Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана
Найдены минимаксные оценки функционалов от неизвестных детерминистических данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана. Знайдені мінімаксні оцінки функціоналів від невідомих детермінованих даних крайової задачі для бігармонічного рівняння з граничними умов...
Saved in:
| Published in: | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18220 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана / А.С. Перцов // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 103-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859673554275008512 |
|---|---|
| author | Перцов, А.С. |
| author_facet | Перцов, А.С. |
| citation_txt | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана / А.С. Перцов // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 103-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| description | Найдены минимаксные оценки функционалов от неизвестных детерминистических данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана.
Знайдені мінімаксні оцінки функціоналів від невідомих детермінованих даних крайової задачі для бігармонічного рівняння з граничними умовами типа Неймана.
We find minimax estimates of functionals from unknown deterministic data of the boundary value problem for biharmonic equation with Neumann type boundary conditions.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:55:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8ÌÈÍÈÌÀÊÑÍÎÅ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÍÅÈÇÂÅÑÒÍÛÕ ÄÀÍÍÛÕÊ�ÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È ÄËß ÁÈ�À�ÌÎÍÈ×ÅÑÊÎ�Î Ó�ÀÂÍÅÍÈß Ñ��ÀÍÈ×ÍÛÌÈ ÓÑËÎÂÈßÌÈ ÒÈÏÀ ÍÅÉÌÀÍÀ
Ïåðöîâ À.Ñ.×åðíîâèöêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Þ.Ôåäüêîâè÷à�àêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèóë. Êîöþáèíñêîãî, 2, ã. ×åðíîâöû, 58012, Óêðàèíàe-mail: pertsov�ukr.netAbstra
t. We �nd minimax estimates of fun
tionals from unknown deterministi
data of theboundary value problem for biharmoni
equation with Neumann type boundary
onditions.ÂâåäåíèåÇàäà÷àì ìèíèìàêñíîãî îöåíèâàíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ îáûêíîâåí-íûìè äè��åðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðèóñëîâèè èõ îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè ïîñâÿùåíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî ðàáîò (ñì., íà-ïðèìåð, [1℄).Îäíàêî, â ñèòóàöèè, êîãäà ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ íå îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî èñóùåñòâóþò ëèøü, åñëè äàííûå ýòèõ êðàåâûõ çàäà÷ óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì óñëî-âèÿì ñîâìåñòíîñòè, âîïðîñû èõ ìèíèìàêñíîãî îöåíèâàíèÿ ðàçðàáîòàíû íåäîñòàòî÷íîïîëíî (â ýòîì íàïðàâëåíèè ñì., íàïðèìåð, [3℄). Èññëåäóåìàÿ íèæå çàäà÷à ìèíèìàê-ñíîãî îöåíèâàíèÿ îòíîñèòñÿ ê îïèñàííîìó êðóãó ïðîáëåì. äàííîé ñòàòüå ïî çàøóìëåííûì íàáëþäåíèÿì ðåøåíèé è ïðè ñïåöèàëüíûõîãðàíè÷åíèÿõ íà íåèçâåñòíûå ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé òèïàÍåéìàíà, âõîäÿùèõ â ïîñòàíîâêó êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ áèãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ,à òàêæå íà øóìû â íàáëþäåíèÿõ, íàéäåíû ìèíèìàêñíûå îöåíêè �óíêöèîíàëîâ îòýòèõ ïðàâûõ ÷àñòåé.Íàõîæäåíèå ìèíèìàêñíûõ îöåíîê ñâåäåíî ê ðåøåíèþ íåêîòîðûõ ñèñòåì èíòåãðî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è äîêàçàíà èõ îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü.1. Âñïîìîãàòåëüíûå �àêòûÎáîçíà÷èì ÷åðåç H � ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàä R ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâå-äåíèåì (�; �)H è íîðìîé k � kH : ×åðåç JH 2 L (H;H 0) áóäåì îáîçíà÷àòü îïåðàòîð,íàçûâàåìûé èçîìåòðè÷íûì èçîìîð�èçìîì, äåéñòâóþùèé èç H íà åãî ñîïðÿæåííîåïðîñòðàíñòâî H 0; è îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (u; v)H = < JHu; v >H0�H 8u; v 2 H;ãäå < f; x >H0�H := f(x) äëÿ x 2 H; f 2 H 0: Ýòîò îïåðàòîð ñóùåñòâóåò â ñèëó òåîðåìû�èññà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç L2(
; H) ïðîñòðàíñòâî Áîõíåðà, ñîñòîÿùåå èç ñëó÷àéíûõ ýëå-ìåíòîâ � = �(!); îïðåäåëåííûõ íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (
;B; P )
104 Ïåðöîâ À.Ñ.ñî çíà÷åíèÿìè â H òàêèõ, ÷òîk�k2L2(
;H) = Z
k�(!)k2HdP (!) <1: (1) ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Áîõíåðà E� := R
�(!) dP (!) 2 H; íàçûâàåìûéìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì èëè ñðåäíèì ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà �(!); óäîâëåòâîðÿþ-ùèé óñëîâèþ (h; E�)H = Z
(h; �(!))H dP (!) 8h 2 H: (2)Ïðèìåíåíèå ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå � ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïðèâîäèò ê òðàäèöèîííîìóîïðåäåëåíèþ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîñêîëüêó èíòåãðàë Áîõíåðà (1) ïåðå-õîäèò â îáû÷íûé èíòåãðàë Ëåáåãà ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå dP (!):  L2(
; H) ìîæíîââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:(�; �)L2(
;H) := Z
(�(!); �(!))H dP (!) 8�; � 2 L2(
; H): (3)Ïðîñòðàíñòâî L2(
; H); îñíàùåííîå íîðìîé (1) è ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (3), ÿâ-ëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Ââåäåì òàêæå ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: x = (x1; : : : ; xn) � ïpîñòðàíñòâåííàÿ ïå-ðåìåííàÿ, ïðèíàäëåæàùàÿ îãðàíè÷åííîé îòêðûòîé îáëàñòè D � Rn ñ ëèïøèöåâîéãpàíèöåé �; dx = dx1 � � �dxn � ìåðà Ëåáåãà â Rn ; L2(D) � ïpîñòpàíñòâî �óíêöèé, ñóì-ìèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì â îáëàñòè D; äëÿ öåëîãî ÷èñëà m îáîçíà÷èì ÷åðåç Hm(D) �ñòàíäàðòíûå ïpîñòpàíñòâà Ñîáîëåâà ñ åñòåñòâåííûìè íîðìàìè.Ïóñòü ñîñòîÿíèå '(x) ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è' 2 H2(D); (4)�2'(x) = f(x) â D; (5)N' = h1; M' = h2 íà �; (6)ãäå M' = ��' + (1� �)�2'��2 ; (7)N' = � ��� (�) + (1� �) ��s ��2'�x21 �1�2 � �2'�x1�x2 (�21 � �22)� �2'�x22 �1�2� ; (8)f 2 L2(D); h1; h2 2 L2(�); 0 � � < 1; � � åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê �; âíåøíÿÿ ïî îòíî-øåíèþ ê îáëàñòè D; �i � i-ÿ êîîðäèíàòà åäèíè÷íîé íîðìàëè �; ��s = � ��x1 �2 + ��x2�1 �ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ êàñàòåëüíîé ê êðèâîé �: Ïðè ýòîì ïîä îáîáùåííûìðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ïîíèìàåòñÿ �óíêöèÿ ' 2 H2(D); äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâîèíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî ([2℄, ñòð. 435),ZD ���2v�x21 + � �2v�x22� �2'�x21 + 2(1� �) �2v�x1�x2 �2'�x1�x2 + ��2v�x22 + � �2v�x21� �2'�x22 � dx¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ äàííûõ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ : : : 105= ZD v(x)f(x) dx+ Z� vh1 d� + Z� �v�� h2 d� 8v 2 H2(D): (9)Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [2℄), äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (4) � (6)íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëèñü óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòèZD f(x) dx+ Z� h1 d� = 0; ZD x1f(x) dx+ Z� x1h1 d� + Z� �x1�� h2 d� = 0; (10)ZD x2f(x) dx+ Z� x2h1 d� + Z� �x2�� h2 d� = 0: (11)Åñëè óñëîâèÿ (10), (11) âûïîëíÿþòñÿ, òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèéäàííîé çàäà÷è, ïðè÷åì ëþáûå äâà ðåøåíèÿ îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà ïîëèíîìâèäà p(x1; x2) = a+bx1+
x2 ïî÷òè âñþäó â D: Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ýòèõ ïîëèíîìîâ÷åðåç P1:Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ìèíèìàêñíîãî îöåíèâàíèÿ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîíàáëþäåíèì âèäà y = y('; �) = C'+ � (12)íàéòè oïòèìàëüíóþ, â íåêîòîðîì ñìûñëå, îöåíêó çíà÷åíèÿ �óíêöèîíàëàl(F ) = ZD l0(x)f(x) dx+ Z� l1h1 d� + Z� l2h2 d� (13)â êëàññå ëèíåéíûõ îöåíîê dl(F ) = (y('; �); u)H0 +
; (14)ãäe '(x) � ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (4) � (6), F := (f; h1; h2) 2 L2(D)�L2(�)�L2(�);ýëåìåíò u ïðèíàäëåæèò ãèëüáåðòîâó ïðîñòðàíñòâó H0;
2 R; l0 2 L2(D); l1 2 L2(�);l2 2 L2(�) � çàäàííûå �óíêöèè, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðàâûå ÷àñòè f(x); h1; h2 óðàâ-íåíèé (5), (6) è ïîãðåøíîñòè � = �(!) â íàáëþäåíèÿõ (12), ÿâëÿþùèåñÿ ñëó÷àéíûìèýëåìåíòàìè, îïðåäåëåííûìè íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (
;B; P ) ñîçíà÷åíèÿìè â H0; íåèçâåñòíû, à èçâåñòíî ëèøü, ÷òî ýëåìåíò F := (f; h1h2) 2 G0è � 2 G1: Çäåñü C 2 L (L2(D); H0) � ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, òàêîé ÷òîåãî îãðàíè÷åíèå íà ïîäïðîñòðàíñòâî P1 èíúåêòèâíî; ÷åðåç G0 îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî�óíêöèé ~F := ( ~f; ~h1; ~h2) 2 L2(D)� L2(�)� L2(�); óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿìZD Q( ~f � f0)(x)( ~f(x)� f0(x)) dx+ Z� Q1(~h1 � h(0)1 )(~h1 � h(0)1 ) d�+ Z� Q2(~h2 � h(0)2 )(~h2 � h(0)2 ) d� � 1; (15)¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
106 Ïåðöîâ À.Ñ.è ZD ~f(x) dx+ Z� ~h1 d� = 0; ZD x1 ~f(x) dx+ Z� x1~h1 d� + Z� �x1�� ~h2 d� = 0; (16)ZD x2 ~f(x) dx+ Z� x2~h1 d� + Z� �x2�� ~h2 d� = 0; (17)à ÷åðåç G1 îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ ~� = ~�(!) 2 L2(
; H0); ñíóëåâûìè ñðåäíèìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè íåðàâåíñòâóM(Q0~�; ~�)H0 � 1; (18)ãäå Q, Q1, Q2 i Q0 � îãðàíè÷åííûå ñàìîñîïðÿæåííûå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûå îïåðàòîðû â L2(D); L2(�) è H0 ñîîòâåòñâåííî, äëÿ êîòî-ðûõ ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åííûå îáðàòíûå îïåðàòîðû Q�1; Q�11 ; Q�12 è Q�10 ;F0 := (f0; h(0)1 ; h(0)2 ) 2 L2(D) � L2(�) � L2(�) � çàäàííûå �óíêöèè, óäîâëåòâî-ðÿþùèå óñëîâèÿì (16)�(17).Îïðåäåëåíèå 1. Îöåíêó âèäà ddl(F ) = (y('; �); û)H0 +
̂ áóäåì íàçûâàòü ìèíèìàêñíîéîöåíêîé l(F ); åñëè ýëåìåíò û è ÷èñëî
̂ îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ�(u;
) := sup~F2G0;~�2G1Mjl( ~F )� dl( ~F )j2 ! infu2H0;
2C := �2;ãäe ~' � ëþáîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (4)� (6) ïðè f(x) = ~f(x); h1 = ~h1; h2 = ~h2;dl( ~F ) = (y( ~'; ~�); u)H0 +
: Âåëè÷èíó � áóäåì íàçûâàòü ïîãðåøíîñòþ ìèíèìàêñíîãîîöåíèâàíèÿ âûðàæåíèÿ (13).2. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòûÒåîðåìà 1. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ìèíèìàêñíîé îöåíêè dl(F ) çíà÷åíèÿ �óíêöèîíà-ëà l(F ) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé, îïèñûâàåìîé êðà-åâîé çàäà÷åé z(�; u) 2 H2(D); (19)�2z(x; u) = �(C�JH0u)(x) â D; (20)Nz(�; u) = 0; Mz(�; u) = 0; íà �; (21)ZD Q�1(l0(x) + z(x; u)) dx+ Z� Q�11 (l1 + z(�; u)) d� = 0; (22)ZD x1Q�1(l0(x)+z(x; u)) dx+Z� x1Q�11 (l1 + z(�; u)) d�+Z� �x1�� Q�12 �l2 + �z(�; u)�� � d� = 0;(23)ZD x2Q�1(l0(x)+z(x; u)) dx+Z� x2Q�11 (l1 + z(�; u)) d�+Z� �x2�� Q�12 �l2 + �z(�; u)�� � d� = 0:(24)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ äàííûõ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ : : : 107ñ �óíêöèåé ñòîèìîñòè âèäàI(u) = ZD Q�1(z(x; u) + l0(x))(z(x; u) + l0(x))dx + Z� Q�11 (z(�; u) + l1)(z(�; u) + l1) d�+ Z� Q�12 ��z(�; u)�� + l2���z(�; u)�� + l2� d� + (Q�10 u; u)H0 ! infu2V ; (25)ãäe1 V = fu 2 H0 : ZD (C�JH0u)(x)p0(x) dx = 0 8p0 2 P1g;C� : H 00 ! L2(a; b) � oïåðàòîð,
îïðÿæåííûé ê C; êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøå-íèåì < Cv;w >H0�H00= RD v(x)C�w(x) dx äëÿ âñåõ v 2 L2(D); w 2 H 00:Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à (19)�(24), â ñèëó óñëîâèé ñîâìåñòíî-ñòè (10)�(11), â êîòîðûõ ïîëîæåíî f(x) = �(C�JH0u)(x); h1 = 0; h2 = 0; îäíîçíà÷íîðàçðåøèìà ïðè u 2 V:Îáîçíà÷èì ÷åðåç ~'? åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (4)-(6) ïðè f(x) = ~f(x);h1 = ~h1; h2 = ~h2; îðòîãîíàëüíîå êî âñåì ïîëèíîìàì èç ìíîæåñòâà P1:Òîãäà, ïîñêîëüêó ëþáîå ðåøåíèå ~' ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~' = ~'? + '0; ãäå ~'0 2 P1; èìååìsup~F2G0;~�2G1Mjl( ~F )�dl( ~F j2 = sup~F2G0;~�2G1 sup'02P1Mjl( ~'? + '0)� \l( ~'? + '0)j2:Ó÷èòûâàÿ (12)-(14), äëÿ ëþáîãî u 2 H0 ïîëó÷èìdl( ~F ) = (y( ~'? + '0; ~�); u)H0 +
= (C( ~'? + '0); u)H0 + (~�; u)H0 +
=< C( ~'? + '0); JH0u >H0�H00 +(~�; u)H0 +
= ZD ( ~'?(x) + '0(x))(C�JH0u)(x) dx+ (~�; u)H0 +
= ZD ~'?(x)(C�JH0u)(x) dx+ ZD '0(x)(C�JH0u)(x) dx+ (~�; u)H0 +
;îòêóäà l( ~F )� dl( ~F ) = ZD l0(x) ~f(x) dx+ Z� l1~h1 d� + Z� l2~h2 d�� \l( ~'? + '0)= ZD l0(x) ~f(x) dx+ Z� l1~h1 d� + Z� l2~h2 d�� ZD ~'?(x)(C�JH0u)(x) dx� ZD '0(x)(C�JH0u)(x) dx� (~�; u)H0 �
:1Íåòðóäíî âèäåòü,÷òî V � íåïóñòîå, çàìêíóòîå, âûïóêëîå ìíîæåñòâî.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
108 Ïåðöîâ À.Ñ.Îòñþäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèå D� =Mj��M�j2 =M�2�(M�)2 ìåæäóäèñïåðñèåé D� ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � è åå ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåìM�, íàõîäèìM ���l( ~F )�dl( ~F ���2 = sup'02P1 ������ZD l0(x) ~f(x) dx+ Z� l1~h1 d� + Z� l2~h2 d�� ZD ~'?(x)(C�JH0u)(x) dx� ZD '0(x)(C�JH0u)(x) dx�
������2 +Mj(~�; u)H0j2: (26)Ïîñêîëüêó �óíêöèÿ '0(x) ïîä çíàêîì ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãîðàâåíñòâà ïðîáåãàåò âñå ïðîñòðàíñòâî P1; òî âåëè÷èíà M ���l( ~F )� dl(F )���2 áóäåò îãðà-íè÷åííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u 2 V: Ó÷èòûâàÿ òåïåðü, ÷òî �óíêöèÿ z(x; u);êîòîðàÿ îïðåäåëåíà ëèøü òîãäà, êîãäà u 2 V; óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (19)�(21),èìååì ZD ���2w(x)�x21 + ��2w(x)�x22 � �2z(x; u)�x21 + 2(1� �)�2w(x)�x1�x2 �2z(x; u)�x1�x2+��2w(x)�x22 + ��2w(x)�x21 � �2z(x; u)�x22 � dx = � ZD w(x)C�JH0u(x) dx 8w 2 H2(D): (27)Ïîëîæèâ â ïîñëåäíåì òîæäåñòâå w = ~'?; ïîëó÷èì ðàâåíñòâîZD ���2 ~'?(x)�x21 + ��2 ~'?(x)�x22 � �2z(x; u)�x21 + 2(1� �)�2 ~'?(x)�x1�x2 �2z(x; u)�x1�x2+��2 ~'?(x)�x22 + ��2 ~'?(x)�x21 � �2z(x; u)�x22 � dx = � ZD ~'?(x)C�JH0u(x) dx: (28)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó ~'? ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (4)�(6) ïðèf = ~f; h1 = ~h1; h2 = ~h2; òî äëÿ ýòîé �óíêöèè âûïîëíÿåòñÿ èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî(9), ïîëîæèâ â êîòîðîì v = z(�; u); íàõîäèìZD ���2z(x; u)�x21 + ��2z(x; u)�x22 � �2 ~'?�x21 + 2(1� �)�2z(x; u)�x1�x2 �2 ~'?�x1�x2+��2z(x; u)�x22 + ��2z(x; u)�x21 � �2 ~'?�x22 � dx = ZD z(x; u) ~f(x) dx+Z� z(�; u)~h1 d�+Z� �z(�; u)�� ~h2 d�:(29)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëåâûå ÷àñòè (28) è (29) ñîâïàäàþò, ïîëó÷àåì� ZD ~'?(x)C�JH0u(x) dx = ZD z(x; u) ~f(x) dx+ Z� z(�; u)~h1 d� + Z� �z(�; u)�� ~h2 d�:¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ äàííûõ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ : : : 109Îòñþäà, â ñèëó (26), íàõîäèìinf
2R sup~F2G0;~�2G1Mjl( ~F )� dl( ~F )j2 == inf
2R sup~F2G0 �����( ~f; z(�; u) + l0)L2(D) + (~h1; z(�; u) + l1)L2(�) + �~h2; �z(�; u)�� + l2)�L2(�) �
�����2+ sup~�2G1Mj(~�; u)H0j2: (30)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðâîãî ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè (30) ïðèìåíèì îáîáùåííîå íåðàâåíñòîÊîøè-Áóíÿêîâñêîãî è (15). Èìååìinf
2R sup~F2G0; �����( ~f; z(�; u) + l0)L2(D) + (~h1; z(�; u) + l1)L2(�) + �~h2; �z(�; u)�� + l2�L2(�) �
�����2= inf
2R sup~F2G0; �����(z(�; u)+l0; ~f�f0)L2(D)+(~h1�h(0)1 ; z(�; u) + l1)L2(�)+�~h2�h(0)2 ; �z(�; u)�� +l2�L2(�)+(z(�; u) + l0; ~f0)L2(D) + (h(0)1 ; z(�; u) + l1)L2(�) + �h(0)2 ; �z(�; u)�� + l2�L2(�) �
�����2� �(Q�1(z(�; u) + l0); z(�; u) + l0)L2(D) + (Q�11 (z(�; u) + l1); z(�; u) + l1)L2(�)+�Q�12 ��z(�; u)�� + l2� ; �z(�; u)�� + l2�L2(�))�n(Q( ~f�f (0)); ~f�f (0))L2(D)+(Q1(~h1�h(0)1 ); ~h1�h(0)1 )L2(�)+(Q2(~h2�h(0)2 ); ~h2�h(0)2 )L2(�)o� (Q�1(z(�; u) + l0); z(�; u) + l0)L2(D) + (Q�11 (z(�; u) + l1; z(�; u) + l1)L2(�)+�Q�12 ��z(�; u)�� + l2� ; �z(�; u)�� + l2�L2(�) : (31)Íåïîñðåäñâåííîé ïîäñòàíîâêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî íåðàâåíñòâî (31) îáðàùàåòñÿ â ðà-âåíñòâî íà ýëåìåíòå ~F (0) := ( ~f (0); ~h(0)1 ; ~h(0)2 ) 2 G0; ãäå~f (0)(x) := 1dQ�1(z(x; u)) + l0) + f0(x);~h(0)1 := 1dQ�11 (z(�; u) + l1) + h(0)1 ; ~h(0)2 := 1dQ�12 ��z(�; u)�� + l2� + h(0)2 ;d = n(Q�1(z(�; u) + l0); z(�; u) + l0)L2(D) + (Q�11 (z(�; u) + l1); z(�; u) + l1)L2(�)+�Q�12 ��z(�; u)�� + l2� ; �z(�; u)�� + l2�L2(�)o1=2¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
110 Ïåðöîâ À.Ñ.(òîò �àêò, ÷òî ýëåìåíò ~F (0) 2 G0 ñëåäóåò, â ñèëó ðàâåíñòâ (22) � (24)). Ïîýòîìóinf
2R sup~F2G0; �����( ~f; z(�; u) + l0)L2(D) + (~h1; z(�; u) + l1)L2(�) + �~h2; �z(�; u)�� + l2�L2(�) �
�����2= ZD Q�1(z(x; u) + l0(x))(z(x; u) + l0(x))dx + Z� Q�11 (z(�; u) + l1)(z(�; u) + l2) d�+ Z� Q�12 ��z(�; u)�� + l2���z(�; u)�� + l2� d� (32)ïðè
= ZD (l0 + z(x; u))f (0)(x)dx+ Z� (l1 + z(�; u))h(0)1 d� + Z� �l2 + �z(�; u)�� � h(0)2 d�:Àíàëîãè÷íî, âû÷èñëÿÿ âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (30), ïîëó÷èìsup~�2G1 Mj(~�; u)H0j2 = (Q�10 u; u)H0: Îòñþäà è èç (30) è (18) ïðèäåì ê óòâåðæäåíèþòåîðåìû. ��åøàÿ çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (19) � (25), ïðèäåì ê ñëåäóþùåìó ðå-çóëüòàòó.Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà âûðàæåíèÿ l('); êî-òîðàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåddl(') = (y('; �); û)H0 +
̂; (33)ãäêu = Q0Cp;
̂ = ZD (l0(x)+ẑ(x))f (0)(x) dx+Z� (l1+ẑ)h(0)1 d�+Z� �l2 + �ẑ��� h(0)2 d�; (34)à �óíêöèè p 2 H2(D) è ẑ 2 H2(D) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû èíòåãðî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé�2ẑ(x) = �C�JH0Q0Cp(x) â D; (35)Nẑ = 0; Mẑ = 0 íà �; (36)ZD Q�1(l0(x) + ẑ(x)) dx+ Z� Q�11 (l1 + ẑ) d� = 0; (37)ZD x1Q�1(l0 + ẑ(x)) dx+ Z� x1Q�11 (l1 + ẑ)) d� + Z� �x1�� Q�12 l2 + �̂̂z��! d� = 0; (38)ZD x2Q�1(l0(x) + ẑ(x)) dx+ Z� x2Q�11 (l1 + ẑ) d� + Z� �x2�� Q�12 �l2 + �ẑ��� d� = 0; (39)�2p(x) = Q�1(l0(x) + ẑ(x)) â D; (40)¾Òàâðè÷åñêèé âåñòíèê èí�îðìàòèêè è ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
Ìèíèìàêñíîå îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ äàííûõ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ : : : 111Np = Q�11 (l1 + ẑ); Mp = Q�12 �l2 + �ẑ��� íà �; (41)ZD (C�JH0Q0Cp)(x) dx = 0; ZD (C�JH0Q0Cp)(x)x1 dx = 0; (42)ZD (C�JH0Q0Cp)(x)x2 dx = 0: (43)Çàäà÷à (35)�(43) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà. Ïîãðåøíîñòü îöåíèâàíèÿ � îïðåäåëÿåòñÿ�îðìóëîé � = l( ^̂P )1=2; ãäå ^̂P = �Q�1(l0 + z); Q�11 (l1 + z); Q�11 �l2 + �ẑ�� �� :Àëüòåðíàòèâíîå ïpåäñòàâëåíèå äëÿ ìèíèìàêñíîé îöåíêè ÷åðåç ðåøåíèå ñèñòåìûèíòåãðî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà, íå çàâèñÿùåå îò êîíêðåò-íîãî âèäà �óíêöèîíàëà (13), ïîëó÷åíî â ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 3. Ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà âûðàæåíèÿ (13) èìååò âèä ddl(F ) = l(F̂ ) ãäeF̂ = (f̂ ; ĥ;ĥ2); f̂(x) = Q�1p̂(x) + f (0)(x); ĥ1 = Q�11 p̂+ h(0)1 ; ĥ2 = Q�12 p̂+ h(0)2 ; a �óíêöèÿp̂ 2 L2(
; H2(D)) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìû ñòîõàñòè÷åñêèõèíòåãðî-äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:�2p̂(x;!) = C�JH0Q0(y('; �)� C'̂)(x;!) â D; (44)Np̂(�;!) = 0; Mp̂(�;!) = 0 íà �; (45)ZD Q�1p̂(x;!) dx+ Z� Q�11 p̂(�;!) d� = 0; (46)ZD x1Q�1p̂(x;!) dx+ Z� x1Q�11 p̂(�;!) d�+ Z� �x1�� Q�12 �p̂(�;!)�� d� = 0; (47)ZD x2Q�1p̂(x;!) dx+ Z� x2Q�11 p̂(�;!) d�+ Z� �x2�� Q�12 �p̂(�;!)�� d� = 0; (48)�2'̂(x;!) = Q�1p̂(x;!) + f0(x) â D; (49)N'̂(�;!) = Q�11 p̂(�;!) + h(0)1 ; M'̂ = Q�12 �p̂(�;!)�� + h(0)2 íà �; (50)ZD C�JH0Q0(y('; �)�C'̂)(x;!) dx = 0; ZD x1C�JH0Q0(y('; �)�C'̂)(x;!) dx = 0; (51)ZD x2C�JH0Q0(y('; �)� C'̂)(x;!) dx = 0; (52)ãäå '̂ 2 L2(
; H2(D)); è ðàâåíñòâà (44) � (52) âûïîëíÿþòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.Çàäà÷à (44)�(52) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.¾Òàâðiéñüêèé âiñíèê ií�îðìàòèêè òà ìàòåìàòèêè¿, �1' 2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18220 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1729-3901 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:55:52Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Перцов, А.С. 2011-03-18T21:08:50Z 2011-03-18T21:08:50Z 2009 Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана / А.С. Перцов // Таврический вестник информатики и математики. — 2009. — № 1. — С. 103-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1729-3901 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18220 519.8 Найдены минимаксные оценки функционалов от неизвестных детерминистических данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана. Знайдені мінімаксні оцінки функціоналів від невідомих детермінованих даних крайової задачі для бігармонічного рівняння з граничними умовами типа Неймана. We find minimax estimates of functionals from unknown deterministic data of the boundary value problem for biharmonic equation with Neumann type boundary conditions. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Кримський науковий центр НАН України і МОН України Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана Article published earlier |
| spellingShingle | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана Перцов, А.С. |
| title | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана |
| title_full | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана |
| title_fullStr | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана |
| title_full_unstemmed | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана |
| title_short | Минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа Неймана |
| title_sort | минимаксное оценивание неизвестных данных краевой задачи для бигармонического уравнения с граничными условиями типа неймана |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18220 |
| work_keys_str_mv | AT percovas minimaksnoeocenivanieneizvestnyhdannyhkraevoizadačidlâbigarmoničeskogouravneniâsgraničnymiusloviâmitipaneimana |