Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом
The groups with central cyclic commutant are considered. The finitely generated groups with infinite central cyclic commutant are completely described.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1847 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом / Т.М. Немчанінова // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 23–29. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859651541149941760 |
|---|---|
| author | Немчанінова, Т.М. |
| author_facet | Немчанінова, Т.М. |
| citation_txt | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом / Т.М. Немчанінова // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 23–29. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The groups with central cyclic commutant are considered. The finitely generated groups with infinite central cyclic commutant are completely described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:34:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2007
Т.М. Немчанiнова
Групи з нескiнченним центральним циклiчним
комутантом
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
The groups with central cyclic commutant are considered. The finitely generated groups with
infinite central cyclic commutant are completely described.
Скiнченно породженi групи з комутантом порядку p описано в роботi [1]. У роботi [2] прове-
дено класифiкацiю груп з циклiчним комутантом порядку pq. Довiльнi 2-породженi групи
з центральним циклiчним комутантом описано в роботi [3].
У данiй роботi повнiстю описуються скiнченно породженi групи з нескiнченним цент-
ральним циклiчним комутантом (теорема 3).
Групи з неодиничним центральним циклiчним комутантом назвемо ω-групами. З ле-
ми 2.2 [4] випливає таке твердження.
Твердження 1. Нехай G — група, H = 〈a, b〉 — її пiдгрупа, [a, b] = c, [a, c] = 1, [b, c] = 1,
тобто c ∈ Z(H). Тодi
[ai, bj ] = [a, bij ] = [aij , b] = [a, b]ij = [ai, b]j = [a, bj ]i = [aj , bi] = [a, bi]j = [aj , b]i
для всiх i, j ∈ Z.
Означення 1 [5]. Група G називається FC-групою, якщо кожний її елемент має скiн-
ченне число спряжених. Перiодична FC-група називається локально нормальною.
Твердження 2 [5]. Будь-яка FC-група G мiстить таку центральну одиничну чи без
скруту пiдгрупу Z, що G/Z — локально нормальна група.
Лема 1. Примарна ω-група G мiстить таку нормальну пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ =
= G′ = 〈u〉, u = [a, b], |u| = pδ, δ ∈ N.
Наслiдок 1. Нехай G — перiодична ω-група. Тодi вона мiстить таку скiнченну нор-
мальну пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉, u = [a, b] 6= 1, |u| < ∞.
Наслiдок 2. Нехай G — довiльна ω-група зi скiнченним комутантом G′. Тодi вона
мiстить таку нормальну пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉, u = [a, b] 6= 1.
Лема 2. Для будь-яких цiлих чисел m, n, r на змiнних i, j, k, s, t, l нижченаведена
система рiвнянь має розв’язки в цiлих числах
sj − it = m,
sk − li = n,
tk − lj = r.
Лема 3. ω-група G з нескiнченним комутантом G′ має таку нормальну пiдгрупу A =
= 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉, u = [a, b], A = (〈u〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, |u| = |a| = |b| = ∞, 〈u〉 = Z(A).
Теорема 1. Будь-яка група G з центральним циклiчним комутантом мiстить таку
пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉 6 Z(G), u = [a, b], G = A ·CG(A), i будь-який елемент
iз G′ є комутатором деяких двох елементiв iз A.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 23
Доведення. Нехай G — дослiджувана група. Покажемо спочатку, що G мiстить таку
нормальну пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉, де u = [a, b].
Нехай G — перiодична група. Тодi iснування шуканої пiдгрупи A випливає з наслiдку 1.
Нехай тепер G — неперiодична група. Якщо |G′| < ∞, то iснування A = 〈a, b〉 випливає
з наслiдку 2.
Нехай, нарештi, |G′| = ∞. Тодi iснування A випливає з леми 3.
Отже, у групi G завжди iснує шукана пiдгрупа A = 〈a, b〉. Оскiльки A
⋂
G′ = A′ = G′ 6
6 Z(G), то за лемою 1.1.2 з [6] G = A · CG(A).
Нехай f ∈ G′. Тодi f = ui, i ∈ Z. Оскiльки G′ = 〈u〉 6 Z(G) i u = [a, b], то, за тверджен-
ням 1, [ai, b] = [a, b]i = ui = f . Теорему доведено.
Наслiдок 3. Будь-яка група G з центральним циклiчним комутантом G′ = 〈u〉 мiс-
тить таку нормальну пiдгрупу A = 〈a, b〉, що A′ = G′ = 〈u〉 6 Z(G), u = [a, b], i A —
група одного з типiв:
1) A = 〈a〉 × 〈b〉, u = 1;
2) A = 〈a, b〉, |a| = |b| = 4, a2 = b2 = [a, b] — група кватернiонiв порядку 8;
3) A = 〈a〉 ⋋ 〈b〉, |a| = 4, |b| ∈ {2β ,∞}, β > 0, b−1ab = a−1;
4) A = 〈a〉⋋〈b〉, |a| = pα, |b| ∈ {pβ,∞}, [a, b] = apk
, α, β, k ∈ N, 0 < α−k 6 k < α, pk > 2;
5) A = 〈a〉 · 〈b〉, |a| = pα, |b| = pβ, [a, b] = apk
, 〈a〉
⋂
〈b〉 = 〈apm
〉 = 〈bpn
〉, α, β, m, n, k ∈ N,
0 < α − k 6 k < m < α < β;
6) A = 〈a〉 ⋋ 〈b〉 — неабелева група, 〈a〉 =
n
×
i=1
〈ai〉, n > 1, |ai| = pαi
i , αi > 0, |b| = ∞,
〈ai〉 ⋋ 〈b〉 — група одного з типiв 1, 3, 4;
7) A = (〈u〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, u 6= 1, |u| = r ∈ N, |a| ∈ {m,∞}, |b| ∈ {n,∞}, m, n ∈ N, m,
n дiляться на r;
8) A = (〈u〉 · 〈a〉) ⋋ 〈b〉, |u| = pγ, |a| = pα, |b| ∈ {pβ,∞}, α, β, γ ∈ N, 〈u〉
⋂
〈a〉 = 〈upm
〉 =
= 〈apn
〉, 1 < m < γ 6 n < α, γ 6 β, [u, b] = 1;
9) A = (〈u〉 · 〈a〉) · 〈b〉, |a| = |b| = 2α, |u| = 2γ , α = γ + 1 > 2, 〈u〉
⋂
〈a〉 = (〈u〉 · 〈a〉)
⋂
〈b〉 =
= ω(〈b〉);
10) A = (〈u〉 · 〈a〉) · 〈b〉, |a| = pα, |b| = pβ, |u| = pγ, α > β > γ > 2, 〈u〉 > (〈u〉
⋂
〈b〉) >
> (〈u〉
⋂
〈a〉) = (〈u〉 · 〈a〉)
⋂
〈b〉 > 1, [a, u] = [b, u] = 1;
11) A =
n
×
i=1
Pi — скiнченна непримарна неабелева група, Pi — силовська pi-пiдгрупа
групи G, що є групою одного з типiв 1–5, 7–10.
Теорема 2. 3-породженi групи G з нескiнченним центральним циклiчним комутан-
том G′ мають вигляд
G = A · Z(G),
де A = (〈u〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, u = [a, b], |a| = |b| = |u| = ∞, A
⋂
Z(G) = 〈u〉, та вичерпуються
групами типiв:
1) G = (〈z〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, 〈u〉 < 〈z〉;
2) G = A × 〈d〉;
3) G = ((〈z〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉) × 〈d〉, [b, z] = 1, u = zs, s > 1, 1 < |d| = n < ∞, (s, n) = 1;
4) G = (〈d〉 × 〈z〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, |z| = ∞, |d| = n = sm, u = zidtm, 0 < t < s, s, m, t, n ∈ N,
i ∈ Z, (t, s) = (i,m) = 1, |i| > 1.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай G — дослiджувана група. Тодi G′ = 〈u〉 6 Z(G),
|u| = ∞.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Зрозумiло, що G задовольняє умову теореми 1, за твердженням якої G = A · D, де
A = 〈a, b〉, [a, b] = u, D = CG(A), 〈u〉 6 Z(G) = D
⋂
A. Оскiльки |u| = ∞, то, за лемою 3,
A = (〈u〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, |a| = |b| = |u| = ∞, Z(A) = 〈u〉. Звiдси D
⋂
A = 〈u〉.
Ясно, що G/〈u〉 = (D/〈u〉) × (A/〈u〉) — 3-породжена абелева група i A/〈u〉 — вiльна
абелева група рангу 2. Iз цього випливає, що D/〈u〉 — циклiчна група.
Нехай спочатку D = 〈z〉. Тодi 〈z〉 = Z(G) i G = (〈z〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉 — група типу 1.
Нехай надалi D — нециклiчна група. Тодi D/〈u〉 — неодинична циклiчна група i, отже,
D — розширення своєї центральної пiдгрупи 〈u〉 за допомогою циклiчної групи. Iз цього
випливає, що D — 2-породжена абелева група i D = Z(G). Припустимо, що для деякого
n ∈ Z [an, b] = 1 або [a, bn] = 1. Тодi, за твердженням 2, [an, b] = [a, b]n = un = [a, bn] = 1.
Оскiльки |u| = ∞ i un = 1, то n = 0. Iз цього випливає, що D
⋂
〈a〉 = 〈D, 〈a〉〉
⋂
〈b〉 = 1,
а тому G = (D × 〈a〉) ⋋ 〈b〉.
Нехай 〈z〉 — максимальна циклiчна група iз D, що мiстить 〈u〉. Можливi випадки:
1) деяка 〈z〉 доповнюється в D;
2) жодна 〈z〉 не доповнюється в D.
Випадок 1. У цьому випадку D = 〈d〉×〈z〉, d = 1. За попереднiм, D/〈u〉 = 〈〈u〉d〉×〈〈u〉z〉 —
циклiчна група, 〈d〉
⋂
〈u〉 = 1, π(|d|)
⋂
π(|〈z〉 : 〈u〉|) = ∅, π(∞) — множина всiх простих
чисел.
Тепер, при 〈u〉 = 〈z〉 D = 〈d〉 × 〈u〉 i G = 〈a〉 × 〈d〉 — група типу 2.
Нехай 〈u〉 < 〈z〉. Тодi |d| = n < ∞. За попереднiм, π(|d|)
⋂
π(|〈z〉 : 〈u〉|) = ∅, i G = 〈d〉 ×
× 〈z, a, b〉 — група типу 3.
Випадок 1 розглянуто повнiстю.
Випадок 2. У цьому випадку очевидно, що 〈u〉 не доповнюється в D. Оскiльки D —
2-породжена нескiнченна нециклiчна абелева група, то D = 〈z〉× 〈d〉, |z| = ∞, d 6= 1, а тому
u = zidj, i, j ∈ Z, i в розглядуваному випадку u 6∈ 〈z〉, u 6∈ 〈d〉, а тому ij 6= 0, |j| < |d|.
Можливi випадки:
2.1) 〈u〉
⋂
〈z〉 = 1;
2.2) 〈u〉
⋂
〈z〉 6= 1.
Випадок 2.1. У цьому випадку з недоповнюваностi 〈u〉 в D випливає, що
〈z〉 × 〈u〉 = X < D,
|X : 〈z〉| = |D : 〈z〉| = |d| = ∞.
Звiдси, без порушення загальностi, маємо, що 〈u〉
⋂
〈d〉 = 1.
Нехай 〈x〉 — максимальна циклiчна пiдгрупа з D, що мiстить u. У розглядуваному
випадку 〈x〉 не доповнюється в D. За попереднiм, D/〈u〉 — циклiчна група, а тому циклiчною
групою буде i D/〈x〉. Оскiльки |d| = ∞, то 〈d〉 — максимальна циклiчна пiдгрупа iз D
i D/〈x〉 = 〈〈x〉d〉. Звiдси D = 〈x〉 × 〈d〉, що неможливо, оскiльки 〈x〉 не доповнюється в D.
Отже, випадок 2.1 неможливий.
Випадок 2.2. У цьому випадку 〈z〉
⋂
〈u〉 = 〈v〉, де v = zl = us, u 6∈ 〈z〉, u 6∈ 〈d〉, u = zidj ,
ij 6= 0, 1 < j < n, s > 1, |i| > 1, |l| > 1. При |d| = ∞ одержимо, що 〈u〉
⋂
〈d〉 = 1 i прийдемо до
випадку 2.1. Отже, вважаємо, що |d| = n < ∞, n > 1. Зрозумiло, що D/〈z〉 = 〈〈z〉d〉 > 〈〈z〉u〉,
|〈z〉d| = n, |〈z〉u| = s. Звiдси n = sm. Оскiльки |z| = ∞ i zl = us = zis · djs, то l = is. З умов
〈z〉u = 〈z〉dj , djs ∈ 〈z〉, 〈d〉
⋂
〈z〉 = 1 випливає, що js = tn = tsm, а отже, j = tm. Оскiльки
тепер u = zidtm i, очевидно, s — найменше додатне число, для якого 〈z〉
⋂
〈u〉 = 〈us〉, то
(t, s) = 1, t > 0. Зрозумiло, що 1 < j = tm < n = sm. Звiдси 0 < t < s.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 25
Покладемо D = D/〈v〉, z = 〈v〉z, u = 〈v〉u, d = 〈v〉d. Звiдси
D = 〈z〉 × 〈d〉, |z| = l = is, |d| = n = sm, |u| = s.
За попереднiм, D/〈u〉 ≃ D/〈u〉 — циклiчна група. Нехай T = 〈zs〉 × 〈ds〉. Тодi u ∈ T ,
|〈T 〉z| = i, |〈T 〉d| = m. Оскiльки u ∈ T , D/〈u〉 — скiнченна циклiчна група, то циклiчною
буде i група D/〈T 〉 = 〈〈T 〉z, 〈T 〉d〉. Iз цього випливає, що |〈T 〉z| = i та |〈T 〉d| = m є взаємно
простими числами. Отже, G — група типу 4. Випадок 2.2 розглянуто повнiстю. Необхiднiсть
доведено.
Достатнiсть. Нехай G — група одного з типiв 1–4. Тодi G = (D×〈a〉)⋋〈b〉, |a| = |b| = ∞,
[a, b] = u ∈ D 6 Z(G), |u| = ∞, G′ = 〈u〉. У групi G типу 1 D = 〈z〉, у групi G типу 2
D = 〈u〉 × 〈d〉, у типах 3, 4 D = 〈z〉 × 〈d〉.
Для завершення доведення достатностi залишається показати, що
G = 〈x1, x2, x3〉.
Очевидно, що для групи G типу 1 правильно, що G = 〈z, a, b〉, у групi G типу 2 маємо,
що G = 〈d, a, b〉.
Нехай G — група типу 3. Покладемо x1 = g = zd, x2 = a, x3 = b i G1 = 〈x1, x2, x3〉. Тодi
G1 = (D1×〈a〉)⋋〈b〉, 〈g, u〉 = D1 6 D 6 Z(G). Зрозумiло, що gn ∈ D1, u = zs ∈ D1. Оскiльки
(n, s) = 1, то iснують такi n1, s1 ∈ Z, що n·n1+s·s1 = 1. Звiдси znn1+ss1 = z ∈ D1. Зрозумiло,
що i z−1g = z−1zd = d ∈ D1. Звiдси D1 = 〈z〉 × 〈d〉 = D, а тому G1 = G. Достатнiсть для
груп типу 3 доведено.
Нехай G — група типу 4. У її описi присутнi числа i, n = sm, tm, для яких (i,m) =
= (s, t) = 1. Iз цього випливає, що π(i)
⋂
π(m) = π(s)
⋂
π(t) = ∅.
Нехай M1 = π((i, n)) — множина всiх спiльних простих дiльникiв чисел i та n, M2 =
= π((t,m, n)). Тодi M1
⋃
M2 ⊆ π(n). Припустимо, що p ∈ M1. Тодi з умови (i,m) = 1
випливає, що p 6∈ π(m), але p ∈ π(n) = π(sm) i, отже, p ∈ π(s). Оскiльки (s, t) = 1, то
p 6∈ π(t). Звiдси p 6∈ π(mt). Отже, p 6∈ M2. Iз цього випливає, що M1
⋂
M2 = ∅.
Отже, M3 = π(n) \ (M1 + M2). Тодi π(n) = M1 + M2 + M3. Нехай r — добуток усiх чисел
з M3, g = z · dr = x1, x2 = a, x3 = b.
G1 = 〈x1, x2, x3〉 = (D1 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, 〈g, u〉 = D1 6 D 6 Z(G). Зрозумiло, що |D1 : 〈g〉| 6
6 |D : 〈g〉| = n. Iз цього випливає, що iснує таке найменше натуральне k, для якого uk = gl,
l ∈ Z. Звiдси (zidtm)k = (z · dr)l, тобто zikdtmk = zl · drl. Отже, zl−ik = dtmk−rl. Оскiльки
|z| = ∞, 〈d〉
⋂
〈z〉 = 1, то l = ik, tmk−rl ≡ 0 (mod n). Але тодi tmk−rik = k(tm−ri) = kh ≡ 0
(mod n), де h = tm − ri.
Покажемо, що (h, n) = 1. Припустимо, що це не так. Тодi iснує p, що дiлить як h, так
i n. Звiдси випливає, що p належить тiльки однiй з множин M1, M2, M3. Але тодi p дiлить
тiльки одне з двох чисел: або mt, або ri, що неможливо. Отже, (h, n) = 1.
Оскiльки (k, h) ≡ 0 (mod n), то k = fn, f ∈ N. За вибором k маємо, що k = n. Iз цього
випливає, що n = |D : 〈g〉| = |D1 : 〈g〉| = k, тобто D1 = D, g1 = g. Достатнiсть для груп
типу 4 доведено.
Усi випадки розглянуто. Достатнiсть доведено. Теорему доведено.
Теорема 3. Скiнченно породженi групи G з нескiнченним центральним циклiчним
комутантом G′ = 〈u〉 мають вигляд
G = Z × U,
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
де Z — скiнченно породжена абелева група, U = AD, A′ = G′ = 〈u〉 6 〈z〉 = Z(A) 6 D 6
6 Z(G), |u| = ∞, A = A1 · · · · · Ai · · · · · An, Ai = (〈z〉 × 〈ai〉) ⋋ 〈bi〉, |z| = |ai| = |bi| =
= ∞, [a1, b1] = u1 = u ∈ 〈z〉, [ai, bi] = ui, |ui| = ∞; при n > 1 та 1 < i < n маємо, що
(
i−1
∏
j=1
Aj
)
⋂
(
n
∏
j=1
Aj
)
= 〈z〉; при 1 < i 6 n [ai, bi] ∈ 〈ui−1〉; при 1 6 i < j 6 n [Ai, Aj ] = 1, та
вичерпуються групами, у яких пiдгрупа D є групою одного з типiв:
1) D = 〈z〉;
2) D = B×〈g〉, B — неодинична скiнченна абелева група, z = bgl, l — цiле число, |l| > 1,
b ∈ B, 1 < |b| = n, π(B) = π(n), 〈b〉 не доповнюється в B.
Доведення. Нехай G — дослiджувана група. Тодi з умови G′ = 〈u〉 6 Z(G), за вiдо-
мими результатами [7, с. 402], G — група з умовами максимальностi для пiдгруп. Звiдси,
за результатами [7, с. 341], випливає, що будь-яка пiдгрупа групи G має скiнченне число
твiрних елементiв.
Нехай Z — максимальна, доповнювана в G, пiдгрупа iз Z(G). Тодi G = Z × U . За по-
переднiм, Z i U — скiнченно породженi групи. Зрозумiло, що G′ = Z ′ × U ′ = U ′ = 〈u〉
i Z(G) = Z × Z(U) — скiнченно породжена абелева група, 〈u〉 6 Z(U) — теж скiнченно по-
роджена група. За вибором Z, Z(U) не мiстить неодиничних пiдгруп, доповнюваних в U . За
результатами [7, с. 400], група G має перiодичну частину T (G), що розкладається в прямий
добуток силовських p-пiдгруп групи G для всiх p ∈ π(G). За попереднiм, T (G) — скiнченно
породжена нормальна пiдгрупа групи G, G′
⋂
T (G) = 1. Звiдси T (G) — скiнченна пiдгрупа
i T (G) 6 Z(G). За теоремою 1, U = A · C, A = (〈u〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, [a, b] = u, C = CU (A),
C
⋂
A = 〈u〉 = Z(A) 6 Z(G).
Нехай 〈u〉 6 〈z〉. Покажемо, що 〈z〉 6 Z(G). Зрозумiло, що 〈z〉⊳ G, а отже, CG(〈z〉) ⊳ G.
Вiдомо, що факторгрупа G/CG(〈z〉) iзоморфна пiдгрупi iз Aut(〈z〉) i |Aut(〈z〉)| = 2. Звiдси
|G : CG(〈z〉)| 6 2. Припустимо, що |G : CG(〈z〉)| = 2. Тодi знайдеться елемент g ∈ Z \CG(〈z〉)
такий, що g−1zg = z−1, а тому g−1ug = u−1 i, отже, u 6∈ Z(G), що неможливо. Звiдси
CG(〈z〉) = G, а тому 〈z〉 6 Z(G).
Нехай 〈z〉 — максимальна циклiчна пiдгрупа з U , що мiстить 〈u〉. Тодi 〈z〉 6 C, 〈z〉 —
максимальна циклiчна пiдгрупа iз Z(G), що мiстить 〈u〉, 〈z〉
⋂
A = 〈u〉. Звiдси випливає,
що в U iснує пiдгрупа A1 = (〈z〉 × 〈a〉) ⋋ 〈b〉, [a, b] = u ∈ 〈z〉, U = C · A1, A1
⋂
C = 〈z〉.
Можливi випадки:
1) C ′ = 1;
2) C ′ 6= 1.
Випадок 1. У цьому випадку C 6 Z(G). За вибором Z C не мiстить власних доповню-
ваних пiдгруп, що мiстять 〈u〉. Якщо C = 〈z〉, то покладемо D = C, A1 = A. Тодi U = D ·A,
де D — група типу 1.
Нехай 〈z〉 < C. За попереднiм, 〈z〉 не доповнюється в C. Зрозумiло, що C = B × V , де
B = T (C) — скiнченна абелева група, V — вiльна абелева група рангу k.
Покажемо, що при нашому виборi Z k = 1.
Нехай k > 1. Тодi V =
k
×
i=1
〈vi〉, |vi| = ∞. Зрозумiло, що z = x · v, x ∈ B, v ∈ V , v 6= 1,
а тому v =
k
∏
i=1
vmi
i , mi ∈ Z. Оскiльки 〈vi〉 = 〈v−1
i 〉, то без порушення загальностi можна
вважати, що mi > 0. Будемо вважати, що mk = 0. Тодi z ∈ B×
(k−1
×
i=1
〈vi〉
)
— власна пiдгрупа
з C, доповнювана пiдгрупою 〈vk〉, що неможливо. Отже, mi ∈ N. Серед усiх розкладiв V
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 27
у прямий добуток своїх нескiнченних циклiчних пiдгруп можна вибрати такий, що mi >
> mk = m. Зрозумiло тепер, що mi = qim + ri, 0 6 ri < m, а тому min
16i6k−1
ri < m. Iз цього
випливає, що vmi
i = vm·qi
i · vri
i . Покладемо xk = vk ·
k−1
∏
i=1
vqi
i , yk =
k−1
∏
i=1
vri
i . Звiдси v = yk · xm
k .
Покладемо при i < k xi = vi, тодi v = xm
k ·
k−1
∏
i=1
xri
i , i V = 〈xk〉 ×
(k−1
×
i=1
〈xi〉
)
. Тепер, за
вибором m при i < k rk = 0 i v = xm
k . Iз цього випливає, що z ∈ (B × 〈xk〉) — пiдгрупа,
доповнювана в C, що неможливо. Iз цiєї суперечностi випливає, що V = 〈g〉, C = B × 〈g〉,
〈u〉 6 〈z〉 — не доповнюється в C. Зрозумiло, що u = zs 6∈ 〈g〉, s > 1. Оскiльки |B| < ∞,
то 〈z〉
⋂
〈g〉 = 〈v〉 6= 1 i z 6∈ 〈g〉, g 6∈ 〈z〉. Звiдси v = zi = gj , ij 6= 0, i ∈ N, j ∈ Z. Очевидно,
що z = bgl, b ∈ B, l ∈ Z, 1 < |b| = n, n ∈ N. Оскiльки 〈z〉 не доповнюється в C, то |l| > 1.
Зрозумiло тепер, що найменшим i ∈ N, для якого zi ∈ 〈g〉, буде число n, тобто i = n. Iз цього
випливає, що zn = bngln = gj , звiдси ln = j. Нехай C1 = 〈b〉 × 〈g〉. Тодi C1
⋂
B = 〈b〉. Ясно,
що 〈z〉 6 C1. Припустимо, що B = 〈b〉×B1. Тодi C = C1×B1. За попереднiм, B1 = 1, а отже,
B = 〈b〉, π(〈b〉) = π(B). Припустимо, що 〈b〉 не доповнюється в B. Тодi π(〈b〉) = π(B) = π(n).
Покладемо A1 = A i C = D. Тодi D — група типу 2. Випадок 1 розглянуто повнiстю.
Випадок 2. Покладемо a1 = a, u1 = u, b1 = b, A1 = A, C1 = C. Тодi U = A1 · C1,
A1
⋂
C1 = 〈z〉, CU (A1) = C1, C ′
1 6= 1.
Зрозумiло, що C1 6 〈u〉 = 〈u1〉. Звiдси 1 < 〈u1〉, а тому C ′
1 = 〈u2〉, |u2| = ∞. Тепер для C1,
як i для U , маємо, що C1 = A2 · C2, A2 = (〈z〉 × 〈a2〉) ⋋ 〈b2〉, [a1, a2] = u2 ∈ 〈u1〉 = 〈u〉 6 〈z〉,
|a2| = |b2| = ∞, A2
⋂
C2 = 〈z〉. Покладемо B1 = A1, B2 = A1A2. Тодi
CC1
(A2) = C2 = CU (B2), A1
⋂
A2 = 〈z〉 = Z(B2) = C2
⋂
B2, [A1, A2] = 1.
Якщо тепер C ′
2 = 1, то, як i у випадку 1, C2 = D — група типу 1 або 2. Поклавши B2 = A,
одержимо, що U = D · A, i в цьому випадку необхiднiсть доведено.
Нехай C ′
2 6= 1. Тодi, як i для C1, одержимо, що C2 = C3A3, A3 = (〈z〉 × 〈a3〉) ⋋ 〈b3〉,
[a3, b3] = u3, 1 < 〈u3〉 6 〈u2〉, C3
⋂
A3 = 〈z〉.
Оскiльки U — скiнченно породжена група, то процес побудови пiдгруп
C1 > C2 > C3 > · · · ,
A1, A2, A3, . . . ,
B1 < B2 < B3 = B2A3 < · · ·
закiнчується на деякому n-му кроцi, n ∈ N при умовi C ′
n = 1, де, за попереднiм, C ′
n = D —
група типiв 1 або 2, A =
n
∏
i=1
Ai, U = DA. Випадок 2 розглянуто повнiстю.
Усi випадки розглянуто. Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Нехай G — група з твердження теореми. Тодi очевидно, що G — скiнченно
породжена група i G′ = 〈u〉 6 Z(G), |u| = ∞. Достатнiсть доведено. Теорему доведено.
1. Сергейчук В.В. Конечнопорожденные группы с коммутантом простого порядка // Укр. мат. журн. –
1978. – 30, № 6. – С. 789–796.
2. Мазурок О.О. Класифiкацiя груп з комутантом порядка pq // Класи груп з обмеженнями для пiдгруп:
Зб. наук. пр. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. – С. 65–67.
3. Требенко Д.Я. Нильпотентные группы класса два с двумя образующими // Современный анализ и
его приложения: Сб. науч. тр. – Київ: Наук. думка, 1989. – С. 201–208.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
4. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row, 1968. – 527 p.
5. Черников С.Н. О строении групп с конечными классами сопряженных элементов // Докл.
АН СССР. – 1957. – № 115. – С. 60–63.
6. Кузенний М.Ф., Семко М.М. Метагамiльтоновi групи та їх узагальнення. – Київ: Iн-т математики
НАН України, 1996. – 232 с.
7. Курош А. Г. Теория групп. – Москва: Наука, 1967. – 648 с.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2006Мiжнародний Соломонiв унiверситет, Київ
УДК 517.962.2
© 2007
Г.П. Пелюх
О структуре общего непрерывного решения систем
линейных разностных уравнений с непрерывным
аргументом
(Представлено академиком НАН Украины Ю.А. Митропольским)
We consider the structure of a set of continuous solutions of one class of systems of linear
difference equations with continuous argument.
Настоящая работа посвящена исследованию структуры множества непрерывных решений
системы линейных разностных уравнений вида
x(t + 1) = [Λ + A(t)]x(t), (1)
где t ∈ R
+ = [0,+∞), Λ — постоянная вещественная (n × n)-матрица, A(t) = (aij(t)) —
вещественная (n × n)-матрица. При различных предположениях относительно матриц Λ,
A(t) эта задача изучалась многими математиками и во многих случаях достаточно хорошо
исследована (см. [1–7] и цитируемую в них литературу). Основной целью настоящей работы
является построение общего непрерывного при t > T > 0 решения системы уравнений (1)
и изучение его структуры.
Так как общее непрерывное решение достаточно просто строится для систем линей-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, то при решении поставленной задачи мы
используем метод, состоящий в преобразовании системы уравнений (1) к линейному виду
y(t + 1) = Λy(t). (2)
Тем самым решение нашей задачи сводится к исследованию вопроса о существовании
взаимно однозначной замены переменных, приводящей систему уравнений (1) к линейному
виду (2). Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
1) det A(t) 6= 0, det(Λ + A(t)) 6= 0 при всех t ∈ R
+;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1847 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:34:34Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Немчанінова, Т.М. 2008-09-03T08:39:18Z 2008-09-03T08:39:18Z 2007 Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом / Т.М. Немчанінова // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 23–29. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1847 512.544 The groups with central cyclic commutant are considered. The finitely generated groups with infinite central cyclic commutant are completely described. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом Article published earlier |
| spellingShingle | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом Немчанінова, Т.М. Математика |
| title | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| title_full | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| title_fullStr | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| title_full_unstemmed | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| title_short | Групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| title_sort | групи з нескінченним центральним циклічним комутантом |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1847 |
| work_keys_str_mv | AT nemčanínovatm grupizneskínčennimcentralʹnimciklíčnimkomutantom |