Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики
В данной работе изучается задача идентификации об определении комплекснозначного коэффициента нестационарного уравнения квазиоптики. При этом доказываются теоремы существования и единственности решения задачи идентификации. Кроме того, для решения задачи идентификации устанавливается необходимое усл...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Таврический вестник информатики и математики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18197 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 45-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18197 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ибрагимов, Н.С. 2011-03-18T15:08:02Z 2011-03-18T15:08:02Z 2010 Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 45-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1729-3901 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18197 517.97 В данной работе изучается задача идентификации об определении комплекснозначного коэффициента нестационарного уравнения квазиоптики. При этом доказываются теоремы существования и единственности решения задачи идентификации. Кроме того, для решения задачи идентификации устанавливается необходимое условие в виде вариационного неравенства. В даній роботі вивчається задача ідентифікації про визначення комплекснозначного коефіцієнта нестаціонарного рівняння квазіоптики. При цьому доводяться теореми існування та єдиності розв'язку задачі ідентифікації. Крім того, для розв'язку задачі ідентифікації встановлюється необхідна умова у вигляді варіаційної нерівності. In this paper we study the identification problem of determining the complex- valued coefficient for non stationary equation quasi optics In this case we prove existence and uniqueness of the solution of identification problem. In addition, the necessary condition for solution of identification problem of the variational inequality type is established. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Таврический вестник информатики и математики Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| spellingShingle |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики Ибрагимов, Н.С. |
| title_short |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_full |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_fullStr |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_full_unstemmed |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| title_sort |
задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики |
| author |
Ибрагимов, Н.С. |
| author_facet |
Ибрагимов, Н.С. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Таврический вестник информатики и математики |
| publisher |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| format |
Article |
| description |
В данной работе изучается задача идентификации об определении комплекснозначного коэффициента нестационарного уравнения квазиоптики. При этом доказываются теоремы существования и единственности решения задачи идентификации. Кроме того, для решения задачи идентификации устанавливается необходимое условие в виде вариационного неравенства.
В даній роботі вивчається задача ідентифікації про визначення комплекснозначного коефіцієнта нестаціонарного рівняння квазіоптики. При цьому доводяться теореми існування та єдиності розв'язку задачі ідентифікації. Крім того, для розв'язку задачі ідентифікації встановлюється необхідна умова у вигляді варіаційної нерівності.
In this paper we study the identification problem of determining the complex- valued coefficient for non stationary equation quasi optics In this case we prove existence and uniqueness of the solution of identification problem. In addition, the necessary condition for solution of identification problem of the variational inequality type is established.
|
| issn |
1729-3901 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18197 |
| citation_txt |
Задача идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Таврический вестник информатики и математики. — 2010. — № 2. — С. 45-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ibragimovns zadačaidentifikaciidlânestacionarnogouravneniâkvazioptiki |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:50Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:50Z |
| _version_ |
1850603909634064384 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.97ÇÀÄÀ×À ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ ÄËß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀ�ÍÎ�ÎÓ�ÀÂÍÅÍÈß ÊÂÀÇÈÎÏÒÈÊÈ
Èáðàãèìîâ Í.Ñ.Áàêèíñêèé �îñóäàðñòâåííûé ÓíèâåðñèòåòÊà�åäðà ýêîíîìè÷åñêîé èí�îðìàòèêèóë. Àêàäåìèêà Çàõèä Õàëèëîâà 23, Áàêó, Àçåðáàéäæàíñêàÿ �åñïóáëèêàe-mail: ns.ibragimov�gmail.
omAbstra
t. In this paper we study the identi�
ation problem of determining the
omplex-valued
oe�
ient for non-stationary equation quasi opti
s. In this
ase we prove existen
e and uniqueness ofthe solution of identi�
ation problem. In addition, the ne
essary
ondition for solution of identi�
ationproblem of the variational inequality type is established.ÂâåäåíèåÇàäà÷è èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè ÷àñòî âîç-íèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ïó÷-êà â íåîäíîðîäíîé ñðåäå, â êîòîðûõ íåèçâåñòíûìè �óíêöèÿìè îáû÷íî ÿâëÿþòñÿ ïî-êàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ñðåäû, à òàêæå íà÷àëüíàÿ �àçà èçëó÷åííîé âîë-íû [1℄. Îòìåòèì, ÷òî ðàíåå çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè îá îïðåäåëåíèè �àçû èçëó÷åííîéâîëíû äëÿ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè èçó÷åíû, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [1�3℄è äð., à çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè îá îïðåäåëåíèè âåùåñòâåííîçíà÷íîãî êîý��èöèåíòà,òî åñòü êîý��èöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû â ñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè êâàçèîïòèêè,äðóãèìè ñëîâàìè, â íåñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ðàíåå èññëåäîâàíû, íà-ïðèìåð, â ðàáîòàõ [4�10℄ è äð. äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè îá îïðåäåëåíèè êîì-ïëåêñíîçíà÷íîãî êîý��èöèåíòà íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè, ãäå âåùå-ñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî êîý��èöèåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, àìíèìàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëåì ïîãëîùåíèÿ íåîäíîðîäíîé íåëèíåéíîé ñðåäû.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâà-çèîïòèêè âïåðâûå áûëà èçó÷åíà â ðàáîòàõ [11, 12℄, êîòîðàÿ ïî ïîñòàíîâêå è ïî êëàññóðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè îòëè÷àåòñÿ îò íàñòîÿ-ùåé ðàáîòû. Ïîýòîìó èññëåäîâàíèå çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè îá îïðåäåëåíèè êîìïëåêñ-íîçíà÷íîãî êîý��èöèåíòà â íåñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè êâàçèîïòèêè â íàñòîÿùåéðàáîòå ïðåäñòàâëÿåò íåìàëûé èíòåðåñ.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏóñòü D � îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü n-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà En; � � ãðà-íèöà îáëàñòè D, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé, íàïðèìåð, � � C2;T > 0; L > 0 � çàäàííûå ÷èñëà, 0 � t � T; 0 � z � L; x = (x1; x2; : : : ; xn) � ïðîèç-âîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè D;
t = D � (0; t);
z = D � (0; z);
tz = D � (0; t) � (0; z);
=
TL; Stz = �� (0; t)� (0; z); S = STL; Ck([0; T ℄; B) � áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ñî-ñòîÿùåå èç âñåõ îïðåäåëåííûõ è k � 0 ðàç íåïðåðûâíî äè��åðåíöèðóåìûõ �óíêöèé
46 Èáðàãèìîâ Í.Ñ.íà îòðåçêå [0; T ℄ ñî çíà÷åíèÿìè â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B; Lp(D) � ëåáåãîâî ïðî-ñòðàíñòâî �óíêöèé, ñóììèðóåìûõ â îáëàñòè D ñî ñòåïåíüþ p � 1; W kp (D); W k;mp (Q);p � 1; k � 0; m � 0 � ñîáîëåâû ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå îïðåäåëåíû, íàïðèìåð, â [13℄;W 0;1;12 (
) � ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ u = u(x; t; z)èç L2(
); èìåþùèõ îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå �u�t ; �u�z èç ïðîñòðàíñòâà L2(
); ñêà-ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â íåì îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè:(u1; u2)W 0;1;12 (
) = Z
�u1u2 + �u1�t �u2�t + �u1�z �u2�z � dxdtdz;kukW 0;1;12 (
) =q(u; u)W 0;1;12 (
) < +1;W 2;0;02 (
) � ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ u = u(x; t; z) ïðî-ñòðàíñòâà L2(
); èìåþùèõ îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå �u�xj ; j = 1; n; �2u�xj�xp ; j; p = 1; n;èç ïðîñòðàíñòâà L2(
): Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â íåì îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåí-ñòâàìè:(u1; u2)W 2;0;02 (
) = Z
u1u2 + nXj=1 �u1�xj �u2�xj + nXj;p=1 �2u1�xj�xp �2u2�xj�xp! dxdtdz;kukW 2;0;02 (
) =q(u; u)W 2;0;02 (
);W 2;1;12 (
) � W 2;0;02 (
) \ W 0;1;12 (
); ÆW 2;1;12 (
) � ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàí-ñòâà W 2;1;12 (
); ýëåìåíòû êîòîðîãî îáðàùàþòñÿ â íóëü íà S = �� (0; T )� (0; L); ñèì-âîë Æ8 îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîéâåëè÷èíû. Íèæå âñþäó ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò îöåíèâàåìûõ âåëè÷èí, îáîçíà-÷èì ÷åðåç
j; j = 0; 1; 2; : : : .�àññìîòðèì ïðîöåññ, ñîñòîÿíèå êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì íåñòàöèîíàð-íûì ëèíåéíûì óðàâíåíèåì êâàçèîïòèêè [1℄:i� �t + ia0� �z � nXj;p=1 ��xj �ajp(x) � �xp�+ a(x) ++v0(x; t; z) + iv1(x; t; z) = f(x; t; z); (x; t; z) 2
; (1)ãäå i = p�1 � ìíèìàÿ åäèíèöà, = (x; t; z) � âîëíîâàÿ �óíêöèÿ èëè êîìïëåêñíàÿàìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû (ñâåòîâîãî ïó÷êà), ðàñïðîñòðàíÿþ-ùåéñÿ âäîëü îñè z; a0 > 0 � çàäàííîå ÷èñëî, ajp; j; p = 1; n; a(x) � çàäàííûå âåùå-ñòâåííîçíà÷íûå èçìåðèìûå îãðàíè÷åííûå �óíêöèè ñ èçìåðèìûìè îãðàíè÷åííûìèïðîèçâîäíûìè �ajp(x)�xl ; j; p; l = 1; n; óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:ajp(x) = apj(x); j; p = 1; 2; : : : ; n; �0 nXj=1 j�jj2 � nXj;p=1 ajp(x)�j ��p �¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè 47� �1 nXj=1 j�jj2; 8�j 2 C; j = 1; 2; : : : ; n; Æ8 x 2 D; �0; �1 =
onst > 0; (2)�����ajp(x)�xl ���� � �2; Æ8 x 2 D; j; p; l = 1; n; �2 =
onst > 0; (3)0 � a(x) � �3; Æ8 x 2 D; �3 =
onst > 0; (4)f(x; t; z) � êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ èçìåðèìàÿ �óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ:f 2 W 0;1;12 (
); (5)v0(x; t; z); v1(x; t; z) � íåèçâåñòíûå êîý��èöèåíòû èëè ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ è ïî-ãëîùåíèÿ ñðåäû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâûõ âîëí. Ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (1) çàäàíûñëåäóþùèå íà÷àëüíîå è êðàåâîå óñëîâèÿ: (x; 0; z) = '0(x; z); (x; z) 2
L; (6) (x; t; 0) = '1(x; t); (x; t) 2
T ; (7) ��S= 0; (8)ãäå '0(x; z) � íà÷àëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîë-íû, '1(x; t) � íà÷àëüíûé �àçîâûé ïðî�èëü ñâåòîâîé âîëíû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþòóñëîâèÿì: '0 2 ÆW 2;12 (
L); '1 2 ÆW 2;12 (
T ): (9)Íàøà öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè íåèçâåñòíûõ êîý��èöèåíòîâ v0(x; t; z);v1(x; t; z) íà îñíîâå ïîëó÷åíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ y0 = y0(x; z) ñâåòîâûõ âîëíâ ìîìåíò âðåìåíè t = T; òî åñòü íà îñíîâå äîïîëíèòåëüíîé èí�îðìàöèè: (x; T; z) = y0(x; z); (x; z) 2
L; (10)èëè íà îñíîâå ïîëó÷åíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ y1 = y1(x; t) ñâåòîâûõ âîëí íàïîâåðõíîñòè îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ðàñïîëîæåííîãî íà ðàññòîÿíèè z = L îò ïîâåðõ-íîñòè ïåðåäàþùåãî îáúåêòà, òî åñòü íà îñíîâå äîïîëíèòåëüíîé èí�îðìàöèè: (x; t; L) = y1(x; t); (x; t) 2
T ; (11)ãäå y0(x; z); y1(x; t) � çàäàííûå êîìïëåêñíîçíà÷íûå �óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëî-âèÿì: y0 2 L2(
L); y1 2 L2(
T ): (12)Ïóñòü �óíêöèÿ v = (v0; v1); v0 = v0(x; t; z); v1 = v1(x; t; z); áóäåò îòûñêàíà íà ìíîæå-ñòâå:V � �v = (v0; v1); vm 2 W 0;1;12 (
); jvm(x; t; z)j � bm;�����vm(x; t; z)�t ���� � dm; �����vm(x; t; z)�z ���� �
m; m = 0; 1; Æ8 (x; t; z) 2
� ;ãäå bm > 0; dm > 0;
m > 0; m = 0; 1 � çàäàííûå ÷èñëà. Ìíîæåñòâî V áóäåì íàçûâàòüìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ ýëåìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå v = (v0; v1) èç ìíîæåñòâà V ïðè¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
48 Èáðàãèìîâ Í.Ñ.óñëîâèÿõ (1), (6)�(8), (10) èëè (11) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé çàäà÷åé èëè çàäà÷åé èäåíòè-�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè (1). Âàðèàöèîííàÿ ïîñòàíîâêàýòîé çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â ìèíèìèçàöèè �óíêöèîíàëà:J�(v) = �0k (�; T; �)� y0k2L2(
L) + �1k (�; �; L)� y1k2L2(
T ) + �kv � !k2H (13)íà ìíîæåñòâå V ïðè óñëîâèÿõ (1), (6)�(8), ãäå � � 0 � çàäàííîå ÷èñëî, �0 � 0;�1 � 0 � çàäàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî �0+�1 6= 0; ! = (!0; !1) 2 H � çàäàííûé ýëåìåíò,H � W 0;1;12 (
) �W 0;1;12 (
): Íèæå áóäåì èçó÷àòü çàäà÷ó î ìèíèìèçàöèè �óíêöèîíà-ëà (13) íà ìíîæåñòâå V ïðè óñëîâèÿõ (1), (6)�(8), êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü çàäà÷åéèäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13).Ïðè êàæäîì v 2 V çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè �óíêöèè = (x; t; z) � (x; t; z; v) èçóñëîâèé (1), (6)�(8), áóäåì íàçûâàòü ïðÿìîé çàäà÷åé äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿêâàçèîïòèêè (1). Ïîä ðåøåíèåì ïðÿìîé çàäà÷è (1), (6)�(8) ïðè êàæäîì v 2 V áóäåìïîíèìàòü �óíêöèþ (x; t; z) èç ïðîñòðàíñòâà ÆW 2;1;12 (
); óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâè-ÿì (1), (6)-(8) äëÿ ïî÷òè âñåõ (x; t; z) 2
; òî åñòü óðàâíåíèþ (1) äëÿ Æ8 (x; t; z) 2
;óñëîâèÿì (6), (7) äëÿ Æ8 (x; z) 2
L; Æ8 (x; t) 2
T ; ñîîòâåòñòâåííî, è êðàåâîìó óñëî-âèþ (8) äëÿ Æ8 (�; t; z) 2 S:Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðÿìàÿ çàäà÷à òèïà (1), (6)�(8) ðàíåå áûëà ïðåäìåòîì èñ-ñëåäîâàíèÿ â ðàáîòå [11℄, ãäå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ñëàáîãîîáîáùåííîãî ðåøåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà C0([0; T ℄; L2(
L))\C0([0; L℄; L2(
T )) ïðè áîëååñëàáûõ óñëîâèÿõ.  íàñòîÿùåì ñëó÷àå êëàññ ðåøåíèé ïðÿìîé çàäà÷è (1), (6)�(8) ÿâ-ëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ÆW 2;1;12 (
) è äàííûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ áîëåå ãëàäêèìè �óíêöè-ÿìè. Ïîýòîìó äëÿ èçó÷åíèÿ çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13) íàì íåîáõîäèìîñíà÷àëà èçó÷èòü âîïðîñ ðàçðåøèìîñòè ïðÿìîé çàäà÷è (1), (6)�(8) ïðè êàæäîì v 2 Vâ ïðîñòðàíñòâå ÆW 2;1;12 (
). Ñ ýòîé öåëüþ, èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîëüòåððîâûõ îïåðàòîðîââ ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå [14, 15℄ è ìåòîä �àëåðêèíà, ìîæåì óñòàíîâèòü ñïðàâåä-ëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ:Òåîðåìà 1. Ïóñòü �óíêöèè ajp(x); j; p = 1; n; a(x); f(x; t; z); '0(x; z); '1(x; t) óäî-âëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (2)�(5), (9) ñîîòâåòñâåííî, à ãðàíèöà îáëàñòè D äîñòàòî÷íîãëàäêàÿ. Òîãäà ïðÿìàÿ çàäà÷à (1), (6)�(8) ïðè êàæäîì v 2 V èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà ÆW 2;1;12 (
) è äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâà îöåíêà:k k2ÆW2;1;12 (
) �
0�k'0k2ÆW 2;12 (
L) + k'1k2ÆW 2;12 (
T ) + kfk2W 0;1;12 (
)� ; (14)ãäå
0 > 0 � ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò '0; '1 è f:Èç ýòîé òåîðåìû è èç âëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÆW 2;1;12 (
) â ïðîñòðàí-ñòâî C0([0; T ℄; L2(
L)) \ C0([0; L℄; L2(
T )) ñëåäóåò, ÷òî �óíêöèîíàë (13) èìååò ñìûñëâ ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå ðåøåíèé ïðÿìîé çàäà÷è (1), (6)�(8) ïðè êàæäîì çàäàí-íîì v 2 V: ¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè 492. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷èèäåíòè�èêàöèèÑíà÷àëà óñòàíîâèì, ÷òî çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13) èìååò åäèíñòâåí-íîå ðåøåíèå ïðè � > 0:Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Ïóñòü, êðîìå òîãî, �óíê-öèè y0(x; z); y1(x; t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (12), à ! 2 H � çàäàííûé ýëåìåíò.Òîãäà ñóùåñòâóåò ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî G ïðîñòðàíñòâà H òàêîå, ÷òî äëÿ ëþ-áîãî ! 2 G ïðè � > 0 çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè (1), (6)-(8), (13) èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïåðâà äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü �óíêöèîíàëàJ0(v) = �0k (�; T; �)� y0k2L2(
L) + �1k (�; �; L)� y1k2L2(
T ) (15)íà ìíîæåñòâå V: Ïóñòü �v 2 B � W 0;1;11 (
)�W 0;1;11 (
) � ïðèðàùåíèå ëþáîãî ýëåìåí-òà v 2 V òàêîå, ÷òî v+�v 2 V è � = � (x; t; z) � (x; t; z; v+�v)� (x; t; z; v); ãäå (x; t; z; v) � ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è (1), (6)�(8) ïðè v 2 V: Èç óñëîâèé (1), (6)�(8)ñëåäóåò, ÷òî � = � (x; t; z) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çà-äà÷è: i�� �t + ia0�� �z � nXj;p=1 ��xj �ajp(x)�� �xp �+ a(x)� ++(v0(x; t; z) + �v0(x; t; z))� + i(v1(x; t; z) + �v1(x; t; z))� == ��v0(x; t; z) � i�v1(x; t; z) ; (x; t; z) 2
; (16)� (x; 0; z) = 0; (x; z) 2
L; � (x; t; 0) = 0; (x; t) 2
T ; (17)� ��S= 0: (18)Îöåíèì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è. Ñ ýòîé öåëüþ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (16) óìíîæèì íà�óíêöèþ � � = � � (x; t; z) è ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè
tz: Âðåçóëüòàòå, èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà âû÷èòàÿ åãî êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå, èìååì:Z
tz ��t j� j2dxd�d� + Z
tz ��z j� j2dxd�d� = �2 Z
tz (v1 +�v1)j� j2dxd�d���2 Z
tz Im(�v0 � � )dxd�d� � 2 Z
tz Re(�v1 � � )dxd�d�; 8t 2 [0; T ℄; 8z 2 [0; L℄:Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñ ïîìîùüþ îöåíêè (14) è ïðèíÿòûõ óñëîâèé ìîæåì óñòàíîâèòüñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè:k� (�; t; �)k2L2(
L) + k� (�; �; z)k2L2(
T ) �
1 �k�v0k2L1(
) + k�v1k2L1(
)� ; (19)äëÿ 8t 2 [0; T ℄; 8z 2 [0; L℄: ¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
50 Èáðàãèìîâ Í.Ñ.Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå �óíêöèîíàëà J0(v) íà ëþáîì ýëåìåíòå v 2 V:Èñïîëüçóÿ �îðìóëó (15), ïðèðàùåíèå �óíêöèîíàëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:�J0(v) = J0(v +�v)� J0(v) == �2�0 Z
L Re[( (x; T; z)� y0(x; z))� � (x; T; z)℄dxdz++2�1 Z
T Re[( (x; t; L)� y1(x; t))� � (x; t; L)℄dxdt++�0 k� (�; T; �)k2L2(
L) + �1 k� (�; �; L)k2L2(
T ) : (20)Îòñþäà â ñèëó îöåíîê (15), (19) è íåðàâåíñòâà:k (�; t; �)k2L2(
L) + k (�; �; z)k2L2(
T ) �
2 k k2ÆW2;1;12 (
) (21)äëÿ 8t 2 [0; T ℄; 8z 2 [0; L℄ ïîëó÷èì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà:j�J0(v)j �
3(kv0kL1(
) + kv1kL1(
) + kv0k2L1(
) + kv1k2L1(
)):Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå:j�J0(v)j ! 0 ïðè k�vkB ! 0 (22)äëÿ 8v 2 V: Èç ýòîãî ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü �óíêöèîíà-ëà J0(v) íà ìíîæåñòâå V: Ââèäó J0(v) � 0; 8v 2 V; ïîëó÷èì ñíèçó îãðàíè÷åííîñòüJ0(v) íà ìíîæåñòâå V: Êðîìå òîãî, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî V ÿâëÿåòñÿ çà-ìêíóòûì îãðàíè÷åííûì è âûïóêëûì ìíîæåñòâîì ðàâíîìåðíî âûïóêëîãî ïðîñòðàí-ñòâà H � W 0;1;12 (
) �W 0;1;12 (
) [16, ñòð.182℄. Òîãäà ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî âûïîë-íÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ â çàäà÷àõíåâûïóêëîé îïòèìèçàöèè, èçâåñòíîé èç ðàáîòû [17℄. Ïîýòîìó â ñèëó óòâåðæäåíèÿýòîé òåîðåìû çàêëþ÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî G ïðîñòðàíñòâà Hòàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ! 2 G ïðè � > 0 çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè (1), (6)-(8), (13) èìååòåäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. �Ýòà òåîðåìà óêàçûâàåò íà òî, ÷òî çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13)ïðè � > 0 èìååò ðåøåíèå íå äëÿ âñÿêîãî ! 2 H: Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîêàçûâàåò,÷òî çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå ïðè � � 0 äëÿ ëþáîãî ! 2 H:Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òîãäà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíîðåøåíèå çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13) ïðè � � 0 äëÿ ëþáîãî ! 2 H:Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðîâîäèòñÿ ìåòîäèêîé ðàáîòû [18℄ ñ óñòàíîâëåíèåìñëàáîé ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó �óíêöèîíàëà J�(v) íà ìíîæåñòâå v ïðè � � 0:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè 513. Äè��åðåíöèðóåìîñòü �óíêöèîíàëà è íåîáõîäèìîå óñëîâèåäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè ýòîì ðàçäåëå áóäåì èçó÷àòü âîïðîñ íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èèäåíòè�èêàöèè (1), (6)�(8), (13). Ïóñòü � = �(x; t; z) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåéñîïðÿæåííîé çàäà÷è:i���t + ia0���z � nXp;j=1 ��xp �ajp(x) ���xj�+ a(x)�++v0(x; t; z)�� iv1(x; t; z)� = 0; (x; t; z) 2
; (23)�(x; T; z) = �2i�0( (x; T; z)� y0(x; z)); (x; z) 2
L; (24)�(x; t; L) = �2i�1a0 ( (x; t; L)� y1(x; t)); (x; t) 2
T ; (25)���S= 0; (26)ãäå = (x; t; z) � (x; t; z; v) � ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðè v 2 V:Ïîä ðåøåíèåì ñîïðÿæåííîé çàäà÷è áóäåì ïîíèìàòü �óíêöèþ � = �(x; t; z) èçïðîñòðàíñòâà B0 � C0([0; T ℄; L2(
L)) \ C0([0; L℄; L2(
T )); óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþ-ùåìó èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó:Z
� �i���1�t � ia0���1�z � nXj;p=1 ��xj �ajp(x)���1�xp� ++a(x)��1 + v0(x; t; z)��1 � iv1(x; t; z)��1!dxdtdz == �2�0 Z
L ( (x; T; z)� y0(x; z))��1(x; T; z)dxdz��2�1 Z
T ( (x; t; L)� y1(x; t))��1(x; t; L)dxdt++i Z
L �(x; 0; z)��1(x; 0; z)dxdz + ia0 Z
T �(x; t; 0)��1(x; t; 0)dxdt (27)äëÿ ëþáîé �óíêöèè �1 = �1(x; t; z) èç ïðîñòðàíñòâà ÆW 2;1;12 (
):Ñ ïîìîùüþ çàìåíû � = T � t; � = L � z ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó (23)�(26) ìîæ-íî ñâåñòè ê íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîéïðÿìîé çàäà÷å (1), (6)�(8). Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó ñãëàæèâàíèÿ äàííûõ è òåî-ðåìó 1, ìîæåì óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî ñîïðÿæåííàÿ çà-äà÷à (23)�(26) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èç ïðîñòðàíñòâà B0 è äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿñïðàâåäëèâà îöåíêà: k�(�; t; �)k2L2(
L) + k�(�; �; z)k2L2(
T ) �¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
52 Èáðàãèìîâ Í.Ñ.�
4 �k (�; T; �)� y0k2L2(
L) + k (�; �; L)� y1k2L2(
T )� ; (28)8t 2 [0; T ℄; 8z 2 [0; L℄:Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ â çàäà÷å èäåíòè�èêà-öèè (1), (6)�(8), (13) ñíà÷àëà íåîáõîäèìî íàéòè �îðìóëó äëÿ ïåðâîé âàðèàöèè�óíêöèîíàëà J�(v) íà ëþáîì ýëåìåíòå v 2 V:Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Òîãäà äëÿ ëþáîé �óíê-öèè w = w(x; t; z) èç B è ëþáîãî ýëåìåíòà v 2 V ñóùåñòâóåò ïåðâàÿ âàðèàöèÿ�óíêöèîíàëà J�(v) è ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîé âàðèàöèè:ÆJ�(v; w) = Z
Re( (x; t; z)��(x; t; z))w0(x; t; z)dxdtdz�� Z
Im( (x; t; z)��(x; t; z))w1(x; t; z)dxdtdz++2� Z
1Xm=0(vm(x; t; z)� !m(x; t; z))wm(x; t; z)dxdtdz++2� Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�t � �!m(x; t; z)�t � �wm(x; t; z)�t dxdtdz++2� Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�z � �!m(x; t; z)�z � �wm(x; t; z)�z dxdtdz; (29)ãäå = (x; t; z) � (x; t; z; v) � ðåøåíèå ïðÿìîé, à � = �(x; t; z) � �(x; t; z; v) �ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷ ïðè v 2 V; w = (w0; w1) = (w0(x; t; z); w1(x; t; z)):Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ �îðìóëó (13) è (20) ïðèðàùåíèå �óíêöèîíàëà J�(v) íàëþáîì ýëåìåíòå v 2 V ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå:�J�(v) = J�(v +�v)� J�(v) == 2�0 Z
L Re[( (x; T; z)� y0(x; z))� � (x; T; z)℄dxdz++2�1 Z
T Re[( (x; t; L)� y1(x; t))� � (x; t; L)℄dxdt++2� Z
1Xm=0(vm(x; t; z)� !m(x; t; z))�vm(x; t; z)dxdtdz++2� Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�t � �!m(x; t; z)�t � ��vm(x; t; z)�t dxdtdz+¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè 53+2�Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�z � �!m(x; t; z)�z � ��vm(x; t; z)�z dxdtdz++�0k� (�; T; �)k2L2(
L) + �1k� (�; �; L)k2L2(
T ) + �k�vk2H ; (30)ãäå � = � (x; t; z) � ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (16)�(18).Èñïîëüçóÿ ñîïðÿæåííóþ çàäà÷ó è íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó (16)�(18), ìîæíîóñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà:2�0 Z
L Re[( (x; T; z)� y0(x; z))� � (x; T; z)℄dxdz++2�1 Z
T Re[( (x; t; L)� y1(x; t))� � (x; t; L)℄dxdt == Z
Re[( (x; t; z)��(x; t; z))�v0(x; t; z)℄dxdtdz�� Z
Im[( (x; t; z)��(x; t; z))�v1(x; t; z)℄dxdtdz++ Z
Re[(� (x; t; z)��(x; t; z))�v0(x; t; z)℄dxdtdz�� Z
Im[(� (x; t; z)��(x; t; z))�v1(x; t; z)℄dxdtdz: (31)Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðèðàùåíèå �óíêöèîíàëà J�(v) ìîæåì íàïèñàòü â âèäå:�J�(v) = Z
Re( (x; t; z)��(x; t; z))�v0(x; t; z)dxdtdz�� Z
Im( (x; t; z)��(x; t; z))�v1(x; t; z)dxdtdz++2� Z
1Xm=0(vm(x; t; z)� !m(x; t; z))�vm(x; t; z)dxdtdz++2�Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�t � �!m(x; t; z)�t � ��vm(x; t; z)�t dxdtdz++2� Z
1Xm=0��vm(x; t; z)�z � �!m(x; t; z)�z � ��vm(x; t; z)�z dxdtdz +R(�v); (32)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
54 Èáðàãèìîâ Í.Ñ.ãäå R(�v) îïðåäåëÿåòñÿ �îðìóëîé:R(�v) = �0k� (�; T; �)k2L2(
L) + �1k� (�; �; L)k2L2(
T ) + �k�vk2H++ Z
Re(� ��)�v0dxdtdz � Z
Im(� ��)�v1dxdtdz: (33)Îòñþäà â ñèëó îöåíîê (14), (19), (3) èìååì:jR(�v)j �
5k�vk2B; (34)ãäå ïîñòîÿííàÿ
5 > 0 íå çàâèñèò îò �v:Èñïîëüçóÿ �îðìóëó (32) è íåðàâåíñòâî (34), ñ ïîìîùüþ ìåòîäèêè ðàáîòû [19℄ìîæåì óñòàíîâèòü �îðìóëó (29) äëÿ ïåðâîé âàðèàöèè �óíêöèîíàëà J�(v) íà ëþáîìýëåìåíòå v 2 V: Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. �Íàêîíåö, ñ�îðìóëèðóåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòè�èêà-öèè â âèäå âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà.Òåîðåìà 5. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Ïóñòü, êðîìå òîãî,V� � �v� 2 V : J�(v�) = J�� = infv2V J�(v)� � ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäà÷è èäåíòè�è-êàöèè (1), (6) �(8), (13). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà v� 2 V� íåîáõîäèìî âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâà: Z
Re( �(x; t; z)���(x; t; z))(v0(x; t; z)� v�0(x; t; z))dxdtdz�� Z
Im( �(x; t; z)���(x; t; z))(v1(x; t; z)� v�1(x; t; z))dxdtdz++2� Z
1Xm=0(v�m(x; t; z)� !m(x; t; z))(vm(x; t; z)� v�m(x; t; z))dxdtdz++2�Z
1Xm=0��v�m(x; t; z)�t � �!m(x; t; z)�t ���vm(x; t; z)�t � �v�m(x; t; z)�t � dxdtdz++2� Z
1Xm=0��v�m(x; t; z)�z � �!m(x; t; z)�z �����vm(x; t; z)�z � �v�m(x; t; z)�z � dxdtdz � 0; 8v 2 V; (35)ãäå �(x; t; z) � (x; t; z; v�); ��(x; t; z) � �(x; t; z; v�) � ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèÿ ïðÿ-ìîé è ñîïðÿæåííîé çàäà÷ ïðè v� 2 V:Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ �îðìóëû (29) äëÿ ïåðâîéâàðèàöèè �óíêöèîíàëà J�(v); îïðåäåëåííîãî íà ìíîæåñòâå V:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
Çàäà÷à èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êâàçèîïòèêè 55Çàêëþ÷åíèå ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:� Äîêàçàíû òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷èèäåíòè�èêàöèè (1), (6) �(8), (13) â ïðîñòðàíñòâå ÆW 2;1;12 (
):� Óñòàíîâëåíà �îðìóëà äëÿ ïåðâîé âàðèàöèè �óíêöèîíàëà J�(v):� Ñ�îðìóëèðîâàíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èäåíòè�èêàöèè (1),(6) �(8), (13) â âèäå âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà (35).Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Âîðîíöîâ Ì.À., Øìàëüãàóçåí È.È. Ïðèíöèïû àäàïòèâíîé îïòèêè. Ì.: Íàóêà, 1985. � 335 ñ.2. Øàìååâà Ò.Þ. Îá îïòèìèçàöèè â çàäà÷å î ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòîâîãî ïó÷êà â íåîäíîðîäíîéñðåäå // Âåñòí. Ìîñêîâñê. óí-òà. Ñåð. âû÷èñë. ìàòåì. è êèáåðí. � 1985, �1. � C. 12 �19.3. Ïîòàíîâ È.Ì., �àçãóëèí À.Â., Øàìååâà Ò.Þ. Àïïðîêñèìàöèÿ è ðåãóëÿðèçàöèÿ çàäà÷è îïòè-ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà // Âåñòí. Ìîñêîâñê.óí-òà. Ñåð. âû÷èñë.ìàòåì. è êèáåðí. � 1987, �1. � C. 8-18.4. Èñêåíäåðîâ À.Ä., ßãóáîâ �.ß. Âàðèàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è îá îïðåäåëåíèèêâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà // ÄÀÍ ÑÑÑ�. � 1988, ò.303, �5. � C. 1044-1048.5. Èñêåíäåðîâ À.Ä., ßãóáîâ �.ß. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåëèíåéíûìè êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèìèñèñòåìàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàí. � 1989, �12. � C. 27-38.6. ßãóáîâ �.ß., Ìóñàåâà Ì.À. Î âàðèàöèîííîì ìåòîäå ðåøåíèÿ ìåòîäå ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíîé îá-ðàòíîé çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà // Èçâ. ÀÍ Àçåðá. Ñåð. �èç-òåõí. èìàòåì. íàóê. � 1994, ò.XV, �5-6. � C. 58-61.7. ßãóáîâ �.ß., Ìóñàåâà Ì.À. Îá îäíîé çàäà÷å èäåíòè�èêàöèè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Øðå-äèíãåðà // Äè��åðåíö. óðàâíåíèÿ. � 1997, ò.33, � 12. � C. 1691-1698.8. Èñêåíäåðîâ À.Ä., ßãóáîâ �.ß. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì //Òðóäû ÈÌÌ ÀÍÀ. � 1998, ò. XVIII. � C. 75-80.9. Èñêåíäåðîâ À.Ä. Îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà â íåñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà // ñá.: ¾Ïðîáëåìû ìàòåì. ìîäåë. è îïò. óïðàâëåíèÿ¿. � Áàêó, 2001. � C. 6-36.10. Èñêåíäåðîâ À.Ä., ßãóáîâ �.ß. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå íåîãðàíè÷åííûì ïîòåíöèàëîì â ìíî-ãîìåðíîì íåëèíåéíîì íåñòàöèîíàðíîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà // Âåñòíèê Ëåíêîðàíñêîãî ãîñ.óí.-òà. � 2007. � C. 3-56.11. ßãóáîâ �.ß., Èáðàãèìîâ Í.Ñ. Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿêâàçèîïòèêè //  ñá.: ¾Ïðîáëåìû ìàòåì. ìîäåë. è îïò. óïðàâëåíèå¿. � Áàêó, 2001. � C. 49-57.12. Yildiz B., Kili
oglu O., Yagubov G. Optimal
ontrol problem for nonstationary S
hrodinger equa-tion // Numeri
al methods for partial di�erential equations. � 2009, 25. � Pp. 1195-1203.13. Ëàäûæåíñêàÿ Î.À. Êðàåâûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé �èçèêè. � Ì.: Íàóêà, 1973. � 408 ñ.14. �îõáåðã È.Í., Êðåéí Ì.�. Òåîðèÿ âîëüòåððîâûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå è ååïðèëîæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1967.15. Íèæíèê Ë.Ï. Îáðàòíàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. � Èçä-âî ¾Íàóêîâà Äóìêà¿, Êèåâ,1973. � 182 ñ.16. Èîñèäà Ê. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. � Ì.: Ìèð, 1967. � 624 ñ.17. Goebel M. On existen
e of optimal
ontrol // Math. Na
hr. � 1979, vol.93. � Pp. 67 �73.18. Ëèîíñ Æ.-Ë. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìèïðîèçâîäíûìè. � Ì.: Ìèð, 1972. � 416 ñ.19. Ìèíó Ì. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. � Ì.:Íàóêà, 1990. � 488 ñ.Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 27.10.2010¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �2' 2010
|