Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ
Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ. he method of integral transformations builds the exact analytical solution of stationary task of heat conductivity for the limited multi-...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18568 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 71-88. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859687547296284672 |
|---|---|
| author | Громик, А.П. Конет, І.М. |
| author_facet | Громик, А.П. Конет, І.М. |
| citation_txt | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 71-88. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ.
he method of integral transformations builds the exact analytical solution of stationary task of heat conductivity for the limited multi-layer space areas.
|
| first_indexed | 2025-11-30T22:49:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
71
компактнозначного відображення множинами однозначних відображень
// Доп. НАН України. – 2005. – №6. – С.19-23.
12. Гудима У. В., Гнатюк Ю. В., Гнатюк В. О. Про єдиність екстремального
елемента та чебишовський альтернанс для задачі найкращої рівномірної
апроксимації неперервного компактнозначного відображення // Пробле-
ми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. наук. праць Ін-ту
математики НАН України. – Київ, 2005. – Т.2. – №2. – С.106-116.
In article we established the necessary and sufficient conditions and
criteria of the element of the best uniform rational approximation of con-
tinuous compact-valued map.
Key words: the best uniform rational approximation, the compact-va-
lued maps, the criteria of extreme element.
Отримано: 05.06.2008
УДК 539.3
А. П. Громик1, І. М. Конет2
1Подільський державний аграрно-технічний університет,
м. Кам’янець-Подільський
2Кам’янець-Подільський національний університет
ІНТЕГРАЛЬНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ СТАЦІОНАРНИХ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ОБМЕЖЕНИХ КУСКОВО-
ОДНОРІДНИХ ПРОСТОРОВИХ СЕРЕДОВИЩ
Методом інтегральних перетворень побудовано точні ана-
літичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності для
обмежених кусково-однорідних просторових середовищ.
Ключові слова: диференціальне рівняння Пуассона, інте-
гральні перетворення, фундаментальні розв’язки.
Вступ. Стаціонарні крайові задачі феноменологічної теорії теп-
лопровідності для багатошарових (кусково-однорідних) середовищ
становлять значний теоретичний та практичний інтерес [5, 7, 14, 15].
Питанням побудови методом інтегральних перетворень точних аналі-
тичних розв’язків згаданих задач у декартовій, сферичній та цилінд-
ричній системах координат присвячені монографії [12, 8, 9, 10]. Ста-
ціонарні температурні поля в необмежених двоскладових та триша-
рових просторових середовищах побудовано в працях [2, 3, 4, 11]. У
цій статті ми пропонуємо інтегральні зображення точних аналітичних
розв’язків алгоритмічного характеру стаціонарних задач теплопрові-
дності для обмежених кусково-однорідних за декартовою координа-
тою просторових середовищ.
© А. П. Громик, І. М. Конет, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
72
Постановка задачі. Задача про структуру стаціонарного темпе-
ратурного поля в ортотропному обмеженому (n + 1)-шаровому прос-
торовому середовищі математично зводиться до побудови обмежено-
го на множині
{
}∪∪
1
1
1101
1
1
23
;;0);;(
;;;),(),,(
+
=
++−
+
=
+ ∞<≡<≥≡=∈
×=Ω∈=Ω
n
j
nkkjj
n
j
jn lllllllIKz
dcbayxzyx
розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь Пуассона [6, 17]
1,1;);,,(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 +=∈−=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ njIzzyxfTT
z
a
y
a
x
a jjjjjzjyjxj χ (1)
з крайовими умовами
),(),,( 1
1
22
1
2201
0
11
0
11
0
yxgT
z
yxgT
z l
lz
n
nn
lz
=
+
∂
∂
=
+
∂
∂
=
+
++
=
βαβα , (2)
умовами неідеального теплового контакту [1]
==
∂
∂
−
∂
∂
=
−
+
∂
∂
=
+
+
=
+
,,1,0
,01
1
1
1
nk
z
T
z
T
TT
z
R
k
k
lz
k
k
k
k
lz
kkk
νν
(3)
та відповідними крайовими умовами на межі області 2Ω , де axj, ayj,
azj ≥ 0 – коефіцієнти температуропровідності у напрямках координат-
них осей ( );1,1,, += njzyx 02 ≥jχ – коефіцієнти дисипації теплової
енергії; { }),,(),...,,,(),,( 11 zyxfzyxfzyxf n+= – інтенсивність теплових
джерел; 1
22
1
22
0
11
0
11 ,;, ++ nn βαβα – деякі дійсні сталі; ( ),,0 yxg ( )yxgl , –
задані обмежені неперервні функції в області ;2Ω 0≥kR – коефіціє-
нти термоопору; 0, 1 ≥+kk νν – коефіцієнти теплопровідності;
( ) ( ) ( ){ }zyxTzyxTzyxT n ,,,...,,,,, 11 += – шукана температура.
Основні результати. 1. Ω2 = (0; +∞) × (0; +∞). У цьому випадку
вважаємо, що на межі області 2Ω виконуються крайові умови
1,0;0);,(
0
==
∂
∂
=
+
∂
∂
−
+∞=
=
k
x
T
zyTp
x
x
k
j
k
jxj ω (4)
щодо змінної x та крайові умови
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
73
1,0;0);,(
0
==
∂
∂
=
+
∂
∂
−
+∞=
=
k
y
T
zxgTh
y
y
k
j
k
jyj (5)
щодо змінної y , де 0≥p – коефіцієнт теплообміну через поверхню
;0=x =);( zyjω ),,( zypT c
j ),( zyT c
j – температура середовища на
поверхні ;0=x 0≥h – коефіцієнт теплообміну через поверхню
;0=y =);( zxg j ),(),,( zxTzxhT c
j
c
j – температура середовища на по-
верхні .0=y
Припустимо, що задані й шукані функції задовольняють умови
застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [16, 13, 12].
До задачі (1)-(5) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на
декартовій півосі щодо змінної x [16, 13]:
[ ] ),(~),()()(
0
σσ gdxxKxgxgF xx ≡= ∫
+∞
+ (6)
[ ] ),(),()(~)(~
0
1 xgdxKggF xx ≡= ∫
+∞
−
+ σσσσ (7)
,),0()(~
0
2
2
2
=
+
+−+−=
x
xx pg
dx
dgKg
dx
gdF σσσ (8)
де ядро перетворення
.)sin()cos(2),(
22 p
xpxxK x
+
+
=
σ
σσσ
π
σ
Інтегральний оператор xF+ за правилом (6) внаслідок тотожнос-
ті (8) крайовій задачі (1)-(5) ставить у відповідність задачу побудови
обмеженого на множині { }+∈+∞∈=Ω′ nKzyzy );;0(),(3 розв’язку се-
паратної системи диференціальних рівнянь
( )
( ) 1,1;;,,~
~~ 222
2
2
2
2
2
2
+=∈−=
=+−
∂
∂
+
∂
∂
njIzzyF
TaT
z
a
y
a
jj
jjxjjzjyj
σ
χσ
(9)
з крайовими умовами
),,(~),,(~
1
1
22
1
2201
0
11
0
11
0
ygT
z
ygT
z l
lz
n
nn
lz
σβασβα =
+
∂
∂
=
+
∂
∂
=
+
++
=
(10)
Математичне та комп’ютерне моделювання
74
1,0;0
~
);,(~~
0
==
∂
∂
=
+
∂
∂
−
+∞=
=
k
y
T
zgTh
y
y
k
j
k
jyj σ (11)
та умовами спряження
==
∂
∂
−
∂
∂
=
−
+
∂
∂
=
+
+
=
+
,,1,0
~~
,0~~1
1
1
1
nk
z
T
z
T
TT
z
R
k
k
lz
k
k
k
k
lz
kkk
νν
(12)
де ( ) ( ) .1,1);,(),0(,,
~
,,~ 2 +=+= njzyKazyfzyF jxyjjj ωσσσ
До задачі (9)-(12) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на
декартовій півосі щодо змінної y [16, 13]:
[ ] ),(~),()()(
0
sgdysyKygygF yy ≡= ∫
+∞
+ (13)
[ ] ),(),()(~)(~
0
1 ygdssyKsgsgF yy ≡= ∫
+∞
−
+ (14)
,),0()(~
0
2
2
2
=
+
++−=
y
yy hg
dy
dgsKsgs
dy
gdF (15)
де ядро перетворення
.)sin()cos(2),(
22 hs
syhsyssyK y
+
+
=
π
Інтегральний оператор yF+ за правилом (13) внаслідок тотожнос-
ті (15) крайовій задачі (9)-(12) ставить у відповідність задачу побудови
обмеженого на множині +
nK розв’язку сепаратної системи звичайних
диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами
( )
( ) 1,1;;,,
~~
),,(
~~22222
2
2
2
+=∈−=
=
++−
njIzzsG
zsTsaa
dz
da
jj
jjyjxjzj
σ
σχσ
(16)
з крайовими умовами
),,(
~~~~),,(
~~~~
1
1
22
1
2201
0
11
0
11
0
sgT
dz
dsgT
dz
d
l
lz
n
nn
lz
σβασβα =
+=
+
=
+
++
=
(17)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
75
та умовами спряження
==
−
=
−
+
=
+
+
=
+
,,1,0
~~
,0
~~~~1
1
1
1
nk
dz
Td
dz
Td
TT
dz
dR
k
k
lz
k
k
k
k
lz
kkk
νν
(18)
де ( ) ( ) .1,1);,(~),0(,,~,,
~~ 2 +=+= njzgsKazsFzsG jyyjjj σσσ
До задачі (16)-(18) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є
на декартовому сегменті ],[ 0 ll з n точками спряження [12]:
∫ ≡=
l
l
jjjn gdzzzVzgzgF
0
,)(),()()]([ σλ (19)
),(
),(
),(
][
1
2
1 zg
zV
zV
ggF
j j
j
jjjn ≡= ∑
∞
=
−
λ
λ
(20)
∑ ∫∑
+
=
+
=
−
−
−−=≡
−−
1
1
2
2
2
2
2
21
1
1
2
1
),()()(
n
i
l
l
jjiiiii
n
i
iijn
i
i
gdzzV
dz
gda
dz
gdzllzaF λσλθθ
++−−
=
−
+
=
∫∑
−
0
1
))(,()(),()( 0
11
0
1101
10
11
2
11
1
1
2
lziiii
l
l
n
i
i g
dz
dglVadzzVzgk
i
i
βαλασσλ
.))(,()( 1
22
1
221
11
22
2
11 lz
nn
i
n
nn g
dz
dglVna
=
++−+
++ +++ βαλασ (21)
У рівностях (19)-(21) беруть участь величини і функції:
);()()();()(),(),( 1
1
1
1
1
1
zllzzzllzzVzV ii
n
i
iii
n
i
jij −−=−−= −
+
=
−
+
=
∑∑ θθσσθθλλ
;),()(),(),(
1
1
222
10
dzzVdzzzVzV i
n
i
l
l
ji
l
l
jj
i
i
σλσλλ ∑ ∫∫
+
=
−
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∏
=
−−+ −=
n
mi
mjjmmjjmnijm zqzqqczV sincos, 1,12,112 λωλωλ ; ;,1 nm =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zqzqzV jnjnjnjnjn ,11,121 sincos, +++ −= λωλωλ ; ;;1 1
21
k
k
kk cc
ν
ν +==
Математичне та комп’ютерне моделювання
76
( ) ;1;;;
1
12
1
1
2
1
112/1221
+
+
+
+
= +
+−− ===≡+= ∏
n
n
nn
nn
n
n
ki ki
ni
kssjssj aa
a
a
absjakaq σ
ν
ν
σ
ν
ν
σλ
( ) ( ) ( )ksjksjsjkksj
k lqlqqRlq cossin1
11 +−=ν ; ( ) ( );sin11
12 ksjsj
k
k
ksj
k lqqlq
ν
ν
ν +−=
( ) ( ) ( ) ( );cos;sin 11
22
1
21 ksjsj
k
k
ksj
k
ksjsjksj
k lqqlqlqqlq
ν
ν
νν +=−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( );cos;sincos 2
12
2
11 ksjksj
k
ksjksjsjkksj
k lqlqlqlqqRlq =+= νν
( ) ( ) ( ) ( );sin;cos 2
22
2
21 ksjksj
k
ksjsjksj
k lqlqlqqlq == νν
( ) ( ) ( ) ( ) ( );,,,,, ,11221,122111 kjk
km
kkj
ks
kjk
km
kkj
ks
kkkkj
k
sm lqlqlqlqlqlq +++ −= ννννδ
( ) ( ) ( ) ( );; 01
02
110201
01
1101 lqlq jjjj νλωνλω −==
( ) ( ) ( ) ( ) ( );,, ,121,1,112,1 sjsssj
s
mjssjkssj
s
mjsjsm lqlqlqlq +−+− −= δλωδλωλω
jλ – корені трансцендентного рівняння
( )( ) ( )( ) ,0)()()( 21
1,1
2211
2,1
22 =−≡∆ +
+
+
+ λλλλλ nn
n
nn
n
n wlqvwlqv
що утворюють дискретний спектр, )(xθ – одинична функція Геві-
сайда.
Запишемо систему диференціальних рівнянь (16) у матричній
формі
,
),,(
~~
..............
),,(
~~
),,(
~~
),,(
~~),(
...........................................
),,(
~~),(
),,(
~~),(
2
1
1
2
12
2
2
1
2
2
22
2
2
2
1
2
12
2
2
1
=
−
−
−
+++
zsG
zsG
zsG
zsTsq
dz
da
zsTsq
dz
da
zsTsq
dz
da
n
nnn
σ
σ
σ
σσ
σσ
σσ
(22)
де ( ) .1,1;;, 22222222 +=≡++= njaasaasq zjjjyjxjj χσσ
Інтегральний оператор jnF , який діє за правилом (19), зобрази-
мо у вигляді операторної матриці-рядка
= ++∫∫∫ dzzVdzzVdzzVF n
l
l
jn
l
l
j
l
l
jjn
n
112211 ),(...),(...),(...[...]
2
1
1
0
σλσλσλ (23)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
77
і застосуємо за правилом множення матриць до системи (22). Внаслі-
док тотожності (21) одержуємо алгебраїчне рівняння
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ),,(
~~,),(
~~,
),(
~~
),(
~~),(
1
11
22
2
11001
10
11
2
11
1
1
1
1
222
sglVasglVa
sGsTsqk
ljn
n
nnj
n
i
n
i
ijijiij
σλασσλασ
σσσλ
+
−+
++
−
+
=
+
=
+−
−=++∑ ∑
(24)
де
.),(),,(
~~),(
~~;),(),,(
~~),(
~~
11
dzzVzsGsGdzzVzsTsT iji
l
l
iijiji
l
l
iij
i
i
i
i
σλσσσλσσ ∫∫
−−
==
Припустимо, не зменшуючи загальності, що { } ,,...,max 2
1
2
1
2
1 qqq n =+
і покладемо всюди ).1,1(22
1
2 +=−= niqqk ii Рівняння (24) набуває ви-
гляду
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ),,(
~~,),(
~~,
),(
~~),(
~~
1
11
22
2
11001
10
11
2
11
2
1
22
1
22
1
2
sglVasglVa
sGsTsaa
ljn
n
nnj
jjyxj
σλασσλασ
σσχσλ
+
−+
++
−
+−
−=+++
(25)
де .),(
~~),(
~~,),(
~~),(
~~ 1
1
1
1
∑∑
+
=
+
=
==
n
i
ijj
n
i
ijj sGsGsTsT σσσσ
Із рівняння (25) знаходимо функцію
( )
( ).
),(
~~),(
),(
~~),(),(
~~
),(
~~
2
1
22
1
22
1
21
22
1
2
11
2
1
22
1
22
1
20
11
001
2
11
2
1
22
1
22
1
2
χσλα
σλσ
χσλα
σλσ
χσλ
σ
σ
+++
+
+
+++
−
+++
=
+
+++
saa
sglVa
saa
sglVa
saa
sG
sT
yxj
n
ljnnn
yxj
j
yxj
j
j
(26)
Оскільки суперпозиція операторів jnF та 1−
jnF є одиничним опе-
ратором, то оператор 1−
jnF зобразимо у вигляді операторної матриці-
стовпця
.
),(
),(
...
.....................
),(
),(
...
[...]
1
2
1
1
2
1
1
=
∑
∑
∞
=
+
∞
=
−
j j
jn
j j
j
jn
zV
zV
zV
zV
F
λ
λ
λ
λ
(27)
Математичне та комп’ютерне моделювання
78
За правилом множення матриць застосуємо операторну матри-
цю-стовпець (27) до матриці-елемента ( )
sT j ,
~~ σ , де функція ( )sT j ,
~~ σ
визначена формулою (26). Одержуємо єдиний обмежений розв’язок
задачі (16)-(18):
( ) ( ) +
+++
−
+++
= ∑
∞
=
2
1
22
1
22
1
20
11
001
2
11
1
2
1
22
1
22
1
2
),(
~~),(),(
~~
,,
~~
χσλα
σλσ
χσλ
σ
σ
saa
sglVa
saa
sG
zsT
yxj
j
j yxj
j
i
( ) .1,1;
),(
),(),(
~~),(
22
1
22
1
22
1
21
22
1
2
11 +=
+++
+
+
+++ ni
zV
zV
saa
sglVa
i
ji
yxj
n
ljnnn
λ
λ
χσλα
σλσ
(28)
Застосувавши послідовно до функцій ),,,(
~~ zsTi σ визначених фо-
рмулами (28), обернені оператори 1−
+ yF та 1−
+xF одержуємо функції
+= ∑
+
=
1
1
),,(),,,,,(),,(
n
k
kkiki dddfzyxEzyxT ζηξσζηξζηξ
∫ ∫∫ ∫
+∞+∞+∞+∞
+++
0 0
2
0 0
0
1 ),(),,,,(),(),,,,( ηξηξηξηξηξηξ ddgzyxWddgzyxW lii
++ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
ζησηξωζη ddzyxWa kk
n
k
l
l
xikxi
k
k
),(),,,,(
1
1 0
2
1
,1,1;),(),,,,(
1
1 0
2
1
+=+ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
niddgzyxWa kk
n
k
l
l
yikyi
k
k
ζξσζξζξ (29)
які описують структуру стаціонарного температурного поля в роз-
глянутому середовищі.
У формулах (29) беруть участь компоненти:
фундаментальної матриці розв’язків
,1,1,;
),(),(),(),(
),(
),(),(),,,,,(
2
1
22
1
22
1
2
1 0 0
2
+=
+++
×
×= ∑ ∫ ∫
∞
=
+∞+∞
nkidsd
saa
sKsyKKxK
zV
VzVzyxE
yxj
yyxx
j j
ikii
ik
σ
χσλ
ησξσ
λ
λζλζηξ
(30)
нижньої аплікатної матриці Гріна
),,,,,,()(),,,,( 01
10
111
2
1
1 lzyxEazyxW ii ηξασηξ −−= (31)
верхньої аплікатної матриці Гріна
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
79
),,,,,,()(),,,,( 1,
11
22
2
11
2 lzyxEazyxW ni
n
nni ηξασηξ +
−+
++= (32)
абсцисної матриці Гріна
),,,,,0,(),,,,( ζηζη zyxEzyxW ikxik = (33)
ординатної матриці Гріна
),,0,,,(),,,,( ζξζξ zyxEzyxW ikyik = (34)
еліптичної крайової задачі (1)-(5).
Зауваження 1. У випадку 02222 ≥≡== jzjyjxj aaaa формули (29)
визначають структуру стаціонарного температурного поля в ізотроп-
ному обмеженому )1( +n -шаровому просторовому середовищі.
Зауваження 2. Якщо деякі з коефіцієнтів термоопору kR дорів-
нюють нулю, то безпосередньо з формул (29) одержуємо структуру
стаціонарного температурного поля у випадку здійснення на відпові-
дних площинах klz = ідеального теплового контакту.
Зауваження 3. При ),1(0 nkRk == безпосередньо з формул (29)
одержуємо структуру стаціонарного температурного поля у випадках
здійснення на всіх площинах klz = ідеального теплового контакту.
Зауваження 4. Параметри 1
22
1
22
0
11
0
11 ,;, ++ nn βαβα дають можливість
виділяти із формул (29) розв’язки крайових задач у випадках задання
на поверхнях lzlz == ,0 крайової умови 1-го роду ( ,1,0 0
11
0
11 == βα
( ) ( ) ( ) ( )),,,,1,0;,, 1
22
1
22
1
220
0
110 yxgyxgyxgyxg l
n
l
nn ′===′= +++ αβαα 2-го
роду ( )0,1,1,1 1
22
1
22
0
11
0
11 ===−= ++ nn βαβα й 3-го роду ( ,10
11 −=α
)0,1,0 2
1
22
1
221
0
11 >≡=>≡ ++ hh nn βαβ та їх можливих комбінацій.
Зауваження 5. Параметри p, h дають можливість виділяти із фо-
рмул (29) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхнях
x = 0, y = 0 крайових умов 1-го й 2-го роду та їх можливих комбінацій.
Зауваження 6. Аналіз розв’язку (29) в залежності від аналітич-
ного виразу функцій ),1,1)(,(),,(),,,( += njzxgzyzyxf jjj ω ),(0 yxg
та ),( yxgl проводиться безпосередньо.
2. Ω2 = (0; +∞) × (0; b). У цьому випадку вважаємо, що на межі
області Ω2 виконуються крайові умови (4) щодо змінної x та крайові
умови
1,1);,();,( 22101 +==
+
∂
∂
=
+
∂
∂
−
==
njzxgTh
y
zxgTh
y jbyjjyj (35)
Математичне та комп’ютерне моделювання
80
щодо змінної y , де 01 ≥h – коефіцієнт теплообміну через поверхню
;0=y ),(),,();( 11
11 zxTzxThzxg c
j
c
jj = – температура середовища на
поверхні ;0=y 02 ≥h – коефіцієнт теплообміну через поверхню
;by = ),(),,();( 22
22 zxTzxThzxg c
j
c
jj = – температура середовища на
поверхні by = .
Припустимо, що задані й шукані функції задовольняють умови
застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [16, 13, 12].
До задачі (1)-(4), (35) застосуємо інтегральне перетворення Фу-
р’є на декартовій півосі щодо змінної x. Інтегральний оператор xF+
за правилом (6) внаслідок тотожності (8) крайовій задачі (1)-(4), (35)
ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині
{ }nKzbyzy ∈∈=Ω′ );;0(),(3 розв’язку сепаратної системи диферен-
ціальних рівнянь (9) з крайовими умовами (10), крайовими умовами
1,1),,(~~
),,(~~
212
1
0
1
+==
+
∂
∂
=
+
∂
∂
−
=
+
=
njzgTh
y
zgTh
y
j
by
n
j
y
j
σ
σ
(36)
та умовами спряження (12).
До задачі (9), (10), (36), (12) застосуємо інтегральне перетворен-
ня Фур’є на декартовому сегменті [ ]b;0 щодо змінної y [16, 13]:
[ ] ,)()()(
0
k
b
kyk gdyyvygyg ≡=Λ ∫ (37)
[ ] ),()(
1
2
1 yg
v
yvgg
k k
k
kkyk ≡=Λ ∑
∞
=
− (38)
,)()0( 2
0
1
2
2
2
by
k
y
kkkyk gh
dy
dgbvgh
dy
dgvg
dy
gd
==
++
+−+−=
Λ γ (39)
де ядро перетворення
,
)sin()cos(
)(
2
1
2
1
h
yhy
yv
k
kkk
k
+
+
=
γ
γγγ
( )( )
( )( )2
2
22
1
2
21
2
21
0
22
2
)(
hh
hhhhbdyyvv
kk
k
b
kk
++
++
+=≡ ∫ γγ
γ ,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
81
{ }∞
=1kkγ – монотонно зростаюча послідовність дійсних різних додат-
них коренів трансцендентного рівняння
( ) ,)(
21
21
2
hh
hhbctg
+
−
=
γ
γγ
які утворюють дискретний спектр.
Інтегральний оператор ykΛ за правилом (37) внаслідок тотож-
ності (39) крайовій задачі (9), (10), (36), (12) ставить у відповідність
задачу побудови обмеженого на множині +
nK розв’язку сепаратної
системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими
коефіцієнтами
( )
1,1;);,(~
),(~22222
2
2
2
+=∈−=
=
++−
njIzzF
zTaa
dz
da
jjk
jkjkyjxjzj
σ
σχγσ
(40)
з крайовими умовами
)(~),(~
,1
1
22
1
2201
0
11
0
11
0
σβασβα lk
lz
kn
nn
k
lz
k gT
z
gT
z
=
+
∂
∂
=
+
∂
∂
=
+
++
=
(41)
та умовами спряження
==
−
=
−
+
=
+
+
=
+
,,1,0
~~
,0
~~
1
,1
1
,1
np
dz
Td
dz
Td
TT
dz
dR
p
p
lz
kp
p
pk
p
lz
kppkp
νν
(42)
де ++= )(),0(),(
~
),(~ 2 zKazfzF jkxxjjkjk ωσσσ
).,(~)(),(~)0( 2
2
1
2 zgbvazgva jxyjjxyj σσ ++
З точністю до позначень крайова задача на спряження (40)-(42)
співпадає із задачею (16)-(18). Отже, відповідно до формул (28), єди-
ний обмежений розв'язок задачі (40)-(42) визначають функції
( ) ( ) +
+++
−
+++
= ∑
∞
=
2
1
22
1
22
1
20
11
001
2
11
1
2
1
22
1
22
1
2
)(~),()(~
,~
χγσλα
σλσ
χγσλ
σ
σ
kyxj
kj
j kyxj
kj
ik aa
glVa
aa
F
zT
( ) .1,1;
),(
),()(~),(
22
1
22
1
22
1
21
22
1
2
11 +=
+++
+
+
+++ ni
zV
zV
aa
glVa
j
ji
kyxj
n
lkjnnn
λ
λ
χγσλα
σλσ
(43)
Математичне та комп’ютерне моделювання
82
Застосувавши послідовно до функцій ),(~ zTik σ , визначених фо-
рмулами (43), обернені оператори 1−Λ yk та 1−
+xF одержуємо функції
∑ ∫∫ ∫
+
=
+∞
−
+=
1
1 0 0 1
),,(),,,,,(),,(
n
k
b l
l
kkiki
k
k
dddfzyxEzyxT ζηξσζηξζηξ
[ ]∫ ∫
+∞
+++
0 0
2
0
1 ),(),,,,(),(),,,,(
b
lii ddgzyxWgzyxW ηξηξηξηξηξ
++ ∑∫ ∫
+
=
−
ζησζηωζη ddzyxWa kk
n
k
b l
l
xikxi
k
k
),(),,,,(
1
1 0
2
1
++ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
ζξσζξζξ ddgzyxWa kk
n
k
l
l
yikyi
k
k
),(),,,,( 1
1
1 0
12
1
,1,1;),(),,,,( 2
1
1 0
22
1
+=+ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
niddgzyxWa kk
n
k
l
l
yikyi
k
k
ζξσζξζξ (44)
які описують структуру стаціонарного температурного поля в роз-
глянутому середовищі.
У формулах (44) беруть участь компоненти:
фундаментальної матриці розв’язків
( ) ,1,1,;)()(),(),(
),(
),(),(
),,,,,(
22
1
22
1
22
1
2
1 1 0
2
+=
+++
×
×= ∑∑ ∫
∞
=
∞
=
+∞
nkid
vaa
vyvKxK
zV
VzV
zyxE
rryxj
rrxx
j r i
jkii
ik
σ
χγσλ
ησξσ
λ
λζλ
ζηξ
(45)
нижньої аплікатної матриці Гріна
( ) ),,,,,,(),,,,( 01
10
111
2
1
1 lzyxEazyxW ii ηξασηξ
−
−= (46)
верхньої аплікатної матриці Гріна
( ) ),,,,,,(),,,,( 1,
11
22
2
11
2 lzyxEazyxW ni
n
nni ηξασηξ +
−+
++= (47)
абсцисної матриці Гріна
),,,,0,(),,,,( ζηζη zyxEzyxW ikxik = , (48)
лівої ординатної матриці Гріна
),,,0,,,(),,,,(1 ζξζξ zyxEzyxW ikyik = (49)
правої ординатної матриці Гріна
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
83
),,,,,(),,,,(2 ζξζξ zbyxEzyxW ikyik = (50)
еліптичної крайової задачі (1)-(4), (35).
Зазначимо, що: 1) зауваження 1-4 поширюються на випадок роз-
глянутої температурної задачі; 2) параметри )2,1(, =jhp j дають мо-
жливість виділяти із формул (44) розв’язки крайових задач у випад-
ках задання на поверхнях byyx === ,0,0 крайових умов 1-го роду
й 2-го роду та їх можливих комбінацій; 3) аналіз розв’язку (44) в за-
лежності від аналітичного виразу функцій ),,,( zyxf j ),,( zyjω
),,(1 zxg j ),(2 zxg j ),(),1,1( 0 yxgnj += та ),( yxgl проводиться без-
посередньо.
3. Ω2 = (0; a) × (0; b). У цьому випадку вважаємо, що на межі
області 2Ω виконуються крайові умови
1,1);,();,( 22101 +==
+
∂
∂
=
+
∂
∂
−
==
njzyTp
x
zyTp
x jaxjjxj ωω (51)
щодо змінної x та крайові умови (35) щодо змінної y, де 01 ≥p – ко-
ефіцієнт теплообміну через поверхню ;0=x ),,();( 1
11 zyTpzy c
jj =ω
),(1 zyT c
j – температура середовища на поверхні ;0=x 02 ≥p – кое-
фіцієнт теплообміну через поверхню ;ax = ),,();( 2
22 zyTpzy c
jj =ω
),(2 zyT c
j – температура середовища на поверхні ax = .
Припустимо, що задані й шукані функції задовольняють умови
застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [16, 13, 12].
До задачі (1)-(3), (51), (35) застосуємо інтегральне перетворення
Фур’є на декартовому сегменті [0; a] щодо змінної x [16, 13]:
[ ] ,)()()(
0
m
a
mxm gdxxwxgxgL ≡= ∫ (52)
[ ] ),()(
1
2
1 xg
w
xwggL
m m
m
mmxm ≡= ∑
∞
=
− (53)
( ) ( ) ,0 2
0
1
2
2
2
ax
m
x
mmmxm gp
dx
dgawgp
dx
dgwg
dx
gdL
==
++
+−+−=
δ (54)
де ядро перетворення
,
)sin()cos(
)(
2
1
2
1
p
xpx
xw
m
mmm
m
+
+
=
δ
δδδ
Математичне та комп’ютерне моделювання
84
( )( )
( )( ) ,
2
)( 2
2
22
1
2
21
2
21
0
22
pp
ppppadxxww
mm
m
a
mm
++
++
+=≡ ∫ δδ
δ
{ }∞
=1mmδ – монотонно зростаюча послідовність дійсних різних додат-
них коренів трансцендентного рівняння
,
)(
)(
21
21
2
pp
ppactg
+
−
=
δ
δδ
які утворюють дискретний спектр.
Інтегральний оператор xmL за правилом (52) внаслідок тотожно-
сті (54) крайовій задачі (1)-(3), (51), (35) ставить у відповідність зада-
чу побудови обмеженого на множині { }+∈∈=Ω′ nKzbyzy );;0(),(3
розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь
1,1;);,()( 222
2
2
2
2
2
2 +=∈−=+−
∂
∂
+
∂
∂ njIzzyFaT
z
a
y
a jjmjmxjjmzjyj χδ (55)
з крайовими умовами
)(),( ,1
1
22
1
2201
0
11
0
11
0
ygT
z
ygT
z lm
lz
mn
nn
m
lz
m =
+
∂
∂
=
+
∂
∂
=
+
++
=
βαβα (56)
1,1);();( 22101 +==
+
∂
∂
=
+
∂
∂
−
==
njzgTh
y
zgTh
y jmbyjmjmyjm (57)
та умовами спряження
==
−
=
−
+
=
+
+
=
+
,,1,0
,01
,1
1
,1
np
dz
dT
dz
dT
TT
dz
dR
p
p
lz
mp
p
pm
p
lz
mppmp
νν
(58)
де ++= ),()0(),(),( 1
2 zywazyfzyF jmxjjmjm ω
.1,1);,()( 2
2 +=+ njzyawa jmxj ω
До задачі (55)-(58) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є
на декартовому сегменті [ ]b;0 щодо змінної y. Інтегральний оператор
ykΛ за правилом (37) внаслідок тотожності (39) крайовій задачі (55)-
(58) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині
+
nK розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рів-
нянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
85
( ) 1,1;);()(22222
2
2
2 +=∈−=
++− njIzzFzTaa
dz
da jjmkjmkjkyjmxjzj χγδ (59)
з крайовими умовами
lmk
lz
mkn
nn
mk
lz
mk gT
dz
dgT
dz
d
=
+=
+
=
+
++
=
,1
1
22
1
2201
0
11
0
11 ,
0
βαβα (60)
та умовами спряження
==
−
=
−
+
=
+
+
=
+
,,1,0
,01
,1
1
,1
np
dz
dT
dz
dT
TT
dz
dR
p
p
lz
mkp
p
pmk
p
lz
mkppmkp
νν
(61)
де +++= )()()()0()()( 2
2
1
2 zawazwazfzF jkmxjjkmxjjmkjmk ωω
).()()()0( 2
2
1
2 zgbvazgva jmkyjjmkyj ++
З точністю до позначень крайова задача на спряження (59)-(61)
співпадає із задачею (40)-(42). Отже, відповідно до формул (43), єди-
ний обмежений розв'язок задачі (59)-(61) визначають функції
( ) +
+++
−
+++
= ∑
∞
=
2
1
22
1
22
1
20
11
001
2
11
1
2
1
22
1
22
1
2
),(
)(
χγδλα
λσ
χγδλ kymxj
mkj
j kymxj
mkj
imk
aa
glVa
aa
F
zT
( ) .1,1;
),(
),(),(
22
1
22
1
22
1
21
22
1
2
11 +=
+++
+
+
+++ ni
zV
zV
aa
glVa
j
ji
kymxj
n
lmkjnnn
λ
λ
χγδλα
λσ
(62)
Застосувавши послідовно до функцій )(zTimk , визначених фор-
мулами (62), обернені оператори 1−Λ yk та 1−
xmL одержуємо функції
∑∫∫ ∫
+
=
−
+=
1
1 0 0 1
),,(),,,,,(),,(
n
k
a b l
l
kkiki
k
k
dddfzyxEzyxT ζηξσζηξζηξ
[ ]∫ ∫ +++
a b
lii ddgzyxWgzyxW
0 0
2
0
1 ),(),,,,(),(),,,,( ηξηξηξηξηξ
++ ∑∫ ∫
+
=
−
ζησζηωζη ddzyxWa kk
n
k
b l
l
xikxi
k
k
),(),,,,( 1
1
1 0
2
1
Математичне та комп’ютерне моделювання
86
++ ∑∫ ∫
+
=
−
ζησζηωζη ddzyxWa kk
n
k
b l
l
xikxi
k
k
),(),,,,( 2
1
1 0
2
1
++ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
ζξσζξζξ ddgzyxWa kk
n
k
l
l
yikyi
k
k
),(),,,,( 1
1
1 0
12
1
,1,1;),(),,,,( 2
1
1 0
22
1
+=+ ∑ ∫ ∫
+
=
+∞
−
niddgzyxWa kk
n
k
l
l
yikyi
k
k
ζξσζξζξ (63)
які описують структуру стаціонарного температурного поля в роз-
глянутому середовищі.
У формулах (63) беруть участь компоненти:
фундаментальної матриці розв’язків
( )
,1,1,;
)()()()(
),(
),(),(
),,,,,(
222
1
22
1
22
1
2
1 1 1
2
+=
+++
×
×= ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
nki
vwaa
vyvwxw
zV
VzV
zyxE
prpyrxj
pprr
j r p j
jkji
ik
χγδλ
ηξ
λ
λζλ
ζηξ
(64)
нижньої аплікатної матриці Гріна
( ) ),,,,,,(),,,,( 01
10
111
2
1
1 lzyxEazyxW ii ηξασηξ
−
−= (65)
верхньої аплікатної матриці Гріна
( ) ),,,,,,(),,,,( 1,
11
22
2
11
2 lzyxEazyxW ni
n
nni ηξασηξ +
−+
++= (66)
лівої абсцисної матриці Гріна
),,,,,0,(),,,,(1 ζηζη zyxEzyxW ikxik = (67)
компоненти правої абсцисної матриці Гріна
),,,,,,(),,,,(2 ζηζη zyaxEzyxW ikxik = (68)
лівої ординатної матриці Гріна
),,,0,,,(),,,,(1 ζξζξ zyxEzyxW ikyik = (69)
правої ординатної матриці Гріна
),,,,,(),,,,(2 ζξζξ zbyxEzyxW ikyik = (70)
еліптичної крайової задачі (1)-(3), (51), (35).
Зазначимо, що: 1) зауваження 1-4 поширюються на випадок роз-
глянутої температурної задачі; 2) параметри )2,1(, =jhp jj дають
можливість виділяти із формул (63) розв’язки крайових задач у випа-
дках задання на поверхнях x = 0, x = a; y = 0, y = b крайових умов 1-го
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
87
роду й 2-го роду та їх можливих комбінацій; 3) аналіз розв’язку (63) в
залежності від аналітичного виразу функцій ),,,( zyxf j ),,(1 zyjω
),,(2 zyjω ),,(1 zxg j ),(2 zxg j , ),(,1,1 0 yxgnj += та ),( yxgl прово-
диться безпосередньо.
Висновки. При найбільш загальних припущеннях в межах фе-
номенологічної теорії теплопровідності побудовано інтегральні зо-
браження точних аналітичних розв’язків стаціонарних задач в обме-
жених багатошарових просторових середовищах. Одержані розв’язки
носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від параметрів
та даних задачі й можуть бути використані як в теоретичних дослі-
дженнях, так і в інженерних розрахунках.
Список використаних джерел:
1. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – М.: Мир,
1964. – 517 с.
2. Громик А. П., Конет І. М. Стаціонарні задачі теплопровідності в необмеже-
них двоскладових просторових областях // Крайові задачі для диференціа-
льних рівнянь: Зб. наук. пр. – Чернівці: Прут, 2006. – Вип. 13. – С.52-65.
3. Громик А. П., Конет І. М. Крайові задачі теплопровідності в необмеже-
них двоскладових просторових областях // Крайові задачі для диференці-
альних рівнянь: Зб. наук. пр. – Чернівці: Прут, 2006. – Вип. 14. – С.36-50.
4. Громик А. П., Конет І. М. Крайові задачі теплопровідності в необмеже-
них тришарових просторових областях // Наукові праці Кам’янець-Поді-
льського державного університету. Збірник за підсумками звітної науко-
вої конференції викладачів і аспірантів. Випуск 5. – В 3-х томах. – Кам’я-
нець-Подільський: К-ПДУ, 2006. – Т. 1. – С.94-95.
5. Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Модели и методы реше-
ния задач с условиями сопряжения. – К.: Наук. думка, 1998. – 614 с.
6. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. –
448 с.
7. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород-
ного тела. – К.: Наук. думка, 1992. – 280 с.
8. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотропних
сферичних областях. – К.: Ін-т математики НАН України, 1998. – 209 с.
9. Конет І. М., Ленюк М. П. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля
в циліндрично-кругових областях. – Чернівці: Прут, 2001. – 312 с.
10. Конет І. М., Ленюк М. П. Температурні поля в кусково-однорідних цилі-
ндричних областях. – Чернівці: Прут, 2004. – 276 с.
11. Конет І. М., Ленюк М. П. Крайові задачі теплопровідності в необмежених
тришарових просторових областях // Крайові задачі для диференціальних
рівнянь: Зб. наук. пр., – Чернівці: Прут, 2006. – Вип. 14. – С.84-96.
12. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотро-
пних областях. – К.: Ін-т математики НАН України, 1997. – 188 с.
13. Ленюк М. П. Интегральные преобразования с разделенными переменны-
ми (Фурье, Ханкеля). – К., 1983. – 60 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т ма-
тематики; 83.4).
Математичне та комп’ютерне моделювання
88
14. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел не-
однородной структуры. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
15. Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моде-
лирование и исследование процессов в неоднородных средах. – К.: Наук.
думка, 1991. – 432 с.
16. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Из-во иностр. лит., 1956. –
668 с.
17. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. –
М.: Наука, 1972. – 735 с.
The method of integral transformations builds the exact analytical solu-
tion of stationary task of heat conductivity for the limited multi-layer space
areas.
Key words: differential equalization Poisson, integral transforma-
tions, fundamental solutions.
Отримано: 05.06.2008
УДК 517.5
У. В. Гудима
Кам’янець-Подільський національний університет
АПРОКСИМАЦІЯ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКТНОЗНАЧНОГО
ВІДОБРАЖЕННЯ ЧЕБИШОВСЬКИМ ПІДПРОСТОРОМ
З ДОДАТКОВИМ ОБМЕЖЕННЯМ
У статті встановлено теореми характеризації, єдиності екс-
тремального елемента, співвідношення двоїстості та привило
чебишовського альтернансу для задачі найкращої рівномірної
апроксимації компактнозначного відображення чебишовським
підпростором з додатковим обмеженням.
Ключові слова: компактнозначне відображення, чеби-
шовський альтернанс, співвідношення двоїстості.
Вступ. У даній статті для задачі найкращої рівномірної апрок-
симації компактнозначного відображення чебишовським підпросто-
ром з додатковим обмеженням доведено теорему єдиності, теорему
характеризації екстремального елемента, встановлено співвідношен-
ня двоїстості та правило чебишовського альтернансу. Отримані ре-
зультати є узагальненням на випадок задачі відшукання величини (1)
відповідних результатів дослідження задачі найкращої рівномірної
апроксимації неперервної на компакті функції елементами скінчен-
новимірного підпростору, які задовольняють додатковому обмежен-
ню (див., наприклад, [1-6]).
© У. В. Гудима, 2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18568 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T22:49:14Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Громик, А.П. Конет, І.М. 2011-04-02T22:04:02Z 2011-04-02T22:04:02Z 2008 Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 71-88. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18568 539.3 Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ. he method of integral transformations builds the exact analytical solution of stationary task of heat conductivity for the limited multi-layer space areas. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ Article published earlier |
| spellingShingle | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ Громик, А.П. Конет, І.М. |
| title | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| title_full | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| title_fullStr | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| title_full_unstemmed | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| title_short | Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| title_sort | інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності для обмежених кусково-однорідних просторових середовищ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18568 |
| work_keys_str_mv | AT gromikap íntegralʹnízobražennârozvâzkívstacíonarnihzadačteploprovídnostídlâobmeženihkuskovoodnorídnihprostorovihseredoviŝ AT konetím íntegralʹnízobražennârozvâzkívstacíonarnihzadačteploprovídnostídlâobmeženihkuskovoodnorídnihprostorovihseredoviŝ |