Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики
In the article, conclusion and research of the primary mathematical object of the generalized geometry, named – equation of the Gaussian line are considered. Equation unites the mathematical objects of differential, integral and Euclid geometries. Research of this equation by the numerical methods o...
Saved in:
| Published in: | Геодинаміка |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18544 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики / В.M. Карпенко, Ю.П. Стародуб // Геодинаміка. — 2009. — № 1(8). — С. 97-105. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860120442978697216 |
|---|---|
| author | Карпенко, В.М. Стародуб, Ю.П. |
| author_facet | Карпенко, В.М. Стародуб, Ю.П. |
| citation_txt | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики / В.M. Карпенко, Ю.П. Стародуб // Геодинаміка. — 2009. — № 1(8). — С. 97-105. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геодинаміка |
| description | In the article, conclusion and research of the primary mathematical object of the generalized geometry, named – equation of the Gaussian line are considered. Equation unites the mathematical objects of differential, integral and Euclid geometries. Research of this equation by the numerical methods of small finite elements is examined. The equation’s properties reveal the quality change of the line at consideration of differentinitial conditions, time and space step of discretization. It is set that taking into account the theory of power metamorphism, the generalized law of energy conservation, change, transfer and energy pack, equation of the line model the stochastic motion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:39:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
© .M. , . . , 2009 97
514.83, 514.86 .M. , . .
’ , –
. ’ ' ,
. - - .
– . ,
, ’ , ,
.
: ; ;
.
’ -
. -
, -
-
-
, , ,
,
. -
-
( )
- ( ) -
. -
( )
. :
– - , -
;
– - ,
;
– - , ,
’ ( -
- );
– - , -
-
:
;
,
,
;
– - ’ , - -
’
-
’ ;
– - ,
.
-
,
’
-
. -
, ’ -
,
, -
- , ,
.
:
. ,
( )
.
’
:
– - , -
;
– - , ’
-
– -
;
– - , ( )
,
-
;
– - , ( -
) -
– -
( ,
, , , .).
: -
’ –
-
( ) ’
( ).
1(8)/2009
98
§ 1.
[ -
, , 2006].
-
,
-
,
.
-
- -
d D D d
d
, (1)
D –
( ); –
( , , . .).
(1)
. 1.
. 1.
-
-
.
. 1 ’
-, -
. ,
-
,
–
. -
: · ,
· , · .,
: – 1 – 1 .
-
:
–
.
– -
.
– ,
, '
.
–
.
’
-
[ , 1977], , -
’ .
,
(1)
.
’
[ , 1971]
dt
dx
tt
xx
0
0 )tt(
dt
dxxx 00 , (2)
’ -
–
0 0
1
( )( )
2
x x t t xdt
0
0
2
( )
x x xdt
t t
, (3)
(t–t0), ( – 0), ( + 0) – ,
,
. (3)
.
’
0 0
0
0
( )
2
dxx x t t
dt
x x xdt
t t
(4)
: 1) 1010 t,t,x,x ; 2)
00 t,x .
’ (4)
.
1): 1010 t,t,x,x .
0 1
0
1 ( )2 ( ) 2 0dx tx t dt x
dt
–
0x , x (5)
0 1
0
1 ( )2 ( ) 2 0dx tx t dt x
dt
–
0x , x (5.1)
0 0
0
1 ( )2 ( ) 2 0dx tx t dt x
dt
–
1x , x (6)
0 0
0
1 ( )2 ( ) 2 0dx tx t dt x
dt
–
1x , x (6.1)
=
99
2): 00 t,x .
0
1 ( )2 ( ) ( ) 2 0
( )
dx tt x t dt x
t dt
–
x , x ; (7)
0
1 ( )2 ( ) ( ) 2 0
( )
dx tt x t dt x
t dt
–
1x , x ; (7.1)
1 ( )2 ( ) ( ) 2 ( ) 0
( )
dx tt x t dt x t
t dt
–
0x , x ; (8)
1 ( )2 ( ) ( ) 2 ( ) 0
( )
dx tt x t dt x t
t dt
–
0x x , (8.1)
010 /1 tt , 0( ) 1/t t t – -
.
1): 1010 t,t,x,x .
’ (5) – 1x .
(5)
2
0 12 ( ) ( )x t dt x t C , (9)
1 1 02C x , 2 2
0 1 01/( )t t ,
(6) 0 0 02C x .
: yxdt,yx,yx ,
)t(x , -
’
2
0 12y y C , (10)
2
1 0 1 2( ) / 2 cos siny t C A A , (11)
0, 2t .
yx ,
1 2( ) sin cosx t A A , (12)
1 2,A A -
,
0 1 0 2 0
1 1 1 2 1
sin cos
sin cos
x A A
x A A
, (13)
0 1 1 0
1
1 0 0 1
cos cos
sin cos sin
x xA
ctg
,
0 1 1 0
2
1 0 0 1
sin sin
sin cos sin
x xA
ctg
,
0 0t , 1 1t .
’
, ,
.
1.
. 2 :
( ) (var) sin varA t A t , var
– , ( )x t (12).
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-500 -300 -100 100 300 500
, . .
,
.
.
x(t) A(t)
. 2.
( (12)) ,
’ (6) – 0x .
(6)
2
0 02 ( ) ( )x t dt x t C , (14)
0 0 02C x , 2
01
2
0 )/(1 tt , -
(5.1) 1 1 02C x .
-
)(tx : yxdt,yx,yx ,
’
2
0 02y y C , (15)
2
0 0 1 2( ) / 2y t C B ch B sh , (16)
0, 2t .
yx ,
1 2( )x t B sh B ch , (17)
1 2
,
0 1 0 2 0
1 1 1 2 1
x B sh B ch
x B sh B ch
, (18)
0 1 1 0
1
1 0 0 1
x ch x chB
sh ch sh cth
,
x sh x shB
sh ch sh cth
0 1 1 0
2
1 0 0 1
,
0 0t , 02 , 101 t .
1(8)/2009
100
’ -
-
.
’ (4) -
0x 1x ,
, :
1) ; 2)
, – -
, ’ – -
.
2 2
0 1 01/( ) 0t t ,
)tt( 01 , (5) (6)
’
2C)t(x)t(y , 00 x)t(x , 11 x)t(x .
– tCC)t(y 21 ,
– 0)(ty .
2): 00 t,x .
’ (7) 0x .
’
(9)
)(ty , (15)
2
0 02 ( ) ( )y t y C t , (19)
0 0 0( ) 2 ( )C t x t , 2 2
0 0( ) 1/( )t t t .
’ (19)
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t B t ch t B t sh t , (20)
t)t()t( 0 ( ).
1( )B t 2 ( )B t -
1 2
2 2
0 1 2
0 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
B t ch B t sh
C t B t sh B t ch
. (21)
:
2
1 0( ) ( )B t C t sh ;
2
2 0( ) ( )B t C t ch ;
2
1 0( ) ( )B t C t sh dt ;
2
2 0( ) ( )B t C t ch dt , (21)
0 0( ) ( ) ( ) /t t t d t dt .
yx , (20)
1 1
2 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) .
x t B t ch B t sh
B t sh B t ch
B t sh B t ch
(22)
(7) -
.
’ (8) ( . [ , 1971] –
2.75, 2.162)
1 ( )2 ( ) ( ) 2 ( ) 0
( )
dx tt x t dt x t
t dt
, (23)
2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0y t t y t t y t , (24)
xdt)t(y
, 0( ) 1/( )t t t .
1. const)t( 0 – -
, (
0x )
, (24)
,
’ ,
0)0( xx 0)0( Vx
0/ 2
0
1 0 2 0( ) ty t e C Cos t C Sin t . (25.1)
1.1 const)t( 0 ,
( -
)
, (24)
,
’ 0)0( xx ,
0)0( Vx 0/ 2 ,
[ , 2000 ]
0
1 0 2 0( ) ty t e C Cos t C Sin t . (25.2)
2. var)t( – -
x 0x ,
, -
(24) ’ ([ ,
, 2006] . 2.162)
tCtCxdt)t(y 2
2
1 , (26)
0ttt .
[ , 1971] ( . 2.75) -
tCtCxdt)t(y 2
2
1 ,
. ., .
x t – ,
: 0(0)x x , (26) -
:
20
0( )
2
Vx t dt t x t –
( · ; · . . ), (27.1)
00 xtV)t(x –
( ; . . ), (27.2)
0V)t(x –
( / ; / . . ) (27.3)
2.1 var)t( – -
x 0x ,
, -
(24) ’ ([ ,
101
, 2006] . 2.162)
1 11 7 1 7
2 2
1 2( )
j j
y t xdt C t C t (28)
([ , 1971] . 2.75)
1
2
1 2
7 7( ) ln ln
2 2
y t t C Cos t C Sin t .
-
.
– § 1.
1. (11), (16), (20), (25), (26), (28)
,
)t(x :
(11) – ………………….…. D .;
(16) (20) – ……….….. D ;
(25) – ;
(26) – ………………..… D ;
(27) – ……………...….. D ;
(28) - ;
………………………………………. ~D .
2.
)t(x
, ’
- .
.
2.
, -
)t(h -
– )t(x , -
.
yxdt,yx,yx -
)t(h)t(y)t(g)t(y)t(f)t(y , ( 1)
, ’
)t(g),t(f –
,
. )t(g),t(f -
.
,
( ) ( ) 0y t y t , -
( – )t(y~ )
(
–
) ( )
)t(y ,
2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t t y t t y t
y t f t y t g t y t h t
, ( 2)
,
–
, ’
2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) 0
y t y t t f t y t
t g t y t
, ( 3)
, ( ) ( ) 0y t y t ,
22 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
t g ty t y t F t y t
t f t
, ( 3.1)
’ ( 3.1) ( )x t
( ) ( ) ( )x t F t x t dt , ( 3.2)
( )y t
( ) ( )* ( )t F t y t dt , ( 3.2)
)t(F – -
,
, )t(x – .
( 3.1), ( 3.2),
( ) 1F t .
t , ,
( ) /
t
Lim F t g f .
0t , -
,
t
Lim F( t ) y ,
0 1 1 0exp / 1y y y j y y ,
y , y0 1 – -
.
)t(F
)t(y
)t(y ( 4)
-
.
( 4)
( y – , t – )
3
2
2
2
U
K)t(F
)t(y
)t(y , ( 5)
3,U,K – ( ,
), ( , -
) ( )
[ , 2000 ]
.
( )
tsin)texp(x)t(x 0 , -
,
)t(F
)t(x
)t(x
dt)t(x
)t(x
)t(y
)t(y . ( 6)
’
dt)t(x)t(x)t(x2 . ( 7)
[ , 2000 , 2000 ;
., 2005] -
1(8)/2009
102
-
,
-
(
: 12 )
,
22 UKE .
( 7) -
(
(4)). ( 7),
, ,
(4) -
– : , ,
.
§ 2.
-
( ) ( ) -
.
-
,
,
[ , 2000 ].
(4). .
– t , Ex –
.
-
:
–
0
0
E EdE
d
, (29.1)
0 0
1
2
Ed E E . (29.2)
(1) [ ,
2000 ] ( , -
– ) -
12 ( -
)
2 2
dEEd
d
dEEd
d
, (30)
0
0 0
0
2 2 2 2
0
1
2
1
2
E E
E E
E E
–
(1) [ , 2000 ]:
2 2 0 , : Ed1 ,
d
dE
2 , – -
( –
LUK1 – ;
– 2
2 E/UK –
;
– U/K3 , E K U
– , -
).
(30)
,
(1) [ , 2000 ]
2
2 2 20
0 0 0
0
1 1
2 2
E E
E E E E
(31.1)
2
2 2 21 1
2 2
J D J D , (31.2)
0D E E dE – ,
, 0 2J E E dE
– , –
0d .
(31)
2 4
2
2
11 0
2 4
D D dd
J J
, (32)
/D J .
’ :
2
2 2
1
1 1 1 11 1
2 2 4
D d
J
2 0
0
1 ( )
2 2
E E dEd C
E E E
, (33.1)
2
2 2
2
1 1 1 11 1
2 2 4
D d
J
2 0
0
1 ( )
2 2
E E dEd C
E E E
, (33.2)
-
2
1 2
1 ( ) ( )
2G
D D D d C C
J J J
103
2 2 0
0
1 ( )
2 2G
E E dEd C
E E E
, (33.3)
-
2 2 0
1 2 0
1 1 ( )
2 2 2A
A
E ED D D dEd C
J J J E E E
,
(33.4)
2 ( )GC – -
;
2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
1 1 11 1
2 4
1,
1 1 11 1
2 4
GC C C
2
2
1 1( ) ( ) ( ) 1
2 2AC C C –
.
(33.3) (33.4),
2 ( )G
dEC d d
E
2
0( )G
dEC d
E 0 0 ,
2 2
0
1exp ( )
2 GE E C , (34.1)
2 2
0
1exp ( )
2 AE E C . (34.2)
(
[ , 1998]), (34)
“–”,
)(exp)(2 222
0 CCE
d
dE , (35)
2 2
0
0 0
exp ( )Ed E C d
0
1
2 ( )
E
C
. (36)
(34), (35), (36)
-, - -
, , -
:
D , D , D , D , ~D .
0 0 , (34.1) (34.2)
2 2
0 0
1exp ( )
2
E E C , (37)
(37) . , 2 ( )GC
2
0 0
1exp
2
E E , (38)
2 ( )AC
2 0
0 0
1exp
2 2
E E . (39)
2
0
2
0
2
11
2
,
1 1 1
4
C d
dEd
E
(40)
2
0 0exp ( )E E C d . (40.1)
(40) :
21
2
d ; 1 1 ln
2 2
d ;
0 0d ; 0 0
22 2
d ;
2 2
0 0
2
1 4 1 4
2arcsin 2
2 2
d
2
2
2
1 4
1 4 1
2 2 1 42 2 ln
d .
, (40.1)
2 0
0
2
2
0
2
0
1 1ln
2 2 2
2 2 1 41exp 1 4 ln
2
1 4 2arcsin2
2
E E
(40.2)
– § 2.
(34)
-
(30) -
.
3. (32) -
, -
, -
[ , 1971],
, /D J k
k
, 2 / 2
(32) 4
1 2
1
4
k k K
1(8)/2009
104
2
1 2
1 1 2 2
2
k k H -
, ’
2 2 0k H k K . (41)
(41) -
[ , 1981], -
6500 , ’
.
[ , ,
2008], ,
(38).
R :
2
1 1,K H
R R
,
R
2
4
2
1 21 2 2
2
1 1
4
H
R
K
R
(42)
8R , 0,5 .
0 0K , 4R – .
2 2
0
2
1 2
2
2
H
4
0
1
4
K . (43)
0 0K , 0H
– .
4. -
(38) [ , , 2007].
,
2 2
2
1 1sin 2
4 4
KU t
E
2 / 2t n , –
, 1, 2,...n .
5. . 3
(40.2)
,
( ) 0 0 . ( )A t
*( )A t 0 0 ,
,
.
6.
/D J .
1. -
)(Ctexpxx 22
0 -
' ( ) -
,
-
.
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
,
-
A
(t)
,
.
.
.
A(t) -
A*(t) -
A(t)<-0,5 -
A(t)>0,5 -
)
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
,
,
.
.
.
A(t) -
A*(t) -
)
. 3. (40.2). 0 – ,
( ): ) 0 0 ; ) 0 0
2. ( -
) -
( )
.
3. -
, ,
.
4. -
-
, ,
.
5. 2 2( ) ( )G AC C
0,5 ,
/D J (32).
6. -
’ -
: , -
,
( ,
),
, -
’ -
-
, -
.
105
. . .
. – .: , 1981. – 448 .
. .
. – .: , 1971. – 512 .
. ., . ., . .
. . –
:
. – 2005. – 207 .
. -
. – .: ,
1971. – 576 .
. . -
// .
. – 2000. – 5. – . 74–75.
. . -
-
// -
6- - -
“ –
2000”. – - : . – 2000. –
2. – . 290.
. ., . . -
-
’ . //
. . . . – 2006. –
. 20. – . 105–23.
. ., . . -
-
// -
. – 2007. – 4. – . 31–39.
. . . . -
. – . -
. . . 14. –
2008. – . 105–25.
. . . – .:
, 1977. – 656 .
. . -
. –
: , 1998. – 164 c.
. . , . .
,
. ,
. - - .
– .
, , ,
, , .
: ; ;
.
MATHEMATICAL MODEL OF GENERALIZED GEOMETRY
OF PHYSICAL SPACE IN GEOPHYSICAL PROBLEMS
V.N. Karpenko, G.P. Starodub
In the article, conclusion and research of the primary mathematical object of the generalized geometry,
named – equation of the Gaussian line are considered. Equation unites the mathematical objects of differential,
integral and Euclid geometries. Research of this equation by the numerical methods of small finite elements is
examined. The equation’s properties reveal the quality change of the line at consideration of differentinitial
conditions, time and space step of discretization. It is set that taking into account the theory of power
metamorphism, the generalized law of energy conservation, change, transfer and energy pack, equation of the
line model the stochastic motion.
Key words: equation of generalized geometry; law of energy conservation; law of energy transfer.
“ ” “ ”, . 17.02.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18544 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1992-142X |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:39:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карпенко, В.М. Стародуб, Ю.П. 2011-04-01T07:40:54Z 2011-04-01T07:40:54Z 2009 Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики / В.M. Карпенко, Ю.П. Стародуб // Геодинаміка. — 2009. — № 1(8). — С. 97-105. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1992-142X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18544 514.83, 514.86 In the article, conclusion and research of the primary mathematical object of the generalized geometry, named – equation of the Gaussian line are considered. Equation unites the mathematical objects of differential, integral and Euclid geometries. Research of this equation by the numerical methods of small finite elements is examined. The equation’s properties reveal the quality change of the line at consideration of differentinitial conditions, time and space step of discretization. It is set that taking into account the theory of power metamorphism, the generalized law of energy conservation, change, transfer and energy pack, equation of the line model the stochastic motion. uk Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України Геодинаміка Геофізика Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики Mathematical model of generalized geometry of physical space in geophysical problems Article published earlier |
| spellingShingle | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики Карпенко, В.М. Стародуб, Ю.П. Геофізика |
| title | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| title_alt | Mathematical model of generalized geometry of physical space in geophysical problems |
| title_full | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| title_fullStr | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| title_full_unstemmed | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| title_short | Математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| title_sort | математична модель узагальненої геометрії фізичного простору в задачах геофізики |
| topic | Геофізика |
| topic_facet | Геофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18544 |
| work_keys_str_mv | AT karpenkovm matematičnamodelʹuzagalʹnenoígeometríífízičnogoprostoruvzadačahgeofíziki AT starodubûp matematičnamodelʹuzagalʹnenoígeometríífízičnogoprostoruvzadačahgeofíziki AT karpenkovm mathematicalmodelofgeneralizedgeometryofphysicalspaceingeophysicalproblems AT starodubûp mathematicalmodelofgeneralizedgeometryofphysicalspaceingeophysicalproblems |