Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня

Описаний алгоритм побудови модельних розподілів густини планети з урахуванням стоксових сталих четвертого порядку. Описан алгоритм построения модельных распределений плотности планеты с учетом стоксовых постоянных четвертого порядка. The algorithm for planets density distributions construction with...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Геодинаміка
Date:	2008
Main Authors:	Фис, М.М., Фоца, Р.С., Согор, А.Р., Волос, В.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2008
Subjects:	Геодезія
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18516
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня / М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос // Геодинаміка. — 2008. — № 1(7). — С. 25-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18516
record_format	dspace
spelling	Фис, М.М. Фоца, Р.С. Согор, А.Р. Волос, В.О. 2011-03-31T21:55:50Z 2011-03-31T21:55:50Z 2008 Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня / М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос // Геодинаміка. — 2008. — № 1(7). — С. 25-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1992-142X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18516 528.33:551.24 Описаний алгоритм побудови модельних розподілів густини планети з урахуванням стоксових сталих четвертого порядку. Описан алгоритм построения модельных распределений плотности планеты с учетом стоксовых постоянных четвертого порядка. The algorithm for planets density distributions construction with using of Stoke’s constant of fourth order is presented. uk Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України Геодинаміка Геодезія Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня Метод нахождения плотности распределения масс планеты с учетом стоксовых постоянных до четвертого порядка Method for planets density distribution construction with using of stoke’s constants to fourth order Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
spellingShingle	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня Фис, М.М. Фоца, Р.С. Согор, А.Р. Волос, В.О. Геодезія
title_short	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
title_full	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
title_fullStr	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
title_full_unstemmed	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
title_sort	метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня
author	Фис, М.М. Фоца, Р.С. Согор, А.Р. Волос, В.О.
author_facet	Фис, М.М. Фоца, Р.С. Согор, А.Р. Волос, В.О.
topic	Геодезія
topic_facet	Геодезія
publishDate	2008
language	Ukrainian
container_title	Геодинаміка
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
format	Article
title_alt	Метод нахождения плотности распределения масс планеты с учетом стоксовых постоянных до четвертого порядка Method for planets density distribution construction with using of stoke’s constants to fourth order
description	Описаний алгоритм побудови модельних розподілів густини планети з урахуванням стоксових сталих четвертого порядку. Описан алгоритм построения модельных распределений плотности планеты с учетом стоксовых постоянных четвертого порядка. The algorithm for planets density distributions construction with using of Stoke’s constant of fourth order is presented.
issn	1992-142X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18516
citation_txt	Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня / М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос // Геодинаміка. — 2008. — № 1(7). — С. 25-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT fismm metodznahodžennâgustinirozpodílumasplanetizurahuvannâmstoksovihstalihdočetvertogostepenâ AT focars metodznahodžennâgustinirozpodílumasplanetizurahuvannâmstoksovihstalihdočetvertogostepenâ AT sogorar metodznahodžennâgustinirozpodílumasplanetizurahuvannâmstoksovihstalihdočetvertogostepenâ AT volosvo metodznahodžennâgustinirozpodílumasplanetizurahuvannâmstoksovihstalihdočetvertogostepenâ AT fismm metodnahoždeniâplotnostiraspredeleniâmassplanetysučetomstoksovyhpostoânnyhdočetvertogoporâdka AT focars metodnahoždeniâplotnostiraspredeleniâmassplanetysučetomstoksovyhpostoânnyhdočetvertogoporâdka AT sogorar metodnahoždeniâplotnostiraspredeleniâmassplanetysučetomstoksovyhpostoânnyhdočetvertogoporâdka AT volosvo metodnahoždeniâplotnostiraspredeleniâmassplanetysučetomstoksovyhpostoânnyhdočetvertogoporâdka AT fismm methodforplanetsdensitydistributionconstructionwithusingofstokesconstantstofourthorder AT focars methodforplanetsdensitydistributionconstructionwithusingofstokesconstantstofourthorder AT sogorar methodforplanetsdensitydistributionconstructionwithusingofstokesconstantstofourthorder AT volosvo methodforplanetsdensitydistributionconstructionwithusingofstokesconstantstofourthorder
first_indexed	2025-11-25T22:57:40Z
last_indexed	2025-11-25T22:57:40Z
_version_	1850576765383081984
fulltext	Геодезія УДК 528.33:551.24 М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос МЕТОД ЗНАХОДЖЕННЯ ГУСТИНИ РОЗПОДІЛУ МАС ПЛАНЕТИ З УРАХУВАННЯМ СТОКCОВИХ СТАЛИХ ДО ЧЕТВЕРТОГО СТЕПЕНЯ Описаний алгоритм побудови модельних розподілів густини планети з урахуванням стоксових сталих четвертого порядку. Ключові слова: обчислювальний алгоритм; модель розподілу густини; стоксові сталі. Постановка проблеми В основі дослідження внутрішньої структури планети покладено просторове розміщення мас δ в середині планети. Його можна отримати, використовуючи дані про зовнішнє гравітаційне поле. Mаксимальне врахування неоднорідностей потенціалу дозволяє будувати більш точні тривимірні функції розподілу густини. Зв’язок з важливими науковими і практичними завданнями Встановлення глобальних скупчень мас, що відображаються в побудованій асиметричній моделі планети, є важливим в геофізичних дослідженнях, оскільки може бути порівняне з такими, що отримані з використанням методів томографії. Відхилення від сферично-симет- ричного розподілу мас дає можливість більш детально встановити причини тривимірності зовнішнього потенціалу, регіональні аномалії можуть дати ключ до розуміння геодинамічних явищ планетарного характеру. Аналіз останніх досліджень та публікацій, в яких започатковано розв’язання проблеми Побудову тривимірних моделей густини з використанням даних про гравітаційне поле Землі започатковано професором Г.О. Ме- щеряковим в роботах [1, 2]. При цьому використання динамічного стиску дало можливість знайти розклад функції густини до 2-го порядку. Використання стоксових постійних і додаткова інформація у вигляді функції на поверхні планети з допомогою методики, описаної в [4], дозволяють збільшити порядок апроксимації до степеня чотири. Запропонований нижче метод дає можливість визначити такий розклад з використанням стоксових сталих до четвертого порядку Невирішені аспекти загальної проблеми Не досліджена можливість використання набору стоксових постійних вище четвертого порядку для знаходження відповідних функцій розподілу мас. Постановка завдання За даними про гравітаційне поле Землі, її стокcові сталі до четвертого порядку і динаміч- ний стиск Н необхідно побудувати функцію розподілу мас у вигляді суми біортогональних многочленів. Виклад основного матеріалу дослідження Раніше [4] встановлена можливість побудови функції густини δ еліпсоїдної планети при відомих даних про гравітаційне поле до 2-го порядку і густини на поверхні планети, похідні якої подані так: ( ),,, 3 0 321∑ =++ = ∂ ∂ SqP PqS i PqS i xxxWd x δ (1) де PaS i i PqS i PqS l d xd ∫ ∂ ∂ = τδω , (2) { }{ }PqSPqS W,ω дві біортогональні системи в τ. При певних умовах [4] функцію δ можна відновити за її похідними, а саме ( ) ( )∫ + ∂ ∂ = 1 0 1321 1 321 ,,,, x dxxxx x xxx δδ ( ) (∫ ∫ ∂ ∂ + ∂ ∂ + 2 3 0 0 3 3 232 2 ,0,0,,0 x x x x dxxx x δδ ) ) . (3) Формула (3) для практичного застосування не є придатною, оскільки важко встановити аналітичний вигляд виразу . Тому в подальшому підемо іншим шляхом: густину представимо традиційно у вигляді лінійної комбінації поліномів i x mnk dxW i ∫ 0 mnkW ( ) ( 321 4 0 321 ,,,, xxxWbxxx knm mnkmnk∑ =++ =δ . (4) Коефіцієнти мають вигляд . В подальшому множник при для простоти запису опускаємо (тут і далі mnkb mnk knm mnk bCBAb = knm γβα mnkb Cδ – середня густина планети, a C a B a A === γβα ,, , де А, В, С © М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос, 2008 25 Геодинаміка 1(7)/2008 півосі планетарного еліпсоїда, а – екваторі- альний радіус (як правило, А=В=а)). Коефіцієнти при mnkb 2)( ≤++ knm знаходяться з системи рівнянь, яка отримується підстановкою формули (4) в стоксові сталі і динамічний стиск Н (аналогічно, як при визначенні степеневих моментів ) ( )2, ≤nSC nknk PqSI ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == == ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = =+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −= =− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−− −=+− CC Cc c c c SbSb CbCb b H C bb bC bb b Cbbb δδ δδ βα δ βαδ βαγ δ 2211021011 2110100000 22 00020 020200 22 00022 020200 222 000 20002200002 35, 2 35 2 35, 52 35 20 70 2 17 352 , (5) розв’язок якої наступний: С CC C C С C S bSbCb H CCb H CCb H Сb b δ δδ βδ αδ γδ δ 22 1102101121101 220 22020 220 22200 2 20002 000 35 , 2 35, 2 35 2 25 2 7 2 25 2 7 2 115 2 7 = === ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= = (6) Для визначення значень +≤ mbmnk 3( підставимо їх в стоксові сталі 3-го і 4-го порядків, формули для яких можна отримати з [5] )4≤++ kn ( )∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= τ τδ , 2 31 223 330 dyxzz Ma C ( ) τδ τ dyxxxz Ma C ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= 222 331 4 11 ( )∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= τ τδ , 2 11 222 331 dyxyyz Ma S ( )( ) τδ τ dyxz Ma C ∫ − = 4 1 22 332 , 2 1 332 ∫= τδ dxyz Ma S , 3 11 2 333 τδ τ dxx Ma C ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = τ τ δ 8 3 1 1 22 333 dyxy Ma S (7) ( )∫ ++−= τ δ 2224 440 3(1 yxzz Ma C ( ) ,) 8 1 222 τdyx ++ ( )∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= τ τδ dyxxzxz Ma C 223 441 4 31 ( )∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= τ τδ , 4 31 223 441 dyxxyyz Ma S ( ) ( ) τδ τ dxyyxz Ma C ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ + = 42 222 442 4 1 2 31 ( ) , 2 131 222 442 τδ τ dyxxyxyz Ma S ∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= ( ) ∫ − = τ τδdyxzx Ma C 6 31 22 443 ( )( ) τδ τ dyxxy Ma S 22 444 8 11 −= ∫ (8) В результаті отримаємо ряд залежностей для коефіцієнтів 3-го порядку, які групуємо mnkb ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= − − +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−− 021201 001 22 32 021201003 001 222 30 2 1 4 27105 32 2 127105 bb bC bbb bC C C βαδ βαγδ (9) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= −− +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−− 120 300 100 22 33 120300102 100 222 31 3 27105 2 12 3 2 127105 bb bC bbb bC C C βαδ βαγδ (10) 26 Геодезія ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−− 030210 010 22 33 030210012 010 222 31 3 1 8 27105 2 1 3 2 127105 bb bS bbb bS βα βαγ (11) Одна величина визначається безпосередньо, а саме 11132210 bSC =δ . Аналогічно для 4-го порядку виписуємо рівняння, які також об’єднуємо ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )220040400 022202004 2244 2224 02020022 020200002 222 40 2 8 33 233 8 135 3 4 2 1 2 1 !!7 24 72 !!11 bbb bbb bb bbb CC ++× ×++−= + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −++ +− + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −+ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−× ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− × ×− βαβα βαγγ βα βαγ δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ +− ++ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−× ×−+ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−× ×− × ×− 000 44 222 222 020200 020200002 22 42 4 170 3 2 1 2 1 !!9 244 72 !!11 b C bb bbb C αβ βαγ βαγ βα δ = ( ) ( )400040022202 4 1 2 3 bbbb −+−= ( )( ) ( ) 220040400000 222 020200 22 6 35 3 !!9 72 72 32!!11 bbbb bbC −+=−+ +−−− βα βα δ (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +−= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −+− × ×− 6 3 6!!9 18 72 !!11 4 3 4 1 2 1 !!9 18 72 11 121301 10122 43 131301103 22 222 10141 bb bC bbb bC C C βαδ βα βαγ δ (14) { ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ +−= = ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −× ×− 6 3 6!!9 18 72 !!11 4 3 4 1 2 1 !!9 18 72 !!11 031211 011 22 43 211031013 22222 01141 bb bS bbb bS C C βαδ βαβαγ δ (15) ( )( )[ ] ( ) ( ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = =−+ +−= = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−× ×+ 8 8!!9 18 72 !!11 2 13 3 !!9 18 72 !!11 130310 110 22 44 130310112 110 222 42 bb bS bbb b S C C βαδ βαγ δ (16) Кожна з систем рівнянь (9)–(16) недовизначена. Для їх доповнення використаємо представлення похідних рівностями (1), коефіцієнти розкладу яких визначаються через степеневі моменти густини ( )2≤++ sqpI pqs та інтегральні поверхневі характеристики 27 Геодинаміка 1(7)/2008 [ ]( )41 ≤++ sqppqsσ . для Nsqpl =++= , бо при вони визначені раніше. Загальна кількість Nl < pqsσ обчислюється як )1( 2 −NN , а тому Вважаючи їх невідомими і враховуючи додаткові умови вигляду pqspqsspqqsp σσσσ =++ +++ 222 , 2)( ≤++ sqp , (17) ( ) ( )12 2 1 ++ − =+ NNNlt = у випадку лінійної незалежності отримуємо, що їх кількість відповідає числу рівнянь. Дійсно, коефіцієнтів N-го порядку є ( )( ) dNNNN = ++ = ++ = 2 21 2 232 . (18) ( )( ) 2 21 ++ = NNd ; Знайдемо спочатку зв’язок між кое- фіцієнтами і , для чого випишемо многочлени , використовуючи рекурентні співвідношення mnkb i pqsd mnkW ( )4≤++ knm (приймемо позначення ==== 1321 ,,, xCaBaAa співвідношень, що задовольняють стоксові сталі, , далі, можна виразити через , які в свою чергу визначаються як лінійна комбінація ( 12 += Nt ) ) mnkb ≤++ sqpd i pqs ( )1−≤ N ( Nsqppqs ≤++σ . Невідомими є інтеграли zxyxx === 32 ,, ) ( ) knm knm n knmknmmnk a x a x a x xxxaaaknm xxxW ++ ++ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++ ∂∂∂ ∂ = 1 !!!2 1,, 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 321321 321 3 3 001 2 2 010 1 1 100000 ,,,1 a xW a xW a xWW ==== ,2,2,13 2 1 13 2 1,13 2 1 3 3 1 1 101 2 2 1 1 110 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 3 002 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 020 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 200 a x a xW a x a xW a x a x a x a W a x a x a x a W a x a x a x a W == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ,3355 2 ,2 2 3 3 2 2 3 1 1 4 1 1 300 3 3 2 2 011 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == a x a x a x a xW a x a xW ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 133,133 13 2 3,13 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 3 2 1 1 102 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 120 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 3 201 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 2 1 2 210 a x a x a x aa xW a x a x a x aa xW a x a x a x aa xW a x a x a x aa xW (19) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 13 2 3, 2 150 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 3 2 2 2 0122 3 3 2 2 2 2 1 1 111 a x a x a x aa xW a x a x a xW ,3335 2 ,13 2 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 4 3 3 003 2 2 3 2 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 021 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = a x a x a x a xW a x a x a x aa xW ,3335 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2 2 030 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = a x a x a x a xW 28 Геодезія , 1213 13035 8 1 2 3 3 4 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 1 400 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = a x a x a x a x a x a x a x a x a W ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 33352 ,33352 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 4 1 31 301 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 4 1 1 310 a x a x a x aa xxW a x a x a x a x a xW ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 33352,136 136,136 2 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2 2 3 23 031 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 3 2 2 2 1 21 112 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 31 121 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 1 32 211 a x a x a x aa xxW a x a x a x aaa xxW a x a x a x aaa xxW a x a x a x aaa xxW ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 33352 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 3 4 2 32 013 a x a x a x aa yxW ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 22 3 3 2 3 3 2 2 2 4 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 4 1 1 2 2 2 1 220 1165 1365 4 3 a x a x a x a x a x a x a x a x aa W ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1266 185 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 4 3 3 4 3 3 4 1 1 2 3 2 1 202 a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x aa W ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 123 13035 8 1 2 2 2 2 1 1 22 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 3 4 3 3 4 2 004 a x a x a x a x a x a x a x a x a W ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 123 13035 8 1 2 3 3 2 1 1 22 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2 2 4 2 004 a x a x a x a x a x a x a x a x a W 29 Геодинаміка 1(7)/2008 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 33352 33352 2 2 2 2 1 1 2 3 3 4 3 2 1 31 103 2 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2 2 1 21 130 a x a x a x aa xxW a x a x a x aa xxW Використовуючи тотожність (∑ ∑ ∂ ∂ == ∂ ∂ 3 4 mnk i mnkpas i pas i W x bWd x δ ) (20) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях отримаємо: 0 ( ) ( )102120300100 ' 002 ' 020 ' 200 ' 000 2 3 2 1 bbbbdddd ++−=++− 1x ( ) ( ) ( )022220202 004040400002020200 ' 120 ' 102 ' 300 ' 000 123636 4 3 8 13 2 3 bbb bbbbbbdddd ++− +++−++=++− 2x ( ) 112130310110 ' 012 ' 210 ' 030 ' 010 6662 2 3 bbbbdddd −−−=++− 3x ( ) ( ) 121301103101 ' 021 ' 201 ' 003 ' 001 662 2 3 bbbbdddd −+−=++− 2 1x ( 102120300 ' 002 ' 020 ' 200 335 2 3 2 1 2 1 2 3 bbbddd ++=++ ) (21) 2 2x ( ) ( )102120300 ' 002 ' 020 ' 200 333 2 13 2 1 bbbddd ++=++ 2 3x ( ) ( )102120300 ' 002 ' 020 ' 200 933 2 13 2 1 bbbddd ++=++ 21xx 030012210 ' 110 9392 bbbd ++= 31xx 201003021 ' 101 9932 bbbd ++= 32 xx 111 ' 011 2 1052 bd = 3x ( ) ( )[ ] ( )[ ]022202220004040400 ' 120 ' 102 ' 300 31512140 8 1335 2 1 bbbbbbddd +++++=++ 3 2x ( ) 112130310 ' 012 ' 210 ' 030 6106335 2 1 bbbddd ++=++ 3 3x ( ) ( ) 103121301 ' 021 ' 201 ' 003 106335 5 1 bbbddd ++=++ 2 2 1 xx ( ) 112130310 ' 012 ' 030 ' 210 181830339 2 1 bbbddd ++=++ 3 2 1 xx ( ) 121103301 ' 021 ' 003 ' 201 181830339 2 1 bbbddd ++=++ 2 31xx ( ) ( ) ( )022202220040004400 ' 120 ' 300 ' 102 123612 4 3 8 12 8 60339 2 1 bbbbbbddd +++++=++ 2 21xx ( ) ( ) ( )022202220004040400 ' 120 ' 300 ' 102 1236 4 3 8 12 8 60933 2 1 bbbbbbddd +++++=++ 30 Геодезія 2 32 xx ( ) 121103301 ' 021 ' 030 ' 201 1866939 2 1 bbbddd ++=++ 3 2 2 xx ( ) 112130310 ' 210 ' 030 ' 012 1866939 2 1 bbbddd ++=++ Система рівнянь (9)-(16), а також (21) дозволяє знайти коефіцієнти розкладу через , а структура її дозволяє розділити на частини, а саме: mnkb pqsd ( ) ( ) 001 222 30021201003 2 12710532 bCbbb C ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=+− βαγδ ( ) 001 22 30021001 2 27210 bCbb C βαδ −−=− ( ) ( ) 001 3 002 3 020 3 200 3 000021201003 3 2 2 1 3 2 bddddbbb +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++−=++ ( ) 3 002 3 020 3 200201021003 35 dddbbb ++=++ (22) 3 002 3 020 3 200201021003 2333 dddbbb ++=++ 3 002 3 020 3 200021021003 3333 dddbbb ++=++ ( ) ( ) 100 222 31120300102 3 2 127105 3 12 bCbbb C ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=+− βαγδ ( ) 100 22 33120 300 27105 3 bCbb C βαδ −−=− ' 002 ' 020 ' 200102120300 3335 dddbbb ++=++ (23) ' 002 ' 020 ' 200102120300 3393 dddbbb ++=++ ' 002 ' 020 ' 200102120300 3933 dddbbb ++=++ ( ) ( )' 002 ' 020 ' 200 ' 000100102120300 2 1 3 2 ddddbbbb +++−=++ ( ) ( ) 010 222 31030210102 2 127150 2 1 bSbbb ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=+− βαγ ( ) 010 22 33030012 8 27105 3 1 8 1 bSbb βα −−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) ( )' 002 ' 020 ' 200 2 000010012210030 2 1 2 3 ddddbbbb +++−=++ (24) 2 002 2 020 2 200012210030 3335 dddbbb ++=++ 2 002 2 020 2 2000122100303 dddbbb ++=++ 2 002 2 020 2 200012210030 33 dddbbb ++=++ Маємо три системи рівнянь, які доповнюємо умовами: 001021201003 010012210030 100102120300 σσσσ σσσσ σσσσ =++ =++ =++ (25) Аналогічно групуємо системи для коефіцієнтів 4-го порядку: 31 Геодинаміка 1(7)/2008 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+++++ ⎭ ⎬ ⎫− ++ + ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−= =+++++ 2244222402020022 020200002 222 40 220022202040400004 233 8 1 5 3 4 2 1 2 1 !!7 72_ 72 !!11 4 33 8 3 βαβαβαγγβα βαγδ bb bbbC bbbbbb C ( ) ( ) ( ) ( )⎢ ⎣ ⎡ ⎜ ⎝ ⎛ ++−− ⎩ ⎨ ⎧ −=−+− 020200002 22 42400040022202 2 1 !!9 544 72 !!11 4 1 2 3 bbbCbbbb C βαδ ( ) ( ) ( )( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ −−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−+ 020200 22222 020200 10 3 2 1 bbbb βαβαγ (26) ( )( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+−−−=−+ 000 22 020200 22 44220040400 35 37232 72 !!116 bbbCbbb C βαβαδ ( ) ( ) ( )' 210 ' 102 ' 300022202220004040400 335491512140 dddbbbbbb ++=+++++ ( ) ( ) ' 120 ' 300 ' 102022202220040004400 3391236123315 dddbbbbbb ++=+++++ ( ) ( )( ) ' 021 ' 030 ' 201022202220004004400 939336315 dddbbbbbb ++=+++++ ( ) ( ) ( )012 2 210 2 030202022220004400040 3541512140 dddbbbbbb ++=+++++ ( ) ( ) dbbbbbb 9336315 202022220004400040 =+++++ ( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +− 22222 10141121301103 4 1 2 1 !!9 18 72 !!11 4 3!!11 βαβαγ δ bCbbb C ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − 101 22 43 121301 6!!9 18 72 !!11 6 3 72 !!11 bCbb C C βαδδ ( 021201 ' 003121301103 395 2 16610 dddbbb ++=++ ) (27) ( )021201 ' 003121301103 933 2 1183018 dddbb +=++ ( )021201 ' 003121301103 333 2 11869 dddbb +=++ ( ) ( )021201003 ' 001121103301101 2 162 ddddbbbb ++−=++− ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=+− 110 222 42130310112 2 13 !!9 18 72 !!11 2 13 bSbbb C βαγδ ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ −= + 110 22 44 130130 !!98 18 72 !!11 2 bSbb C βαδ ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++=++ 012210030 ' 003112310130 335 2 16610 ddddbbb ) (28) ( )012210 ' 030112310130 393 2 1183018 dddbbb ++=++ ( )012210 ' 030112310130 933 2 11866 dddbbb ++=++ ( )012210 ' 030 ' 010112130310110 2 36662 ddddbbbb ++−=−−− 32 Геодезія Отримання останньої системи випливає з тотожності: ( ) pqs knm sqp pqsmnkmnk WdW x b x ∑ ∑ =++ ++ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 4 0 3 2 22 δ В результаті одержимо: ( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−=+− 22222 01141211031013 4 1 2 1 !!9 18 72 !!11 4 3 βαβαγδ bSbbb C ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−= − 110 222 42 031211 2 13 !!9 3 72 !!11 6 3 bSbb C βαγδ ( )' 021 2 201 2 003211031013 335 2 16610 dddbbb ++=++ ( )2 021 2 201 2 003211031013 393 2 11866 dddbbb ++=++ ( )2 021 2 201 2 003211031013 933 2 1183018 dddbbb ++=++ ( ) ( )2 021 2 201 2 003 2 001211031301011 2 362 ddddbbbb ++−=++− Системи рівнянь (24)–(27) знову замикаємо умовами, пам’ятаючи, що визначається через i pqsd pqsσ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ =++ =++ =++ 011013211031 101103121301 110112130310 002022004202 020022040220 200202220400 σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ (29) Опишемо алгоритм знаходження коефі- цієнтів для кожної з частин: mnkb 1. Визначаємо коефіцієнти розкладу )2( ≤++ knmbmnk за формулою (6). 2. Введемо позначення: b – стовпець невідомих розмірності , mnkb 1z d – стовпець знайдених розмірності , i pasd 1l C – стовпець стоксових сталих – , 1t c* – стовпець обчислених стоксових сталих розмірності , 1t A – матриця зв’язку розмірності , і , 11 dt × mnkb i pqsd F – матриця зв’язку розмірності сток- сових сталих , і 11 dt × nkС nkS mnkb mD – матриця зв’язку між векторами d і mσ mσ – стовпець величин (при mσ 1−≤ km ) є відомими. Тоді ряд матричних рівнянь дає розв’язок задачі: Abd = , (при ) (30) dAb 1−= 0detA ≠ ∑ − = += 1 0 n m nnmm DDd σσ ∑ − = −− += 1 0 11 n m nnmm DADAb σσ (31) FbcC =− * , ∑ − = −− +=− 1 0 11* n m nnmm DFADFAcC σσ . (32) Доповнюючи останнє матричне рівняння сукупністю рівностей виду (25), (29), одержимо систему ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −−= − − = −− ∑ 2 1 0 1*1 nn n m mmnn DFAcCDFA σσ σσ , (33) в якій кількість рівнянь ( ) така ж, як і кількість невідомих . 11 lt + nσ Застосовуючи цей алгоритм до систем однотипних рівнянь, визначаємо послідовно вектор невідомих , а далі з рівності (31) і вектор , що дає можливість знаходити розподіл густини мас за формулою (4) в довільній точці еліпсоїдальної планети. nσ b Література 1. Мещеряков Г.А. Динамическая фигура Луны и распределение плотности лунных 33 Геодинаміка 1(7)/2008 недр // Астрон.журн. – 1973. – Т. 50, № 1. – С. 186-187. 2. Мещеряков Г.А. Использование стоксових постоянных Земли для уточнения ее механических моделей // Геодезия, картография и аэрофотосьемка. – 1975. – Вып.21. – С. 23-30. 3. Мещеряков Г.А., Фыс М.М. Определение плотности земных недр рядами по биортогональным системам многочленов // Теория и методы интерпретации грави- тационных аномалий. – 1981. – С. 329-334. 4. Фис М.М., Фоца Р.С., Согор А.Р. Побудова точних моделей розподілу мас планет з урахуванням стоксових постійних вищих порядків // Збірник наукових праць „Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування – Європейський дос- від”. – 2007. – Чернігів. 5. Фис М.М., Зазуляк П.М., Заяць О.С. До питання визначення кульових функцій в загально планетарній системі координат. // „Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва” Збірник наукових праць Західного Геодезичного Товариства. – Львів: Ліга-Прес. – 2004. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС ПЛАНЕТЫ С УЧЕТОМ СТОКСОВЫХ ПОСТОЯННЫХ ДО ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА М.М. Фис, Р.С. Фоца, А.Р. Согор, В.О. Волос Описан алгоритм построения модельных распределений плотности планеты с учетом стоксовых постоянных четвертого порядка. Ключевые слова: вычислительный алгоритм; модель распределения плотности; стоксовы постоянные. METHOD FOR PLANETS DENSITY DISTRIBUTION CONSTRUCTION WITH USING OF STOKE’S CONSTANTS TO FOURTH ORDER M.M. Fys, R.S. Fotsa, A.R. Sogor, V.O. Volos The algorithm for planets density distributions construction with using of Stoke’s constant of fourth order is presented. Key words: computational algorithm; density distributions model; Stoke’s constants. На Надійшла 12.10.2008 ціональний університет “Львівська політехніка”, м. Львів 34

Метод знаходження густини розподілу мас планети з урахуванням стоксових сталих до четвертого степеня

Institution

Similar Items