Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу

Розглядається метод пружних розв’язків для розв’язання нелінійних крайових радіаційної повзучості, які дають змогу описувати неізотермічні процеси непружного деформування з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості опроміненого матеріалу. Для моделювання процесів радіаційного р...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2021
Автор:	Чирков, О.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2021
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184815
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу / О.Ю. Чирков // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 6. — С. 32-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-184815
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1848152025-02-09T14:50:18Z Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу Method of elastic solutions to the tasks of irradiation creep considering the effect of stresses and accumulated irreversible strain on the material irradiation swelling Чирков, О.Ю. Механіка Розглядається метод пружних розв’язків для розв’язання нелінійних крайових радіаційної повзучості, які дають змогу описувати неізотермічні процеси непружного деформування з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості опроміненого матеріалу. Для моделювання процесів радіаційного розпухання і радіаційної повзучості застосовуються сучасні підходи, в яких враховується пошкоджуюча доза, температура опромінення, вплив напруженого стану і накопиченої незворотної деформації. Досліджується модифікований метод пружних розв’язків для розв’язання крайових задач радіаційної повзучості. Враховується, що побудова та дослідження властивостей ітераційного методу в задачах радіаційної повзучості ускладнюється тією обставиною, що для доведення збіжності та оцінки точності послідовних наближень необхідно враховувати досить жорстке обмеження, зумовлене з несиметричністю оператора, який пов’язує похибки ітераційного процесу для двох послідовних наближень. За таких умов традиційний підхід дослідження збіжності ітераційного процесу з урахуванням властивостей самоспряжених операторів виявляється неприйнятним. Окрім того, стандартна процедура симетризації рівняння для послідовних наближень призводить до надмірно консервативних оцінок збіжності ітераційного методу, і тому оптимізація його швидкості збіжності має досить наближений характер. Цю задачу розв’язано завдяки використанню спеціальної норми для аналізу збіжності послідовних наближень, що дозволило побудувати модифікований ітераційний процес та довести його локальну збіжність для загального випадку рівнянь радіаційної повзучості. Докладно вивчено властивості модифікованого процесу і на цій основі одержано апріорні оцінки асимптотичної швидкості збіжності послідовних наближень та сформульовано підходи щодо оптимізації методу пружних розв’язків стосовно задач радіаційної повзучості. The method of elastic solutions for the irradiation creep nonlinear boundary values, which allows one to describe non-isothermal processes of inelastic deformation considering the irradiation swelling and creep of the irradiated material, is considered. To model the processes of irradiation swelling and creep, modern approaches are used considering the damaging dose, irradiation temperature, the influence of the stress state, and the accumulated irreversible strain. A modified method of elastic solutions for solving the boundary problems of irradiation creep is investigated. It is considered that the development and investigation of the iterative method properties within the tasks of radiation creep are complicated by the fact that it is necessary to account for a rather strict restriction associated with the asymmetry of the operator relating the errors of the iterative process for two successive approximations to verify their convergence and accuracy. Under such conditions, the standard approach of investigating the convergence of an iterative process concerning the properties of self-corrected operators is unacceptable. Moreover, the standard procedure of symmetrization of the equation for successive approximations leads to excessively conservative estimates of the convergence of the iterative method. Therefore, the optimization of its convergence rate has a rather approximate character. This problem is solved using a special regulatory requirement to analyze the convergence of successive approximations, which made it possible to develop a modified iterative process and to bring its local convergence to the general case of the equations of radiation creep. The modified process properties have been studied in detail. Based on the obtained results, the prior estimation of the asymptotic convergence rate of successive approximates has been obtained. The approaches to the optimization of the method of elastic solution regarding the tasks of irradiation creep are obtained. 2021 Article Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу / О.Ю. Чирков // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 6. — С. 32-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2021.06.032 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184815 539.3 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Чирков, О.Ю. Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу Доповіді НАН України
description	Розглядається метод пружних розв’язків для розв’язання нелінійних крайових радіаційної повзучості, які дають змогу описувати неізотермічні процеси непружного деформування з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості опроміненого матеріалу. Для моделювання процесів радіаційного розпухання і радіаційної повзучості застосовуються сучасні підходи, в яких враховується пошкоджуюча доза, температура опромінення, вплив напруженого стану і накопиченої незворотної деформації. Досліджується модифікований метод пружних розв’язків для розв’язання крайових задач радіаційної повзучості. Враховується, що побудова та дослідження властивостей ітераційного методу в задачах радіаційної повзучості ускладнюється тією обставиною, що для доведення збіжності та оцінки точності послідовних наближень необхідно враховувати досить жорстке обмеження, зумовлене з несиметричністю оператора, який пов’язує похибки ітераційного процесу для двох послідовних наближень. За таких умов традиційний підхід дослідження збіжності ітераційного процесу з урахуванням властивостей самоспряжених операторів виявляється неприйнятним. Окрім того, стандартна процедура симетризації рівняння для послідовних наближень призводить до надмірно консервативних оцінок збіжності ітераційного методу, і тому оптимізація його швидкості збіжності має досить наближений характер. Цю задачу розв’язано завдяки використанню спеціальної норми для аналізу збіжності послідовних наближень, що дозволило побудувати модифікований ітераційний процес та довести його локальну збіжність для загального випадку рівнянь радіаційної повзучості. Докладно вивчено властивості модифікованого процесу і на цій основі одержано апріорні оцінки асимптотичної швидкості збіжності послідовних наближень та сформульовано підходи щодо оптимізації методу пружних розв’язків стосовно задач радіаційної повзучості.
format	Article
author	Чирков, О.Ю.
author_facet	Чирков, О.Ю.
author_sort	Чирков, О.Ю.
title	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
title_short	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
title_full	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
title_fullStr	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
title_full_unstemmed	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
title_sort	метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Механіка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184815
citation_txt	Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу / О.Ю. Чирков // Доповіді Національної академії наук України. — 2021. — № 6. — С. 32-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT čirkovoû metodpružnihrozvâzkívuzadačahradíacíjnoípovzučostívâkihvrahovuûtʹsâvplivnapruženʹínakopičenoínezvorotnoídeformacíínaradíacíjnerozpuhannâmateríalu AT čirkovoû methodofelasticsolutionstothetasksofirradiationcreepconsideringtheeffectofstressesandaccumulatedirreversiblestrainonthematerialirradiationswelling
first_indexed	2025-11-27T00:51:42Z
last_indexed	2025-11-27T00:51:42Z
_version_	1849902713718964224
fulltext	32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6: 32—44 Ц и т у в а н н я: Чирков О.Ю. Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких врахо- вую ться вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6. С. 32—44. https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.06.032 Обґрунтування міцності та працездатності елементів конструкцій, що зазнають впливу інтенсивного нейтронного опромінення зумовлено застосуванням у розрахунках напру- жено-деформованого стану адекватних математичних моделей деформування і методів https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.06.032 УДК 539.3 О. Ю. Чирков, https://orcid.org/0000-0003-1916-0277 Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренка НАН України, Київ E-mail: chirkale82@gmail.com Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень і накопиченої незворотної деформації на радіаційне розпухання матеріалу Представлено академіком НАН України В.В. Харченком Розглядається метод пружних розв’язків для розв’язання нелінійних крайових радіаційної повзучості, які дають змогу описувати неізотермічні процеси непружного деформування з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості опроміненого матеріалу. Для моделювання процесів радіаційного розпухання і радіаційної повзучості застосовуються сучасні підходи, в яких враховується пошкоджу- юча доза, температура опромінення, вплив напруженого стану і накопиченої незворотної деформації. Досліджується модифікований метод пружних розв’язків для розв’язання крайових задач радіаційної повзучості. Враховується, що побудова та дослідження властивостей ітераційного методу в задачах радіаційної повзучості ускладнюється тією обставиною, що для доведення збіжності та оцінки точності послідовних наближень необхідно враховувати досить жорстке обмеження, зумовлене з несиметричністю оператора, який пов’язує похибки ітераційного процесу для двох послідовних наближень. За таких умов традиційний підхід дослідження збіжності ітераційного процесу з урахуванням властивостей самоспря- жених операторів виявляється неприйнятним. Окрім того, стандартна процедура симетризації рівняння для послідовних наближень призводить до надмірно консервативних оцінок збіжності ітераційного мето- ду, і тому оптимізація його швидкості збіжності має досить наближений характер. Цю задачу розв’язано завдяки використанню спеціальної норми для аналізу збіжності послідовних наближень, що дозволило по- будувати модифікований ітераційний процес та довести його локальну збіжність для загального випад- ку рівнянь радіаційної повзучості. Докладно вивчено властивості модифікованого процесу і на цій основі одержано апріорні оцінки асимптотичної швидкості збіжності послідовних наближень та сформульовано підходи щодо оптимізації методу пружних розв’язків стосовно задач радіаційної повзучості. Ключові слова: непружне деформування, радіаційне розпухання, радіаційна повзучість, метод пружних розв’язків, ітераційний процес, збіжність і точність послідовних наближень. МЕХАНІКА MECHANICS 33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... розв’язання нелінійних крайових задач механіки, що враховують процеси радіаційного роз- пухання і радіаційної повзучості металу за умов тривалого опромінення, високих темпера- тур та пошкоджуючої дози. У [1—3] сформульовано визначальні рівняння поведінки опроміненого матеріалу, які дають змогу описувати неізотермічні процеси непружного деформування з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості, а також досліджено умови, що забезпе- чують математичну коректність визначальних рівнянь. Використано сучасні підходи до моделювання процесів радіаційного розпухання і радіаційної повзучості, в яких врахову- ється вплив об’ємного напруженого стану та накопиченої незворотної деформації на стис- нене розпухання і радіаційну повзучість опроміненого матеріалу [4, 5]. Нижче розглядається узагальнена крайова задача радіаційної повзучості, яку сформу- льовано у квазістатичній постановці у вигляді нелінійного операторного рівняння для по- точного етапу навантаження. На основі одержаних результатів щодо умов коректності ви- значальних рівнянь радіаційної повзучості встановлено існування, єдиність і безперервна залежність узагальненого розв’язку крайової задачі від зовнішніх впливів. Відмітимо, що публікації, присвячені методам розв’язання нелінійних крайових задач радіаційної повзучості, обмежуються застосуванням традиційних ітераційних алгоритмів, одним з яких є метод пружних розв’язків. Разом із тим аналіз та оптимізація збіжності про- цесів пружних розв’язків для розглянутих моделей радіаційного розпухання і радіаційної повзучості не достатньо висвітлені в сучасних публікаціях за даною тематикою. На підставі вищевикладеного можна зробити висновок щодо актуальності розроблення більш доскона- лого підходу до побудови та аналізу збіжності методу пружних розв’язків для задач радіа- ційної повзучості, в яких використовується модель радіаційного розпухання з урахуванням напруженого стану і накопиченої незворотної деформації. Розгляду цих питань і присвя- чено цю статтю. В ній викладено деякі аспекти, пов’язані з модифікацією та оптимізацією послідовних наближень, а також запропоновано підхід для аналізу та доведення збіжності ітераційного процесу пружних розв’язків стосовно задач радіаційної повзучості. Зазначимо, що ключову роль в аналізі ітераційних процесів становить вибір норми, для якої вдається довести збіжність послідовних наближень за деяких умов, що є загалом нетривіальною математичною задачею. Вона ускладнюється ще й тим, що для рівнянь ра- діаційної повзучості аналіз збіжності ітераційних процесів обмежений досить жорсткою умовою, яка викликана несиметричністю оператора, що пов’язує похибки ітераційного процесу для двох послідовних наближень. За таких умов традиційні підходи доведення збіжності процесів пружних розв’язків з урахуванням властивостей самоспряжених опе- ра то рів неприйнятні. Окрім того, стандартна процедура симетризації рівняння для послі- довних наближень призводить до надмірно консервативних оцінок збіжності ітера- ційного процесу, і тому оптимізація його швидкості збіжності має досить наближений ха- рактер. Цю задачу розв’язано завдяки застосуванню спеціальної норми до аналізу збіжності послідовних наближень, що дозволило побудувати модифікований ітераційний процес та довести локальну збіжність методу пружних розв’язків для загального випадку рівнянь ра- діаційної пов зучості. З використанням одержаних апріорних оцінок сформульовано пі- дходи для опти мізації асимптотичної швидкості збіжності модифікованого методу пруж- них розв’язків. 34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков Формулювання узагальненої крайової задачі радіаційної повзучості. Вважаємо, що тіло займає область  у дво- або тривимірному евклідовому просторі та має регулярну границю. На частині границі задані переміщення, що виключають зміщення  як жорстко- го тіла, а на решті частини — поверхневі навантаження щільністю ( , )tf x . Окрім того, тіло знаходиться під впливом пошкоджуючої дози ( , )Z tx і температури опромінення ( , )T tx . Переміщення тіла описуються компонентами вектор-функції ( , )tu x , а деформації ( , )t x і напруження ( , )t x — симетричними тензор-функціями другого рангу. Початкові дефор- мації ( , )t x включають кульові компоненти температурних деформацій і вільного роз- пухання, а також девіаторні компоненти незворотних деформацій, накопичених на поча- ток етапу навантаження. Окрім того, до початкових деформацій додаються об’ємні струк- турні деформації ( , )t x , що враховують вплив інтенсивності напружень на радіаційне розпухання матеріалу. Вище позначено: x — координати точки тіла, t — час або інший па- раметр, що характеризує процес навантаження. Вважаємо, що переміщення є елементами простору U , що складається з вектор-функ- цій, які інтегруються з квадратом на  разом зі своїми першими похідними включно і до- рівнюють нулю на частині границі тіла. Напруження і деформації будемо розглядати як елементи простору L тензор-функцій, інтегрованих з квадратом на  та нормою, асоці- йованою зі скалярним добутком ,, ,L d        (1) де ij ij,     — згортка тензорів напружень і деформацій. Далі будемо розглядати довільні тензори напружень і деформацій в точці тіла, як еле- менти евклідового простору , в якому скалярний добуток визначається згорткою відповід- них тензорів ( ).,  Нормою, асоційованою з цим скалярним добутком, є модуль тензора  . Узагальнену крайову задачу радіаційної повзучості у квазістатичній постановці для будь- якого фіксованого значення параметра 0t  сформулюємо наступним чином. Знайти трій- ку ( ( ), ( ), ( )t t t U L L    u таку, що ( ), ( ), ;, L Lt t L     u ( ), ( ), ( ) , ;) , L Lt t t L         (2) ( ), ( ), , , Lt t U          u f u u де ,,  u — довільні неперервні функції, які можна інтерпретувати як варіації напру- жень, деформацій і переміщень;  — лінійний диференційний оператор обчислення ма- лих деформацій ( )t за заданими переміщеннями ( );tu  — нелінійний оператор, що вста- новлює зв’язок напружень з деформаціями; ( ),t  f u — лінійна форма, яка тотожна роботі поверхневих навантажень на можливих переміщеннях U u . Нелінійний оператор  діє в просторі L і для ізотропного матеріалу визначається за співвідношенням ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) R Q S D St t k T t t t t        ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 2 ) aR s D DG t t t T t t t          (3) 35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... де R Qk — модуль всебічного об’ємного розширення з урахуванням поправки на радіаційне розпухання і накопичену незворотну деформацію матеріалу на початок етапу навантажен- ня; R sG — січний модуль зсуву, що враховує вплив радіаційної повзучості за етап наван- таження; a — інтенсивність девіатора активних деформацій, які виникають у точці ті ла додатково до початкових незворотних деформацій наприкінці етапу навантаження. Кульо- ву і девіаторну складові довільного тензора деформацій відзначено нижніми символами S і D відповідно. Ці та інші використовувані нижче позначення детально наведені в [1—3]. Рівняння (2) дають змогу сформулювати узагальнену крайову задачу в переміщеннях: ( ), ( )), ( ), , Lt t t U            u f u u . (4) Отже, крайову задачу (4) можна записати у вигляді нелінійного операторного рівняння ( ), ( )) ( ) ; ( ) , ( ) ,* t t t t U t U      u f u f (5) де :U U — нелінійний оператор, який визначається відображенням ( ), ( )), , LU t t U           u u w w . (6) На основі результатів щодо коректності визначальних рівнянь, одержаних в [2, 3], при- ходимо до висновку: нелінійний оператор  має властивості сильної монотонності та ліп- шиць-неперервності [6]. Звідси випливає однозначний розв’язок операторного рівняння (5), а також його безперервна залежність від заданих навантажень ( ) t Uf та початкових деформацій ( )t L  . Метод пружних розв’язків. В узагальненому методі пружних розв’язків послідо- вність лінійних наближень 1{ }k k  u будується на кожному етапі навантаження у вигляді та- кої ітераційної процедури ,1 –1 0 ( ( ) )k k k      u u u f (7) де 0  — числовий параметр, що вводиться для управління збіжністю процесу, який мо- же змінюватися від ітерації до ітерації; 0 — лінійний коерцитивний оператор для ліній но- пружної задачі, який здійснює відображення з U в *U : 00 : ( , ) , ;LU U      u u w w (8) 0 — лінійний самоспряжений додатно визначений оператор початкових модулів пруж- ності, які визначаються з урахуванням радіаційного розпухання і радіаційної повзучості матеріалу: 0 02 , R R Q S Dk G L      . (9) де 0 RG — початковий модуль зсуву, що враховує вплив радіаційної повзучості за етап на- вантаження на пружній ділянці діаграми деформування матеріалу. У разі зіставлення рівнянь (5), (7) одержуємо співвідношення для похибок ітераційного процесу 36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков ,1 1 0 ( ( ) ( ))k k k           u u u u u u (10) з якого випливає ( ( ), ) ( ( ), )1 0 0 k k L L           u u w u u w ( ( ) ( ), ) , k L U       u u w w . (11) Оскільки 0 — самоспряжений додатно визначений оператор, його можна використо- вувати для побудови в просторі L скалярного добутку ( ) 0 ,   і енергетичної норми 0  , яка еквівалентна вихідній нормі цього простору. Якщо в рівнянні (11) покласти k U  w u u то з використанням формули скінчен- них приростів і нерівності Коши—Буняковського—Шварца [6] маємо ( 00 0 1 sup ,k k L                    e e     (12) де (  e — значення похідної (за Фреше) оператора ( (–1 0: L           e e e e (13) у довільній точці Le . Отже, оператор (  e визначається виразом: ( ( )–1 0 , L        e e . (14) Відмітимо, що доведення та оцінка збіжності класичного методу пружних розв’язків для задач деформаційної теорії пластичності одержані з урахуванням умови, що  — са- моспряжений оператор у просторі L для заданого елемента Le . Ця властивість опе ра- тора  істотно спрощує аналіз збіжності ітераційного процесу, тому що призводить до оцінки 0 -норми самоспряженого оператора  . Для визначальних рівнянь радіаційної повзучості зазначена властивість оператора  не виконується [3], і тому ключову роль в аналізі збіжності процесу пружних розв’язків становить вибір норми оператора  , яку необхідно оцінити. Заміна норми вихідного простору L на еквівалентну не змінює значення оператора  , хоча величина самої норми змінюється. Нижню межу з усіх можливих оцінок норм оператора  дає множник збіж- ності за коренями ( )r u . Використання 0 -норми для дослідження збіжності послідовних наближень дозво- ляє встановити умови, що забезпечують збіжність методу пружних розв’язків незалежно від вибору початкового наближення. Проте одержані апріорні оцінки виявляються надмір- но консервативними, а їх застосування до оптимізації швидкості збіжності ітераційного процесу має досить наближений характер. Зазначимо, що для доведення локальної збіжності методу пружних розв’язків необ- хідно встановити, що існує норма H , еквівалентна вихідній нормі простору L , для якої виконується умова ( ) 1r q u . Тоді для будь-якого, але досить близького до u початково- го наближення 0 Uu , послідовність 1{ }k k  u , яка побудована за допомогою ітераційного процесу (7), збігається до розв’язку рівняння (5). Для загального випадку рівнянь радіа- ційної повзучості оцінку локальної збіжності методу пружних розв’язків можна отримати з використанням оператора H у вигляді 2 0H  . Дійсно, оскільки H — лінійний самоспря- 37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... жений додатно визначений оператор, його можна використовувати для побудови у прос- торі L скалярного добутку ( ), H  та норми H . Тоді асимптотичну швидкість збіжності процесу пружних розв’язків в околі кореня u можна оцінити з застосуванням множника збіжності за коренями ( ) 1r q u , причому збіжність послідовних наближень характери- зується нерівностями [6]: –1 0 k k k HH H q q                     . (15) За таким підходом вдається покращити оцінки асимптотичної швидкості збіжності методу пружних розв’язків, проте одержані апріорні оцінки як і раніше залишаються дос- татньо консервативними, тому їх застосування до оптимізації ітераційного процесу не при- зводить до істотного покращення збіжності. Модифікований ітераційний процес. Розглянемо модифікований метод пружних роз- в’язків, в якому послідовність наближень будується у вигляді (7), однак за умови, що па- раметр  дорівнює одиниці, а лінійний оператор 0 залежить від параметра 0  і ви- значається наступним чином: 00 2 , R R Q S Dk G L       . (16) У рівнянні (16) використовується модуль всебічного об’ємного розширення R Qk з ура- хуванням поправки на стиснене розпухання і накопичену незворотну деформацію Q ма- теріалу на початок поточного етапу навантаження: 0 0 0 , 1 – 1 3 R Q Q R k k k R C e     (17) де 0k — початковий модуль всебічного об’ємного розширення, який залежить від дози і температури опромінення матеріалу; 0R — вільне розпухання без напружень; RC і  — константи матеріалу, які визначаються за експериментальними даними; [0,1] — ваго- вий множник, що визначає ступінь впливу середнього нормального та інтенсивного нап- ружень на стиснене розпухання матеріалу R. Коефіцієнт  одержаний за допомогою об- робки експериментальних даних із визначення розпухання методом найменших квадратів, 0 0,85   [4, 5]. Модифікація процесу пружних розв’язків з використанням перетворення (16) сприяє покращенню швидкості збіжності послідовних наближень, тому що для оцінки 0  -нор- ми оператора  достатньо розглядати не всю множину можливих деформацій, а більш вузьку підмножину, яка складається з девіаторних компонент тензорів деформацій. Зазначимо, що подібну модифікацію методу пружних розв’язків, в якій замість реально- го початкового модуля зсуву 0G використовується видозмінений модуль 0G , застосовують до розв’язання задач деформаційної теорії пластичності. Для певного вибору співвідношен- ня 0 0G G можна одержати більш оптимальну оцінку, тобто покращити швидкість збіжності ітераційного процесу порівняно з класичним методом пружних розв’язків. Для загального випадку рівнянь радіаційної повзучості доведення збіжності модифі- кованого методу пружних розв’язків враховує важливу властивість оператора  , яке по- лягає у наступному. Оператор  за визначенням включає самоспряжений оператор, що 38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков враховує вплив середнього нормального напруження на розпухання. З використанням цієї властивості оператора  можна одержати більш оптимальну оцінку асимптотичної швидкості збіжності ітераційного процесу порівняно із загальним підходом. Теорема. Якщо  -норма визначається співвідношенням 2 0     , оператор  задовольняє умові збіжності ( ) H q   e , де множник q  обчислюється за формулою 2 –1 –2 2 2 –1 –2 2 0 0 0 0max(1 2 (1 ), 1 2 (1 ))q             , (18) де 0 — параметр, що задається відношенням дотичного RG до початкового 0 RG модуля зсуву опроміненого матеріалу, ess inf0 0 1, . ( ); R R G G        x x (19) 0 — числовий параметр, який оцінюється так: 0 0,375  . Доведення. Оскільки  — лінійний самоспряжений додатно визначений оператор, його можна використати для побудови в просторі L скалярного добутку і норми, яка екві- валентна вихідній нормі цього простору: 0 0( , ) ( , ) ( ( ) , ( ) ) , ;H L L L              (20) 1/2( , ) , . HH L       Тоді H  -норма оператора  визначається рівністю ( ) ( ) sup .H H L H              e e  (21) Якщо елемент L у правій частині (21) записати у вигляді 1 0 ( )   , приходимо до співвідношення ( ) ( ) \|\| sup ,L H L L              e e (22) де оператор  визначається за формулою: ( ) ( ) –1 0 0( ) ( ) , L          e e . (23) Згідно з (14), (23) для будь-якого L маємо ( ) ( ) ,1 0 ( )          e e (24) де оператор  визначається наступним чином [3]: , ( ) 2 ( ) 2 2( ) R R R R D D Q S s D s D D k G G G             e e e e ,– 0 1 ( )2 (1 ) , , 3 R R Q D D Q R D k G R C e L        e s e (25) 39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... де 1s – одиничний кульовий тензор, його модуль дорівнює 3 . Оскільки оператор 1 0 ( )  можна подати у вигляді 1 0 0 1 1 ( ) , , 2 S DR R Q L k G           (26) на підставі співвідношень (24)—(26) одержимо , ( ) 2 ( )1 \|\| D D D D D              e e e e  , 0 1 ( )1 (1 ) , , 6 R Q D D Q R D k R C e L        e s e (27) де  — параметр, який визначається в точці тіла, як відношення січного до початкового модуля зсуву опроміненого матеріалу: 0 1, – 0. R s R G G      (28) З формули (27) випливає, що областю визначення оператора  є не вся множина можливих деформацій  , а тільки її більш вузька підмножина D , яка складається з де- віаторних компонент тензорів деформацій. Отже, норма оператор  визначається за формулою: ( ) ( ) \|\| sup . D D L H L D L              e e (29) Згідно з (27) оператор ( ) e можемо записати у вигляді суми двох операторів ( ) ( ) ( ) , ,D D D D D           e e e  (30) де   — самоспряжений оператор, , ( ) 2 ( )1 ; D D D D D D              e e e e  (31)  — несамоспряжена частина оператора  , , ( ) .0 1 ( )1 (1 ) 6 R Q D D D Q R D k R C e          e e s e (32) На підставі співвідношень (30)—(31) приходимо до рівності ( ) ( ) ( ) ,2 2 2 D D D             e e e (33) 40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков де враховано, що ,1( ) 0D s і тому виконується умова ( ) , ( )( ) 0, .D D D D      e e  (34) Оцінимо зверху перший доданок у формулі (33) на підставі нерівності ( ) ( ) , .D D D D          e e  (35) З використанням (31) для будь-яких ,D D D   маємо , ( ( ) 2 ( )( , )1 , ) ( , ) .D D D D D D D D D                  e e e e  (36) Останнє співвідношення симетричне відносно елементів D і D , тобто переконуємося, що  — самоспряжений оператор у D і тому його норма визначається за формулою ( ) ( ) 2 ( , ) sup . D D D D D                 e e  (37) Для оцінки норми оператора   запишемо рівність , ( ( ) 2 2 2 ( )1 , ) ,D D D D D D                  e e e  (38) звідки з урахуванням умови 0, а також нерівності Коші—Буняковського—Шварца [6] одержуємо ( ) max .             e (39) Оцінимо зверху другий доданок у рівності (33), який визначається за формулою (32). З використанням нерівності Коші—Буняковського—Шварца для будь-якого D D  маємо ( ) 0 1 (1 ) . 2 R Q D Q R Dk R C e            e (40) Врахуємо в останній нерівності оцінку, що випливає з рівності (17): 0 0 3 3 (1 ) . R QR Q Q R k k R C e k       (41) Тоді приходимо до наступної оцінки: ( ) , ,D D D D             e  (42) де числовий параметр  визначається за формулою: 3 1 0. 2      (43) 41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... У разі вибору 0 0,85   знаходимо 0 0     . Фактично за теоремою Піфагора, а саме відповідно до рівності (33) та оцінкам (35), (39), (42), приходимо до нерівності ( ) , ,D D D Dq          e  (44) де множник q визначається формулою (18). Таким чином, виходячи із співвідношень (29) та (44), приходимо до оцінки  -нор- ми оператора  : ( )sup HL q     e e . (45) Теорема доведена. Наслідок 1. З виразу (18) випливає, що умова q  буде виконуватися тільки в тому разі, якщо параметр  задовольняє нерівності 2 0 1 (1 ) 0,57. 2     (46) За таких умов розв’язок u рівняння (5) є точкою тяжіння модифікованого процесу пружних розв’язків, причому асимптотичну швидкість збіжності послідовних наближень в околі кореня u можна оцінити за допомогою множника збіжності за коренями ( ) 1r q u . Наслідок 2. Оптимальне значення opt є розв’язком рівняння –1 –2 2 2 –1 –2 2 0 0 0 0 1 2 (1 ) 1 2 (1 )opt opt opt opt           (47) та обчислюється за формулою 2 0 0 1 (1 )(1 ). 2opt    (48) Підставляючи значення opt в рівність (18), одержимо 2 0 2 2 0 0 4 ( ) 1 1. (1 ) (1 ) optq        (49) Наслідок 3. Якщо в процесі деформування матеріалу пластичні деформації не виника- ють або вони настільки малі, що ними можна знехтувати, то в такому разі у формулах (48), (49) можемо покласти 0 1  , звідки знаходимо 02 0 2 0 1 1,14; 0,352. 1 opt optq           (50) Наслідок 4. Оптимальна оцінка асимптотичної швидкості збіжності модифікованого методу пружних розв’язків в околі кореня u має вигляд 42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков 002 01 , k k opt LL d q d                (51) де сталі 01d і 02d задаються за співвідношеннями: 1 0 2 0 0min(2 , ) 0; max(2 , ) ;R R R R Q Qd G k d G k k    (52) ess ess sup01 1 02 2 . inf ( ) 0; . ( ).optd d d d       x x x x Зауваження 1. Визначення оператора 0 ґрунтується на використанні початкового модуля зсуву 0 RG опроміненого матеріалу, що враховує радіаційну повзучість залежно від приростів пошкоджуючої дози та радіаційного розпухання матеріалу за етап навантаження. Однак розпухання є шуканою функцією, і тому на початковому етапі розв’язання задачі вона невідома. Коригувати модуль зсуву в процесі пружних розв’язків залежно від розпу- хання недоцільно, тому що його уточнення методом змінних параметрів пружності приво- дить до більш ефективної ітераційної процедури. У такому разі для завдання модуля 0 RG достатньо використовувати лише приріст пошкоджуючої дози за етап навантаження, що цілком є прийнятним, тому що навіть для такого визначення модуля зсуву ітераційний про- цес досягає досить високої швидкості збіжності в практичних розрахунках. Отже, для кож- ного етапу навантаження модуль зсуву визначається лише один раз на початку розв’язання задачі. Можливо також використовувати початковий модуль зсуву неопроміненого мате- ріалу, який не залежить від пошкоджуючої дози та розпухання, однак це дещо погіршує збіжність послідовних наближень у разі використання протяжних етапів навантаження. Зауваження 2. Наведені оцінки збіжності методу пружних розв’язків не враховують похибку обчислення початкових деформацій  , які залежать від історії непружного дефор- мування матеріалу. Початкові деформації  на кожному етапі навантаження визначаються за результатами розв’язання крайової задачі на попередньому етапі навантаження і тому включають похибку, яка зумовлена наближеним розв’язком рівняння (5) на кожному етапі навантаження. Фактично на кожному етапі навантаження замість рівняння (5) розв’язує- ться наближене рівняння, і тому одержані оцінки збіжності методу пружних розв’язків встановлюють збіжність послідовних наближень саме до розв’язку наближеного рівняння. Аналіз збіжності однокрокових ітераційних методів розв’язання нелінійних крайових задач механіки непружного деформування, в яких враховується історія навантаження, а та- кож доведення оцінки збіжності послідовних наближень з урахуванням наближеного ви- значення незворотних деформацій за результатами розрахунків на попередніх етапах на- вантаження буде викладено в наступному повідомленні. Ці результати узагальнюють аналіз збіжності методу пружних розв’язків стосовно розв’язання задач радіаційного повзучості. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Чирков О.Ю. Аналіз моделей радіаційного розпухання і радіаційної повзучості, в яких враховується вплив напружень, у задачах механіки непружного деформування. Повідомлення 1. Формулювання ви- значальних рівнянь. Пробл. міцності. 2021. № 2. С. 5—17. https://doi.org /10.1007/s11223-021-00276-0 43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 6 Метод пружних розв’язків у задачах радіаційної повзучості, в яких враховуються вплив напружень... 2. Чирков О.Ю. Аналіз коректності задач механіки непружного деформування, що враховують вплив на- пруженого стану на процеси радіаційного розпухання і радіаційної повзучості матеріалу. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 2. С. 29—37. https://doi.org /10.15407/dopovidi2021.02.029 3. Чирков О.Ю. Коректність рівнянь радіаційної повзучості, що враховують напруження і накопичену не- зворотну деформацію в моделі радіаційного розпухання опроміненого матеріалу. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2021. № 4. С. 36—45. https://doi.org /10.15407/dopovidi2021.04.036 4. Сорокин А.А., Марголин Б.З., Курсевич И.П. и др. Влияние нейтронного облучения на механические свойства материалов внутрикорпусных устройств реакторов типа ВВЭР. Вопр. материаловедения. 2011. № 2 (66). С. 131—151. 5. Марголин Б.З., Мурашова А.И., Неустроев В.С. Анализ влияния вида напряженного состояния на ра- диационное распухание и радиационную ползучесть аустенитных сталей. Пробл. прочности. 2012. № 3. С. 5—24. 6. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solution if Nonlinear Equations in Several Variables. New York; London: Academic Press. 1970. 592 p. Надійшло до редакції 23.06.2021 REFERENCES 1. Chirkov, O. Yu. (2021). Analysis of Models of Radiation Swelling and Radiation Creep, which take into account the Influence of Stresses, in the Problems of Mechanics of Inelastic Deformation. Part 1. Formulation of Defining Equations, Strength of Materials. 53, pp. 199-212. https://doi.org /10.1007/s11223-021-00276-0 2. Chirkov, O. Yu. (2021). Analysis of the Correctness of Problems in the Mechanics of Inelastic Deformation with the Influence of Stress State on the Processes of Radiation Swelling and Radiation Creep of the Material. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021, 2, pp. 29-37 (in Ukrainian). https://doi.org/10/15407/dopovidi2021.02.029 3. Chirkov, O. Yu. (2021). The Correctness of the Radiation Creep Equations that Take into Account Stress and Accumulated Irreversible Deformation in the Radiation Model Swelling of the Irradiated Material. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021, 4, pp. 36-45 (in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2021.04.036 4. Sorokin, A., Margolin, B. & Kursevich, I. (2011). Effect of Neutron irradiation on mechanical properties of materials of WWER reactor internals. Iss. Mater. Sci., 2(66), pp. 131-151 (in Russian). 5. Margolin, B., Murashova, A. & Neustroiev, V. (2012). Analysis of the Influence of Type Stress State on Radiation Swelling and Radiation Creep of Austenitic Steels, Strength of Materials, 44, pp. 227-240. https://doi.org/10.1007/s11223-012-9376-3 6. Ortega, J. M. & Rheinboldt, W. C. (1970). Iterative Solution if Nonlinear Equations in Several Variables. New York; London: Academic Press. Received 23.06.2021 O.Yu. Chirkov, https://orcid.org/0000-0003-1916-0277 Pisarenko Institute of Problems of Strength of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: chirkale82@gmail.com METHOD OF ELASTIC SOLUTIONS TO THE TASKS OF IRRADIATION CREEP CONSIDERING THE EFFECT OF STRESSES AND ACCUMULATED IRREVERSIBLE STRAIN ON THE MATERIAL IRRADIATION SWELLING The method of elastic solutions for the irradiation creep nonlinear boundary values, which allows one to describe non-isothermal processes of inelastic deformation considering the irradiation swelling and creep of the irradiated material, is considered. To model the processes of irradiation swelling and creep, modern approaches are used considering the damaging dose, irradiation temperature, the influence of the stress state, and the accumulated irreversible strain. A modified method of elastic solutions for solving the boundary problems of irradiation creep is investigated. It is considered that the development and investigation of the iterative method properties within the tasks of radiation creep are complicated by the fact that it is necessary to account for a rather strict restriction associated with the asymmetry of the operator relating the errors of the iterative process for two successive 44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2021. № 6 О.Ю. Чирков approximations to verify their convergence and accuracy. Under such conditions, the standard approach of investigating the convergence of an iterative process concerning the properties of self-corrected operators is unacceptable. Moreover, the standard procedure of symmetrization of the equation for successive approximations leads to excessively conservative estimates of the convergence of the iterative method. Therefore, the optimization of its convergence rate has a rather approximate character. This problem is solved using a special regulatory requirement to analyze the convergence of successive approximations, which made it possible to develop a modified iterative process and to bring its local convergence to the general case of the equations of radiation creep. The modified process properties have been studied in detail. Based on the obtained results, the prior estimation of the asymptotic convergence rate of successive approximates has been obtained. The approaches to the optimization of the method of elastic solution regarding the tasks of irradiation creep are obtained. Keywords: inelastic deformation, irradiation swelling, irradiation creep, method of elastic solutions, iteration process, convergence and accuracy of successive approximations.

Репозитарії

Схожі ресурси