О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
We consider the structure of a set of continuous solutions of one class of systems of linear difference equations with continuous argument.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1848 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 29–33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1848 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пелюх, Г.П. 2008-09-03T08:39:43Z 2008-09-03T08:39:43Z 2007 О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 29–33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1848 517.962.2 We consider the structure of a set of continuous solutions of one class of systems of linear difference equations with continuous argument. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| spellingShingle |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом Пелюх, Г.П. Математика |
| title_short |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_full |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_fullStr |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_full_unstemmed |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| title_sort |
о структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом |
| author |
Пелюх, Г.П. |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
We consider the structure of a set of continuous solutions of one class of systems of linear difference equations with continuous argument.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1848 |
| citation_txt |
О структуре общего непрерывного решения систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 29–33. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp ostruktureobŝegonepreryvnogorešeniâsistemlineinyhraznostnyhuravneniisnepreryvnymargumentom |
| first_indexed |
2025-11-26T00:12:43Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:12:43Z |
| _version_ |
1850596635959099392 |
| fulltext |
4. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row, 1968. – 527 p.
5. Черников С.Н. О строении групп с конечными классами сопряженных элементов // Докл.
АН СССР. – 1957. – № 115. – С. 60–63.
6. Кузенний М.Ф., Семко М.М. Метагамiльтоновi групи та їх узагальнення. – Київ: Iн-т математики
НАН України, 1996. – 232 с.
7. Курош А. Г. Теория групп. – Москва: Наука, 1967. – 648 с.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2006Мiжнародний Соломонiв унiверситет, Київ
УДК 517.962.2
© 2007
Г.П. Пелюх
О структуре общего непрерывного решения систем
линейных разностных уравнений с непрерывным
аргументом
(Представлено академиком НАН Украины Ю.А. Митропольским)
We consider the structure of a set of continuous solutions of one class of systems of linear
difference equations with continuous argument.
Настоящая работа посвящена исследованию структуры множества непрерывных решений
системы линейных разностных уравнений вида
x(t + 1) = [Λ + A(t)]x(t), (1)
где t ∈ R
+ = [0,+∞), Λ — постоянная вещественная (n × n)-матрица, A(t) = (aij(t)) —
вещественная (n × n)-матрица. При различных предположениях относительно матриц Λ,
A(t) эта задача изучалась многими математиками и во многих случаях достаточно хорошо
исследована (см. [1–7] и цитируемую в них литературу). Основной целью настоящей работы
является построение общего непрерывного при t > T > 0 решения системы уравнений (1)
и изучение его структуры.
Так как общее непрерывное решение достаточно просто строится для систем линей-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, то при решении поставленной задачи мы
используем метод, состоящий в преобразовании системы уравнений (1) к линейному виду
y(t + 1) = Λy(t). (2)
Тем самым решение нашей задачи сводится к исследованию вопроса о существовании
взаимно однозначной замены переменных, приводящей систему уравнений (1) к линейному
виду (2). Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
1) det A(t) 6= 0, det(Λ + A(t)) 6= 0 при всех t ∈ R
+;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 29
2) при всех t ∈ R
+ существует непрерывная, положительная функция a(t) такая, что
‖A(t)‖ 6 a(t),
где ‖A‖ = max
16i6n
n∑
j=1
|aij |;
3) ряд
h(t) =
∞∑
i=0
(λ∗λ
∗)ia(t + i),
где λ∗ = ‖Λ−1‖, λ∗ = ‖Λ‖, равномерно сходится при всех t ∈ R
+, и выполняется соотно-
шение1
λ∗h(t) 6 θ < 1.
Тогда при t > T , где T достаточно велико, существует замена переменных
x(t) = γ(t)y(t), (3)
(γ(t) — непрерывная ограниченная неособенная при t > T матрица, имеющая непрерывную
ограниченную при t > T обратную матрицу γ−1(t)), приводящая систему уравнений (1)
к виду (2).
Доказательство. Нетрудно показать, что если матричная функция γ(t) является ре-
шением системы уравнений
γ(t + 1) = [Λ + A(t)]γ(t)Λ−1, (4)
удовлетворяющим указанным в теореме условиям, то замена переменных (3) приводит сис-
тему уравнений (1) к линейному виду (2).
Следовательно, для доказательства теоремы достаточно доказать, что система уравне-
ний (4) имеет решение γ(t) с указанными в теореме свойствами.
Сначала рассмотрим случай n = 1. В этом случае уравнение (4) принимает, очевидно,
вид
γ(t + 1) = [1 + Λ−1A(t)]γ(t). (5)
Непосредственной подстановкой в (5) можно убедиться, что функция
γ(t) =
1
∞∏
i=0
[1 + Λ−1A(t + i)]
(6)
является формальным решением этого уравнения. Действительно, подставляя (6) в (5),
получаем
γ(t + 1) =
1
∞∏
i=0
[1 + Λ−1A(t + 1 + i)]
=
1 + Λ−1A(t)
∞∏
i=0
[1 + Λ−1A(t + i)]
= [1 + Λ−1A(t)]γ(t),
что и требовалось показать.
1Так как h(t) → 0 при t → +∞, то соотношение λ∗h(t) 6 θ < 1 всегда имеет место при t > T , где T
достаточно велико.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Более того, поскольку в силу условий 2, 3 теоремы функция γ−1(t) =
∞∏
i=0
[1+Λ−1A(t+ i)]
является непрерывной и ограниченной при всех t ∈ [T,+∞) (T — достаточно большое
положительное число) и такой, что |γ−1(t)| > d > 0, то функция γ(t) также является
непрерывной и ограниченной при всех t > T .
Предположим теперь n > 1 и докажем, что система уравнений (4) имеет решение γ(t),
удовлетворяющее указанным в теореме условиям.
Запишем систему уравнений (4) в виде
γ(t + 1) = Λγ(t)Λ−1 + A(t)γ(t)Λ−1. (7)
Тогда непосредственной подстановкой в (7) можно показать, что произвольное решение
системы уравнений
γ(t) = E −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)A(t + i)γ(t + i)Λi (8)
удовлетворяет (7) и, следовательно, (4).
Для построения решения системы уравнений (8) воспользуемся методом последователь-
ных приближений. При этом последовательные приближения γm(t), m = 0, 1, . . . к решению
γ(t) определим с помощью соотношений
γ0(t) = E, γm(t) = E −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)A(t + i)γm−1(t + i)Λi, m = 1, 2, . . . . (9)
Используя метод математической индукции, покажем, что при всех t ∈ R
+ и m > 1
выполняется оценка
‖γm(t) − γm−1(t)‖ 6 θm. (10)
В самом деле, в силу (9) и условий теоремы при m = 1 имеем
‖γ1(t) − γ0(t)‖ 6
∞∑
0
‖Λ−1‖i+1‖A(t + i)‖‖Λ‖i
6 λ∗
∞∑
i=0
(λ∗λ
∗)ia(t + i) 6 θ,
и, таким образом, в этом случае оценка (10) имеет место. Предположим, что она доказа-
на уже для некоторого m > 1 и покажем ее справедливость для m + 1. Действительно,
принимая во внимание (9), (10) и условия теоремы, получаем
‖γm+1(t) − γm(t)‖ 6
∞∑
i=0
‖Λ−1‖i+1‖A(t + i)‖‖γm(t + i) − γm−1(t + i)‖‖Λ‖i
6
6 λ∗θ
m
∞∑
i=0
(λ∗λ
∗)ia(t + i) 6 θm+1.
Тем самым доказано, что оценка (10) имеет место при всех t ∈ R
+ и m > 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 31
Непосредственно из (10) вытекает, что последовательность матричных функций γm(t),
m = 0, 1, . . ., определяемых соотношениями (9), равномерно сходится при t ∈ R
+ к неко-
торой непрерывной при t ∈ R
+ матричной функции γ(t) = lim
m→+∞
γm(t), удовлетворяющей
при t ∈ R
+ условию ‖γ(t)‖ 6
1
1 − θ
. Более того, переходя в (9) к пределу при m → +∞,
можно убедиться, что матричная функция γ(t) = lim
m→+∞
γm(t) является решением систе-
мы уравнений (8) и, следовательно, системы уравнений (7) или, что то же самое, системы
уравнений (4).
Для завершения доказательства теоремы остается показать, что матрица γ(t) имеет
ограниченную обратную матрицу γ−1(t) ∈ C
0
[T,∞). Действительно, поскольку
γ(t) = E − γ̃(t),
где γ̃(t) =
∞∑
i=0
Λ−(i+1)A(t + i)γ(t + i)Λi, то, принимая во внимание свойства определителя
матрицы γ(t), получаем
|det γ(t)| > 1 − M‖γ̃(t)‖,
где M — некоторая положительная постоянная. Кроме того, поскольку ‖γ̃(t)‖ → 0 при
t → +∞ (вытекает из 2, 3 и неравенства ‖γ(t)‖ 6 1/(1 − θ)), то при всех t ∈ [T,+∞) имеем
|det γ(t)| > β > 0. Отсюда непосредственно вытекает, что матрица γ(t) имеет непрерывную
и ограниченную при t > T матрицу γ−1(t). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь систему уравнений (2) и для простоты предположим, что собствен-
ные числа λi, i = 1, . . . , n, матрицы Λ являются вещественными. Тогда, как известно, су-
ществует замена переменных
y(t) = Cỹ(t), (11)
где C — некоторая неособенная матрица, приводящая систему уравнений (2) к виду
ỹ(t + 1) = Λ̃ỹ(t), (12)
где ỹ = (ỹ1, . . . , ỹk), ỹi = (ỹi
1, . . . , ỹ
i
pi
), 1 6 i 6 k 6 n, Λ̃ = diag(Λ̃1, . . . , Λ̃k), Λ̃i, 1 6 i 6 k 6 n —
(pi × pi)-матрицы вида
Λ̃i =
λi 1 0 . . . 0
0 λi 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λi
,
причем
k∑
i=1
pi = n. Следовательно, исследование системы уравнений (2) сводится к иссле-
дованию k подсистем вида
ỹi(t + 1) = Λ̃iỹ
i(t), (13)
где ỹi(t) = (ỹi
1(t), . . . , ỹ
i
pi
(t)), 1 6 i 6 k. Используя вид системы уравнений (13), нетрудно
построить ее общее непрерывное при t > T решение.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Таким образом, принимая во внимание (3), (11) и представление общего непрерывного
при t > T решения системы уравнений (12), можно получить представление общего непре-
рывного при t > T решения системы уравнений (1):
x(t) = γ(t)Cỹ(t). (14)
1. Birkhoff G.D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Soc. – 1911. – 12, No 2. –
P. 242–284.
2. Быков Я.В., Линенко В. Г. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравне-
ний. – Фрунзе: Илим, 1968. – 127 с.
3. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно-периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
4. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – Москва: Мир, 1971. – 307 с.
5. Пелюх Г.П. Общее решение одного класса систем линейных разностных уравнений с периодическими
коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 3. – С. 514–519.
6. Пелюх Г.П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл.
АН. – 1994. – 336, № 4. – С. 451–452.
7. Пелюх Г.П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Там
же. – 2006. – 73, № 2. – С. 269–272.
Поступило в редакцию 22.06.2006Институт математики НАН Украины, Киев
УДК 517.9
© 2007
В.В. Потороча, В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко
Про залежнiсть розв’язку вiд параметра виродженої
системи диференцiальних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України Ю.О. Митропольським)
We prove the theorem on the continuous dependence of a solution to a degenerate system of
differential equations on a parameter in the case of non-fulfilment of the condition “rank-degree”.
При асимптотичному iнтегруваннi [1] диференцiальних рiвнянь з малим параметром iстотно
використовуються теореми про неперервну залежнiсть їх розв’язку вiд малого параметра.
Якщо така система регулярним чином залежить вiд малого параметра, то використову-
ються класичнi теореми [2–4] про неперервну (нескiнченно неперервну) диференцiйовнiсть
розв’язку вiд параметра, а у випадку, коли розглядаються сингулярно збуренi диферен-
цiальнi рiвняння, — теорема Тихонова [5], доведена автором для систем, якi називаються
системами Тихонова [6]. Ця ж теорема фактично може бути використана як пiдгрунтя для
обгрунтування асимптотичного характеру так званих формальних розв’язкiв у випадку
сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь цiлого рангу [7–9].
Проблема залежностi розв’язку вiд параметра iстотно ускладнюється у випадку сингу-
лярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з виродженням, тобто у випадку, коли такi
системи мiстять деяку особливу матрицю при похiднiй i коли, як наслiдок, таку систему
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 33
|