Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь
We prove the theorem on the continuous dependence of a solution to a degenerate system of differential equations on a parameter in the case of non-fulfilment of the condition ''rank-degree''.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1846 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь /В.В. Потороча, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 33–37. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859660287582404608 |
|---|---|
| author | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. |
| author_facet | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. |
| citation_txt | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь /В.В. Потороча, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 33–37. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We prove the theorem on the continuous dependence of a solution to a degenerate system of differential equations on a parameter in the case of non-fulfilment of the condition ''rank-degree''.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:42:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Таким образом, принимая во внимание (3), (11) и представление общего непрерывного
при t > T решения системы уравнений (12), можно получить представление общего непре-
рывного при t > T решения системы уравнений (1):
x(t) = γ(t)Cỹ(t). (14)
1. Birkhoff G.D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Soc. – 1911. – 12, No 2. –
P. 242–284.
2. Быков Я.В., Линенко В. Г. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравне-
ний. – Фрунзе: Илим, 1968. – 127 с.
3. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно-периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
4. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – Москва: Мир, 1971. – 307 с.
5. Пелюх Г.П. Общее решение одного класса систем линейных разностных уравнений с периодическими
коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 3. – С. 514–519.
6. Пелюх Г.П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл.
АН. – 1994. – 336, № 4. – С. 451–452.
7. Пелюх Г.П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Там
же. – 2006. – 73, № 2. – С. 269–272.
Поступило в редакцию 22.06.2006Институт математики НАН Украины, Киев
УДК 517.9
© 2007
В.В. Потороча, В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко
Про залежнiсть розв’язку вiд параметра виродженої
системи диференцiальних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України Ю.О. Митропольським)
We prove the theorem on the continuous dependence of a solution to a degenerate system of
differential equations on a parameter in the case of non-fulfilment of the condition “rank-degree”.
При асимптотичному iнтегруваннi [1] диференцiальних рiвнянь з малим параметром iстотно
використовуються теореми про неперервну залежнiсть їх розв’язку вiд малого параметра.
Якщо така система регулярним чином залежить вiд малого параметра, то використову-
ються класичнi теореми [2–4] про неперервну (нескiнченно неперервну) диференцiйовнiсть
розв’язку вiд параметра, а у випадку, коли розглядаються сингулярно збуренi диферен-
цiальнi рiвняння, — теорема Тихонова [5], доведена автором для систем, якi називаються
системами Тихонова [6]. Ця ж теорема фактично може бути використана як пiдгрунтя для
обгрунтування асимптотичного характеру так званих формальних розв’язкiв у випадку
сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь цiлого рангу [7–9].
Проблема залежностi розв’язку вiд параметра iстотно ускладнюється у випадку сингу-
лярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з виродженням, тобто у випадку, коли такi
системи мiстять деяку особливу матрицю при похiднiй i коли, як наслiдок, таку систему
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 33
не можна звести до iншої системи диференцiальних рiвнянь цiлого рангу, оскiльки внаслi-
док виродженостi матрицi при похiднiй такi системи зводяться до так званих гiбридних
систем рiвнянь [8–10]. При цьому iстотне значення мають властивостi в’язки матриць [8] та
жорданова структура матрицi при похiднiй.
В [11] доведено теорему про неперервно диференцiйовну залежнiсть вiд параметра роз-
в’язку задачi Кошi для системи диференцiальних рiвнянь з виродженням у випадку вико-
нання умови “ранг-степiнь” [8, 12]. У данiй роботi цей результат поширено на випадок, коли
умова “ранг-степiнь” не виконується.
Постановка задачi. Розглядається вироджена система диференцiальних рiвнянь
B(t, λ)
dx
dt
= f(t, x, λ) (1)
з початковою умовою
x(t0, λ) = x0(λ), (2)
де f(t, x, λ) : R
n+1 × I(λ0) → R
n, I(λ0) = (λ0 − δ, λ0 + δ), δ > 0, λ0 — деяке фiксоване число,
B(t, λ) — особлива (n × n)-матриця.
Надалi припускаємо, що для системи (1) виконуються такi умови:
1) detB(t, λ) ≡ 0 при всiх λ ∈ I(λ0), t ∈ (a; b), де (a; b) — деякий iнтервал, що мiстить
точку t0;
2) при кожному λ ∈ I(λ0) та всiх t ∈ (a; b) в’язка матриць E − κB(t, λ) має один кра-
тний скiнченний та один кратний нескiнченний елементарний дiльник кратностей s та m
вiдповiдно, кратнiсть яких не залежить вiд λ та t (s + m = n);
3) вектор-функцiя f(t, x, λ) є n раз неперервно диференцiйовною стосовно змiнних
(t, x,λ) в областi G = R
n+1 × I(λ0);
4) матриця B(t, λ) є n + 1 раз неперервно диференцiйовною стосовно змiнних (t, λ) i не
змiнює свого рангу в областi G;
5) задача Кошi (1), (2) має єдиний розв’язок x = ϕ(t, λ), який при кожному λ ∈ I(λ0)
визначено на iнтервалi (a; b);
6) вектор початкових умов (2) неперервно диференцiйовно залежить вiд λ.
Як вiдомо [12], при виконаннi умов 1, 2 iснують такi неперервно диференцiйовнi за t, λ
неособливi матрицi P (t, λ) та Q(t, λ), що для всiх t ∈ (a; b) та λ ∈ I(λ0) справедлива рiвнiсть
P (t, λ)B(t, λ)Q(t, λ) = H, H = diag(Es, J), (3)
де Es — одинична (s×s)-матриця; J — нiльпотентна Жорданова (m×m)-матриця, s+m = n.
Тодi, виконавши в системi (1) замiну
x = Q(t, λ)y, (4)
перейдемо вiд початкової задачi (1), (2) до еквiвалентної задачi Кошi
H
dy
dt
= G(t, y, λ), (5)
y0(t0, λ) = Q−1(t0, λ)x0(λ), (6)
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
де
G(t, y, λ) = P (t, λ)f(t,Q(t, λ)y, λ) − HQ−1(t, λ)
d
dt
Q(t, λ)y. (7)
Враховуючи структуру матрицi H, систему (5) можна записати у виглядi:
du
dt
= G1(t, u, v, λ), (8)
J
dv
dt
= G2(t, u, v, λ), (9)
де y = colon(u, v), G(t, y, λ) = colon(G1(t, u, v, λ), G2(t, u, v, λ)) = colon(g1(t, u, v, λ),
g2(t, u, v, λ), . . . , gn(t, u, v, λ)); u,G1 ∈ R
s, v,G2 ∈ R
m, s + m = n.
Справедлива теорема.
Теорема. Нехай виконуються умови 1–6. Тодi розв’язок ϕ(t, λ) задачi (1), (2) як функ-
цiя параметра λ є неперервно диференцiйовною функцiєю стосовно λ в точцi λ = λ0 при
кожному t з деякого околу точки t0. Бiльше того, якщо функцiя f(t, x, λ) є k + n раз
неперервно диференцiйовною стосовно x, λ в областi G, то ϕ(t, λ) як функцiя параметра λ
є k раз неперервно диференцiйовною функцiєю стосовно λ в точцi λ = λ0 при кожному t
з деякого околу точки t0.
Доведення. З умови 6 та неособливостi матрицi Q(t, λ) випливає, що задача Кошi (8),
(9), (6) має єдиний розв’язок y(t, λ) = Q−1(t, λ)ϕ(t, λ), який при кожному λ ∈ I(λ0) визна-
чено на iнтервалi (a; b).
На пiдставi неперервної диференцiйовностi вектор-функцiї f(t, x, λ) та матриць B(t, λ),
P (t, λ), Q(t, λ) при λ ∈ I(λ0) та t ∈ (a; b) вектор-функцiя G(t, y, λ) є неперервно диференцi-
йовною в деякому околi V точки (t0, y0, λ0), а матриця ∂G/∂y — неперервною в околi V .
Покладемо z = colon(u1, u2, . . . , us, v2, v3, . . . , vn) = colon(z1, z2, . . . , zn−1), F (t, z, v1, λ) =
= colon(g1(t, z, v1, λ), g2(t, z, v1, λ), . . . , gn−1(t, z, v1, λ)). Тодi система (8), (9) перепишеться
у виглядi:
dz
dt
= F (t, z, v1, λ), (10)
gn(t, z, v1, λ) = 0. (11)
Покажемо, що розв’язок y = y(t, λ) задачi Кошi (8), (9), (6) неперервно диференцiйовно
залежить вiд параметра λ.
З умови 6 випливає, що
∂gn(t, y, λ)
∂y
6= 0 в деякому проколотому околi V̇1 ⊂ V точки
(t0, y0, λ0).
Розглянемо такi випадки:
I)
∂gn(t, z, v1, λ)
∂v1
6= 0 в околi V̇1;
II)
∂gn(t, z, v1, λ)
∂v1
= 0,
∂gn(t, z, v1, λ)
∂z
6= 0, в околi V̇1.
Випадок I. Враховуючи неперервну диференцiйовнiсть за всiма змiнними функцiї
gn(t, y, λ), рiвнiсть gn(t0, y0, λ0) = 0, єдинiсть розв’язку задачi (10), (11), (6), на пiдставi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 35
теореми про неявну функцiю маємо, що iснує окiл U точки (t0, z0, λ0) та функцiя h(t, z, λ)
такi, що для всiх (t, z, λ) ∈ U виконується рiвнiсть R(t, z, h(t, z, λ), λ) = 0, тобто
v1 = h(t, z, λ) (12)
є функцiєю, що неявно визначена рiвнiстю (11). При цьому функцiя h(t, z, λ) в околi U
є неперервно диференцiйовною за (t, z, λ) ∈ U .
Тодi, пiдставивши (12) в (11), використовуючи теорему [2–4] про залежнiсть розв’язку
задачi Кошi вiд параметра для нормальної системи диференцiальних рiвнянь, враховую-
чи (11), робимо висновок, що розв’язок задачi (10), (11), (6) неперервно диференцiйовний
за λ в точцi λ = λ0 при всiх t з деякого околу точки t0, а отже, функцiя x = ϕ(t, λ) —
розв’язок задачi (1), (2) є неперервно диференцiйовною за λ в точцi λ = λ0 при всiх t
з деякого околу точки t0.
Випадок II. Оскiльки в околi V̇1 вектор-функцiя
∂gn(t, z, v1, λ)
∂z
вiдмiнна вiд нуля, то хоча
б одна з величин
∂gn(t, z, v1, λ)
∂zi
, i = 1, n − 1, вiдмiнна вiд нуля. Не втрачаючи загальностi
будемо вважати, що
∂gn(t, z, v1, λ)
∂zn−1
6= 0 в околi V̇1. Позначимо ξ = colon(z1, z2, . . . , zn−2),
тодi, враховуючи неперервну диференцiйовнiсть за всiма змiнними функцiї gn(t, z, v1, λ),
рiвнiсть gn(t0, z0, v10, λ0) = 0, єдинiсть розв’язку задачi (10), (11), (6), на пiдставi теореми
про неявну функцiю маємо, що iснує окiл U точки (t0, ξ0, v10, λ0) та функцiя h(t, ξ, v1, λ)
такi, що для всiх (t, ξ, v1, λ) ∈ U виконується рiвнiсть h(t, ξ, h(t, ξ, v1, λ), v1, λ) = 0, тобто
zn−1 = h(t, ξ, v1, λ) (13)
є функцiєю, що неявно визначена рiвнiстю (11). При цьому функцiя h(t, ξ, v1, λ) в околi U
є неперервно диференцiйовною за (t, ξ, v1, λ) ∈ U .
Пiдставивши (13) в (10), одержимо систему вигляду
dξ
dt
= R1(t, ξ, v1, λ), (14)
R2(t, ξ, v1, λ) = 0, (15)
де
R2(t, ξ, v1, λ) =
h(t, ξ, v1, λ)
dt
− gn−1(t, ξ, h(t, ξ, v1, λ), v1, λ),
R1(t, ξ, v1λ) = colon(g1(t, ξ, h(t, ξ, v1, λ), v1, λ), . . . , gn−2(t, ξ, h(t, ξ, v1, λ), v1, λ)).
Одержана система (14), (15) складається з n−2 диференцiальних рiвнянь i одного функ-
цiонального спiввiдношення. Ця система з початковими умовами для функцiй ξ, v1, якi мож-
на однозначно отримати з початкових умов (6), повнiстю аналогiчна задачi (10), (11), (6),
але на вiдмiну вiд неї мiстить вже лише (n − 1)-е рiвняння для (n − 1)-ї невiдомої функцiї.
Повторюючи мiркування, викладенi вище при аналiзi задачi (10), (11), (6), порядок сис-
теми (14), (15) можна понизити на 1, а отже, за скiнченну кiлькiсть крокiв задачу (10),
(11), (6) можна звести або до задачi Кошi для деякої системи диференцiальних рiвнянь
з початковими умовами, що випливають з (6), або ж до спiввiдношень, якi неявним чином
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
визначають невiдому функцiю, та вiдповiдних “початкових” умов для такої функцiї, якi ви-
пливають з (6). У кожному з цих випадкiв розв’язок неперервно диференцiйовно залежить
вiд λ в точцi λ0.
Теорему доведено.
Таким чином, доведено теорему про неперервно диференцiйовну залежнiсть вiд пара-
метра розв’язку задачi Кошi для виродженої нелiнiйної системи диференцiальних рiвнянь.
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Наука, 1974. – 503 с.
2. Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы ва-
риационного исчисления. – Москва: Наука, 1982. – 288 с.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Москва: Наука, 1974. – 331 с.
4. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференцiальнi рiвняння. – Київ: Либiдь, 2003. –
600 с.
5. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем.
сб. – 1948. – 22 (69), № 2. – С. 193–204.
6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – Моск-
ва: Высш. шк., 1990. – 208 с.
7. Шкiль М. I. Асимптотичнi методи в диференцiальних рiвняннях. – Київ: Вища шк., 1971. – 228 с.
8. Шкiль М. I., Старун I. I., Яковець В.П. Асимптотичне iнтегрування лiнiйних систем звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь. – Київ: Вища шк., 1989. – 287 с.
9. Потороча В.В. Самойленко В. Г. Асимптотична оцiнка для наближеного розв’язку задачi Кошi для
сингулярно збурених лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з виродженням та iмпульсною дiєю
у випадку кратних коренiв // Доп. НАН України. – 2005. – № 12. – С. 45–50.
10. Самойленко А.М., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
ням. – Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
11. Потороча В. В., Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Неперервно диференцiйовна залежнiсть розв’яз-
ку виродженої системи диференцiальних рiвнянь вiд параметра // Доп. НАН України. – 2006. –
№ 12. – С. 19–24.
12. Старун И.И., Шкиль Н.И. Расщепление сингулярно возмущенных систем // Укр. мат. журн. –
1995. – 47, № 11. – С. 1542–1548.
Надiйшло до редакцiї 20.06.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1846 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:42:32Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. 2008-09-03T08:39:00Z 2008-09-03T08:39:00Z 2007 Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь /В.В. Потороча, В.Г. Самойленко, Ю.І. Самойленко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 33–37. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1846 517.9 We prove the theorem on the continuous dependence of a solution to a degenerate system of differential equations on a parameter in the case of non-fulfilment of the condition ''rank-degree''. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь Article published earlier |
| spellingShingle | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.І. Математика |
| title | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| title_full | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| title_short | Про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| title_sort | про залежність розв'язку від параметра виродженої системи диференціальних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1846 |
| work_keys_str_mv | AT potoročavv prozaležnístʹrozvâzkuvídparametravirodženoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ AT samoilenkovg prozaležnístʹrozvâzkuvídparametravirodženoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ AT samoilenkoûí prozaležnístʹrozvâzkuvídparametravirodženoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ |