Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми
В результаті проведення ряду комп’ютерних експериментів з використанням засобів когнітивної графіки виявлено нові властивості серендипових скінченних елементів вищих порядків в тривимірному просторі. В рамках температурної задачі були встановлені умови, при яких спостерігається стійкість температурн...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18581 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми / А.Н. Хомченко, С.О. Камаєва // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 191-196. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18581 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-185812025-02-09T14:13:31Z Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми Хомченко, А.Н. Камаєва, С.О. В результаті проведення ряду комп’ютерних експериментів з використанням засобів когнітивної графіки виявлено нові властивості серендипових скінченних елементів вищих порядків в тривимірному просторі. В рамках температурної задачі були встановлені умови, при яких спостерігається стійкість температурного поля по відношенню до базису. Сформульовано критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми. As a result of realization computer experiments, using cognitive graphics facilities new properties of the serendipian finite elements of higher orders in three-dimensional space were found out. Firmness conditions of the temperature field in relation to a basis within the framework of temperature task are set. The invariance criterion of the temperature fields over serendipian elements is formulated in relation to the alternative shape functions. 2008 Article Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми / А.Н. Хомченко, С.О. Камаєва // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 191-196. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18581 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В результаті проведення ряду комп’ютерних експериментів з використанням засобів когнітивної графіки виявлено нові властивості серендипових скінченних елементів вищих порядків в тривимірному просторі. В рамках температурної задачі були встановлені умови, при яких спостерігається стійкість температурного поля по відношенню до базису. Сформульовано критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми. |
| format |
Article |
| author |
Хомченко, А.Н. Камаєва, С.О. |
| spellingShingle |
Хомченко, А.Н. Камаєва, С.О. Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Хомченко, А.Н. Камаєва, С.О. |
| author_sort |
Хомченко, А.Н. |
| title |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| title_short |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| title_full |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| title_fullStr |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| title_full_unstemmed |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| title_sort |
критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18581 |
| citation_txt |
Критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми / А.Н. Хомченко, С.О. Камаєва // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 191-196. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT homčenkoan kriteríjínvaríantnostítemperaturnihpolívserendipovihelementívŝodoalʹternativnihfunkcíjformi AT kamaêvaso kriteríjínvaríantnostítemperaturnihpolívserendipovihelementívŝodoalʹternativnihfunkcíjformi |
| first_indexed |
2025-11-26T16:52:19Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:52:19Z |
| _version_ |
1849872578421719040 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
191
УДК 519.6
А. Н. Хомченко1, С. О. Камаєва2
1Херсонський національний технічний університет
2Івано-Франківський національний
технічний університет нафти і газу
КРИТЕРІЙ ІНВАРІАНТНОСТІ ТЕМПЕРАТУРНИХ
ПОЛІВ СЕРЕНДИПОВИХ ЕЛЕМЕНТІВ ЩОДО
АЛЬТЕРНАТИВНИХ ФУНКЦІЙ ФОРМИ
В результаті проведення ряду комп’ютерних експеримен-
тів з використанням засобів когнітивної графіки виявлено нові
властивості серендипових скінченних елементів вищих поряд-
ків в тривимірному просторі. В рамках температурної задачі
були встановлені умови, при яких спостерігається стійкість
температурного поля по відношенню до базису. Сформульо-
вано критерій інваріантності температурних полів серендипо-
вих елементів щодо альтернативних функцій форми.
Ключові слова: серендиповий елемент, температурне по-
ле, інваріантність, базис.
Постановка проблеми. Останнім часом застосування скінчен-
них елементів (СЕ) серендипової сім’ї стало настільки розповсюдже-
ним, а їх роль в розв’язуванні різноманітних граничних задач такою
значною, що вивчення інтерполяційних якостей серендипових апрок-
симацій залишається досі актуальним. Особливо це стосується СЕ
вищих порядків.
Аналіз попередніх публікацій, постановка задачі. Моделю-
вання серендипових скінченних елементів завжди було цікавим аспе-
ктом наукових досліджень. Вперше базисні функції для лінійних,
квадратичних та кубічних СЕ були знайдені підбором [1]. Алгебраїч-
ний шлях побудови цих функцій наведений в [2]. Альтернативою
цьому підходу стало геометричне моделювання [3-7], яке не лише
спростило спосіб побудови базису, але й відкрило шлях для створен-
ня альтернативних моделей на елементах вищих порядків та вивчен-
ня їх інтерполяційних властивостей. В ході останніх досліджень було
виявлено явище стійкості серендипових поверхонь по відношенню до
базису на двовимірних СЕ [8].
Ціль статті. На просторових скінченних елементах серендипо-
вої сім’ї сформулювати критерій інваріантності температурних полів
щодо альтернативних функцій форми.
Основна частина. В результаті проведення ряду комп’ютерних
експериментів вдалось виявити нові властивості серендипових скін-
ченних елементів вищих порядків у двовимірному просторі. В рамках
температурної задачі були встановлені умови, при яких спостеріга-
© А. Н. Хомченко, С. О. Камаєва, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
192
ється стійкість температурного поля
по відношенню до функцій форми.
Наведемо результати, отримані в
[8], для серендипового СЕ 3-го по-
рядку (рис. 1).
Умова стійкості має вигляд:
∑∑
==
=
12
5
4
1 8
1
4
1
i
i
i
i TT , (1)
де iT – значення температури у вуз-
лах СЕ (рис. 1).
Тобто, коли середнє арифмети-
чне значень температури в кутових
вузлах дорівнює середньому ариф-
метичному в решті вузлів, температурне поле залежить лише від гра-
ничних значень і вибір базису стає несуттєвим. Експериментально
отримана умова (1) була доведена аналітично. Зазначимо, що для бази-
сів, побудованих засобами геометричного моделювання, з n-парамет-
ричною інтерполяцією (n > 13) накладається додаткова умова симетрії
граничних значень в деяких вузлах.
Поставимо задачу: дослідити явище стійкості температурного
поля по відношенню до базису на просторовому серендиповому СЕ
3-го порядку (рис. 2).
Розглянемо два альтернативних базиси, побудованих засобами
геометричного моделювання.
Рис. 2. Серендиповий скінченний елемент третього порядку
в тривимірному просторі
Рис. 1. Серендиповий скінченний
елемент третього порядку
в двовимірному просторі
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
193
Базис 1. Базисні функції для вузлів, розташованих у вершинах
куба (рис. 2) будуть мати вигляд:
( ) ( ) ( ) ( )( )199111
64
1 222 −++⋅+⋅+⋅+= zyxzzyyxxN iiii ,
)8,1(;1,, =±= izyx iii .
Базисні функції для проміжних вузлів матимуть вигляд:
( ) ( ) ( ) ( )xxzzyyxN iiii 91111
64
9 2 +⋅+⋅+⋅−= ,
)30,29,26,25,14,13,10,9(;1,;
3
1
=±=±= izyx iii .
Інші базисні функції отримуються з даних циклічною переста-
новкою координат x, y, z.
Базис 2. Для цього базису функції форми:
для кутових вузлів
( ) ( ) ( ) ( )( )129111
64
1 2 −−−−⋅+⋅+⋅+= zzyyxxzzyyxxN iiiiiii ,
)8,1(;1,, =±= izyx iii ,
для проміжних вузлів
( ) ( ) ( ) ( )19111
64
9 2 −++⋅+⋅+⋅−= zzyyxxzzyyxN iiiiii ,
)30,29,26,25,14,13,10,9(;1,;
3
1
=±=±= izyx iii .
Інші базисні функції, як і в базисі 1, отримуються з даних шля-
хом циклічної перестановки x, y, z. Зауважимо, що ці базиси суттєво
відрізняються, так як поліном, що відповідає першому базису, міс-
тить 32 параметри, а другому – 38 параметрів.
Проводячи аналогію з двовимірним випадком, зробимо припу-
щення, що умова стійкості для просторового СЕ має вигляд:
∑∑
==
=
32
9
8
1 24
1
8
1
i
i
i
i TT , (2)
де Ti – значення температури у вузлах просторового СЕ (рис. 2).
Перевіримо, чи це дійсно так. Задамо температури T1 – T32 у вуз-
лах елемента згідно умови (2) та занесемо їх в таблицю 1.
Оскільки температурне поле для просторового випадку залежить
від трьох координат x, y, z, то виникає проблема його геометричного
уявлення. З метою вирішення цієї проблеми використаємо технічні
засоби інтерактивної комп’ютерної графіки (ІКГ), яка за допомогою
ілюстративної та когнітивної її функцій забезпечує не лише впізнання
зображуваних об’єктів, а й відкриває можливість мислити “складни-
Математичне та комп’ютерне моделювання
194
ми просторовими образами” [9]. Дійсно, проілюструвати можна тіль-
ки те, що вже відомо і реально існує. А когнітивна функція ІКГ поля-
гає в тому, щоб використовуючи деякі ІКГ-зображення, отримати
нові знання про досліджуваний об’єкт.
Таблиця 1
Значення температури в граничних точках, [oC]
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ti 75 20 65 40 25 30 5 10 35 60 15 45 50 – 20 25 90
i 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Ti 43 49 – 6 0 13 – 44 21 – 35 80 5 70 – 10 107 68 100 49
Спробуємо через геометричні зображення температурних полів
для кожного з базисів в окремих перерізах (при фіксованих x, y або z)
дослідити стійкість температурного поля на СЕ. Покажемо темпера-
турні поля та їх лінії рівня для базису 1 (рис. 3а) та базису 2 (рис. 3б)
при фіксованій координаті z (наприклад, z = 0.5).
Рис. 3. Температурні поля та лінії рівня в перерізі z = 0.5 (табл.1)
З цих рисунків видно, що умова (2) не забезпечує стійкість тем-
пературного поля. Продовжуючи дослідження, розглянемо грані СЕ
(наприклад, при z = 1) та покажемо температурні поля та їх лінії рівня
для базису 1 (рис. 4а) та базису 2 (рис. 4б).
Рис. 4. Температурні поля та лінії рівня згідно таблиці 1 на грані z = 1
Як бачимо, температурні поля відрізняються. Цього слід було
очікувати, оскільки на приведеній грані, як на двовимірному СЕ, не
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
195
виконується умова (1). Аналогічна картина спостерігається і на інших
гранях. З метою забезпечення стійкості температурного поля на всіх
гранях СЕ, задамо граничні температури 321 TT − так, щоб умова (1)
виконувалась на кожній з них (табл. 2).
Таблиця 2
Значення температури в граничних точках, [oC]
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ti 10 20 30 40 25 65 5 75 35 60 15 45 50 – 20 25 – 10
i 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Ti 43 49 – 6 0 13 70 21 80 – 35 5 – 44 90 107 68 100 49
Проведені дослідження на основі даних таблиці 2 показали, що
геометричні зображення температурних полів для обох базисів абсо-
лютно збігаються в будь-яких перерізах СЕ (при фіксованих yx, або
z ). В якості прикладу наведемо поверхні температурних полів та їх
лінії рівня при 5.0=z для базису 1 (рис. 5а) та базису 2 (рис. 5б).
a) б)
Рис. 5. Температурні поля та лінії рівня в перерізі z = 0.5 (табл. 2)
Виявилось, що при наявності стійкості температурного поля по
відношенню до базису на гранях, забезпечується стійкість темпера-
турного поля і всередині елемента. Не важко бачити, що при цьому
виконується і умова (2), яка є необхідною, але не є достатньою.
З вищесказаного випливає критерій інваріантності температур-
них полів серендипових СЕ по відношенню до альтернативних функ-
цій форми, який можна сформулювати наступним чином: температу-
рне поле залишається нечутливим до змін функцій форми на просто-
ровому СЕ 3-го порядку, якщо умова стійкості (1) виконується на
кожній з його граней.
Після встановлення властивості стійкості на просторовому СЕ
було проведено аналітичне доведення цього факту.
Висновки. В даній роботі засобами ІКГ було виявлено явище
стійкості температурного поля по відношенню до базису на просто-
ровому серендиповому СЕ 3-го порядку та сформульовано умови
інваріантності температурних полів щодо альтернативних функцій
Математичне та комп’ютерне моделювання
196
форми. Слід зазначити, що дане явище має місце не лише в темпера-
турних задачах, а й в задачах іншої фізичної природи.
Важко перебільшити роль когнітивної комп’ютерної графіки,
яка, здійснюючи візуалізацію наукових абстракцій, породжує нові
знання та відкриває шлях до нових досліджень.
Список використаних джерел:
1. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир,
1981. – 304 с.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.
– 392 с.
3. Камаева Л. И., Хомченко А. Н. Вычислительные эксперименты с альтер-
нативными базисами серендиповых аппроксимаций // Прикл. пробл.
прочности и пластичности. Анализ и оптимизация деформируемых сис-
тем. Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. – 1988. – Вып. 39. – С.103-
105.
4. Камаева Л. И., Хомченко А. Н. Новые модели конечных элементов се-
рендипова семейства. Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. – Ивано-Фран-
ковск, 1985. – 14 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 5.03.85, № 487.
5. Хомченко А. Н., Камаева Л. И. Геометрические аспекты серендиповых
аппроксимаций. Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. – Ивано-Франковск,
1987. – 10 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 27.03.87, № 1062.
6. Хомченко А. Н., Литвиненко Е. И., Гучек П. И. Геометрия серендиповых
аппроксимаций // Прикл. геом. и инж. графика. – К.: Будівельник, 1996. –
Вып. 59. – С.40-42.
7. Камаева Л. И., Хомченко А. Н. О моделировании конечных элементов
серендипова семейства // Прикл. пробл. прочности и пластичности. Алго-
ритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности.
Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. гос. ун-т. – 1985. – Вып. 31. – С.14-17.
8. Хомченко А. Н., Камаєва С. О. Конструювання серендипових поверхонь,
нечутливих до змін функцій форми // Наукові нотатки. Міжвуз. зб. –
Луцьк: ЛДТУ, 2008. – Вип. 22. – С.366-371.
9. Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. – М.: Наука, 1991. –
187 с.
As a result of realization computer experiments, using cognitive graph-
ics facilities new properties of the serendipian finite elements of higher or-
ders in three-dimensional space were found out. Firmness conditions of the
temperature field in relation to a basis within the framework of temperature
task are set. The invariance criterion of the temperature fields over seren-
dipian elements is formulated in relation to the alternative shape functions.
Key words: serendipian element, temperature field, invariance, basis.
Отримано: 30.05.2008
|