Диагонализация линейных автономных динамических систем
A system of linear differential equations with constant coefficients is transformed to the linear-diagonal form. Explicit formulas of a nonlinear transformation of the Jordan normal form for the linear differential system to a linear-diagonal one are obtained. The case where all characteristic numbe...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1843 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Диагонализация линейных автономных динамических систем / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 7–11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859987256131977216 |
|---|---|
| author | Ковалев, А.М. |
| author_facet | Ковалев, А.М. |
| citation_txt | Диагонализация линейных автономных динамических систем / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 7–11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A system of linear differential equations with constant coefficients is transformed to the linear-diagonal form. Explicit formulas of a nonlinear transformation of the Jordan normal form for the linear differential system to a linear-diagonal one are obtained. The case where all characteristic numbers of the system are equal to zero is considered separately. The integrals of linear autonomous dynamical systems are constructed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:29:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев
Диагонализация линейных автономных динамических
систем
A system of linear differential equations with constant coefficients is transformed to the linear-
diagonal form. Explicit formulas of a nonlinear transformation of the Jordan normal form
for the linear differential system to a linear-diagonal one are obtained. The case where all
characteristic numbers of the system are equal to zero is considered separately. The integrals
of linear autonomous dynamical systems are constructed.
Задача преобразования системы дифференциальных уравнений с помощью различного ро-
да замен координат поставлена давно, и ее исследование продолжается и в настоящее вре-
мя. Основная цель таких преобразований состоит в упрощении правых частей уравнений.
Наибольшее возможное упрощение автономных систем дифференциальных уравнений со-
стоит в обращении правых частей (n− 1)-го уравнения в ноль, а в последнем уравнении —
в единицу. Этого можно достичь, если в качестве (n − 1)-й переменной принять n − 1 ин-
теграл, а оставшуюся переменную принять в качестве независимой переменной — времени.
Следующей по простоте является линейно-диагональная форма ẋi = λixi (i = 1, . . . , n).
Помимо простоты ее достоинством является выявление инвариантных многообразий xi = 0
(поскольку эти дифференциальные уравнения являются уравнениями Леви-Чивита [1] ин-
вариантных многообразий). Кроме того, достаточно просто находится и полное семейство
интегралов [2]. Эти два свойства выделяют линейно-диагональную форму как наиболее
предпочтительную из существующего множества нормальных форм дифференциальных
уравнений. Наиболее полно вопросы преобразования изучены для линейных систем диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При ограничении линейными
преобразованиями переменных построена жорданова нормальная форма [3], являющаяся
линейной блочно-диагональной формой.
В настоящей работе с помощью нелинейного преобразования построена линейно-диаго-
нальная форма линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами. Получены явные формулы преобразования жордановых клеток к диагональному
виду, с помощью которых и строится общее преобразование линейной системы к диагональ-
ному виду в случае, когда среди характеристических чисел есть хотя бы одно ненулевое.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 7
Случай, когда все характеристические числа равны нулю, рассмотрен отдельно. Построе-
ны интегралы линейных систем.
1. Диагонализация жордановых клеток. Исследуется система линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ẋ = Ax, (1)
где x ∈ R
n — фазовый вектор, время t ∈ T ⊂ (−∞,∞), точка означает дифференцирование
по времени t, A — n × n-матрица с постоянными элементами.
С помощью невырожденного линейного преобразования x = Ly система (1) может быть
приведена к виду [3]
ẏ = Jy, (2)
где J — жорданова матрица. При этом действительным характеристическим числам λ
матрицы A соответствует обычная жорданова клетка Jλ, а паре комплексно-сопряженных
собственных чисел λ = α ±
√
−1β соответствует жорданова клетка [4] Jα:
Jλ =
λ 0 . . . 0 0
1 λ . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 λ
, Jα =
α −β 0 0 . . . 0 0
β α 0 0 . . . 0 0
1 0 α −β . . . 0 0
0 1 β α . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . α −β
0 0 0 0 . . . β α
. (3)
Система (2) называется жордановой нормальной формой системы (1) и является блоч-
но-диагональной формой, поскольку наряду с диагональной частью в ней присутствуют
матричные блоки, соответствующие жордановым клеткам.
Для удобства изложения переменные системы (2), соответствующие действительным
собственным числам, будем обозначать через yi. Переменные, соответствующие комплекс-
но-сопряженным собственным числам α±
√
−1β, обозначим через uj , vj таким образом, что
диагональному блоку системы (2) соответствует система u̇j = αuj − βvj , v̇j = βuj + αvj ,
а жорданова клетка Jα имеет вид (3). Преобразованную систему, имеющую только такие
блоки второго порядка наряду с диагональными блоками ẏi = λyi, назовем линейно-диаго-
нальной, потому что в комплексифицированной форме [5] она будет иметь диагональный
вид.
Следующие леммы дают преобразование систем, соответствующих жордановым клет-
кам Jλ, Jα, к диагональному виду для переменных zi, ξk, ηk.
Лемма 1. Системы, соответствующие жордановым клеткам Jλ (λ 6= 0), Jα (β 6= 0),
приводятся к диагональному виду преобразованиями
zi =
i−1
∑
s=0
(−1)s
s!
(
ln |y1|
λ
)s
yi−s, i = 1, . . . , nλ, (4)
ξk =
k−1
∑
s=0
Φs(u1, v1)
uk−s
s!
, ηk =
k−1
∑
s=0
Φs(u1, v1)
vk−s
s!
, (5)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Φ(u1, v1) =
1
β
arcsin
u1
√
u2
1
+ v2
1
, k = 1, . . . , nα,
где nλ, 2nα — размеры соответствующих жордановых клеток Jλ, Jα.
В случае α 6= 0 система, соответствующая жордановой клетке Jα, может быть приведена
к диагональному виду с использованием логарифмических функций.
Лемма 2. Система, соответствующая жордановой клетке Jα (α 6= 0), приводится
к диагональному виду преобразованием
ξk =
k−1
∑
s=0
(−1)s
s!
(
ln(u2
1
+ v2
1
)
2α
)s
uk−s,
ηk =
k−1
∑
s=0
(−1)s
s!
(
ln(u2
1
+ v2
1
)
2α
)s
vk−s, k = 1, . . . , nα,
(6)
где 2nα — размер жордановой клетки.
В отличие от рассмотренных случаев система, соответствующая жордановой клетке J0
для нулевого характеристического числа, не приводится к диагональному виду.
Лемма 3. Система, соответствующая жордановой клетке J0 для нулевого характе-
ристического числа, преобразованием
z1 = y1, z2 = y2, zi =
i−1
∑
s=0
(−1)s
s!
(
y2
y1
)s
yi−s, i = 3, . . . , n0, (7)
где n0 — размер жордановой клетки, приводится к виду
żj = 0 (j = 1, 3, . . . , n0), ż2 = z1.
Справедливость лемм 1–3 устанавливается непосредственно с использованием фор-
мул (4)–(7).
2. Диагонализация линейных систем. Леммы 1–3 дают возможность рассмотреть
вопрос диагонализации системы (1) в общем случае. Следующие теоремы решают задачу
о преобразовании жордановой нормальной формы системы дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами к линейно-диагональной форме.
Теорема 1. Система (2) с помощью нелинейного преобразования приводится к диаго-
нальному виду, если среди ее характеристических чисел имеется хотя бы одно ненулевое
характеристическое число. При этом переменные, соответствующие диагональному бло-
ку, остаются без изменения, переменные, соответствующие жордановым клеткам для
λ 6= 0, преобразуются по формулам (4)–(6) в зависимости от вида характеристического
числа. Переменные, соответствующие жордановой клетке для λ = 0, в зависимости от
вида ненулевого характеристического числа преобразуются по формулам
zi =
i−1
∑
s=0
(−1)s
s!
(
ln |y|
λ
)s
yi−s, i = 1, . . . , n0, (8)
если ẏ = λy (λ 6= 0);
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 9
zi =
i−1
∑
s=0
(−1)s
s!
Φs(x, y)yi−s (i = 1, . . . , n0),
Φ(x, y) =
1
β
arcsin
y
√
x2 + y2
,
(9)
если ẋ = αx − βy, ẏ = βx + αy (β 6= 0), здесь n0 — размер жордановой клетки J0.
Доказательство. Диагональный вид преобразованной системы следует из лемм 1, 2
для ненулевых характеристических чисел и из того, что жорданова клетка, соответству-
ющая нулевому характеристическому числу, преобразуется в нулевую матрицу по форму-
лам (8), (9), что устанавливается непосредственной проверкой.
Случай, когда все характеристические числа нулевые, рассматривается с помощью лем-
мы 3. Если элементарные делители простые, то матрица J является нулевой и, значит, имеет
диагональный вид. Когда элементарные делители непростые, то, как следует из леммы 3,
система не приводится к диагональному виду. Выделим этот результат отдельно.
Теорема 2. Пусть все характеристические числа матрицы A являются нулевыми.
Тогда система (1) приводится к виду żi = 0 (i = 1, . . . , n) в случае простых элементарных
делителей и к виду żi = 0 (i = 1, . . . , n − 1), żn = z1 в случае непростых элементарных
делителей.
Замечание 1. В случае, когда все характеристические числа нулевые и элементарные
делители непростые, система (1) хотя и не приводится к диагональному виду, однако при-
водится к простейшему виду, поскольку первые n − 1 переменных являются интегралами,
а переход к новому времени τ осуществляется по формуле dτ = z1dt.
Замечание 2. В случае, когда все характеристические числа нулевые и элементарные
делители просты, система имеет диагональный вид, однако она “мертва”, поскольку все ее
состояния являются положениями покоя.
Замечание 3. В случае, когда все характеристические числа являются чисто мни-
мыми, можно от переменных ξi, ηi перейти к полярным координатам ρi, ϕi, которые бу-
дут соответствовать переменным действие-угол, широко применяемым в гамильтоновой
механике.
3. Интегралы линейных систем. Линейно-диагональная форма существенно упро-
щает отыскание интегралов системы (1). В зависимости от типа характеристических чисел
интегралы бывают степенными, эллиптическими, спиральными [2] и более общей структу-
ры. Построим интегралы для линейно-диагональной системы.
1. Степенные интегралы (соответствуют действительным характеристическим
числам)
Jij = z
pi
i z
pj
j ,
где żi = λizi, числа pi, pj удовлетворяют уравнению piλi + pjλj = 0.
2. Эллиптические интегралы (соответствуют чисто мнимым характеристическим
числам)
Ji = u2
i + v2
i ,
где u̇i = −βvi, v̇i = βui.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
3. Спиральные интегралы (соответствуют комплексно-сопряженным характеристичес-
ким числам)
Jk = βk ln
√
u2
k + v2
k + αk arcsin
uk
√
u2
k + v2
k
,
где u̇k = αkuk − βkvk, v̇k = βkuk + αkvk.
4. Перекрестные интегралы (соответствуют характеристическим числам различного ти-
па). Приведем, для примера, интеграл, соответствующий действительному и комплексному
характеристическим числам
Jik = (u2
k + v2
k)z
−2αk/λi
i ,
где żi = λizi, u̇k = αkuk − βkvk, v̇k = βkuk + αkvk.
Замечание 4. Для системы (1) в комплексифицированной форме, приведенной к диа-
гональному виду, все интегралы будут степенными Jij = z
pi
i z
pj
j , где żi = λizi, числа pi, pj
удовлетворяют уравнению piλi + pjλj = 0 и, вместе с числами λi, могут быть комплекс-
ными. Достигаемые при этом простота и однообразие влекут за собой потерю в описании
качественных свойств интегралов, проявляющихся при их записи в вещественных перемен-
ных: во всех четырех выделенных случаях качественный характер интегралов существенно
различен.
Замечание 5. Выбирая переменные преобразованной системы, соответствующие различ-
ным характеристическим числам, можно получить полный набор n − 1 независимых ин-
тегралов. При этом при построении интегралов могут быть учтены особенности системы
и потребности проводимого исследования.
Замечание 6. Система (1) может быть приведена к простейшей форме путем выбора
построенных независимых интегралов в качестве новых переменных и неголономной замены
времени.
1. Levi-Civita T., Amaldi U. Lezioni di Meccanica Razional. Vol. 2. – Bologna: Nicola Zanichelli, 1927. –
671 p.
2. Kovalev A.M. Invariant and integral manifolds of dynamical systems and the problem of integration of the
Euler–Poisson equations // Reg. & Chaot. Dyn. – 2004. – 9, No 1. – P. 59–72.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 571 с.
4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1950. –
472 с.
5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Москва: Наука, 1971. – 240 с.
Поступило в редакцию 25.09.2006Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1843 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:29:14Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковалев, А.М. 2008-09-03T08:38:12Z 2008-09-03T08:38:12Z 2007 Диагонализация линейных автономных динамических систем / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 7–11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1843 517.9 A system of linear differential equations with constant coefficients is transformed to the linear-diagonal form. Explicit formulas of a nonlinear transformation of the Jordan normal form for the linear differential system to a linear-diagonal one are obtained. The case where all characteristic numbers of the system are equal to zero is considered separately. The integrals of linear autonomous dynamical systems are constructed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Диагонализация линейных автономных динамических систем Article published earlier |
| spellingShingle | Диагонализация линейных автономных динамических систем Ковалев, А.М. Математика |
| title | Диагонализация линейных автономных динамических систем |
| title_full | Диагонализация линейных автономных динамических систем |
| title_fullStr | Диагонализация линейных автономных динамических систем |
| title_full_unstemmed | Диагонализация линейных автономных динамических систем |
| title_short | Диагонализация линейных автономных динамических систем |
| title_sort | диагонализация линейных автономных динамических систем |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1843 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevam diagonalizaciâlineinyhavtonomnyhdinamičeskihsistem |