Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях
The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859618461139861504 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception.
|
| first_indexed | 2025-11-28T22:28:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.3(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Аргументированная детализация новой концепции
о переходных процессах в электрических цепях
The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL
circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The
problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new
conception.
При исследовании переходных процессов в электрических цепях наблюдается некоторое не-
соответствие между экспериментальными и теоретическими результатами. Реальный (экс-
периментальный) переходный процесс, например, электрического тока i в RL электроце-
пи, где R, L — резистор и индуктивность соответственно, осциллографируется на экране
осциллографа в виде кривой 1, изображенной на рис. 1, а, а выведенный теоретически
(классическим или операционным методом) переходный процесс тока в той же электроце-
пи изображается кривой 2 (рис. 1, б ). В этих случаях входное постоянное напряжение Uвх
включалось в цепь скачком через ключ (механический или электронный (полупроводнико-
вый)), т. е. после включения
Uвх = E · 1(t),
где
1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
—
единичная функция; E — постоянная величина; t — время.
Как видно из рис. 1, разница в кривых 1 и 2 заключается в участке ∆t, являющемся
зоной медленного нарастания тока i в начале переходного процесса. Такой участок ∆t на-
блюдается в ряде работ, например, в [1]. Возникает вопрос — почему? Ответ может быть
следующий. На интервале ∆t входное напряжение при включении в цепь встречает реально
сопротивление большее, чем R, учитываемое в нахождении тока i по существующей теории.
Причем это большое сопротивление, как видно из рис. 1, а, экспоненциально исчезает и пос-
ле интервала ∆t остается в цепи сопротивление R. Из этого факта напрашивается вывод:
либо сопротивление в цепи меняется при включении Uвх = E ·1(t) по закону R+ z0e
−αt, где
α — коэффициент затухания, либо входное напряжение Uвх = E · 1(t) имеет в себе состав-
ляющую Ue−αt cos ωt, которая обусловливает появления в цепи z0e
−αt в виде реактивного
сопротивления e−αtωL, где ω — круговая частота. Появляется еще один вопрос — каким
образом возникают эти затухающие компоненты? Ответ можно представить, опираясь на
следующие теоретические и экспериментальные результаты исследований.
Представим, что на вход RL цепи одновременно подается полигармоническое напряже-
ние Uвх =
n
∑
k=1
Uak sin ωkt. В этом случае дифференциальное уравнение RL цепи имеет вид
n
∑
k=1
Uak sinωkt = Ri + L
di
dt
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 81
Рис. 1 Рис. 2
Считаем, что RL цепь является линейной. Тогда i =
n
∑
k=1
ik, где ik — ток k-й гармоники,
определяемый из уравнения
Uak sin ωkt = Rik + L
dik
dt
. (1)
В результате решения (1) классическим методом получим [2]
ik =
Uak
√
R2 + (ωkL)2
[sin(ωkt − ϕk) + (sin ϕk)e
−δt], (2)
где ϕk = arctg
ωkL
R
; δ =
R
L
— коэффициент затухания и общий ток
i =
n
∑
k=1
Uak
√
R2 + (ωkL)2
[sin(ωkt − ϕk) + e−δt sin ϕk]. (3)
Как видно из (2), токи ik, k = 1, n, обратно пропорциональны zk =
√
R2 + (ωkL)2,
а это значит, с учетом (3), ток i, в принципе, обратно пропорционален общему полному
сопротивлению цепи
z =
n
∑
k=1
Uak sin ωkt
n
∑
k=1
Uak[sin(ωkt − ϕk) + e−δt · sin ϕk]
√
R2 + (ωkL)2
,
или при Ua1 = Ua2 = · · · = Uan = Ua
z =
n
∑
k=1
sin ωkt
n
∑
k=1
sin(ωkt − ϕk) + e−δt · sinϕk
√
R2 + (ωkL)2
. (4)
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Из (4) следует, что при n = 1
z1 =
sin ω1t
sin(ω1t − ϕ1)
√
R2 + (ω1L)2. (5)
Сравнивая z из (4) и z1 из (5), видим, что z ≫ z1, т. е. при полигармоническом вхо-
дном напряжении в RL цепи полное сопротивление увеличивается по сравнению с сопро-
тивлением RL цепи при включении моногармонического напряжения. Этот вывод приводит
к мысли, что в реальном переходном процессе в электроцепях с реактивными элементами,
в том числе и в RL цепи, временной интервал ∆t медленно нарастающего тока i как-то свя-
зан с появлением во входном напряжении Uвх = E ·1(t) экспоненциально затухающего ряда
гармоник, например, в виде e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. Многократный экспериментальный анализ
на анализаторе спектра фирмы “Брюль и Къер” скачкообразных постоянных напряжений
вида E · 1(t) и переменных вида Ua cos(ωt±ϕ) при ϕ 6= 0 показал на осциллограммах нали-
чие экспоненциально затухающих спектров гармоник, соответствующих переднему фронту
входного напряжения (рис. 2, а) и заднему фронту (рис. 2, б ).
Для переменного входного напряжения при ϕ 6= 0 возникает ряд дополнительных гармо-
ник, соответствующих переднему фронту. При ϕ = 0 дополнительных гармоник на анали-
заторе не было видно. Удостоверившись в результате эксперимента, автор решил теорети-
чески обосновать факт разложения E ·1(t) на определенные составляющие, в том числе и на
ряд экспоненциально затухающих гармоник. Известно [1–4], что единичная функция 1(t), ее
производная d1(t)/dt = δ(t), функции прямоугольной и другой формы могут быть разложе-
ны в соответствующий гармонический ряд
n
∑
k=1
Uak sin ωkt, где Uak ≈ Ua1/(πωk), т. е. литера-
турные источники [1, 2, 4, 5] подтверждают возможность представления E ·1(t) в виде ряда
гармоник. Эвритически, исходя из экспериментально-теоретического анализа и убеждения
в возможности разложения E ·1(t) на составляющие, и с учетом увеличения полного сопро-
тивления RL цепи при входном полигармоническом напряжении, автор представил E · 1(t)
и Ua sin(ωt + ϕ) при |ϕ| > 0 в следующих видах:
Uвх = E · 1(t) = E(1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (6)
Uвх = Ua sin(ωt + ϕ) = Ua(1 − e−αt) sin(ωt + ϕ) + e−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (7)
где для (6)
n
∑
k=1
Uak = E, для (7)
n
∑
k=1
Uak = Ua, Uak = Ua1/(πωk), α — коэффициент затухания.
Проверим правильность такого разложения по двум точкам t = 0 и t = ∞. Для (6)
при t = 0 Uвх = E · 1(t), при t = ∞ Uвх = E · 1(t). Для (7) при t = 0 Uвх = Ua sinϕ, при
t = ∞ Uвх = Ua sin(ωt + ϕ). Данная проверка подтверждает правомочность разложений (6)
и (7). Далее обоснуем эти разложения математически. Помощью в объяснении являются
рис. 3, а, б, в, г, д.
На рис. 3, а функция f1 представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой E
и длительностью τ , а f2 = E · 1(t − τ).
На рис. 3, б f11 = Ee−αt, f12 = E(1 − α−αt), t = 0 ÷ τ при t > τ f12 = 0, f11 ≈ 0,
причем f11 + f12 = f1 = E.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 83
Рис. 3
На рис. 3, в показано сложение функций f12 и f2. В результате имеем f12 + f2 = E(1 −
− e−αt).
На рис. 3, г осталась функция f11 = Ee−αt, которую представим в виде f11 = Ee−αt =
= e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, где
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = f1, Uak = Ua1/(πωk), т. е. функция f11 заменена
эквиваелнтным экспоненциально затухающим рядом гармоник. Его спектр представлен на
рис. 3, д. В каждый момент времени, вплоть до затухания f1, этот ряд гармоник присутству-
ет во входном напряжении Uвх электроцепи. Такое обоснование отражает справедливость
разложения (6). В разложении (7) берется в качестве гармонического ряда функция
Ua1(t)e
−αt sin ϕ = e−αt sinϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, Ua =
n
∑
k=1
Uak; Uak =
Ua1
πωk
.
Перейдем к определению в RL цепи функций тока i при включении цепи на напряже-
ние (6) и (7). В обоих случаях дифференциальное уравнение этой цепи будет иметь вид
Uвх = Ri + Ldi/dt. Будем представлять решение последовательно. Вначале для Uвх = (6),
а затем Uвх = (7). При включении (6) в RL цепь процесс описывается системой уравнений
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
E = Ri1 + L
di1
dt
,
−Ee−αt = Ri2 + L
di2
dt
,
e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri3 + L
di3
dt
.
(8)
Так как RL — цепь линейная, то общий ток i в этой цепи при включении ее на напря-
жение (6) равен сумме всех токов, т. е. i = i1 + i2 + i3. Ток i3 =
n
∑
k=1
ik, где ik — ток в RL цепи
при действии напряжения e−αtUak cos ωkt, k = 1, n. В результате решения (8) получили [5]
i1 =
E
R
(1 − e−δt), (9)
i2 =
E
R − Lα
(e−δt − e−αt), (10)
ik =
−Uak
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (11)
Общий ток i в RL цепи с учетом (9), (10), (11) запишется в виде
i(t) =
E
R
(1 − e−δt) +
E
R − αL
(e−δt − e−αt) −
n
∑
k=1
Uak
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
;
δ =
R
L
; α ≫ δ.
(12)
Проверим справедливость (12). При t = 0 i(0) = 0, при t = ∞ i(∞) = i = E/R. Таким
образом, считаем, что (12) справедлива.
Количественный расчет по формуле (12) удовлетворяет по форме функцию, изобра-
женную на рис. 1, а.
Далее перейдем к определению тока i в RL цепи при подключении ее к напряжению,
описываемому выражением (7). При подключении RL цепи на напряжение (7) дифферен-
циальное уравнение цепи разбивается на систему уравнений
Ua sin(ωt + ϕ) = Ri4 + L
di4
dt
,
−Uae
−αt sin(ωt + ϕ) = Ri5 + L
di5
dt
,
e−αt sinϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri6 + L
di6
dt
.
(13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 85
Из (13) видно, что общий ток i в RL цепи в этом случае i = i4 + i5 + i6, а ток i6, в свою
очередь, определяется как i6 =
n
∑
k=1
i6k, где i6k находится в результате решения уравнения
e−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri6 + L
di6
dt
, k = 1, n. (14)
В результате решения (13), (14) получим [5]
i4 =
Ua
√
R2 + (ωL)2
[sin(ωt + Ψ) − e−δt sinΨ], (15)
где Ψ = ϕ − ϕL, ϕL = arctg
ωL
R
;
i5 =
−Ua
(R − αL)2 + (ωL)2
×
× {[(αL−R) sin ϕ+ωL cos ϕ]e−δt + e−αt[(R−αL) sin(ωt+ϕ)−ωL cos(ωt+ϕ)]}, (16)
i6k =
−Uak sin ϕ
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (17)
Общий ток i = i4 + i5 + i6 с учетом (15), (16), (17) определяется выражением
i =
Ua
√
R2 + (ωL)2
[sin(ωt + Ψ) − e−δt sin Ψ] −
−
−Ua
(R − αL)2 + (ωL)2
{[(αL − R) sin ϕ + ωL cos ϕ]e−δt +
+ e−αt[(R−αL) sin(ωt + ϕ)−ωL cos(ωt + ϕ)]}−sin ϕ
n
∑
k=1
Uak
(R−αL)2+(ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (18)
Проверим справедливость (18).
При t = 0 i(0) = 0,
при t = ∞ i(∞) =
Ua
√
R2 + (ωL)2
sin(ωt + ϕ).
Данная проверка подтверждает справедливость формулы (18).
График тока i в цепи RL при подключении ее на напряжение Ua sin(ωt + ϕ) в соответ-
ствии с формулой (18) изображен на рис. 4, где четко виден интервал медленного нараста-
ния тока i. Необходимо подчеркнуть, что коэффициент затухания α значительно больше
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Рис. 4
коэффициента затухания δ. Время ∆t медленно нарастающего участка равно примерно
3/α. При α = ∞ формула (6) = E · 1(t), а (7) = Ua sin[ωt + ϕ]. Соответственно переход-
ный процесс тока i в RL цепи запишется следующим выражениями. Для цепи с входным
E ·1(t) i = (E/R)(1− e−δt), а для цепи с Uвх = Ua sin[ωt+ϕ] i = (Ua/
√
R2 + (ωL)2)[sin(ωt+
+ Ψ) − e−δt sin Ψ], т. е. в этом случае переходный процесс i(t) в RL цепи математически
выражается соотношениями, выведенными на основании существующей теории, но здесь
∆t = (3 ÷ 4)/α = 0. Заметим, что для RC цепей были определены напряжения на емкости
при подключении цепи на напряжение (6) и (7). Результаты сходные с результатами для
RL цепи, но в них вместо тока i фигурирует напряжение U на емкости C.
Таким образом, проведенные теоретико-экспериментальные исследования переходных
процессов электроцепей с реактивными элементами (L,C) с учетом реальных условий яви-
лись основанием для формулирования новой концепции о переходных процессах в электро-
цепях на основе представления скачкообразных входных напряжений постоянного и пере-
менного токов в виде составляющих, представленных в выражениях (6) и (7). Поводом
к обоснованию новой концепции послужила выявленная автором автоматическая реструк-
туризация электрических цепей при полигармонических входных сигналах [6]. Данная ра-
бота является существенным развитием работ [7–9].
1. Андре Анго. Математика для электрорадиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
3. Белецкий А.Ф. Основы теории линейных электрических цепей. – Москва: Связь, 1967. – 608 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 736 с.
5. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
6. Божко А. Е. Об автоматической реструктуризации электроцепей с реактивными элементами при
полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
7. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Там же. – 2003. – № 12. –
С. 72–75.
8. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там же. – 2004. –
№ 9. – С. 83–87.
9. Божко А. Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях // Там же. – 2005. –
№ 4. – С. 81–86.
Поступило в редакцию 07.11.2005Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1825 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T22:28:52Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2008-09-02T17:48:37Z 2008-09-02T17:48:37Z 2007 Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 621.3(0758) The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях Article published earlier |
| spellingShingle | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_full | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_fullStr | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_full_unstemmed | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_short | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_sort | аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae argumentirovannaâdetalizaciânovoikoncepciioperehodnyhprocessahvélektričeskihcepâh |