Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником
We obtain the conditions, which guarantee the existence of a stratifica of the solution of a stochastic Ito parabolic equation with power nonlinearities.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1845 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 17–22. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859816479524913152 |
|---|---|
| author | Мельник, С.А. |
| author_facet | Мельник, С.А. |
| citation_txt | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 17–22. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We obtain the conditions, which guarantee the existence of a stratifica of the solution of a stochastic Ito parabolic equation with power nonlinearities.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:22:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
4. Miao Ch., Zhang B. H
s – global well-posedness for semilinear wave equations // J. Math. Anal. and Appl. –
2003. – 283. – P. 645–666.
5. Pecher H. Sharp existence results for self-similar solutions of semilinear wave equations // NoDEA. –
2000. – 7. – P. 323–341.
6. Ha J., Nakagiri Sh. Identification problems for the damped Klein–Gordon equations // J. Math. Anal. and
Appl. – 2004. – 289. – P. 77–89.
7. Salim A. Blow up in a nonlinearly damped wave equation // Math. Nachr. – 2001. – 231. – P. 105–111.
8. Georgiev V., Todorova G. Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source
terms // J. Different. Equat. – 1994. – 109. – P. 295–308.
9. Барабаш Г. Мiшана задача для одного слабко нелiнiйного гiперболiчного рiвняння у необмеженiй
областi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 7–19.
10. Gallagher I., Gérard P. Profile decomposition for the wave equation outside a convex obstacle // J. Math.
Pures et Appl. – 2001. – 80, No 1. – P. 1–49.
11. Ikehata R. Global existence of solutions for semilinear damped wave equation in 2-D exterior domain //
J. Different. Equat. – 2004. – 200. – P. 53–68.
12. Kováčik O., Rákosnik J. On spaces L
p(x) and W
1,p(x) // Czech. Math. J. – 1991. – 41 (116). – P. 592–618.
13. Бугрiй О., Доманська Г., Процах Н. Мiшана задача для нелiнiйного рiвняння третього порядку в
узагальнених просторах Соболєва // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 44–61.
14. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва, 1978. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 09.06.2006Жешiвський унiверситет, Польща
Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
УДК 519.21
© 2007
С.А. Мельник
Расслоение решений нелинейных уравнений Ито
параболического типа с источником
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
We obtain the conditions, which guarantee the existence of a stratifica of the solution of
a stochastic Itô parabolic equation with power nonlinearities.
1. Определения, обозначения, постановка задачи. На полном вероятностном прост-
ранстве (Ω,F,P) рассмотрим следующую задачу Коши в R
1
du(t, x) = a(uσ+1(t, x))xxdt + buγ(t, x) dw(t), t ∈ [0; τ(ω)), x ∈ R
1,
u(0, x) = u0(x).
(1)
Здесь w(t) — стандартный винеровский процесс со значениями в R
1, согласованный с по-
током σ-алгебр {Ft}, t > 0; a, b — положительные числа, σ > 0, γ ∈ (0; 1)
⋃
(1;+∞); τ(ω) —
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 17
марковский момент остановки, согласованный с потоком σ-алгебр {Ft}, t > 0; u0(x) — не-
случайная неотрицательная функция, u0 ∈ L2(R
1). Буквенный индекс, стоящий внизу воз-
ле знака функции, означает взятие частной производной по соответствующей переменной.
Определение решения задачи (1) на случайном отрезке времени [0; τ(ω)) дадим, следуя ана-
логичному определению для обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений,
сформулированному в [1, c. 246]. Под решением задачи (1) будем понимать случайный про-
цесс u(t, x), подчиненный потоку σ-алгебр {Ft}, t > 0, и удовлетворяющий уравнению (1)
в смысле определения 2.1 [2, c. 104] при каждом t ∈ [0; τ(ω)). Здесь и далее M — символ
математического ожидания.
Замечание 1. Строго говоря, в уравнении (1) следовало писать знаки модулей решения.
Но решения, которые далее будут построены, являются неотрицательными функциями.
Далее в работе будут использоваться следующие обозначения:
κ =
σ + 1 + γ
σ + 1
, λ =
σ + 2
σ + 1
, m =
2(γ − 1) − σ
2σ + 2
,
N = 2A + (λ − m − 1)B2, M =
κ(λ − m)B1/(κ−λ)
λb
, µ =
2aM2−λ+2m
(m − λ)N
, Q =
q
p
,
p = ‖v‖λ
λ =
∫
|v(y)|λdy, z = ‖vy‖
2
2 =
∫
|vy(y)|2dy, q = ‖v‖κ
κ =
∫
|v(y)|κdy.
W = W 1
2 (R1)
⋂
Lκ(R1)
⋂
Lλ(R1), ∇ — градиент функционала.
Определение 1. Говорят, что процесс u(t, x) допускает расслоение, если он может быть
представлен в виде u(t, x) = r(t)v(xrl(t)), где r(t) — случайный процесс, который с веро-
ятностью 1 принимает неотрицательные значения, l ∈ R
1, v ∈ W. Процесс r(t) называ-
ют амплитудой решения, а функцию v(y) — пространственной формой решения. Процесс
x0(t) = min{x > 0: v(xrl(t)) = 0} называется точкой фронта решения.
Замечание 2. В данной работе за основу принят подход к изучению нелинейных урав-
нений в частных производных, предложенный в работе [3].
Замечание 3. В теории детерминированных уравнений в частных производных пара-
болического типа со степенными нелинейностями большую роль играют решения, прост-
ранственная форма которых является дифференцируемой в нуле четной неотрицательной
функцией, убывающей на положительной полуоси. В данной работе рассматриваются ре-
шения с аналогичными свойствами.
Постановка задачи. Пусть исходные данные задачи (1) удовлетворяют перечисленным
выше ограничениям. Выясним, при каких условиях решение задачи (1) допускает расслое-
ние, а также построим уравнения, которым удовлетворяют амплитуда и пространственная
форма решения.
2. Основные результаты.
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) (m − λ)N > 0, (λ − m)B > 0;
2) r(t) является решением уравнения
dr(t) = Ar2κ−2λ+1(t)dt + Brκ−λ+1(t) dw(t); r(0) = r0 > 0; (2)
3) v(y) является решением задачи
µvyy + κQvκ−1 − 0,5λQ2vλ−1 = 0, v(−y) = v(y), vy(0) = 0, v(+∞) = 0; (3)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
4) u0(x) = [r(0)MQ1/(λ−κ)v(xrm(0)MmQm/(λ−k))]1/(σ+1).
Тогда решение задачи (1) допускает расслоение следующего вида:
u(t, x) = [r(t)MQ1/(κ−λ)v(xrm(t)MmQm/(κ−λ))]1/(σ+1).
Замечание 4. Согласно теореме 6 [1, c. 246] для любых действительных чисел A и B
решение уравнения (2) существует и единственно на некотором случайном отрезке времени
[0; τ(ω)], причем P{τ(ω) > 0} = 1. Кроме того, как показано в [4, c. 73], решение зада-
чи (2) является случайным процессом, который с вероятностью 1 при всех t > 0 принимает
неотрицательные значения. Поэтому степенные выражения в уравнении (2) определены.
Лемма. Если (m − λ)N > 0, то существует v0 > 0 такое, что задача
µvyy(y) + κQvκ−1 − 0,5λQ2vλ−1 = 0, y > 0, v(0) = v0, vy(0) = 0 (4)
имеет единственное обобщенное неотрицательное решение, имеющее конечную точку
фронта y0 = min{y > 0: v(y) = 0} такую, что v(y) > 0, если y ∈ [0; y0), и v(y) = 0,
если y > 0. Решение задачи (4) обладает следующими свойствами.
1) vyy(0) < 0;
2) если 0 < γ < 1 и 0 < v0 < ρ0(2κ/λ)1/(λ−κ), то существует ε > 0 такое, что
vyy(y) < 0 при y ∈ (y0 − ε; y0);
3) если γ > 1 и v0 > ρ02
1/(λ−κ), то существует ε > 0 такое, что vyy(y) > 0 при
y ∈ (y0 − ε; y0);
4) четная функция, которая при y > 0 совпадает с решением задачи (4), является
решением задачи (3).
Доказательство леммы основывается на методе расслоения, изложенном в [3].
Доказательство теоремы 1. В задаче (1) заменим фазовую переменную U(t, x) =
= uσ+1(t, x). Тогда
dUλ−1 = aUxxdt + bUκ−1 dw(t), t ∈ [0;T ), x ∈ R
1, U(0, x) = uσ+1
0 (x).
Рассмотрим функционал
f(U) =
1
λ
‖U(t, ·)‖λ
λ −
1
λ
‖U(0, ·)‖λ
λ +
a
2
t
∫
0
‖Ux(s, ·)‖2
2 ds −
b
κ
t
∫
0
‖U(s, ·)‖κ
κ dw(s).
Он определен на пространстве L2([0;T ) × Ω;W). Функционал f(U) дифференцируем по
Гато по подпространству W в среднем квадратическом и его дифференциал Гато по под-
пространству равен
Df(U) =
∫
|U(t, x)|λ−2U(t, x)g(x) dx −
∫
|U(0, x)|λ−2U(0, x)g(x) dx +
+ a
t
∫
0
∫
Ux(s, x)gx(x) dx ds − b
t
∫
0
∫
|U(s, x)|κ−2U(s, x)g(x) dx dw(s).
Здесь g ∈ W. Докажем, что функционал f(U) имеет критическую точку, допускающую рас-
слоение. Подставим в f(U) вместо U выражение U(t, x) = r(t)φ(p, q)v(y), где y = xrm(t) ×
×φm(p, q), r(t) — решение уравнения (2) с некоторым действительным A и положительными
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 19
r(0) и B, φ(p, q) — некоторая неотрицательная дифференцируемая функция, v(y) — реше-
ние задачи (3). Согласно замечанию 4 процесс r(t) существует, единственен и принимает
неотрицательные значения. Согласно лемме функция v(y) может быть построена. Выберем
φ(p, q) = MQ1/(λ−κ) и учтем, что r(t) является решением уравнения (2). Тогда
f(U) = 0,5λ−1(λ − m)NMλ−2m−2
t
∫
0
[‖U(s, ·)‖2κ
κ ‖U(s, ·)‖−λ
λ − µ‖Ux(s, ·)‖2
2] ds.
Вычислив дифференциал Гато функционала f(U) по подпространству W и перейдя от
функции U к функции v, получаем
Df = λ−1(λ − m)NMλ−1Q
λ−1
λ−κ
t
∫
0
r2m+1 ds
∫
[µvyy + κQvκ−1 − 0,5λQ2vλ−1]g dx.
Так как функция v(y) является решением задачи (3), то Df(U) = 0 и функция U(t, x) =
= r(t)MQ1/(λ−κ)v(xrm(t)MmQm/(λ−κ)) является критической точкой функционала f(U).
Тогда функция u(t, x) = [r(t)MQ1/(λ−κ)v(xrm(t)MmQm/(λ−κ))]1/(σ+1) является обобщенным
решением задачи (1). Согласно определению построенное решение допускает расслоение.
Теорема 1 доказана.
3. Применение расслоения к изучению динамики решения задачи (1). Со-
гласно доказанной теореме 1 пространственная форма v(y) и амплитуда r(t) определяют
решение задачи (1). Исследуем предельное поведение процесса u(t, x) при t → +∞. Так как
U(t, x) = uσ+1(t, x), то для упрощения выкладок будем изучать поведение процесса U(t, x).
Динамика U(t, x) как функции времени полностью определяется процессом r(t). Исследуем
предельное поведение процесса r(t), который является решением задачи (2).
Теорема 2. Пусть процесс r(t) является решением задачи (2). Если 2A < B2, то
процесс r(t) с вероятностью 1 стремится к нулю при t → +∞. Если 2A > B2, то процесс
r(t) с вероятностью 1 стремится к +∞ при t → +∞.
Для доказательства теоремы необходимо с помощью уравнений Колмогорова вычислить
вероятность выхода процесса r(t) из произвольного интервала.
Как видим, поведение решения задачи (1) существенно зависит от выбора коэффици-
ентов A и B уравнения (2). Коэффициенты A и B не входят в изначальную постанов-
ку задачи (1). Однако их выбор определяет конструкцию пространственной формы v(y),
а следовательно, и вид начального условия u0(x). Выясним, как влияют значения этих
коэффициентов на амплитуду r(t) и пространственную форму v(y). Для процесса r(t) су-
щественным является лишь число AB−2, поскольку после замены времени t = B−2s и смены
знака у винеровского процесса уравнение (2) переходит в себе подобное, но с единичным
множителем при коэффициенте диффузии и множителем AB−2 при коэффициенте дрей-
фа. Рассмотрим расслоение
U(t, x) = r(t)
(
κ(λ − m)
Bp
2bq
)1/(κ−λ)
v
(
xrm(t)
(
κ(λ − m)
Bp
2bq
)m/(κ−λ)
)
. (5)
Согласно теореме 1 представление (5) возможно, если (m−λ)N > 0, (λ−m)B > 0 и U(0, x)
имеет вид (5).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Теперь рассмотрим пространственную форму v(y), являющуюся решением задачи (3).
Коэффициент µ в уравнении (3) зависит от параметров A и B. От функции v(y) перейдем
к функции v(y) с помощью равенства v(y) = ρ0v(y), где ρ0 = 1, если γ = 0,5σ + 1, и ρ0 =
=
(
2µz
(2κ − λ)q
)1/(2m)
, если γ 6= 0,5σ + 1. Функция v(y) является решением задачи
(2κ − λ)
q
z
vyy − λvλ−1 + 2κvκ−1 = 0, vy(0) = 0, v(0) = v0 > 0.
Поскольку параметры этой задачи не зависят от A и B, то и функция v(y) не зависит от A
и B. Точки фронта функций v(y) и v(y) совпадают, значит, точка фронта функции v(y)
остается неподвижной при изменении A и B. Если γ = 0,5σ+1, то ρ0 = 1 и точка максимума
v(0) остается неподвижной. Если γ < 0,5σ + 1, то lim
2AB−2→m+1−λ
v(0) = 0 и lim
AB−2→−∞
v(0) =
= +∞. Если γ > 0,5σ + 1, то lim
2AB−2→m+1−λ
v(0) = +∞ и lim
|AB−2|→+∞
v(0) = 0.
Подведем итоги проведенным исследованиям. Согласно лемме пространственная форма
v(y) может быть двух типов. Если выполнено условие 2 леммы, то v(y) это неотрицательная
четная функция с ограниченным носителем, которая выпукла вверх на всем носителе. Если
выполнено условие 3 леммы, то v(y) это неотрицательная четная функция с ограниченным
носителем, которая выпукла вверх в окрестности точки 0 и выпукла вниз в окрестности
точки фронта. Тип пространственной формы зависит от сочетания знаков выражений (1−
−γ), (λ−m), B и N . Знак выражения (λ−m) совпадает со знаком выражения (1,5σ+3−γ).
Таким образом, условия теоремы 1 будут выполнены, если γ ∈ (0; 1)
⋃
(1; 1,5σ + 3)
⋃
(1,5σ +
+ 3;+∞). Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
Пусть γ ∈ (0; 1). Тогда λ > m, m < 0. Выбрав 2A < (m + 1 − λ)B2, т. е. N < 0, получим
µ > 0. Тогда пространственная форма будет иметь первый тип. Так как m + 1 − λ = (2γ −
− σ − 4)/(2σ + 2) < 1 при γ ∈ (0; 1,5σ + 3), то согласно теореме 2 и амплитуда и фронт
решения стремятся к нулю и само решение сжимается в точку 0.
Пусть γ ∈ (1; 1,5σ + 3). Тогда λ > m. Характер поведения фронта x0(t) зависит от
знака параметра m, который меняет свой знак в точке γ = 0,5σ + 1. Поэтому рассмотрим
подслучаи.
Если γ ∈ (1; 0,5σ + 1), то m < 0. Выбрав 2A < (m + 1− λ)B2, т. е. N < 0, получим µ > 0.
Тогда пространственная форма будет иметь второй тип. Так как m + 1 − λ = (2γ − σ −
− 4)/(2σ + 2) < 1 при γ ∈ (0; 1,5σ + 3), то согласно теореме 2 и амплитуда и фронт решения
стремятся к нулю и само решение сжимается в точку 0.
Если γ = 0,5σ+1, то m = 0. Выбрав 2A < (m+1−λ)B2, т. е. N < 0, получим µ > 0. Тогда
пространственная форма будет иметь второй тип. Так как m+1−λ = (2γ−σ−4)/(2σ+2) < 1
при γ ∈ (0; 1,5σ + 3), то согласно теореме 2 амплитуда стремится к нулю. Но при m = 0
фронт перестает зависеть от времени и остается неподвижным. Само решение прижимается
к отрезку [−x0(0);x0(0)] на оси 0x.
Если γ ∈ (0,5σ + 1; 1,5σ + 3), то m > 0. Выбрав 2A < (m + 1−λ)B2, т. е. N < 0, получим
µ > 0. Тогда пространственная форма будет иметь второй тип. Так как m+1−λ = (2γ−σ−
− 4)/(2σ + 2) < 1 при γ ∈ (0; 1,5σ + 3), то согласно теореме 2 амплитуда решения стремится
к нулю. Так как теперь m > 0, то фронт решения стремится к +∞. Само решение угасает,
растекаясь по всей оси 0x.
Пусть γ ∈ (1,5σ+3;+∞). Тогда λ < m, m > 0. Теперь m+1−λ = (2γ−σ−4)/(2σ+2) > 1.
Выбрав 2A > (m + 1 − λ)B2, т. е. N > 0, получим µ > 0. Тогда пространственная форма
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 21
будет иметь второй тип. Согласно теореме 2 амплитуда решения стремится к +∞. В этом
случае решение развивается в режиме обострения: фронты сжимаются в точку 0, а значение
в точке 0 неограниченно возрастает.
Из сказанного следует, что процесс u(t, x) может развиваться либо в режиме угасания,
либо в режиме обострения. Угасание может иметь три сценария: 1) амплитуда падает, фрон-
ты сжимаются к нулю, u(t, x) сжимается в точку 0; 2) амплитуда падает, фронты неподвиж-
ны, u(t, x) оседает; 3) амплитуда падает, фронты разбегаются, u(t, x) оседает, растекаясь
по оси 0x. Обострение может иметь лишь один сценарий: амплитуда неограниченно растет,
фронты сжимаются в точку 0, u(t, x) прижимается к оси 0x, взрываясь в точке x = 0.
Подобные сценарии наблюдаются и в аналогичных детерминированных задачах (см. [5, 6]).
Различия между поведением решения задачи (1) и ее детерминированным аналогом объя-
сняются тем, что знак стохастического слагаемого меняется с течением времени случайным
образом и последнее слагаемое в уравнении (1) не может быть идентифицировано ни как
источник, ни как поглотитель. Отметим также, что режимы с обострениями возникают
лишь при достаточно больших значениях выражения 2AB−2. Это является естественным,
так как при больших значениях выражения 2AB−2 коэффициент дрейфа A в уравнении (2)
является положительным и доминирует над коэффициентом диффузии B, что приводит
к неограниченному росту r(t).
В заключение заметим, что из нашего рассмотрения выпадают случаи γ = 1 и γ =
= 1,5σ + 3. В первом случае стохастическое слагаемое становится линейным и техника его
исследования существенно отличается от изложенной. Во втором случае автору не удалось
получить уравнение для амплитуды r(t). Следует отметить, что аналогичный факт наблю-
дается и в детерминированном случае [5, c. 260–262].
1. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 536 с.
2. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях. – Москва: ВИНИТИ,
1979. – С. 74–147. – (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики; Т. 14).
3. Похожаев С.И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // Докл. АН СССР. – 1979. – 241,
№ 6. – C. 1327–1331.
4. Melnik S. A. The group analysis of stochastic differential equations // Ann. Univ. Sci. Budapest. – 2002. –
21. – P. 69–79.
5. Самарский А.А., Галактионов В.П., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострениями в
задачах для квазилинейных параболических уравнений. – Москва: Наука, 1987. – 475 с.
6. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и коструктивные законы ее органи-
зации // Современные проблемы математики, физики и вычислительной техники. – Москва, Наука,
1982. – С. 217–243.
Поступило в редакцию 29.06.2006Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1845 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:22:56Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, С.А. 2008-09-03T08:38:49Z 2008-09-03T08:38:49Z 2007 Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 17–22. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1845 519.21 We obtain the conditions, which guarantee the existence of a stratifica of the solution of a stochastic Ito parabolic equation with power nonlinearities. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником Article published earlier |
| spellingShingle | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником Мельник, С.А. Математика |
| title | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником |
| title_full | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником |
| title_fullStr | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником |
| title_full_unstemmed | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником |
| title_short | Расслоение решений нелинейных уравнений Ито параболического типа с источником |
| title_sort | расслоение решений нелинейных уравнений ито параболического типа с источником |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1845 |
| work_keys_str_mv | AT melʹniksa rassloenierešeniinelineinyhuravneniiitoparaboličeskogotipasistočnikom |