Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста
Побудовано математичні моделі та алгоритми багатокритеріальної оптимізації емісійних параметрів екозабруднення повітряного басейну міста. Mathematical models and multi-criteria optimization algorithms are designed for optimization of industrial emission parameters of atmospheric pollution in urban a...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18563 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста / І.В. Бейко, В.І. Ночвай // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 25-32. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860074044861186048 |
|---|---|
| author | Бейко, І.В. Ночвай, В.І. |
| author_facet | Бейко, І.В. Ночвай, В.І. |
| citation_txt | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста / І.В. Бейко, В.І. Ночвай // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 25-32. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Побудовано математичні моделі та алгоритми багатокритеріальної оптимізації емісійних параметрів екозабруднення повітряного басейну міста.
Mathematical models and multi-criteria optimization algorithms are designed for optimization of industrial emission parameters of atmospheric pollution in urban areas.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:12:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
25
Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2007. – Вип. 2. – С.101-
104.
12. Бейко И. В. Численный анализ граф-операторных уравнений методом
разрешающих операторов и s-экстремальных моделей // ІІ Республикан-
ская конференция “Вычислительная математика в современном научно-
техническом прогрессе”. – Киев: КГУ, 1978. – С.124-125.
13. Бейко І. В. Уніфікована методологія розв’язуючих операторів як новітня
інформаційна технологія для відшукання нових знань і прийняття опти-
мальних рішень (англійською мовою) // Proc. “The Information Technology
Contribution to the Building of a Safe Regional Environment”, AFCEA,
Europe Seminar, Kiev, 28-30 May 1998. – С.44-50.
Numerical high-order methods for solution of multi-dimensional boun-
dary and Cauchy problem are developed by implementation of asymptotic
solve-operators.
Key words: asymptotic solve-operators, boundary/Cauchy problems.
Отримано: 05.06.2008
УДК 519.711
І. В. Бейко, В. І. Ночвай
Українсько-Угорський інститут кібернетики
та інформаційних технологій, м. Київ
МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ
ЕМІСІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У ПОВІТРЯНОМУ БАСЕЙНІ МІСТА
Побудовано математичні моделі та алгоритми багатокри-
теріальної оптимізації емісійних параметрів екозабруднення
повітряного басейну міста.
Ключові слова: математичне моделювання, багатокри-
теріальна оптимізація, забруднення атмосфери, процеси пе-
реносу і дифузії.
Вступ. Задача побудови адекватних математичних моделей про-
цесів розповсюдження забруднюючих речовин (ЗР) в повітряному
басейні міста залишається актуальною для оперативного управління
параметрами емісії на основі розрахунків оптимальних сценаріїв роз-
повсюдження викидів за наявних метеоумов. Відомі методи комбіна-
ції прямого і оберненого моделювання з використанням техніки зво-
ротньої траєкторії в лагранжевих моделях (Persson et al., 1987 [1]);
Pragm et al., 1980 [2]; Seibert, 2001 [3]) та спряжених рівнянь в ейле-
рівських моделях (Марчук Г. І. [4,5], Пененко В. В. [6]), знаходять
широке практичне застосування, зокрема і для оцінювання парамет-
рів джерел викидів ЗР в атмосферу (Бакланов, 1986 [7]; Pudykiewicz,
© І. В. Бейко, В. І. Ночвай, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
26
1998 [8], Robertson and Lange, 1998 [9]). В даній роботі використову-
ються методи розв’язуючих операторів для побудови адекватних мо-
делей і методів багатокритеріальної оптимізації параметрів емісійних
процесів у повітряному басейні міста. Адекватні робочі математично-
комп’ютерні p-моделі будуються у класі граф-операторних моделей,
вершинами яких є робочі моделі підсистем
( ) ( ) { },,...,1,,,,,0,,,, nkqpuxZzzqpuxA kkkkkkkkkk
k ===
де Аk – параметричний оператор моделі k-ої підсистеми, хk – концент-
рація ЗР у k-ій підсистемі, х = (х1,…, хn) = х (u, р, q), uk – керування k-ю
підсистемою, u = (u1,…, un)∈U, qk – внутрішні та зовнішні збурення,
q = (q1,…, qn)∈Q, рk – параметри моделі, р = (р1,…, рn)∈Р, Zk – опера-
тор зв’язків k-ої підсистеми з іншими підсистемами та навколишнім
середовищем. Сукупність моделей підсистем складає граф-
операторну p-модель A (x, u, p, q, t) = 0 з невідомими значеннями
q∈Q. Вирішення проблеми неповних даних q∈Q пов’язане з вивчен-
ням залежності розв’язків x (u, p, q) і критеріїв оптимальності
B (x, u, p, q) від невідомих q, а також з відшуканням оптимальних ке-
рувань u за умов q∈Q.
Постановка задачі. До основних підсистем екосистеми повіт-
ряного басейну міста належать підсистеми джерел емісії ЗР, земної
поверхні, фізичних та фотохімічних процесів тощо. Задача оптиміза-
ції зводиться до відшукання керувань u, які максимізують значення
критерію оптимальності B (x, u, p, q). Відшукання оптимальних керу-
вань суттєво спрощується при використанні розв’язуючого оператора
C [10], який задовольняє рівнянню
( )( ) ( ) QqUuqpuxBqpuxAqpuC ∈∈= ,,,,,,,,,, .
Якщо діаметр множини {С (u, p, q, 0) | q∈Q} не перевищує числа
δ, то p-модель A (x, u, p, q) = 0 називають Bδ-адекватною. Чебишевсь-
кий центр множини {С (u, p, q, 0) | q∈Q} є оптимальною мінімаксною
оцінкою значення Bu (x, u, p, q), похибка якої не перевищує δ/2.
Якщо для кожного допустимого значення u∈U існує розв’язок
x (u, p, q) граф-операторної р-моделі A (x, u, p, q) = 0, то для оптима-
льності керування u* на допустимій множині u*∈U, тобто, для вико-
нання нерівності
( )( ) ( )( )qpuqpuxBqpuqpuxB uu ,,,,,,,,,, ** ≥
при всіх допустимих значеннях u∈U, необхідно і достатньо, щоб зна-
чення u* було розв’язком оптимізаційної задачі
( ),0,,,maxarg* qpuCu
Uu∈
=
а для гарантованої в умовах неповних даних оптимальності керуван-
ня u**, u**∈U, яке при всіх значеннях u∈U задовольняє нерівність
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
27
( )( ) ( )( ),,,,,,min,,,,,min **** qpuqpuxBqpuqpuxB u
Qq
u
Qq ∈∈
≥
необхідно і достатньо, щоб значення u** було розв’язком оптиміза-
ційної задачі
( )0,,,minmaxarg** qpuCu
QqUu ∈∈
= .
Очевидно використання розв’язуючого оператора спрощує алго-
ритм розв’язування задачі оптимального керування граф-оператор-
ною системою A (x, u*, p, q) = 0, оскільки відшукання розв’язків
( )0,,,maxarg* qpuCu
Uu∈
= та ( )0,,,minmaxarg** qpuCu
QqUu ∈∈
= не потребує
обчислення розв’язків x (u, p, q) системи A (x, u, p, q) = 0 і не потребує
також і обчислення значень Вu (x (u, p, q), u, р, q).
Для підсистеми перенесення ЗР у атмосфері [4] розв’язуючий
оператор будується за допомогою розв’язків спряженого рівняння
pcccudiv
t
c
=′∆−′+′−
∂
′∂
− ***
*
σr
з граничними умовами:
0*
*
=′+
′
cu
dn
cd
nµ на Σ при ,0≥nu
0* =′c на Σ при ,0<nu
0
*
=
∂
′∂
z
c , для z = H,
*
*
c
z
c ′=
∂
′∂ α , для z = 0,
де ,
***
*
z
c
zy
c
yx
c
x
c zcycxc ∂
′∂
∂
∂
+
∂
′∂
∂
∂
+
∂
′∂
∂
∂
=′∆ νµµ
z
cw
y
cv
x
cucudiv
∂
′∂
+
∂
′∂
+
∂
′∂
=′
***
*r ,
µxc, µyc – коефіцієнти турбулентної дифузії в горизонтальних напрям-
ках; νzc – вертикальний коефіцієнт турбулентної дифузії; σ – коефі-
цієнт хімічної трансформації; wvu ,, – складові швидкості вітру (від-
повідно до напрямків x, y, z). Функція концентрації ЗР, ( )tzyxc ,,,′ ,
пов’язана з ( )tzyxc ,,,*′ тотожністю:
.*
00
∫∫∫∫ ′=′
G
T
G
T
QdGcpdtdGcpdt
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
Якщо критерієм оптимальності (Вq (c', q, Q, u, µ, σ)) якості повіт-
ря є сумарна концентрація домішок на поверхні землі в зоні k (Yk), то
беручи до уваги рівність
( )( ) ∫∫ ′==′
G
T
kq dGcpdtYQquQqcB
0
,,,,,, σµ ,
отримуємо розв’язуючий оператор виду
∫∫ ′==′
G
T
k FdGcdtYucFqC *
0
* )0),,,(,,( σµ ,
і для виконання нерівності
( )( )( ) ( )( )QquQqcBQquQqcB qq ,,,,,,,,,,,, ** σµσµ ′≥′
при всіх допустимих значеннях q∈U, необхідно і достатньо, щоб зна-
чення q* було розв’язком задачі оптимізації
( )( )0,,,,,maxarg ** σµucQqCq
Qq
′=
∈
.
За допомогою обчислених значень ),,(* σµuc′ , які дають інфор-
мацію про внесок від джерела з координатами (x, y, z) до концентрації
в точці (xk, yk, zk), можемо обчислити матрицю оптимально допусти-
мих значень для регіональних емісійних параметрів q*.
Основні результати. В задачі оптимізації емісійних параметрів
у кожній k-ій зоні задані обмеження на допустимі концентрації j-ї
складової ЗР
,,...,2,1;,...,2,1,*
0
mjnkcdGQcdtY
допkjj
G
j
T
kj ==≤′= ∫∫
які апроксимуються нерівностями в сітковій емісійній моделі
.
1
*∑
=
≤+
n
i
j
kc
j
kc
j
ik
j
i доп
cpcpcQ
У сітковій емісійній моделі всі міські джерела домішок різної ін-
тенсивності представлені дискретно у відповідних вузлах сітки. Об-
лік емісії викидів для кожного осередку моделі проводиться на сітці
Gh: [17×15×21] за допомогою емісійної моделі в ГIС.
Для розв’язання задачі мінімізації максимального відхилення
( )
−+= ∑
=
n
i
j
kc
j
k
j
ik
j
ik доп
cpccQQ
1
*maxϕ
на множині Φ допустимих значень Q побудовано метод проекції уза-
гальнених градієнтів
( )k
k
kk QPQ ξλ−= Φ
+1 ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
29
де узагальнений градієнт ξ k визначається умовою
( ) ( ) ( )kkk QQQQQ −+≥∀ ,ξϕϕ ,
PΦz – проекція z на множину Φ.
Із нерівностей ( ) ( ) ( )kkk QQQQ −+≥ ,ξϕϕ та ( ) 0, >− kk QQξ ви-
пливає
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0,,, ≥−≥−−−> onmkonmkkonmkkkonm QQQQQQQQ ϕϕξξϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )onmkonmkkonm QQQQQ ϕϕξϕ ≥≥−+ , .
Отже маємо
( ) ( ) ( ) ( )[ ]onmkkonmonmk QQQQQ −+∈ ,, ξϕϕϕ .
Із ( )onmkk QQ −,ξ = 0 випливає Qk = Qопт. Оскільки ∀р
( ) 0, ≥− onmkk QQξ , то для доведення збіжності достатньо довести,
що ( ) 0, →− onmkk QQξ при ∞→k . Беручи до уваги нерівності
( )
( ) 2*2*2
2*2*21
,*2 kk
onmkk
k
onpk
onmk
k
konmk
k
konmk
QQQQ
QQQQQQQ
ξλξλ
ξλξλ
+−−−=
=−−≤−−=− Φ
+
із припущення існування такого ε > 0, що на підпослідовності Qk для
всіх k виконується нерівність ( ) 0, >≥− εξ onmkk QQ випливає, що при
0 →
∞→kkλ знайдеться такий номер k , що
C
kk k
ελ ≤≥∀ , де С –
задана константа. Тоді ∀k ≥ k маємо:
( ) .*2
*2
*2**2
*2*221
ελλελ
λελ
k
onmk
kk
onmk
kk
onmkonmk
QQCQQ
CQQQQ
−−≤−−−≤
≤+−−≤−+
Ця нерівність є вірною і для k = k , тобто маємо:
( ) .*2
*2
*
2
**
2
*2*
22
1
ελλελ
λελ
k
onmk
kk
onmk
kk
onmkonmk
QQCQQ
CQQQQ
−−≤−−−≤
≤+−−≤−+
Далі маємо
ελελελ *
1
*
2
*
1
2
1
2
2
++
++ −−−≤−−≤− kk
onmk
k
onmkonmk QQQQQQ .
Тобто, для всіх М виконуються нерівності
Математичне та комп’ютерне моделювання
30
∑∑
+
=
+
=
++ −−=−−≤−
kM
ki
i
onmk
kM
ki
i
onmkonmMk QQQQQQ λεελ *
2
*
22
1 .
Звідси випливає, що додатна величина
2
1 onmMk QQ −++ прямує
до –∞ при М → ∞. Отримане протиріччя доводить, що
( ) 0, →− оптkk QQξ при k → ∞. Отже, збіжність по функціоналу до-
ведена. У випадку квазідиференційованої функції використовуємо
квазіградієнти ξ функції ϕ (Q), які у точці Q = Qk задовольняють не-
рівностям
( ) ( ) ( ) ( )kkk QQoQQQQ −+−+≥ ,ξϕϕ .
У цьому випадку збіжність забезпечують умови
λk ≥ 0, ∞=∑
∞
=1k
kλ , ∑
∞
=
∞<
1
2
k
kλ , 11
∞→
+ →
kk
k
λ
λ
.
У задачі Г. І. Марчука [4] критерії економічної ефективності під-
приємств оцінюються функціоналом min;)( *
1
=−= ∑
=
ii
n
i
i QQI ξ де *
iQ
– початковий, а iQ – досягнутий плановий рівень викидів в атмосфе-
ру; iξ визначає інвестиції в технології для збереження рівня
продуктивності підприємства на одиницю зниження викидів. До ін-
ших критеріїв оптимальності належить також прибутковість підпри-
ємства max)(
1
=Ψ= ∑
=
i
n
i
i PJ , яка залежить від потужності його роботи
P. У випадку лінійної залежності ∑
=
=
n
i
ii PJ
1
χ , iii QkP = при обме-
женнях max0 ii QQ ≤≤ приходимо до задачі лінійного програмування.
В умовах багатокритеріальності вводиться узагальнений крите-
рій (як сума зважених втрат для всіх цільових функцій)
min,)()(
1
→= ∑
=
n
i
ii xwxF ρ
який мінімізуємо на множині допустимих альтернатив:
,,..1,)( min0 Axnikxwii ∈=≤ρ
Обмеження на допустиму концентрацію задаємо штрафними
функціями
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
31
),,,(),,,(),,,( 212121 njnn QQQHQQQfQQQF ……… += ,
∑
=
=
n
i
iin xwQQQf
1
21 )(),,,( ρ… ,
,),,,(),,,( 2121 ∑=
k
nkjknj QQQQQQH …… δα
.j
k
j
k
kj
доп
с
Y
=δ
Штрафні коефіцієнти
>
≤
=
1),,,(якщо,
1),,,(якщо,0
),,,(
21
21
21
nkj
nkj
nk QQQ
QQQ
QQQ
…
…
…
δα
δ
α
визначаємо за формулою Ерроу-Гурвіца [11, 12]
{ }kj
n
k
n
k rδαα += − )1()( ;0max ,
де 0>r – деяка константа. Координати наступної точки обчислюємо
за формулою
( )
∇+∇′′+∇′+= ∑+
k
nkjQQQ
k
i
k
i QQQJIQQ
iii
,,,;0max 21
)1( …δαλλλ .
У випадках значної мінливості параметрів емісії задача зводить-
ся до задачі динамічного програмування
max;
48
1 1
== ∑∑
= =t
t
ii
n
i
i QkJ χ
( ) ( ) j
kc
j
ik
n
i
j
ic
j
kc
j
ik
n
i
j
i доп
сptсQpcptсQ ≤++ ∑∑
==
1
1
22
1
1
…………………………………………………
( ) ( )
( ) .1
1
1
1
2
1
1
j
kc
j
ik
n
i
j
Ni
cN
j
ik
n
i
j
ic
j
kcN
j
ik
n
i
j
i
доп
сptсQ
ptсQpcptсQ
≤+
+++
∑
∑∑
=
−
==
…
…
Висновки. Запропоновані алгоритми реалізовані для 2 та 3-ви-
мірних моделей розрахунку розповсюдження ЗР в атмосфері. Пред-
ставлена оптимізаційна модель дозволяє використовувати методи
прямого та оберненого моделювання процесів розповсюдження до-
мішок в атмосфері міста за різних метеоумов у відшуканні оптималь-
Математичне та комп’ютерне моделювання
32
них емісійних сценаріїв для лінійних та нелінійних критеріїв оптима-
льності. Модель може використовуватися спільно з прогностичною
мезометеорологічною моделлю розрахунку поля вітру та коефіцієнтів
турбулентної дифузії з урахуванням хімічних перетворень ЗР.
Список використаних джерел:
1. The Chernobyl accident: A meteorological analysis of how radionuclides
reached and were deposited in Sweden / Persson C., Rodhe H., and De
Geer, L.E. s.l. – Ambio, 1987. – Vol. 16. – P.20-31.
2. Regional source quantification model for sulfur oxides in Europe / Pragm L.P.,
Conradsen K., and Nielsen. L.B. – Atmos. Env., 1980. – Vol. 14. – P.1027-
1054.
3. Inverse modelling with a Lagrangian particle dispersion model: application to
point relieases over limited time intervals / Seibert, P. [ed.] Gryning and
Schiermeier (eds.):. s.l. : Air pollution modeling and its application XIX
Plenum. – NY, 2001. – P.381-389.
4. Марчук Г .И. Математическое моделирование в проблеме окружающей
среды. – М.: Наука, 1982. – 320 с.
5. Марчук Г. І. Зв'язані рівняння і аналіз складних систем. – М.: Наука, 1992.
– 335 с.
6. Пененко В. В., Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окру-
жающей среды. – Новосибирск: Наука, 1985. – 256 с.
7. Baklanov A. Numerical modelling for normalisation of atmospheric environ-
ment on industrial sites // Numerical solution of atmospheric hydrothermody-
namics problems. s.l. – Novosibirsk: Computing Centre RAS, 1986. – P.30-38.
8. Application of adjoint tracer transport equations for evaluating source para-
meters / Pudykiewicz, J.A. // Atmos. Environ. – 1998. – Vol. 32. – P.3039-
3050.
9. Source function estimate by means of a variational data assimilation applied to
the ETEX-I tracer experiment / Robertson L. // Lange, J. 32, 1998, Atmos.
Eviron. – P.4219.
10. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько П. Н. Методи і алгоритми вирішення
задач оптимізації. – К.: Вища школа, 1983. – 512 с.
11. Эрроу Дж., Гурвиц Л., Удава Х. Исследования по линейному и нелиней-
ному программированию. – М.: ИЛ, 1962.
12. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
М.: Высш. шк., 1986. – 319 с.
Mathematical models and multi-criteria optimization algorithms are
designed for optimization of industrial emission parameters of atmospheric
pollution in urban areas.
Key words: mathematical modelling, multi-criteria optimization, air
pollution, dynamic and mixture processes.
Отримано: 05.06.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18563 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:12:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бейко, І.В. Ночвай, В.І. 2011-04-02T21:53:07Z 2011-04-02T21:53:07Z 2008 Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста / І.В. Бейко, В.І. Ночвай // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 25-32. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18563 Побудовано математичні моделі та алгоритми багатокритеріальної оптимізації емісійних параметрів екозабруднення повітряного басейну міста. Mathematical models and multi-criteria optimization algorithms are designed for optimization of industrial emission parameters of atmospheric pollution in urban areas. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста Бейко, І.В. Ночвай, В.І. |
| title | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| title_full | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| title_fullStr | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| title_full_unstemmed | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| title_short | Моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| title_sort | моделювання та оптимізація параметрів емісійних процесів у повітряному басейні міста |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18563 |
| work_keys_str_mv | AT beikoív modelûvannâtaoptimízacíâparametrívemísíinihprocesívupovítrânomubaseinímísta AT nočvaiví modelûvannâtaoptimízacíâparametrívemísíinihprocesívupovítrânomubaseinímísta |