w(K); 1 +K
sinw(K) 6= 0 (4)óðàâíåíèÿ (3). Çàòåì ëèíåàðèçóåì çàäà÷ó (1), (2) íà w(K):_u+ Lu = 0;ãäå L = 1�D�� �Q; Qu(x) = u(�x); � = �(K) = �K
sinw(K): (5)Ëèíåéíûé îïåðàòîð L ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ H2, ðàññìàòðèâàåìûé êàê íåîãðà-íè÷åííûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå H, ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì. Ìå-òîäîì Ôóðüå óñòàíàâëèâàåòñÿËåììà 1. Îïåðàòîð L â ïðîñòðàíñòâå H èìååò ïîëíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìóñîáñòâåííûõ �óíêöèé 1; sinx;
os 2x; sin 3x; : : : ;ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì�0 = 1� �; �1 = 1 +D + �; �2 = 1 + 4D � �; �3 = 1 + 9D + �; : : : :¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Äèíàìèêà äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð 29Âûáåðåì òåïåðü K òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå óñëîâèå.Óñëîâèå 1. � = �(K) < �1.Ïðîáëåìà ðåàëèçóåìîñòè ýòîãî óñëîâèÿ èññëåäîâàíà â [16℄, [4, ñì.12.℄.Ïóñòü D > D1 = �(1 + �). Òîãäà, â ñèëó ëåììû 1 è óñëîâèÿ 1, w = w(K) �óñòîé÷èâîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (2). Ïðè óáûâàíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðî-õîæäåíèè ÷åðåç çíà÷åíèå D1 ðåøåíèå w = w(K) òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Îáîçíà-÷èì D2k+1 = (2k + 1)�2D1, k = 1; 2; 3; : : : : Åñëè D3 < D < D1, òî èíäåêñ íåóñòîé-÷èâîñòè [24, ñì. ãë. 6. 4℄ ðåøåíèÿ w = w(K) ðàâåí 1. Ïðè óìåíüøåíèè D è åãîïðîõîæäåíèè ÷åðåç D2k+1, k = 1; 2; 3; : : : ; èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ w âñÿêèéðàç ïîâûøàåòñÿ íà åäèíèöó. Äàëåå â êà÷åñòâå áè�óðêàöèîííîãî ïðèìåì ïàðàìåòð D.×òîáû ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü L, �k, k = 0; 1; 2; : : :, îò ïàðàìåòðà D áóäåì èíîãäàîáîçíà÷àòü èõ L(D), �k(D) ñîîòâåòñòâåííî.2. Ñóùåñòâîâàíèå è óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèéÏðåîáðàçîâàíèå u = w + v ïðèâîäèò çàäà÷ó (1), (2) ê âèäó_v + L(D)v = R(Qv): (6)Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîR(v) = 12�1v2 � 16�v3 +O(v4); �1 = ��
tgw: (7) êà÷åñòâå �àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà óðàâíåíèÿ (6), ò.å. åãî ïðîñòðàíñòâà íà÷àëüíûõóñëîâèé, ïðèìåì ïðîñòðàíñòâî H1.Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (6) â ïðîñòðàíñòâå H1 ïîðîæäàåò íåïðåðûâíóþ ïîëó-ãðóïïó [2, ñì. ãë. 3℄. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Òîãäà ñóùåñòâóåò Æ > 0 òàêîå, ÷òî çàäà-÷à (1), (2) èìååò ïðè 0 < D1 �D < Æ äâà ñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíî-ðîäíûõ ðåøåíèÿ u�1 (x;D) = w + v�1 (x;D), ãäåv�1 (x;D) = ���1(D)
1(D)� 12 sinx + ��1(D)
1(D)� �14 �(�0 � 2�1)�1 � (�2 � 2�1)�1
os 2x��� 124 ��1(D)
1(D)� 32 �3�21(�2 � 2�1)�1 � �(�3 � 3�1)�1� sin 3x+ r�(x;D): (8)Çäåñü r�(x;D) = O �(D1 �D)3=2�,
1(D) = �14�21�(�0 � 2�1)�1 + 12(�2 � 2�1)�1�+18�: (9)�åøåíèÿ u�1 (x;D) � ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâû.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îïèðàåòñÿ íà ìåòîä öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðà-çèé [25, 26, 27℄ è ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå, ïðèìåíåííîé â [19, 12℄.Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç D2k+1 îò w âñÿêèé ðàç îò-âåòâëÿþòñÿ ïàðû u�2k+1, k = 1; 2; : : : :::, ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõðåøåíèé çàäà÷è (1), (2). ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
30 Áåëàí Å.Ï.Ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî (ïðèíöèï ïîäîáèÿ [4℄)u�(2k+1)(x;D) = u�1 ((2k + 1)x; (2k + 1)2D); k = 1; 2; 3; : : : : (10)ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé v�(2k+1)(x;D), k = 1; 2; 3; : : :.3. Ïðåäñòàâëåíèÿ v�1 (x;D)�àññìîòðèì âîïðîñ î �îðìå v�1 (x;D) ïðè óãëóáëåíèè ïàðàìåòðà D â îáëàñòüíàäêðèòè÷íîñòè. Áóäåì äàëåå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî �1 = 0. Èññëåäîâàíèå ýòîãî ñëó÷àÿïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ìîäåëüíîé çàäà÷å_v + L(D)v = (Qv)3: (11)Äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè v�1 (x;D) ïðè óìåíüøåíèè D îò D1 ïîñòðîèì ãàëåðêèíñêèåàïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (11) â âèäåv = 4Xk=0 z2k+1 sin(2k + 1)x: (12) ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ãðàäèåíòíóþ ñèñòåìó äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé_z2k+1 = ��G1;0(z;D)�z2k+1 ; k = 0; 1; 2; 3; 4; (13)ãäå z = (z1; z3; :::; z9),G1(z;D) = 12 4Xk=0 �2k+1(D)z22k+1 + 316 4Xk=0 z42k+1 + 14(z31z3 + z33z9)++ 34 4Xk=0 z22k+1 4Xs=k+1 z22s+1 � 34z21(z3z5 + z5z7 + z7z9)++ 34z1(z23z5 � z23z9 + z3z5z7 � z3z5z9 + z3z7z9) + 34z3(z25z7 + 2z5z7z9):Ïîòåíöèàëüíàÿ �óíêöèÿ G1(z;D) îãðàíè÷åíà ñíèçó. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ ñèñòå-ìû (13) îãðàíè÷åíû íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè. Àòòðàêòîðàìè ñèñòåìû (13) ÿâëÿþò-ñÿ å¼ ñòàöèîíàðíûå òî÷êè. Êàê èçâåñòíî, ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ãðàäèåíòíûõ ñèñòåì �óçëû è ñåäëà.Ïåðåéäåì òåïåðü ê àíàëèçó ñèñòåìû (13). Èç å¼ íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïðè D = D1â ðåçóëüòàòå íàäêðèòè÷åñêîé áè�óðêàöèè òèïà âèëêè îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà óñòîé-÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ~z�(D) = �(~z1(D); :::; ~z9(D), ~z1(D) > 0. Íåïðå-ðûâíàÿ âåòâü ~z+(D) ñóùåñòâóåò íà (0; D1;0). Îòìåòèì å¼ ñëåäóþùèå îñîáåííîñòè:~z1(D) > ~z3(D) > ::: > ~z9(D) > 0 äëÿ âñåõ D 2 (0; D1;0); ~z2s+1(D), s = 0; 1; :::; 4, �ìîíîòîííî óáûâàþùèå îãðàíè÷åííûå �óíêöèè D.�îäèâøèñü óñòîé÷èâûìè, ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ~z�(D) ñîõðàíÿþò óñòîé÷èâîñòüïðè óáûâàíèè D îò D1. Ïðè ýòîì ïðîñëåæèâàåòñÿ òåíäåíöèÿ ê ñáëèæåíèþ òî÷åêñïåêòðà ñåìåéñòâà ~z+(D) è îòõîäå íàèáîëüøåé å¼ òî÷êè îò íóëÿ ïðè óìåíüøåíèè D.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Äèíàìèêà äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð 31Èç èçëîæåííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå ðàâåí-ñòâî v�1 (x;D) � � 4Xk=0 ~z2k+1(D) sin(2k + 1)x: (14)4. Îáðåòåíèå óñòîé÷èâîñòè v�3 (x;D)Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âîïðîñó î õàðàêòåðå áè�óðêàöèè ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (13) âîêðåñòíîñòè òî÷êè (D3; 0) 2 R�R 5 . Êàê è âûøå, â ðåçóëüòàòå íàäêðèòè÷åñêîé áè�óð-êàöèè òèïà âèëêè èç íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (13) îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà ñòàöèîíàð-íûõ ðåøåíèé �z�(D) = �(0; bz3(D); 0; 0; bz9(D) ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Ìàòðèöàóñòîé÷èâîñòè òî÷åê bz�(D) � áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ. Îäèí èç å¼ áëîêîâ � ìàòðèöàM(D) = 0� b��D � 3=2br23 �(3=4)bz23 + 3=2bz3bz9 3=4bz23 � 3=2bz3bz9�(3=4)bz23 + 3=2bz3bz9 b�� 25D � 3=2br23 �(3=2)bz3bz93=4bz23 � 3=2bz3bz9 �(3=2)bz3bz9 b�� 49D � 3=2br23 1A ; (15)ãäå br23 = bz23 + bz29 , b� = �1 � �. Ó íåå ïðè ìàëûõ D3 � D äâà îòðèöàòåëüíûõ è îäíîïîëîæèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Ïðè óìåíüøåíèè D îò D3 ïîëîæèòåëüíîå ñîá-ñòâåííîå çíà÷åíèå óáûâàåò è ïåðåõîäèò ïðè D = �D3 íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü. Ïàðàñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé bz�(D) îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü â ðåçóëüòàòå òðàíñêðèòè÷åñêîéáè�óðêàöèè (îáìåíà óñòîé÷èâîñòüþ). Ïåðåéäåì äàëåå ê àíàëèçó óêàçàííîãî òèïàáè�óðêàöèè.Âíà÷àëå, äëÿ ïðîñòîòû, ïîëîæèì â ñèñòåìå (13) z5 = 0, z7 = 0, z9 = 0.  ðåçóëü-òàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâ-íåíèé íà ïëîñêîñòè _z1 = z1�b��D � 34(z21 � z1z3 + 2z23)� ;_z3 = z3�b�� 9D � 34(2z21 + 2z23)�+ 14z31 (16) ñèñòåìå (16) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðàD è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç D3 îò íóëå-âîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (13) îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé �(0; �z3(D), ãäå�z3(D) = 2� b��9D3 �1=2. �åøåíèÿ �(0; �z3(D) ðîæäàþòñÿ, ðàçóìååòñÿ, íåóñòîé÷èâûìè ñèíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé �(0; �z3(D) ñîõðàíÿåòñÿïðè D 2 � b�17 ; b�9�. �àññìàòðèâàåìûå âåòâè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê îáðåòàþò óñòîé÷è-âîñòü ïðè bD3 = b�17 è ñîõðàíÿþò å¼ ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè D. Äëÿ àíàëèçàõàðàêòåðà áè�óðêàöèè ñèñòåìû (16) â òî÷êå áè�óðêàöèè ( bD3; 0; �z3)) âûïîëíèì âñèñòåìå (15) ïðåîáðàçîâàíèå ñäâèãà z1 = �1, z3 = �z3(D) + �3.  ðåçóëüòàòå èìååì¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
32 Áåëàí Å.Ï.ñëåäóþùåå ñåìåéñòâî óðàâíåíèé_�1 = �(D)�1 + 34(�z3(D) + �3)�21 � 32(2�z3(D) + �3)�1�3 � 34�31 ;_�3 = �32 �z3(D)2�3 � 32 �z3(D)�21 +O(k�1; �1k3): (17)Çäåñü �(D) = �b� + 17D. Ýòî ñåìåéñòâî óðàâíåíèé â îêðåñòíîñòè òî÷êè ( �D3; 0; 0)èìååò öåíòðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå, ïðåäñòàâèìîå â âèäå �3 = � 1�z3(D)�21 +O(�31). Îãðà-íè÷åíèå ñèñòåìû (17) íà óêàçàííîì ìíîãîîáðàçèè ïðèíèìàåò âèä_�1 = �(D)�1 + 34 �z3(D)�21 + 94�31 +O(�41): (18)Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñåìåéñòâå óðàâíåíèé â îêðåñòíîñòè ( �D3; 0) èìååò ìåñòî òðàíñ-êðèòè÷åñêàÿ áè�óðêàöèÿ. Ïðè ýòîì íóëåâîå ðåøåíèå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåé-ñòâà óðàâíåíèé (18) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç bD3 îá-ðåòàåò óñòîé÷èâîñòü, à ñåìåéñòâî ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê � 43�z3(D)�(D) + O(jD � bD3j2óñòîé÷èâîñòü òåðÿåò. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñâåäåíèÿ [26℄ â ñåìåéñòâå óðàâíåíèé (17)ïðè D = bD3 èìååò ìåñòî òðàíñêðèòè÷åñêàÿ áè�óðêàöèÿ. Ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåò-ðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç bD3 íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (17) îáðåòàåò óñòîé÷è-âîñòü è ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì, à�� 43�z3(D)�(D) +O(jD � bD3j3);� 169�z3(D)�2(D) +O(jD � bD3j3)�ïåðåõîäèò â âåòâü ñåäëîâûõ òî÷åê.Ïåðåéäåì òåïåðü ê âîïðîñó î õàðàêòåðå ðîæäåíèÿ âåòâè�� 43bz3(D)�(D) +O(jD � bD3j3);� 169�z3(D)�2(D) +O(jD � �D3j3)�ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñåìåéñòâà óðàâíåíèé (17). Äàëåå ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ÷èñ-ëåííîãî àíàëèçà ýòîé çàäà÷è. Ïðèìåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè � = �1; 85. Òîãäà áè�óð-êàöèîííûì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà D = 0; 05, à f0; 0; 730g � îñîáàÿ òî÷êà òèïàñåäëî-óçåë. ż ñïåêòð � f0:;�0; 8g. Îñîáàÿ æå òî÷êà (�0; 207; 0; 665) ÿâëÿåòñÿ ñåäëîì,à å¼ ñïåêòð � f�0; 924; 0; 0954g. Ïðè D = 0; 04 îñîáàÿ òî÷êà (0; 0; 808) � óñòîé÷èâûéóçåë ñî ñïåêòðîì f�0; 17;�0; 98g. Òî÷êè æå (0; 178; 0:; 770), (�0; 362; 0:; 604) � ñåä-ëîâûå ñî ñïåêòðàìè f�1; 029; 0; 193g, f�1; 203; 0; 315g ñîîòâåòñòâåííî. Áè�óðêàöèÿðîæäåíèÿ ñåäëî-óçëîâîé òî÷êè èìååò ìåñòî ïðè D � 0; 053. Ïðè D = 0; 053 ñèñòå-ìà (16) èìååò äâå îñîáûå òî÷êè (�0; 109`; 0; 702), (�0; 108`; 0; 701), ñïåêòðû êîòîðûõðàâíû f�0; 824; �0:; 005g, f�0; 8123; 0; 002g ñîîòâåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî (0; 0; 705) �îñîáàÿ òî÷êà ïðè D = 0; 053, à f�0; 745; 0; 051g � å¼ ñïåêòð.Ïðîâåäåííûå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû äàþò îñíîâàíèÿ äëÿ ñëåäóþùåãî çàêëþ-÷åíèÿ. Ñóùåñòâóåò òàêîå D�(�), D�(L) < bD(�), ÷òî â ñèñòåìå (17) ïðè D = D�(�)èìååò ìåñòî ñåäëî-óçëîâàÿ áè�óðêàöèÿ. Ïðè óìåíüøåíèè D îò D�(�) âåòâü óñòîé-÷èâûõ óçëîâûõ òî÷åê (zs1(D); (zs3(D) ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå (0; �z3(D) è ïåðåäà¼ò åé¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Äèíàìèêà äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð 33ïðè D = �D3 óñòîé÷èâîñòü. Âåòâü æå (zs1(D); (zs3(D) ïåðåõîäèò çàòåì â ãëàäêóþ âåòâüñåäëîâûõ òî÷åê. Êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûå �àçîâûå ïîðòðåòû îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãîñåìåéñòâà ñèñòåì óðâíåíèé (16) ñõåìàòè÷åñêè îòðàæåíû íà ðèñ. 1�4.
�èñ. 1
�èñ. 2Ïîëîæèì òåïåðü â ñèñòåìå (13) z7 = 0, z9 = 0.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùååñåìåéñòâî äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé_x1 = x1�b��D + 34 ��x21 + x1x3 � 2x23 + 2x3x5 � 2x25��� 34x23x5;¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
34 Áåëàí Å.Ï.
�èñ. 3
�èñ. 4_x3 = x3�(b�� 9D + 34 ��2x21 � x23 � 2x1x5 � 2x25��+ 14 �x31 + 3x21x5� ; (19)_x5 = x5�b�� 25D + 134 ��2x21 � 2x23 � x25��+ 34 �x21x3 � x1x23� ñèñòåìå (19) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç D3 èç íó-ëåâîãî ðåøåíèÿ îòâåòâëÿåòñÿ ïàðà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé �(0; �z3(D); 0) ñ èíäåêñîìíåóñòîé÷èâîñòè 1. Èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè �(0; �z3(D); 0) ñîõðàíÿåòñÿ íà ïðîìåæóò-êå � b�25 ; b�9� èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà D. �àññìàòðèâàåìûå âåòâè îáðåòàþò óñòîé÷èâîñòüïðè bD3 = b�25 è ñîõðàíÿþò å¼ ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè D.¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Äèíàìèêà äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð 35Ìåòîä öåíòðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ïðèâîäèò, êàê è âûøå, ê ñëåäóþùåìó çà-êëþ÷åíèþ. Ïðè D = bD3 = b�25 â òî÷êàõ �(0; �z3(D); 0) èìååò ìåñòî îáìåí óñòîé÷è-âîñòüþ. Óêàçàííîé áè�óðêàöèè ïðåäøåñòâóåò ïî ïàðàìåòðó D ñåäëî-óçëîâàÿ áè-�óðêàöèÿ. Ïðèâåäåì â ýòîé ñâÿçè ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà ñèñòåìû (19)ïðè � = �1; 85.  ýòîì ñëó÷àå bD3 = 0; 34, òî÷êà (0; 0; 837; 0) ÿâëÿåòñÿ ñåäëî-óçëîâîé,à òî÷êà ( 0,211, 0,810, -0,073) � ñåäëîì. Áè�óðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ñåäëî-óçëîâîé òî÷-êè èìååò ìåñòî ïðè D � 0; 036. Îíà ðîæäàåòñÿ âáëèçè òî÷êè (0; 0665; 0; 833;�0; 029).ÏðèD = 0; 033 òî÷êà (0; 0; 859; 0) � óñòîé÷èâàÿ îñîáàÿ òî÷êà ñèñòåìû (19), à å¼ îñîáûåòî÷êè (0; 236; 0; 807;�0; 078), (�0; 017; 0; 858; 0; 009) � ñåäëîâûå ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷è-âîñòè 1.Ïîëîæèì òåïåðü â ñèñòåìå (13) z9 = 0.  ïîëó÷åííîé ñèñòåìå ïðè óìåíüøåíèèïàðàìåòðà D è åãî ïðîõîæäåíèè ÷åðåç D3 îò íóëåâîãî ðåøåíèÿ îòâåòâëÿåòñÿ ïà-ðà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé �(0; �z3(D); 0; 0) ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Ìàòðèöàóñòîé÷èâîñòè ýòîé ïàðû ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåííîé â (15) ìàòðèöåé M(D), â êîòî-ðîé �z3(D) = �z3(D), bz9 = 0. Ñîãëàñíî âûïîëíåííîìó àíàëèçó ó ýòîé ñèììåòðè÷íîéìàòðèöû îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D îñòà¼òñÿ íà ïîëî-æèòåëüíîé ïîëóîñè. Òàêèì îáðàçîì, èíäåêñ íåóñòîé÷èâîñòè �(0; bz3(D); 0; 0) íå ìåíÿ-åòñÿ.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ñèñòåìå (13). Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ïàðà å¼ ãëàäêèõ âåò-âåé ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé bz�(D) = �(0; bz3(D); 0; 0; bz9(D) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåò-ðà D îáðåòàåò ïðè D = �D3 óñòîé÷èâîñòü â ðåçóëüòàòå òðàíñêðèòè÷åñêîé áè�óð-êàöèè. Ïóñòü, êàê è âûøå, � = �1; 85. Òîãäà �D3 � 0; 029. Ïðè D = 0; 029 ñïðà-âåäëèâî ðàâåíñòâî �z+ = (0; 0; 916; 0; 0; 0; 070). Áè�óðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ñåäëî-óçëîâîéòî÷êè èìååò ìåñòî ïðè D � 0; 032. Cåäëî-óçëîâàÿ òî÷êà ðîæäàåòñÿ âáëèçè òî÷-êè (�0; 133; 0; 880; 0; 068;�0; 034; 0; 054). Îò íå¼ ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D îò-âåòâëÿþòñÿ äâå âåòâè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê. Óñòîé÷èâàÿ âåòâü ïðèáëèæàåòñÿ ê �z+(D)è îáìåíèâàåòñÿ ñ íåé ïðè D = �D3 óñòîé÷èâîñòüþ. Åñëè D = 0; 028, òî ñòàöèîíàð-íûå òî÷êè (0; 085; 0; 918;�0; 039; 0; 029; 0; 069), (�0; 255; 0; 865; 0; 153;�0; 052; 0; 040) �ñåäëîâûå ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1, à ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà (0; 0; 924; 0; 0; 0; 073)(0; 0; 893; 0) � óñòîé÷èâûé óçåë. Îòìåòèì, ÷òî f�1; 707;�1; 243;�0; 0168g � ñïåêòðìàòðèöû M(0; 028).Àíàëèç ìàòðèöû M(D) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ. Èìååò ìåñòîñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð v+1 (x;D), v+5 (x;D), v+7 (x;D) íàñòàöèîíàðíóþ ñòðóêòóðó v+3 (x;D). Ñîâìåñòíîå âîçäåéñòâèå ñòàöèîíàðíûõ ñòðóê-òóð v+1 (x;D), v+5 (x;D), v+7 (x;D), v+11(x;D),v+13(x;D) íà ñòàöèîíàðíóþ ñòðóêòó-ðó v+3 (x;D) ïðèâîäèò ê ìàòðèöå, èìåþùåé ïðè D = 0:; 028 ñëåäóþùèé ñïåêòð:f�5; 2575;�3; 8278;�1; 9431;�1; 3870;�0; 0004g.Îòìåòèì òåïåðü, ÷òî ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ �z�(D) ñîõðàíÿþò óñòîé÷èâîñòü ïðèäàëüíåéøåì óìåíüøåíèè D îò D = �D3.Âûïîëíåííûé âûøå àíàëèç äà¼ò âåñêèå îñíîâàíèÿ äëÿ ñëåäóþùåãî çàêëþ÷åíèÿ.Ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ v�3 (x;D) â ïðîöåññå óìåíüøåíèÿ D ìåíÿþò èíäåêñ íåóñòîé-÷èâîñòè. Äîïîëíèòåëüíûì îñíîâàíèåì äëÿ ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðèâîäèìûåäàëåå ðåçóëüòàòû ïî ýâîëþöèè ñòðóêòóðû v+3 (x;D) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
36 Áåëàí Å.Ï.5. Î ïðåäñòàâëåíèè v+3 (x;D)�àññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá ýâîëþöèè ñòðóêòóðû v+3 (x;D) ïðè óìåíüøåíèè ïà-ðàìåòðà D îò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ eD3 = eD3(�), ïðè êîòîðîì v+3 (x;D) âõîäèò âêëàññ óñòîé÷èâûõ ñòðóêòóð. Ïðèâåäåì â ýòîé ñâÿçè ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçàäëÿ ñëó÷àÿ � = �1; 85. Òîãäà eD3 � 0; 029, à v+3 (x; 0; 029) àïïðîêñèìèðóåòñÿ �óíêöèåé0; 916 sin3x + 0; 070 sin 9x (20)Îòìåòèì, ÷òî òðåõìîäîâîé àïïðîêñèìàöèåé v+3 (x; 0; 029) ÿâëÿåòñÿ �óíêöèÿ0; 917 sin 3x+ 0; 071 sin 9x + 0; 004 sin15x (21)Íà ðèñ. 5 ãðà�èêè �óíêöèé (20), (21) íåðàçëè÷èìû.Íà ðèñ. 5 èìååòñÿ ãðà�èê �óíêöèè1:076 sin 3x + 0; 333 sin9x + 0; 043 sin15x: (22)Ýòà �óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ òðåõìîäîâîé àïïðîêñèìàöèåé ðåøåíèÿ v+3 (x; 0; 01). Îáùàÿ æåòåíäåíöèÿ â ýâîëþöèè v+3 (x;D) ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà D îò êðèòè÷åñêîãî çíà-÷åíèÿ eD3 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðîñò àìïëèòóäû v+3 (x;D) ïî ñóùåñòâó ïðåêðàùàåòñÿè èìååò ìåñòî ðàñøèðåíèå îáëàñòåé èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé x, íà êîòîðûõ �óíê-öèÿ v+3 (x;D) ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ, ñîõðàíÿÿ íà íèõ ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèÿ. Ñêàçàííîå èëëþñòðèðóþò íà ðèñ.5. è ãðà�èêè �óíêöèé1; 150 sin 3x+ 0; 333 sin 9x+ 0; 152 sin 15x;1; 160 sin 3x+ 0; 354 sin 9x+ 0; 180 sin 15x+ 0; 100 sin 21x+ 0; 050 sin 27x;Óêàçàííûå �óíêöèè ÿâëÿþòñÿ àïïðîêñèìàöèÿìè v+3 (x; 0; 001) ïîðÿäêà 3, 5 ñîîòâåò-ñòâåííî. Âîëíèñòîñòü ýòèõ ãðà�èêîâ îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà D = 0; 001ïðèíàäëåæèò òîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà D, ãäå �óíêöèÿ v+3 (x;D) âåäåò ïî-äîáíî �óíêöèè (�1� L)1=2 sgn(sin 3x). Ïðè àïïðîêñèìàöèè �óíêöèè v+3 (x;D) ïî-ëèíîìàìè Ôóðüå ïî ñèñòåìå sin 3x; sin 9x; : : : ; sin 3(2k + 1)x; : : : íàáëþäàåòñÿ ÿâëå-íèå �èááñà. Îòìåòèì òåïåðü, ÷òî �óíêöèÿ (�1� L)1=2 sgn(sin 3x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ �tu(x; t) + u(x; t) = Lu(�x; t)u3(�x; t)); t > 0;â èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå spanfsinx; sin 3x; : : : ; sin(2k + 1)x; : : :g ïðîñòðàí-ñòâà H. Ñîãëàñíî [19℄, ðåøåíèå (�1� L)1=2 sgn(sin 3x) â óêàçàííîì ïðîñòðàíñòâå �ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâî. Çàêëþ÷åíèå ðàáîòå èññëåäîâàí âîïðîñ î õàðàêòåðå îáðåòåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïàðû ïðîñòðàí-ñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (11), áè�óðöèðóþùèõ èçíóëåâîãî ðåøåíèÿ ñ èíäåêñîì íåóñòîé÷èâîñòè 1. Ìåõàíèçì îáðåòåíèÿ óñòîé÷èâî-ñòè êàæäîãî ðåøåíèÿ èç ýòîé ïàðû ðåàëèçóåòñÿ ïî îäíîìó ñöåíàðèþ.  ýòîé ñâÿ-çè ðå÷ü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè,ïîéäåò î âåòâè v+3 (x;D). Íà ïåðâîì ýòàïå óìåíüøåíèÿ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Äèíàìèêà äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð 37êîý��èöèåíòà äè��óçèè îò áè�óðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ èìååò ìåñòî ðîñò àìïëè-òóäû v+3 (x;D). Èçìåíåíèå �îðìû ñòðóêòóðû v+3 (x;D) íîñèò çäåñü �àêòè÷åñêè ëè-íåéíûé õàðàêòåð � âäîëü ìîäû sin 3x. Íà âòîðîì ýòàïå óìåíüøåíèÿ D âñòóïàåò âñèëó ñèíõðîíèçì è èçìåíåíèå ñòðóêòóðû v+3 (x;D) îïðåäåëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì �óíê-öèé z3(D) sin 3x+ z9(D) sin 9x. Ýòî îáåñïå÷èâàåò ñòðóêòóðå v�3 (x;D) ëó÷øèå óñëîâèÿäëÿ ïðåîäîëåíèÿ ñîâìåñòíîãî âîçäåéñòâèÿ òðåõ ñòðóêòóð v�1 (x;D), v�5 (x;D), v�7 (x;D).Ïðåîäîëåâàÿ óêàçàííîå âîçäåéñòâèå, ñòðóêòóðà v�3 (x;D) îáðåòàåò óñòîé÷èâîñòü. Ïå-ðåõîä ñòðóêòóðû v�3 (x;D) â êëàññ óñòîé÷èâûõ ðåæèìîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäó-þùåìó ñöåíàðèþ. �åàëèçóåòñÿ ñåäëî-óçëîâàÿ áè�óðêàöèÿ. Âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîìóñòîé÷èâàÿ âåòâü ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (11) îáìåíèâàåòñÿ óñòîé÷èâî-ñòüþ ñ âåòâüþ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé v+3 (x;D) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì çíà÷åíèè D.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðîìåæóòîê èçìåíåíèÿ D îò ðîæäåíèÿ ñåäëî-óçëîâîé òî÷êè äî îá-ìåíà óñòîé÷èâîñòüþ îòíîñèòåëüíî ìàë, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî õàðàêòåð îáðåòåíèÿóñòîé÷èâîñòè v�3 (x;D) îïðåäåëÿåòñÿ ñâÿçêîé: ñåäëî-óçëîâàÿ áè�óðêàöèÿ � òðàíñêðè-òè÷åñêàÿ áè�óðêàöèÿ.Íà ñëåäóþùåì ýòàïå óìåíüøåíèÿ D ðåøåíèå v�3 (x;D) îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ ïàðà-ìåòðàìè è ïðåäñòàâèìî â âèäå z3(D) sin 3x+ z9(D) sin 9x+ z15(D) sin 15x. �îñò àìïëè-òóäû v�3 (x;D) ïðàêòè÷åñêè ïðåêðàùàåòñÿ. Ê ñîâìåñòíîìó äàâëåíèþ íà ñòðóêòóðóv�3 (x;D) ïîäêëþ÷àþòñÿ v�11(x;D), v�13(x;D). Îäíàêî óêàçàííàÿ ýâîëþöèÿ ñòðóêòó-ðû v�3 (x;D) ïîçâîëÿåò åé íå òîëüêî ñîõðàíÿòü óñòîé÷èâîñòü, íî è ðàñøèðÿòü, ïî-âèäèìîìó, îáëàñòü âëèÿíèÿ. Îòìåòèì òåïåðü, ÷òî ïðè D ! 0 ïî íîðìå ïðîñòðàí-ñòâà H èìååò ìåñòî v�3 (x;D)! (�1� �)1=2 sgn(sin 3x) .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. ÀõìàíîâÑ. À., ÂîðîíöîâÌ.À., ÈâàíîâÂ.Þ. �åíåðàöèÿ ñòðóêòóð â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ äâó-ìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ: íà ïóòè ê ñîçäàíèþ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ àíàëîãîâ íåéðîííûõ ñå-òåé // Íîâûå ïðèíöèïû îïòè÷åñêîé îáðàáîòêè èí�îðìàöèè � Ì.: Íàóêà. � 1990. � Ñ. 263-325.2. �àçãóëèí À. Â. Íåëèíåéíûå ìîäåëè îïòè÷åñêîé ñèíåðãåòèêè Ì.: Èçä. îòäåë �-òà ÂÌèÊ Ì�Ó,ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2008. � 201 ñ.3. Íàêåí �. Ñèíåðãåòèêà� Ì.: Ìèð. � 1980. � 404 ñ.4. Ìèùåíêî Å. Ô., Ñàäîâíè÷èé Â. À., Êîëåñîâ À. Þ., �îçîâ Í. Õ. Àâòîâîëíîâûå ïðîöåññû âíåëèíåéíûõ ñðåäàõ ñ äè��óçèåé. � Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. � 430 ñ.5. Àõðîìååâà Ò. Ñ., Êóðäþìîâ Ñ. Ï., Ìàëèíåöêèé �. �., Ñàìàðñêèé À. À. Ñòðóêòóðû è õàîñ âíåëèíåéíûõ ñðåäàõ � Ì.: Ôèçìàòëèò. � 2007. � 485 ñ.6. �àçãóëèí À. Â. Îá àâòîêîëåáàíèÿõ â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûìàðãóìåíòîì // ÆÂÌÌÔ. � 1993. � Ò. 33. N. 1. � Ñ. 69-80.7. �àçãóëèí À. Â. Óñòîé÷èâîñòü áè�óðêàöèîííûõ àâòîêîëåáàíèÿõ â íåëèíåéíîé ïàðàáîëè÷åñêîéçàäà÷å ñ ïðåîáðàçîâàííûì àðãóìåíòîì // ÆÂÌÌÔ.� 1993. � Ò. 33. N. 10. � Ñ. 1499-1508.8. �àçãóëèí À. Â. �îòàöèîííûå âîëíû â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ñ äâóìåðíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ //Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. � 1993. � Ò. 5, �4. � Ñ. 105-119.9. Skuba
hevskii A. L. Bifur
ation of periodi
solution for nonlinear paraboli
fun
tional di�erentialequations arising in optoele
troni
s //Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Appli
ations. � 1998. �V. 12 No. 2. � P. 261 � 278.10. Ñêóáà÷åâñêèéÀ.Ë.Î áè�óðêàöèè Õîï�à äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî �óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ //Äè��åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. � 1998. � Ò. 34. N.10. � Ñ. 1394-1401. ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
38 Áåëàí Å.Ï.11. Áåëàí Å.Ï. Î âçàèìîäåéñòâèè áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì �óíêöèîíàëüíî-äè��å-ðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Äè��åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. � 2004. � Ò. 40, N.5, � Ñ. 645-654.12. Áåëàí Å.Ï., ËûêîâàÎ.Á. Âðàùàþùèåñÿ ñòðóêòóðû â ïàðàáîëè÷åñêîì �óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Äè��åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. � 2004. � Ò. 40. N.10, � Ñ. 1348-1357.13. Áåëàí Å.Ï., ËûêîâàÎ.Á. Áè�óðêàöèè âðàùàþùèõñÿ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîì�óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè // Íåëiíiéíi êîëèâàííÿ. � 2006. � Ò. 9,� 2. � Ñ. 155-169.14. ÊàùåíêîÑ. À. Àñèìïòîòèêà ïðîñòðàíñòâåííî-íåîäíîðîäíûõ ñòðóêòóð â êîãåðåíòíûõíåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // ÆÂÌÌÔ. � 1991. � Ò. 31, �. 3. � Ñ. 467-473.15. Grigorieva E. V. , Haken H., Kash
henko S. A. , Pelster A. Travelling wave dynami
s in a nonlinearinterferometer with spatial �eld transformer in feedba
k // Physika D. � 1999. � V. 125. � P. 123-141.16. Êîëåñîâ À. Þ., �îçîâ Í. Õ. Îïòè÷åñêàÿ áó�åðíîñòü è ìåõàíèçìû åå âîçíèêíîâåíèÿ // Òåîð. èìàò. �èçèêà. � 2004, � Ò. 140, N 1, � Ñ. 14-28.17. Áåëàí Å.Ï. Î äèíàìèêå áåãóùèõ âîëí â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãàïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé // Æ. ìàò. �èç., àíàë., ãåîì. � 2005. � Ò. 1, � 1. � Ñ. 3-34.18. Áåëàí Å.Ï. Îïòè÷åñêàÿ áó�åðíîñòü ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà-ëèç. �2008. � Ò. 44, � 5. � Ñ. 61-75.19. Áåëàí Å.Ï. Äèíàìèêà ñòàöèîíàðíûõ ñòðóêòóð â ïàðàáîëè÷åñêîé çàäà÷å ñ îòðàæåíèåì ïðîñòðàí-ñòâåííîé ïåðåìåííîé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. � 2010. � Ò. 46, � 5. � Ñ. 95-111.20. Vorontsov M. A., Zheleznykh N. I., Ivanov V. Yu. Transverse intera
tion in 2-D feedba
k non-linearopti
al systems // Opt. and Quant. Ele
tron. � 1988. � T.22. � P. 301-318.21. Âîðîíöîâ Ì. À., Æåëåçíûõ Í. È. Ïîïåðå÷íàÿ áèñòàáèëüíîñòü è ìóëüòèñòàáèëüíîñòü â íåëè-íåéíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. � 1990. � T.2, �2. �Ñ. 31-38.22. Æåëåçíûõ Í. È. Èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ óïðàâëÿåìûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îáðàòíîé ñâÿçüþäèññ. êàíä. �èç.-ìàò. íàóê 05.13.16. � Ìîñêâà. � 1991 � 115
..23. ×óøêèí Â. À., �àçãóëèí À. Â. Ñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû â �óíêöèîíàëüíî-äè��åðåíöèàëüíîìóðàâíåíèè äè��óçèè ñ îòðàæåííûì àðãóìåíòîì // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. � ñåð. 15, âû÷èñë. ìàòåì.è êèáåðí. � 2003, �2 � Ñ. 13-20.24. Áàáèí À. Â., Âèøèê M. È. Àòòpàêòîðû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé. Ì. : Íàóêà. � 1989. � 294 ñ.25. Ìàðñäåí Äæ., Ìàê-Êðàêåí Ì. Áè�óðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà è åå ïðèëîæåíèÿ. � Ì.: Ìèð. �1980. � 368 ñ.26. Õåíðè Ä. �åîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëóëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. � Ì.: Ìèð, 1985. �376 ñ.27. Õýññàðä Á., Êàçàðèíîâ Í., Âýí È. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ áè�óðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà. � Ì.:Ìèð, 1985. � 280 ñ.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 14.11.2010
¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
|