Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралі...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18580 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 181-190. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860008641594130432 |
|---|---|
| author | Тарновецька, О.Ю. |
| author_facet | Тарновецька, О.Ю. |
| citation_txt | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 181-190. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів.
By the method of comparison of decisions, built on the arctic landmark of r ≥ of R0 > 0 with the one point of interface for the separate system of differential equalizations of Legendre and Euler by the method of functions Cauchy and by the method of the proper hybrid integral transformation, polyparameter family of known integrals is calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
181
3. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений / Пер. с
нем. – М.: Мир, 1990. – 206 с.
4. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. – М.:
ЮНИТИ, Аудит, 1997. – 510 с.
5. Сявавко М. С., Рибицька О. М. Математичне моделювання за умов неви-
значеності. – Львів: “Українські технології”, 2000. – 319 с.
A method of comparison of decision variants in natural resources use
based on matching total risks of alternatives has been proposed. Total risks
have been estimated as sums of components: risks of losses, which aggra-
vate concrete variant in economic, ecological and social sphere, and risks
of lost opportunities, defined by potential incomes, benefits and advantages
which related to alternatives.
Key words: alternative, comparison of decision variants, uncertainty,
decision maker, natural resources use, risk of lost opportunities, suscepti-
bility to risk, decision table.
Отримано: 23.05.2008
УДК 517.443
О. Ю. Тарновецька
Харківський національний технічний університет “ХПІ”
ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ
ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА-
ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній
осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження для сепаратної сис-
теми диференціальних рівнянь Лежандра та Ейлера методом
функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрально-
го перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невлас-
них інтегралів.
Ключові слова: невласні інтеграли, функції Коші, головні
розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, основна то-
тожність, умова однозначної розв’язності, логічна схема.
Постановка проблеми. Тонкостінні елементи композитного ти-
пу, як правило, знаходяться в короткочаcовому стаціонарному режи-
мі, на який вони виходять після стрибкоподібного температурного
або силового навантаження. Вивчення їх фізико-технічних характе-
ристик приводить до задач механіки (термомеханіки) кусково-одно-
рідних середовищ. Практика показує, що навіть в найпростіших ви-
падках величини, які характеризують напружений стан композита,
© О. Ю. Тарновецька, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
182
виражаються у вигляді поліпараметричного невласного інтегралу,
який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зображає аналітич-
ну функцію. Звідси виникає природне бажання замінити невласний
інтеграл його результатом збіжності (функцією), що особливо важли-
во при інженерних розрахунках. Обчисленню однієї сім’ї невласних
інтегралів присвячена дана робота, яка є продовженням досліджень,
виконаних в монографіях [1-5].
Основна частина. Побудуємо обмежений на множині
( ) ( ){ }∞<<<∞∪∈=+
101101 0;,,: RRRRRrrI розв’язок сепаратної сис-
теми модифікованих диференціальних рівнянь Лежандра та Ейлера
( ) ( ) ( ) ),,(, 1011
2
1)( RRrrgruq ∈−=−Λ µ
( ) ( ) ( ) ( ).,, 122
2
2
* ∞∈−=− RrrgruqBα (1)
за крайовими умовами
( ) ,01
0
11
0
11
0
gru
dr
d
Rr
=
+
=
βα [ ] 0)(lim 2 =
∞→
rur
r
γ (2)
та умовами спряження
12
1
2
1
21
1
1
1
1
1
)()( j
Rr
jjjj ru
dr
dru
dr
d ωβαβα =
+−
+
=
, j = 1, 2. (3)
У рівностях (1)-(3) беруть участь величини qj > 0, 0
11α ≤ 0, 0
11β ≥ 0,
,00
11
0
11 ≠+ βα 1
jkα ≥ 0, 1
jkβ ≥ 0, c11c21 > 0, cj1 = 1
2
1
1
1
1
1
2 jjjj βαβα − та
диференціальні оператори
( ) ,
ch1ch12
1
4
1cth
2
2
2
1
2
2
+
+
−
+++=Λ
rrdr
dr
dr
d µµ
µ
( ) ,12 2
2
2
2* ααα +++=
dr
dr
dr
drB (µ) = (µ1, µ2), µ1 ≥ µ2 ≥ 0, 2α + 1 > 0;
Λ(µ) – узагальнений диференціальний оператор Лежандра [6], *
αB –
диференціальний оператор Ейлера [7].
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Лежандра ( )( ) 02
1 =−Λ νµ q утворюють узагальнені приєднані
функції Лежандра першого роду ( )( )rP ch
1
µ
ν та другого роду ( )( )rL ch
1
µ
ν
[6]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Ейлера ( ) 02
2
* =− να qB утворюють функції 2
1
qr −−= αν та
2
2
qr +−= αν [7].
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
183
Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість
побудувати загальний розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом фун-
кцій Коші [7, 8]:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,sh,chch
1
0
11 111
)(
11 ∫++=
R
R
dgrErLBrPAru ρρρρµ
ν
µ
ν
( ) ( ) ( )∫
∞
−−− +=
1
22 ., 12
2222
R
q dgrErAru ρρρρ αα (4)
У рівностях (4) Ej (r, ρ) – функції Коші [7, 8]:
( ) ( ) ,0,,
00
=−
−=+= ρρ
ρρ
rjrj rErE
( ) ( )
( ) ,1,,
00 ρϕ
ρρ
ρρ jr
j
r
j
dr
rdE
dr
rdE
−=−
−=+=
(5)
( ) ( ) 12
21 ,sh −== αϕϕ rrrr .
Введемо до розгляду функції:
( ) ( ) ( )( ) ,chch
11 11
1;
1,
mRr
m
j
m
jm
m
j rP
dr
dRZ
=
+= µ
ν
µ
ν βα
( ) ( ) ( )( ) ,chch
11 11
2;
1,
mRr
m
j
m
jm
m
j rL
dr
dRZ
=
+= µ
ν
µ
ν βα m = 0, 1;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ),chchchchch,ch
11111
2;
1;
1;
1;
;
1, rPRZrLRZrRF m
m
jm
m
jm
m
j
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),chch
chchch,ch
1
11;
11;0
02;
11;
1
12;
11;0
01;
11;101;
11
111
RZRZ
RZRZRRj
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
−
−=∆
( )( ) ,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
121121
121121
1
2
1
++Γ
++Γ
−+Γ
−+Γ
⋅⋅=
−+
−+
νν
νν
π
µ
µ
µ
qq
qq
qB ( )2112 2
1 µµν ±=± .
Безпосередньо перевіряється, що за функцію Коші E1 (r, ρ) мож-
на взяти функцію
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
<<<
<<<
∆
=
.
,ch,chch,ch
,
,ch,chch,ch
ch,ch
,
10
1
1;
11;0
0;
11;
10
1
1;
11;0
0;
11;
1011;
1
1
11
11
1
RrR
rRFRF
RrR
RFrRF
RR
qB
rE
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ (6)
Математичне та комп’ютерне моделювання
184
Визначимо функції:
( ) ( )[ ] 2
1 1
1
1
1
22
1
212
11
2, , q
jjj RRqRqZ −−−+−= α
ν ααβ ,
( ) ( )[ ] 2
1 1
1
1
1
22
1
212
12
2, , q
jjj RRqRqZ +−−−−= α
ν ααβ ,
( ) ( ) ( ) ( ) 22
12
11
2;12
12
2;2
*1
2; ,,, q
j
q
jj rRqZrRqZrq +−+− −=Ψ α
α
α
αα .
Безпосередньо перевіряється, що функція Коші
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞<<<Ψ
∞<<<Ψ
−=
+−
+−
.,,
,,,
2
1,
12
*1
12;
12
*1
12;
11
12;2
2
2
2
rRqr
rRrq
Zq
rE
q
q
ρρ
ρρ
ρ
α
α
α
α
α
(7)
Повернемось до формул (4). Крайова умова в точці r = R0 та
умови спряження (3) для визначення величин A1, A2, B1 дають алгеб-
раїчну систему з трьох рівнянь:
( ) ( ) ( ) ( ) 010
02;
11;10
01;
11; chch
11
gBRZARZ =+ µ
ν
µ
ν ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11212
11
12,11
12;
11;11
11;
11; ,chch
11
ωα
µ
ν
µ
ν =−+ ARqZBRZARZ , (8)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1221212
11
22;11
12;
21;11
12;
21; ,chch
11
GARqZBRZARZ +=−+ ωα
µ
ν
µ
ν .
В алгебраїчній системі (8) бере участь функція
( ) ( )
( ) ( )
( ) +
∆
= ∫
1
0 1
1 sh
ch,ch
ch,ch
sh 1
1011;
0
0;
11;
1
11
12
R
R
dg
RR
RF
R
cG ρρρ
ρ
µ
ν
µ
ν
( )
( )∫
∞
−
−−
+
+
1
2
12
2
12
11
12;
12
1
21
,R
q
dg
RqZR
c ρρρρ α
α
α
α .
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра-
йової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора { }21; qqq =
визначник алгебраїчної системи (8)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )−∆≡∆ 1021;12
11
12;, ch,ch,
1
RRRqZq µ
νααµ
( ) ( ) ( ) 0ch,ch, 1011;12
11
22; 1
≠∆− RRRqZ µ
να . (9)
Тут ( )21,qqq = .
Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):
1) породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції Гріна
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[
( ) ( ) ( )],ch,ch,
ch,ch,1,
1
1;
21;12
11
12;
1
1;
11;12
11
22;
,
11;,
1
1
rRFRqZ
rRFRqZ
q
qrW
µ
να
µ
να
αµ
αµ
−
−
∆
=
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
185
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2
,11
11
12;,
1
sh
, qr
qRqB
cqrW −−
∆
−= α
αµµ
αµ ; (10)
2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )rRF
q
Z
qr ch,ch, 0
0;
11;
,
11
22;1
11;, 1
µ
ν
αµ
α
αµ ∆
−=R ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )rRF
q
Z
qr ch,ch, 0
0;
11;
,
11
12;1
21;, 1
µ
ν
αµ
α
αµ ∆
=R ,
( ) ( )
( ) ( )
21
,
21;2
11;, , qr
q
qr −−
∆
∆
−= α
αµ
ν
αµR ,
( ) ( )
( )( )
21
,
11;2
21;, , qr
q
qr −−
∆
∆
= α
αµ
µ
ν
αµR ; (11)
3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
<<<
<<<
−=
,
,,ch,ch
,
,,ch,ch
,,
10
11;,0
0;
11;
10
11;,0
0;
11;
111;,
1
1
RrR
qrWRF
RrR
qWrRF
qBqr
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
αµ
µ
ν
αµ
µ
ν
µαµH
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
1
ch,ch1,, 0
0;
11;
,
12
1
21
12;,
qrRF
qR
cqr −−
+ ∆
= αµ
ν
αµ
ααµ ρρH ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
1
ch,ch1
sh
,, 0
0;
11;
,1
11
21;,
qrRF
qR
cqr −−
∆
= αµ
ν
αµ
αµ ρρH , (12)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[
( ) ( ) ( )[
( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( )] .,,ch,ch
,,,ch,ch
,ch,ch
,ch,ch
2
1,,
12
*1
12;1021;
12
*1
12;1021;
2
*1
22;1011;
2
*1
22;1011;
,1
22;,
1
1
1
2
1
2
∞<<<Ψ∆−
∞<<<Ψ∆−
−Ψ∆
−Ψ∆
∆
=
−−
−−
rRqRR
rRrqRR
qRRr
rqRR
qq
qr
q
q
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
α
µ
ν
α
µ
ν
α
µ
ν
α
α
µ
ν
α
αµ
αµH
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8),
підстановки одержаних значень величин A1, A2, B1 у формули (4) та
низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової
задачі (1)-(3):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= 1111;,01;, ,, ωαµαµ qrgqrWru j
jj R
Математичне та комп’ютерне моделювання
186
( ) ( ) 2121;, , ωαµ qrjR+ ( ) ( ) ( ) ++ ∫
1
0
sh,, 11;,
R
R
j dgqr ρρρραµH
( ) ( ) ( )∫
∞
−+
1
12
22;, ,,
R
j dgqr ρρρρ α
αµH , j = 1,2. (13)
Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом гіб-
ридного інтегрального перетворення (ГІП), породженого на множині
+
1I гібридним диференціальним оператором (ГДО)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *
110, αµαµ θθθ BRrrRRr −+Λ−−=M , (14)
де θ (x) – одинична функція Гевісайда [8].
ГДО M(µ), α самоспряжений і має одну особливу точку r = ∞. То-
му його спектр дійсний та неперервний [9]. Можна вважати, що спек-
тральний параметр β ∈ (0, ∞). Компоненти V(µ), α; j (r, β) спектральної
функції
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βθβθθβ αµαµαµ ,,, 2;,11;,10, rVRrrVrRRrrV −+−−=
повинні задовольняти диференціальні рівняння
( )( ) ( ) ( ) 0,1;,
2
1 =+Λ βαµµ rVb , ),( 10 RRr ∈ ,
( ) ( ) ( ) 0,2;,
2
2
* =+ βαµα rVbB , ),( 1 ∞∈ Rr , (15)
однорідні крайові умови
( ) ( ) 0,
0
;,
0
11
0
11 =
+
=Rr
j rV
dr
d ββα αµ , ( ) ( )[ ] 0,lim 2;, =
∞→
βαµ
γ rVr
r
(16)
та однорідні умови спряження
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,
1
2;,
1
2
1
21;,
1
1
1
1 =
+−
+
=Rr
jjjj rV
dr
drV
dr
d ββαββα αµαµ . (17)
( ) 2/122
jj kb += β , 02 ≥jk , j = 1, 2.
Фундаментальну систему розв’язків для узагальненого диферен-
ціального рівняння Лежандра ( )( ) 02
1 =+Λ vbµ утворюють функції
( )( )rAv ch*
1
1
µ
ν
= та ( )( )rBv ch*
1
2
µ
ν
= , ( )βν 1
*
1 2/1 ib+−= [6]; фундамента-
льну систему розв’язків для звичайного диференціального рівняння
Ейлера 2-го порядку ( ) 02
2
* =+ vbBα утворюють функції
( )rbrv lncos 21
α−= та ( )rbrv lnsin 22
α−= [7].
Якщо покласти
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
187
( ) ( ) ( )( ) ( )( )rBBrAArV chch, *
1
*
1
111;,
µ
ν
µ
ναµ β += ,
( ) ( ) ( ) ( )rbrBrbrArV lnsinlncos, 22222;,
αα
αµ β −− += , (18)
то крайова умова в точці r = R0 й умови спряження (17) для визначен-
ня чотирьох невідомих Aj, Bj (j = 1, 2) дають алгебраїчну систему з
трьох рівнянь:
( ) ( ) ( ) ( ) 0chch 10
02;
11;10
01;
11; *
1
*
1
=+ BRYARY µ
ν
µ
ν
, j = 1, 2, (19)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0ln,ln,chch 212
12
2;212
11
2;11
12;
1;11
11;
1; *
1
*
1
=−−+ BRbYARbYBRYARY jjjj αα
µ
ν
µ
ν
У рівностях (19) беруть участь функції:
( ) ( ) ( )( )
mRr
m
j
m
jm
m
j
rA
dr
dRY
=
+= chch *
1
*
1
11
1;
1;
µ
ν
µ
ν
βα ,
( ) ( ) ( )( )
mRr
m
j
m
jm
m
j
rB
dr
dRY
=
+= chch *
1
*
1
11
2;
1;
µ
ν
µ
ν
βα ,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,lnsinlncosln, 1122
1
1
1
212
1
2
1
1
1
212
11
2;
α
α αααβ −−− −−= RRbbRRbRRbY jjjj
( ) ( ) ( ) ( )[ ] .lncoslnsinln, 1122
1
1
1
212
1
2
1
1
1
212
12
2;
α
α αααβ −−− +−= RRbbRRbRRbY jjjj
У результаті розв’язання алгебраїчної системи (19) стандартним
способом [10] й підстановки отриманих значень Aj та Bj (j = 1, 2) в
рівності (18) маємо функції:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
−= rARYrBRYqrV chchchch, *
1
*
1
*
1
*
1
0
02;
11;0
01;
11;1;,
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
νααµ ββ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rbrrbrrV lnsinlncos, 21;,22;,2;,
α
αµ
α
αµαµ βωβωβ −− −= . (20)
Тут прийняті позначення:
( )( ) 12
1
221
+
= αα β
R
bcq , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jj
j YRbY 1
12;21;12
1
22;11;;, ln, αµαµαµ βδβδβω −= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
11;
1;0
02;
11;1
12;
1;0
01;
11;1; chchchch *
1
*
1
*
1
*
1
RYRYRYRY
jjj
µ
ν
µ
ν
µ
ν
µ
νµ βδ −= ;j=1,2.
Введемо до розгляду вагову функцію
( ) ( ) ( ) ( ) 12
21110 sh −−+−−= ασθσθθσ rRrrrRRrr ,
1
12
1
21
11
1 shR
R
c
c +
=
α
σ ,
12 =σ , та спектральну щільність
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) 12
2;,
2
1;,
1
2,
−− +=Ω βωβωβββ αµαµαµ b .
Математичне та комп’ютерне моделювання
188
Наявність спектральної функції V(µ), α (r, β), вагової функції σ(r) та
спектральної щільності Ω(µ), α (β) дає можливість запровадити пряме
H(µ),α й обернене ( )
1
,
−
αµH ГІП, породжене на множині +
1I ГДО M(µ),α [9]:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βσβαµαµ gdrrrVrgrgH
R
~,
0
,, ≡= ∫
∞
, (21)
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rgdrVggH ≡Ω= ∫
∞
− ββββ
π
β αµαµαµ ,
0
,
1
, ,~2~ , (22)
( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( )[ ] ++−−= ββββαµαµ 2
2
21
2
1
2
,,
~~~ gkgkgrgH M
( ) ( ) ( ) +−+
−
001;,01
10
11 ,sh gRVR βσα αµ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]11
1
22;,21
1
12;,
21
12
1 ωβωβ αµαµ
α
ZZ
c
R
−+
+
, (23)
У рівності (23) беруть участь функції:
( ) ( ) ( ) ( )∫=
1
0
sh,~
11;,11
R
R
rdrrVrgg σββ αµ ,
( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
−=
1
12
22;,22 ,~
R
drrrVrgg α
αµ σββ ,
( ) ( ) ( ) ( )
1
,2;,
1
2
1
2
1
2;,
Rr
kkk rV
dr
dZ
=
+= ββαβ αµαµ , k = 1, 2.
Побудований за відомою логічною схемою [9] методом ГІП, за-
провадженого формулами (21)-(23), єдиний розв’язок крайової задачі
(1)-(3) визначають функції:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +
+
Ω
= ∫ ∫
∞1
0
sh,,2
11
0
22
,
1;,;,
R
R
jj dgd
q
VrVru ρρσρβ
β
β
βρβ
π
αµ
αµαµ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +
+
Ω
+ ∫ ∫
∞
−
∞
1
12
22
0
22
,
2;,;, ,,2
R
j dgd
q
VrV ρρσρβ
β
β
βρβ
π
ααµ
αµαµ (24)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) +
+−
Ω
+ ∫
∞
001
0
220
11
,
01;,;, sh,,2 gRd
q
RVrV j σβ
βα
β
ββ
π
αµ
αµαµ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
+
Ω
+ ∫
∞+
0
2122
,1
12;,;,
21
12
1 ,2 βω
β
β
ββ
π
αµ
αµαµ
α
d
q
ZrV
c
R
j ×∫
∞
0
)(;),(
2
βαµπ rjV
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
189
( )
( )
+
Ω
× 1122
,1
22;,
)(
)( βω
β
β
β αµ
αµ d
q
Z , { }2
2
2
1
2 ;max qqq = , j = 1, 2.
Порівнюючи розв’язки (12) та (24) в силу єдиності, маємо фор-
мули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за влас-
ними елементами ГДО M(µ), α:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
+
Ω
∫
∞
0
22
,
;,;, ,,2
q
d
VrV kj
β
ββ
βρβ
π
αµ
αµαµ ( ) ( )qrjk
k
,,1
;, ρ
σ αµH , (25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )∫
∞
+−
Ω
0
220
11
,
;,01;, ,,2
q
d
rVRV j
βα
ββ
ββ
π
αµ
αµαµ ( ) ( )qrW
R j ,
sh
1
1;,
01
αµσ
= ,(26)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫
∞
+
Ω
0
22
,1
12;,;, ,2 β
β
β
ββ
π
αµ
αµαµ d
q
ZrV j ( ) ( )qr
R
c j ,21;,12
1
21
αµα R
+
= , (27)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−=
+
Ω
∫
∞
0
22
,1
22;,;, ,2 β
β
β
ββ
π
αµ
αµαµ d
q
ZrV j ( ) ( )qr
R
c j ,11;,12
1
21
αµα R
+
. (28)
У рівностях (25)-(28) функції впливу H(µ), α; jk (r, ρ, q) визначені
формулами (12), функції Гріна умов спряження ),(1;),( qrj
kαµR визна-
чені формулами (11), а функції Гріна W(µ), α; 1j(r, q) – формулами (10).
Зауваження 1. Якщо max{ 2
1q ; 2
2q } ≡ q2 = 2
1q , то 02
1 =k ,
2
2
2
1
2
2 qqk −= ≥ 0 (b1 = β, b2 = 2
2
2
1
2 qq −+β ). В цьому випадку β 2 +
+ q2 = β 2 + 2
1q .
Зауваження 2. Якщо 2
2
2 qq = , то 2
1
2
2
2
1 qqk −= , 02
2 =k . В цьому
випадку ( ) 2/12
1
2
2
2
1 qqb −+= β , b2 = β, β 2 + q2 = β 2 + 2
2q .
Зауваження 3. Оскільки праві частини в рівностях (25)-(28) не
залежать від нерівності ( ) 02
1
2
2 ≥− qq або нерівності ( ) 02
2
2
1 ≥− qq , то
можна покласти 022
2
2
1 >≡= qqq , звужуючи при цьому сім’ю невла-
сних інтегралів.
Основна теорема. Якщо вектор-функція ( ) ( ) ( )[ ]{ ;1 rgrf µΛ=
( )[ ]}rgB 2
*
α неперервна на множині +
1I , функції gj (r) задовольняють
крайові умови та умови спряження й виконується умова (9) однозна-
чної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то справджуються формули
Математичне та комп’ютерне моделювання
190
(25)-(28) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за вла-
сними елементами M(µ), α, визначеного рівністю (14).
Висновок. Результати даної роботи поповнюють довідкову ма-
тематичну літературу й можуть бути використані при обчисленні не-
власних інтегралів за власними елементами ГДО, які з’являються при
моделюванні фізико-технічних процесів у відповідних неоднорідних
середовищах.
Список використаних джерел:
1. Ленюк М. П., Літовченко В. А. Обчислення невласних інтегралів методом
гібридних інтегральних перетворень. Том І. – Київ: Інститут математики
НАН України, 1994. – 244 с.
2. Ленюк М. П., Літовченко В. А. Обчислення невласних інтегралів методом
гібридних інтегральних перетворень. Том ІІ. – Київ: Інститут математики
НАН України, 1996. – 283 с.
3. Ленюк М. П., Літовченко В. А. Обчислення невласних інтегралів методом
гібридних інтегральних перетворень. Том ІІІ. – Київ: Інститут математики
НАН України, 1999. – 239 с.
4. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег-
ральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра, Конторовича-Лєбєдєва).
Том ІV. – Чернівці: Прут, 2003. – 318 с.
5. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег-
ральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці:
Прут, 2005. – 368 с.
6. Конет І. М., Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока.
Чернівці: Прут, 2002. – 248 с.
7. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1959. – 468 с.
8. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.:
Наука, 1965. – 328 с.
9. Ленюк М. П., Шинкарик М. І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є,
Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. –
368 с.
10. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
By the method of comparison of decisions, built on the arctic landmark
of r ≥ of R0 > 0 with the one point of interface for the separate system of
differential equalizations of Legendre and Euler by the method of functions
Cauchy and by the method of the proper hybrid integral transformation,
polyparameter family of known integrals is calculated.
Key words: not own integrals, functions Cauchy, the main decisions,
hybrid integrated transformation, the basic identity, condition of unequivo-
cal resolvability, the logic scheme.
Отримано: 05.06.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18580 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тарновецька, О.Ю. 2011-04-04T20:15:58Z 2011-04-04T20:15:58Z 2008 Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 / О.Ю. Тарновецька // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 181-190. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18580 517.443 Методом порівняння розв’язків, побудованих на полярній осі r ≥ R0 > 0 з однією точкою спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Лежандра та Ейлера методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів. By the method of comparison of decisions, built on the arctic landmark of r ≥ of R0 > 0 with the one point of interface for the separate system of differential equalizations of Legendre and Euler by the method of functions Cauchy and by the method of the proper hybrid integral transformation, polyparameter family of known integrals is calculated. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 Article published earlier |
| spellingShingle | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 Тарновецька, О.Ю. |
| title | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_fullStr | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full_unstemmed | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_short | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_sort | обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора лежандра-ейлера на полярній осі r ≥ r0 > 0 |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18580 |
| work_keys_str_mv | AT tarnovecʹkaoû občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraležandraeileranapolârníiosírr00 |