Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів
Побудовані чисельні методи підвищеної точності для розв’язування багатовимірних крайових задач і задач Коші з використанням асимптотично-розв’язуючих операторів. Numerical high-order methods for solution of multi-dimensional boundary and Cauchy problem are developed by implementation of asymptotic s...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18562 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів / І.В. Бейко, П.М. Зінько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 18-25. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859857940011286528 |
|---|---|
| author | Бейко, І.В. Зінько, П.М. |
| author_facet | Бейко, І.В. Зінько, П.М. |
| citation_txt | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів / І.В. Бейко, П.М. Зінько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 18-25. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Побудовані чисельні методи підвищеної точності для розв’язування багатовимірних крайових задач і задач Коші з використанням асимптотично-розв’язуючих операторів.
Numerical high-order methods for solution of multi-dimensional boundary and Cauchy problem are developed by implementation of asymptotic solve-operators.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:44:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
18
3. Jorge J. More, Burton S. Garbow, Kenneth E. Hillstrom Testing unconstrained
optimization software // ACM Transactions on mathematical Software. –
Vol 7. – No. 1. – March, 1981. – P.17-41.
4. Luksan L., Vlcek J. Test problems for unconstrained optimization // Institute of
computer science, Academy of sciences of the Czech Republic. – 2003.
In this paper a new way to the creation of the method for solving sys-
tem of nonlinear equations is being researched, which is based on steepest
descent and the Newton methods. We have proved theorem where the con-
vergence of the proposed method is justified and the rate of convergence is
established. Numeral experiments have been conducted on the test prob-
lems and they have been compared of the basic methods. The conclusions
on the possibilities application of method have been made.
Key words: the methods of steepest descent, the Newton methods, sys-
tem of nonlinear equations.
Отримано: 02.06.2008
УДК 519
І. В. Бейко1, П. М. Зінько2
1Українсько-Угорський інститут кібернетики
та інформаційних технологій, м. Київ
2Київський національний університет імені Тараса Шевченка
МЕТОДИ ВИСОКИХ ПОРЯДКІВ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
ЗАДАЧ КОШІ ТА БАГАТОМІРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ЗА ДОПОМОГОЮ АСИМПТОТИЧНО-РОЗВ’ЯЗУЮЧИХ
ОПЕРАТОРІВ
Побудовані чисельні методи підвищеної точності для роз-
в’язування багатовимірних крайових задач і задач Коші з ви-
користанням асимптотично-розв’язуючих операторів.
Ключові слова: асимптотично-розв’язуючі оператори,
крайові задачі, задачі Коші.
Вступ. Для побудови оптимальних робочих моделей в роботах
[1, 5, 7] використовуються розв’язуючі оператори, які узагальнюють
псевдообернені оператори та функції Гріна. Їх асимптотичні апрок-
симації (асимпотично-розв’язуючі оператори) використовуються для
побудови математичних моделей складних керованих багатозв’язних
систем у класі граф-операторних моделей, де k-та підсистема (k-й
вузол граф-операторної моделі), представлена алгебраїчними, дифе-
ренційними, інтегро-диференційними рівняннями чи їх сукупністю,
представляється в канонічному вигляді Аks(хks, zks, рks) =
ksAWθ , Aks:
© І. В. Бейко, П. М. Зінько, 2008
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
19
Xks × Zks × Pks→WAks, −ksX множина фазових станів ksx s -ої підсис-
теми k-го вузла граф-операторної моделі, −∈ ksks Zz величини, які
характеризують зв'язок s-ої підсистеми з її навколишнім середови-
щем (зі всією системою), −ksP множина значень параметрів ksp s-ої
підсистеми. Якщо у позначеннях
Аs(х, р) ≅ (A1s(x1s, z1s, p1s),…, ANks(xNks, zNks, pNks), zks= Zks(х, р),
А(х, р) ≅ (A1(x, p),…, ANks(x, p)) = θWA, x ≅ (x1,…, xNks),
xs ≅ (x1s,…, xNks), p ≅ (p1,…, pNks), ps ≅ (p1s,…, pNks)
граф-операторна модель А(х, р) = θWA містить повну інформацію про
залежності між величинами v ≅ С(х, р) та w ≅ В(х, р), то ця залежність
представляється розв’язуючим оператором [5, 6]. Для побудови ма-
тематичної моделі залежності між v і w будується невід’ємна функ-
ція ,2: +→ RBWµ інваріантна відносно паралельного переносу, тобто
,2, BW
B KWw ∈∀∈∀ ( )}|{)( KzzwK ∈+= µµ ( BW2 – множина всіх
підмножин множини BW ). З цією метою за допомогою функції
( ) BCA WWWP →××ℜ : з областю визначення ),(ℜD яка містить
множину
( ) { }MpxpxCvpxAzvzpCAM ∈==Ω ),(),,(),,(|),,(,, @ ,
будуємо оцінку
( )( )}),(,),(),,(,),(|{),,(1 MpxpxCpxAppxBwwMpd ∈ℜ−==ℜ µ .
Постановка задачі.
Означення 1 [5]. Функція δℜ , яка задовольняє нерівність
,),,(max 1)(
δδ ≤ℜ
∈
Mpd
MPp
{ },),(,|)( MpxXxpMP ∈∈∃=
називається розв’язуючим оператором з дефектом δ на множині .M
Означення 2. Інформацію ( )MCA ),,( називають ε -повною для
функції ,B якщо існує така ε -апроксимація ,ℜ для якої виконується
нерівність .),,(1 ε≤ℜ Mpd
Величина ),,(inf),,,( 1 MpdpMCA ℜ≡Ψ
ℜ
є кількісною мірою ко-
рисності інформації ( )MA, у відшуканні залежності ( )ppxC ),,( →
→ ),( pxB . А наявність наближеного розв’язку ),( px системи
WpxA θ=),( може бути використана для побудови алгоритмів про-
гнозування підвищеної точності з використанням асимптотично-роз-
в’язуючих операторів sℜ та sqℜ , які в околі ),( px визначаються
асимптотичними рівняннями [3, 6, 7, 13]
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( ) ,,,,,,,,dim
−=∈ℜ−
sk
s xxOMpxpxCpxAxpxB
( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( )=∈ℜ− MpxpxCpxAxpppxB sq ,,,,,,,,,dim
( )qsk ppOxxO −+
−= .
Основні результати. В роботі [4] побудовано асимптотично
розв’язуючі оператори для складних математичних моделей
AWuxA θ=),( з операторами, які описуються багатовимірними неяв-
ними алгебро-диференціальними та алгебро-інтегро-диференціальни-
ми рівняннями. Зокрема, справедлива наступна теорема.
Теорема 1 [13]. Якщо параметром p є час t і для математичної
моделі вигляду
0),,(),( =≡ txxApxA &
частинні похідні xA′ і xA&′ задовольняють умові Ліпшиця по змінних
x& та x і виконуються рівності
( )stOxx )()()( τττ −+= ,
( )( ) ( )q
xx tOlxxAlxxAdd )(),,(),,(/ ττττ −=′−′ && ,
,),,(,0 Φ=+′≤≤ lhtxxAsq T
x
&
то
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).),(),()(
)()()(,,
qs
ht
t
T
x
hOdxxAl
txtxtltxxAhtxhtx
+
+
++
+−′++Φ=+Φ
∫ τττττ &
&
Означення 3. Оператор F є асимптотично-розв’язуючим на ін-
тервалі ],[ Htt +∈τ для функції ( ))( Htxv + відносно неперервної по
τ функції ( ))(τQZ на розв’язку x задачі Коші
( ) ,)(,),(/)( 0xtxxfddx == ττττ
якщо для неперервних функцій p із околу x виконується асимптотич-
не рівняння
( ) ( ) ( )( ) .)( )(),,,,( xpHxpOQZOHtxvQZHptF −−+++=
Означення 4. Оператор )(τG є асимптотично-розв’язуючим
оператором s -го порядку за параметром h в околі t для функції
( ),)( htxv + якщо виконується асимптотичне рівняння
( ) ).()()( shOhtxvhG ++=
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
21
Теорема 2. Якщо
( ) ),()()( HtxHtQHtxv +++ @ ( ) )()(/)()( τττττ AQddQQZ +@
на інтервалі [ ]Htt +∈ ,τ функції
( )ττττ ),()( ),( pfAQ x′@ і ( ))(τQZ
є неперервними, а матриця ( )ττ ),(pf x′ є ліпшицевою по ),(τp то
оператор ,F який є асимптотично-розв’язуючим для функції
( ))( Htxv + відносно )(QZ на розв’язках )( Htx + визначається на
неперервних функціях p із околу x рівнянням
( ) ./)()),(()()()(),,,,( ττττττ dddppfQHtpHtQQZHptF
Ht
t
∫
+
−+++=
Теорема 3. Якщо в умовах теореми 1 функції ),(τQ
( ),),()( τττ pfA x′= )(τp та )(τx задовольняють на інтервалі
],[ htt +∈τ асимптотичним рівнянням
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ),()( ,O ,O/ txtphxphAQddQ lk =+=+−= ττττττ
то асимптотично-розв’язуючий оператор )(hG s -го порядку,
,1++= lks визначається при kl ≤ рівнянням
( )( )∫
+
−+++=
Ht
t
dddppfQhtphtQhG ./)(),()()()()( ττττττ
За допомогою цих асимптотично-розв’язуючих операторів бу-
дуються наближені розв’язки високих порядків для задачі Коші
( ) ( ) ,,1,,),()( 01
0
0
1 ttnRxtxttxftx n ≥≥∈==&
які використовують інтерполяційні поліноми Лагранжа.
Якщо −≥ 1n степінь інтерполяційного поліному Лагранжа,
−≥ 0h крок інтегрування і відомі розв’язки niihtx ,0),( =+ , а pn+1 –
інтерполяційний поліном Лагранжа, який проходить через точки
niihtx ,0),( =+ , то відомо, що )(1 τ+np апроксимує розв’язок задачі
Коші на проміжку ])1(,[ hntt ++ з похибкою ( )1+nhO . Тому для обчи-
слення наближеного розв’язку ( )hntx )1( ++ з похибкою ( )3+nhO мо-
жемо скористатися формулою
( ) ( ) ( )[
( )( )] ( )[ ] ,)(),()1(,)1(
)1()1()1(
111
)1(
1
ττττ
τ
dppfhnthntpf
hntEhntphntx
nnnx
hnt
t
n
+++
++
+
−++++′×
×+−−−+++=++ ∫
&
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
де −′xf матриця частинних похідних вектор-функції f по x . Якщо
для обчислення інтегралу скористатися формулою Ньютона-Котеса
∑∫
=
−≅
r
i
iri
b
a
tgcabdg
0
, ),()()( ττ де −+1r кількість вузлів інтегрування,
ric , , −= ri ,0 константи, які задаються таблицею, ,/)( rabiati −+=
ri ,0= , то похибка обчислень при непарних r дорівнює ( )2+rhO , а
при парних ( )3+− rhOr .
Якщо скористатися інтерполяційним поліномом Лагранжа 2-го
степеня, то з використанням прогнозного розв’язку
)2(3)(3)()3(3 htxhtxtxhtp +++−=+
отримуємо формулу з похибкою ( )5hO ,
( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( )([
( ) ( )) ]} .8)2(2)(22),2(),(2
),(3),3(33),3(
2),2(3),(3),(3)(3
33
htxtxhthtxfhthtxf
ttxfhhthtpfhthtpf
hthtxfhthtxfttxfhtxhtx
x
+−+++++++
+++′++++
++++++++=+
Числові методи четвертого і п’ятого порядків точності будують-
ся з використанням ряду Тейлора за формулами
( ) ( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( ),,
,
mhtpdppf
mhtmhtpfmhtEmhtx
mht
t
x
++−×
×++′−−−=+ ∫
+
ττττ
τ
&
де m – деяке натуральне число. Якщо −)(τp вектор-функція, яка ап-
роксимує розв’язок задачі Коші з похибкою ( )5hO , то одержуємо
формулу з похибкою ( )5hO
( ) ( ){
( ) ( )[
( ) ( )[ ]]}.)(2),(),(2
),()(),(
),(6),(6
12
)()(
txhhthtpfttxf
hthtpftxhthtpfh
hthtpfttxfhtxhtx
x
′′+++−×
×++′+′′−++−
−++++=+
&
Для обчислення f можна використати формулу
( )( ) ( )( )+++=++ −−−− hthtpfhthtxf kkkk 1111 ,,
( )( ) ( ) ( )[ ]htphtxhthtpf kkkkx +−+++′+ −−−− 1111 , .
Для наближеного обчислення розв’язку задачі Коші з похибкою
( )6hO , отримуємо формулу
( ) ( ){ ++++−++=+ hthtpfttxfhhtphtx ),(16),(23
12
)2()2(
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
23
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[
( ) ( )]}.)(12)(82),2(
),(16),(182),2(
2),2()(20)(92),2(7
htxtxhhthtpf
hthtpfttxfhthtpfh
hthtpfhtxtxhhthtpf
x
+′′+′′−+++
++++−++′+
+++−+′′−′′−++++ &
Аналогічно будуються методи високого порядку для розв’язання
крайових задач. Розглянемо крайову задачу для рівняння
),(),()(),( tx
x
txuxk
xt
txu φ+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
з початковими 10),()0,( ≤≤= xxxu µ і крайовими умовам
)(),0( 1 ttu η= , )(),1( 2 ttu η= , 0 ≤ t ≤ T.
Якщо на рівномірній сітці
}/1,...1,0,{ NNiixi =∆=∆⋅==∆ω
скористатися апроксимацією
−∆−
∆−−∆+
−
∆
=
∂
∂
⋅
∂
∂ ),(
4
)()()(1),()( 2 txuxkxkxk
x
txuxk
x
( )2),(
4
)()()(),()(2 ∆Ο+
∆+
∆−−∆+
++− txuxkxkxktxuxk ,
)(),( tutxu ii = , ii kxk =)( , ),()( txt ii ϕψ = , Ni ,0= ,
то за формулою
[ ] ττττ
τ
dppf
u
hthtpfhtEhtphtu
ht
t
)()),((
)),(()()()(
&−×
×
∂
++∂
−++++=+ ∫
+
отримаємо
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;2,2,)(2/2
2/1
2/2/221
12/)(
11
1211
11
2
1112
−=++−+
++−−+
++++−+
+−−+=+
∫
+
+−
++++
+−
−−−−
Nidkh
ukku
kku
kkuuhtu
ht
t
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiiii
ττψψβψψα
βββ
βαβα
ααα
;/;/)(;/)( 222 ∆=∆+=∆−= iiiiiiii hkkVkhVkh βα
);(tuu ii = )(tii ψψ = .
Аналогічно будуються неявні різницеві схеми високих порядків
для крайових задач параболічного типу у двовимірному і трьохвимі-
рному випадках.
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
Висновки. Побудовані асимптотично-розв’язуючі оператори ви-
сокого порядку точності апроксимації лінійних функціоналів в околі
розв’язку задачі Коші з ліпшицевими похідними від правої частини
по фазовим змінним дозволили побудувати числові алгоритми для
розв’язування задач Коші з високим порядком точності. При цьому з
використанням інтерполяційних поліномів Лагранжа та формул Нью-
тона-Котеса досягається висока точність розв’язків, а саме: при вико-
ристанні інтерполяційного поліному Лагранжа 2-го степеня будуєть-
ся поправка до наближеного розв’язку, яка підвищує точність розв’я-
зку до 5-го порядку (відносно кроку чисельного інтегрування); чис-
лові методи четвертого і п’ятого порядків точності побудовано також
із використанням рядів Тейлора. Аналогічно побудовано методи ви-
сокого порядку для розв’язання крайових задач параболічного типу у
двовимірному і трьохвимірному випадках.
Список використаних джерел:
1. Бейко И. В. Экстремальные модели сложных систем и метод декомпози-
ции в вычислительном эксперименте // Весн. Киев. ун-та. Моделирование
и оптимизация сложных систем. – 1982. – Вып. 1. – С.72-81
2. Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 616 c.
3. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько П. Н. Методы и алгоритмы решения
задач оптимизации. – К.: Вища школа, 1983. – 512 с.
4. Бейко И. В., Бейко М. Ф. К численному построению оптимальных управ-
лений // Моделирование нестационарных процессов. – К.: ИМ АН УССР,
1977. – С.173-190.
5. Бейко И. В. Функции для оценивания полезности информации в конст-
руктивной теории оптимальных агрегированных моделей // Кибернетика
и системный анализ. – 1996. – №3. – С.43-54.
6. Бейко І. В. Розвиток методів розв’язуючих та асимптотично-розв’язую-
чих операторів для побудови оптимальних та асимптотично-оптимальних
математичних моделей // Вісник Київського університету. Серія: Кібер-
нетика. – 2002. – Вип. 3. – С.10-15.
7. Бейко И. В. Применение развязывающих операторов для решения задачи
Коши и построения экстремальных алгоритмов развязывающей декомпо-
зиции // Вычислительная и прикладная математика. Респ. междувед. науч.
сб. – 1981. – Вып. 45. – С.110-118.
8. Зінько П. М. Числові алгоритми побудови наближених розв’язків крайо-
вих задач за неявними схемами. Одновимірна задача // Вісник Київського
університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2000. – Вип. 3. – С.233-238.
9. Зінько П. М. Побудова явних різницевих схем для неоднорідного рівнян-
ня теплопровідності зі змінними коефіцієнтами // Вісник Київського
університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – Вип. 1. – С.177-181.
10. Зінько П. М. Неявна різницева схема для розв’язування неоднорідного
рівняння теплопровідності зі змінними коефіцієнтами // Вісник Київсько-
го університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2006. – Вип. 2. – С.186-191.
11. Бейко І. В., Бодачівська Л. Ю., Зінько П. М. Системний аналіз процесів
підвищення техніко-експлуатаційних характеристик свердловин // Вісник
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
25
Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2007. – Вип. 2. – С.101-
104.
12. Бейко И. В. Численный анализ граф-операторных уравнений методом
разрешающих операторов и s-экстремальных моделей // ІІ Республикан-
ская конференция “Вычислительная математика в современном научно-
техническом прогрессе”. – Киев: КГУ, 1978. – С.124-125.
13. Бейко І. В. Уніфікована методологія розв’язуючих операторів як новітня
інформаційна технологія для відшукання нових знань і прийняття опти-
мальних рішень (англійською мовою) // Proc. “The Information Technology
Contribution to the Building of a Safe Regional Environment”, AFCEA,
Europe Seminar, Kiev, 28-30 May 1998. – С.44-50.
Numerical high-order methods for solution of multi-dimensional boun-
dary and Cauchy problem are developed by implementation of asymptotic
solve-operators.
Key words: asymptotic solve-operators, boundary/Cauchy problems.
Отримано: 05.06.2008
УДК 519.711
І. В. Бейко, В. І. Ночвай
Українсько-Угорський інститут кібернетики
та інформаційних технологій, м. Київ
МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ
ЕМІСІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У ПОВІТРЯНОМУ БАСЕЙНІ МІСТА
Побудовано математичні моделі та алгоритми багатокри-
теріальної оптимізації емісійних параметрів екозабруднення
повітряного басейну міста.
Ключові слова: математичне моделювання, багатокри-
теріальна оптимізація, забруднення атмосфери, процеси пе-
реносу і дифузії.
Вступ. Задача побудови адекватних математичних моделей про-
цесів розповсюдження забруднюючих речовин (ЗР) в повітряному
басейні міста залишається актуальною для оперативного управління
параметрами емісії на основі розрахунків оптимальних сценаріїв роз-
повсюдження викидів за наявних метеоумов. Відомі методи комбіна-
ції прямого і оберненого моделювання з використанням техніки зво-
ротньої траєкторії в лагранжевих моделях (Persson et al., 1987 [1]);
Pragm et al., 1980 [2]; Seibert, 2001 [3]) та спряжених рівнянь в ейле-
рівських моделях (Марчук Г. І. [4,5], Пененко В. В. [6]), знаходять
широке практичне застосування, зокрема і для оцінювання парамет-
рів джерел викидів ЗР в атмосферу (Бакланов, 1986 [7]; Pudykiewicz,
© І. В. Бейко, В. І. Ночвай, 2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18562 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:44:52Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бейко, І.В. Зінько, П.М. 2011-04-02T21:51:19Z 2011-04-02T21:51:19Z 2008 Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів / І.В. Бейко, П.М. Зінько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 18-25. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18562 519 Побудовані чисельні методи підвищеної точності для розв’язування багатовимірних крайових задач і задач Коші з використанням асимптотично-розв’язуючих операторів. Numerical high-order methods for solution of multi-dimensional boundary and Cauchy problem are developed by implementation of asymptotic solve-operators. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів Article published earlier |
| spellingShingle | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів Бейко, І.В. Зінько, П.М. |
| title | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| title_full | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| title_fullStr | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| title_full_unstemmed | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| title_short | Методи високих порядків для розв’язування задач Коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| title_sort | методи високих порядків для розв’язування задач коші та багатомірних крайових задач за допомогою асимптотично-розв’язуючих операторів |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18562 |
| work_keys_str_mv | AT beikoív metodivisokihporâdkívdlârozvâzuvannâzadačkošítabagatomírnihkraiovihzadačzadopomogoûasimptotičnorozvâzuûčihoperatorív AT zínʹkopm metodivisokihporâdkívdlârozvâzuvannâzadačkošítabagatomírnihkraiovihzadačzadopomogoûasimptotičnorozvâzuûčihoperatorív |