О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем
We consider the representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. We found some necessary and some sufficient conditions for the existence of the faithful irreducible representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. The construction of an Abel...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 38–39. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1849 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18492025-02-23T19:01:31Z О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем Тушев, А.В. Математика We consider the representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. We found some necessary and some sufficient conditions for the existence of the faithful irreducible representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. The construction of an Abelian socle and a minimally infinite socle of soluble groups of finite rank plays the most important role in the conditions for the existence of such representations. 2007 Article О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 38–39. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1849 512.544 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Тушев, А.В. О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| description |
We consider the representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. We found some necessary and some sufficient conditions for the existence of the faithful irreducible representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. The construction of an Abelian socle and a minimally infinite socle of soluble groups of finite rank plays the most important role in the conditions for the existence of such representations. |
| format |
Article |
| author |
Тушев, А.В. |
| author_facet |
Тушев, А.В. |
| author_sort |
Тушев, А.В. |
| title |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| title_short |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| title_full |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| title_fullStr |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| title_full_unstemmed |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| title_sort |
о неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1849 |
| citation_txt |
О неприводимых представлениях разрешимых групп конечного ранга над локально конечным полем / А.В. Тушев // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 38–39. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tuševav oneprivodimyhpredstavleniâhrazrešimyhgruppkonečnogoranganadlokalʹnokonečnympolem |
| first_indexed |
2025-11-24T12:57:42Z |
| last_indexed |
2025-11-24T12:57:42Z |
| _version_ |
1849676595321634816 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2007
А.В. Тушев
О неприводимых представлениях разрешимых групп
конечного ранга над локально конечным полем
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
We consider the representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. We
found some necessary and some sufficient conditions for the existence of the faithful irreducible
representations of soluble groups of finite rank over a locally finite field. The construction of
an Abelian socle and a minimally infinite socle of soluble groups of finite rank plays the most
important role in the conditions for the existence of such representations.
Напомним, что группа G имеет конечный ранг, если существует натуральное число r такое,
что каждая конечно порожденная подгруппа группы G может быть порождена не более
чем r элементами; наименьшее натуральное число r, обладающее таким свойством, называ-
ется тогда рангом r(G) группы G. Группа G называется полициклической, если она обла-
дает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является циклическим.
Как показано в [1], если полициклическая группа G обладает точным неприводимым
представлением над локально конечным полем k, то группа G является конечной. Однако
из результатов работы [2] следует, что существуют бесконечные локально полициклические
группы, которые обладают точными неприводимыми представлениями над локально ко-
нечным полем k. Более того, в [2] были найдены необходимые и достаточные условия, при
которых локально полициклическая разрешимая группа конечного ранга может обладать
точным неприводимым представлением над локально конечным полем k.
Представленная работа посвящена поиску необходимых и достаточных условий сущест-
вования точных неприводимых представлений разрешимых групп конечного ранга над ло-
кально конечным полем k.
Подгруппа Soc(G) группы G, порожденная всеми ее минимальными нормальными под-
группами, называется цоколем группы G (если группа G не содержит минимальных нор-
мальных подгрупп, то Soc(G) = 1). Подгруппа abSoc(G) группы G, порожденная всеми
ее минимальными абелевыми нормальными подгруппами, называется абелевым цоколем
группы G (если группа G не содержит минимальных абелевых нормальных подгрупп, то
abSoc(G) = 1).
Абелева группа называется минимаксной, если она обладает конечным рядом подгрупп,
каждый фактор которого является либо циклическим, либо квазициклическим. Пусть B
является абелевой минимаксной группой, тогда спектр Sp(B) группы B — это множество
простых чисел p таких, что группа B обладает бесконечной p-факторгруппой. Не трудно
заметить, что множество Sp(B) является конечным. Если A — периодическая группа, то
π(A) обозначает множество простых делителей порядков ее элементов.
Пусть G — бесконечная группа, будем говорить, что бесконечная нормальня подгруп-
па A группы G является G-минимально бесконечной, если |A : B| < ∞ для любой собствен-
ной G-инвариантной B из A.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Не трудно заметить, что если разрешимая группа G конечного ранга содержит нормаль-
ную подгруппу без кручения, то группа G содержит и минимаксную абелеву G-минимально
бесконечную подгруппу.
Предложение 1. Пусть G — разрешимая группа конечного ранга, содержащая
нормальную подгруппу без кручения. Тогда группа G содержит абелеву минимакс-
ную нормальную подгруппу без кручения jiSoc(G) 6= 1 такую, что jiSoc(G) явля-
ется прямым произведением конечного семейства G-минимально-бесконечных подгрупп
и jiSoc(G)
⋂
B 6= 1 для любой нетривиальной нормальной подгруппы без кручения B груп-
пы G.
Следует отметить, что подгруппа jiSoc(G), обладающая свойствами из предыдущего
утверждения, не является единственной. Однако не трудно заметить, что если C — другая
подгруппа группы G, обадающая этими свойствами, то |jiSoc(G) : (C
⋂
jiSoc(G))| < ∞
и |C : (C
⋂
jiSoc(G)
)
| < ∞.
Модуль M над кольцом R будем называть локально циклическим, если всякий его ко-
нечно порожденный подмодуль может быть порожден одним элементом.
Теорема 1. Пусть G — разрешимая группа конечного ранга и пусть k — локально
конечное поле характеристики p. Если группа G обладает точным неприводимым пред-
ставлением над полем k, то абелев цоколь abSoc(G) группы G является локально цикли-
ческим ZG-модулем, где группа G действует на abSoc(G) сопряжениями и, кроме того,
char k /∈ π(abSoc(G)).
В работе также получено следующее достаточное условие существования у разреши-
мой группы конечного ранга точных неприводимых представлений над локально конечным
полем.
Теорема 2. Пусть G — разрешимая группа конечного ранга и пусть k — локально
конечное поле характеристики p. Предположим, что абелев цоколь abSoc(G) группы G
является локально циклическим ZG-модулем, где группа G действует на abSoc(G) сопря-
жениями, причем char k /∈ π(abSoc(G)) и char k /∈ Sp(jiSoc(G)). Тогда группа G обладает
точным неприводимым представлением над полем k.
Следует отметить, что предыдущая теорема не дает необходимого условия для сущест-
вования у разрешимой группы конечного ранга точных неприводимых представлений над
локально конечным полем. Это следует из результатов работы [3], в которой был построен
простой kG-модуль, где k — поле порядка p, G — разрешимая группа ранга 2 и jiSoc(G)
является p-делимой группой без кручения.
1. Roseblade J. E. Groups rings of polycyclic groups // J. Pure and Appl. Algebra. – 1973. – 3. – P. 307–328.
2. Тушев А.В. Неприводимые представления локально полициклических групп над абсолютным по-
лем // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 10. – С. 1389–1394.
3. Wehrfritz B.A. F. Groups whose irreducible representations have finite degree // Math. Proc. Cambridge.
Phil. Soc. – 1981. – 90. – P. 411–421.
Поступило в редакцию 13.06.2006Днепропетровский национальный университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 39
|