Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області
The mixed problem for a hyperbolic equation in an unbounded domain with respect to spatial variables is investigated. Conditions that provide the existence and uniqueness of the solution in generalized Lebesgue spaces are stated. Our results are obtained without any restrictions on the behavior of t...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1844 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області / С.П. Лавренюк, О.Т. Панат // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 12–17. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1844 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лавренюк, С.П. Панат, О.Т. 2008-09-03T08:38:35Z 2008-09-03T08:38:35Z 2007 Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області / С.П. Лавренюк, О.Т. Панат // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 12–17. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1844 517.956 The mixed problem for a hyperbolic equation in an unbounded domain with respect to spatial variables is investigated. Conditions that provide the existence and uniqueness of the solution in generalized Lebesgue spaces are stated. Our results are obtained without any restrictions on the behavior of the initial data and a solution at infinity. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| spellingShingle |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області Лавренюк, С.П. Панат, О.Т. Математика |
| title_short |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| title_full |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| title_fullStr |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| title_full_unstemmed |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| title_sort |
мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області |
| author |
Лавренюк, С.П. Панат, О.Т. |
| author_facet |
Лавренюк, С.П. Панат, О.Т. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The mixed problem for a hyperbolic equation in an unbounded domain with respect to spatial variables is investigated. Conditions that provide the existence and uniqueness of the solution in generalized Lebesgue spaces are stated. Our results are obtained without any restrictions on the behavior of the initial data and a solution at infinity.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1844 |
| citation_txt |
Мішана задача для нелінійного гіперболічного рівняння в необмеженій області / С.П. Лавренюк, О.Т. Панат // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 12–17. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT lavrenûksp míšanazadačadlânelíníinogogíperbolíčnogorívnânnâvneobmeženíioblastí AT panatot míšanazadačadlânelíníinogogíperbolíčnogorívnânnâvneobmeženíioblastí |
| first_indexed |
2025-11-24T15:54:05Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:54:05Z |
| _version_ |
1850849218190639104 |
| fulltext |
УДК 517.956
© 2007
С.П. Лавренюк, О. Т. Панат
Мiшана задача для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння
в необмеженiй областi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
The mixed problem for a hyperbolic equation in an unbounded domain with respect to spatial
variables is investigated. Conditions that provide the existence and uniqueness of the solution
in generalized Lebesgue spaces are stated. Our results are obtained without any restrictions on
the behavior of the initial data and a solution at infinity.
Задачi для диференцiальних рiвнянь гiперболiчного типу розглядали багато дослiдникiв.
Зазначимо тут лише працi [1–11], предметом дослiдження яких є, зокрема, нелiнiйне гiпер-
болiчне рiвняння вигляду
utt − ∆u + α|u|p−2u + β|ut|
q−2ut = f(x, t), (1)
де α ∈ R, β > 0, p, q — деякi сталi. У випадку α > 0, q = 2 таке рiвняння виникає, наприклад,
у релятивiстськiй квантовiй механiцi [1], а коли α > 0, p = 2, то (1) моделює коливнi процеси
в середовищi з опором. У роботах [2–5] встановлено певнi спiввiдношення мiж параметра-
ми p, q, якi забезпечують iснування та єдинiсть розв’язку задачi Кошi для рiвняння (1).
Розв’язнiсть мiшаних задач для такого рiвняння як в обмежених, так i в необмежених за
просторовими змiнними областях доведено в працях [1, 6–9] та [10, 11] вiдповiдно.
У працi [12] простори Лебега та Соболєва узагальнено на випадок змiнного показника
i вивчено властивостi функцiй у таких просторах. Мiшану задачу для одного гiперболiчно-
го рiвняння третього порядку в узагальнених просторах Соболєва, яке мiстить степеневi
нелiнiйностi в головнiй частинi, вивчено в [13].
У цiй роботi в необмеженiй за просторовими змiнними областi дослiджено мiшану задачу
для деякого узагальнення рiвняння (1). Встановлено умови, що гарантують iснування та
єдинiсть розв’язку такої задачi в узагальнених просторах Лебега.
Нехай T > 0 — фiксоване число, Ω ⊂ R
n, n > 1, — необмежена область з гладкою
межею ∂Ω класу C1 така, що ΩR = Ω
⋂
{x ∈ R
n : |x| < R} — область для кожного R > R0
з регулярною за Кальдероном [14, с. 45] межею ∂ΩR, R0 > 0 — деяке число. Позначимо Qτ =
= Ω×(0, τ), Sτ = ∂Ω×(0, τ), Ωτ = {(x, t) : x ∈ Ω, t = τ}, QR
τ = ΩR×(0, τ), SR
τ = ∂ΩR×(0, τ),
ΩR
τ = {(x, t) : x ∈ ΩR, t = τ}, τ ∈ [0, T ], R > R0, ν — вектор зовнiшньої нормалi до областi Ω.
В областi QT розглянемо гiперболiчне рiвняння
Au ≡ utt −
n∑
i,j=1
(aij(x, t)uxi
)xj
+
n∑
i=1
ai(x, t)uxi
+ a0(x, t)ut + c(x, t)u +
+ b0(x, t)|ut|
p0(x)−2ut + b1(x, t)|u|p1(x)−2u = f(x, t), (x, t) ∈ QT , (2)
з початковими
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω, (3)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
та крайовою
u|ST
= 0 (4)
умовами.
Введемо функцiональнi простори
H2
loc(Ω) = {u : u ∈ H2(ΩR) для всiх R > R0},
H1
0,loc(Ω) = {u : u ∈ H1(ΩR), u|∂Ω∩∂ΩR = 0 для всiх R > R0},
L
p(x)
loc (Ω) = {u : u ∈ Lp(x)(ΩR) для всiх R > R0}, p ∈ L∞(ΩR).
Тут Lp(x)(ΩR) — узагальнений простiр Лебега. В [12] доведено, що Lp(x)(ΩR) є банаховим
простором з нормою
‖v;Lp(x)(ΩR)‖ = inf
{
λ > 0:
∫
ΩR
∣∣∣∣
v(x)
λ
∣∣∣∣
p(x)
dx 6 1
}
.
Припускаємо, що для коефiцiєнтiв рiвняння (2) виконуються такi умови:
(A): aij , aijt, aijxk
, aijtt, ai, ait, aixi
, a0, a0t ∈ L∞(QT ), aij(x, t) = aji(x, t) майже всюди
в QT , i, j, k ∈ {1, . . . , n},
n∑
i,j=1
aij(x, t)ξiξj > θ0|ξ|
2, θ0 > 0 для всiх ξ ∈ R
n i всiх (x, t) ∈ QT ;
(B): b0, b0t, b0tt, b1, b1t ∈ L∞(QT ), b0(x, t) > β0 > 0, b1(x, t) > β1 > 0, b0t > 0 майже
всюди в QT ;
(P): pi : Ω → R, pi ∈ L∞(Ω), 1 < pi 6 pi 6 p̂i, pi = ess inf
Ω
pi(x), p̂i = ess sup
Ω
pi(x), i = 0, 1.
Означення 1. Узагальненим розв’язком задачi (2)–(4) називаємо функцiю u з класу
u ∈ L∞((0, T );H1
0,loc(Ω)
⋂
L
p1(x)
loc (Ω)), ut ∈ L∞((0, T );H1
0,loc(Ω)), utt ∈ L2((0, T );L2
loc(Ω)), яка
задовольняє iнтегральну рiвнiсть
∫
ΩT
utv dx −
∫
Ω0
u1v dx +
∫
QT
[
−utvt +
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
vxj
+
n∑
i=1
ai(x, t)uxi
v + a0(x, t)utv +
+ c(x, t)uv + b0(x, t)|ut|
p0(x)−2utv + b1(x, t)|u|p1(x)−2uv − f(x, t)v
]
dx dt = 0 (5)
для довiльної функцiї v ∈ C1([0, T ];C∞
0 (Ω)) та початкову умову u(x, 0) = u0(x).
Вивчимо спочатку питання про iснування в областi QR
T розв’язку рiвняння
Au = fR(x, t), (x, t) ∈ QR
T , (6)
який задовольняє умови
u(x, 0) = uR
0 (x), ut(x, 0) = uR
1 (x), x ∈ ΩR, (7)
u|SR
T
= 0, (8)
де
fR(x, t) =
{
f(x, t), (x, t) ∈ QR
T ,
0, (x, t) ∈ QT \ QR
T ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 13
uR
0 (x) = u0(x)ξ(x), uR
1 (x) = u1(x)ξ(x), ξ ∈ C2(Rn), ξ(x) = 1 при |x| 6 R − 1, ξ(x) = 0 при
|x| > R, 0 6 ξ(x) 6 1 при x ∈ R
n.
Означення 2. Узагальненим розв’язком задачi (6)–(8) називаємо функцiю u з класу u ∈
∈ L∞((0, T );H1
0 (ΩR)
⋂
Lp1(x)(ΩR)), ut ∈ L∞((0, T );H1
0 (ΩR)), utt ∈ L2(QR
T ), яка задовольняє
iнтегральну рiвнiсть (5), де ΩT , Ω0, QT замiнено на ΩR
T , ΩR
0 , QR
T вiдповiдно, для довiльної
функцiї v ∈ C1([0, T ];C∞
0 (ΩR)) та початкову умову u(x, 0) = uR
0 (x).
Дослiдження мiшаної задачi (6)–(8) проведено на основi методу Фаедо–Гальоркiна.
Теорема 1. Якщо виконуються умови (A), (B), (P), p1 = 1, 5, для n > 2 p̂1 =
2n − 2
n − 2
−
ε
2
,
ε ∈
(
0,
1
n − 1
)
i, крiм того, u0 ∈ H2(ΩR)
⋂
H1
0 (ΩR)
⋂
Lp1(x)(ΩR), u1 ∈ H1
0 (ΩR)
⋂
Lp0(x)(ΩR),
f , ft ∈ L2(QR
T ), то узагальнений розв’язок задачi (6)–(8) iснує.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A), (B), (P), p1 = 1, 5, для n > 2 p̂1 =
2n − 2
n − 2
−
−
ε
2
, ε ∈
(
0,
1
n − 1
)
i, крiм того, aij ∈ C(QT ), u0 ∈ H2
loc(Ω)
⋂
H1
0,loc(Ω)
⋂
L
p1(x)
loc (Ω), u1 ∈
∈ H1
0,loc(Ω)
⋂
L
p0(x)
loc (Ω), f , ft ∈ L2((0, T );L2
loc(Ω)). Тодi задача (2)–(4) має єдиний узагаль-
нений розв’язок.
Доведення. Побудуємо вичерпання областi QT характеристичними конусами рiвня-
ння (2). Для цього покладемо R1 = R0 + 1 i позначимо D(R1) =
⋂
(x,T )∈Ω
R1
T
K(R1, x), де
K(R1, x) — перетин характеристичного конуса рiвняння (2) з вершиною у точцi (x, T ) ∈ ΩR1
T
з областю QT . Нехай S(R1) — частина межi областi D(R1), яка лежить усерединi обла-
стi QT . Очевидно iснує таке R2, R2 > R1 + 1, яке залежить вiд aij, що D(R1) ∈ QR2
T . Нехай
K(R2, x) — перетин характеристичного конуса рiвняння (2) з вершиною у точцi (x, T ) ∈ ΩR2
T
з областю QT , D(R2) =
⋂
(x,T )∈Ω
R2
T
K(R2, x), а S(R2) — частина тiєї межi областi D(R2), яка
лежить усерединi областi QT . Продовжуючи цей процес, одержимо послiдовнiсть обмеже-
них областей {D(Rk)} i поверхонь {S(Rk)}, якi є характеристичними для рiвняння (2).
Згiдно з теоремою 1, для кожного k ∈ {1, 2, . . .} iснує розв’язок uk ≡ uRK вiдповiд-
ної мiшаної задачi (6)–(8). Продовжимо кожну функцiю uRk нулем в областi QT \ Q
Rk
T .
Доведемо, що uk(x, t) = um(x, t) майже всюди в областi D(Rk) при m > k. Позначимо
u(x, t) = um(x, t) − uk(x, t). Нехай DT (Rk) = D(Rk)
⋂
{t = T}, ST (Rk) = S(Rk)
⋂
Q
Rk+1
T .
Зауважимо, що за нашою побудовою u(x, 0) = 0 майже всюди в D(Rk)
⋂
{t = 0} i fRm(x, t)−
− fRk(x, t) = 0 майже всюди в D(Rk). Пiдставимо функцiї um i uk у рiвняння (2), вiднiме-
мо вiд першого друге, рiзницю помножимо на (um
t − uk
t )e
−ηt та проiнтегруємо за областю
D0,T (Rk) = D(Rk)
⋂
Q
Rk
T . Пiсля цього одержимо рiвнiсть
∫
D0,T (Rk)
[
uttut +
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
utxj
+
n∑
i=1
ai(x, t)uxi
ut + a0(x, t)|ut|
2 +
+ c(x, t)uut + b0(x, t)(|um
t |p0(x)−2um
t − |uk
t |
p0(x)−2uk
t )(u
m
t − uk
t ) +
+ b1(x, t)(|um|p1(x)−2um − |uk|p1(x)−2uk)(um
t − uk
t )
]
e−ηtdx dt = 0. (9)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Перетворимо та оцiнимо кожний доданок з (9), враховуючи умови теореми:
I1 :=
∫
D0,T (Rk)
uttute
−ηtdx dt =
1
2
∫
DT (Rk)
|ut|
2e−ηT dx +
1
2
∫
ST (Rk)
|ut|
2 cos(ν, t)e−ηt dS +
+
η
2
∫
D0,T (Rk)
|ut|
2e−ηtdx dt;
I2 :=
∫
D0,T (Rk)
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
uxjte
−ηtdx dt >
θ0
2
∫
DT (Rk)
|∇u|2e−ηT dx +
+
1
2
∫
ST (Rk)
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
uxj
cos(ν, t)e−ηtdS +
(
ηθ0
2
−
A0
2
) ∫
D0,T (Rk)
|∇u|2e−ηtdx dt,
A0 = n max
i,j
ess sup
QT
|aijt(x, t)|;
I3 :=
∫
D0,T (Rk)
n∑
i=1
ai(x, t)uxi
ute
−ηtdxdt 6
1
2
∫
D0,T (Rk)
[A1|∇u|2 + |ut|
2]e−ηtdx dt,
A1 = ess sup
QT
n∑
i=1
a2
i (x, t);
I4 :=
∫
D0,T (Rk)
a0(x, t)|ut|
2e−ηtdx dt 6
A2
2
∫
D0,T (Rk)
|ut|
2e−ηtdx dt, A2 = 2ess sup
QT
|a0(x, t)|;
I5 :=
∫
D0,T (Rk)
c(x, t)uute
−ηtdxdt 6
C1
2
∫
D0,T (Rk)
[|u|2 + |ut|
2]e−ηtdx dt 6
6 C1(T
2 + 1)
∫
D0,T (Rk)
|ut|
2e−ηtdx dt, C1 = ess sup
QT
|c(x, t)|;
I6 :=
∫
D0,T (Rk)
b0(x, t)(|um
t |p0(x)−2um
t − |uk
t |
p0(x)−2uk
t )(u
m
t − uk
t )e
−ηtdx > 0;
I7 :=
∫
D0,T (Rk)
b1(x, t)(|um|p1(x)−2um − |uk|p1(x)−2uk)(um
t − uk
t )]e
−ηtdx dt 6
6 B1(Rk)(p̂1 − 1)
∫
D0,T (Rk)
|u|(|um|p1(x)−2 + |uk|p1(x)−2)|ut|e
−ηtdx dt 6
6 B1(Rk)(p̂1 − 1)rp
T∫
0
‖um|p1(x)−2 + |uk|p1(x)−2;Lr1(D(Rk)
⋂
ΩRk)‖ ×
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 15
× ‖u;Lr2(D(Rk)
⋂
ΩRk)‖ · ‖ut;L
2(D(Rk)
⋂
ΩRk)‖e−ηtdt,
де числа r1 > 1, r2 > 1 вибираємо з умов
1
r1
+
1
r2
=
1
2
, 1 < r1(p1(x) − 2) 6
2n
n − 2
− ε, ε ∈
(
0,
1
n − 1
)
, 1 < r2 6
2n
n − 2
.
Тодi за теоремою 2.8 [12] та теоремами вкладення [14, с. 47] отримаємо
I7 > −
C2
2
∫
D0,T (Rk)
[|ut|
2 + |∇u|2]e−ηtdx dt.
Враховуючи оцiнки, одержанi вище, з рiвностi (9) матимемо
∫
DT (Rk)
[
|ut|
2 + θ0|∇u|2
]
e−ηT dx +
+
∫
D0,T (Rk)
[
(η−1−2C1(T
2 + 1)−C2)|ut|
2 + (ηθ0−A0−A1−C2)|∇u|2
]
e−ηtdx dt +
+
∫
ST (Rk)
[
|ut|
2 +
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
uxj
]
cos(ν, t)e−ηtdS 6 0. (10)
Оскiльки
∫
ST (Rk)
(
|ut|
2 +
n∑
i,j=1
aij(x, t)uxi
uxj
)
cos(ν, t)e−ηtdS > 0,
то, вибираючи η достатньо великим, з (10) отримаємо оцiнку
∫
D0,T (Rk)
[|ut|
2 + |∇u|2]dx dt 6 0. (11)
Тодi uk(x, t) = um(x, t), майже скрiзь в D0,T (Rk) для довiльного m > k. За побудовою
∞⋃
k=1
D0,T (Rk) = QT . Отже, функцiя u(x, t) = uk(x, t), (x, t) ∈ D0,T (Rk) є шуканим розв’язком
задачi (2)–(4).
Єдинiсть побудованого розв’язку доводимо методом вiд супротивного, припустивши
iснування двох рiзних узагальнених розв’язкiв u1 i u2 задачi (2)–(4). Тодi для u = u1 −
− u2 аналогiчними мiркуваннями отримуємо оцiнку (11), яка виконується для довiльного
k ∈ {1, 2, . . .}. Отже, u = 0 майже всюди в QT . Теорему доведено.
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва, 2002. – 597 с.
2. Todorova G., Vitillaro E. Blow-up for nonlinear dissipative wave equations in R
n // J. Math. Anal. and
Appl. – 2005. – 303. – P. 242–257.
3. Kenig C.E., Ponce G., Vega L. Global well-posedness for semi-linear wave equations // Commun. Partial
Different. Equat. – 2000. – 25, No 9–10. – P. 1741–1752.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
4. Miao Ch., Zhang B. H
s – global well-posedness for semilinear wave equations // J. Math. Anal. and Appl. –
2003. – 283. – P. 645–666.
5. Pecher H. Sharp existence results for self-similar solutions of semilinear wave equations // NoDEA. –
2000. – 7. – P. 323–341.
6. Ha J., Nakagiri Sh. Identification problems for the damped Klein–Gordon equations // J. Math. Anal. and
Appl. – 2004. – 289. – P. 77–89.
7. Salim A. Blow up in a nonlinearly damped wave equation // Math. Nachr. – 2001. – 231. – P. 105–111.
8. Georgiev V., Todorova G. Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source
terms // J. Different. Equat. – 1994. – 109. – P. 295–308.
9. Барабаш Г. Мiшана задача для одного слабко нелiнiйного гiперболiчного рiвняння у необмеженiй
областi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 7–19.
10. Gallagher I., Gérard P. Profile decomposition for the wave equation outside a convex obstacle // J. Math.
Pures et Appl. – 2001. – 80, No 1. – P. 1–49.
11. Ikehata R. Global existence of solutions for semilinear damped wave equation in 2-D exterior domain //
J. Different. Equat. – 2004. – 200. – P. 53–68.
12. Kováčik O., Rákosnik J. On spaces L
p(x) and W
1,p(x) // Czech. Math. J. – 1991. – 41 (116). – P. 592–618.
13. Бугрiй О., Доманська Г., Процах Н. Мiшана задача для нелiнiйного рiвняння третього порядку в
узагальнених просторах Соболєва // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 44–61.
14. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва, 1978. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 09.06.2006Жешiвський унiверситет, Польща
Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
УДК 519.21
© 2007
С.А. Мельник
Расслоение решений нелинейных уравнений Ито
параболического типа с источником
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
We obtain the conditions, which guarantee the existence of a stratifica of the solution of
a stochastic Itô parabolic equation with power nonlinearities.
1. Определения, обозначения, постановка задачи. На полном вероятностном прост-
ранстве (Ω,F,P) рассмотрим следующую задачу Коши в R
1
du(t, x) = a(uσ+1(t, x))xxdt + buγ(t, x) dw(t), t ∈ [0; τ(ω)), x ∈ R
1,
u(0, x) = u0(x).
(1)
Здесь w(t) — стандартный винеровский процесс со значениями в R
1, согласованный с по-
током σ-алгебр {Ft}, t > 0; a, b — положительные числа, σ > 0, γ ∈ (0; 1)
⋃
(1;+∞); τ(ω) —
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 17
|