О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты
В рамках линейной теории устойчивости исследована граница возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита, помещенного в вертикальную цилиндрическую ячейку конечной высоты и находящегося в условиях проведения электрохимической реакции. Для описания границы возникающей конвекции испол...
Gespeichert in:
| Datum: | 2000 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України
2000
|
| Schriftenreihe: | Украинский химический журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184575 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты / И.А. Винклер, В.П. Коржик, В.В. Нечипорук // Украинский химический журнал. — 2000. — Т. 66, № 7. — С. 42-47. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-184575 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1845752025-02-23T17:58:28Z О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты Про межу виникнення конвективної нестійкості бінарного електроліту в вертикальному циліндрі кінцевої висоти To the boundary convective instability origin of the binar electrolyte in a vertical cylinder of finite height Винклер, И.А. Коржик, В.П. Нечипорук, В.В. Электрохимия В рамках линейной теории устойчивости исследована граница возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита, помещенного в вертикальную цилиндрическую ячейку конечной высоты и находящегося в условиях проведения электрохимической реакции. Для описания границы возникающей конвекции использовано критическое модифицированное число Рэлея. Для различных отношений высоты цилиндра к его радиусу теоретически рассчитаны критические числа Рэлея, которые сравниваются с экспериментальными данными. Получено удовлетворительное совпадение между рассчитанными значениями и экспериментальными результатами. 2000 Article О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты / И.А. Винклер, В.П. Коржик, В.В. Нечипорук // Украинский химический журнал. — 2000. — Т. 66, № 7. — С. 42-47. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0041–6045 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184575 541.138 ru Украинский химический журнал application/pdf Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Электрохимия Электрохимия |
| spellingShingle |
Электрохимия Электрохимия Винклер, И.А. Коржик, В.П. Нечипорук, В.В. О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты Украинский химический журнал |
| description |
В рамках линейной теории устойчивости исследована граница возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита, помещенного в вертикальную цилиндрическую ячейку конечной высоты и находящегося в условиях проведения электрохимической реакции. Для описания границы возникающей конвекции использовано критическое модифицированное число Рэлея. Для различных отношений высоты цилиндра к его радиусу теоретически рассчитаны критические числа Рэлея, которые сравниваются с экспериментальными данными. Получено удовлетворительное совпадение между рассчитанными значениями и экспериментальными результатами. |
| format |
Article |
| author |
Винклер, И.А. Коржик, В.П. Нечипорук, В.В. |
| author_facet |
Винклер, И.А. Коржик, В.П. Нечипорук, В.В. |
| author_sort |
Винклер, И.А. |
| title |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| title_short |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| title_full |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| title_fullStr |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| title_full_unstemmed |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| title_sort |
о границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты |
| publisher |
Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В.І. Вернадського НАН України |
| publishDate |
2000 |
| topic_facet |
Электрохимия |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184575 |
| citation_txt |
О границе возникновения конвективной неустойчивости бинарного электролита в вертикальном цилиндре конечной высоты / И.А. Винклер, В.П. Коржик, В.В. Нечипорук // Украинский химический журнал. — 2000. — Т. 66, № 7. — С. 42-47. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Украинский химический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vinkleria ogranicevozniknoveniâkonvektivnojneustojčivostibinarnogoélektrolitavvertikalʹnomcilindrekonečnojvysoty AT koržikvp ogranicevozniknoveniâkonvektivnojneustojčivostibinarnogoélektrolitavvertikalʹnomcilindrekonečnojvysoty AT nečiporukvv ogranicevozniknoveniâkonvektivnojneustojčivostibinarnogoélektrolitavvertikalʹnomcilindrekonečnojvysoty AT vinkleria promežuviniknennâkonvektivnoínestíjkostíbínarnogoelektrolítuvvertikalʹnomucilíndríkíncevoívisoti AT koržikvp promežuviniknennâkonvektivnoínestíjkostíbínarnogoelektrolítuvvertikalʹnomucilíndríkíncevoívisoti AT nečiporukvv promežuviniknennâkonvektivnoínestíjkostíbínarnogoelektrolítuvvertikalʹnomucilíndríkíncevoívisoti AT vinkleria totheboundaryconvectiveinstabilityoriginofthebinarelectrolyteinaverticalcylinderoffiniteheight AT koržikvp totheboundaryconvectiveinstabilityoriginofthebinarelectrolyteinaverticalcylinderoffiniteheight AT nečiporukvv totheboundaryconvectiveinstabilityoriginofthebinarelectrolyteinaverticalcylinderoffiniteheight |
| first_indexed |
2025-11-24T05:03:20Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:03:20Z |
| _version_ |
1849646750326849536 |
| fulltext |
гласно [6]. для данных условий. а. = 0.31. Следо
вательно, We = 57.3 Кдж/МОЛЬt что хорошо совпа
дает с ~Ye' определенной по стандартной КОН
станто скорости и токам обмена.
Рис. 3. Зависимость константы скорости от температуры при
разных перенапряжениях. В: J - О; 2 - 0.1; 3 - 0.18; 4-
0.22; 5 - 0.26; 6 - 0.3.
Интересно отметить, что изменение энергии
активации на втором участке описывается эмпи
рическим уравнением
активации, по порядку величины близкая 1(1
пиффузионной. При меньших температурах ЭЛ~К ..1~
тродный процесс контролируется, ПО-ВИДИМОМУ.~
одновременно скоростью обмена электронов 1
скоростью диффузии, поскольку скорость реакэ
ции с пониженнем температуры уменьшается
быстрее, чем скорость диффузии, НО В .обще~
случае энергия активации электрохимическогев
процесса может быть функцией температуры,
графики логарифмов токов обмена и хонста
скорости от обратной температуры могут при
мать сложные нелинейные формы. .
РЕЗЮМЕ. Дослiджено вплив температури на швидк!
евектроосадження иiдi. Визначено енергiю активацй процес
Показене задовiльну сходииютъ результаив екеперименпв
теортсю.
suмМАR У. ТЬе effect оС the гепгрегашге 011 the rate о
electrodeposition оС the соррег has Ьееп studied. ТЬе energy о
activation has been determined. ТЬе satisfactory сопеегяеасе о.
results of ехрегппепгв with the theory is shown.
Институт общей н неорганической химии ИМ. В. И. Вернадского
НАН Украины, Киев
Так. для перенапряжения0.18 В энергия ак
тивации. определенная на соответствующем
интервале температур функции lп к, =!(lГГ),
составила 32 кДж/моль, а рассчитанная из урав
Н~НИЯ (8) - 35 кДж/моль.
Таким образом, можно сделать следующие
выводы: при температурах, выше 15Ос, на элек
троосаждение меди оказывает влияние энергия
w=a.nFl1* - (1 - cx.)nFl1. (8)
1. Горбачев В. С. 11 Тр. 4-го совещ. по электрохимии. -М
ИЗД-ВО АН СССР. -1953. -с. 249-255.
2. Галюс З. Теоретические основы электрохимического ана
лиза. -М: Мир, 1979.
3. Городыский А. В. Вопьтамперометрня: кинетика стациО1
нарного электролиза...Киев: Наук. думка, 1988. ~
4. Дамоскин Б. Б., Петрий П. н. Введение в 1лектрохими~(
ческую кинетику. ·М: Наука, 1975. ,.
S. Емельяненко r. А. н Укр, ХИМ. журн, ·1957. ·23, N~ 2..С1
243-250.
6. Черненко В. И., Литовченко К. н. 11 Электрохимия. -1971.'
·7, N2 6. -с, 816-820. ;
i
Постугаша 21.06.9 I
УДК 541.138
и. А. Винклер, В. п. Коржик, В. В. Нечипорук
О ГРАНИЦЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ конввкгивной нктсгойчивости
БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ КОНЕЧНОЙ высоты
в рамках линейной теории устойчивости исследована граница возникновения конвективно" неустойчивости бинарног
электролита, помещенного в вертикальную цилинцрическую ячейку конечной высоты и находящегося в условиях проведения
электрохимической реакции. Дпя описания границы возникающей конвекции использовано критическое модифицированное,
ЧИСЛО Рэлея. Для различных отношений высоты цилиндра к его радиусу теоретически рассчитаны критические числа:
Рэлея. которые сравниваются с экспериментальными данными. Получено удовлетворительное совпадение между расочи
танными значениями н экспериментальными результатами.
Как известно, в горизонтальном ·неподвиж
НОМ слое жидкости, нагреваемом снизу, после
достижения грациснтом температуры некоторого
© И. Л. Винклер. В. П. Коржик, В. В. Нечипорук. 2000
42
ПОРОГ080ГО значения ВО1Ю1Кзет конвективное'
стационарное движение, проявляющееся в виде
конвективных ячеек (задача Бенара), Граница
ISS1' 0041·6045. УКР. хим. жъгн 2000. Т 66. X~ 7
(3)
(4)
(2)
(1)
а с'.. - + ~\7 с' = D V2 с'
д! '
43
Целью настоящей работы было получение
результатов, находящихся в лучшем согласии с
известной картиной возникновения конвекции в
цилиндрической ячейке с малыми электродами.
Рассматривается несжимаемый раствор
бинарного электролита, помещенный в верти
кальный цилиндр высотой 21 и радиуса а при
изотермических условиях. Верхний и нижний
торцы цилиндра служат анодом и катодом соот
ветственно. Система цилиндрических координат
выбрана так, что начало координат нахоД1ПСЯ
8 центре цилиндра, а ось z направлена верти
кально вверх. Считаем, что перенос ионов возмо
жен за счет диффузии, миграции и конвекции.
ПУСТЬ с., Z,., D; - молярная концентрация,
зарядовсе число И коэффициент диффузии i-ro
компонента (i = IJ 2; индекс "1" подразумевает
катион). Тогда уравнение, описывающее движе
ние электролита, в приближении Буссинеска будет
иметь вид [5, 6]:
д~ V' nд Jд + (V.V)~:; - ~ +v V2 ~+~ Q.Q с';
t Р Р б с 7'
р,
V'·~O;
где?- - гидродинамическая скорость; р - давле
ние; р' - отклонение давления ·ОТ гидростатиче
ского; р - плотность: р - значение плотности, по
отношению к которому измеряется отклонение
nлоrnости; с = - c)/z2.=C21z. - молярная КОIЩен·
трация электролита, вводимая с учетом условия
электронейтральности: с' - отклонение моляр
ной концентрации: v ~ коэффициент кинемати
ческой вязкости; w- гравитационное ускорение;
т - температура: D =D ID2(z1- z2)/(D1zt - D2z2)
эффективный коэффициент диффузии элек
тролита.
Заметим, что конвективная неустойчивость
в бинарном электролите может возникать в облае
ти смешанной кинетики [7], где еще выполняется
условие локальной электронейтральности, Для
рассмотрения граничных условий введем следую-
щие обозначения: L, L (а), L (е) - поверхности
цилиндра, анода и катода соответственно: L (1)
- боковая поверхность циm'lндра; W-- единич
ный вектор, нормальныйк поверхностицилиндра
и направленный внутрь.
ПОСКОЛЬКУ поверхность цилиндра твердая,
имеем:
0зюп<новения этого конвективного движения
nисывается безразмерным критическим числом
лея [1].
~ .В. настоящей работе рассматривается эцек-
ОpiМИЧеский аналог задачи Бенара - электро
.• ~~ХОДЯЩИЙСЯв ~оле силы земного тяготения,
8змещенны�й между двумя плоскими параллелъ
аси 'металлическимиэлектродами. Принимает
~..'ЧТО электрический ток в системе переносится
атакам К8ТИОНОВ, устремленным от анода к
атоду. В случае, когда катод находится внизу,
ротеканне электрического тока приводит к
озникнсвению градиента концентрации элек-
· еактнвного иона, антипараллепьного гравита
ониому полю. Когда этот градиент достигает
'екаторого ПОРОГО80ГО значения, первоначальное
ехаЮlЧеское равновесие слоя электролита нару
ается и в системе возникает стационарное
онвеКТlшное движение электролита,
, Этот электрохимический аналог проблемы
\'" ','о'
енара экспериментально изучался в гальванос-
атических [2] И потенциостатических [3] усло
иях, при этом существенной особенностью иссле
·"'е'мой системы было ТО. что 'ВО всех опытах
I .1~,.
I_H~.rHbIC размеры электрода были многобольше
.~~,~лек1VОДНОГО расстояния, Т. е. электроды
вссматривались как "бесконечные". Подобный
"f;'-.
~~Й:был теоретически исследован в [4-7].
OnS' I1ринципиально иная схема электрохимичес
.~"" .Оп системы изучалась в работе [8], где исполь-
овались малые, "небесконечные электроды,
~e, что отношение высоты цилиндрической
чейки ic ее радиусу было в пределах 0.5-1.6.
~.~ВИДIIО, что ранее развитые теоретические
,9.цCШI ,неприменимы к подобной системе,
оскольку она существенноотличается от "беско
~4~ОЙ" хотя бы тем, что здесь уже нельзя пренеб
счьikpаевыми эффектами и влиянием боковых
.~~~,.::~~еrпси [4]. В связи с этим необходимо
.~УЩW»t какая модель такой электрохимической
~!~~~Ы и для каких интервалов значений 01НО
.~~~~я.вы.соты ячейки к ее радиусу может с ДОСТ8
~ОЧНОЙ точностью определить границу возник
новения )(онвек1ИВНЫХ течений.
ТеореПlческое исследование подобной конеч
ной цилющрической ячейки было начато в работе
[9]. однако использованная методика не поэво
m:ша авторам попучить удовлетворительное
Со~падение теоретически рассчитанных резупьта
ТОВ· с данными эксперимента. Полученные в [9]
реЗУльтаты могут рассматриваться лишь как
Пq>Вое приближение к качественному описанию
~азанной системы.
I
ISSN 0041-6045. УКР.. ХИМ. ЖУРН. 2000. Т. 66, N2 7
Протекание электрохимической реакции на
хатоде приводит [5, 7] к следующему соотноше-
юпо:
где 1st - плотность тока в таком стационарном
состоянии. Если это стационарное состояние
неустойчиво, то возникает конвекция,
Устойчивость этого стационарного состояния
будем анализировать в рамках теории линейной
устойчивости. Рассмотрим возмущенное движе-
ние с С'=Со+С, р'=Ро+Р, 1= Tst + Ы, где с, р,
б/- 'малые возмущения, зависящие от времени,
Уравнения для ЭТИХ возмущений получаются из
уравнений (1) - (3) линеаризацией вблизи ста
ционарногосостояния:
д ~= _у!- + v V2 v++ 8..fl~) с; (9)
д/ р р д с т
р,
(17)
здесь Re - внешнее сопротивление. Случай К =О
соответствует гальваностатическому электролизу
(ВТ =О), а случай К > О - потенциостатическо
му электролизу (Re =О). Учитывая (! 6), гранич-
ные условия в безразмерной форме имеют вид:
V1t = О, с 11: (а) = О, ~ Vc 11: (/)= О,
осl- = BKac(-h) =Qc(-h),
д z 1: (с)
: ~= - Vp + V2 vt Rcy7 (13)
V·~O; (14)
P:~ +vt~V2c. (15)
N
~) IVcola4
где P=v/D и R=_ D - число
р АС т v
Р.
Прандтля и модифицированное число Рэлея соот-
ветственно.
Теперь рассмотрим граничные условия для
возмущений. Принимая во внимание релакса
ционные свойства двойного слоя и условия адсор
бционного равновесия, плотность тока на катоде
можно рассматривать [5, 6] как функцию только
двух переменных: 1 = 1 (с(-/), Е), где с (-1) - кон
ценграция электроактивного компонента вблизи
катода, Е - электрический потенциал катода.
Тогда, согласно [5, 6]:
о 1=~ I с(-1) +.EJ...I д Е =
д с(-!) st д Е st
= а l/a c(-l) I с(-/) = Кс(-!) (16)
1+ Rе(д//дЕ) - '
st
здесь ~- единичный вектор, направленный
вверх. ·.1· •• •...
Эти уравнения могуг быть переписаны в без
размерной форме с использованием следующих
единиц: а~расстояние; а2/V'-'время; D/a
скорость; а IVCo 1- концен1рзщiЯ;.. r/vD/a2
давление, В результате, с учетом (17), уравнения
для возмущений принимают сЛ'е~.ЩИЙ безраз
мерный вид:
(8)
(7)
(10)
dpo (z) (~) . -о
d + gco - ·
z де т
Pt
где I - плотность электрического тока; v.
стехиометрический коэффициент электроактивно
го компонента: т - количество электронов,
проходящих через гр8Ю1ЦУ раздела электроделек
трелит З8 один элементарный. акт Э,лектрох.ими
ческой реакции; F - постоянная Фарадея.
Согласно [5. 6]. можно' принять, ЧТО концен
трация вблизи анода постоянна:
с' 11: (а) =Са. (6)
Опишем способ теоретической оценки вели
ЧИНЫ модифицированного критического числа
Рэлея, определяющего начало возникновения
конвекции электролита, Уравнения (1) - (3) с
граничными условиями (4) - (6) имеют механи
чески равновесное стационарное состояние
Со,Ро, у)= О, 1st' такое, что СО и Ро зависят толь
КО от z:
где
(11)
(12)
где h =1/а -- половина отношениявысоты ЦИЛИН
дра к его раШ1УСУ. Отметим, что безразмерный
радиус цилиндра равен 1.
Подставляя ~-A.t, с е-Лt , р е-Л1 вместо V; С, р,
соответственно, в (13)-(15) и (17) (где теперь
Уравнение (26) с граничными условиями (27)
будем приближенно решать методом Кангорови
ча [11]. Этот метод предполагает, что одна часть
задачи решается точна. в то время как другая
решается методом Галеркина, В соответствиис
этим методом полагаем:
(27)
(25)
(28)
kJо" (k) =Jо' (k),
с (г,. z) =Р (z) е (7),
штрих обозначает дифференцирование по аргу
менту. Отметим. что уравнение (25) имеет беско
нечно много корней. Легко проверить, что
~[k] = О при r = 1 и z =±h.
Найдем теперь приближенное решение
с = с [k] уравнения (23). где ~ vtk]. Считая, что
С, как и ~ не зависит от <р, получаем из (23)
следующее уравнение для с (7, z):
1~ (г д ·с) + i1-c = =! (hz_ zz)z (Jo(kr) _ 1], (26)
r д r д r д z2 4 Jо (k)
где с, в силу (17), должно удовлетворять следую
щим граничным условиям:
де
с (г, h) = О, а; (1, z) = о,
:~I =Qc(-h).
z= -1.
этого достаточно для определения R [k]). Эти
решения зависят от вещественного параметра k,
причем vtk] являются осесимметричными и имеют
различную радиальную структуру в зависимости
от значения k. Можно ожидать, что минимальное
значение среди всех R [k] будет хорошо аппрок
симироваль Rcrit (для этих заД8Ю1ЫХ 2h и Q).
В качестве V1k] будем использовать осесим
метричное точное решение уравнения непрерыв
ности (24), построенное в [10] для исследования
конвективной неустойчивости подогреваемой
снизу жидкости в вертикальном цилиндре конеч
ной высоты. Цилиндрические компоненты V1kJ:
Vz[k]=i(hZ-ZZ)(~о~:: -I}
У: [k] = z (112 - z2) kJ;(k) (Jo'(k)r - Jo'(kr»). (24)
v<p [k] =О,
где Jo (г) - функция Бесселя нулевого порядка;
k -- корень уравнения
vte, р будут обозначать амплитуды, не зависящие
от времени), получаем для этих амплитуд следую
щую систему:
-л. V+~ - Vp +V2 р- Rcy1 (18)
V·~ О; (19)
- АРе +~ yt: V2c. (20)
Эти амплитуды должны удовлетворять
граничным условиям (17).
Знак Re л (вещественной части) определяет
затухание (Re л > О) или рост (Re л. < О) рассмот
ренного возмущения со временем. Нетрудно ПОК8
З8ТЬ, что для положительных R и Р задача (17)
- (20) является самосопряженной. Следователь-
но, декремент л. - вещественное число и условие
л. = о определяет границу устойчивости, Подстав
ляя л. =о в (18)-(20), получим:
-Vр+V2~Rс~О; (21)
V.·~O; (22)
V2c-~~O. (23)
Если задача (21) - (23) с граничным условием
(17) имеет некоторое решение (vtc,p, R), то это
значение R числа Рэлея определяет начало конвек
цИИ (В рамках линейного анализа устойчивости)
по отношению к этому возмущению V:c,p.
Эксперимент [8] показывает, что в цилин
дрической ячейке конвекция возникает в форме
осесимметричного движения (конвективных
ячеек). Можно предположить, что СИММе1рИЯ
рассматриваемой системы ~~ нелинейные эффекты
препятствуют развитию неосесимметричных
конвективных движений, Следовательно, при
данных 2JJ и Q для оnpедел:еШIЯ начала конвек
ции можно ограничиться лишь нахождением
минимального значения Rcrit числа Рэлея R сре-
ди всех осесимметричных решений (vtc,p,.R)
задачи .(21) - (23) с граничным условием (17).
Это значение Rcrit МЫ будем называть теорети-
чески рассчитанным критическим числом Рэлея
ДЛ~ этих 2}, и Q. Далее 'описывается метод опре
деления Rcrit.
Задача 'точного нахождения Rcrit слишком
сложна' дяя решения, поэтому мы используем
следующий приближенный подход. Для данных
2h и Q определяется некоторое семейство
(V1kj,c [k],р [k], R [k]) приближенных решений
задачи (21) - (23), (17) (на самом деле мы огра
ничимся лишь построением V1k] и с [k], так как
ISSN 0041·6045. УКР. ХИМ. ЖУРН. 2000. Т. 66. нl 7 4S
-)1
где Р (z) ДОЛЖНО УДОВЛетворять следующим
граничным условиям:
Р (h) =О, Р '(-/1) = QP' (-/1). .(29)
где 10 (ш) - модифицированная функция Бесселя
нулевого порядка.
Число Рэлея '~ [k]. соответствующее этим
;;tk] и с [k] == P(z) (~)(r), определяется следующим
образом. Обе части уравнения (21) векторно
умножаются на V1k], татем берется интеграл по
объему ци-линдра. В силу (22) и граничных усло-
(33)
Для заданных 2/, и Q искомая функция
р (з), входящая в приближенное решение с [k] =
= р (z) е (г) уравнения -"(26), выбирается следую..
щим образом. '
Пусть заданы " г, некоторая функция Р (а),
удовлетворяющая (29), и е (7)," соответствующая
этому Р (г) (определяемая выражением (30».
Рассмотрим разницу между левой и правой частя-
ми уравнения (26), где с =Р (z) е (Т). Квадрат этой
разницы будем называть отклонением уравнения
(26) в точке (г. z) по отношению к приближенному
решению с =Р (z) е (г). Мы построили ПЯТЬ
Р8ЗЛИЧНЫХ базисных функций, определенных 1-18
интервале [-11, 11] И удовлетворяющих граничным
условиям (29). В качестве искомой ФУНКЦИИ
Р (z) берется такая линейная комбинация Р (z)
этих пяти базисных функций, которая удовлет
воряет (31) и минимизирует сумму отклонений
уравнения (26) в 14-ти случайно выбранных
точках (г, z) внутри цилиндра по отношению к
с = Р (z) е (г). Коэффициенты этой линейной
комбинации определялись алгоритмом миними
зации функции многих переменных методом
конфигураций,
, После того, как построены искомые Р (z) и
соответствующая е (r), число Рэлея R [k] для этих
заданных 2/1 И Q (обозначаемое как R (k; 2/,. Q»
определяется выражением (34).
Значение k определяется из трансценденталь..
ного уравнения (25). Наименьший корень km =
5.136 этого уравнения был найден численно в
[10]. Наши численные расчеты показали, что для
каждых из рассмотренных 2h и Q, величина
R (k; 2h. Q) быстро монотонно увеличивается с
ростом k (это было установлено для первых деся
ти корней уравнения (25), взятых в порядке их
возрастания), так что можно положить
Rcrit (2/1, Q) = R (km; 2/1, Q).
В работе [8] экспериментально исследова
ЛОСЬ развитие конвективной неустойчивосги в
вий на vt член с градиентом р пропадает, так что
мы получаем:
fV1k].v2V1k]
dJ/ 4cx.2h5(a,2 +k2}2
R [k] = Jс (k] vz(kj dV = 2" 2~J· 2 ) х
315(3 k Р dz
1.
(31)
(30)
h
Jр (h2 - z2)dz
A=!-_h _
1-' 4 ь
Jp 2dz
-h
8' (1)=0,
н
f PP"dz
2 -/.
а. =-/.---
f р2 dz
-/1
Легко видеть, что если
где
Тогда е (r), соответствующее этому Р (г),
получается следующим образом. Подставим (28)
в (26). Полученное уравнение умножим на Р (z)
и проинтегрируем по z ОТ -" до h. В результате
получаем уравнение для е (Т):
8"(т) +1 8'(г) - а,2 8(г) ="/3 (Jo (kr):... 1), (32)
r LJo(k)
Уравнение (32) имеет точное решение, удов
летворяющее (30):
E>(r) =- -~-- х
. сх?(а,2 +k2)
!2 Jo(kr) г; 10(ссг) 2 2 }
х а. --+----(0. +k)
Jo(k) 2 10'(0-) ,
то с (Т, z) удовлетворяет (27).
Далее мы покажем, как для произвольно выб..
раиного р (я), удовлетворяющего (29).н некото
рому дополнительному условию (31), строится
е (r), соответствующая этому Р (я), и как опре..
деляется число Рэлея R [k] для V+[k] и с [k], если
в качестве последней взять Р (z) е (г),
Допустим, что мы построили некоторую функ..
цию Р (z), удовлетворяющую (29), и такую, что
JJ
JРР "dz > о.
РЕЗЮМЕ. В рамках лiнiйноi теорй стiйкостi дослiджeно
граннцю виникнення конвективног неспйкосп бтнарного епек
тропггу, що помiщено у вертикальну цишндричну комтрку
кiнцево'i 8ИСОТИ за умови проведения еяектрохвочно! реакцй,
Для опису границ] конвекцй, що виникае, використовусться
критичне модифiковане число Релея, Для рззних сгпввшношень
висоти цилiндру ДО йоге paдiycy теоретично розрахованi
критичн] числа Репея, що портвнюються зексперииенгальнимн
даними. Отримано задовiльну кореяяшю розрахованих значень
i експериментапьних результапа для випадку, коли вшношення
висоти цилiндра до його рaлiусу не менше олиниш.
SlJ М ~IAR У. А boundary of thecol1vective instabilit)' origil1
il1 t11e binary electrolytc in (Ье vertical cylinder сей of finite
height has Ьееп il1vestigated in the framework оС the Нпеаг stability
theory. Modified critical Rayleigh number has been used for
description оС (Ье boundary оС convection origin. SHch critical
Rayleigll ппптэегв were calculated theoreticalty Гог various гапов
Ьегв'ееп cylinder height and radius and then соптрагес (о those
obtained from experimental data. Our results proved good соггс
[апоп between calculated and experimental data: Гог the case
when the ratio was less than опе,
1, Спапапиекна« S. Hydrodynamic and' Hydron1agnetic 1nsta
bility. -Ьопёоп: Oxfocc$ UJliv,. Ргевв., 1961.
2. BaraпoK'ski В., Kawczynski А. L. 11 Electrochim. Аега. -1972.
-17. ·Р. 695-699.
-З. Baranowski В. 11 J. Non-Equilb. Them10dyn. ·1980 .. -5. -Р.
67-72.
4. Barat1ow.ski В., КawcUJ11Ski А. L 11 Roczn. сЬет. -1910.
-44~ -Р. 2447-2459. .:
5. Nec/liporuk V: V., E/gurt 1. L. 11 Electrochim. Acta. -199t.
-36. ·Р. 321-323.
6. Nechiporuk v: 11:, Elgurt J. L.• Al1drucl,e1lsky N. М. 11 Ihid.
·1992. -38. -Р. 143-146. .
7. Нечunорук В. В., Элыурт И. л. Самоорганизация в элек
трохимических CllcтeMax. ·М.: НауХа, t 992.
8. NecJ.iporuk ~, WiJ1kler 1.• Plevan 1. 11 Polish J. СЬет. -1994.
-68. -р. 859-863.
9. NeclJiporllk. V. ~. Korzlulc V: Р., Babiuk D. Р. 11 Ibid. -1996.
·70. -Р. 334-342.
10. ГеРШУНfl r. З.. ЖУХОВUЦКI4U Е. М. Конвективная устойчи
вость несжимаемой жндICоcrи. -М.: Наука, 1972.
11. Канторович Л. В., Крылоtl В. И. ПриближеJ:ные методы
высшего анализа. -М.: Наука, 1962. ·с. 323.
12. Григuн А. П., Шаnовалоtl А. П.. JI ИЗВ. АН СССР. Сер.
'·Механика жидкости .. газа".-J987.•N<2 5. -с. 8-12.
13. Грuгин А. П. 11 ЭJ[еКТРОХIIМИЯ. -1992. -18. -с. 307-333.
14. Нечu"орук В. В., BUH1UIep И. А. 11 Там же. -1994. -30.
.с. 1389-1391.
заряды И действоватькулоновскиссилы, которые
уменьшают критические числа Рэлея [12, 13].
Известно также [14], что приэлектродные СЛОИ в
таких условиях частично перекрываются, что
приводит к дополнигельной дестабилизации
системы. Все эти факторы, не учитываемые пр ...ше
денной выше моделью , могут вести к дополни
тельной потере устойчивости электрохимической
системы, возрастающей по мере сближения элек
трОДОВ.
1.11.11
d"-----..-------...----.....--
1.1
Экспериментально найденные энвчення Rcx (е) и теоретически
рассчитанные значения R, (.) J(РJПtlчесJCОГО числа Рэлея ДЛЯ
рассмотренныхвеличин 2h-отноwенlUIвысоты цюnmдpа J( его
радиусу.
IiJОВ
цилиндрической ячейке конечной высоты. Изме
ренный при этом градиент концентрации, при
водивший к возникновению конвекции, позво
ЛИЛ нам рассчитать Q == Qex и. 'эксперименrаль
ное значение Rex критического числа Рэлея.
Для сравнения теоретически рассчитанных
данных с результатами эксперимента мы вычис-
пили я, =Rcrit(2h, Q)= R (km ; 211, Qex) для всех
рассмотренных в эксперименте 2h. На рисунке
показаны значения Rexи R, ДЛЯ этих 2h. Интересно
отметить, что для пяти значений 2h > 1 разность
Iя, - Rex I составляет менее 5 О/О от Rex' а для
четырех из этих значений - менее 2 0/0.
Заметим, что в [9] авторы использовали в
качестве Р (а) фиксированную функцию. Этот
выбор функции Р (z) дал хорошее согласие с
экспериментом [2, З] в предельном случае 1, -+-О
(также было показано, что R/, как и RexJ растет
с уменьшением /1) но для рассматриваемых здесь
восьми значений 2J1 привел к значительному
расхождению. В настоящей, работе для части
значений 2/1 этот недостаток преодолен.
Из рисунка видно, что для 2h < l расхождение
между эксперимеlпалыIйй и теорenIчеекой
ICpI-ШЫМИ растет с уменьшением 2h. Это явление
может быть вызвано особенностями поведеЮlЯ
электрохимической системы при MaJlы�x межэлек
ТPOДНbIX расстояЮlЯХ. Дело ~ TOM~ что D таких
условиях приэлек1рОДНЫЙ слой электролита у
каждого элеI<1pода уже испы�ьlваетT ВШlяние со
стороны бmlзкорасположеШIОГО другого электро
да. Могут возникать объемные эJIектрические
Чер.,оВИЦКJlЙ государственный YHIfBepClrreт Поступила 28.09.98
ISSN 0041-6045. УКР. ХИМ. ЖУРН. 2000. Т. 66, ,Ng 7 47
|