Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень
Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин неперервних однозначних відображень. In article we established the necessary and sufficient condition...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18567 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень / Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859828095675006976 |
|---|---|
| author | Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. |
| author_facet | Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. |
| citation_txt | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень / Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин неперервних однозначних відображень.
In article we established the necessary and sufficient conditions and criteria of the element of the best uniform rational approximation of continuous compact-valued map.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
61
УДК 517.5
Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима, В. О. Гнатюк
Кам’янець-Подільський національний університет
АПРОКСИМАЦІЯ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО
ВІДОБРАЖЕННЯ ВІДНОШЕННЯМИ ЕЛЕМЕНТІВ
ДВОХ МНОЖИН ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстре-
мального елемента для задачі найкращої рівномірної апрокси-
мації неперервного компактнозначного відображення відно-
шеннями елементів двох множин неперервних однозначних
відображень.
Ключові слова: компактнозначне відображення, екстре-
мальний елемент, критерії екстремального елемента.
Постановка задачі. Нехай S – компакт, s – його елементи, ( )SC
– лінійний над полем дійсних чисел нормований простір неперервних
на S дійснозначних функцій, ( )RK – сукупність непорожніх компак-
тів множини R дійсних чисел, ( )( )RKSC , – множина багатозначних
відображень a компакту S в R таких, що для кожного Ss ∈
( ) ( )RKKsa s ∈= і які неперервні на S відносно метрики Хаусдорфа
на ( )RK , ( ) ( ) ( ){ }SssgSCgSС ∈>∈=+ ,0: , ( )SCU ⊂ , ( )SСV +⊂ ,
∈∈= VUuu
V
U υ
υ
,: .
Задачею найкращої рівномірної апроксимації неперервного ком-
пактнозначного відображення ( )( )RKSCa ,∈ відношеннями елемен-
тів множин U та V неперервних однозначних відображень компакта S
в R будемо називати задачу відшукання величини
( ) ( )
( )
( ) y
s
su
V
U
saySsVUua −=
∈∈×∈ υ
α
υ
maxmaxinf
,
* . (1)
Якщо існує елемент *
*
υ
u , ( ) VUu ×∈** ,υ , такий, що
( )
( )
( )
y
s
su
V
U
saySsa −=
∈∈ *
*
* maxmax
υ
α ,
то його називають екстремальним елементом для величини (1).
Актуальність теми. У схему постановки задачі відшукання ве-
личини (1) вкладаються: задача про рівномірне наближення непере-
рвної на відрізку дійснозначної функції множинами алгебраїчних
© Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
62
поліномів [1]; задача найкращого рівномірного наближення непере-
рвної на компакті функції множиною узагальнених поліномів [2], [3,
с.81-122]; задача найкращої одночасної апроксимації сім’ї непере-
рвних на компакті S дійснозначних функцій скінченновимірним під-
простором простору ( )SC [4]; задача найкращого наближення непе-
рервного сегментнозначного відображення, заданого на [0, 1], полі-
номами n-го степеня [5]; задача найкращої рівномірної апроксимації
неперервної на компакті S функції відношенням скінченновимірних
підпросторів простору ( )SC [6].
Слід зауважити, що питання апроксимації неперервних багато-
значних відображень у різних аспектах розглядалися у багатьох пра-
цях. Однак, лише в окремих з них розглядаються питання найкращої
апроксимації багатозначних відображень [7-12]. Проте основні ре-
зультати щодо характеризації екстремального елемента у вищезгада-
них працях вдалось отримати за умови, що апроксимуючі множини є
*Γ -множинами відносно цього елемента.
Мета роботи. Метою роботи є встановлення необхідних, доста-
тніх умов та критеріїв екстремального елемента для задачі найкращої
рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відобра-
ження абстрактного компакту S в множину R дійсних чисел відно-
шеннями елементів двох множин неперервних функцій, множина
яких, взагалі кажучи, не є *Γ -множиною відносно цього елемента.
Основні результати. У подальшому будемо припускати, що
обмеження ( ) VUu ×∈υ, у задачі відшукання величини (1) є суттє-
вим, тобто
( )( )
( ) ( )
( ) <−=
∈∈∈
ysgSC
saySsSСga maxmaxinf*α
V
U
a
*α . (2)
Для *
*
υ
u , ( ) VUu ×∈** ,υ , покладемо
( )
( )
( )
( )
y
s
su
saySs
u −=
∈∈ *
*
, maxmax
**
υ
α υ ;
( )
( )
( )
( )
( )
=−∈=
∈
**** ,
*
*
, max,: υυ α
υ
u
say
u y
s
suSssS ;
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
−=−∈=
∈
y
s
suy
s
susayya
say
u
s *
*
*
*
, max,:
**
υυ
υ , ( )** ,υuSs ∈ .
Неважко переконатися, що ( ) ∅≠
** ,υuS ; ( ) ∅≠
** ,υu
sa , ( )** ,υuSs ∈ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
63
Через ( )*, yMΓ будемо позначати конус внутрішніх напрямків
для множини M лінійного нормованого простору Y із точки Yy ∈* , а
через ( )** , yMΓ -конус граничних напрямків для M із y* [3, c.12, 13].
Для кожної пари ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, покладемо
( ) { }υυ ,max, uu = .
Тоді векторний простір ( ) ( )SCSC × стане лінійним нормованим про-
стором.
Для ( ) VUu ×∈** ,υ позначимо через
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssysuuh uu
ys υαυυ υυ **** ,,
, , −−= , ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, ,
де Ss ∈ , ( )say ∈ ;
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )ssysuuh u
say
u
s υαυυ υυ **** ,, max, −−=
∈
, ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, ,
де Ss ∈ ; ( )( ) ( )( )υυ υυ ,max,
**** ,, uhuh u
sSs
u
∈
= , ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, .
Маємо, що
( )( )
( ) ( )
( )( )υυ υυ ,maxmax,
**** ,
,
, uhuh u
yssaySs
u
∈∈
= , ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, .
Твердження 1. Для будь-якого елемента ( ) VUu ×∈** ,υ має мі-
сце рівність ( )( ) 0, **, **
=υυ uh u .
Теорема 1. Для того щоб елемент *
*
υ
u , де ( ) VUu ×∈** ,υ , був ек-
стремальним елементом для величини (1), необхідно і достатньо, щоб
( )
( )( ) ( )( ) 0,,min **,,
,
****
==
×∈
υυ υυ
υ
uhuh uu
VUu
. (3)
Доведення. Необхідність. Нехай *
*
υ
u , де ( ) VUu ×∈** ,υ , є екст-
ремальним елементом для величини (1). Згідно з твердженням 1
( )( ) 0, **, **
=υυ uh u . Припустимо, що існує елемент ( ) VUu ×∈υ, такий,
що ( )( ) 0,
** , <υυ uh u .
Тоді для всіх Ss ∈
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0max
** , <−−
∈
ssysu u
say
υαυ υ . Звідки
( )
( )
( )
( ) =<−
∈∈
** ,maxmax υα
υ
u
saySs
y
s
su
( )
( )
( )
y
s
su
saySs
−
∈∈ *
*
maxmax
υ
,
Математичне та комп’ютерне моделювання
64
що суперечить припущенню про те, що *
*
υ
u є екстремальним елемен-
том для величини (1). Отже, рівність (3) має місце.
Необхідність доведено.
Достатність. Нехай для елемента *
*
υ
u , де ( ) VUu ×∈** ,υ , має
місце рівність (3). Переконаємось, що *
*
υ
u є екстремальним елемен-
том для величини (1). З (3) випливає, що для всіх ( ) VUu ×∈υ, спра-
ведлива нерівність ( )( ) 0,
** , ≥υυ uh u .
Нехай для ( ) VUu ×∈υ,
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )υ
υ
υυυ
υ υαυυ ,
,
,,,
, ****
, u
u
uuu
u ssysuuh −−= ,
де ( ) Ss u ∈υ, , ( ) ( )( )υυ ,, uu say ∈ .
Звідси і з попередньої нерівності отримаємо, що
( )( )
( )( ) ( )
( )** ,
,
,
, υ
υ
υ
υ α
υ
u
u
u
u y
s
su
≥− .
Тому
( )
( )
( )
( ) =≥−
∈∈
** ,maxmax υα
υ
u
saySs
y
s
su
( )
( )
( )
y
s
su
saySs
−
∈∈ *
*
maxmax
υ
.
Це й означає, що *
*
υ
u є екстремальним елементом для величини (1).
Теорему доведено.
Твердження 2. Нехай ϕ – задана на лінійному нормованому
просторі Y опукла неперервна функція, R∈α , { :YyD ∈=α
ϕ
( ) } ∅≠< αϕ y , ( ){ }αϕϕ
α ≤∈= yYyD : . Має місце рівність
α
ϕ
ϕ
α DD =int . (4)
Для ( ) VUu ×∈** ,υ будемо покладати
( )
( )( ){ }0*,,: *,
,
**
** =∈= υυ
υ uhSssS u
su ,
( ) ( ) ( )
( )( ){ }0*,,: *,
,,
**
** =∈= υυ
υ uhsayya u
ys
s
u , ( )** ,υuSs ∈ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }0,,,:,
**** ,, <×∈= υυυ υυ uhSCSCuuC uu .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
65
Легко переконатися, що ( )
( )**
**
,
,
υ
υ
u
u SS = , ( )
( )**
**
,
,
υ
υ
u
s
s
u aa = для
всіх ( )** ,υuSs ∈ .
Теорема 2. Нехай ( ) VUu ×∈** ,υ . Має місце рівність
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){∩∩
∈∈
×∈=
Γ
*,**,*
**
,,:,,, **,
υυ
υυυυ
u
s
u
aySs
u SCSCuuuC
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
<
−
− 0*
*
*
*
s
s
susuy
s
susign υ
υυ
. (5)
Доведення. Нехай для Ss ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
<×∈= 0,,,:,
**** ,, υυυ υυ uhSCSCuuC u
s
u
s .
Маємо, що
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =
<×∈=
∈∈
∩∩
Ss
u
s
Ss
u
s uhSCSCuuC 0,,,:,
**** ,, υυυ υυ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =
<×∈=
∈
0,max,,:,
** , υυυ υ uhSCSCuu u
s
Ss
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ),(, ****
0,,,:, υυ υυυ uu CuhSCSCuu =
<×∈= . (6)
З нерівності (2) випливає, що ∅≠),( ** υuC . Тому і ( ) ∅≠
∈
∩
Ss
u
sC
** ,υ .
Позначимо через
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
≤×∈= 0,,,:,
**
**
,
, υυυ υ
υ
uhSCSCuuC u
s
s
u , Ss ∈ .
З урахуванням (6) і того, що S – компакт, для s ∈ S функції
( )** ,υu
sh є опуклими та неперервними на ( ) ( )SCSC × , відображення
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )υυ υ ,,,:
** , uhSSCSCsuT u
s→××∈ є неперервним на
( ) ( )( ) SSCSC ×× , ( ) ∅≠
∈
∩
Ss
u
sC
** ,υ , на основі теореми 1.8.8 [3, c.40] та
рівності ( )
( )**
**
,
,
υ
υ
u
u SS = робимо висновок, що
( ) ( ) ( )∩∩
∈
∈
Γ=
Γ
*,*
*,***
****
, ,,,,
υ
υ
υυ
υ
u
u
Ss
s
Ss
s
u uCuC . (7)
Математичне та комп’ютерне моделювання
66
Внаслідок твердження 2 та твердження 1.8.6 [3, c.39] маємо, що
( ) ( )****
*,**,*
,,intint υυ
υυ
u
Ss
u
s
Ss
s
Ss
s CCCC
uu
===
∈∈∈
∩∩∩ . (8)
З (7), (8) та твердження 1.2.5. [3, c.16] одержимо
( ) ( )( ) ( ) =
Γ=Γ
∈
****, ,,int,, *,*
**
υυ
υ
υ uCuC
Ss
su
u∩
( ) ( ) ( )∩∩
∈
∈
Γ=
Γ=
*,*
*,***
****
, ,,,,
υ
υ
υυυ
u
u
Ss
s
Ss
s
u uCuC . (9)
Охарактеризуємо тепер конус ( )
Γ
**,,*,* υ
υ
uC s
u
, ( )** ,υuSs ∈ .
З урахуванням того, що для ( )** ,υuSs ∈ ( )sa – компакт, для
( )** ,υuSs ∈ , ( )say ∈ функції ( )
( )** ,
,
υu
ysh є опуклими та неперервними на
( ) ( )SCSC × , відображення
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )υυ υ ,;,:
** ,
, uhsaSCSCyuT u
yss →××∈
є неперервним по ( )( )yu ,,υ на ( ) ( )( ) ( )saSCSC ×× ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ){ }
( )
∅≠<×∈
∈
∩
say
u
ys uhSCSCuu 0,,,:,
** ,
, υυυ υ
(див. нерівність (2)), на основі теореми 1.8.8 [3, c.40] та рівності
( )
( )**
**
,
,
υ
υ
u
s
s
u aa = робимо висновок, що для ( )** ,υuSs ∈
( ) ( )( )=Γ **
, ,,** υυ uC s
u
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) =
≤×∈Γ=
∈
**,
, ,,0,max,,:,
**
υυυυ υ uuhSCSCuu u
yssay
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) =
≤×∈Γ=
∈
**,
, ,,0,,,:,
**
*,*
υυυυ υ
υ
uuhSCSCuu u
ys
ay
u
s
∩
( ) ( )( )**
, ,,
*,*
υ
υ
uD ys
ay
u
s
Γ=
∈
∩ , (10)
де ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ){ }0,:,
** ,
,, ≤×∈= υυ υ uhSCSCuD u
ysys , ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
67
Для всіх ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ охарактеризуємо ( ) ( )( )**
, ,, υuD ysΓ .
Позначимо через
( )( ) ( ) ( )( ) ( )sysuul u
ys υαυ υ ** ,
, , +−=+ , ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, ,
( )( ) ( ) ( )( ) ( )sysuul u
ys υαυ υ ** ,
, , −+−=− , ( ) ( ) ( )SCSCu ×∈υ, ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }0,,,:, ,, ≤×∈= ++ υυυ ulSCSCuuD ysys ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }0,,,:, ,, ≤×∈= −− υυυ ulSCSCuuD ysys , ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ .
Легко бачити, що
( ) ( ) ( )
−+= ysysys DDD ,,, ∩ , ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ . (11)
Для ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ маємо, що ( )
( )
( )** ,
*
*
υα
υ
uy
s
su
=− .
Якщо ( )
( )
1*
*
=
− y
s
susign
υ
, то в цьому випадку одержуємо
( )( ) 0, **
, =+ υul ys , ( )( ) 0, **
, <− υul ys . (12)
Оскільки ( )( )υ,, ul ys
+ , ( )( )υ,, ul ys
− є лінійними неперервними функ-
ціоналами на ( ) ( )SCSC × , то згідно з (11), (12), твердженнями 1.2.2
[3, с.14], 1.3.7 [3, с.21] одержимо, що
( ) ( )( )=Γ **
, ,, υuD ys ( ) ( ) ( )( )=Γ −+ **
,, ,, υuDD ysys ∩
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =ΓΓ= −+ **
,
**
, ,,,, υυ uDuD ysys ∩
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( )( ) =×<×∈= + SCSCulSCSCuu ys ∩0,,,:, , υυυ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }0,,:,
** , <+−×∈= sysuSCSCuu u υαυυ υ .
В розглядуваному випадку ( ) ( )
( )s
suy u
*
*
, **
υ
α υ =+ . Тому
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) =
<−=Γ 0:,,, *
*
**
, s
s
susuuuD ys υ
υ
υυ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
<
−
−×∈= 0,,:, *
*
*
*
s
s
susuy
s
susignSCSCuu υ
υυ
υυ .(13)
Аналогічно доводиться, що рівність (13) має місце і у випадку,
коли
Математичне та комп’ютерне моделювання
68
( )
( )
1*
*
−=
− y
s
susign
υ
.
З (9), (10), (13) випливає справедливість рівності (5).
Теорему доведено.
Теорема 3. Для того щоб елемент *
*
υ
u , ( ) VUu ×∈** ,υ , був екст-
ремальним елементом для величини (1), необхідно, щоб для кожного
елемента ( ) ( )( )*** ,,, υυ uVUu ×Γ∈ існували елементи Ss ∈ , ( )say ∈
такі, що
( )
( ) ( )
( )
( )
y
s
suy
s
su
saySs
−=−
∈∈ *
*
*
*
maxmax
υυ
, (14)
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 0*
*
*
*
≥
−
− s
s
susuy
s
susign υ
υυ
. (15)
Доведення. Нехай елемент *
*
υ
u , ( ) VUu ×∈** ,υ , є екстремаль-
ним елементом для величини (1). Тоді згідно з теоремою 1 ( )** ,υu є
оптимальним розв’язком задачі відшукання величини
( )
( )( )υυ
υ
,min
** ,
,
uh u
VUu ×∈
.
Внаслідок теореми 1.4.1 [3, с.22]
( ) ( )( ) ( )( ) ∅=×ΓΓ *****, ,,,,
**
υυυ uVUuC u ∩ .
З урахуванням цього та теореми 2 робимо висновок, що не існує
( ) ( )( )*** ,,, υυ uVUu ×Γ∈ такого, що для всіх ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈
справджується нерівність
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 0*
*
*
*
<
−
− s
s
susuy
s
susign υ
υυ
.
Це означає, що для кожного ( ) ( )( )*** ,,, υυ uVUu ×Γ∈ існують
елементи ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ такі, для яких має місце нерівність
(15). Враховуючи, що ( )** ,υuSs ∈ , ( )** ,υu
say ∈ тоді і тільки тоді, коли
Ss ∈ , ( )say ∈ та виконується рівність (14), робимо висновок, що для
кожного елемента ( ) ( )( )*** ,,, υυ uVUu ×Γ∈ існують елементи Ss ∈ ,
( )say ∈ такі, що мають місце співвідношення (14), (15).
Теорему доведено.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
69
Теорема 4. Нехай ( ) VUu ×∈** ,υ . Якщо для кожного елемента
υ
u , ( ) VUu ×∈υ, , існують елементи Ss ∈ , ( )say ∈ такі, що
( )
( ) ( )
( )
( )
y
s
suy
s
su
saySs
−=−
∈∈ *
*
*
*
maxmax
υυ
, (16)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0*
*
*
*
≥
−
−
s
su
s
suy
s
susign
υυυ
, (17)
то *
*
υ
u є екстремальним елементом для величини (1).
Справедливість теореми 4 випливає з теореми 3.6 [10, с.1615].
Для формулювання достатньої умови та критерію екстремально-
го елемента скористаємось поняттями *Г [10,с.1616] та Γ [11, с.20] –
множин.
Теорема 5. Нехай ( ) VUu ×∈** ,υ і VU × є *Γ -множиною від-
носно ( )** ,υu , в тому числі Γ -множиною відносно ( )** ,υu , зірковою
відносно ( )** ,υu , опуклою множиною. Для того щоб елемент *
*
υ
u був
екстремальним елементом для величини (1), необхідно і достатньо,
щоб для кожного ( ) VUu ×∈υ, існували елементи Ss ∈ , ( )say ∈
такі, для яких виконуються співвідношення (16), (17).
Доведення. Необхідність. Нехай *
*
υ
u , ( ) VUu ×∈** ,υ , є екстре-
мальним елементом для величини (1) і VU × є *Γ -множиною відно-
сно точки ( )** ,υu , в тому числі Γ -множиною відносно ( )** ,υu , зір-
ковою відносно ( )** ,υu , опуклою множиною.
Тоді для кожного елемента ( ) VUu ×∈υ, маємо, що
( ) ( ) ( ) ( )( )******* ,,,,, υυυυυ uVUuuuu ×Γ∈−−=− .
Тому за теоремою 3 для кожного елемента ( ) VUu ×∈υ, існують точ-
ки Ss ∈ , ( )say ∈ такі, що має місце рівність (16) і
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) 0*
*
*
*
*
*
≥
−−−
− ss
s
sususuy
s
susign υυ
υυ
. (18)
З (18) випливає, що
Математичне та комп’ютерне моделювання
70
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 0*
*
*
*
≥
−
− s
s
susuy
s
susign υ
υυ
.
Поділивши останню нерівність на ( )sυ одержимо (17).
Достатність. Випливає з теореми 4.
Теорему доведено.
Наслідок 1. Нехай ( ) VUu ×∈** ,υ , U є зірковою відносно *u , в
тому числі опуклою множиною, а V є зірковою відносно *υ , в тому
числі опуклою множиною. Для того щоб елемент *
*
υ
u був екстрема-
льним елементом для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для
будь-яких ( ) VUu ×∈υ, існували такі елементи Ss ∈ , ( )say ∈ , для
яких виконуються співвідношення (16), (17).
Висновок. Встановлено необхідні, достатні умови та критерії
екстремального елемента для задачі відшукання величини (1), які
можна використати для побудови чисельних методів наближеного
відшукання цієї величини та її екстремального елемента.
Список використаних джерел:
1. Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллело-
граммов // Соч. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. – Т.2. – С.23-51.
2. Зуховицкий С. И. О приближении действительных функций в смысле
П. Л. Чебышева // Успехи мат. наук. – 1956. – ХІ, №2. – С.125-159.
3. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. – М.: Мир,1975. – 496 с.
4. Гнатюк Ю. В. Найкраще рівномірне наближення сім’ї неперервних на
компакті функцій // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, №11. – С.1574-1580.
5. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного много-
значного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Меха-
ника: Сб. науч. тр. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. – №2. – С.13-15.
6. Колатц Л., Крабс В. Теория приближения. Чебышевские приближения и
их приложения. – М.: Наука, 1978. – С.235.
7. Сендов Б. Хаусдорфовы приближения. – София: БАН, 1979. – 372 с.
8. Никольский М. С. Аппроксимация выпуклозначных непрерывных много-
значных отображений // Докл. АН СССР. – 1989. – 308, №5. – С.1047-1050.
9. Никольский М. С. Об аппроксимации непрерывного многозначного ото-
бражения постоянными многозначными отображениями // Вестник Мос-
ковского ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. –
1990. – №1. – С.76-80.
10. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компакт-
нозначного відображення множинами неперервних однозначних відо-
бражень // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, №12. – С.1601-1619.
11. Гнатюк Ю. В., Гудима У. В. Критерії екстремального елемента та його
єдиності для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
71
компактнозначного відображення множинами однозначних відображень
// Доп. НАН України. – 2005. – №6. – С.19-23.
12. Гудима У. В., Гнатюк Ю. В., Гнатюк В. О. Про єдиність екстремального
елемента та чебишовський альтернанс для задачі найкращої рівномірної
апроксимації неперервного компактнозначного відображення // Пробле-
ми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. наук. праць Ін-ту
математики НАН України. – Київ, 2005. – Т.2. – №2. – С.106-116.
In article we established the necessary and sufficient conditions and
criteria of the element of the best uniform rational approximation of con-
tinuous compact-valued map.
Key words: the best uniform rational approximation, the compact-va-
lued maps, the criteria of extreme element.
Отримано: 05.06.2008
УДК 539.3
А. П. Громик1, І. М. Конет2
1Подільський державний аграрно-технічний університет,
м. Кам’янець-Подільський
2Кам’янець-Подільський національний університет
ІНТЕГРАЛЬНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ СТАЦІОНАРНИХ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ОБМЕЖЕНИХ КУСКОВО-
ОДНОРІДНИХ ПРОСТОРОВИХ СЕРЕДОВИЩ
Методом інтегральних перетворень побудовано точні ана-
літичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності для
обмежених кусково-однорідних просторових середовищ.
Ключові слова: диференціальне рівняння Пуассона, інте-
гральні перетворення, фундаментальні розв’язки.
Вступ. Стаціонарні крайові задачі феноменологічної теорії теп-
лопровідності для багатошарових (кусково-однорідних) середовищ
становлять значний теоретичний та практичний інтерес [5, 7, 14, 15].
Питанням побудови методом інтегральних перетворень точних аналі-
тичних розв’язків згаданих задач у декартовій, сферичній та цилінд-
ричній системах координат присвячені монографії [12, 8, 9, 10]. Ста-
ціонарні температурні поля в необмежених двоскладових та триша-
рових просторових середовищах побудовано в працях [2, 3, 4, 11]. У
цій статті ми пропонуємо інтегральні зображення точних аналітичних
розв’язків алгоритмічного характеру стаціонарних задач теплопрові-
дності для обмежених кусково-однорідних за декартовою координа-
тою просторових середовищ.
© А. П. Громик, І. М. Конет, 2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18567 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:22Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. 2011-04-02T22:01:56Z 2011-04-02T22:01:56Z 2008 Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень / Ю.В. Гнатюк, У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 61-71. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18567 517.5 Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин неперервних однозначних відображень. In article we established the necessary and sufficient conditions and criteria of the element of the best uniform rational approximation of continuous compact-valued map. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень Article published earlier |
| spellingShingle | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень Гнатюк, Ю.В. Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. |
| title | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| title_full | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| title_fullStr | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| title_full_unstemmed | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| title_short | Апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| title_sort | апроксимація компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин однозначних відображень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18567 |
| work_keys_str_mv | AT gnatûkûv aproksimacíâkompaktnoznačnogovídobražennâvídnošennâmielementívdvohmnožinodnoznačnihvídobraženʹ AT gudimauv aproksimacíâkompaktnoznačnogovídobražennâvídnošennâmielementívdvohmnožinodnoznačnihvídobraženʹ AT gnatûkvo aproksimacíâkompaktnoznačnogovídobražennâvídnošennâmielementívdvohmnožinodnoznačnihvídobraženʹ |