Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів

Проаналізовано властивості перетворення Гільберта періодично нестаціонарного випадкового сигналу, який представляється суперпозицією стохастично модульованих за амплітудою та фазою гармонік з кратними частотами. Отримано співвідношення, що визначають кореляційну та спектральну структуру квадратур...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2022
Автори:	Яворський, І.М., Юзефович, Р.М., Личак, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2022
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184926
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 1. — С. 20-33. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-184926
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1849262025-02-23T18:56:51Z Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів Hilbert transform for multicomponent periodically non-stationary random signals Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В. Інформатика та кібернетика Проаналізовано властивості перетворення Гільберта періодично нестаціонарного випадкового сигналу, який представляється суперпозицією стохастично модульованих за амплітудою та фазою гармонік з кратними частотами. Отримано співвідношення, що визначають кореляційну та спектральну структуру квадратур кожної з компонентів, які виділяються за допомогою смугової фільтрації та перетворення Гільберта. Показано, що умовою періодичної нестаціонарності аналітичного сигналу є корельованість квадратур різних компонентів. The properties of the Hilbert transform for periodically non-stationary random signal (PNRS), which are presented in the form of superposition of the amplitude and phase modulated harmonics with multiple fre quen cies are considered. It is shown that PNRS and its Hilbert transform are jointly PNRS and the expressions for the coefficients of Fourier series for their auto- and cross-covariation functions and spectral densities are obtained. The analytic signal properties are analyzed. It is shown that correlations of the quadratures for the different components of the narrow-band PNRS cause the periodical non-stationarity of the analytic signal. The auto- and cross-covariance functions of the quadratures for each periodically non-stationary monocomponent are established. 2022 Article Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 1. — С. 20-33. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2022.01.020 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184926 621.391:519.22 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В. Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів Доповіді НАН України
description	Проаналізовано властивості перетворення Гільберта періодично нестаціонарного випадкового сигналу, який представляється суперпозицією стохастично модульованих за амплітудою та фазою гармонік з кратними частотами. Отримано співвідношення, що визначають кореляційну та спектральну структуру квадратур кожної з компонентів, які виділяються за допомогою смугової фільтрації та перетворення Гільберта. Показано, що умовою періодичної нестаціонарності аналітичного сигналу є корельованість квадратур різних компонентів.
format	Article
author	Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В.
author_facet	Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Личак, О.В.
author_sort	Яворський, І.М.
title	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
title_short	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
title_full	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
title_fullStr	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
title_full_unstemmed	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
title_sort	перетворення гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2022
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/184926
citation_txt	Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 1. — С. 20-33. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT âvorsʹkijím peretvorennâgílʹbertabagatokomponentnihperíodičnonestacíonarnihvipadkovihsignalív AT ûzefovičrm peretvorennâgílʹbertabagatokomponentnihperíodičnonestacíonarnihvipadkovihsignalív AT ličakov peretvorennâgílʹbertabagatokomponentnihperíodičnonestacíonarnihvipadkovihsignalív AT âvorsʹkijím hilberttransformformulticomponentperiodicallynonstationaryrandomsignals AT ûzefovičrm hilberttransformformulticomponentperiodicallynonstationaryrandomsignals AT ličakov hilberttransformformulticomponentperiodicallynonstationaryrandomsignals
first_indexed	2025-11-24T12:57:54Z
last_indexed	2025-11-24T12:57:54Z
_version_	1849676608028278784
fulltext	20 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1: 20—33 Ц и т у в а н н я: Яворський І.М., Юзефович Р.М., Личак О.В. Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1. С. 20—33. https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.01.020 Перетворення Гільберта та концепція аналітичного сигналу широко використовуються при обробці сигналів у радіофізиці, технічній діагностиці, в тому числі й вібраційній діаг- ностиці, та багатьох інших областях [1—4]. Вони успішно застосовуються для аналізу як детермінованих, так і стохастичних коливань і дають можливість визначати як миттєву амплітуду (обвідну), так і миттєву фазу й частоту. При вузько-смуговій модуляції повільно змінна обвідна та сигнал мають однаковий кут нахилу в точці дотику та ніколи не перети- наються. Повільно змінна частота є завжди додатною величиною. Ці властивості втра ча- ються, коли частотна смуга сигналу розширюється, і для широкосмугового сигналу миттєві величини вже не мають попередньої інтерпретації. Тому в літературі запропоновані методи декомпозиції широкосмугового сигналу на простіші компоненти. Один з таких методів [5] https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.01.020 УДК 621.391:519.22 І.М. Яворський1,2, https://orcid.org/0000-0003-0243-6652 Р.М. Юзефович1,3, https://orcid.org/0000-0001-5546-453X О.В. Личак1, https://orcid.org/0000-0001-5559-1969 1 Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, Львів 2 Бидгощська політехніка, Польща 3 Національний університет “Львівська політехніка” E-mail: ihor.yavorskyj@gmail.com, roman.yuzefovych@gmail.com, olehlychak2003@yahoo.com Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів Представлено академіком НАН України З.Т. Назарчуком Проаналізовано властивості перетворення Гільберта періодично нестаціонарного випадкового сигналу, який представляється суперпозицією стохастично модульованих за амплітудою та фазою гармонік з кратними частотами. Отримано співвідношення, що визначають кореляційну та спектральну структуру квадратур кожної з компонентів, які виділяються за допомогою смугової фільтрації та перетворення Гіль берта. По- казано, що умовою періодичної нестаціонарності аналітичного сигналу є корельованість квадратур різних компонентів. Ключові слова: періодично нестаціонарні випадкові сигнали, перетворення Гільберта, аналітичний сигнал, квадратури. ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА INFORMATICS AND CYBERNETICS 21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів полягає у виділенні з сигналу так званих мод, перетворення Гільберта яких вже має потріб- ні властивості. Побудова мод ґрунтується на поетапному виділенні найбільших локальних екстремумів та їх сплайн-апроксимації. Недолік методу — відсутність його теоретичного обґрунтування, що досить ускладнює інтерпретацію результатів обробки. Емпіричним є та- кож підхід, який запропонований в [4] для декомпозиції сигналів вібрацій нелінійних ди- намічних систем. Він полягає у поетапній фільтрації сигналу миттєвої частоти, отриманого за допомогою перетворення Гільберта. Теоретичний аналіз перетворення Гільберта широкосмугового сигналу можна провес- ти, конкретизуючи його модель. У даній роботі такі дослідження проведено для сигналів, що описуються періодично нестаціонарними випадковими процесами (ПНВП). Методи спектрально-кореляційного аналізу цього класу випадкових процесів широко використо- вуються в різних областях науки і техніки, включаючи радіофізику, геофізику, акустику, теорію зв’язку, вібродіагностику тощо [6—13]. Гармонічне представлення ПНВП 0( ) ( ) ik t k k t t e ω ∈ ξ = ξ∑  , (1) де ( )k tξ — стаціонарно зв’язані випадкові процеси, 0 2 T π ω = ; T — період нестаціонар ності, дає можливість з єдиних позицій аналізувати різні типи стохастичної повторюва нос ті, край- німи випадками котрих є детерміновані періодичні функції і стаціонарні випадкові процеси. Перші отримуються, коли ( )k tξ вироджуються в сталі величини, а другі — коли випадкові процеси ( )k tξ є некорельованими. Кожну амплітудно-фазо-модульовану гармоніку стохас- тичного ряду (1) можна розглядати як окремий монокомпонент сигналу ( )tξ . Імовірнісні характеристики модульованих процесів ( )k tξ визначають кореляційну та спектральну структуру випадкового процесу ( )tξ . Математичні сподівання ( )( )k kE t m ξξ = є коефіцієнтами Фур’є математичного сподівання процесу ( ) ( )т t E t= ξ , яке описує детермі- новану складову коливань: 0 0 0 0( ) ( cos sin )ik t c s k k k k k N m t m e m m k t m k tω ξ ∈ ∈ = = + ω + ω∑ ∑  . (2) Тут 1 ( ), 2 c s k k km m im= − 0k∀ ≠ . Взаємокореляційні функції процесів ( )k tξ , тобто ( )klR u = ( ) ( , )k lE t t u= ξ ξ   , ( ) ( )k k kt t mξ =ξ −  , знак “ ” означає комплексне спряження, номери яких відрізняються на r , визначають r -й коефіцієнт Фур’є кореляційної функції сигналу ( , ) ( ) ( )b t u t t t uξ = ξ ξ +   , ( ) ( ) ( )t t m tξξ = ξ −  : 0( ) ( ) – ,( ) ( ) il u k l r l l B u R u eξ ξ ω ∈ =∑  . Тоді 0 ( ) ( ) ( ) 0 00( , ) ( ) ( ) [ ( )cos ( )sin ]ik t k k k k k b t u B u e B u C u k t S u k tω ξ ξ ξξ ξ ∈ ∈Ν = = + ω + ω∑ ∑  , 22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак ( ) ( ) ( )1 ( ) [ ( ) ( )]. 2k k kB u C u iS uξ ξ ξ= − (3) Миттєва спектральна густина ПНВП – 1 ( , ) ( , ) 2 i uf t b t u e du ∞ − ω ξ ξ ∞ ω = π ∫ може бути представлена рядом Фур’є 0( )( , ) ( ) ,ir t r r f t f e ωξ ξ ∈ ω = ω∑  де ( )( ) ( ) 0, – 1 ( ) ( ) ( ), 2 i u r r l r l l f B u e du f l ∞ ξξ ξ − ω − ∈∞ ω = = ω− ω π ∑∫  а також ( ) ( ) – – 1 ( ) ( ) 2 i rl klf R u e du ∞ ξ ξ ωτ ∞ ω = π ∫ . Величини ( ) ( )kB uξ i ( ) ( )kf ξ ω називають кореляційними й спектральними компонентами [10]. У статті вперше з використанням перетворення Гільберта проведено теоретичний ана- ліз багатокомпонентного ПНВП (1) для випадку, коли спектральні густини потужності модуляцій ( ) ( )llf ξ ω сконцентровані в інтервалі 0 0, 2 2 ω ω⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ . Такі ПНВП називають вузько- смуговими. Новизна роботи полягає в отриманні взаємозалежностей між кореляційно- спектральними структурами багатокомпонентного ПНВП та його перетворення Гільберта, встановлення характерних властивостей аналітичного сигналу. Показано, що виділені за допомогою смугової фільтрації однокомпонентні сигнали є ПНВП, аналітичні сигнали яких є стаціонарними випадковими процесами. Встановлено, що умовою періодичної не- стаціонарності аналітичного сигналу багатокомпонентного ПНВП є взаємокорельованість модуляцій різних компонент. Досліджено кореляційно-спектральні властивості квадратур окремих компонент, які отримуються за допомогою перетворення Гільберта. Перейдемо до детальнішого представлення результатів. Будемо вважати, що 0 0m = . Тоді існує перетворення Гільберта сигналу ( )tξ ( ) ( ) ( )t h t d ∞ −∞ η = −τ ξ τ τ∫ , (4) де –1( ) ( )h τ = πτ , при цьому 23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів – ( ) ( ) ( )t h t d ∞ ∞ ξ = − −τ η τ τ∫ . (5) Математичні сподівання сигналу й перетворення Гільберта пов’язані співвідношенням – ( ) ( ) ( ) ( )m t E t h t m d ∞ η ξ ∞ = η = −τ τ τ∫ . Тоді 0 0( ) ( sin cos )c s k k k N m t m k t m k tη ∈ = ω − ω∑ . (6) Введемо також у розгляд авто- та взаємокореляційні функції та їх представлення рядами Фур’є: 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 00( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) [ ( )cos ( )sin ],ik t k k k k k N b t u E t t u B u e B u C u k t S u k tη ω η η η η ∈ ∈ = η η = = + ω + ω∑ ∑    ( ) ( ) ( )1 ( ) [ ( ) ( )] 0 2k k kB u C u iS u kη η η= − ∀ ≠ , (7) 0( )( , ) ( ) ( , ) ( ) ik t k k b t u E t t u B u eξη ω ξη ∈ = ξ η = =∑    ( ) ( ) ( ) 0 00 ( ) [ ( )cos ( )sin ],k k k N B u C u k t S u k tξη ξη ξη ∈ = + ω + ω∑ ( ) ( ) ( )1 ( ) [ ( ) ( )] 0 2k k lB u C u iS u kξη ξη ξη= − ∀ ≠ , (8) Теорема 1. ПНВП ( )tξ і його перетворення Гільберта (4) є зв’язаними ПНВП, їхні ну- льові кореляційні компоненти ( ) 0 ( )B uξ i ( ) 0 ( )B uη є однаковими, нульові взаємокореляційні компоненти ( ) 0 ( )B uξη і ( ) 0 ( )B uηξ відрізняються тільки знаком та визначаються односто- роннім синусним перетворенням нульового спектрального компонента сигналу: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) – ( ) 2 sin .B u B u f ud ∞ ξη ηξ ξ= = ω ω∫ (9) Вищі авто- та взаємокореляційні компоненти мають вигляд: 0 ( ) ( ) ( ) – 0 ( ) ( ) 2 ( ) , k i u i u k k kB u f e d f e d ω∞ η ξ ξω ω ∞ = ω ω − ω ω∫ ∫ ( ) ( ) ( )– 0 0 ( ) [ ( ) ( ) ] .i u i u k k kB u i f k e f e d ∞ ξη ξ ξω ω= ω+ ω − ω ω∫ 24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак Доведення. На основі перетворення (4) та (5) для авто-та взаємокореляційних функцій (7) і (8) знаходимо: – ( , )1 ( , ) b t u b t u d u ∞ ξ ηξ ∞ + τ =− τ π τ+∫ , (10) – ( , )1 ( , ) b t u b t u d u ∞ ξη ξ ∞ + τ = τ π τ+∫ , (11) – ( , )1 ( , ) b t u b t u d u ∞ η ξη ∞ + τ = τ π τ+∫ , (12) – ( , )1 ( , ) b t u b t u d u ∞ ηξ η ∞ + τ =− τ π τ+∫ . (13) Підставляючи у (10) ряд Фур’є (3), отримуємо 0 ( ) ( ) – ( ) ( ) . ik u k k Be B u d u ∞ ξω ηξ ∞ τ = − τ π τ+∫ Взявши до уваги, що 0( ) ( )( ) ( ) ik u k kB u B u eηξ ξη ω= − , знаходимо ( ) ( ) – ( ) ( ) ( )( )k kB u h u B d ∞ ξη ξ ∞ = − τ τ τ τ∫ . (14) На основі співвідношення (11)—(13) подібно маємо: ( ) ( ) – ( ) ( ) ( )k kB u h u B d ∞ ξ ξη ∞ = − − τ τ τ∫ , (15) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( )k kB u h u B d ∞ η ηξ ∞ = − τ τ τ∫ , (16) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( )k kB u h u B d ∞ ηξ η ∞ = − − τ τ τ∫ . (17) З виразів (14)—(17) випливає, що ( )( )kB uη i ( )( )kB uηξ , а також ( )( )kB uξη i ( )( )kB uξ є гіль- бертовими парами. У частотній області маємо: ( ) ( )( ) ( ) ( )k kf H fη ηξω = ω ω , (18) 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів ( ) ( )( ) – ( ) ( )k kf H fηξ ηω = ω ω , ( ) ( )( ) ( ) ( ),k kf H fξ ξηω = − ω ω ( ) ( )( ) ( ) ( )k kf H fξη ξω = ω ω , (19) де передавальна функція перетворення Гільберта ( )H iω =− для 0ω > i ( )H iω = для 0,ω< а також ( ) ( ) – 1 ( ) ( ) 2 i u k kf B u e du ∞ η η − ω ∞ ω = π ∫ , ( ) ( ) – – 1 ( ) ( ) 2 i u k kf B u e du ∞ ξη ξη ω ∞ ω = π ∫ . З останніх співвідношень випливає: ( ) ( ) ( ) 0 –( ) ( ) ( ),k k kf f k fξ η η−ω = ω+ ω = ω ( ) ( ) ( ) 0 –( ) ( ) ( ).k k kf f k fξη ηξ ξη−ω = ω+ ω = ω (20) Взявши до уваги (18) та (20) для кореляційних компонентів перетворення Гільберта, отри- муємо: ( ) ( ) 0 – ( ) ( ) ( ) ( ) i u k kB u f H k H e d ∞ η ξ ω ∞ = − ω ω− ω ω ω∫ . (21) Оскільки 0 0 0 1, ( , 0), ( ) ( ) 1, (0, ), 1, ( , ), H H k k k ω∈ −∞⎧ ⎪− ω ω− ω = − ω∈ ω⎨ ⎪ ω∈ ω ∞⎩ то інтеграл (21) можна переписати у вигляді 0 ( ) ( ) ( ) – 0 ( ) ( ) 2 ( ) . k i u i u k k kB u f e d f e d ω∞ η ξ ξω ω ∞ = ω ω − ω ω∫ ∫ (22) На основі співвідношення (19) маємо: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 – 0 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]i u i u i u k k k kB u H f e d i f k e f e d ∞ ∞ ξη ξ ξ ξω − ω ω ∞ = ω ω ω = ω+ ω − ω ω∫ ∫ . (23) Поклавши у формулах (20) та (21) 0k = , отримуємо: ( ) ( ) 0 0( ) ( )B u B uη ξ= , ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 2 ( )sinB u f ud ∞ ξη ξ= ω ω ω∫ . Теорема доведена. 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак Враховуючи ряди (2) та (6) для математичного сподівання аналітичного сигналу ( ) ( ) ( )t t i tζ =ξ + η маємо: 0( )( ) ( ) ( ) 2 ik t k k m t m t im t m e ωξ ζ ξ η ∈ = + = ∑  . Як бачимо, математичне сподівання ( )m tξ містить тільки додатні частоти. Кореляційна функція аналітичного сигналу ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )]b t u b t u b t u i b t u b t uζ ξ η ξη ηξ= + + − (24) представляється рядом Фур’є: 0( )( , ) ( ) ik t k k b t u B u e ωζ ζ ∈ = ∑  , де ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]k k k k kB u B u B u i B u B uζ ξ η ξη ηξ= + + − . (25) Теорема 2. Аналітичний сигнал ( ) ( ) ( )t t i tζ =ξ + η є ПНВП, кореляційні компоненти яко- го визначаються виразом 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) \[0, ] ( ) 2 ( ) ( )[ ]i k ui u i u k k k R k k B u f e d f e e d ∞ ζ ξ ξ − ω− ωω ω ω ω ⎡ ⎤ = ω ω − ω − ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ , (26) де 0\[0, ]R kω є різницею множин R i 0[0, ]kω . Нульовий кореляційний компонент є комп- лексно-значним, його дійсна та уявна частини є гільбертовими парами і він визначається формулою: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 4 ( ) ,i uB u f e d ∞ ζ ξ ω= ω ω∫ (27) при цьому ( ) ( ) 0 0( ) 2 (0).B u Bζ ξ Доведення. Оскільки ( ) ( ) 0 0( ) ( )B u B uη ξ= i ( ) ( ) 0 0( ) ( ),B u B uηξ ξη= − то ( ) ( ) 0 0( ) 2[ ( )B u B uζ ξ= + ( ) 0 ( )]iB uξη+ . З рівностей (14) та (15) випливає, що ( ) 0 ( )B uξη i ( ) 0 ( )B uξ є гільбертовими парами: ( ) ( ) 0 0( ) { ( )}B u H B uξη ξ= . Взявши до уваги подання ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 2 ( )cos ,B u f udu ∞ ξ ξ= ω ω∫ 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів а також (9), приходимо до виразу (27), а звідси: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) 4 ( ) 2 (0)B u f d B ∞ ζ ξ ξω ω =∫ . Рівність отримуємо тільки при 0u = : ( ) ( ) 0 0(0) 2 (0)B Bζ ξ= . Для суми кореляційних компонентів сигналу та його перетворення Гільберта знаходимо 0 ( ) ( ) ( ) \[0, ] ( ) ( ) 2 ( ) i u k k k R k B u B u f e dξ η ξ ω ω + = ω ω∫ . (28) З формули (21) отримуємо: ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ).k kf H k H fη ξω = − ω− ω ω ω Тоді ( ) ( ) ( ) 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kf H H H k f H k fηξ ξ ξω = ω ω ω − ω ω = − ω − ω ω і звідси 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k i u i u i u k k k k k B u i f k e d f e d f e d ω∞ ∞ ηξ η ξ ξ− ω ω ω ω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ω+ ω ω + ω ω − ω ω ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ . (29) Підставляючи вирази (22), (28) та (29) у (25) приходимо до формули (26). Теорема доведена. Наслідок 1. Якщо значення k -х спектральних компонентів зосереджені в інтервалі 0[0, ]kω , тобто ( ) ( ) 0 0 ( ), [0, ], ( ) 0, [0, ], k k f k f k ξ ξ ⎧ ω ω∈ ω⎪ω =⎨ ω∉ ω⎪⎩ (30) то ( ) ( )( ) ( )k kB u B uη ξ= − та ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k k kB u B u iB uξη ηξ ξ= = − . Наслідок 2. Якщо спектральні компоненти ПНВП задовольняють умову (30), то аналі- тичний сигнал є стаціонарним випадковим процесом, кореляційна функція якого визнача- ється формулою: ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 4 ( ) i uR u B u f e d ∞ ζ ξ ω ζ = = ω ω∫ . Конкретизуємо отримані вище результати, врахувавши гармонічне представлення (1). Поклавши 0 ( ) 0tξ ≡ і обмеживши число гармонік, маємо: 0 0 1 ( ) [ ( )cos ( )sin ], N c s k k k t t k t t k t = ξ = ξ ω + ξ ω∑ 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак при цьому 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 c s k k kt t i tξ = ξ − ξ . Будемо вважати, що значення спектральних густин мо- дулюючих процесів сконцентровані в інтервалі 0 0, 2 2 ω ω⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ . Його перетворення Гільберта: 0 0 0 0 1 1 ( ) [ ( )sin ( )cos ] [ ( ) ( ) ] N N ik t ik tc s k k k k k k t t k t t k t i t e t e− ω ω = = η = ξ ω −ξ ω = ξ − ξ∑ ∑ . Авто- та взаємокреляційні функції сигналу та його перетворення Гільберта можуть бути представлені у вигляді 1 2( , ) 2Re{ ( , ) ( , )}b t u S t u S t uξ = + , (31) 1 2( , ) 2Re{ ( , ) ( , )}b t u S t u S t uη = − , (32) 1 2( , ) 2Im{ ( , ) ( , )}b t u S t u S t uξη = + , (33) 2 1( , ) 2Im{ ( , ) ( , )}b t u S t u S t uηξ = − , (34) де 0 0 1 –1 ( ) 1 – , – 1 ( , ) ( ) N ir t il u l r l r N l M S t u e R u eω ωξ = + ∈ = ∑ ∑ , (35) 0 0 – 2 2 2 2 ( , ) ( ) l r l N ir t il u r l M S t u e R u eω ω ξ ξ = ∈ =∑ ∑ , (36) а також ( ) ( ) ( ) l r l rR u E t t uξ ξ = ξ ξ +   і 1 {1, ..., }, 0, { 1, ..., }, 0, r N r M r N r +⎧ = ⎨ + >⎩  2 {1, ..., 1}, 2, 1, { , ..., }, 2, 2 . r r N M r N N r N N ⎧ − = +⎪= ⎨ − = +⎪⎩ Виходячи зі співвідношення (36) для кореляційних компонентів з номерами r N маємо: 0 2 ( ) – , – , – , – , 1 ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( )]] , 4 il uc s cs sc r r l l r l l r l l r l l l M B u R u R u i R u R u e ωξ ∈ = − − +∑ а звідси 2 ( ) – , 0 – , 0 – , 0 – , 0 1 ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( )]] 2 c s cs sc r r l l r l l r l l r l l l M f f l f l f l f lξ ∈ ω = ω− ω − ω− ω − ω − ω + ω − ω∑ . (37) З формули (37) видно, що значення спектральних компонентів ( )r ξη ω для r N належать до інтервалу 0[0, ]rω , тобто задовольняють умову (30). 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів Наслідок 3. Кореляційні компоненти вузькосмугового ПНВП та його перетворення Гільберта з номерами r N відрізняються тільки знаком ( ) ( )( ) ( )r rB u B uη ξ=− , а їхні взаємо- кореляційні компоненти є симетричними непарними функціями і визначаються рівністю ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )r r rB u B u B uξη ηξ ξ= = − . Теорема 3. Якщо кореляційні функції квадратур окремих компонент ПНВП задовольня- ють умови: ( ) ( ) 0c s kl klR u R u+ ≠ чи ( ) ( ) 0cs sc kl klR u R u− ≠ , для ,k l≠ то аналітичний сигнал ( ) ( ) ( )t t i tζ =ξ + η є ПНВП і його кореляційна функція ви- значається рядом 0 –1 ( ) – 1 ( , ) ( ) , N ir t r r N b t u B u e ωζ ζ = + = ∑ де 0 1 ( ) – , – , – , – ,( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( )]] il uc s cs sc r l r l l r l l r l l r l l M B u R u R u i R u R u e ωξ ∈ = + − −∑ , (38) а значення спектральних компонентів лежать поза межами 0[0, ]rω . Доведення. Взявши до уваги рівності ( ) ( )( ) ( )k kB u B uη ξ= − і ( )( )( ) ( )r kB u B uηξξη = для r N , приходимо до висновку, що ряд Фур’є для кореляційної функції аналітичного сигналу містить тільки 1N − гармоніку. Вираз для кореляційних компонентів (33) отримуємо ви- ходячи з (24) та (31)—(35) і співвідношень 1( , ) ( , ) 4Re{ ( , )},b t u b t u S t uξ η+ = 1( , ) ( , ) 4Im{ ( , )}.b t u b t u S t uξη ηξ− = Відмітимо, що до виразу (38) також приходимо на основі ряду 0 1 ( ) 2 ( ) N ik t k k t t e ω = ζ = ξ∑ . Врахувавши (33), для спектральних компонентів аналітичного сигналу, маємо 1 ( ) – , 0 – , 0 – , 0 – , 0( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( )]].c s cs sc r l r l l r l l r l l r l l M f f l f l i f l f lζ ∈ ω = ω − ω + ω − ω − ω − ω − ω − ω∑ Індекс сумування l приймає значення 1,l N r= + для 0r  і 1,l r N= + для 0r > . Тобто нерівність l r виконується для всіх l . А це означає, що значення спектральних компо- нентів лежать поза інтервалом 0[0, ]rω 1, 1r N N∀ =− + − . Теорему доведено. З формули (38) видно, що дисперсія аналітичного сигналу для багатокомпонентного ПНВП змінюється з часом тільки тоді, коли квадратурні складові різних номерів є взаємо- корельованими при 0u = . 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак Розглянемо тепер сигнал, отриманий у результаті смугової фільтрації (1) з передаваль- ною функцією 0 0 0 01, , , ( ) 2 2 0, k k k H ⎧ ω ω⎡ ⎤ ω ∈ ± ω − ± ω +⎪ ⎢ ⎥ω = ⎨ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ Він має вигляд 0 0( ) ( )cos ( )sinc s k k kt t k t t k tν = ξ ω + ξ ω , (39) а його математичне сподівання і кореляційна функція визначаються співвідношеннями 0 0( ) ( )cos ( )sin k c s k km t m t k t m t k tν = ω + ω , 0( ) ( ) 0 2 ( , ) ( ) ( )k k k ir t r r k b t u B u B u eν ν ω ν =± = + ∑ , де ( ) 0 00 1 ( ) [ ( ) ( )]cos ( )sin , 2 k c s cs k k kB u R u R u k u R u k uν = + ω + ω 0( ) 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 2 ( )] , 4 k ik uc s c k k kkB u R u R u iR u eν ω= − −  (40) при цьому ( )cs kR u i ( )cs kR u є парною і непарною частинами взаємокореляційної функції ( ).cs kR u Як випливає з (40), значення 2k -го спектрального компонента належать до інтер- валу 0 0 0 0, 2 2 k k ω ω⎡ ⎤ω − ω +⎢ ⎥⎣ ⎦ , тобто задовольняють умову (30). Отже, маємо наступні наслідки теореми 1 та теореми 2. Наслідок 4. Кореляційні компоненти вузькосмугового однокомпонентного ПНВП (39) і його перетворення Гільберта 0 0( ) ( )sin ( )sinc s k k kt t k t t k tη = ξ ω −ξ ω (41) відрізняються тільки знаком ( ) ( ) 2 2( ) ( )k k k kB u B uη ν=− , а їх взаємокореляційні компоненти є симетричними ( ) ( ) 2 2( ) ( )k k k k k kB u B uν η η ν= і пов’язані з 2k -м кореляційним компонентом сиг- налу (40) рівністю ( ) ( ) 2 2( ) ( )k k k k kB u iB uν η ν=− . Наслідок 5. Аналітичний сигнал ( ) ( ) ( )k k kt t i tζ = ν + η для кожної компоненти (39) є стаціонарним випадковим процесом, кореляційна функція якого є комплекснозначною ( ) ( ) 0 0( ) ( ) ( )k k k k R u B u iB uν ν η ζ = + , при цьому її дійсна і уявна частини є гільбертовою парою і визначаються формулою для інших ω, 31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів ( ) 0 0 ( ) 4 ( )k k i uR u f e ∞ ν ω ζ = ω∫ . З виразів (40) та (41) для квадратурних компонент маємо: 0 0( ) ( )cos ( )sinc k k kt t k t t k tξ =ν ω +η ω , (42) 0 0( ) ( )sin ( )coss k k kt t k t t k tξ =ν ω −η ω . (43) Теорема 4. Квадратурні компоненти (42) і (43) вузькосмугового ПНВП (39) є стаціо- нарно зв’язаними випадковими процесами, залежності їх авто- та взаємокореляційних функ- цій від нульового та 2k -х косинусного та синусного компонентів мають вигляд: ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 00 0 2 2( ) ( )cos ( )sin ( )cos ( )sink k k k kc s k k kR u B u k u B u k u C u k u S u k uν ν η ν ν= ω + ω ± ω ω , (44) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 0 2 2( ) ( )sin ( )cos ( )cos ( )sink k k k kcs k k kR u B u k u B u k u S u k u C u k uν ν η ν ν= ω − ω + ω + ω . (45) Доведення. Подамо квадратурні складові у вигляді 0 0 1 ( ) [ ( ) ( ) ], 2 i t i tc k k kt t e t e− ω ωξ = ζ +ζ 0 0( ) [ ( ) ( ) ]. 2 i t i ts k k k i t t e t e− ω ωξ = ζ −ζ ζk(t) = ξk(t) + iηk(t). Тоді 0 0 (2 ), 1 ( ) Re{ ( , ) ( , ) }, 2 k k i u i t uc s kR u b t u e b t u e− ω − ω + ζ ζ= ± 0 0 (2 )1 ( ) Re{ ( , ) ( , ) }, 2 k k i u i t ucs kR u b t u e b t u e− ω − ω + ζ ζ= ± де ( , ) ( ) ( ) k k kb t u E t t uζ = ζ ζ +   , ( , ) ( ) ( ) k k k kb t u E t t uζ ζ = ζ ζ +   . Відмітимо, що знак “+” відпо ві дає кореляційній функції ( )c kR u , а знак “–” кореляційній функції R sk. Обчислю ючи функції ( , ) k b t uζ та ( , ) k k b t uζ ζ на основі формул (39) і (41), приходимо до виразів (44) і (45). Теорема доведена. Представлені вище результати являються теоретичною основою для використання пе- ретворення Гільберта при дослідженні кореляційно-спектральної структури стохастичних коливань різного походження, адекватною моделлю яких є ПНВП. З низько-частотною вузькосмуговою модуляцією зустрічаємося, наприклад, при аналізі вібрацій добової рит- міки багатьох геофізичних процесів [9, 10], при аналізі вібрацій обертових вузлів механізмів з пошкодженими елементами [11, 14]. У першому випадку розроблена методологія дозво- ляє детально дослідити структуру модуляцій гармонік добового ходу й побудувати прог- ностичні моделі. В другому випадку опрацьований підхід дає можливість сформувати най- більш чутливі індикатори для раннього виявлення дефектів, а на основі встановленої авто- та взаємокореляційної структури модуляцій провести їх локалізацію та визначити їх типи. 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 1 І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, О.В. Личак ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Hahn S.L. Hilbert transforms in signal processing. Boston: Artech House, 1996. 460 p. 2. Vakman D. Signals, Oscillations, and Waves: A Modern Approach. Boston: Artech House, 1998. 207 p. 3. King F.W. Hilbert Transforms: Volume 1 (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Series Number 124). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. 896 p. 4. Feldman M. Hilbert Transform Applications in Mechanical Vibration. New Delhi: Wiley, 2011. 320 p. 5. Huang N.E., Shent Z., Long S.R. at al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. A. 1998. 454, Iss. 1971. P. 903–995. https:// doi.org/10.1098/rspa.1998.0193 6. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологи- ческих процессов. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1987. 320 p. 7. Gardner W.A. Cyclostationarity in Communications and Signal Processing. New York: IEEE Press, 1994. 504 p. 8. Hard H.L., Miamee A. Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and Practice. New York: Wiley, 2007. 384 p. 9. Antoni J. Cyclostationarity by examples. Mech. Syst. Signal Process. 2009. 23, № 4. P. 987–1036. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2008.10.010 10. Яворський І.М. Математичні моделі та аналіз стохастичних коливань. Львів: ФМІ НАН України, 2013. 802 p. 11. Javorskyj I., Yuzefovych R., Matsko I., Kravets I. The stochastic recurrence structure of geophysical phenomena. Appl. Condition Monitoring. 2015. 3. P. 55–88. https://doi.org/10.1007/987-3-319-163330-7_4 12. Javorskyj I., Kravets I., Matsko I., Yuzefovych R. Periodically correlated random processes: Application in early diagnostics of mechanical systems. Mech. Syst. Signal Process. 2017. 83. P. 406-438. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2016.06.022 13. Napolitano A. Cyclostationary Processes and Time Series: Theory, Applications, and Generalizations. Else- vier, Academic Press, 2020. 626 p. 14. Matsko I., Javorskyj I., Yuzefovych R., Zakrzewski Z. Forced oscillations of cracked beam under the stochastic cyclic loading. Mech. Syst. Signal Process. 2018. 104. P. 242–263. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.08.021 Надійшло до редакції 11.10.2021 REFERENCES 1. Hahn, S. L. (1995). Hilbert transforms in signal processing, Boston: Artech House. 2. Vakman, D. (1998). Signals, Oscillations, and Waves: A Modern Approach, Boston: Artech House. 3. King, F. W. (2009). Hilbert Transforms: Volume 1 (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Series Number 124), Cambridge: Cambridge Univ. Press. 4. Feldman, M. (2011). Hilbert transform applications in mechanical vibration, New Delhi: Wiley. 5. Huang, N. E., Shent, Z., Long, S.R. at al. (1998). The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. A. No. 454 (1971), pp. 903-995. https:// doi.org/10.1098/rspa.1998.0193 6. Dragan, Ya., Yavorskyj, I. & Rozhkov, V. (1987). Methods of probabilistic analysis of oceanological rhytmics. Leningrad: Gidrometeoizdat (in Russian). 7. Gardner, W.A. (1994). Cyclostationarity in Communications and Signal Processing. New York: IEEE Press. 8. Hard, H. L. & Miamee, A. (2007). Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and Practice. New York: Wiley. 9. Antoni, J. (2009). Cyclostationarity by examples. Mech. Syst. Signal Process., 23, pp. 987-1036. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2008.10.010 10. Javorskyj, I. (2013). Mathematical models and analysis of stochastic oscillations, Lviv: Karpenko Physico- Mechanical Institute (in Ukrainian). 11. Javorskyj, I., Yuzefovych, R., Matsko, I. & Kravets, I. (2015). The stochastic recurrence structure of geophysical phenomena. Applied Condition Monitoring, 3, pp. 55-88. https://doi.org/10.1007/987-3-319- 163330-7_4 33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 1 Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів 12. Javorskyj, I., Kravets, I., Matsko, I. & Yuzefovych, R. (2017). Periodically correlated random processes: Application in early diagnostics of mechanical systems. Mech. Syst. Signal Process., 83, pp. 406-438. https:// doi.org/10.1016/j.ymssp.2016.06.022 13. Napolitano, A. (2020). Cyclostationary Processes and Time Series: Theory, Applications, and Genera- lizations, Elsevier, Academic Press. 14. Matsko, I., Javorskyj, I., Yuzefovych, R. & Zakrzewski, Z. (2018). Forced oscillations of cracked beam under the stochastic cyclic loading. Mech. Syst. Signal Process., 104, pp. 242-263. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2017.08.021 Received 11.10.2021 I.M. Javorskyj1, 2, https://orcid.org/0000-0003-0243-6652 R.M. Yuzefovych1, 3, https://orcid.org/0000-0001-5546-453X O.V. Lychak1, https://orcid.org/0000-0001-5559-1969 1 Karpenko Physico-Mechanical Institute of the NAS of Ukraine, Lviv 2 Bydgoszcz Polytechnic, Poland 3 Lviv Polytechnic National University E-mail: ihor.yavorskyj@gmail.com, roman.yuzefovych@gmail.com, olehlychak2003@yahoo.com HILBERT TRANSFORM FOR MULTICOMPONENT PERIODICALLY NON-STATIONARY RANDOM SIGNALS The properties of the Hilbert transform for periodically non-stationary random signal (PNRS), which are presented in the form of superposition of the amplitude and phase modulated harmonics with multiple fre q- uen cies are considered. It is shown that PNRS and its Hilbert transform are jointly PNRS and the expressions for the coefficients of Fourier series for their auto- and cross-covariation functions and spectral densities are obtained. The analytic signal properties are analyzed. It is shown that correlations of the quadratures for the different components of the narrow-band PNRS cause the periodical non-stationarity of the analytic signal. The auto- and cross-covariance functions of the quadratures for each periodically non-stationary monocom- ponent are established. Keywords: periodically non-stationary random signal, Hilbert transform, analytic signal, quadratures.

Перетворення Гільберта багатокомпонентних періодично нестаціонарних випадкових сигналів

Репозитарії

Схожі ресурси