Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1821 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1821 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жеребко, Т.М. 2008-09-02T17:46:26Z 2008-09-02T17:46:26Z 2007 Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1821 517.538.5 A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| spellingShingle |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами Жеребко, Т.М. Математика |
| title_short |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_full |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_fullStr |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_full_unstemmed |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| title_sort |
рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебраїчними многочленами в областях з кутами |
| author |
Жеребко, Т.М. |
| author_facet |
Жеребко, Т.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by algebraic polynomials is given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1821 |
| citation_txt |
Рівномірна оцінка наближення аналітичних функцій алгебричними многочленами в областях з кутами / Т.М. Жеребко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT žerebkotm rívnomírnaocínkanabližennâanalítičnihfunkcíialgebraíčnimimnogočlenamivoblastâhzkutami |
| first_indexed |
2025-11-25T22:47:43Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:47:43Z |
| _version_ |
1850571024574185472 |
| fulltext |
УДК 517.538.5
© 2007
Т.М. Жеребко
Рiвномiрна оцiнка наближення аналiтичних функцiй
алгебраїчними многочленами в областях з кутами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
A uniform estimate for the approximation of analytic functions in domains with corners by
algebraic polynomials is given.
1. Формулювання основного результату. Нехай G ⊂ C — область з жордановою межею
∂G, яка складається з l гладких кривих Γj таких, що {zj} := Γj−1
⋂
Γj 6= ∅, j = 1, . . . , l, де
Γ0 := Γl. Позначимо αjπ, 0 < αj 6 2, кути в точках zj мiж кривими Γj−1 i Γj, якi є зовнiш-
нiми вiдносно областi G. Також позначимо через G := G
⋃
∂G замикання множини G.
Для функцiї g : G → C позначимо ‖g‖G := sup
z∈G
|g(z)| рiвномiрну норму, яка може бути як
скiнченною, так i нескiнченною. Нехай Pn — простiр алгебраїчних многочленiв степеня < n.
Нехай Φ — конформне вiдображення зовнiшностi C\G множини G в зовнiшнiсть одиничного
круга таке, що Φ′(∞) > 0. Припустимо, що iснує окiл U множини G такий, що
c 6 ϕ(z)|Φ′(z)| 6 C, z ∈ U \ G, (1)
де c = c(G) i C = C(G) — додатнi сталi, якi залежать тiльки вiд G, i
ϕ(z) :=
l∏
j=1
|z − zj |
1−1/αj , z ∈ C,
z 6= zj , якщо αj 6 1. Щоб виконувалось (1) достатньо, щоб l гладких кривих Γj, що скла-
дають межу областi G, були, скажiмо, ляпуновськi кривi або так званi кривi типу Дiнi [2].
Нехай задано l чисел 0 6 βj 6 r, j = 1, . . . , l, r ∈ N. Позначимо ~β := (β1, . . . , βl) i
ϕ~β
(z) :=
l∏
j=1
|z − zj |
βj−βj/αj , z ∈ C,
z 6= zj , якщо αj 6 1. У випадку β1 = β2 = . . . = βl = β Ф. Абдуллаєв та I.О. Шевчук [1]
отримали нерiвнiсть
‖(f − Pn)ϕβ−r‖G 6
c
nr
‖f (r)ϕβ‖G. (2)
З iншого боку, постає питання: чи вiрний цей результат для випадку, коли βj рiзнi. Скажiмо,
для 0 < αj < 1 цiкавим є випадок “великих” βj , а для 1 < αj < 2 — випадок “малих” βj .
Основним результатом роботи є
Теорема 1. Якщо f є аналiтичною в G функцiєю, то для кожного n > 2lr iснує
многочлен Pn ∈ Pn такий, що
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
6
c
nr
‖f (r)ϕ~β
‖G. (3)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Мiркуючи так само, як i в [1], теорему 1 можна узагальнити у виглядi теореми 2 i отри-
мати теорему 3, обернену до теореми 2. Позначимо α := min{1, α1, . . . , αl}.
Теорема 2. Якщо f є аналiтичною в G функцiєю, то для кожного n >
2lr
α
iснує
многочлен Pn ∈ Pn такий, що
nr
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
+ ‖P (r)
n ϕ~β
‖G 6 c‖f (r)ϕ~β
‖G. (4)
Теорема 3. Якщо f : G → C, то для кожної послiдовностi {Pn}
∞
n=1 многочленiв Pn ∈
∈ Pn має мiсце нерiвнiсть
‖f (r)ϕ~β
‖G 6 lim
n→∞
inf
n>lr/α
(
r!nr
∥∥∥∥
(f − Pn)ϕ~β
ϕr
∥∥∥∥
G
+ ‖P (r)
n ϕ~β
‖G
)
. (5)
2. Допомiжнi результати. Надалi позначатимемо через c рiзнi додатнi сталi, якi мо-
жуть залежати тiльки вiд G i r ∈ N, через C — сталi, якi можуть залежати не тiльки
вiд параметрiв G i r. Параметри, вiд яких залежать сталi C, будемо вказувати в круглих
дужках. Наприклад, C(G, r) = c. Константи c i C можуть вiдрiзнятися, навiть якщо вони
фiгурують в одному рядку.
Означення 1. Для кожної точки z ∈ C позначимо через j(z) iндекс найближчої точки
до z серед кутових точок zj , j = 1, . . . , l. Якщо iснують декiлька таких найближчих точок,
то, для визначеностi, через j(z) позначимо найменший серед них iндекс.
Враховуючи означення 1, маємо
ϕ(z) 6 c|z − zj(z)|
1−1/αj(z) 6 cϕ(z), z ∈ C, z 6= zj(z). (6)
Означення 2. Для n ∈ N i z ∈ C позначимо
ρn(z) :=
n−αj(z) , якщо |z − zj(z)| 6 n−αj(z) ,
1
n
ϕ(z), якщо |z − zj(z)| > n−αj(z) .
(7)
Нам будуть потрiбнi нижченаведенi леми.
Надалi r ∈ N, 0 6 β 6 r i функцiя f є аналiтичною в областi G. Нехай T (z0, z) є r − 1-м
многочленом Тейлора
T (z0, z) := f(z0) +
f ′(z0)
1!
(z − z0) + · · · +
f (r−1)(z0)
(r − 1)!
(z − z0)
r−1
функцiї f у точцi z0 ∈ G.
Лема 1. Якщо ‖f (r)ϕ~β
‖G = 1, то для кожного p = 0, 1, . . . , r − 1 − [βj(z)/2], z0 ∈ G
i z ∈ G має мiсце оцiнка
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6 c
|z − z0|
r−p
ϕ~β
(z0)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − zj(z0)|
)r/α
, (8)
бiльше того,
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6 c
|z − z0|
r−p
ϕ~β
(z0)
, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 13
якщо 1 < αj(z0) 6 2, крiм випадку r − p = 1 < β < 2 = αj(z). У цьому випадку маємо оцiнку
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
|z − z0|
ϕ~β
(z0)
(
1 +
|z − z0|
|z0 − zj(z0)|
)r/α
, (10)
бiльше того,
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
|z − z0|
ϕ~β
(z0)
, (11)
якщо, вiдповiдно, 1 < αj(z0) 6 2.
Зауважимо, що функцiя f може бути неперервно продовжена на замикання G множини
G рiвнiстю
f(z) = f(z0) +
z∫
z0
f ′(ζ) dζ,
де z0 ∈ G — фiксована точка. Таким чином, надалi без втрати загальностi припускаємо, що
функцiя f неперервна на G, якщо ‖f (r)ϕ~β
‖G < +∞.
З леми 1 i означення 2 негайно випливає
Лема 2. Нехай n ∈ N, z0 ∈ G, j(z0) =: j0 i ‖ϕ~β
f (r)‖G = 1. Має мiсце:
a) якщо |z0 − zj0 | > n−αj0 , то
|f(z) − T (z0, z)| 6
c
nβj(z0)
|z − z0|
r
ρ
βj(z0)
n (z0)
(
1 +
|z − z0|
ρn(z0)
)r/α
, z ∈ G, (12)
бiльше того,
|f(z) − T (z0, z)| 6
c
nβj(z0)
|z − z0|
r
ρ
βj(z0)
n (z0)
, z ∈ G, (13)
якщо 1 < αj(z0) 6 2;
б) якщо z ∈ G i |z − zj0 | 6 |z0 − zj0 | = n−αj0 , то для всiх p = 0, . . . , r − 1 − [βj(z)/2]
|f (p)(z) − T (p)(z0, z)| 6
c
nβj(z)
ρ
r−p−βj(z)
n (z0), (14)
крiм випадку r − p = 1 < βj(z) < 2 = αj(z). У цьому випадку маємо оцiнку
|f (r−1)(z) − T (r−1)(z0, z)| 6
c
2 − βj(z)
1
nβj(z)
ρ
1−βj(z)
n (z0). (15)
Надалi позначатимемо
r∗ :=
r
α
+ r, якщо
r
α
цiле число,
1 +
[
r
α
]
+ r, якщо
r
α
не є цiлим числом.
(16)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Вважатимемо, що n > r, тодi без втрати загальностi можемо припустити, що в точцi
ẑ ∈ G має мiсце рiвнiсть
f (p)(ẑ) = 0 (17)
для всiх p = 0, . . . , r − 1. Позначимо через ẑ центр найбiльшого вiдкритого кола, вписаного
в G, чи одного з них. Подiлимо G на l частин Gj , j = 1, . . . , l, таким чином. Для кожного
j = 1, . . . , l позначимо через ςj точку ςj ∈ Γj таку, що |ςj − zj | = |ςj − zj+1|. Позначимо
через γj , j = 1, . . . , l − 1, жордановi гладкi кривi з кiнцями в точках ςj i ςj+1 такi, що γj ⊂
⊂ G
⋃
{ςj}
⋃
{ςj+1}, j = 1, . . . , l−1 та γj
⋂
γi = ∅, якщо i 6= j, i = 1, . . . , l−1, j = 1, . . . , l−1. Цi
кривi дiлять дану область G на l частин Gj таких, що γj = ∂Gj+1
⋂
∂G1 6= ∅, j = 1, . . . l−1.
Буде потрiбна також допомiжна теорема 4. Нагадаємо, що ми припустили, що функцiя f
аналiтична в G, а отже, неперервна в G, якщо ‖ϕ~β
f (r)‖G < +∞.
Теорема 4. Нехай r ∈ N, 0 6 βj 6 r, де j = 1, . . . , l, ‖ϕ~β
f (r)‖G = 1, Dn(ζ, z) —
полiномiальне ядро Дзядика (див. [3, 4]), визначене в теоремi Д з [1] для m = 5r∗, i
Pn(z) =
1
2πi
∫
∂G
f(ζ)Dn(ζ, z) dζ — (18)
многочлен степеня < n. Якщо має мiсце (17), то для кожного j = 1, . . . , l i p = 0, . . . , r −
− [βj/2] − 1, крiм випадку r − p = 1 < βj < 2 = αj , маємо
|f (p)(z) − P (p)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−p−βj
n (z), z ∈ Gj , (19)
та для кожного j = 1, . . . , l i p = r, . . . , r∗
|P (p)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−p−βj
n (z), z ∈ Gj . (20)
У випадку r − p = 1 < βj < 2 = αj має мiсце нерiвнiсть
|f (r−1)(z) − P (r−1)
n (z)| 6
c
(2 − βj)nβj
ρ
1−βj
n (z), z ∈ Gj . (21)
Лема 1 i теорема 4 доводяться аналогiчно лемi 4 i теоремi 9 з [1] вiдповiдно (замiсть
оцiнок з леми 5 [1] використовуємо оцiнки з леми 2 даної роботи).
3. Доведення теореми. Для доведення основної теореми необхiднi двi леми.
Лема 3. Для кожного фiксованого j∗ ∈ {1, . . . , l}, p = 0, . . . , r∗ − 1 i будь-якого n > lr∗
iснує многочлен Qj∗,p ∈ Pn, що задовольняє:
a) Q
(p)
j∗,p(zj∗) = 1;
b) для всiх j = 1, . . . , l i q = 0, . . . , r∗ − 1, крiм (j = j∗, q = p), має мiсце
Q
(q)
j∗,p(zj) = 0;
c) для всiх q = 0, . . . , r∗ маємо
|Q
(q)
j∗,p(z)| 6
cρr∗
n (zj∗)ρ
r∗
n (z)
(|z − zj∗ | + ρn(z))2r∗−p+q
, z ∈ G.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 15
Лема 4. Нехай задано числа σj,ν такi, що
|σj,ν| 6 1, j = 1, . . . , l, ν = 0, . . . , r∗ − 1.
Тодi многочлен
Qn(z) :=
l∑
j=1
1
nβj
r∗−1∑
ν=0
σ1,νρ
r−βj−ν
n (zj)Qj,ν(z) (22)
степеня < n задовольняє для всiх q = 0, . . . , r∗
|Q(q)
n (z)| 6
c
nβj
ρ
r−βj−q
n (z), z ∈ Gj (23)
i
Q(q)
n (zj) =
1
nβj
σj,qρ
r−βj−q
n (zj), j = 1, . . . , l, q 6= r∗. (24)
Доведення теореми 1. Використовуючи леми 3, 4 та теорему 4, доводимо теорему
аналогiчно теоремi 9 зi статтi [1].
1. Abdullayev F.G., Shevchuk I.A. Uniform estimates for polynomial approximation in domains with cor-
ners // J. Approxim. Theory. – 2005. – 137. – P. 143–165.
2. Алибеков Г.А. Свойства конформного отображения на областях с углами // Вопросы теории приб-
лижений функций и ее приложение / Ин-т математики АН УССР. – Киев, 1976. – С. 4–18.
3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – Москва: Наука,
1977. – 512 с.
4. Шевчук И.А. Приближение на отрезке и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 225 с.
Надiйшло до редакцiї 18.09.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
|